Chuyên đề Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị

Nội dung text: Chuyên đề Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị

1. Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TỐN CỰC TRỊ I. BÀI TỐN MỞ ĐẦU a,b 0 1 1 Bài tốn 1. Cho , tìm GTNN của P 2 2 a b 1 a b 2ab Giải 1 1 4 4 Ta cĩ: 4 a2 b2 2ab a2 2ab b2 (a b)2 1 a a b 2 1 Dấu “=” xảy ra MinP 4 khi x y a b 1 1 2 b 2 a,b 0 1 1 Bài tốn 2. Cho , tìm GTNN của P 2 2 a b 1 1 a b 2ab Giải 1 1 4 4 4 Lời giải 1. Ta cĩ: P 2 1 a2 b2 2ab a2 2ab b2 1 (a b)2 1 2 1 a2 b2 2ab (a b)2 1 0 Dấu “=” xảy ra . Vơ nghiệm a b 1 a b 1 Vậy khơng tồn tại MinP ? ? Lời giải 2. Ta cĩ: 1 1 1 4 1 4 1 P 1 a2 b2 6ab 3ab a2 6ab b2 1 3ab (a b)2 1 4ab 3ab 2 a b 1 4 1 8 Mặt khác ab . Vậy P 2 2 2 4 a b a b 3 2 6 2 2 1 a2 b2 3ab 1 Dấu “=” xảy ra a b a b . 2 a b 1 Lời bình: Bài tốn 1 và bài tốn 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 1 1 1 . Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách ? ? Làm sao a b a b 2ab 6ab 3ab nhận biết được điều đĩ ? Đĩ chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài tốn cực trị II. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trang 1
2. Cĩ thể nĩi tằng bài tốn bất đằng thức nĩi chung và bài tốn tìm GTNN, GTLN nĩi riêng là một trong nhửng bài tốn được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học, và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT. Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài tốn bất đẳng thức là bài tốn khĩ nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khĩ khăn do một số sai lầm do thĩi quen như lời giải 1 trong bài tốn mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài tốn cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tơi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải tốn bất đẳng thức”. III. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức Định nghĩa: a b a b 0 a b a c b c a b a c b c a b a c b d c d 1 1 a b 0 a b b) Một số bất đẳng thức cơ bản Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực khơng âm a1,a2 , ,an (n 2) ta luơn cĩ a a  a 1 2 n n a a a . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a a  a . n 1 2 n 1 2 n Một vài hệ quả quan trọng: 1 1 1 2 (a1 a2  an )  n với ai 0, i 1,n a1 a2 an 1 1 1 n2  với ai 0, i 1,n a1 a2 an a1 a2  an Cho 2n số dương (n Z,n 2 ): a1,a2 , ,an ,b1,b2 , ,bn ta cĩ: n n n (a1 b1)(a2 b2 ) (an bn ) a1a2 an b1b2 bn Bất đẳng thức BCS Cho 2n số dương (n Z,n 2 ): a1,a2 , ,an ,b1,b2 , ,bn ta cĩ: 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 a2b2  anbn ) (a1 a2  an )(b1 b2  bn ) a1 a2 an Dấu “=’ xảy ra  (quy ước nếu bi 0 ai 0) b1 b2 bn Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số a1,a2 , ,an và b1,b2 , ,bn với bi 0 i 1,n ta luơn cĩ: a2 a2 a2 (a a  a )2 1 2  n 1 2 n b1 b2 bn b1 b2  bn Trang 2
3. a a a Dấu “=’ xảy ra 1 2  n b1 b2 bn 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất n n Cho f (x1, x2 , , xn ) là một hàm n biến thực trên D  ¡ : f : D  ¡ ¡ f (x1, x2 , , xn ) M (x1, x2 , , xn ) D Max f M D 0 0 0 0 0 0 (x1 , x2 , , xn ) D : f (x1 , x2 , , xn ) M f (x1, x2 , , xn ) m (x1, x2 , , xn ) D Min f m D 0 0 0 0 0 0 (x1 , x2 , , xn ) D : f (x1 , x2 , , xn ) M 3. Phương pháp chọn điểm rơi Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thơng thường là đối xứng với các biến, và ta dự đốn dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên. a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy Sử dụng hệ quả (1) và (2) a,b 0 1 1 Bài 1. Cho , tìm GTNN của biểu thức P 2 2 4ab . a b 1 a b ab Sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Ta cĩ : 1 1 1 4 1 4 1 P 4ab 4ab 4ab . a2 b2 2ab 2ab a2 b2 2ab 2ab (a b)2 2ab 1 1 Mặt khác 4ab 2 .4ab 2 2 . Vậy P 4 2 2 nên MinP 2(2 2) 2ab 2ab Sai lầm 2: 1 1 1 1 4 1 1 1 1 P 4ab 2 4ab. 4 2 6 a2 b2 ab 4ab 4ab (a b)2 2ab 4ab 4ab 4ab a2 b2 2ab 2 2 1 1 1 Dấu bằng xảy ra a b a b . Thay a b vào ta được P 7 16 2 2 a b 1 1 MinP 7 khi a b . 2 Nguyên nhân sai lầm: Trang 3
4. 1 1 1 Sai lầm 1: Học sinh chưa cĩ khái niệm “điểm rơi”, việc tách là do thĩi quen để ab 2ab 2ab a b 2 2 2 1 làm xuất hiện a b 2ab (a b) . MinP 4 2 2 4ab VN . Dấu “=” bất 2ab a b 1 đẳng thức khơng xảy ra khơng kết luận được MinP 4 2 2 1 Sai lầm 2: Học sinh đã cĩ khái niệm điểm rơi, dự đốn được dấu bằng khi a b nên đã tách 2 1 các số hạng và MinP 7 khi a b là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 2 2 2 (1 x) x x , dấu bằng xảy ra khi x 1 Min (x 1) x 1?? . 1 Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với a,b , ta dự đốn MinP đạt tại a b , ta cĩ: 2 1 1 1 1 4 1 1 P 2 2 4ab 2 2 4ab. 2 7 a b 2ab 4ab 4ab (a b) 2ab a b 4 2 a2 b2 2ab 2 2 1 1 Dấu bằng xảy ra a b a b . 16 2 a b 1 a,b 0 1 1 1 Bài 2. Cho , tìm GTNN của biểu thức S 3 3 2 2 . a b 1 a b a b ab Sai lầm thường gặp: 1 1 1 2 2 9 2 1 1 Ta cĩ: S a3 b3 3a2b 3ab2 3a2b 3ab2 a3 b3 3a2b 3ab2 3 a2b ab2 9 2 1 1 1 2 4 59 . 9 . 3 2 (a b) 3 ab a b a b a b 3 3. 2 59 MinS 3 a3 b3 3a2b 59 Nguyên nhân sai lầm: MinS a b (vn) 3 a b 1 Lời giải đúng Trang 4
5. 1 Ta dự đốn dấu bằng xảy ra khi a b , và ta thấy a3 b3 3a2b 3ab2 (a b)3 vì thế ta 2 1 1 1 muốn xuất hiện (a b)3 ; ta áp dụng bất đẳng thức và nếu vậy: a3 b3 2a2b 2ab2 1 1 1 9 , ta khơng đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp a3 b3 2a2b 2ab2 (a b)3 ab(a b) dụng bất đẳng thức cho 5 số: 1 1 1 1 1 25 25 S 20 a3 b3 2a2b 2ab2 2a2b 2ab2 (a b)3 ab(a b) (a b)3 (a b)3 4 1 Dấu bằng xảy ra khi a b . 2 x, y, z 0 1 1 1 Bài 3. Cho 1 1 1 . Tìm GTLN của P . 4 2x y z x 2y z x y 2z x y z Sai lầm thường gặp: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 10 Sai lầm 1: Ta cĩ P 9 2x y z 9 x 2y z 9 x y 2z 18 x y z 9 10 MaxP 9 Sai lầm 2: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 P 33 2xyz 33 x.2yz 33 xy2z 3 3 2x y z 3 3 x 2y z 3 3 x y 2z 9 Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm 2x y z 2y x z 10 10 rơi. MaxP 2z x y (vn) , tức là khơng tồn tại (x, y, z) D : P 9 9 1 1 1 4 x y z 4 Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đốn MaxP đạt được tại x y z nên tách các số 3 2x x x ra cho dấu bằng xẩy ra. 1 1 1 1 1 1 1 Cách 1: Ta cĩ , tương tự và ta cĩ: 2x y z x x y z 16 x x y z 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 4 P 1, vậy MaxP 1 khi x y z . 16 x y z x y z x y z 3 1 1 Cách 2: Ta cĩ 2x y z x x y z 44 x.x.y.z , mặt khác: 2x y z 44 x2 yz Trang 5
6. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 . . . , tương tự ta cĩ: x x y z 4 x x y z 2x y z 16 x y z 1 1 1 1 1 P .4 1. Dấu “=” xảy ra khi x y z , suy ra: 16 x y z 4 1 MaxP 1 khix y z . 4 Nhận xét: Ta cĩ thể mở rộng bài 3: x, y, z 0 1 1 1 Cho 1 1 1 . Tìm GTLN của P . 4 x  y  z  x  y z  x y  z x y z Với ,, N : Cách làm tương tự như bài 3, ta tách x x x   x, . Nếu ,, R , số thì bài tốn cĩ cịn giải quyết được khơng? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS” a,b,c 0 Bài 4. Cho . Chứng minh rằng:.3 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 33 3 a b c 3 Sai lầm thương gặp: 1 1 (a 2b) 2 a 2b Ta cĩ: 3 1.1(a 2b) , tương tự ta cĩ: 3 3 2 a 2b 2 b 2c 2 c 2a 3 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 5 , 3 3 3 mà 5 33 3 đề ra sai ? ? a 2b 1 b 2c 1 Nguyên nhân sai lầm: P VT 5. MaxP=5 (vn) , vậy P 5 c 2a 1 a b c 3 Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi a b c 1 . Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a 2b,3,3 ta cĩ: 1 1 3 3 (a 2b) 6 a 2b 3 a 2b 3 3.3(a 2b) . , tương tự ta cĩ: 3 9 3 9 3 33 9 6 a 2b 6 b 2c 6 c 2a P 33 3 , dấu bằng xảy ra khi a b c 1 33 9 33 9 33 9 x, y, z 0 x2 y2 z2 3 Bài 5. Cho , chứng minh rằng: xyz 1 1 y 1 z 1 x 2 Sai lầm thường gặp: 1 y 2 y x2 y2 z2 (xyz)2 Sai lầm 1: P 33 , mặt khác 1 z 2 z , suy ra: 1 y 1 z 1 x (1 y)(1 z)(1 x) 1 x 2 x Trang 6
7. 3 (1 y)(1 z)(1 x) 8 xyz 8 . Vậy P , dấu “=” xảy ra khi x y z 1 2 x2 (1 y) 2x 1 y y2 Sai lầm 2: ta cĩ: (1 z) 2y P 2(x y z) (x y z) 3 x y z 3 , 1 z z2 (1 x) 2z 1 x mặt khác x y z 33 xyz 3 P 0 Nguyên nhân sai lầm: 1 1 Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: a b 0 a b x y z x2 y2 z2 Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra 1 y, 1 z, 1 x(vn) 1 y 1 z 1 x xyz 1 Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” xảy ra khi x y z .1 Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho x2 1 y x2 1 y 1 2 và : 4 1 y 1 y 2 x2 1 y x 1 y 4 y2 1 z 1 3 3 3 3 Ta cĩ: y P (x y z) (x y z) (x y z) 1 z 4 4 4 4 4 2 z2 1 x z 1 x 4 Dấu “=” xảy ra khi x y z 1 . Bài tập tương tự(trích dẫn trong các đề thi đại học) x, y, z 0 m x3 y3 m y3 z3 m z3 x3 Bài 1. Cho , chứng minh rằng 3 3 , xyz 1 xy yz zx với m N . Nếu m = 1 là đề thi Đại học Khối D năm 2005 Bài 2. Cho x, y, z là 3 số thỏa x y z 0 , chứng minh rằng: 3 4x 3 4 y 3 4z 6 (đề tham khảo 2005) ab c 4 bc a 2 ca b 3 Bài 3. Cho a 2,b 3,c 4 , tìm GTLN: P abc 3 Bài 4. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a b c . 4 Trang 7
8. Chứng minh rằng: 3 a 3b 3 b 2c 3 c 3a 3 (ĐTK 2005) a,b,c 0 Bài 5. Cho , tìm GTNN của các biểu thức sau: a b c 1 1 1 1 1 P a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 S a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 Q a2 bc b2 ca c2 ab ab bc ca 2 2 2 2 2 1 2 1 25 Bài 6. Cho u v 1 , chứng minh rằng: u v . u2 v2 2 Bài 7. Cho a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của: a3 b3 c3 3 3 3 Q b c a (ĐHQGHN 2001-2002) a b c b c a Bài 8. Cho a,b,c dương thỏa abc 1 , tìm GTNN của biểu thức: bc ca ab Q (ĐH 2000 – 2001) a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) x, y, z 0 x y Bài 9. Cho , tìm GTNN của P (ĐHNT 2001 – 2002) x y 1 1 x 1 y Bài 10. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 , chứng minh rằng: 1 1 1 x2 y2 z2 82 (ĐH 2003) x2 y2 z2 b) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức BCS. Bài 1. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1 , chứng minh rằng: 1 1 1 x2 y2 z2 82 x2 y2 z2 Nhận xét: chúng ta cĩ thể dùng bất đẳng thức Cauchy như ở phần 1 2 1 1 1 1 1 1 Sai lầm : x2 2 2 x x x2 x 2 1 1 2 x x x x 2 x 1 1 1 1 2 1 1 1 Tương tự ta cĩ: P (x y z) (x y z) 3 2 2 x y z 2 x y z Vậy P 3 2 ? Trang 8
9. x 1 y 1 z 1 , , Nguyên nhân sai lầm: P 3 2 1 x 1 y 1 z (vn) x y z 1 1 Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu đẳng thức xảy ra khi x y z ; và biểu thức trong căn gợi 3 2 1  cho tam sử dụng BCS: x2 2 2 x với là những số thỏa mãn: 2  , x y 1 x 1 1 x x2 , chọn 1, 9   x  9 2 1 9 1 1 9 Ta cĩ x2 2 2 x x2 x , tương tự ta cĩ: 2 1 9 2 x x x 82 x 1 1 1 1 1 1 1 P 9x y z) 9 , do x y z 1; 9 nên ta tách: 82 x y z x y z 1 1 1 1 80 1 1 1 2 1 1 1 80 9 (x y z) (x y z) 82 9 x y z 9 x y z 3 x y z 9 x y z 1 Vậy P 82 , dấu “=” xảy ra khi x y z . 3 x, y, z.0 1 1 1 Bài 2. Cho 1 1 1 , tìm GTLN của P 1 2x y z x 2y z x y 2z x y z Giải 2 1 1 ( z)2 Áp dụng hệ qua (1) ta cĩ: , ta chọn sao cho x y z 3 và 2x y z 2x y z 1 1 1 2 2x y z 2 2 1 1 (2 2)2 2x y z 2x y z 1 1 1 (2 2)2 2 2 1 1 1 1 Vậy ta cĩ: P 2 x 2y z x 2y z 2 2 x y z 2 2 1 1 1 (2 2)2 x y 2z x y 2z 1 Dấu bằng xảy ra khi x y z 3 MaxP khi x y z 3 2 2 Bài tập áp dụng Trang 9
10. a,b,c 0 1 1 1 3 Bài 1. Cho ,chứng minh rằng 3 3 3 abc 1 a (b c) b (c a) c (a b) 2 a,b,c 0 a3 b3 c3 Bài 2. Cho , tìm GTNN của P abc 1 (1 b)(1 c) (1 c)(1 a) (1 a)(1 b) Bài 3. Cho a,b,c,d 0 , tìm GTNN của a b c d P b 2c 3d c 2d 3a d 2a 3b a 2b 3c xi 0, i 1,n n Bài 4. Cho , tìm GTNN của P 1 x1 1 x2  1 xn  xi 1 i 1 a b c Bài 5. Cho a,b,c 0 , chứng minh rằng: 1 a2 8bc b2 8ca c2 8ab IV. THAY CHO LỜI KẾT Để làm rõ vai trị quan trọng của việc chọn điểm rơi trong việc định hướng giải quyết bài tốn và cũng là kết lại phần chuyên đề này, tơi xin nêu một phương pháp mới giải bài tốn sau: 3 3 Bài tốn: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta luơn cĩ sin A sin B sinC 2 Phân tích để đi đến lời giải: Ta dự đốn dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC là tam giác đều A B C . 3 Vì A B C ta giảm bớt số biến bằng sinC sin Acos B sin B cos A P sin A sin B sinC sin A sin B sin Acos B sin B cos A , ta nghĩ đến: 2 2 sin A cos A 1 ; A,B khơng cịn quan hệ ràng buộc, làm thế nào để xuất hiện 2 2 sin B cos B 1 a2 b2 sin2 A,cos2 A, ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức ab , 2 3 1 sin A sin B ,cos A cos B , Ta áp dụng Cauchy: 2 2 2 2 sin A sin B 3 sin A 2 sin B 2 cos B cos A 3 cos B cos A 3 3 2 3 3 1 2 3 2 3 Ta cĩ:sin A sin B sin A sin B . Vậy: 3 4 4 2 2 3 sin A 2 sin B 2 1 2 3 2 3 3 3 VT cos B cos A sin A sin B 2 3 3 3 4 4 2 Trang 10