Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Phú Lương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo Phú Lương (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN PHÚ LƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mụn: Toỏn Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm). 1 3x2 2x a) Giải phương trỡnh: x 1 x3 1 x2 x 1 b) Tỡm số tự nhiờn n để n4 + 4 là số nguyờn tố. Bài 2 (1,0 điểm). x2 y2 z2 Tỡm GTNN của A biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1 . x y y z z x Bài 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trỡnh sau: x 2 x 1 x 2 x 1 2 b) Giải hệ phương trỡnh sau: x2 y2 x y 18 2 2 2 2 x y x y xy xy 72 Bài 4 (4,0 điểm) Cho điểm M nằm trờn nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R (M khụng trựng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường trũn cú bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phõn giỏc của IãAM cắt nửa đường trũn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh 4 điểm F, E, K, M cựng nằm trờn một đường trũn. b) Chứng minh HF  BI . c) Xỏc định vị trớ của M trờn nửa đường trũn O để chu vi AMB đạt giỏ trị lớn nhất và tỡm giỏ trị đú theo R? Bài 5 (1.0 điểm). Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y biết rằng: 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 . HẾT Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM MễN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017 Bài 1 (2,0 điểm) a) ĐK: x 1 . 1 3x2 2x x2 x 1 3x2 2x(x 1) x 1 x3 1 x2 x 1 x3 1 x3 1 x3 1 x2 x 1 3x2 2x2 2x 4x2 3x 1 0 (*) x 1 Giải phương trỡnh (*) ta được: 1 x 4 1 Kết hợp với ĐK ta cú x là nghiệm của phương trỡnh. 4 b) Ta cú n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 = ( n2 + 2)2 – ( 2n) = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) Vỡ n là số tự nhiờn nờn n2 + 2n+ 2 > 1 nờn n2 – 2n + 2 = 1 n = 1 Bài 2 (1,0 điểm) x2 y2 z2 x y z . Theo bất đẳng thức Cauchy : x y y z z x 2 x y y z z x x+y+z xy yz zx 1 xy ; yz ; zx nờn 2 2 2 2 2 2 1 1 min A = x y z . 2 3 Bài 3 (2,0 điểm) a) Điều kiện x ≥ 1 Đưa phương trình về dạng: x 1 1 x 1 1 2 x 1 1 x 1 1 2 * (Do x 1 1 > 0) Trường hợp 1: x 1 1 0 x 2 . Khi đó phương trình (*) trở thành: 2 x 1 2 x 2 (thỏa mãn) Trường hợp 2: x 1 1 0 1 x 2. Khi đó phương trình (*) trở thành: x 1 1 x 1 1 2 2 2 (luôn đúng) Kết hợp cả 2 trường hợp ta được 1 ≤ x ≤ 2 là nghiệm của phương trình.
3. b) 2 1 2 2 x x a, a (x x) (y y) 18 4 Hệ . Đặt ta được 2 2 (x x)(y y) 72 2 1 y y b, b 4 a b 18 a 6, b 12 ab 72 a 12, b 6 a 6 x2 x 6 x 2, x 3 TH 1. 2 b 12 y y 12 y 3, y 4 x 3, x 4 TH 2. Đổi vai trũ của a và b ta được . Vậy tập nghiệm của hệ là: y 2, y 3 S = (2;3); (2; 4); ( 3;3); ( 3; 4); (3;2); ( 4;2); (3; 3); ( 4; 3) Bài 4 (4,0 điểm) I F M H E K A O B a) Ta cú M, E nằm trờn nửa đường trũn đường kớnh AB nờn Fã MK 900 và Fã EK 900 . Vậy 4 điểm F, E, K, M cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh FK b) Ta cú HAK cõn tại A nờn AH = AK (1) K là trực tõm của AFB nờn ta cú FK  AB suy ra FK // AH (2) Do đú Fã AH ãAFK mà Fã AH Fã AK (gt) cho nờn ãAFK Fã AK Suy ra AK = KF, kết hợp với (1) ta được AH = KF (3) Từ (2) và (3) ta cú AKFH là hỡnh bỡnh hành nờn HF // AK. Mà AK  IB suy ra HF  IB c) Chu vi của AMB C AMB MA MB AB lớn nhất khi chỉ khi MA + MB lớn nhất (vỡ AB khụng đổi). Áp dụng bất đẳng thức a b 2 2 a2 b2 dấu "=" xảy ra a b , ta cú MA MB 2 2(MA2 MB2 ) 2AB2
4. Nờn MA + MB đạt giỏ trị lớn nhất bằng AB 2 khi và chỉ khi MA = MB hay M nằm chớnh giữa cung AB. Vậy khi M nằm chớnh giữa cung AB thỡ C AMB đạt giỏ trị lớn nhất. Khi đú C AMB MA MB AB AB 2 AB (1 2)AB 2R(1 2) Bài 5 (1,0 điểm) Đặt A 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 , ta cú 2x.A là tớch của 5 số tự nhiờn liờn tiếp nờn 2x.A chia hết cho 5. Nhưng 2x khụng chia hết cho 5, do đú A chia hết cho 5. Nếu y 1 , ta cú 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y chia hết cho 5 mà 11879 khụng chia hết cho 5 nờn y 1 khụng thỏa món, suy ra y = 0. Khi đú , ta cú 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 5y 11879 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 1 11879 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 11880 2x 1 2x 2 2x 3 2x 4 9.10.11.12 x 3. Vậy x 3; y 0 là hai giỏ trị cần tỡm.