Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 7: Số vô tỉ khái niệm về căn bậc hai, số thực

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 7: Số vô tỉ khái niệm về căn bậc hai, số thực

1. Chuyên đề 7. SỐ VÔ TỈ KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI. SỐ THỰC A. Kiến thức cần nhớ 1. Số vô tỉ. Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là I. 2. Khái niệm về căn bậc hai Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 a * Số dương a có đứng hai căn bậc hai, một số dương kí hiệu là a và một số âm kí hiệu là a. * Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0, cũng biết 0 0. 3. Số thực * Số vô tỉ và số hữu tỉ gọi chung là số thực. * Tập hợp các số thực kí hiệu là R. * Cách so sánh hai số thực tương tự như so sánh hai số hữu tỉ viết dưới dạng số thập phân. * Trong tập hợp các số thực cũng có các phép toán với các tính chất tương tự như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính và so sánh: a) 4.9 và 4. 9; b) 9.36 và 9. 36. c) 25.81 và 25. 81. d) 0,64.0,25 và 0,64. 0,25. Giải  Tìm cách giải. Để tính a.b ta thực hiện phép nhân a.b trước, sau đó mới khai căn kết quả. Để tính a. b ta tính a và b sau đó nhân kết quả với nhau.  Trình bày lời giải a) Ta có: 9.4 36 6 và 9. 4 3.2 5 Suy ra 9.4 4.9. b) Kết quả 9.36 9. 36 18. c) Kết quả 25.81 25. 81 45. d) Kết quả 0,64.0,25 0,64. 0,25 0,4 Từ đó ta có thể dự đoán một công thức: a.b a. b với a 0;b 0 . Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: 25 1 4 25 2 1 a) 36. . b) : 1 . c) 0,1. 225. . 16 4 81 81 5 4 Trang 1
2. Giải  Tìm cách giải. Thực hiện phép tính chứa căn bậc hai và phép tính cộng, trừ, nhân, chia, chúng ta thực hiện theo thứ tự phép tính: khai căn bậc hai trước, sau đó nhân, chia cuối cùng là cộng trừ.  Trình bày lời giải 25 1 5 1 30 1 31 a) 36. 6 . 16 4 4 4 4 4 4 4 25 2 2 5 7 2 7 b) : 1 : 1. 81 81 5 9 9 5 5 5 1 1 c) 0,1. 225. 0,1.15. 0,75. 4 2 2 Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức: A 27 7 x 2002x, biết x 2 . Giải x 2 x 2. - Nếu x 2 thì A 27 7.2 2020.2 4027. - Nếu x 2 thì A 27 7.2 2020( 2) 2033. Ví dụ 4: Tìm x, biết: 81 13 1 a) 1,69. 2 . b) 3 2 2 . 2 2 . 2 9 0. x x x x 121 10 0,18 3 1 2 4 4 5 c) . . d) 2 5 . 3 2 . 0. x x x x 5 20 3 5 3 4 Giải  Tìm cách giải. Những bài tìm x chứa căn bậc hai, chúng ta lưu ý kiến thức sau: thì x m ( m 0) x m2 . x2 m (n 0) thì x n.  Trình bày lời giải. 9 a) 1,3. 2 x 1,3 11 9 2 x 1 11 2 1 1 2 x x x . 11 11 121 2 2 1 2 b) 3x 2 . 2x . x 9 0. 0,18 Trang 2
3. 2 2 + Trường hợp 1: Xét: 3x2 2 0 3x2 2 x2 x . 3 3 1 1 1 1 5 + Trường hợp 2: Xét: 2x2 0 2x2 x2 x . 0,18 0,18 0,36 0,6 3 2 2 5 5  Vậy x ; ; ; . 3 3 3 3 3 1 4 2 22 c) x 5 20 5 3 15 3 1 22 3 91 91 8281 + Trường hợp 1: Xét: x x x x . 5 20 15 5 60 36 1296 3 1 22 3 17 + Trường hợp 2: Xét: x x Không tồn tại x. 5 20 15 5 12 8281 Vậy x . 1296 4 5 d) x2 5 0 hoặc 3x2 0 hoặc x 0. 3 4 Xét x2 5 0 x2 5 x 5. 4 4 2 Xét 3x2 0 x2 x . 3 9 3 5 5 5 Xét x 0 x x . 4 16 16 2 2 5 5  Vậy x 5; 5; ; ; ; . 3 3 16 16  Ví dụ 5: Không dùng bảng số hoặc máy tính, hãy so sánh: a) 26 17 với 9. b) 8 5 với 1. c) 63 27 với 63 27. Giải  Tìm cách giải: Khi so sánh các biểu thức chứa căn bậc hai, mà không dùng máy tính, chúng ta vận dụng tính chất: a b 0 a b. a b, x y a x b y.  Trình bày lời giải. a) Ta có: 26 25 5; 17 15 4. 26 17 5 4. 26 17 9. b) 8 9 3; 5 4 2 8 5 3 2 hay 8 5 1. Trang 3
4. c) Ta có: 63 27 36 6 63 27 64 25 8 5 3 63 27 63 27. Ví dụ 6:Cho A 2019 2x 3;B 21 10 x 2. Hãy tìm: a) Giá trị nhỏ nhất của A. b) Giá trị lớn nhất của B. Giải  Tìm lời giải. Chúng ta lưu ý: A 0 với mọi A 0. Đẳng thức xảy ra khi A 0.  Trình bày lời giải. a) Ta có: A 2019 2x 3 2019. Dấu bằng xảy ra khi x 1,5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2019 khi x 1,5. b) Ta có: B 21 10 x 2 21. Dấu bằng xảy ra khi x 2. Vậy giá trị lớn nhất của B là 21 khi x 2. Ví dụ 7: Tính tổng các chữ số của a biết rằng: a 99 96 . 2020 ch÷ sè Giải 2 Ta có: a 99 96 99 96 99 96 2020 2020 2020 a 100. 0 4 99 96 99 9600  0 4 99 96 2020 2020 2020 2021 2020 a 99 960 0 0 399. 9996 2020 2020 2020 a 99 9560. 004 2020 2020 Vậy tổng các chữ số a là: 2020.9 5 6 4 18195 Ví dụ 8: Chứng minh rằng 2 là một số vô tỉ Giải  Tìm lời giải. Một số thực chỉ có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỉ. Do vậy để chứng minh 2 là số vô tỉ, chúng ta nên dùng phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Bước 1: Phủ định kết luận. Giả sử 2 là số hữu tỷ. Bước 2: Lập luận logic, suy ra mâu thuẫn với một điều đã biết, một tính chất hiển nhiên. Bước 3: Vậy giả sử là sai. Suy ra kết luận là đúng.  Trình bày lời giải. m Giả sử 2 là một số hữu tỉ, như vậy 2 có thể viết 2 . Với m,n N* và ƯCLN (m,n) 1. n Khi đó m n. 2 m2 2n2 . Do đó m2 2 m2 (1) Trang 4
5. Đặt m 2k (k N* ) . Thay vào, ta có: (2k)2 2n2 . n2 2k2 n2 2 n2 (2) Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 2 trái với ƯCLN (m,n) 1. Vì vậy 2 không thể là số hữu tỉ, do đó 2 là số vô tỉ. C. Bài tập vận dụng 7.1 Thực hiện phép tính: a) A 64 81 ( 7)2 . b) B 121 ( 5)2 16. 7.2 Thực hiện phép tính: 2 7 9 a) A 2,25 4 ( 2,15)2 3. . 1 . 6 16 5 361 3 8 2.10 b) B 6 . . ( 10) 30. . 10 2 5 2 25 2 c) 64 2. ( 3)2 7. 1,69 3 : 5 C 16 3 10 1,21 22 0,25 5 225 7.3 Thực hiện phép tính: : . B 7 3 49 9 810 410 7.4 Thực hiện phép tính: A 84 411 7.5 So sánh: a) 0,04 0,25 và 0,01 5 0,36 4 9 9 b) 0,5 100 và 1 : 5 x 25 16 16 7.6 So sánh: a) 17 và 4. b) 63 và 8. c) 13 17 và 13 17. 7.7 Tính giá trị biểu thức: B x2 y2 x2 với x 7, y 6,z 2. 7.8 Tìm x biết: a) 7 x ( 5)2 . b) 2020 : x 2 1 2 3 2 1. 22,09 1 9 c) x . d) x 81 52 32 . 5 10 25 1 2 25 e) x . 3 3 36 Trang 5
6. 1 1 7.9 Hãy so sánh A với B biết: A 225 1; B 196 5 6 1 7.10 Cho P x; Q 7 2 x 1. Hãy tìm: 2 a) Giá trị nhỏ nhất của P. b) Giá trị lớn nhất của Q. x 1 7.11 Cho M . Tìm x Z và x 50 để cho M có giá trị nguyên. 2 9 7.12 Cho N . Tìm x Z để N có giá trị nguyên. x 5 7.13 Chứng minh rằng: 1 2 3 9 12 5 5. 7.14 Chứng tỏ rằng: 3 là một số vô tỉ. 7.15 Tìm x, biết; a) x2 4. b) x2 6. c) x2 5 (với x 0) . d) x2 8 (với x 0). e) (x 5)2 5. f)(x 8)2 8. g) (x 3)2 6. h) (2x 5)2 7. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 7.1 a) A 8 9 7 10. b) B 11 5 4 12. 7 25 7.2 a) A 1,5 4.2,15 9 . 6 16 5 A  1,5 8,6 10,5. 4 5 17 A ( 3,4). . 4 4 19 3 19 3 b) . .104 30.2.102 .103. .10 3.2 19.(15 6) 171. B 3 3 10 2 10 2 5 2 50 c) C 8 2.3 7.1,3 3 : 25. (8 6 9,1 3,75) : 4 3 3 3 C 8,65. 0.519 50 10.1,1 22.0,5 5 15 11 11 5 5 7.3 B : : 7 3 7 9 7 3 7 3 1 1 1 1 11 B 11 : 5 7 3 7 3 5 230 220 220.(210 1) 7.4 A 28 24 16 212 222 212 (1 210 ) Trang 6
7. 7.5 a) Ta có: 0,04 0,25 0,2 0,5 0,7 0,01 5. 0,36 0,01 5.0,6 3,01. Suy ra 0,04 0,25 0,01 5. 0,36. 4 2 2 23 b) Ta có 0,5. 100 0,5.10 5 . 5 5 5 5 9 9 25 9 1 5 3 1 1 1 : 5 . . . 16 16 16 16 5 4 4 5 10 4 9 9 Suy ra 0,5 100 1 : 5 5 16 16 7.6 a) 17 16 4. b) 63 64 8. c) 13 17 30 36 6. 13 17 9 16 3 4 7 Suy ra: 13 17 13 17 7.7 Thay x 7, y 6,z 2 vào biểu thức ta được; B 72 62 22 49 36 4 81 9 7.8 a) 7 x 5 x 2. b) 2020 : x 2 3 2020 : x 5 x 404. 4,7 0,3 c) x x 1. 5 5 d) x 9 4 x 5. 1 2 5 2 1 3 e) .x , x x . 3 3 6 3 2 4 1 1 7.9 Ta có: A 15 1 14 5 5 1 1 1 1 1 B 14 mà 5 6 A 14 B 14 A B 6 5 6 5 6 1 1 7.10 a) Ta có: P x 2 2 1 Dấu bằng xảy ra khi x 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi x 0. 2 b) Ta có: Q 7 2 x 1 7. Dấu bằng xảy ra khi x 1. Vậy giá trị lớn nhất của Q là 7 khi x 1. 7.11 M có giá trị nguyên x 12 hay x 1 là số chính phương chẵn. Mà x 50 nên x 1 49 suy ra x 1 0;4;16;36 x 1;5;17;37 Trang 7
8. Vậy với x 1;5;17;37 thì M có giá trị là số nguyên. 7.12 x 5 Ư (9) mà Ư (9) 1;3;9; 1; 3; 9 Suy ra bảng giá trị: x 5 1 3 9 - 1 - 3 - 9 x 6 8 14 4 2 -4 x 36 64 196 16 4  Vậy với x 36;64;196;16;4 thì N có giá trị nguyên. 7.13 Ta có: 2 3 4 2 2 2 6. 5 6 7 8 9 3 3 3 3 3 15. Từ đó suy ra: 1 2 3 9 1 6 15 22. Mà 12 5 5 12 5.2 22. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. m 7.14 Giả sử 3 là số hữu tỷ, suy ra 3 với m,n N* và ƯCLN (m,n) 1 n m2 Suy ra: 3 m2 3.n2 m3 . Đặt m 3k (k N* ) (1) n2 Suy ra 9k2 3n2 n2 3k2 n3 (2) Từ (1) và (2) suy ra m và n cùng chia hết cho 3 trái với ƯCLN (m,n) 1 . Vì vậy 3 không thể là số hữu tỷ, do đó 3 là số vô tỉ. 7.15 Đáp số: a) x 2. b) x 6. c) x 5. d) x 8. e) x 5 5. f) x 8 8. 7 5 g) x 6 3. h) x . 2 Trang 8