Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Bài 1: Phương trình đường thẳng

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Bài 1: Phương trình đường thẳng

1. Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG •Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 1.Phương trình đường thẳng Định nghĩa:  Véc tơ pháp tuyến (VTPT) của một đường thẳng là véc tơ khác 0 và có giá vuông góc với đường thẳng.  Véc tơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng là véc tơ khác 0 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng.  Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I x0 ; y0 và có VTPT n a;b là 2 2 a x x0 b y y0 0 hay ax by c 0 với a b 0 . x y  Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn đi qua hai điểm A a;0 và B 0;b với a,b 0 là 1. a b  Phương trình đường thẳng theo hệ số góc đi qua điểm I x0 ; y0 và có hệ số góc k tan Ox, là y kx m . x x0 at  Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm I x0 ; y0 và có VTCP u a;b là , ( y y0 bt a2 b2 0 ). x x y y  Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm I x ; y và có VTCP u a;b là 0 0 với 0 0 a b a,b 0 . 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 : a1x b1 y c1 0 và 2 : a2 x b2 y c2 0 . a1 b1  1 cắt 2 . a2 b2 a1 b1 c1  1 // 2 . a2 b2 c2 a1 b1 c1  1  2 . a2 b2 c2 3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Định lý 1: (Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng). Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm M x0 ; y0 . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ax by c được tính theo công thức d M , 0 0 . a2 b2 Trang 1
2. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Hệ quả 1: (Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng). Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm M xM ; y M , N xN ; y N . Khi đó  M , N cùng phía đối với khi và chỉ khi axM byM c axN byN c 0.  M , N khác phía đối với khi và chỉ khi axM byM c axN byN c 0 . 4. Góc giữa hai đường thẳng Định nghĩa 1: (Góc giữa hai đường thẳng). Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo góc nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo góc giữa hai đường thẳng a và b , hay đơn giản là góc giữa hai đường thẳng a và b . Khi a song song hoặc trung với b , ta quy ước góc giữa chúng bằng 0 .  (Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng) Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình 1 : a1x b1 y c1 0 và 2 : a2 x b2 y c2 0 được xác định bởi công thức a a b b cos ; 1 2 1 2 . 1 2 2 2 2 2 a1 b1 . a2 b2  Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 1 : a1x b1 y c1 0 và 2 : a2 x b2 y c2 0 có phương trình a x b y c a x b y c 1 1 1 2 2 2 . 2 2 2 2 a1 b1 a2 b2 PHẦN 1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng Tìm một điểm I x0 ; y0 thuộc đường thẳng. Tìm một VTPT n a;b của đường thẳng. Viết phương trình a x x0 b y y0 0 rồi suy ra dạng tổng quát ax by c 0. Hoặt viết phương trình tổng quát ax by c 0, tìm c nhờ đường thẳng đã cho đi qua điểm I Đặc biệt  d //d : ax by c 0 d : ax by c 0 (với c c ).  d  d : ax by c 0 d :bx ay c 0 .  y kx m kx y m 0 . x y  1 bx ay ab 0 . a b Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 1. Viết phương trình tổng quát của Trang 2
3. a) Đường thẳng Ox b) Đường thẳng Oy c) Các đường phân giác của góc xOy Lời giải a) Đường thẳng Ox đi qua gốc tọa độ O và có VTPT j 0;1 nên có phương trình 0 x 0 1 y 0 0 y 0 . b) Đường thẳng Oy đi qua gốc tọa độ O và có VTPT i 1;0 nên có phương trình 1 x 0 0 y 0 0 x 0 . c) Phân giác của góc phần tư thứ I và II đi qua gốc tọa độ O và hợp thành với trục hoành góc nhọn 45 nên có hai phương trình y tan 45 x x y 0 và y tan135 x x y 0 . Câu 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng a) Đi qua M x0 ; y0 và song song với Ox . b) Đi qua M x0 ; y0 và vuông góc với Ox . c) Đi qua M x0 ; y0 khác gốc O và điểm O. Lời giải a) Đường thẳng đi qua M x0 ; y0 và song song với Ox có VTPT j 0;1 nên có phương trình: 0 x x0 1 y y0 0 y y0 0 với điều kiện M Ox y0 0 . b) Đường thẳng đi qua M x0 ; y0 và vuông góc với Ox có VTPT i 1;0 nên có phương trình: 1 x x0 0 y y0 0 x x0 0 với điều kiện M Ox x0 0 . c) Đường thẳng OM đi qua O nên có phương trình dạnh ax by 0 , a2 b2 0 . Đường thằng đi qua điểm M x0 ; y0 nên ax0 by0 0 . Chọn a y0 , b x0 thỏa điềuu kiện 2 2 2 2 a b x0 y0 0 nên có phương trình y0 x x0 y 0. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 3. Cho hai điểm M1 x1; y1 , M 2 x2 ; y2 . Lập phương trình tổng quát của a) Đường thẳng đi qua M1 , M 2 . b) Đường trung trực của đoạn thẳng M1M 2 . Lời giải  a) Đường thẳng đi qua điểm M , M có VTCP u M M x x ; y y nên VTPT 1 2 1 2 2 1 2 1 n y2 y1; x2 x1 có phương trình y2 y1 x x1 x2 x1 y y1 0 . x x1 y y1 Đặc biệt, nếu x1 x2 , y1 y2 thì có phương trình chính tắc là . x2 x1 y 2 y1 Trang 3
4. x1 x2 y1 y2 b) Đường trung trực của đoạn M1M 2 đi qua trung điểm M 0 ; và có VTPT là 2 2  x1 x2 y1 y2 M1M 2 nên có phương trình x2 x1 x y2 y1 y 0 2 2 2 2 2 2 2 x2 x1 x 2 y2 y1 y x2 x1 y1 y2 0 . Câu 4. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua hai điểm A a;0 và B 0;b với a 0 và b 0 có phương x y trình theo đoạn chắn là 1. a b Lời giải  Vì AB a;b nên n b;a vuông góc với AB là VTPT. Đường thẳng cần tìm có phương trình b x a a y 0 0 hay bx ay ab . x y Chia cả hai vế cho ab ta được 1. a b Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 5. Một đường thẳng đi qua điểm M 5; 3 cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của AB . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó. Lời giải a 0 5 2 a 10 Giả sử A a;0 , B 0;b . Vì M 5; 3 là trung điểm của AB nên 0 b b 6 3 2 x y Phương trình của đường thẳng đi qua A, B là 1 hay 3x 5y 30 0 . 10 6 Câu 6. Cho đường thẳng có phương trình Ax By C 0 và điểm M 0 x0 ; y0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 0 và a) Song song với dường thẳng . b) Vuông góc với đường thẳng . Lời giải a) có VTPT n A; B .  Vì // nên chọn VTPT n n A; B . : A x x0 B y y0 0 Ax By Ax0 By0 0 .  b) Vì  nên chọn VTPT n B; A . : B x x0 A y y0 0 Bx Ay Bx0 Ay0 0 . Câu 7. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M 3;4 và có VTPT n 2;1 Lời giải Trang 4
5. Đường thẳng d đi qua M 3;4 và có VTPT n 2;1 . Phương trình tổng quát của d có dạng Ax By C 0 . Thay A 2 , B 1 vào ta có: 2x y C 0 . M d 6 4 C 0 C 2. Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2x y 2 0 hay 2x y 2 0 . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 8. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng a) qua A 2;0 và B 0;3 . b) qua M 5; 8 và có hệ số góc k 3. Lời giải x y a) Phương trình theo đoạn chắn 1 3x 2y 6 0 2 3 b) Phương trình theo hệ số góc: y kx m 3x m . Đường thẳng đi qua M 5; 8 nên 8 15 m m 23. Do đó phương trình tổng quát: y 3x 23 3x y 23 0 . Câu 9. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d a) qua M 1; 4 và song song với đường thẳng 3x 5y 2 0 . b) qua N 1;1 và vuông góc với đường thẳng 2x 3y 7 0 . Lời giải a) VTPT của đường thẳng 3x 5y 2 0 cũng là VTPT của đường thẳng d nên phương trình của d có dạng 3x 5y c 0 (c 2) . Vì d đi qua điểm M 1; 4 nên 3 20 c 0 c 23. Vậy phương trình tổng quát của d :3x 5y 23 0 . b) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 2x 3y 7 0 nên lấy VTCP 3; 2 làm VTPT của d d :3 x 1 2 y 1 0 3x 2y 1 0 . Câu 10. Cho hai điểm P 4;0 và Q 0; 2 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng a) Qua điểm S và song song với đường thẳng PQ . b) Trung trực của PQ . Lời giải x y a) Đường thẳng PQ có phương trình theo đoạn chắn là 1 x 2y 4 0 . 4 2 Đường thẳng d song song với PQ có phương trình x 2y c 0 với c 4 . Trang 5
6. Vì d qua A nên 3 2.2 c 0 c 1. Vậy phương trình của đường thẳng d : x 2y 1 0 . b) Đường trung trực của đoạn PQ đi qua trung điểm I của PQ là I 2; 1 và vuông góc với  đường thẳng PQ nên nhận PQ 4; 2 là VTPT. Phương trình đường trung trực của PQ là 4 x 2 2 y 1 0 2x y 3 0 . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 11. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M 1;1 , N 1;9 , P 9;1 là các trung điểm ba cạnh của tam giác. Lời giải Giả sử M , N, P theo thứ tự đó là trung điểm các cạnh AB , AC và BC của tam giác ABC .    Ta có MN 2;8 ; NP 8; 8 ; MP 10;0 .  Đường trung trực của cạnh BC đi qua P nhận MN làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình 2 x 9 8 y 1 0 hay x 4y 13 0 . Tương tự, ta được phương trình các đường trung trực các cạnh AB , AC lần lượt là x y 2 0 và x 1 0 . Câu 12. Cho điểm M 1;2 . Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn thằng có độ dài bằng nhau. Lời giải  Xét d qua gốc O thì d : y kx y 2x . x y  Xét d không qua gốc O thì a,b 0 khi đó d : 1. a b Theo giả thiết thì a b . + Nếu b a thì d : x y a . Vì d qua điểm M 1;2 nên a 3, do đó d : x y 3. + Nếu b a thì d : x y a . Vì d qua điểm M 1;2 nên a 1, do đó d : x y 1. Vậy có 3 đường thẳng: 2x y 0 , x y 3 0 , x y 1 0 . Câu 13. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M 2;5 và cách đều hai điểm P 1;2 , Q 5;4 . Lời giải Xét d //PQ thì thỏa mãn điều kiện cách đều P và Q.  x 2 3t VTCP PQ 6;2 nên d : y 5 t Xét d không song song với PQ , để d cách đều P,Q thì d đi qua trung điểm I 2;3 của PQ  x 2 VTCP MI 0; 2 nên d : . y 5 2t Trang 6
7. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 14. Đường thẳng d : 2x y 8 0 cắt các trục tọa độ Ox và Oy lần lượt tại các điểm A và B . Gọi M là điểm chia đoạn AB theo tỉ số 3 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với d . Lời giải Cho x 0 y 8 , y 0 x 4 . Do đó A 4;0 , B 0;8 . x kx 4 0 Gọi M x ; y thì x 1 2 1. Vậy M 1;6 . 0 0 0 1 k 4 VTCP của d : 2x y 8 0 là u 1;2 . Do đó phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với d là d :1 x 1 2 y 6 0 hay x 2y 11 0 . Câu 15. Cho đường thẳng d1 : 2x y 2 0 ; d2 : x y 3 0 và điểm M 3;0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M , cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB . Lời giải A x A ; y A d1 y A 2x A 2 . B xB ; yB d 2 yB xB 3. Vì M là trung điểm của AB nên: x A xB 2xM x A xB 6 11 16 x A y A . y A yB 2yM 2x A 2 xB 3 0 3 3 11 16 Vậy A = ; . 3 3 Đường thẳng là đường thẳng qua A và M. Từ đó suy ra : 8x – y – 24 = 0. Câu 16. Cho tam giác ABC biết A 2; 1 , B –1; 0 , C 0; 3 a)Viết phương trình tổng quát của đường cao AH . b)Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn thẳng AB . c)Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC . d)Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A và song song với BC . Lời giải. a)Ta có đường cao AH đi qua A và nhận BC(1;3) là VTPT nên có phương trình tổng quát là 1. x – 2 3. y –1 0 hay x 3y – 5 0. xB xC 1 yB yC 1 1 1 b)Gọi I là trung điểm AB khi đó x1 , y1 I ; . Đường trung 2 2 2 2 2 2 trực đoạn thẳng AB đi qua I và nhận AB( 3; 1) làm VTPT nên có phương trình tổng quát là: 1 1 3. x 1. y 0 hay 3x y 2 0. 2 2 Trang 7
8. x y c)Phương trình tổng quát của đường thẳng BC có dạng 1 hay 3x – y 3 0 . 1 3 d)Đường thẳng BC có VTPT là n(3; 1) do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng AB nên nhận n(3; 1) làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là: 3. x – 2 –1. y –1 0 hay 3x – y – 5 0. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Dạng 2. Phương trình tham số của đường thẳng Tìm một điểm I x0 ; y0 thuộc đường thẳng. Tìm một VTPT n(a;b) của đường thẳng. x x0 at 2 2 Phương trình tham số: , a b 0 . y y0 at Đặc biệt, d qua A, B thì có VTPT u xB x A ; yB y A . d’  d: ax + by + c = 0 thì VTPT u'(a;b) . d” // d: ax + by + c = 0 thì VTPT u" ( b;a) hay (b; –a). d có hệ số góc k’ thì VTPT u (1;k) . Câu 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng qua: a) M 0 x0 ; y0 và vuông góc với đường thẳng Ax By C 0. b) M 0 x0 ; y0 và song song với đường thẳng Ax By C 0. Lời giải. Đường thẳng Ax By C 0 có VTPT n (A; B) , VTCP u ( B; A) . a)Đường thẳng vuông góc với đường thẳng Ax By C 0 có VTPT là u (A; B) . Vậy x x0 At phương trìnhm tha số của đường thẳng là: . y y0 Bt b)Đường thẳng song song với đường thẳng Ax By C 0 có VTCP là u ( B; A) . Vậy x x0 Bt phương trình tham số của đường thẳng là: . y y0 At Câu 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M (2;1) và có VTCP u (3;7) . Lời giải. x 2 3t Phường trình tham số của d là . y 1 7t Câu 3. Lập phương trình tham số của đường thẳng d : a)Đi qua điểm M (5;1) và có hệ số góc k 8. b)Đi qua hai điểm A(3;4) và B(4;2) . Trang 8
9. Lời giải. x 5 t a) d có hệ số góc k 8 nên có VTCP u (1;8) . Vậy phương trình tham số của d là: . y 1 8t b) d đi qua A và B nên d có VTCP u AB (1; 2) . Vậy phương trình tham số của d là: x 3 t . y 4 2t Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 9