Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

Nội dung text: Chuyên đề ôn tập Toán 7 - Chuyên đề 3: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. cộng, trừ, nhân, chia số thập phân

1. Chuyờn đề 3. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN A. Kiến thức cần nhớ 1. Giỏ trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kớ hiệu x là khoảng cỏch từ điểm x tới điểm 0 trờn trục số. ùỡ x nếu x ³ 0 Ta cú: x = ớù ợù - x nếu x 0 thỡ A = m hoặc A = - m . A = 0 thỡ A = 0. A = m < 0 thỡ khụng tồn tại.  Trỡnh bày lời giải a) 1,74- 3,5- x = 1,24 Û 3,5- x = 0,5 suy ra 3,5- x = 0,5 hoặc 3,5- x = - 0,5 do đú x ẻ {3;4} . b) 2x - 5 - 0,12 = 1,88 Û 2x - 5 = 2 Û 2x - 5 = 2 hoặc 2x - 5 = - 2 . ùỡ 7 3ùỹ Vậy x ẻ ớù ;- ýù ợù 2 2ỵù c) 3,54x - 2 = - 1,6 < 0 suy ra khụng tồn tại x. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 d) x + - = Û x + - = hoặc x + - = - 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 31 1 2 1 Û x + = hoặc x + = . 2 3 20 2 3 20 Trang 1
2. 1 2 31 1 2 31 1 2 31 - Trường hợp 1. x + = Û x + = hoặc x + = - 2 3 20 2 3 20 2 3 20 53 - 133 x = hoặc x = 30 30 1 2 1 1 2 1 1 2 1 - Trường hợp 2. x + = Û x + = hoặc x + = - 2 3 20 2 3 20 2 3 20 37 43 x = - x = - 30 30 ùỡ 53 - 133 - 43 - 37ùỹ Vậy x ẻ ớù ; ; ; ýù . ợù 30 30 30 30 ỵù Vớ dụ 2. Tỡm x; y; z thỏa món: 2 5 1 1 a) 3x + 9 + 5y- 7 = 0 ; b) x - 1 + 4y + + 3 - .z = 0 3 6 4 2 Giải  Tỡm cỏch giải. Khi tỡm x;y mà tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối bằng 0 ta lưu ý: A + B = 0 thỡ A = 0 và B = 0 .  Trỡnh bày lời giải a) Ta cú 3x + 9 ³ 0; 5y- 7 ³ 0 nờn từ 3x + 9 + 5y- 7 = 0 suy ra 3x + 9 = 0 và 5y- 7 = 0 ị 3x + 9 = 0 và 5y- 7 = 0 7 suy ra x = - 3;y = . 5 2 5 1 1 b) Ta cú x - 1 ³ 0; 4y + ³ 0; 3 - .z ³ 0 ; 3 6 4 2 2 5 1 1 nờn từ x - 1 + 4y + + 3 - .z = 0 3 6 4 2 2 5 1 1 suy ra x - 1 = 0; 4y + = 0; 3 - .z = 0 3 6 4 2 2 5 1 do đú: x = 1 ;y = - ;z = 6 . 3 24 2 Vớ dụ 3. Tỡm x , biết: 1 2 3 2020 x + + x + + x + + + x + = 2021x 2021 2021 2021 2021 Giải Trang 2
3.  Tỡm cỏch giải. Đối với dạng toỏn A(x) + B(x) + + C(x) = D(x) (1), chỳng ta nhận thấy rằng vế trỏi là tổng cỏc giỏ trị tuyệt đối. Do vậy cú điều kiện: D(x)³ 0 từ đú chỳng ta bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối. Khi đú (1) trở thành: A(x)+ B(x)+ + C(x)= D(x) . Và lời giải trở nờn đơn giản.  Trỡnh bày lời giải. Điều kiện x ³ 0 suy ra: 1 2 3 2020 x + + x + + x + + + x + = 2021x 2021 2021 2021 2021 1+ 2 + 3+ 2020 Û 2020x + = 2021x 2021 2020.2021 Û 2020x + = 2021x Û x = 1010 2.2021 Vớ dụ 4. Tỡm x , biết: 1 2 3 5 1 5 7 8 a) x + = x + ; b) x + - x - = 0 2 3 4 6 2 6 8 9 Giải  Tỡm cỏch giải. Chỳng ta biết rằng hai số bằng nhau hoặc đối nhau thỡ cú giỏ trị tuyệt đối bằng nhau và ngược lại. Do vậy giải dạng toỏn này, chỳng ta lưu ý: A = B Û A = B hoặc A = - B .  Trỡnh bày lời giải. 1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5 a) x + = x + Û x + = x + hoặc x + = - x - 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 1 2 3 5 1 3 5 2 - Trường hợp 1. Giải x + = x + Û x - x = - 2 3 4 6 2 4 6 3 - 1 1 2 Û x = Û x = - 4 6 3 - Trường hợp 2. Giải: 1 2 3 5 1 3 5 2 5 - 3 6 x + = - x - Û x + x = - - Û x = Û x = - 2 3 4 6 2 4 6 3 4 2 5 ùỡ 2 - 6ùỹ Vậy x ẻ ớù - ; ýù ợù 3 5 ỵù 1 5 7 8 1 5 7 8 1 5 7 8 b) x + - x - = 0 Û x + = x - Û x + = x - 2 6 8 9 2 6 8 9 2 6 8 9 1 5 7 8 hoặc x + = - x + 2 6 8 9 1 5 7 8 - Trường hợp 1. Giải x + = x - 2 6 8 9 Trang 3
4. 1 7 8 5 - 3 - 31 124 Û x - x = - - Û x = Û x = 2 8 9 6 8 18 27 - Trường hợp 2. Giải: 1 5 7 8 1 7 8 5 x + = - x + Û x + x = - 2 6 8 9 2 8 9 6 11 1 4 Û x = Û x = 8 18 99 ùỡ 124 4 ùỹ Vậy x ẻ ớù ; ýù ợù 27 99ỵù Vớ dụ 5. Tỡm x biết: a) 3x - 5 + 3x + 1 = 6 ; b) x + 1 + 2x - 3 = 3x - 2 ; Giải  Tỡm cỏch giải. Để giải dạng toỏn tổng giỏ trị tuyệt đối, chỳng ta cú thể: Hướng 1. Xột dấu, bỏ dấu giỏ trị tuyệt đối. Hướng 2. Vận dụng bất đẳng thức A ³ A , dấu bằng xảy ra khi A ³ 0 . Hướng 3. Vận dụng bất đẳng thức A + B ³ A+ B , dấu bằng xảy ra khi AB ³ 0 .  Trỡnh bày lời giải. a) Ta cú: 3x - 5 = 5- 3x ³ 5- 3x; 3x + 1 ³ 3x + 1 nờn 3x - 5 + 3x + 1 ³ 5- 3x + 3x + 1= 6 5 1 Do vậy dấu bằng chỉ xảy ra khi 5- 3x ³ 0 và 3x + 1³ 0 Û x Ê ;x ³ - . 3 3 1 5 Vậy - Ê x Ê . 3 3 b) Ta cú: x + 1 + 2x - 3 ³ x + 1+ 2x - 3 = 3x - 2 . Dấu bằng chỉ xảy ra khi 3 (x + 1)(2x - 3)³ 0 Û x Ê - 1 hoặc x ³ . 2 Vớ dụ 6. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x - 2019 + x - 2020 + y- 2021 + x - 2022 + 2016 Giải Ta cú: x - 2019 ³ x - 2019, x - 2022 = 2022- x ³ 2022- x Suy ra x - 2019 + 2022- x ³ x - 2019+ 2022- x = 3 Mặt khỏc, ta cú: x - 2020 ³ 0; y- 2021 ³ 0 Suy ra: A ³ 2016 + 3 = 2019 Trang 4
5. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2019 khi x = 2020;y = 2021 Vớ dụ 7. Thực hiện phộp tớnh một cỏch hợp lớ. 3 3 - + + 0,375 0,3 1,5+ 1- 0,75 A = 11 12 + ; 5 5 5 - 0,625+ 0,5- - 2,5+ - 1,25 11 12 3 1 1 1 1 - - - + 0,25 0,2 6 B = 3 7 13 ´ 3 + 2 2 2 1 - - 1 - 0,875+ 0,7 7 3 7 13 6 Giải  Tỡm cỏch giải. Khi thực hiện cỏc phộp tớnh cú biểu thức chứa cỏc số thập phõn và phõn số, ta nờn viết chỳng dưới dạng phõn số rồi thực hiện cỏc phộp tớnh. Quan sỏt kĩ sau khi viết dưới dạng phõn số, ta thấy cú những phần giống nhau cả số và dấu vỡ vậy ta nờn vận dụng tớnh chất phõn phối k k k ổ1 1 1ử + + = k.ỗ + + ữ để rỳt gọn. a b c ốỗa b cứữ  Trỡnh bày lời giải 3 3 3 3 3 3 3 - + + + - A = 8 10 11 12 + 2 3 4 - 5 5 5 5 5 5 5 + - - + - 8 10 11 12 2 3 4 ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1ử 3ỗ - + + ữ 3ỗ + - ữ ốỗ8 10 11 12ứữ ốỗ2 3 4ứữ A = + ổ1 1 1 1 ử ổ1 1 1ử - 5ỗ - + + ữ 5ỗ + - ữ ốỗ8 10 11 12ứữ ốỗ2 3 4ữứ - 3 3 A = + = 0 5 5 ổ1 1 1 ử 1 1 1 1ỗ - - ữ - + ốỗ3 7 13ứữ 6 B = ´ 3 4 5 + ổ1 1 1 ử 7 7 7 7 2ỗ - - ữ - + ốỗ3 7 13ứữ 6 8 10 ổ1 1 1 ử 2ỗ - + ữ 1 ốỗ6 8 10ứữ 6 1 6 B = ´ + = + = 1 2 ổ1 1 1 ử 7 7 7 7ỗ - + ữ ốỗ6 8 10ứữ Vớ dụ 8. Tớnh bằng cỏch hợp lớ: ộ ự ộ ự a) (- 4,135)+ ở(- 21,5)+ (+ 4,135)ỷ ; b) (+ 45,13)+ ở(+ 7,87)+ (- 2110)ỷ ; Giải Trang 5
6.  Tỡm cỏch giải. Tớnh tổng cỏc số thập phõn ta cú thể vận dụng tớnh chất giao hoỏn và kết hợp để tớnh hợp lớ hơn.  Trỡnh bày lời giải a) (- 4,135)+ (+ 4,135)+ (- 21,5)= - 21,5 ; b) (+ 45,13)+ (+ 7,87)+ (- 2110)= 53+ (- 2110)= - 2057 C. Bài tập vận dụng 3.1. Tỡm x , biết: 9 1 11 3 1 7 a) 6,5- : x + = 2 ; b) + : 4x - = ; 4 3 4 2 5 2 15 3 1 21 x 2 c) - 2,5: x + = 3 ; d) + 3: - = 6 . 4 4 2 5 4 3 3.2. Tỡm x , biết: 1 3 1 a) 2x - 1 + = ; b) x2 + 3 x - = x2 + 3 . 2 4 2 3.3. Tỡm x , biết: 3 1 5 7 5 3 a) x + = 4x - 1 ; c) x - - x + = 0 ; 2 2 4 2 8 5 7 1 4 1 7 5 1 b) x + = x - ; d) x + - x + 5 = 0 . 5 2 3 4 8 6 2 3.4. Tỡm x, y thỏa món: 2 2 2 1 3 3 3 a) 5- x + y- 4 = 0 ; b) - + x + 1,5- - y = 0 3 3 3 2 4 4 2 21 c) x - 2020 + y- 2021 = 0 d) x - y + y + = 0 10 3.5. Tỡm x , biết: 1 1 1 1 a) x + + x + + x + + + x + = 2020x ; 1.2 2.3 3.4 2019.2020 1 1 1 1 b) x + + x + + x + + + x + = 100x ; 1.3 3.5 5.7 197.199 1 1 1 1 1 c) x + + x + + x + + x + + + x + = 11x . 2 6 12 20 110 3.6. Tỡm cặp số nguyờn (x, y) thỏa món: a) x + 4 + y- 2 = 3 ; b) 2x + 1 + y- 1 = 4 . c) 3x + y + 5 = 5 ; d) 5x + 2y + 3 = 7 . Trang 6
7. 3.7. Tỡm x , biết: 2 3 1 a) x + 5 + 4- x = 9 ; b) x - + x - = ; 3 4 12 c) 2 x - 3 + 2x + 5 = 11 ; d) x - 3 + 5- x + 2 x - 4 = 2 . 3.8. Tỡm cặp (x, y) thỏa món: x - 1 + x - 2 + y- 3 + x - 4 = 3 . 3.9. Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x, y) thỏa món: a) (2- x)(x + 1)= y + 1 ; b) (x + 3)(1- x)= y ; c) (x - 2)(5- x)= 2y + 1 + 2 . 3.10. Tỡm cỏc cặp số nguyờn (x, y) thỏa món: 12 10 a) x - 5 + 1- x = ; b) x - 2y- 1 + 5 = ; y + 1 + 3 y- 4 + 2 16 6 c) x + 3 + x - 1 = ; d) x - 1 + 3- x = . y- 2 + y + 2 y + 3 + 3 3.11. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 5 21 a) A = + - x ; b) B = x + - ; 3 4 6 10 11 9 9 73 c) C = + - x ; d) D = 3x + - ; 12 10 10 79 15 21 e) E = 4x - 3 + 5y + + 16 10 3.12. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x - 2019 + x - 2020 + x - 2021 3.13. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 1000 + 2x - 2020 với x là số nguyờn. ổ 1 ử 5 ỗ0,34- ữ: ốỗ 25ứữ 2 ổ- 4ử 3.14. Thực hiện phộp tớnh: A = - (1,2.0,35):ỗ ữ . ổ4 ử ốỗ 5 ứữ 0,8 :ỗ .1,25ữ ốỗ5 ứữ 3.15. Thực hiện phộp tớnh a) 7,3.10,5+ 7,3.15+ 2,7.10,5+ 15.2,7 ; b) 5,4- 1,5- (7,2- 1) . 3.16. Tỡm x , biết: ổ 2ử 3 1 7 3 a) ỗx + ữ- = - - ; ốỗ 3ứữ 5 2 10 4 5 ổ3 7 ử 1 1 b) - ỗ + - xữ= 10- - . 6 ốỗ4 8 ứữ 3 2 Trang 7
8. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 9 1 9 1 1 1 3.1. a) 6,5- : x + = 2 Û : x + = 4,5 Û x + = 4 3 4 3 3 2 ộ 1 1 ộ 1 ờx + = ờx = ờ 3 2 ờ 6 Û ờ Û ờ ờ 1 1 ờ 5 ờx + = - ờx = - ởờ 3 2 ởờ 6 ùỡ 1 5ùỹ Vậy x ẻ ớù ;- ýù ợù 6 6ỵù 11 3 1 7 3 1 3 1 b) + : 4x - = Û : 4x - = Û 4x - = 2 4 2 5 2 2 5 4 5 ộ 1 ộ 11 ờ4x - = 2 ờx = ờ 5 ờ 20 Û ờ Û ờ ờ 1 ờ 9 ờ4x - = - 2 ờx = - ởờ 5 ởờ 20 ùỡ 11 9 ùỹ Vậy x ẻ ớù ;- ýù ợù 20 20ỵù 15 3 1 3 1 3 3 1 10 c) - 2,5: x + = 3 Û 2,5: x + = Û x + = 4 4 2 4 2 4 4 2 3 ộ3 1 10 ộ3 17 ộ 34 ờ x + = ờ x = ờx = ờ4 2 3 ờ4 6 ờ 9 Û ờ Û ờ Û ờ ờ3 1 10 ờ3 23 ờ 46 ờ x + = - ờ x = - ờx = - ởờ4 2 3 ởờ4 6 ởờ 9 ùỡ 34 46ùỹ Vậy x ẻ ớù ;- ýù ợù 9 9 ỵù ộx 2 5 ộx 7 ờ - = ờ = ộ 28 x 2 9 x 2 5 ờ4 3 3 ờ4 3 ờx = d) 3: - = Û - = Û ờ Û ờ Û ờ 3 4 3 5 4 3 3 ờx 2 5 ờx ờ ờ - = - ờ = - 1 ởờx = - 4 ởờ4 3 3 ởờ4 ùỡ 28 ùỹ Vậy x ẻ ớù ;- 4ýù ợù 3 ỵù 3.2. 1 3 1 3 1 a) 2x - 1 + = Û 2x - 1 + = (vỡ 2x - 1 + > 0 ) 2 4 2 4 2 Trang 8
9. ộ 1 ộ 5 ộ 5 ờ2x - 1= ờ2x = ờx = 1 ờ 4 ờ 4 ờ 8 Û 2x - 1 = Û ờ Û ờ Û ờ 4 ờ 1 ờ 3 ờ 3 ờ2x - 1= - ờ2x = ờx = ởờ 4 ởờ 4 ởờ 8 ùỡ 5 3ùỹ Vậy S = ớù ; ýù ợù 8 8ỵù 1 b) x2 + 3> 0 , nờn suy ra: x2 + 3 x - = x2 + 3 2 ộ 1 ộ 3 ờx - = 1 ờx = 1 1 ờ 2 ờ 2 Û 3 x - = 3 Û x - = 1 Û ờ Û ờ 2 2 ờ 1 ờ 1 ờx - = - 1 ờx = - ởờ 2 ởờ 2 ùỡ 3 1ùỹ Vậy S = ớù ;- ýù ợù 2 2ỵù 3.3. 3 1 a) x + = 4x - 1 2 2 3 1 3 1  Trường hợp 1. x + = 4x - 1 Û x - 4x = - 1- 2 2 2 2 5 3 3 Û - x = - Û x = 2 2 5 3 1  Trường hợp 2. x + = 1- 4x 2 2 11x 1 1 ùỡ 1 3ùỹ = Û x = . Vậy S = ớù ; ýù 2 2 11 ợù 11 5ỵù 7 2 4 1 b) x + = x - 5 3 3 4 7 1 2 1 7 2 1 1 Trường hợp 1. x + = x - Û x - x = - - 5 2 3 4 5 3 4 2 11 3 45 Û x = - Û x = - 5 4 44 7 1 1 2 7 2 1 1 Trường hợp 2. x + = - x Û x - x = - 5 2 4 3 5 3 4 2 31 1 15 x = - Û x = - 15 4 124 ùỡ 45 15 ùỹ Vậy S = ớù - ;- ýù ợù 44 124ỵù Trang 9
10. 5 7 5 3 5 7 5 3 c) x - - x + = 0 Û x - = x + 4 2 8 5 4 2 8 5 5 7 5 3 5 5 3 7 Trường hợp 1. x - = x + Û x - x = + 4 2 8 5 4 8 5 2 5 41 164 Û x = Û x = 8 10 25 5 7 5 3 5 5 3 7 Trường hợp 2. x - = - x - Û x + x = - + 4 2 8 5 4 8 5 2 15 29 116 Û x = Û x = 8 10 75 ùỡ 164 116ùỹ Vậy S = ớù ;- ýù ợù 25 75 ỵù 7 5 1 7 5 1 d) x + - x + 5 = 0 Û x + = x + 5 8 6 2 8 6 2 7 5 1 7 1 5 100 Trường hợp 1. x + = x + 5 Û x - x = 5- Û x = 8 6 2 8 2 6 9 7 5 1 7 1 5 280 Trường hợp 2. x + = - x - 5 Û x + x = - 5- Û x = - 8 6 2 8 2 6 66 ùỡ 100 280ùỹ Vậy S = ớù ;- ýù ợù 9 66 ỵù 3.4. 2 2 a) Vỡ 5- x ³ 0; y- 4 ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi: 3 3 2 2 2 2 15 5- x = 0; y- 4 = 0 Û x = 5, y = 4 Û x = , y = 6 3 3 3 3 2 ổ15 ử Vậy (x;y)= ỗ ;6ữ ốỗ 2 ứữ 2 1 3 3 3 1 3 3 3 b) - + x + 1,5- - y = 0 Û + x + - y = 0 3 2 4 4 2 6 4 4 2 1 3 3 3 Vỡ + x ³ 0, - y ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi: 6 4 4 2 1 3 3 3 3 1 3 3 + x = 0; - y = 0 Û x = - , y = 6 4 4 2 4 6 2 4 2 1 ổ 2 1ử Û x = - ;y = . Vậy (x;y)= ỗ- ; ữ 9 2 ốỗ 9 2ứữ c) Vỡ x - 2020 ³ 0, y- 2021 ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi: x - 2020 = 0;y- 2021= 0 Û x = 2020;y = 2021 Trang 10
11. Vậy (x;y)= (2020;2021) 21 d) Vỡ x - y ³ 0, y + ³ 0 nờn đẳng thức chỉ xảy ra khi: 10 ùỡ x - y = 0 ù 21 ớ 21 Û x = y = - ù y + = 0 10 ợù 10 ổ 21 21ử Vậy (x;y)= ỗ- ;- ữ ốỗ 10 10ứữ 3.5. a) Điều kiện x ³ 0 , suy ra: 1 1 1 1 x + + x + + x + + + x + = 2020x 1.2 2.3 3.4 2019.2020 ổ1 1 1 1 ử 2019x + ỗ + + + + ữ= 2020x ốỗ1.2 2.3 3.4 2019.2010ứữ ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 2019x + ỗ - + - + - + + - ữ= 2020x ốỗ1 2 2 3 3 4 2019 2020ứữ ổ 1 ử 2019x + ỗ1- ữ= 2020x ốỗ 2020ứữ 2019 x = (thỏa món điều kiện). 2020 b) Điều kiện x ³ 0 , suy ra: 1 1 1 1 x + + x + + x + + + x + = 100x 1.3 3.5 5.7 197.199 ổ1 1 1 1 ử 99x + ỗ + + + + ữ= 100x ốỗ1.3 3.5 5.7 197.199ữứ 1ổ1 1 1 1 1 1 1 1 ử 99x + ỗ - + - + - + + - ữ= 100x 2ốỗ1 3 3 5 5 7 197 199ứữ 1ổ 1 ử 99x + ỗ1- ữ= 100x 2ốỗ 199ứữ 99 99 99x + = 100x ị x = (thỏa món điều kiện). 199 199 1 1 1 c) Ta cú: x + ³ 0; x + ³ 0; ; x + ³ 0 ị 11x ³ 0 ị x ³ 0 2 6 110 1 1 1 1 Từ đú suy ra: x + + x + + x + + + x + = 11x 2 6 12 110 Trang 11
12. ổ1 1 1 1 ử (x + x + x + + x)+ ỗ + + + + ữ= 11x ốỗ2 6 12 110ứữ ổ1 1 1 1 ử 10x + ỗ + + + + ữ= 11x ốỗ1.2 2.3 3.4 10.11ứữ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 Suy ra: 1- + - + - + + - = x Û x = - = . 2 2 3 3 4 10 11 1 11 11 3.6. a) x + 4 + y- 2 = 3 ị 0 Ê x + 4 Ê 3; 0 Ê y- 2 Ê 3 suy ra bảng giỏ trị sau: x + 4 0 1 2 3 y- 2 3 2 1 0 Từ đú suy ra: x 4 -3; -5 -2; -6 -1; -7 y 5; -1 0; 4 3; 1 2 Vậy cặp số nguyờn (x;y) thỏa món là: {(4;5);(4;- 1);(- 3;0);(- 3;4);(- 5;0);(- 5;4);(- 2;3);(- 2;1);(- 6;3);(- 6;1);(- 1;2);(- 7;2)} b) 2x + 1 + y- 1 = 4 ị 0 Ê 2x + 1 Ê 4; 0 Ê y- 1 Ê 4 Mặt khỏc 2x + 1 là số lẻ nờn chỳng ta cú bảng sau: suy ra bảng giỏ trị sau: 2x + 1 1 3 y- 1 3 1 Từ đú suy ra: x 0; -1 1; -2 y 4; -2 2; 0 Vậy cặp số nguyờn (x;y) thỏa món là: {(0;4);(0;- 2);(- 1;4);(- 1;- 2);(1;2);(1;0);(- 2;0);(- 2;2)} c) 3x + y + 5 = 5 ị 0 Ê 3x Ê 5; 0 Ê y + 5 Ê 5 Mặt khỏc 3x chia hết cho 3, nờn chỳng ta cú bảng sau: Suy ra bảng giỏ trị sau: 3x 0 3 Trang 12
13. y + 5 5 2 Từ đú suy ra: x 0 1; -1 y 0; -10 -3; -7 Vậy cặp số nguyờn (x;y) thỏa món là: {(0;0);(0;- 10);(1;- 3);(1;- 7);(- 1;- 3);(- 1;- 7)} d) 5x + 2y + 3 = 7 ị 0 Ê 5x Ê 7; 0 Ê 2y + 3 Ê 7 Mặt khỏc 5x chia hết cho 5, nờn chỳng ta cú bảng sau: Suy ra bảng giỏ trị sau: 5x 0 5 2y + 3 7 2 (loại) Từ đú suy ra: x 0 y 2; -5 Vậy cặp số nguyờn (x;y) thỏa món là: {(0;2);(0;- 5)} 3.7. a) Ta cú: x + 5 ³ x + 5 và 4- x ³ 4- x nờn x + 5 + 4- x ³ x + 5+ 4- x = 9 Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi x + 5³ 0 và 4- x ³ 0 hay x ³ - 5;x Ê 4 Vậy - 5Ê x Ê 4 2 2 3 3 3 b) Ta cú x - ³ x - và x - = - x ³ - x 3 3 4 4 4 2 3 2 3 1 Suy ra x - + x - ³ x - + - x = 3 4 3 4 12 2 3 2 3 Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi x - ³ 0 và - x ³ 0 hay x ³ ;x Ê 3 4 3 4 2 3 Vậy Ê x Ê 3 4 c) Ta cú 2 x - 3 = 2x - 6 ³ 6- 2x; 2x + 5 ³ 2x + 5 nờn 2 x - 3 + 2x + 5 ³ 6- 2x + 2x + 5 = 11 5 Do vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi 6- 2x ³ 0 và 2x + 5³ 0 ị x Ê 3;x ³ - 2 Trang 13
14. 5 Vậy - Ê x Ê 3 2 d) x - 3 ³ x - 3; 5- x ³ 5- x;2 x - 4 ³ 0 ị x - 3 + 5- x + 2 x - 4 ³ x - 3+ 5- x + 0 = 2 Dấu bằng chỉ xảy ra khi x = 4 3.8. Ta cú: x - 1 + x - 4 = x - 1 + 4- x ³ x - 1+ 4- x = 3 Mặt khỏc: x - 2 ³ 0; y- 3 ³ 0 suy ra x - 1 + x - 2 + y- 3 + x - 4 ³ 3 Dấu bằng chỉ xảy ra khi x = 2;y = 3 3.9. a) Xột y + 1 = (2- x)(x + 1)> 0 , suy ra 2- x và x + 1 cựng dấu. + Trường hợp 1. Xột 2- x 2 và x 0 và x + 1> 0 x - 1ị x ẻ {0;1} +) Với x = 0 suy ra: y + 1 = 2 ị y = 1;y = - 3 +) Với x = 1 suy ra y + 1 = 2 ị y = 1;y = - 3 + Trường hợp 3. (2- x)(x + 1)= 0 ị x = 2;x = - 1ị y + 1 = 0 ị y = - 1 Từ đú ta cú cặp số nguyờn (x;y) sau thỏa món: (x;y)ẻ {(0;1);(0;- 3);(1;1);(1;- 3);(2;- 1);(- 1;- 1)} b) Xột y = (x + 3)(1- x)> 0 suy ra x + 3 và 1- x cựng dấu. + Trường hợp 1. +) Xột x + 3> 0 và 1- x > 0 ị - 3 1 vụ lý (loại) Xột y = (x + 3)(1- x)= 0 ị (x;y)ẻ {(- 3;0),(1;0)} Từ đú, ta cú cặp số nguyờn (x;y) sau thỏa món: Trang 14
15. {(- 2;3);(- 2;- 3);(- 1;4);(- 1;- 4);(0;3);(0;- 3);(- 3;0);(1;0)} c) 2y + 1 + 2 > 0 Û (x - 2)(5- x)> 0 suy ra x - 2 và 5- x cựng dấu. + Trường hợp 1. +) Xột x - 2 > 0 và 5- x > 0 ị 2 5 vụ lý (loại). Vậy khụng tồn tại cặp số nguyờn thỏa món. 3.10. a) Áp dụng a + b ³ a + b dấu bằng chỉ xảy ra khi ab ³ 0 ị x - 5 + 1- x ³ x - 5+ 1- x = 4 12 12 12 Mặt khỏc: Ê = 4 suy ra x - 5 + 1- x ³ 4 ³ y + 1 + 3 3 y + 1 + 3 Đẳng thức chỉ xảy ra khi (x - 5)(1- x)³ 0 và y + 1= 0;y = - 1 với x ẻ Z ị x ẻ {5;4;3;2;1} . Vậy ta cú cặp số nguyờn (x;y) thỏa món: (x;y)ẻ {(5;- 1);(4;- 1);(3;- 1);(2;- 1);(1;- 1)} 10 10 10 b) x - 2y- 1 + 5³ 5 và Ê = 5 ị x - 2y- 1 + 5³ y- 4 + 2 2 y- 4 + 2 Đẳng thức xảy ra khi x - 2y- 1= 0 và y- 4 = 0 suy ra (x;y)= (9;4) c) Ta cú x + 3 + x - 1 = x + 3 + 1- x ³ x + 3+ 1- x = 4 Ta cú y- 2 + y + 2 = 2- y + y + 2 ³ 2- y + y + 2 = 4 16 16 6 ị Ê = 4 ị x + 3 + x - 1 ³ y- 2 + y + 2 4 y- 2 + y + 2 Dấu bằng xảy ra khi (x + 3)(1- x)³ 0 và (2- y)(y + 2)³ 0 . Vỡ x;y ẻ Z suy ra x ẻ {- 3;- 2;- 1;0;1};y ẻ {- 2;- 1;0;1;2} . Từ đú suy ra cỏc cặp (x;y) . d) Ta cú x - 1 + 3- x ³ x - 1+ 3- x = 2 6 6 6 Mặt khỏc: Ê = 2 ị x - 1 + 3- x ³ y + 3 + 3 3 y + 3 + 3 Trang 15
16. Dấu bằng xảy ra khi (x - 1).(3- x)³ 0 và y + 3 = 0 vỡ x, y ẻ Z nờn ta cú cặp số nguyờn (x;y) thỏa món là: (x;y)ẻ {(1;- 3);(2;- 3);(3;- 3)} 3.11. 3 2 3 2 a) Ta cú - x ³ 0 ị A = + - x ³ 4 3 4 3 2 3 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là khi x = 3 4 5 5 21 21 b) Ta cú x + ³ 0 ị B = x + - ³ - 6 6 10 10 21 5 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của B là - khi x = - 10 6 9 11 9 11 11 9 c) Ta cú - x ³ 0 ị C = + - x ³ . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của C là khi x = . 10 12 10 12 12 10 9 9 73 73 73 3 d) Ta cú 3x + ³ 0 ị D = 3x + - ³ - . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là - khi x = - . 10 10 79 79 79 10 15 21 21 e) Ta cú E = 4x - 3 + 5y + + ³ 16 10 10 15 3 3 Dấu bằng xảy ra khi 4x - 3 = 0 và 5y + = 0 hay x = ;y = - 16 4 16 21 3 3 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của E là khi x = ;y = - . 10 4 16 3.12. Ta cú: x - 2019 + x - 2021 = x - 2019 + 2021- x ³ x - 2019+ 2021- x = 2 Và x - 2020 ³ 0 suy ra A ³ 2 . Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2 khi x = 2020 . 3.13. Ta cú: A = 2x + 1000 + 2020- 2x ³ 2x + 1000+ 2020- 2x = 3020 Dấu bằng khi 2x + 1000 ³ 0; 2020- 2x ³ 0 ị x ³ - 500 và x Ê 1010 Với x ẻ Z suy ra x ẻ {- 500;- 499;- 498; ;1010} Vậy với x ẻ {- 500;- 499;- 498; ;1010} thỡ A đạt giỏ trị nhỏ nhất là 3020. 2 (0,34- 0,04). 5 ổ- 4ử 3.14. Ta cú: A = - 0,42 :ỗ ữ 0,8 :(4.0,25) ốỗ 5 ữứ 0,3.0,4 ổ- 5ử 0,12 A = - 0,42.ỗ ữ= + 0,525 = 0,15+ 0,525 = 0,675 0,8 :1 ốỗ 4 ứữ 0,8 3.15. Trang 16
17. a) 7,3.10,5+ 7,3.15+ 2,7.10,5+ 15.2,7 = 7,3(10,5+ 15)+ 2,7(10,5+ 15) = 7,3.25,5+ 2,7.25,5 = 25,5(7,3+ 2,7)= 25,5.10 = 255 b) 5,4- 1,5- (7,2- 1)= 5,4- 1,5- 6,2 = 3,9- 6,2 = - 2,3 3.16. 2 3 1 3 1 1 3 a) x + - = - - Û x + = - 3 5 5 4 15 5 4 1 3 1 37 Û x = - - Û x = - 5 4 15 60 5 ổ13 ử 1 b) - ỗ - xữ= 10- - 6 ốỗ 8 ứữ 6 5 13 1 19 59 59 19 85 Û - + x = 10- Û - + x = Û x = + Û x = 6 8 6 24 6 6 24 8 Trang 17