Chuyên đề Số phức

Nội dung text: Chuyên đề Số phức

1. Paul Dawkins Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) Complex Numbers Primer SỐ PHỨC
2. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 2
3. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Contents1 LỜI NGƯỜI DỊCH 5 1.Tập số phức và các phép toán 6 1.1Định nghĩa tập số phức 6 1.2.Các phép toán 6 2.Bất đẳng thức tam giác 9 2.1 Số phức liên hợp 9 2.2 Môđun của số phức 10 2.3 Bất đẳng thức tam giác 12 3.Dạng lượng giác và dạng mũ 13 3.1 Biểu diễn hình học của số phức 13 3.2 Dạng lượng giác 14 3.3 Dạng mũ của số phức 15 4.Lũy thừa và khai căn 16 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương 16 4.2 Căn bậc n của số phức 17 1 Có thể click chuột vào tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 3
4. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 4
5. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- LỜI NGƯỜI DỊCH Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường sử dụng : 2 2 ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy x 1(trên ℝ) . x 10có nghiệm 2 trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , i 1 . 2 Xem ℂ = R ={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh (ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là định nghĩa và cuối cùng kiểm chứng kết quả. Việc xây dựng ℂ của tác giả vừa đảm bảo chính xác vừa dễ hiểu, dễ áp dụng. Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức và các phép toán . Phần hai nói về bất đẳng thức tam giác. Dạng lượng giác và mũ của số phức được nêu ở phần ba. Phần cuối dùng trình bày về lũy thừa và căn bậc n của một số phức. Đọc tài liệu này: Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành các phép toán trên số phức, tìm thấy hướng dẫn rõ ràng, chi tiết; Nếu muốn tìm lời giải đáp vì sao tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ không có, sẽ được thỏa mãn; Nếu đã biết một ít về số phức vẫn thấy thú vị. Còn tôi thì ít thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ rằng thiếu sót không tránh khỏi. Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe chỉ giáo. Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 5
6. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 1.Tập số phức và các phép toán 1.1Định nghĩa tập số phức Cho a,b∈ ℝ . Mỗi biểu thức dạng a+bi được gọi là một số phức2 a: phần thực của z. b: phần ảo của z. Tập các số phức ký hiệu là ℂ . a∈ ℝ , a= a+0i=z . Vậy ℝ⊂ ℂ 3 Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức Cho hai số phức z12abi, z c d i. Tổng z12z()() a c b d i Tích z12.()()z ac bd ad bc i 4 Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực z12a0 i ,zi c 0 . z z( a 0 i ) ( c 0 i ) a c Thật vậy 12 z12.z ( a 0 i )( c 0 i ) ac Điều cuối cùng trong phần này, ta phải chứng minh i2 1như một hệ quả của phép nhân. Thật vậy: i2 i. i (0 1i )(0 1 i ) (0.0 1.1) (0.1 1.0) i 1 1.2.Các phép toán Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng và nhân đa thức với chú ý i2 1 . 2 Dạng đại số của số phức(ND) 3 Tồn tại đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND). 4 Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh trên ℝ thành hai phép toán cộng và nhân thông thường (ND) . Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 6
7. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Ví dụ: Tính a. (58-i)+(2-17i) b. (6+3i)(10+8i) c. (4+2i)(4-2i) Bài giải a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i+24(-1)=36+78i c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i)2=16+4=20 . Phép nhân hai số phức , cho ta hệ thức :(a bi )( a bi ) a22b . Hê thức này được sử dụng khi chia hai số phức ớ phần sau. Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức. Thử làm một cách hình thức ví dụ sau Ví dụ : a. (58i ) (2 17 i ) 58 i 2 17 i 56 16 i 63i (6 3ii ) (10 8 ) b. = . = 10 8i (10 8ii ) (10 8 ) 60 48i 30 i 24 i2 84 18 i 84 18 21 9 i = i 100 64 164 164 164 41 82 5i 5i (1 7 i ) 35 5 i 7 1 c. = i 17i (1 7ii )(1 7 ) 50 10 10 Trước khi định nghĩa phép trừ và phép chia hai số phức, ta cần một số chuẩn bị: Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0 Trong các trường đại số tổng quát nói chung không có hệ thức zz( 1). Rất may mắn, trong trường ℂ ta có z( 1). z a bi Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 7
8. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Hiệu hai số phức z12, z : z1z 2 z 1() z 2 Nên z1zz 2 1()()()()() z 2 abi cdi ac bdi Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức là số nghịch đảo của một số phức. Số nghịch đảo của số phức z (≠ 0) là một số phức ký hiệu z-1 sao cho z.z-1=1. Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau: Giả sử z-1=u+vi là số nghịch đảo của z=a+bi , z.z-1=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1 a u au bv 1 ab22 Nên ⇒ av bu 0 b v ab22 ab ⇒ z 1 i. a2 b 2 a 2 b 2 Mọi số phức z khác 0 tồn tại số nghịch đảo z-1. Định nghĩa thương hai số phức. Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0) z1 1 zz12. z2 Theo định nghĩa trên , ta có Ví dụ : 63i (6 3ii )(10 8 ) 1, 10 8i 10 8 10 8i (10 8i) 1 i 102 8 2 10 2 8 2 164 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 8
9. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 6 3ii 10 8 (6 3ii )(10 8 ) 1 (6 3)i 10 8i 164 60 48i 30 i 24 i2 21 9 i 164 41 82 Ta có lại kết quả trước đây khi tiến hành chia hai số phức một cách hình thức. Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận tâm đến công thức tìm số nghịch đảo của số phức. 3i (3 i )(1 i ) 2 4 i Chẳng hạn 12i 1i (1 i )(1 i ) 2 1 10 8ii 10 8 5 2 hay (10 8i ) 1 . i 10 8ii (10 8 ) 1022 8 82 41 2.Bất đẳng thức tam giác 2.1 Số phức liên hợp Số phức liên hợp của z=a+bi , ký hiệu z , z a bi . (nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z ) Một số tính chất của số phức liên hợp zz z1 z 2 z 1 z 2 z1 z 2 z 1 z 2 zz11 z2 z2 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 9
10. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Ví dụ : Tính (a) z, z 3 15 i (b) z1 z 2, z 1 5 i , z 2 8 3 i (c) z1 z 2, z 1 5 i , z 2 8 3 i Bài giải (a) z3 15 i z 3 15 i 3 15 i z (b) z1z 213 2 i z 1 z 2 13 2i 13 2 i (c) z12 z5 i (83)5 i i (83)132 i i Với số phức z=a+bi, ta có z z a bi( a bi ) 2 a , z z a bi( a bi ) 2 bi 2.2 Môđun của số phức Cho z=a+bi, Môđun của z ký hiệu |z|, ||z ab22 Môđun của một số phức là số thực không âm. z là số thực (z=a+0i), ||z aa2 ||. Vậy Môđun của một số thực chính là giá trị tuyệt đối của số ấy. | z |2a 2 b 2 a 2 |za || |≥ a. Tương tự ||z | bb| Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z: z.z(() a bi) a bi a22b ⇒ z.zz| |2 |z | | z | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 10
11. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- |zz | | | z1 z 1 z 2 zz12 2 z2 zz22 ||z2 63i Ví dụ:Tính 10 8i Bài giải 2 z16 3,i z 2 10 8, i z 2 10 8,| i z | 164 6 3i (6 3 i )(10 8 i ) 60 48 i 30 i 24 i2 21 9 i 10 8i 164 164 41 82 Tính chất của Môđun số phức |z | 0 z 0 | z1z 2| | z 1 ||| z 2 zz|| 11 zz22|| Thật vậy: |0z | a22 b0 a b 0 z 0 2 |z1 z 2 | ( z 1 z 2 )( z 1 z 2 ) (z z )( z z ) 1 2 1 2 z1 z 1 z 2 z 2 22 |zz12 | | | 2 2 2 |z1 z 2 | | z 1 | | z 2 | | z 1 z 2 | | z 1 || z 2 | Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 11
12. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2.3 Bất đẳng thức tam giác Mối quan hệ giữa Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức: | z1zz 2| |z 1 || 2 | Chứng minh 2 | z1z 2| ( z 1 z 2 )( z 1z 2) ( z 1 z 2 )( z 1 z 2 ) 2 ⇒ | z1z 2| z 1 z 1 z 1z 2 z 2 z 1 z 2 z 2 Lưu ý rằng z2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1Nên z12211212zzzzzzz2 ezz ( 12 )2| zz 12 |2| z 12 ||zz |2| z 12 || | 22 z1z 1| z 1 | ; z 2zz 2 | 2 | 2 ||z1 z 2 z 1 z 1 z 1 z 2 z 2 z 1 z 2 z 2 |z |22zz z z | z | 1 1 2 2 1 2 22 |zz1 |2 |zz 1 || 2 | |2 | 2 (| z12| |z |) Nên | z1zz 2| |z 1 || 2 | | z1| |z 1 z 2 z 2 | |z1 z 2 | | z 2 | (giả sử | z12||| z ,| z12||| z luôn |z1 z 2 | | z 2 | | z 1 z 2 | | z 1 | | z 2 | 0 đúng) Tương tự Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 12
13. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- |z12 z ||||| z2 z1 (||||)0 z12 z (giả sử | z12||| z ,| z12||| z luôn đúng) Do đó |z1 z2 | || z1 | | z2 || Bây giờ thay z2 bởi –z2, ta có | z z| | z | || z 1 2 1 2 | z1z 2| || z 1 | | z 2 || 3.Dạng lượng giác và dạng mũ 3.1 Biểu diễn hình học của số phức Xét mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc Vectơ có tọa độ (a;b) Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức. Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 13
14. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 3.2 Dạng lượng giác Xét số phức z=a+bi≠ 0, M(a;b) trong mặt phẳng phức. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM gọi là một acgumen của z. Cho z=a+bi≠ 0 arcos |z|=r>0, θ là acgumen của z. Khi đó brsin z a bi r(cos isin ) : dạng lượng giác của số phức. Lưu ý rz|| z a bi, a 0 : b , θ sai khác k2π, thường chọn –π<θ≤ π tan a a=0, chọn . 2 Vi dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác (a) z 1 3i (b) z= -9 (c) z=12i Bài giải Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 14
15. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- (a) r=|z|= 1 3 2 32 22 , tan ⇒ z 2(cosi sin ) 13 3 3 Không được viết: z 2( cosi sin ): dấu trừ trước côsin! 3 3 Cũng như z 2(cosi sin ) : r<0! 3 3 r 81 0 9 (b) ⇒ z 9(cos isni) r 144 0 12 (c) ⇒ z 12(cosi sin ) 2 2 2 3.3 Dạng mũ của số phức Công thức Euler ei cosi sin . Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ: z r(cosi sin ) rei Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi : ||z | rei | |r || cos i sin | r 2 0 cos 2 sin 2 r 1 1 Với z≠ 0, z 1()rei 1 r 1 e i e i ( ) ⇒ z 1 [cos( )i sin( )] r r i1 i2 i() 1 2 z121zrere( )(2 ) rre 12 zzrr 1212[ cos( 12 ) i sin(12 )] z rei 1 r zr 1 1 1 ei()12 11[cos( )iz sin( )], 0 i 2 1 2 1 2 2 z2 r 2 e r 2 zr22 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 15
16. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- Lưu ý acgumen( z1z 2) acgumenz 1 acgumenz 2 z1 acgumen acgumenz12 acgumenz z2 ii1 2 z11re, z22 r e . rr21 z12zk()Z 212k 4.Lũy thừa và khai căn 4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương Cho z là số phức có |z|=r, θ là một acgumen của z. Tức là z rei . zn()re i n r n e in [r (cos i sin )]nn r (cos n i sin n ) :công thức Moa-vrơ(Moivre) Ví dụ: Tính (3 3i )5 Bài giải 3 r 9 9 3 2 , tan , chọn 3 4 55 (3 3i)5[3 2(cosii sin )] 5 (3 2) 5 (cos sin ) 4 4 4 4 22 972 2(ii ) 972 972 22 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 16
17. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 4.2 Căn bậc n của số phức Khi r=1, ta có (cosi sin )n cos n i sin n . Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho z n 1. Giả sử nghiệm z rei(re i ) n 1 r n e in 1 e i 0 r 1 r n 1 Nên ⇒ 2k . k∈ ℤ nk02 n Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt 2 k i 22kk e n cosi sin , k 0,1,2 , n 1 . nn Ví dụ: Giải phương trình (a) z 2 1 (b) z3 1 (c) z 4 1 Bài giải 2 k i 2 ik (a) Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số k ee,k 0;1 0 0 e 1. i 1 e cosi sin 1 2 k i 3 (b) Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số k e ,k 0;1;2 0 0 e 1 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 17
18. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2 i 2 2 1 3 e 3 cosi sin i 1 3 3 2 2 4 i 4 4 1 3 e 3 cosi sin i 2 3 3 2 2 2 kk ii 4 2 (c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số k ee,k 0;1;2;3 0 0 e 1 i e 2 cosi sin i 1 22 i 2 2 i 2 ()eecosi sin 1 3 i i 33 ()e 2 3 e 2 cosi sin i 3 22 Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy 2 k i n Các căn bậc n của đơn vị là k en,k 0;1;2; ; 1 2 i k n11 n n kk0 1 , ( e ) 1 n 0 , ( niei2 cos2 sin2 1) 1 Xét căn bậc n (n∈ N, n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm phương trình zn w. Giả sử R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là w Rei r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là zrei (rei) nRe i r n e ni Re i Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 18
19. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2 k suy ra r n R, , k∈ ℤ . n Vậy căn bậc n của w Rei là n số phân biệt: 2 k i() 22kk aRnnenn R[cos( ) i sin( )] , k=0,1,2 n-1. k n n n n Ví dụ: Tìm (a) Căn bậc hai của 2i (b) Căn bậc ba của 3 i Bài giải i ik() 2 4 (a) 22ie. Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: ak 2e , k=0,1 i a 2e4 2(cos i sin ) 1 i 0 44 5 ii() 55 a 2e44 2 e 2(cos i sin ) 1 i . 1 44 i() (b) 3 ie2 6 . Có 3 giá trị căn bậc ba là: 2 k i() 3 18 3 ak 2e , k=0,1,2 i() a 3 2ei18 3 2[cos( ) sin( )] 1,24078 0,21878i 0 18 18 2 11 ii() 11 11 a 32e183 3 2 e 18 3 2(cos i sin ) 0,43092 1,18394 i 1 18 18 Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 19
20. Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 2 2 23 ii() 23 23 a 32e183 3 2 e 18 3 2(cos i sin ) 0,80986 0,96516 i 2 18 18 Lưu ý . Với w≠ 0, các căn bậc n (n≥ 3) của w biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính n R, R | w |. HẾT Mời đọc: Bài tập số phức Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 20