Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Chủ đề: Số phức

Nội dung text: Chuyên đề môn Toán Lớp 12 - Chủ đề: Số phức

1. CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC MỨC ĐỘ VẬN DỤNG 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ z1 Câu 1. (Sở Lào Cai - 2021) Cho z1 , z2 là 2 số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn 2 ¡ và z2 z1 z2 2 3 . Tính mô đun của số phức z1 5 A. z 2 . B. z 5 . C. z 3 . D. z . 1 1 1 1 2 Lời giải Chọn A Giả sử z1 a bi a ¡ ,b ¡ thì z2 a bi . z1 z2 2 3 2bi 2 3 b 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 z a bi a b 2abi a a b 2ab b a b 2a b 1 i z2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b 2ab a b a b b 0 2 z1 2 2 2 2 3 2 ¡ thì b a b 2a b 0 3a b b 0 z 2 2 2 b 3a 3 Do b 3 nên b 0 loại. Thay 1 vào 3 ta có a2 1 4 . 2 2 Từ 1 vào 4 z1 a b 1 3 2 . Câu 2. (Sở Hà Tĩnh - 2021) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 4 6i . 3 A. min P . B. min P 2. C. min P 1. D. min P 8 . 2 Lời giải Chọn B Ta có: z 1 2i 3 nên z biểu diễn bởi M nằm trên đường tròn C , tâm I 1;2 , bán kính 3. Ta có: P z 4 6i z 4 6i MA (với là khoảng cách từ M C và A 4;6 . Khi đó min P IA R 5 3 2 . 3 iz Câu 3. (Sở Hà Tĩnh - 2021) Biết số phức w có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy 2 z là một đường thẳng. Khi đó môđun của z bằng? 3 2 A. 2 . B. . C. . B. 2 . 2 2 Lời giải Chọn A 3 iz 3 Ta có w w 2 z 3 iz z w i 2 w , 2 z 2 3 z 3 suy ra z w i 2 w w i w . 2 2 2 Trang 1
2. 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ 3 iz Từ giả thiết w có biểu diễn hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy là một đường thẳng 2 z z nên suy ra 1 z 2 . 2 Câu 4. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Có bao nhiêu số phức z thoả mãn z 2 i 2 2 và z 1 2 là số ảo? A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn D  Gọi z x yi thoả mãn x; y ¡ . Điểm biểu diễn của z là M x; y Ta có  z 2 i 2 2 2 2 x 2 y 1 i 2 2 x 2 2 y 1 2 2 2 x 2 y 1 8 Vậy M thuộc đường tròn tâm I 2;1 , bán kính 2 2  z 1 2 z2 2z 1 x yi 2 2 x yi 1 x2 2xyi y2 2 x yi 1 x2 2x y2 1 2xyi 2yi 2 2 2 2 2 y x 1 z 1 là số ảo nên x 2x y 1 0 x 1 y y 1 x Trên cùng một hệ trục toạ độ, ta vẽ đường tròn tâm I 2;1 , bán kính 2 2 và hai đồ thị hàm số y x 1; y 1 x . Ta thấy hai đường thẳng cắt đường tròn tại ba điểm phân biệt, vậy có 3 điểm M thoả mãn, vậy có ba số phức z thoả mãn. Câu 5. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho số phức z a bi a,b ¡ thỏa mãn z 3 i z i 0. Tổng S a b 2ab bằng A. 23. B. 24 . C. 23 . D. 24 . Lời giải Chọn C Ta có: Trang 2
3. z 3 i z i 0 a bi 3 i a2 b2 i 0 a 3 b 1 a2 b2 i 0 a 3 0 a 3 2 2 2 b 1 a b 0 b 1 9 b 0 1 b 1 0 b 1 Xét 1 9 b2 b 1 2 2 9 b b 1 b 4 Vậy S 3 4 2. 3 .4 23 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 6. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 2 15z 3z 19 0. Tính giá trị của biểu thức: K z1 z2 z1 z2 . 22 41 11 7 A. K . B. K . C. K . D. K . 15 15 50 3 Lời giải Chọn B 3 i 1131 z1 2 30 15z 3z 19 0 . 3 i 1131 z 2 30 2 2 2 2 3 i 1131 3 i 1131 3 i 1131 3 i 1131 Khi đó: K z z z z 1 2 1 2 30 30 30 30 19 19 1 41 . 15 15 5 15 Câu 7. (Chuyên KHTN - 2021) Cho số phức z a bi thỏa mãn z 1 2i z 3 4i và z 2iz là số thực. Tổng a b bằng: A. 1. B. 1. C. 3 . D. 3 . Lời giải Chọn A  Ta có: z 1 2i z 3 4i a 1 b 2 i a 3 b 4 i a 1 2 b 2 2 a 3 2 b 4 2 a 3b 5 (1)  Mặt khác: z 2iz a bi 2i(a bi) a 2b 2a b i là số thực nên 2a b 0 (2) a 3b 5 a 1 Từ (1) và (2) ta có 2a b 0 b 2 Tổng a b 1. Câu 8. (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Có bao nhiêu số phức z có mô đun bằng 2 và thỏa mãn z 3 4i 3 ? A. 0 . B. 1. C. 4 . D. 2 . Lời giải Chọn B  Gọi z a bi, a,b ¡ ; ta có z a2 b2 và z 3 4i a 3 2 b 4 2 . Trang 3
4. 2 2 2 2 a 3 b 4 3 a 3 b 4 9  Theo bài ra ta có hệ 2 2 2 2 a b 2 a b 4 4b 10 a 2 2 4b 10 a b 6a 8b 16 0 3a 4b 10 0 a 3 3 2 2 2 2 2 a b 4 a b 4 2 2 4b 10 2 a b 4 b 4 3 6 4b 10 a a 5 3 . 2 8 25b 80b 64 0 b 5 6 8  Vậy z i . 5 5 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 9. (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Cho số phức z thỏa mãn 3 4i z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 6 . B. 3 2 . C. 4 . D. 5 . Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: A B A B A B ta được: 3 4i z 3 4i z 5 z 1 z 4 . Vậy giá trị nhỏ nhất của z là 4 . Câu 10. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho số phức z thỏa mãn 3( z i) (2 i).z 3 10i . Mô đun của z bằng A. 3 . B. 3 . C. 5 . D. 5 . Lời giải Chọn D Đặt z a bi a,b ¡ 3(z i) (2 i).z 3 10i 3 a bi i 2 i a bi 3 10i 3a 3b 3 i 2a b a 2b i 3 10i a b a 5b 3 i 3 10i a b 3 a 2 a 5b 3 10 b 1 Vậy: z 2 i z 5 Câu 11. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Trên mặt phẳng tọa độ. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i z 2i là đường nào sau đây? A. Elip B. Đường thẳng C. Đường tròn D. Parabol Lời giải Chọn B Gọi số phức z a bi, a,b ¡ Khi đó z 1 i z 2i Trang 4
5. a bi 1 i a bi 2i a 1 2 b 1 2 a2 b 2 2 a 3b 1 0 Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện trên là đường thẳng. Câu 12. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Có bao nhiêu số phức z đôi một khác nhau thoả mãn 4 z i 2 và (z 2) là số thực? A. 4 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn B Xét số phức z a bi;a,b ¡ . Ta có z i 2 a (b 1)i 2 a2 (b 1)2 4 (1) . (z 2)4 [(a 2) bi]2 (a 2)4 4(a 2)3.bi 6(a 2)2 (bi)2 4(a 2)(bi)3 (bi)4 (a 2)4 6(a 2)2 b2 b4 [4(a 2)3.b 4(a 2)b3 ]i. a 2 0 b 0 (z 2)4 là số thực khi 4(a 2)3.b 4(a 2)b3 0 (a 2)b[(a 2)2 b2 ] 0 b a 2 b 2 a + a 2 0 a 2 thay vào (1) tìm được b 1 z 2 i . + b 0 thay vào (1) tìm được a 3 z 3 1 7 1 7 3 7 1 7 3 7 + b a 2 thay vào (1) tìm được a z i; z i. 2 2 2 2 2 + b 2 a thay vào (1) ta có: a2 (3 a)2 4 2a2 6a 5 0 : PTVN Vậy có 5 số phức thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 13. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình 2 2 z a 3 z a a 0 có 2 nghiệm phức z1, z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 ? A. 4. B. 2. C. 1. D. 3. Lời giải Chọn A Ta có 3a2 10a 9 . a 3 + TH1: 0 , phương trình có 2 nghiệm z , khi đó 1,2 2 2 2 a 0 z1 z2 z1 z2 a 3 a 3 4a 4a 0 . Thỏa mãn điều kiện a 1 0 . a 3 i + TH2: 0 , phương trình có 2 nghiệm z , khi đó 1,2 2 2 2 a 1 z1 z2 z1 z2 a 3 i a 3 2a 16a 18 0 . Thỏa mãn a 9 điều kiện 0 . Vậy có 4 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 14. (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Cho số phức thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ , tập hợp điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn có bán kính bằng A. B. C. D. Lời giải Chọn D  Theo bài ra Trang 5
6. Đặt Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn bán kính . 2 3i Câu 15. (THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2021) Cho số phức z thỏa mãn z 1 2 . Mô đun 3 2i lớn nhất của số phức z bằng A. 13 . B. 2 . C. 1 2 . D. 26 . Lời giải Chọn C Đặt z x yi x; y ¡ . 2 3i 2 Ta có: z 1 2 iz 1 2 x2 y 1 2 . 3 2i Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I 0; 1 bán kính R 2 Ta có z OM . Do đó mô đun của số phức z lớn nhất khi OM lớn nhất nghĩa là O, M , I thẳng hàng suy ra Mô đun lớn nhất của số phức z bằng 1 2 . Câu 16. (THPT Lương Thế Vinh - 2021) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 2 ; z2 1 và 2z1 3z2 4 . Tính giá trị của biểu thức P z1 2z2 . A. P 10 . B. P 11 . C. P 15 . D. P 2 5 . Lời giải Chọn B Đặt z1 a bi ; z2 c di a;b;c;d ¡ . 2 2 Theo bài ra: z1 2 a bi 2 a b 4 . 1 2 2 z2 1 c di 1 c d 1. 2 2 2 2z1 3z2 4 2 a bi 3 c di 4 2a 3c 2b 3d 16. 4a2 12ac 9c2 4b2 12bd 9d 2 16 . 4 a2 b2 9 c2 d 2 12 ac bd 16 . 3 3 Thay 1 , 2 vào 3 ta được: 4.4 9.1 12 ac bd 16 ac bd . 4 4 2 2 Khi đó, P z1 2z2 a bi 2 c di a 2c b 2d 3 a2 b2 4 c2 d 2 4 ac bd 4 4 4. 11. 4 Câu 17. (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Cho các số phức z thoả mãn iz 1 1 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn C . Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn C . A. I 0; 1 , R 3 . B. I 0; 1 , R 3 . C. I 0;1 , R 3. D. I 0;1 , R 3 . Lời giải Chọn B Trang 6
7. Ta có z x yi, x, y ¡ , thì ta có iz 1 1 2i i x yi 1 3 y 1 xi 3 2 2 2 y 1 x2 3 x2 y 1 3 . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn C có tâm và bán kính là I 0; 1 , R 3 . Câu 18. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Cho số phức z thỏa mãn 2 i z 4 z i 8 19i . Môđun của z bằng A. 5. B. 18. C. 5 . D. 13 Lời giải Chọn D Đặt z a bi a,b R Khi đó : 2a b 8 a 3 2 i z 4 z i 8 19i 2a b 8 a 6b 15 i 0 a 6b 15 b 2 z 3 2i z 13 . Câu 19. (THPT Đào Duy Từ - Hà Nội - 2021) Xét các số phức z thoả mãn iz 3 2i 4 . Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2iz 5 6i là một đường tròn có tâm I a;b , bán kính R . Tính T a b R A. 21 . B. 17 . C. 5 . D. 1. Lời giải Chọn C Ta có iz 3 2i 4 2 iz 3 2i 8 2iz 6 4i 8 2iz 5 6i 1 2i 8 2iz 5 6i 1 2i 8 w 1 2i 8 . Giả sử w x yi, x, y ¡ . Suy ra w 1 2i 8 x 1 2 y 2 2 8 x 1 2 y 2 2 64 . Do đó tập hợp điểm M biểu diễn số phức w 2iz 5 6i là một đường tròn có tâm I 1; 2 , bán kính R 8 . Vậy T a b R 1 2 8 5. 2300 Câu trắc nghiệm theo mức độ thông hiểu, nhận biết, vận dụng trích từ đề thi thử các trường trên cả nước Năm 2021 giải chi tiết liên hệ Zalo 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 7