›
›
›

Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Nguyễn Cao Cường

pdf 29 trang dichphong 7420
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Nguyễn Cao Cường", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_giai_bai_toan_bang_cach_lap_phuong_trinh_he_phuong.pdf

Nội dung text: Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - Nguyễn Cao Cường

  1. Chuyªn ®Ò Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Tµi liÖu dïng cho häc sinh «n tËp thi vµo líp 10 THPT Biªn so¹n néi dung: ThÇy gi¸o NguyÔn Cao C•êng GV : Tuyensinh247.com
  2. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh PhÇn I. ®Ò bµi Bài 1.Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 2. Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi hôn chieàu roäng 6(m) vaø bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn chu vi. Xaùc ñònh chieàu daøi vaø chieàu roäng maûnh ñaát ñoù. Bài 3.Mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 72 s¶n phÈm trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Nh•ng thùc tÕ xÝ nghiÖp l¹i giao 80 s¶n phÈm. MÆc dï ng•êi ®ã mçi giê ®· lµm thªm mét s¶n phÈm so víi dù kiÕn, nh•ng thêi gian hoµn thµnh c«ng viÖc vÉn chËm so víi dù ®Þnh lµ 12 phót. TÝnh sè s¶n phÈm dù kiÕn lµm trong 1 giê cña ng•êi ®ã. BiÕt mçi giê ng•êi ®ã lµm kh«ng qu¸ 20 s¶n phÈm Bài 4. Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng. Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? Bài 5. Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h. Bài 6.Hai « t« xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B dµi 300km, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai mçi giê 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê. TÝnh vËn tèc mçi « t«. Bài 7.Mét ca n« chuyÓn ®éng xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chuyÓn ®éng ng•îc dßng tõ B vÒ A hÕt tæng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®•êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 Km vµ vËn tèc dßng n•íc lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc thùc cña ca n« (VËn tèc cña ca n« khi n•íc ®øng yªn ). Bài 8.Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy Bài 9.Mét ng•êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B. Khi cßn c¸ch B 30 km ng•êi ®ã nhËn thÊy r»ng: NÕu gi¶m vËn tèc ®i 3km/h th× ®Õn B muén h¬n 30 phót; nÕu t¨ng vËn tèc 3km/h th× ®Õn B sím 30 phót. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña ng•êi ®i xe ®¹p. Bài 10. Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vuông mới có diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu. Bài 11. Cho sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, tæng cña ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ b»ng 14. NÕu ®æi ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cho nhau th× ®•îc sè míi lín h¬n sè ®· cho 18 ®¬n vÞ. T×m sè ®· cho. Bài 12.Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu réng ng¾n h¬n chiÒu dµi 45m. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng, biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m ®i 2 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 3 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng thay ®æi. Bài 13.Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ? Bài 14. Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định. 2 Bài 15. Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng thêm 5 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm2.Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Bài 16. Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai 6 giờ.Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc? Bài 17. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu không chứa nước) thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy một mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể thì mỗi vòi cần bao nhiêu thời gian ? Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 2
  3. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Bài 18. Một công việc nếu giao cho hai đội công nhân làm chung thì làm xong trong 4 giờ 48 phút. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu ? Biết rằng thời gian làm riêng xong công việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ. Bài 19. Hai vËt chuyÓn ®éng trªn mét ®•êng trßn cã ®•¬ng kÝnh 2m , xuÊt ph¸t cïng mét lóc tõ cïng mét ®iÓm . NÕu chóng chuyÓn ®éng cïng chiÒu th× cø 20 gi©y l¹i gÆp nhau. NÕu chóng chuyÓn ®éng ng•îc chiÒu th× cø 4 gi©y l¹i gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi vËt. Bài 20.Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn s«ng A, sau 5 giê 20 phót mét ca n« ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn, biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 km/h. Bài 21. Qu·ng ®•êng AB dµi 270 km. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. ¤ t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 12 km/h, nªn ®Õn tr•íc « t« thø hai 40 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ¤ t«. Bài 22. Mét tµu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc cña tµu thuû khi n•íc yªn lÆng, biÕt r»ng vËn tèc cña dßng n•íc lµ 4 km/h. Bài 23. Hai ca n« khëi hµnh cïng mét lóc vµ ch¹y tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B ,ca n« I ch¹y víi vËn tèc 20 km/h, ca n« II ch¹y víi vËn tèc 24 km/h. Trªn ®•êng ®i ca n« II dõng l¹i 40 phót, sau ®ã tiÕp tôc ch¹y víi vËn tèc nh• cò. TÝnh chiÒu dµi qu·ng s«ng AB, biÕt r»ng hai ca n« ®Õn B cïng mét lóc. Bài 24.Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ ®Þa ®iÓm A ®Õn ®Þa ®iÓm B dµi 240 km. Mçi giê « t« thø nhÊt ch¹y chanh h¬n « t« thø hai 12 km/h nªn ®Õn ®Þa ®iÓm B tr•íc « t« thø hai lµ 100 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi « t«. Bài 25. Mét ca n« xu«i dßng 42 km råi ng•íc dßng trë l¹i 20 km hÕt tæng céng 5 giê. BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2 km/h. TÝnh vËn tèc cña ca n« lóc dßng n•íc yªn lÆng. Bài 26. Hai ng•êi ®i xe ®¹p cïng xuÊt ph¸t mét lóc ®i tõ A ®Õn B dµi 30 km, vËn tèc cña hä h¬n kÐm nhau 3 km/h nªn ®Õn B sím muén h¬n nhau 30 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ng•êi. Bài 27. Mét ng•êi ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 78 km. sau ®ã 1 giê ng•êi thø hai ®i tõ tØnh B ®Õn tØnh A hai ng•êi gÆp nhau t¹i ®Þa ®iÓm C c¸ch B 36 km. TÝnh thêi gian mçi ng•êi ®· ®i tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau, biÕt vËn tèc ng•êi thø hai lín h¬n vËn tèc ng•êi thø nhÊt lµ 4 km/h. Bài 28.Qu·ng ®•êng AB dµi 120 km. Hai ¤ t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B,¤ t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n ¤ t« thø hai lµ 10 km/h nªn ®Õn B tr•íc ¤ t« thø hai 24 phót. TÝnh vËn tèc mçi xe. Bài 29. Mét ng•êi dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi thêi gian ®½ ®Þnh. NÕu ng•êi ®ã t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h th× ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 1 giê. NÕu ng•êi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 10 km/h th× ®Õn B muén h¬n dù ®Þnh 2 giê. TÝnh vËn tèc, thêi gian dù ®Þnh ®i vµ ®é dµi qu·ng ®•êng AB. Bài 30. Mét ca n« xu«i dßng 1 km vµ ng•îc dßng 1km hÕt tÊt c¶ 3,5 phót. NÕu ca n« xu«i 20 km vµ ng•îc 15 km th× hÕt 1 giê. TÝnh vËn tèc dßng n•íc vµ vËn tèc riªng cña ca n«. Bài 31. B¹n Hång dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 120 km trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i 1 giê, Hång nghØ 10 phót, do ®ã ®Ó ®Õn B ®óng hÑn Hång ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña Hång . Bài 32. T×m hai c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt c¹nh huyÒn b»ng 13 cm vµ tæng hai c¹nh gãc vu«ng b»ng 17. Bài 33. Mét khu v•ên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 280 m. Ng•êi ta lµm mét lèi ®i xung quanh v•ên (thuéc ®Êt v•ên ) réng 2 m, diÖn tÝch cßn l¹i ®Ó trång trät lµ 4256 m2. TÝnh kÝch th•íc ( c¸c c¹nh) cña khu v•ên ®ã Bài 34. Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m. TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m 3 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 2 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng ®æi. Bài 35. Cho mét tam gi¸c vu«ng. Khi ta t¨ng mçi c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm th× diÖn tÝch t¨ng 17 cm2. NÕu gi¶m c¸c c¹nh gãc vu«ng ®i mét c¹nh ®i 3 cm mét c¹n 1 cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 11cm2. T×m c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng ®ã. Bài 36. Mét ®éi m¸y kÐo dù ®Þnh mçi ngµy cµy 40 ha. Khi thùc hiÖn mçi ngµy cµy ®•îc 52 ha, v× vËy ®éi kh«ng nh÷ng cµy xong tr•íc thêi h¹n 2 ngµy mµ cßn cµy thªm ®•îc 4 ha n÷a. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng mµ ®éi ph¶i cµy theo kÕ ho¹ch. Bài 37. Hai ng•êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ng•êi thø nhÊt lµm trong 3 giê, ng•êi thî thø hai lµm trong 6 giê th× häc lµm ®•îc 25% khèi l•îng c«ng viÖc. Hái mçi ng•êi thî lµm mét m×nh c«ng viÖc ®ã trong bao l©u. Bài 38. Mét ®éi c«ng nh©n hoµn thµnh mét c«ng viÖc víi møc 420 ngµy c«ng. H·y tÝnh sè c«ng nh©n cña ®éi, biÕt r»ng nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ng•êi th× sè ngµy ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy. Bài 39. Hai ®éi x©y dùng cïng lµm chung mét c«ng viÖc vµ dù ®Þnh xong trong 12 ngµy. Hä cïng lµm chung víi nhau ®•îc 8 ngµy th× ®éi 1 ®•îc ®iÒu ®éng ®i lµm c«ng viÖc kh¸c, ®éi 2 tiÕp tôc lµm. Do c¶i Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 3
  4. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh tiÕn kü thuËt, n¨ng suÊt t¨ng gÊp ®«i nªn ®éi 2 ®½ lµm xong phÇn viÖc cßn l¹i trong 3,5 ngµy. Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× sau bao nhiªu ngµy sÏ lµm xong c«ng viÖc nãi trªn ( víi n¨ng suÊt b×nh th•êng). Bài 40. An vµ T©m cïng lµm mét c«ng viÖc trong 7 giê 20 phót th× xong. NÕu An lµm trong 5 giê vµ 3 T©m lµm trong 6 giê th× c¶ hai lµm ®•îc khèi l•îng c«ng viÖc. Hái mçi ng•êi lµm c«ng viÖc ®ã 4 trong mÊy giê th× xong. 4 Bài 41. Hai vßi n•íc ch¶y chung vµo mét bÓ th× sau 4 giê ®Çy bÓ. Mçi giê l•îng n•íc cña vßi I ch¶y 5 1 ®•îc b»ng 1 l•îng n•íc ch¶y ®•îc cña vßi II. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× trong bao l©u ®Çy bÓ? 2 Bài 42.Mét m¸y b¬m muèn b¬m ®Çy n•íc vµo mét bÓ chøa trong mét thêi gian quy ®Þnh th× mçi giê 1 ph¶i b¬m ®•îc 10m3. Sau khi b¬m ®•îc dung tÝch bÓ chøa, ng•êi c«ng nh©n vËn hµnh cho m¸y b¬m 3 c«ng xuÊt lín h¬n mçi giê b¬m ®•îc 15 m3. Do ®ã bÓ ®•îc b¬m ®Çy tr•íc 48 phót so víi thêi gian quy ®Þnh. TÝnh dung tÝch cña bÓ chøa ? Bài 43.Hai vßi n•íc cïng ch¶y vµo mét bÓ sau 1 giê 20 phót th× ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y trong 2 10 phót vµ vßi thø hai ch¶y trong 12 phót th× ®Çy bÓ. Hái nÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh th× bao l©u míi 15 ®Çy bÓ ? Bài 44.T×m hai sè biÕt tæng b»ng 19 vµ tæng c¸c b×nh ph•¬ng cña chóng b»ng 185. Bài 45.T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ nhá h¬n ch÷ sè hµng chôc lµ 2 vµ tÝch cña hai ch÷ sè ®ã cña nã lu«n lín h¬n tæng hai ch÷ sè cña nã lµ 34. Bài 46.§oµn häc tËp h•íng nghiÖp t¹i B¸t Trµng cña tr•êng THCS Th¸i ThÞnh gåm180 häc sinh. NÕu dïng lo¹i xe lín chuyªn chë mét l•ît hÕt sè häc sinh th× ph¶i ®iÒu ®éng Ýt h¬n dïng lo¹i xe nhá lµ 2 chiÕc. BiÕt r»ng mçi ngÕ ngåi 1 häc sinh vµ mçi xe lín nhiÒu h¬n xe nhá lµ 15 chç ngåi. TÝnh sè xe lín ? Bài 47. Mét ®éi xe ph¶i chë 168 tÊn thãc. NÕu t¨ng thªm 6 xe vµ chë thªm 12 tÊn thãc th× mçi xe chë nhÑ h¬n lóc ®Çu lµ 1 tÊn. Hái lóc ®Çu mçi cã bao nhiªu xe ? Bài 48. Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®•îc xÕp thµnh tõng d·y vµ sè ghÕ cña tõng d·y ®Òu nh• nhau. NÕu sè d·y t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ cña mçi d·y t¨ng thªm 1, th× trong phßng cã 400 ghÕ. Hái trong phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ, mçi d·y cã bao nhiªu ghÕ. Bài 49.Cho mét sè cã hai ch÷ sè. T×m sè ®ã, biÕt r»ng tæng hai ch÷ sè cña nã nhá h¬n sè ®ã 6 lÇn, nÕu thªm 25 vµo tÝch cña hai ch÷ sè ®ã sÏ ®•îc mét sè theo thø tù ng•îc l¹ivíi sè ®½ cho. Bài 50.Trong th¸ng ®Çu hai tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc 800 chi tiÕt m¸y. Sang th¸ng thø hai tæ v•ît møc 15%, tæ II s¶n xuÊt v•ît møc 20%, do ®ã cuèi th¸ng c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®•îc 945 chi tiÕt m¸y. Hái r»ng trong th¸ng ®Çu, mçi tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. Bài 51.N¨m ngo¸i d©n sè cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ng•êi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2 % cßn tØnh B t¨ng 1,1 %, tæng d©n sè cña hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ng•êi. TÝnh d©n sè cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay. Bài 52.Trong th¸ng ®Çu, hai tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc 720 chi tiÕt m¸y. Sang th¸ng thø hai tæ v•ît møc 15%, tæ II s¶n xuÊt v•ît møc 12%, do ®ã cuèi th¸ng c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®•îc 819 chi tiÕt m¸y. Hái r»ng trong th¸ng ®Çu, mçi tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. Bài 53.Hai vßi n•íc cïng ch¶y ®Çy mét bÎ kh«ng cã n•íc trong 3h 45ph . NÕu ch¶y riªng, mçi vßi ph¶i ch¶y trong bao l©u míi ®Çy bÓ ? biÕt r»ng vßi ch¶y sau l©u h¬n vßi tr•íc 4 h . Bài 54.Hai ng•êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc . NÕu lµm riªng, mçi ng•êi nöa viÖc th× tæng sè giê lµm viÖc lµ 12h 30ph . NÕu hai ng•êi cïng lµm th× hai ng•êi chØ lµm viÖc ®ã trong 6 giê. Nh• vËy, lµm viÖc riªng c¶ c«ng viÖc mçi ng•êi mÊt bao nhiªu thêi gian ? Bài 55.Hai tæ thanh niªn t×nh nguyÖn cïng söa mét con ®•êng vµo b¶n trong 4 giê th× xong . NÕu lµm riªng th× tæ 1 lµm nhanh h¬n tæ hai 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× bao l©u sÏ xong viÖc? Bài 56.Hai ®éi c«ng nh©n lµm mét ®o¹n ®•êng . §éi 1 lµm xong mét nöa ®o¹n ®•êng th× ®éi 2 ®Õn lµm tiÕp nöa cßn l¹i víi thêi gian dµi h¬n thêi gian ®éi 1 ®· ®· lµm lµ 30 ngµy . NÕu hai ®éi cïng lµm th× trong 72 ngµy xong c¶ ®o¹n ®•êng .Hái mçi ®éi ®· lµm bao nhiªu ngµy trªn ®o¹n ®•êng nµy ? Bài 57.Hai ®éi c«ng nh©n trång rõng ph¶i hoµn thµnh kÕ ho¹ch trong cïng mét thêi gian . §éi 1 ph¶i trång 40 ha , ®éi 2 ph¶i trång 90 ha . §éi 1 hoµn thµnh c«ng viÖc sím h¬n 2 ngµy so víi kÕ ho¹ch .§éi 2 hoµn thµnh muén h¬n 2 ngµy so víi kÕ ho¹ch . NÕu ®éi 1 lµm c«ng viÖc trong mét thêi gian b»ng thêi gian Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 4
  5. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh ®éi 2 ®· lµm vµ ®éi 2 lµm tr«ng thêi gian b»ng ®éi 1 ®· lµm th× diÖn tÝch trång ®•îc cña hai ®éi b»ng nhau . TÝnh thêi gian mçi ®éi ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch ? Bài 58.Hai ng•êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ng•êi thø nhÊt lµm trong 3 giê vµ ng•êi thø hai lµm trong 6 giê th× hä lµm ®•îc 25% c«ng viÖc . Hái mçi ng•êi lµm c«ng viÖc ®ã trong mÊy giê th× xong . Bài 59. Hai vßi n•íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng chøa n•íc th× sau 6 giê ®Çy bÓ . NÕu vßi thø nhÊt ch¶y 2 trong 2 giê , vßi thø 2 ch¶y trong 3 giê th× ®•îc bÓ . Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh trong bao l©u th× ®Çy 5 bÓ ? Bài 60. Hai ng•êi dù ®Þnh lµm mét c«ng viÖc trong 12 giê th× xong . Hä lµm víi nhau ®•îc 8 giê th× ng•êi thø nhÊt nghØ , cßn ng•êi thø hai vÉn tiÕp tôc lµm . Do cè g¾ng t¨ng n¨ng suÊt gÊp ®«i , nªn ng•êi thø hai ®· lµm xong c«ng viÖc cßn l¹i trong 3giê 20phót . Hái nÕu mçi ng•êi thî lµm mét m×nh víi n¨ng suÊt dù ®Þnh ban ®Çu th× mÊt bao l©u míi xong c«ng viÖc nãi trªn ? Bài 61. Hai ng•êi A vµ B lµm xong c«ng viÖc tr«ng 72 giê , cßn ng•êi A vµ C lµm xong c«ng viÖc trong ®ã trong 63 giê vµ ng•êi B vµ C lµm xong c«ng viÖc Êy trong 56 giê . Hái nÕu mçi ng•êi lµm mét m×nh th× trong bao l©u th× trong bao l©u sÏ lµm xong c«ng viÖc .NÕu ba ng•êi cïng lµm sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc trong mÊy giê ? Bài 62. Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B c¸ch nhau 24 km; cïng lóc ®ã, còng tõ A vÒ B mét bÌ nøa tr«i víi vËn tèc dßng n•íc lµ 4 km/h. Khi ®Õn B ca n« quay l¹i ngay vµ gÆp bÌ nøa t¹i ®Þa ®iÓm C c¸ch A lµ 8 km. TÝnh vËn tèc thùc cña ca n«. Bài 63.Hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm chung mét c«ng viÖc . Thêi gian ®Ó ®éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc Ýt h¬n thêi gian ®Ó ®éi II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc ®ã lµ 4 giê . Tæng thêi gian nµy gÊp 4,5 lÇn thêi gian hai ®éi cïng lµm chung ®Ó xong c«ng viÖc ®ã . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× ph¶i bao l©u míi xong. Bài 64. Mét tÊm s¾t h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 96 cm. Ng•êi ta c¾t ra ë mçi gãc mét h×nh vu«ng c¹nh 4 cm råi gÊp lªn thµnh mét h×nh hép ch÷ nhËt kh«ng n¾p cã thÓ tÝch 768 cm3. TÝnh kÝch th•íc cña tÊm s¾t. Bài 65. Mét nhãm thî ®Æt kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 3000 s¶n phÈm. Trong 8 ngµy ®Çu hä thùc hiÖn ®óng møc ®Ò ra, nh÷ng ngµy cßn l¹i hä ®· v•ît møc mçi ngµy 10 s¶n phÈm, nªn ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím 2 ngµy. Hái theo kÕ ho¹ch mçi ngµy cÇn s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm? 3 Bài 66.Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng chiÒu réng. NÕu bít mçi chiÒu ®i 5cm th× diÖn tÝch h×nh 2 ch÷ nhËt ®ã gi¶m ®i 16 % . TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 5
  6. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh PhÇn II. Lêi gi¶i hoÆc gîi ý Bài 1) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Đáp án: Gọi vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h; x > 0) Thì vận tốc khi người đó đi từ B về A là : x + 3 (km/h) 36 Thời gian người đó đi từ A đến B là: x (h) 36 Thời gian người đó đi từ B về A là: x 3 (h) Vì thời gian về ít hơn thời gian đi nên ta có phương trình : 3 2 - = 5 x + 3x - 180 = 0 Có = 729 > 0 Giải được: x1 = 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn) x2 = -15 (không thoả mãn điều kiện của ẩn) Vậy vận tốc của người đó đi từ A đến B là 12 km/h. Bà i 2) Moät maûnh ñaát hình chöõ nhaät coù chieàu daøi hôn chieàu roäng 6(m) vaø bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo gaáp 5 laàn chu vi. Xaùc ñònh chieàu daøi vaø chieàu roäng maûnh ñaát ñoù. Đáp án Goïi x(m) laø chieàu daøi maûnh ñaát hình chöõ nhaät.(ÑK: x> 6) => x-6 (m) laø chieàu roäng maûnh ñaát hình chöõ nhaät chu vi maûnh ñaát laø 2. x+ x-6 = 2. 2x-6 4x 12 Theo ñònh lí Pitago ; bình phöông ñoä daøi ñöôøng cheùo seõ laø: : 2 x2 x-6 x 2 x 2 36 12xx 2x 2 12 36 Ta coù phöông trình :2x2 12 x 365.4 x 12 2x2 12xx 36 20 60 2x2 32x 96 0 x2 16x 48 0 ' 64 48 16 ' 16 4  0 8 4 8 4 Phöông trình co ùhai nghieäm: x 12( nhaän ) vaø x 4  6 loaïi 1211 Vaäy chieàu daøi maûnh ñaát laø 12(m) vaø chieàu roäng maûnh ñaát laø 6(m) Bài 3.Mét c«ng nh©n dù ®Þnh lµm 72 s¶n phÈm trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Nh•ng thùc tÕ xÝ nghiÖp l¹i giao 80 s¶n phÈm. MÆc dï ng•êi ®ã mçi giê ®· lµm thªm mét s¶n phÈm so víi dù kiÕn, nh•ng thêi gian hoµn thµnh c«ng viÖc vÉn chËm so víi dù ®Þnh lµ 12 phót. TÝnh sè s¶n phÈm dù kiÕn lµm trong 1 giê cña ng•êi ®ã. BiÕt mçi giê ng•êi ®ã lµm kh«ng qu¸ 20 s¶n phÈm Giải: Gäi n¨ng suÊt cña c«ng nh©n ®ã lµ x (x N*, x<20; sp/h) *) Theo dù ®Þnh: - Sè s¶n phÈm ng•êi c«ng nh©n ®ã ph¶i lµm lµ 72 (sp) 72 - Thêi gian dù ®Þnh hoµn thµnh c«ng viÖc lµ (h) x Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 6
  7. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh *) Thùc tÕ: - Sè s¶n phÈm ng•êi c«ng nh©n ®ã ph¶i lµm lµ 80 (sp) - N¨ng suÊt cña c«ng nh©n lµ x+1(sp/h) 80 - Thêi gian dù ®Þnh hoµn thµnh c«ng viÖc lµ (h) x1 1 80 72 1 *)V× thùc tÕ hoµn thµnh c«ng viÖc chËm 12’ = (h) nªn ta cã pt: 5 x 1 x 5 Bài 4. Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng. Nh•ng có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn. Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? Giải: Gọi x là số xe của đội xe lúc đầu ( x > 5, x N*, xe). 150 Lượng hàng mỗi xe dự định phải chuyển là: (tấn) x Số xe thực tế khi làm việc là : x -5 (xe) 150 Nên lượng hàng mỗi xe phải chở thực tế là : (tấn) x5 150 150 Theo đề ra ta có phương trình : - = 5 x5 x Rút gọn, ta có phương trình : x2 -5x -150 = 0 Giải ra ta được x1 = 15 (nhận), x2 = -10 (loại)Vậy đội xe ban đầu có 15 chiếc Bài 5) Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h. Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc của người đi xe đạp (Đ k: x > 0) Vận tốc người đi xe máy là x+18 (km/h) 50 Thời gian người đi xe đạp từ A đến B là h x 50 Thời gian người đi xe mày từ A đến B là h x 18 50 50 5 Theo bài ta có phương trình -= xx+ 18 2 Giải phương trình tìm được x = 12 (chọn) , x = –30 (loại) Trả lời vận tốc xe đạp 12 km/h, vận tốc xe máy 12+18=30(km/h) 6) Hai « t« xuÊt ph¸t tõ A ®Õn B dµi 300km, « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai mçi giê 10 km nªn ®Õn B sím h¬n « t« thø hai 1 giê. TÝnh vËn tèc mçi « t«. Giả i: Gäi x km/h lµ vËn tèc cña xe thø nhÊt (x >10) 300 Th× vËn tèc cña xe thø 2 lµ x-10 (km/h) Th× thêi gian cña xe thø nhÊt tõ A ®Õn B lµ (h) x 300 Thêi gian cña xe thø 2 tõ A ®Õn B lµ (h) x 10 300 300 Theo bµi ra cã PT : - =1 Gi¶i PT ra cã c¸c nghiÖm lµ x = - 50 (loại) vµ x = 60 (nhận) x 10 x VËy vËn tèc cña xe thø nhÊt lµ 60 km/h vµ xe 2 lµ 60-10=50 (km/h) 7) Mét ca n« chuyÓn ®éng xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B sau ®ã chuyÓn ®éng ng•îc dßng tõ B vÒ A hÕt tæng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®•êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 Km vµ vËn tèc dßng n•íc lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc thùc cña ca n« (VËn tèc cña ca n« khi n•íc ®øng yªn ). Giả i: Gäi vËn tèc thùc cña ca n« lµ x ( km/h) ( x>5) VËn tèc xu«i dßng cña ca n« lµ x + 5 (km/h) VËn tèc ng•îc dßng cña ca n« lµ x - 5 (km/h) Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 7
  8. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 60 60 Thêi gian ca n« ®i xu«i dßng lµ : ( giê) Thêi gian ca n« ®i xu«i dßng lµ : ( giê) x 5 x 5 Theo bµi ra ta cã PT: + = 5 60(x-5) +60(x+5) = 5(x2 - 25) 5 x2 - 120 x - 125 = 0  x1 = -1 ( kh«ng TM§K)  x2 = 25 ( TM§K) VËy v©n tèc thùc cña ca n« lµ 25 km/h. 8) Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy Giải: C¸ch 1: Nöa chu vi cña HCN lµ 80cm Gäi chiÒu dµi cña HCN lµ x (0x y>0) Ta coù phöông trình: xy 80 xy 1500 x 2 80x 1500 0 x1 50 c. dai 50 x 2 30 c. rong 30 Bài 9) Mét ng•êi ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B. Khi cßn c¸ch B 30 km ng•êi ®ã nhËn thÊy r»ng: NÕu gi¶m vËn tèc ®i 3km/h th× ®Õn B muén h¬n 30 phót; nÕu t¨ng vËn tèc 3km/h th× ®Õn B sím 30 phót. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña ng•êi ®i xe ®¹p. Giải: Gäi vËn tèc ban ®Çu cña ng•êi ®ã lµ x (x >3;km/h) *) NÕu gi¶m vËn tèc 3km/h: - VËn tèc cña ng•êi ®ã lµ x – 3 (km/h) 30 - Thêi gian ng•êi ®ã ®i hÕt 30km lµ : (h) x3 *) NÕu t¨ng vËn tèc 3km/h: - VËn tèc cña ng•êi ®ã lµ x + 3 (km/h) 30 - Thêi gian ng•êi ®ã ®i hÕt 30km lµ : (h) x3 30 1 30 1 *) Ta cã pt: x 3 2 x 3 2 Bài 10) Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 8m . Nếu tăng một cạnh góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vuông mới có diện tích là 51m2 . Tính độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu. Giải: Gọi độ dài cạnh góc vuông bé là x (m) (đ/k: x0 ) Thì độ dài cạnh góc vuông lớn là x + 8 (m) 1 x 8 1x Theo đề bài ta có PT: .2x. 51 hoặc . .2(x 8) 51 23 23 2 x 8x 153 0 ; Giải PT được : x12 9 (tm®k) ; x 17 (lo ¹i) Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 8
  9. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Vậy: độ dài cạnh góc vuông bé là 9m ; độ dài cạnh góc vuông lớn là 17m Bài 11) Cho sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, tæng cña ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ b»ng 14. NÕu ®æi ch÷ sè hµng chôc vµ ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cho nhau th× ®•îc sè míi lín h¬n sè ®· cho 18 ®¬n vÞ. T×m sè ®· cho. Giải: Gäi ch÷ sè hµng chôc cña sè cÇn t×m lµ x, ®iÒu kiÖn x , 0 0;m) ChiÒu dµi HCN lµ x + 45(m) Chu vi HCN lµ [x + (x+45)].2=4x+90 (m) x 45 NÕu chiÒu dµi gi¶m ®i hai lÇn th× chiÒu dµi cã kÝch th•íc lµ (m) 2 NÕu chiÒu réng t¨ng 3 lÇn th× chiÒu réng cã ®é dµi lµ 3x (m) x 45 Chu vi HCN lóc nµy lµ 3x .2 7x 45(m) . 2 V× chu vi HCN kh«ng thay ®æi nªn ta cã pt: 4x + 90 = 7x + 45 Gi¶i pt ta cã: x = 15. C¸ch 2. Gäi chiÒu dµi cña thöa ruéng lµ x(m) ChiÒu réng cña thöa ruéng lµ y(m) ( x>45, x>y>0) xy 45 => x Gi¶i hÖ ta ®•îc x = 60, y = 15 (tho¶ m·n) 3y x y 2 VËy diÖn tÝch cña thöa ruéng lµ: 60.15 = 900(m2). Bài 13) Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?. Gi¶i: Gäi sè sp tæ I lµm theo kÕ ho¹ch lµ x (x N*, x < 600; sp) Sè s¶n phÈm tæ II lµm theo kÕ ho¹ch lµ 600 – x (sp) Thùc tÕ: Tæ I lµm ®•îc 118%x (sp) Tæ II lµm ®•îc 121%(600-x) (sp) V× thùc tÕ hai tæ lµm ®•îc 600+120 = 720 (sp) nªn ta cã pt: 118%x+121%(600-x) = 720. Gi¶i pt ta cã x = 200sp. C¸ch 2: Gi¶i b»ng c¸ch lËp hpt. Bài 14) Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ. Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 9
  10. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Tính vận tốc dự định và thời gian dự định. Giải: Gọi thời gian dự định là x (x >2;h) vận tốc dự định là (y > 4;km/h) * Quãng đường AB dài là: x.y (km) * Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì thời gian đi sẽ tăng lên 1 giờ nên ta có: (x + 1)(y - 4) = x.y -4x + y = 4 * Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì thời gian đi sẽ bớt đi 2 giờ nên ta có: (x - 2)(y + 14) = x.y 14x - 2y = 28 Theo bài ra ta có hệ phương trình: 4x y 4 (1) 14x 2y 28 (2) 8x 2y 8 (1') 14x 2y 28 (2') Cộng từng vế của hai phương trình ta có: 6x = 36 x = 6 Thay x = 6 vào (1) ta có y = 28 Đáp số: Thời gian dự định là 6 giờ và vận tốc dự định là 28km/giờ. 2 Bài 15) Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng 5 thêm 3 dm thì diện tích của nó giảm đi 14 dm2.Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. Giải: C¸ch 1: Gäi c¹nh ®¸y cña tam gi¸c lµ x (x>0,dm) 2 ChiÒu cao cña tam gi¸c lµ: x (dm) 5 1 2 1 DiÖn tÝch cña tam gi¸c lµ . x.x x2 (dm2) 2 5 5 Sau khi thay ®æi ®é dµi: ChiÒu cao cña tam gi¸c lµ -2 (dm) C¹nh ®¸y cña tam gi¸c lµ x + 3 (dm) 12 DiÖn tÝch cña tam gi¸c lóc nµy lµ : .( x 2).(x 3) (dm2) 25 V× diÖn tÝch cña tam gi¸c gi¶m 14dm2 nªn ta cã ph•¬ng tr×nh: 1 1 2 x2 .( x 2).(x 3) 14 5 2 5 55 Gi¶i pt ta cã: x 2 C¸ch 2:Gọi chiều cao và cạnh đáy của tam giác đã cho là x và y (x > 0; y > 0, tính bằng dm). Theo bài ra ta có hệ phương trình: 2 xy 2 5 xy 5 11 xy (x 2)(y 3) 14 xy (xy 3x 2y 6) 28 22 Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 10
  11. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 2 x 11 xy 5 55 (thỏa mãn điều kiện). y 3x 2y 22 2 55 Trả lời: Chiều cao của tam giác là 11 dm và cạnh đáy của tam giác là dm . 2 Bài 16) Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ. Nếu mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai 6 giờ.Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc? Giải : C¸ch 1: Gi¶i b»ng c¸ch lËp hÖ pt. Gäi thêi gian ng•êi thø nhÊt lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x (x>4;h) Gäi thêi gian ng•êi thø hai lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ y (y>4;h). 1 Mçi giê ng•êi thø nhÊt lµm ®•îc (c«ng viÖc) x 1 Mçi giê ng•êi thø hai lµm ®•îc (c«ng viÖc). y 1 Mçi giê hai ng•êi cïng lµm ®•îc (c«ng viÖc) 4 1 1 1 Ta cã pt: (1) x4y NÕu lµm mét m×nh th× ng•êi thø nhÊt lµm Ýt thêi gian h¬n ng•êi thø hai lµ 6 giê nªn ta cã pt: y – x = 6 (2) 1 1 1 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: x y 4 . Gi¶i hpt ta cã x = 6; y = 12 y x 6 C¸ch 2. Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc là x ( x > 4;h) người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc hết (x + 6) giờ. Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được công việc 1 Trong 1 giờ, người thứ hai làm được công việc x + 6 1 Trong 1 giờ, nêu làm chung cả hai người làm được công việc. 4 Nên ta có phương trình: + = 4(x + 6) + 4x = x(x + 6) x2 – 2x – 24 = 0 Phương trình có hai nghiệm: x1 = 6 (t/m) ; x2 = – 4 (loại). Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình để hoàn thành công việc là 6 giờ thời gian người thứ hai làm một mình để hoàn thành công việc là 6 + 6 = 12( giờ) Bài 17) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu không chứa nước) thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy một mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể thì mỗi vòi cần bao nhiêu thời gian ? Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 11
  12. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Giải: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi II là x (x>6;h) Thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I là x + 5 (giờ) 1 1 1 Trong một giờ, vòi I chảy được bể, vòi II chảy được bể, cả hai vòi chảy được bể. Ta có x5 x 6 phương trình : + = x2 – 7x – 30 = 0 = 49 + 120 = 169 = 13 x1 = -3 (loại) , x2 = 10 (thoả mãn). Vậy để chảy một mình đầy bể vòi II cần 10 giờ, vòi I cần 10 + 5 = 15 (giờ) C¸ch 2: Gi¶i b»ng c¸ch lËp hÖ pt: T•¬ng tù bµi 16. Bài 18) Một công việc nếu giao cho hai đội công nhân làm chung thì làm xong trong 4 giờ 48 phút. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội hoàn thành công việc trong bao lâu ? Biết rằng thời gian làm riêng xong công việc của đội II nhiều hơn thời gian của đội I là 4 giờ. 24 Giải: Đổi 4 giờ 48 phút = giờ. 5 24 Gọi thời gian làm riêng xong công việc của đội I là x (x > ;h) 5 Thời gian làm riêng xong công việc của đội II là x + 4 ( giờ) 1 1 5 Trong một giờ, đội I làm được công việc, đội II làm được công việc, cả hai đội làm được x x4 24 công việc. 1 1 5 Ta có phương trình : + = . 5x2 – 28x - 96 = 0 x x4 24 / / = 196 + 480 = 676 = 26. x1 = 8 (thoả mãn) , x2 = -2,4 (loại). Vậy để làm một mình hoàn thành công việc đội I cần 8 giờ, đội II cần 12 giờ. 19) Hai vËt chuyÓn ®éng trªn mét ®•êng trßn cã ®•¬ng kÝnh 2m , xuÊt ph¸t cïng mét lóc tõ cïng mét ®iÓm . NÕu chóng chuyÓn ®éng cïng chiÒu th× cø 20 gi©y l¹i gÆp nhau. NÕu chóng chuyÓn ®éng ng•îc chiÒu th× cø 4 gi©y l¹i gÆp nhau. TÝnh vËn tèc cña mçi vËt. Gi¶i Gäi vËn tèc cña vËt I lµ x ( m/s).(x> 0). Gäi vËn tèc cña vËt II lµ y ( m/s).(y> 0), (x>y). Sau 20 s hai vËt chuyÓn ®éng ®•îc qu·ng ®•êng lµ 20x, 20y ( m ). V× nÕu chóng chuyÓn ®éng cïng chiÒu th× cø 20 gi©y l¹i gÆp nhau do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 20x – 20y = 20 Sau 4 s hai vËt chuyÓn ®éng ®•îc qu·ng ®•êng lµ 4x, 4y ( m ). V× nÕu chóng chuyÓn ®éng ng•îc chiÒu th× cø 4 gi©y l¹i gÆp nhau do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 4x + 4y = 20 20x 20y 20 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: 4x 4y 20 x 3 Gi¶i hÖ PT ta ®•îc: ; VËy vËn tèc cña hai vËt lµ: 3 (m/s) vµ 2 (m/s). y 2 Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 12
  13. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 20) Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ bÕn s«ng A, sau 5 giê 20 phót mét ca n« ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn, biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 km/h. Gi¶i Gäi vËn tèc cña cña thuyÒn lµ x ( km/h).(x> 0). Ta cã vËn tèc cña ca n« lµ x + 12 (km/h). 20 Thêi gian thuyÒn ®i hÕt qu·ng ®•êng 20 km lµ: ( h). x 20 Thêi gian ca n« ®i hÕt qu·ng ®•êng 20 km lµ: ( h). x 12 V× sau 5 giê 20 phót mét ca n« ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km, do 20 20 16 ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: - = ; gi¶i PTBH x2 + 12x – 45 =0 ta ®•îc x = 3 (TM). x x 12 3 VËy vËn tèc cña ca n« lµ 15 km/h. 21) Qu·ng ®•êng AB dµi 270 km. Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. ¤ t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 12 km/h, nªn ®Õn tr•íc « t« thø hai 40 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ¤ t«. Gi¶i Gäi vËn tèc cña « t« thø nhÊt lµ x ( km/h).( ®iÒu kiÖn :x > 12). Ta cã vËn tèc cña « t« thø hai lµ x - 12 (km/h). 270 Thêi gian « t« thø nhÊt ®i hÕt qu·ng ®•êng AB lµ: ( h). x 270 Thêi gian «- t« thø hai ®i hÕt qu·ng ®•êng AB lµ: ( h). x 12 V× hai « t« cïng xuÊt ph¸t vµ « t« thø nhÊt ®Õn B tr•íc « t« thø hai lµ 40 P nªn ta cã PT: 270 270 2 - = x 12 x 3 Gi¶i PTBH ta ®•îc x= 6+12 34 VËy vËn tèc cña « t« thø nhÊt 6+12 34 km/h, « t« thø hai lµ 12 - 6 km/h. 22) Mét tµu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc cña tµu thuû khi n•íc yªn lÆng, biÕt r»ng vËn tèc cña dßng n•íc lµ 4 km/h. Gi¶i Gäi vËn tèc cña tµu thuû khi n•íc yªn lÆng lµ x ( km/h).(x> 4). VËn tèc tµu thuû khi ®i xu«i dßng: x + 4 ( km/h). VËn tèc tµu thuû khi ®i ng•îc dßng: x - 4 ( km/h). 80 80 Thêi gian tµu thuû ®i xu«i dßng lµ: (h), Thêi gian tµu thuû ®i ng•îc dßng lµ: (h). x 4 x 4 V× tæng thêi gian c¶ xu«i dßng vµ ng•îc dßng lµ 8 giê 20 phót do ®o ta cã ph•¬ng tr×nh: 80 80 25 + = . x 4 x 4 3 Gi¶i PTBH: ®•îc: x = 20 (TM). VËy vËn tèc tµu thuû khi n•íc yªn lÆng lµ: 20 km/h. 23) Hai ca n« khëi hµnh cïng mét lóc vµ ch¹y tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B ,ca n« I ch¹y víi vËn tèc 20 km/h, ca n« II ch¹y víi vËn tèc 24 km/h. Trªn ®•êng ®i ca n« II dõng l¹i 40 phót, sau ®ã tiÕp tôc ch¹y víi vËn tèc nh• cò. TÝnh chiÒu dµi qu·ng s«ng AB, biÕt r»ng hai ca n« ®Õn B cïng mét lóc. Gi¶i Gäi chiÒu dµi qu·ng s«ng A B lµ x ( km).(x> 0). x Ta cã thêi gian can« I ch¹y tõ A ®Õn B lµ: ( h), 20 x Thêi gian can« II ch¹y tõ A ®Õn B lµ: ( h). 24 Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 13
  14. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh x x 2 Trªn ®•êng ®i ca n« II dõng l¹i 40 phót vµ cïng ®Õn B do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: - = 20 24 3 Gi¶i PTBN ta ®•îc x = 80 km. VËy qu·ng ®•êng AB lµ 80km. 24) Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc tõ ®Þa ®iÓm A ®Õn ®Þa ®iÓm B dµi 240 km. Mçi giê « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai 12 km/h nªn ®Õn ®Þa ®iÓm B tr•íc « t« thø hai lµ 100 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi « t«. Gi¶i Gäi vËn tèc cña « t« thø hai lµ x ( km/h).(x> 0). Ta cã vËn tèc cña « t« thø nhÊt lµ x + 12 km/h. 240 Thêi gian « t« thø hai ®i hÕt qu·ng ®•êng AB lµ: ( h). x 240 Thêi gian « t« thø nhÊt ®i hÕt qu·ng ®•êng AB lµ: ( h). x 12 5 V× « t« thø nhÊt ®Õn ®Þa ®iÓm B tr•íc « t« thø hai lµ 100 phót do ®ã ta cã PT: - = 3 Gi¶i PTBH ta ®•îc x= 36. VËy vËn tèc cña « t« thø nhÊt 48 km/h, « t« thø hai lµ 36 km/h. 25) Mét ca n« xu«i dßng 42 km råi ng•íc dßng trë l¹i 20 km hÕt tæng céng 5 giê. BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2 km/h. TÝnh vËn tèc cña ca n« lóc dßng n•íc yªn lÆng. Gi¶i Gäi vËn tèc cña ca n« khi n•íc yªn lÆng lµ x ( km/h).(x> 2). VËn tèc ca n« khi ®i xu«i dßng: x + 2 ( km/h). VËn tèc ca n« khi ®i xu«i dßng: x - 2 ( km/h). 42 Thêi gian ca n« ®i xu«i dßng lµ: (h). x 2 20 Thêi gian ca n« ®i ng•îc dßng lµ: (h). x 2 V× tæng thêi gian c¶ xu«i dßng vµ ng•îc dßng lµ 5 giê do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: + = 5. Gi¶i PTBH: 5x2 - 62x + 24 = 0 ta ®•îc: x = 12 (TM). VËy vËn tèc ca n« khi n•íc yªn lÆng lµ: 12 km/h. 26) Hai ng•êi ®i xe ®¹p cïng xuÊt ph¸t mét lóc ®i tõ A ®Õn B dµi 30 km, vËn tèc cña hä h¬n kÐm nhau 3 km/h nªn ®Õn B sím muén h¬n nhau 30 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ng•êi. Gi¶i Gäi vËn tèc cña ng•êi ®i chËm lµ x ( km/h).(x> 0). Ta cã vËn tèc cña ng•êi ®i nhanh lµ x + 3 (km/h). 30 Thêi gian ng•êi ®i nhanh tõ A ®Õn B lµ (h). x 3 30 Thêi gian ng•êi ®i chËm tõ A ®Õn B lµ (h). x 1 V× hai ng•êi ®Õn B sím, muén h¬n nhau 30 phót do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: - = 2 Gi¶i PTBH: x2 + 3x - 180 = 0 ta ®•îc x = 12 ( TM) VËy vËn tèc cña ng•êi ®i nhanh lµ 15km/h, vËn tèc cña ng•êi ®i chËm lµ:12 km/h. 27) Mét ng•êi ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 78 km. sau ®ã 1 giê ng•êi thø hai ®i tõ tØnh B ®Õn tØnh A hai ng•êi gÆp nhau t¹i ®Þa ®iÓm C c¸ch B 36 km. TÝnh thêi gian mçi ng•êi ®· ®i tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau, biÕt vËn tèc ng•êi thø hai lín h¬n vËn tèc ng•êi thø nhÊt lµ 4 km/h. Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 14
  15. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Gi¶i Gäi vËn tèc cña ng•êi ®i tõ A lµ x ( km/h).(x> 0). 42 Thêi gian ng•êi ®i tõ A, tÝnh tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau lµ: (h). x VËn tèc cña ng•êi ®i tõ B lµ x + 4 ( km/h). 36 Thêi gian ng•êi ®i tõ B, tÝnh tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau lµ: (h). x 4 42 V× hai ng•êi gÆp nhau t¹i C, ng•êi thø hai ®i sau ng•êi thø nhÊt 1 giê do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: - x =1; Gi¶i PTBH: x2 - 2x - 168 = 0 ta ®•îc x= 14 (TM). VËy thêi gian ng•êi ®i tõ A tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau lµ: 3 giê. thêi gian ng•êi ®i tõ B tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau lµ: 2 giê. 28) Qu·ng ®•êng AB dµi 120 km. Hai ¤ t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B,¤ t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n ¤ t« thø hai lµ 10 km/h nªn ®Õn B tr•íc ¤ t« thø hai 24 phót. TÝnh vËn tèc mçi xe. Gi¶i Gäi vËn tèc cña « t« thø nhÊt lµ x ( km/h).(x> 10). Ta cã vËn tèc cña « t« thø hai lµ x - 10 ( km/h). 120 `Thêi gian « t« thø nhÊt ®i hÕt qu·ng ®•êng AB lµ: ( h). x 120 Thêi gian « t« thø hai hÕt qu·ng ®•êng AB lµ: ( h). x 10 V× « t« thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n « t« thø hai lµ 10 km/h nªn ®Õn B tr•íc « t« thø hai 24 phót do ®ã 2 ta cã ph•¬ng tr×nh: - = 5 Gi¶i PT BH: x2 - 10x - 300 = 0 ta ®•îc x= 60 (TM). VËy vËn tèc cña « t« thø nhÊt lµ : 60 km/h ,vËn tèc cña « t« thø hai lµ : 50 km/h. 29) Mét ng•êi dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B víi thêi gian ®½ ®Þnh. NÕu ng•êi ®ã t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h th× ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 1 giê. NÕu ng•êi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 10 km/h th× ®Õn B muén h¬n dù ®Þnh 2 giê. TÝnh vËn tèc, thêi gian dù ®Þnh ®i vµ ®é dµi qu·ng ®•êng AB. Gi¶i : Gäi vËn tèc dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B cña ng•êi ®ã lµ x ( km/h).(x> 10). Gäi thêi gian dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B cña ng•êi ®ã lµ y (h).(y> 1). Ta cã ®é dµi cña qu·ng ®•êng AB lµ x.y ( km) V× nÕu ng•êi ®ã t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h th× ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 1 giê do ®ã ta cã PT (x + 10).(y-1) =xy. (1) V× nÕu ng•êi ®ã gi¶m vËn tèc ®i 10 km/h th× ®Õn B muén h¬n dù ®Þnh 2 giê do ®ã ta cã PT (x - 10).(y+2) =xy (2) (x 10)(y 1) xy x 30 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: ;gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc (x 10)(y 2) xy y 4 VËy v©n tèc dù ®Þnh lµ 30 km/h, thêi gian dù ®Þnh lµ 4 giê, Qu·ng ®•êng AB lµ 120 km. 30) Mét ca n« xu«i dßng 1 km vµ ng•îc dßng 1km hÕt tÊt c¶ 3,5 phót. NÕu ca n« xu«i 20 km vµ ng•îc 15 km th× hÕt 1 giê. TÝnh vËn tèc dßng n•íc vµ vËn tèc riªng cña ca n«. Gi¶i : Gäi vËn tèc riªng cña ca n« lµ x ( km/phót), ( x> 0). Gäi vËn tèc riªng cña dßng n•íc lµ y ; ( km/phót), ( y> 0) ; (x> y). Ta cã vËn tèc cña ca n« khi ®i xu«i dßng lµ x+ y ( km/phót), ng•îc dßng lµ x - y ( km/phót). 1 Thêi gian ca n« xu«i dßng 1 km lµ ( phót ). x y Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 15
  16. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 1 Thêi gian ca n« ng•îc dßng 1 km lµ ( phót ). x y V× tæng thêi gian xu«i dßng 1 km vµ ng•îc dßng 1km hÕt tÊt c¶ 3,5 phót do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh ( 1) lµ 1 + =3,5 x y V× tængthêi gian ca n« xu«i dßng 20 km vµ ng•îc 15 km th× hÕt 1 giê do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh (2) 20 15 + =60 x y x y 1 1 3.5 x y x y Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: 20 15 60. x y x y x 7 /12 gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc (Tm ®k) y 1/12 VËy vËn tèc cña dßng n•íc lµ:1/12 ( km/ phót ) , VËn tèc riªng cña ca n« lµ:7/12 (km/ phót) 31) B¹n Hång dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B c¸ch nhau 120 km trong mét thêi gian ®· ®Þnh. Sau khi ®i 1 giê, Hång nghØ 10 phót, do ®ã ®Ó ®Õn B ®óng hÑn Hång ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña Hång . Gi¶i : Gäi vËn tèc lóc ®Çu cña Hång lµ x ( km/h), ( x> 0) 120 Thêi gian Hång dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B lµ ( giê); x Sau 1 giê Hång ®i ®•îc qu·ng ®•êng lµ x km, qu·ng ®•êng cßn l¹i Hång ph¶i ®i lµ ( 120 - x) km; 120 x Thêi gian Hång ®i trªn qu·ng ®•êng cßn l¹i ( 120 - x) km lµ ( giê ); x 6 V× trªn ®•êng ®i Hång nghØ 10 phót, do ®ã ®Ó ®Õn B ®óng hÑn Hång ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 6 km/h 1 nªn ta cã ph•¬ng tr×nh: = 1 + + , gi¶i PT BH: x2 + 42x - 4320 = 0 ta ®•îc: x = 48, x = 6 1 2 - 90 ( lo¹i ). VËy vËn tèc lóc ®Çu cña Hång lµ 48 km/h. 32) T×m hai c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt c¹nh huyÒn b»ng 13 cm vµ tæng hai c¹nh gãc vu«ng b»ng 17. Gi¶i : Gäi c¹nh gãc vu«ng thø nhÊt cña tam gi¸c lµ x ( cm ), ( 0< x < 17 ). Ta cã c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i lµ: ( 17 - x ) ( cm). V× c¹nh huyÒn cña tam gi¸c vu«ng lµ 13, theo ®Þnh lý Pytago ta cã ph•¬ng tr×nh: x2 + ( 17 - x )2 = 132 2 Gi¶i PTBH: x - 17x + 60 = 0 ta ®•îc: x1 = 12, x2 = 5. ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng lÇn l•ît lµ 12 cm, 5 cm. 33) Mét khu v•ên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 280 m. Ng•êi ta lµm mét lèi ®i xung quanh v•ên (thuéc ®Êt v•ên ) réng 2 m, diÖn tÝch cßn l¹i ®Ó trång trät lµ 4256 m2. TÝnh kÝch th•íc ( c¸c c¹nh) cña khu v•ên ®ã Gi¶i : Gäi mét c¹nh cña khu v•ên lµ x, ( 0<x< 140;m) Ta cã c¹nh cßn l¹i cña khu v•ên lµ: ( 140 - x) (m) Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 16
  17. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Do lèi xung quanh v•ên réng 2 m nªn c¸c kÝch th•íc c¸c c¹nh cßn l¹i ®Ó trång trät lµ: ( x -4 ) và (140 - x - 4 ) ( m ). V× diÖn tÝch cßn l¹i ®Ó trång trät lµ 4256 m2 do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: ( x -4 ). (136 - x ) = 4256. 2 Gi¶i PTBH: x - 140x + 4800 = 0 ta ®•îc x2 = 80, x2 = 60. ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy c¸c c¹nh cña khu v•ên HCN lµ 80 m, 60 m. 34) Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m. TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m 3 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 2 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng ®æi. Gi¶i : Gäi chiÒu réng vµ chiÒu dµi cña thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt lÇn l•ît lµ x vµ y, ( m ), (0 3. V× khi t¨ng mçi c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm th× diÖn tÝch t¨ng 17 cm2 do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 1 1 ( x+ 2 ) ( y + 2 ) = xy + 17. 2 2 V× nÕu gi¶m c¸c c¹nh gãc vu«ng ®i mét c¹nh ®i 3 cm mét c¹n 1 cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 11cm2 1 do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: ( x - 3 ) ( y - 1 ) = xy - 11. 2 x y 15 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: , x 3y 25 x 10 gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) y 5 VËy ta cã c¸c c¹nh cña tam gi¸c lµ: 5, 10 ( cm). 36) Mét ®éi m¸y kÐo dù ®Þnh mçi ngµy cµy 40 ha. Khi thùc hiÖn mçi ngµy cµy ®•îc 52 ha, v× vËy ®éi kh«ng nh÷ng cµy xong tr•íc thêi h¹n 2 ngµy mµ cßn cµy thªm ®•îc 4 ha n÷a. TÝnh diÖn tÝch thöa ruéng mµ ®éi ph¶i cµy theo kÕ ho¹ch. Gi¶i: Gäi diÖn tÝch mµ ®éi ph¶i cµy theo kÕ ho¹ch lµ x ( ha ), ( x> 0). x Thêi gian ®éi dù ®Þnh cµy lµ: ( giê ). 40 DiÖn tÝch mµ ®éi thùc cµy lµ: ( x + 4 ), ( ha ). x 4 Thêi gian mµ ®éi thùc cµy lµ: ( giê). 52 V× khi thùc hiÖn ®éi ®½ cµy xong tr•íc thêi h¹n 2 ngµy do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: - = 2. Gi¶i PTBN ta ®•îc x= 360( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy diÖn tÝch mµ ®éi dù ®Þnh cµy theo kÕ ho¹ch lµ: 360 ha. Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 17
  18. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 37) Hai ng•êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ng•êi thø nhÊt lµm trong 3 giê, ng•êi thî thø hai lµm trong 6 giê th× häc lµm ®•îc 25% khèi l•îng c«ng viÖc. Hái mçi ng•êi thî lµm mét m×nh c«ng viÖc ®ã trong bao l©u. Gi¶i: Gäi thêi gian ®Ó ng•êi thø nhÊt lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x, ( giê), x > 16. Gäi thêi gian ®Ó ng•êi thø hai lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ y, ( giê), y > 16. 1 1 Trong 1 giê ng•êi thø nhÊt vµ ng•êi thø hai lµm ®•îc khèi l•îng c«ng viÖc t•¬ng øng lµ: , x y V× hai ng•êi lµm chung trong 16 giê th× xong KLCV do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 1 1 1 + = (1) x y 16 1 Sau 3 giê ng•êi thø nhÊt lµm ®•îc 3. (KLCV). x 1 Sau 6 giê ng•êi thø hai lµm ®•îc 6. (KLCV). y V× ng•êi thø nhÊt lµm trong 3 giê, ng•êi thî thø hai lµm trong 6 giê th× häc lµm ®•îc 25% khèi 3 6 1 l•îng c«ng viÖc do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: + = . (2) x y 4 1 1 1 x y 16 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: 3 6 1 . x y 4 x 24 gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) y 48 VËy thêi gian ®Ó Ng•êi thø nhÊt lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ: 24 ( giê ). Thêi gian ®Ó Ng•êi thø hai lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ: 48 ( giê) . 38) Mét ®éi c«ng nh©n hoµn thµnh mét c«ng viÖc víi møc 420 ngµy c«ng. H·y tÝnh sè c«ng nh©n cña ®éi, biÕt r»ng nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ng•êi th× sè ngµy ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy. Gi¶i: Gäi sè c«ng nh©n cña ®éi lµ x (x N*, ng•êi) 420 Sè ngµy hoµn thµnh c«ng viÖc víi x ng•êi lµ: ( ngµy ). x Sè c«ng nh©n sau khi t¨ng 5 ng•êi lµ: x + 5 (ng•êi) 420 Sè ngµy hoµn thµnh c«ng viÖc víi x + 5 ng•êi lµ: ( ngµy ). x 5 V× nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ng•êi th× sè ngµy ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 420 - = 7. Gi¶i PTBH ta ®•îc: x = 15( tháa m·n ®iÒu kiÖn ); x = - 20 ( lo¹i ). x 5 1 2 VËy sè c«ng nh©n cña ®éi lµ 15 ng•êi. 39) Hai ®éi x©y dùng cïng lµm chung mét c«ng viÖc vµ dù ®Þnh xong trong 12 ngµy. Hä cïng lµm chung víi nhau ®•îc 8 ngµy th× ®éi 1 ®•îc ®iÒu ®éng ®i lµm c«ng viÖc kh¸c, ®éi 2 tiÕp tôc lµm. Do c¶i tiÕn kü thuËt, n¨ng suÊt t¨ng gÊp ®«i nªn ®éi 2 lµm xong phÇn viÖc cßn l¹i trong 3,5 ngµy. Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× sau bao nhiªu ngµy sÏ lµm xong c«ng viÖc nãi trªn ( víi n¨ng suÊt b×nh th•êng). Gi¶i: Gäi thêi gian ®Ó ®éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x (x > 12, ngµy) Gäi thêi gian ®Ó ®éi II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ y (y > 12, ngµy) Trong 1 ngµy ®éi I vµ ®éi II lµm ®•îc khèi l•îng c«ng viÖc t•¬ng øng lµ: , . V× hai ®éi dù ®Þnh lµm chung trong 12 ngµy th× xong KLCV ,do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh ( 1) Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 18
  19. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 1 1 1 + = x y 12 8 2 PhÇn c«ng viÖc hai ®éi lµm chung trong 8 ngµy lµ = (KLCV). 12 3 2 1 PhÇn viÖc cßn l¹i ®éi II ph¶i lµm lµ: 1 - = ( KLCV). 3 3 V× n¨ng suÊt t¨ng gÊp ®«i nªn ®éi II ®½ lµm xong phÇn viÖc cßn l¹i trong 3,5 ngµy do ®o ta cã 1 1 ph•¬ng tr×nh: 3. . = . 2 y 1 1 1 x y 12 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: 7 1 . y 3 x 28 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) y 21 VËy thêi gian ®Ó ®éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ: 28 ( ngµy ). Thêi gian ®Ó ®éi II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ: 21 ( ngµy) . 40) An vµ T©m cïng lµm mét c«ng viÖc trong 7 giê 20 phót th× xong. NÕu An lµm trong 5 giê vµ 3 T©m lµm trong 6 giê th× c¶ hai lµm ®•îc khèi l•îng c«ng viÖc. Hái mçi ng•êi lµm c«ng viÖc ®ã 4 trong mÊy giê th× xong. Gi¶i: 22 Gäi thêi gian An lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x (x > , h) 3 22 Gäi thêi gian T©m lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ y (y > , h) 3 1 1 Mçi giê An vµ T©m lµm ®•îc , (c«ng viÖc) x y V× An vµ Tam cïng lµm mét c«ng viÖc trong 7 giê 20 phót th× xong do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 3 + = . 22 1 5 giê An lµm ®•îc KLCV lµ: 5. (c«ng viÖc) x 6 giê T©m lµm ®•îc KLCV lµ: 6. (c«ng viÖc) V× An lµm trong 5 giê vµ T©m lµm trong 6 giê th× c¶ hai lµm ®•îc KLCV do ®ã ta cã 5 6 3 ph•¬ng tr×nh: + = x y 4 1 1 3 x y 22 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: : 5 6 3 . x y 4 Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 19
  20. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 44 x 3 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) 44 y 3 VËy An lµm c«ng viÖc ®ã mét m×nh trong: 44/3 giê , T©m lµm c«ng viÖc ®ã mét m×nh trong: 44/3 giê. 4 41) Hai vßi n•íc ch¶y chung vµo mét bÓ th× sau 4 giê ®Çy bÓ. Mçi giê l•îng n•íc cña vßi I ch¶y 5 1 ®•îc b»ng 1 l•îng n•íc ch¶y ®•îc cña vßi II. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× trong bao l©u ®Çy bÓ? 2 Gi¶i: 24 Gäi thêi gian ®Ó vßi I ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x, ( x > , h) 5 24 Gäi thêi gian ®Ó vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y, (y > , h) 5 1 1 Trong 1 giê vßi I vµ vßi II ch¶y ®•îc l•îng n•íc t•¬ng øng lµ: , ( bÓ ). x y 24 1 1 5 V× hai vßi cïng ch¶y sau th× ®Çy bÓ do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh ( 1) : + = 5 x y 24 2 V× trong 1 giê l•îng n•íc ch¶y ®•îc cña vßi I b»ng l•îng n•íc ch¶y ®•îc cña vßi II do ®ã ta cã 3 3 1 ph•¬ng tr×nh ( 2 ): = . 2 y 1 1 5 x y 24 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: : 1 3 1 . . x 2 y x 8 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) y 12 VËy vßi I ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 8 giê, Vßi II ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 12 giê. 42) Mét m¸y b¬m muèn b¬m ®Çy n•íc vµo mét bÓ chøa trong mét thêi gian quy ®Þnh th× mçi giê 1 ph¶i b¬m ®•îc 10m3. Sau khi b¬m ®•îc dung tÝch bÓ chøa, ng•êi c«ng nh©n vËn hµnh cho m¸y b¬m 3 c«ng xuÊt lín h¬n mçi giê b¬m ®•îc 15 m3. Do ®ã bÓ ®•îc b¬m ®Çy tr•íc 48 phót so víi thêi gian quy ®Þnh. TÝnh dung tÝch cña bÓ chøa ? Gi¶i: Gäi dung tÝch cña bÓ chøa lµ x, ( m3 ), x > 0. x Ta cã thêi gian dù ®Þnh ®Ó b¬ m ®Çy bÓ lµ: ( giê ). 10 1 x Thêi gian ®Ó b¬m bÓ víi c«ng suÊt 10 m3/s lµ: ( giê). 3 30 2 2x Thêi gian ®Ó b¬m bÓ cßn l¹i víi c«ng suÊt 15 m3/s lµ: . 3 45 Do c«ng suÊt t¨ng khi b¬m bÓ cßn l¹i nªn thêi gian thêi gian b¬m ®Çy tr•íc 48 phót so víi quy 4 ®Þnh do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: - ( + ) = 5 Gi¶i PTBN ta ®•îc x = 36. ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 20
  21. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh VËy dung tÝch bÓ chøa lµ 36 m3. 43) Hai vßi n•íc cïng ch¶y vµo mét bÓ sau 1 giê 20 phót th× ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y 2 trong 10 phót vµ vßi thø hai ch¶y trong 12 phót th× ®Çy bÓ. Hái nÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh th× bao 15 l©u míi ®Çy bÓ ? Gi¶i: Gäi thêi gian ®Ó vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ x, ( phót), x > 80. Gäi thêi gian ®Ó vßi thø hai ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y, ( phót), y > 80. 1 1 C«ng suÊt tÝnh theo phót cña vßi thø nhÊt lµ: ( BÓ ), vßi thø hai lµ ( BÓ ). x y V× hai vßi cïng ch¶y sau 1 giê 20 phót = 80 phót, th× ®Çy bÓ do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh ( 1) : 1 + = 80 Sau 10 phót Vßi 1 ch¶y ®•îc: 10. ( BÓ ). 1 Sau 12 phót Vßi 2 ch¶y ®•îc: 12. ( BÓ ) y V× nÕu më Vßi thø nhÊt ch¶y trong 10 phót vµ Vßi thø hai ch¶y trong 12 phót th× ®Çy bÓ do 10 12 2 ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: + = . x y 15 1 1 1 x y 80 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: 10 12 2 x y 15 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: x= 120 , y = 240 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy thêi gian vßi 1 ch¶y ®Çy bÓ lµ 120 phót, vßi 2 lµ 240 phót. 44) T×m hai sè biÕt tæng b»ng 19 vµ tæng c¸c b×nh ph•¬ng cña chóng b»ng 185. Gi¶i: Gäi sè thø nhÊt lµ x, (0< x<19). Ta cã sè thø hai lµ ( 19 - x). V× tæng c¸c b×nh ph•¬ng cña chóng b»ng 185 do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: x2 + ( 19 - x)2 = 185. 2 Gi¶i PTBH: x - 19x + 88 = 0 ®•îc: x1= 11, x2 = 9. ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy hai sè ph¶i t×m lµ 11 vµ 9. 45) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt r»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ nhá h¬n ch÷ sè hµng chôc lµ 2 vµ tÝch cña hai ch÷ sè ®ã cña nã lu«n lín h¬n tæng hai ch÷ sè cña nã lµ 34. Gi¶i: Gäi ch÷ sè ph¶i t×m lµ ab ; 0 a,b 9, a 0. V× ch÷ sè hµng ®¬n vÞ nhá h¬n ch÷ sè hµng chôc lµ 2 do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: a - b = 2. V× tÝch cña hai ch÷ sè ®ã cña nã lu«n lín h¬n tæng hai ch÷ sè cña nã lµ 34, do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: a.b - ( a + b) = 34. a b 2 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: a.b (a b) 34 a 8 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc : ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) b 6 VËy sè ph¶i t×m lµ 86. Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 21
  22. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 46) §oµn häc tËp h•íng nghiÖp t¹i B¸t Trµng cña tr•êng THCS Th¸i ThÞnh gåm180 häc sinh. NÕu dïng lo¹i xe lín chuyªn chë mét l•ît hÕt sè häc sinh th× ph¶i ®iÒu ®éng Ýt h¬n dïng lo¹i xe nhá lµ 2 chiÕc. BiÕt r»ng mçi ngÕ ngåi 1 häc sinh vµ mçi xe lín nhiÒu h¬n xe nhá lµ 15 chç ngåi. TÝnh sè xe lín ? Gi¶i: Gäi sè xe lín lµ x (x N*, xe) Ta cã sè xe nhá lµ: x + 2. (xe) 180 Ta cã sè hoc sinh xe lín chë ®•îc lµ: ( Hs). x 180 Ta cã sè hoc sinh xe nhá chë ®•îc lµ: ( Hs). x 2 V× mçi xe lín chë ®•îc sè häc sinh nhiÒu h¬n sè xe nhá lµ 15 häc sÞnh do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 180 180 - = 15 x x 2 Gi¶i ph•¬ng tr×nh ta ®•îc x = 4 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy sè xe lín lµ 4 chiÕc 47) Mét ®éi xe ph¶i chë 168 tÊn thãc. NÕu t¨ng thªm 6 xe vµ chë thªm 12 tÊn thãc th× mçi xe xhë nhÑ h¬n lóc ®Çu lµ 1 tÊn. Hái lóc ®Çu mçi ®éi cã bao nhiªu xe ? Gi¶i: Gäi sè xe lóc ®Çu lóc ®Çu cña ®éi lµ x (x N*, chiÕc) 168 Sè thãc lóc ®Çu mçi xe ph¶i chë lµ : ( tÊn). x Sè xe sau khi t¨ng thªm 6 xe lµ: ( x + 6 ), ( chiÕc). 168 12 Sau khi t¨ng sè xe thªm 6 , sè thãc thªm 12 tÊn th× sè thãc mçi xe cÇn ph¶i chë lµ: (tÊn). x 6 V× sè thãc mçi xe chë nhÑ h¬n 1 tÊn sau khi t¨ng sè xe vµ thªm 12 tÊn do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: - = 1 Gi¶i PTBH: x2 + 2x - 24 = 0 ta ®•îc: x = 24( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy sè xe lóc ®Çu cña ®éi lµ 24 xe. 48) Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®•îc xÕp thµnh tõng d·y vµ sè ghÕ cña tõng d·y ®Òu nh• nhau. NÕu sè d·y t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ cña mçi d·y t¨ng thªm 1, th× trong phßng cã 400 ghÕ. Hái trong phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ, mçi d·y cã bao nhiªu ghÕ. Gi¶i: Gäi sè d·y cña ghÕ cña phßng häc lµ x (x N*, d·y) 360 Ta cã sè ng•êi cña tõng d·y lµ: ng•êi. x Sè d·y ghÕ sau khi t¨ng thªm 1 d·y lµ: ( x + 1) (d·y) Sè ng•êi sau khi t¨ng thªm 1 ng•êi trªn d·y lµ: + 1 (ng•êi) V× sau khi t¨ng sè d·y t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ cña mçi d·y t¨ng thªm 1, th× trong phßng cã 400 ghÕ do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: ( x + 1) ( + 1) = 400 Gi¶i PTBH ta ®•îc : x1 = 15, x2 = 24. ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) VËy nÕu sè d·y lµ 15 th× sè ghÕ trªn d·y lµ 24 . 49) Cho mét sè cã hai ch÷ sè. T×m sè ®ã, biÕt r»ng tæng hai ch÷ sè cña nã nhá h¬n sè ®ã 6 lÇn, nÕu thªm 25 vµo tÝch cña hai ch÷ sè ®ã sÏ ®•îc mét sè theo thø tù ng•îc l¹ivíi sè ®½ cho. Gi¶i: Gäi ch÷ sè ph¶i t×m lµ xy ; x, y nguyªn d•¬ng, 0 x,y 9, x# 0. Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 22
  23. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh V× tæng hai ch÷ sè cña nã nhá h¬n sè ®ã 6 lÇn do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: 6 ( x + y ) = xy . V× nÕu thªm 25 vµo tÝch cña hai ch÷ sè ®ã sÏ ®•îc mét sè theo thø tù ng•îc l¹ivíi sè ®½ cho do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh: + 25 = yx . 6(x y) xy x 5 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: ; Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc ( tháa m·n xy 25 yx y 4 ®iÒu kiÖn ) VËy sè ph¶i t×m lµ 54. 50) Trong th¸ng ®Çu hai tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc 800 chi tiÕt m¸y. Sang th¸ng thø hai tæ v•ît møc 15%, tæ II s¶n xuÊt v•ît møc 20%, do ®ã cuèi th¸ng c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®•îc 945 chi tiÕt m¸y. Hái r»ng trong th¸ng ®Çu, mçi tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. Gi¶i: Gäi sè chi tiÕt s¶n xuÊt ®•îc trong th¸ng ®Çu cña Tæ I lµ x ( x nguyªn d•¬ng), 0<x< 800. Gäi sè chi tiÕt s¶n xuÊt ®•îc trong th¸ng ®Çu cña Tæ II lµ y ( y nguyªn d•¬ng), 0<y< 800. V× trong th¸ng ®Çu hai tæ s¶n xuÊt ®•îc 800 chi tiÕt m¸y do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh (1) x + y = 800 V× trong th¸ng thø hai Tæ I v•ît møc 15%, Tæ II s¶n xuÊt v•ît møc 12%, c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®•îc 15x 20x 115 112 945 chi tiÕt m¸y do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh (2) lµ: x + + y + = 945 x + y = 945 100 100 100 100 x y 800 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: 115 112 x y 945 100 100 x 300 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) y 500 VËy trong th¸ng ®Çu tæ I s¶n xuÊt ®•îc 300 chi tiÕt m¸y, tæ II s¶n xuÊt ®•îc 500 chi tiÕt m¸y. C¸ch 2: Gi¶i b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, em h·y thö xem. 51) N¨m ngo¸i d©n sè cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ng•êi. D©n sè tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2 % cßn tØnh B t¨ng 1,1 %, tæng d©n sè cña hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 000 ng•êi. TÝnh d©n sè cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay. Gi¶i: Gäi d©n sè n¨m ngo¸i cña tØnh A lµ x ( x nguyªn d•¬ng), x< 4 triÖu. Gäi d©n sè n¨m ngo¸i cña tØnh B lµ y ( y nguyªn d•¬ng), y< 4 triÖu V× d©n sè n¨m ngo¸i cña hai tØnh n¨m ngo¸i lµ 4 triÖu do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh (1) x + y = 4 V× d©n sè n¨m nay cña tØnh A n¨m nay t¨ng 1,2%, tØnh B t¨ng 1,1 % do ®ã ta cã ph•¬ng tr×nh (2) lµ: 1,2x 1,1y + = 0, 045 100 100 x y 4 Theo bµi ra ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh: 1,2x 1,1y 0,045 100 100 x 1012000 Gi¶i hÖ ph•¬ng tr×nh ta ®•îc: ( tháa m·n ®iÒu kiÖn ) y 3033000 VËy d©n sè cña tØnh A n¨m nay lµ 1 012 000 ng•êi, tØnh B lµ 3 033 000 ng•êi. 52) Trong th¸ng ®Çu, hai tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc 720 chi tiÕt m¸y. Sang th¸ng thø hai tæ v•ît møc 15%, tæ II s¶n xuÊt v•ît møc 12%, do ®ã cuèi th¸ng c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®•îc 819 chi tiÕt m¸y. Hái r»ng trong th¸ng ®Çu, mçi tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®•îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y. Gi¶i: Gäi sè chi tiÕt s¶n xuÊt ®•îc trong th¸ng ®Çu cña tæ I lµ x ( x nguyªn d•¬ng), x< 720. Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 23
  24. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Gäi sè chi tiÕt s¶n xuÊt ®•îc trong th¸ng ®Çu cña tæ II lµ y ( y nguyªn d•¬ng), y , x tÝnh b»ng giê ) 4 Gäi thêi gian vßiíau ch¶y ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ lµ y ( y > , y tÝnh b»ng giê ) 1 1 giê vßi ®Çu ch¶y ®•îc ( bÓ ) x 1 1 giê vßi sau ch¶y ®•îc ( bÓ ) y 1 1 1 giê hai vßi ch¶y ®•îc + ( bÓ ) (1) x y Hai vßi cïng ch¶y th× ®Çy bÓ trong 3h 45ph = h 15 4 VËy 1 giê c¶ hai vßi ch¶y ®•îc 1: = ( bÓ ) ( 2) 4 15 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh + = MÊt kh¸c ta biÕt nÕu ch¶y mét m×nh th× vßi sau ch¶y l©u h¬n vßi tr•íc 4 giê tøc lµ y – x = 4 VËy ta cã hÖ ph•¬ng tr×nh 1 1 4 x y 15 y x 4 x 6 1 1 4 x 6 (a) 4x2 14x 60 0 2x2 7x 30 0 y 10 x 2,5 x x 4 5 y x 4 y x 4 x 2,5 y x 4 y x 4 (b) y 1,5 VËy vßi ®Çu ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 6 h vßi sau ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ trong 10 h 54) Hai ng•êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc . NÕu lµm riªng, mçi ng•êi nöa viÖc th× tæng sè giê lµm viÖc lµ 12h 30ph . NÕu hai ng•êi cïng lµm th× hai ng•êi chØ lµm viÖc ®ã trong 6 giê. Nh• vËy , lµm viÖc riªng c¶ c«ng viÖc mçi ng•êi mÊt bao nhiªu thêi gian ? Gi¶i Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 24
  25. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh Gäi thêi gian ng•êi thø nhÊt lµm riªng rÏ ®Ó xong nöa c«ng viÖc lµ x ( x > 6; h) Gäi thêi gian ng•êi thø hai lµm riªng rÏ ®Ó xong nöa c«ng viÖc lµ y ( y > 6;h ) 1 Ta cã pt : x + y = 12 ( 1 ) 2 1 Thêi gian ng•êi thø nhÊt lµm riªng ®Ó xong c«ng viÖc lµ 2x => 1 giê ng•êi thø nhÊt lµm ®•îc c«ng 2x viÖc 1 Gäi thêi gian ng•êi thø hai lµm riªng ®Ó xong c«ng viÖc lµ 2y => 1 giê ng•êi thø hai lµm ®•îc c«ng 2y viÖc 1 1 1 giê c¶ hai ng•êi lµm ®•îc c«ng viÖc nªn ta cã pt : + = (2) 6 6 1 x y 12 x 5 15 2 x Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : 15  2 ( tho¶ m·n ®k cña Èn) 1 1 1 y 2 y 5 2x 2y 6 VËy nÕu lµm viÖc riªng rÏ c¶ c«ng viÖc mét ng•êi lµm trong 10 giê cßn ng•êi kia lµm trong 5 giê 55)Hai tæ thanh niªn t×nh nguyÖn cïng söa mét con ®•êng vµo b¶n trong 4 giê th× xong . NÕu lµm riªng th× tæ 1 lµm nhanh h¬n tæ hai 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× bao l©u sÏ xong viÖc ? Gi¶i Gäi thêi gian mét m×nh tæ 1söa xong con ®•êng lµ x ( x >4;h ) Thêi gian mét m×nh tæ 2 söa xong con ®•êng lµ x + 6 ( giê ) 1 Trong 1 giê tæ 1 söa ®•îc ( con ®•êng ) x 1 Trong 1 giê tæ 2 söa ®•îc (con ®•êng) x 6 1 Trong 1 giê c¶ hai tæ söa ®•îc (con ®•êng ) 4 2 VËy ta cã pt: + = 4(x 6) 4x x(x 6) x 2x 24 0 x1= 6; x2 = -4 x2 = - 4 0;ngµy ) Thêi gian ®éi 2 lµm viÖc lµ x + 30 ( ngµy ) Mçi ngµy ®éi 1 lµm ®•îc ( ®o¹n ®•êng ) 1 Mçi ngµy ®éi 2 lµm ®•îc ( ®o¹n ®•êng ) 2(x 30) 1 Mçi ngµy c¶ hai ®éi lµm ®•îc ( ®o¹n ®•êng ) 72 1 VËy ta cã pt : + = 72 Hay x2 -42x – 1080 = 0 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 kh«ng tho¶ m·n ®k cña Èn VËy ®éi 1 lµm trong 60 ngµy , ®éi 2 lµm trong 90 ngµy . Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 25
  26. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 57) Hai ®éi c«ng nh©n trång rõng ph¶i hoµn thµnh kÕ ho¹ch trong cïng mét thêi gian . §éi 1 ph¶i trång 40 ha , ®éi 2 ph¶i trång 90 ha . §éi 1 hoµn thµnh c«ng viÖc sím h¬n 2 ngµy so víi kÕ ho¹ch .§éi 2 hoµn thµnh muén h¬n 2 ngµy so víi kÕ ho¹ch . NÕu ®éi 1 lµm c«ng viÖc trong mét thêi gian b»ng thêi gian ®éi 2 ®· lµm vµ ®éi 2 lµm tr«ng thêi gian b»ng ®éi 1 ®· lµm th× diÖn tÝch trång ®•îc cña hai ®éi b»ng nhau . TÝnh thêi gian mçi ®éi ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch ? Gi¶i Gäi thêi gian mçi ®éi ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch lµ x (x > 2;ngµy) Thêi gian ®éi 1 ®· lµm lµ x – 2 ( ngµy ) 40 Thêi gian ®éi 2 ®· lµm lµ x + 2 ( ngµy ) Mçi ngµy ®éi 1 trång ®•îc (ha) x 2 90 Mçi ngµy ®éi 2 trång ®•îc (ha) x 2 NÕu ®éi 1 lµm trong x + 2 ngµy th× trång ®•îc (x + 2) (ha) 90 NÕu ®éi 2 lµm trong x - 2 ngµy th× trång ®•îc (x - 2) (ha) x 2 Theo ®Ò bµi diÖn tÝch rõng trång d•îc cña hai ®éi trong tr•êng nµy lµ b»ng nhau nªn ta cã pt: 26 24 26 24 2 (x + 2) = (x - 2) Hay 5x2 – 52x + 20 = 0 x = = 10 ; x = 1 5 2 5 5 (lo¹i) VËy theo kÕ ho¹ch mçi ®éi ph¶i lµm viÖc 10 ngµy . 58) Hai ng•êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ng•êi thø nhÊt lµm trong 3 giê vµ ng•êi thø hai lµm trong 6 giê th× hä lµm ®•îc 25% c«ng viÖc . Hái mçi ng•êi lµm c«ng viÖc ®ã trong mÊy giê th× xong . Gi¶i: Gäi x , y lÇn l•ît lµ sè giê ng•êi thø nhÊt ng•êi thø hai mét m×nh lµm xong c«ng viÖc ®ã ( x > 16 , y > 16 ) 1 1 1 x y 16 x 24 Ta cã hÖ pt (tho¶ m·n ®k cña Èn) 3 6 1 y 28 x y 4 59) Hai vßi n•íc cïng ch¶y vµo mét bÓ kh«ng chøa n•íc th× sau 6 giê ®Çy bÓ . NÕu vßi thø nhÊt ch¶y 2 trong 2 giê , vßi thø 2 ch¶y trong 3 giê th× ®•îc bÓ . Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh trong bao l©u th× ®Çy 5 bÓ ? Gi¶i : Gäi x , y lÇn l•ît lµ sè giê vßi thø nhÊt , vßi thø hai ch¶y ®µy bÓ mét m×nh ( x > 6 , y > 6 ) 1 1 1 3 3 1 x y 6 x y 2 x 10 Ta cã hÖ pt ( tho¶ m·n ®k cña Èn) 2 3 2 2 3 2 y 15 x y 5 x y 5 VËy vßi thø nhÊt ch¶y mét m×nh mÊt 10 giê , vßi thø hai ch¶y mét m×nh mÊt 15 giê . 60) Hai ng•êi dù ®Þnh lµm mét c«ng viÖc trong 12 giê th× xong . Hä lµm víi nhau ®•îc 8 giê th× ng•êi thø nhÊt nghØ , cßn ng•êi thø hai vÉn tiÕp tôc lµm . Do cè g¾ng t¨ng n¨ng suÊt gÊp ®«i , nªn ng•êi thø hai ®· lµm xong c«ng viÖc cßn l¹i trong 3giê 20phót . Hái nÕu mçi ng•êi thî lµm mét m×nh víi n¨ng suÊt dù ®Þnh ban ®Çu th× mÊt bao l©u míi xong c«ng viÖc nãi trªn ? Gi¶i: Gäi x , y lÇn l•ît lµ thêi gian ng•êi thî thø nhÊt vµ ng•êi thî thø hai lµm xong c«ng viÖc víi n¨ng suÊt dù ®Þnh ban ®Çu ( x ,y >12) 1 Mét giê ng•êi thø nhÊt lµm ®•îc (c«ng viÖc ) x Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 26
  27. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh 1 Mét giê ng•êi thø hai lµm ®•îc (c«ng viÖc ) y 1 Mét giê c¶ hai ng•êi lµm ®•îc (c«ng viÖc ) 12 1 1 1 Nªn ta cã pt : + = (1) x y 12 2 trong 8 giê hai ng•êi lµm ®•îc 8. = (c«ng viÖc ) 3 2 1 C«ng viÖc cßn l¹i lµ 1 - = ( c«ng viÖc ) 3 3 1 2 N¨ng suÊt cña ng•êi thø hai khi lµm mét m×nh lµ 2. = (C«ng viÖc ) y y 10 Mµ thêi gian ng•êi thø hai hoµn thµnh c«ng viÖc cßn l¹i lµ (giê) nªn ta cã pt 3 y : = hay = (2) 6 1 1 1 x y 12 x 30 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : (tho¶ m·n ®k cña Èn) y 10 y 20 63 VËy theo dù ®Þnh ng•êi thø nhÊt lµm xong c«ng viÖc hÕt 30giê vµ ng•êi thø hai hÕt 20 giê . 61) Hai ng•êi A vµ B lµm xong c«ng viÖc tr«ng 72 giê , cßn ng•êi A vµ C lµm xong c«ng viÖc trong ®ã trong 63 giê vµ ng•êi B vµ C lµm xong c«ng viÖc Êy trong 56 giê . Hái nÕu mçi ng•êi lµm mét m×nh th× trong bao l©u th× trong bao l©u sÏ lµm xong c«ng viÖc .NÕu ba ng•êi cïng lµm sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc trong mÊy giê ? Gi¶i : Gäi ng•êi A mét m×nh lµm xong c«ng viÖc trong x (giê ), x > 0 th× mçi giê lµm ®•îc ( c«ng viÖc). 1 Ng•êi B mét m×nh lµm xong c«ng viÖc trong y (giê ), y > 0 th× mçi giê lµm ®•îc ( c«ng viÖc) y 1 Ng•êi C mét m×nh lµm xong c«ng viÖc trong z (giê ), z > 0 th× mçi giê lµm ®•îc ( c«ng viÖc) z 1 1 1 504 x 168 x y 72 3 1 1 1 504 Ta cã hpt : y 126 x z 63 4 1 1 1 504 5 z 100 y z 56 5 4 12 NÕu c¶ ba ng•êi cïng lµm yh× mçi giê lµm ®•îc + + = ( c«ng viÖc ) 504 504 VËy c¶ ba ng•ßi cïng lµm sÏ hoµn thµnh cong viÖc trong 42 (giê ) 12 62) Mét ca n« xu«i dßng tõ bÕn s«ng A ®Õn bÕn s«ng B c¸ch nhau 24 km; cïng lóc ®ã, còng tõ A vÒ B mét bÌ nøa tr«i víi vËn tèc dßng n•íc lµ 4 km/h. Khi ®Õn B ca n« quay l¹i ngay vµ gÆp bÌ nøa t¹i ®Þa ®iÓm C c¸ch A lµ 8 km. TÝnh vËn tèc thùc cña ca n«. Gi¶i : Gäi v©n tèc thùc cña ca n« lµ x( x>4;km/h) Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 27
  28. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh VËn tèc cña ca n« khi xu«i dßng lµ x + 4 (km/h) 24 Thêi gian xu«i dßng 24km lµ ()h x4 VËn tèc cña ca n« khi ng•îc dßng lµ x - 4 (km/h) Qu·ng ®•êng ca n« ®i ng•îc dßng lµ 24 - 8 = 16 km 16 Thêi gian ng•îc dßng 16km lµ ()h x4 8 Thêi gian bÌ tr«i ®•îc 8 km lµ: =2 (h) 4 V× tæng thêi gian cña ca n« ®· ®i b»ng thêi gian bÌ tr«i nªn ta cã pt: 24 16 2 x 4 x 4 Gi¶i ph•¬ng tr×nh ta ®•îc x = 20 Tr¶ lêi: VËn tèc thùc cña ca n« lµ 20km/h 63) Hai ®éi c«ng nh©n cïng lµm chung mét c«ng viÖc . Thêi gian ®Ó ®éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc Ýt h¬n thêi gian ®Ó ®éi II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc ®ã lµ 4 giê . Tæng thêi gian nµy gÊp 4,5 lÇn thêi gian hai ®éi cïng lµm chung ®Ó xong c«ng viÖc ®ã . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× ph¶i bao l©u míi xong . Gi¶i : Gäi thêi gian ®éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x giê ( x > 0 ) Suy ra thêi gian ®éi II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc lµ x + 4 giê 1 1 2x 4 Trong 1 giê hai ®éi lµm chung ®•îc : ( c«ng viÖc ) x x 4 x(x 4) x(x 4) Thêi gian ®Ó hai ®éi lµm chung xong c«ng viÖc lµ (giê) 2x 4 2 VËy ta cã pt : 2x + 4 = 4,5 . hay x + 4x – 32 = 0  x1 = - 8 ( lo¹i ) x2 = 4 ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn ). VËy §éi I lµm mét m×nh xong c«ng viÖc hÕt 4 giê , ®éi hai hÕt 8 giê . 64) Mét tÊm s¾t h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 96 cm. Ng•êi ta c¾t ra ë mçi gãc mét h×nh vu«ng c¹nh 4 cm råi gÊp lªn thµnh mét h×nh hép ch÷ nhËt kh«ng n¾p cã thÓ tÝch 768 cm3. TÝnh kÝch th•íc cña tÊm s¾t. Bµi gi¶i: Nöa chu vi cña tÊm s¾t HCN ®ã lµ 48 (cm) Gäi chiÒu réng cña tÊm s¾t lµ x(0<x<24;cm) ChiÒu dµi cña tÊm s¾t ®ã lµ 48-x (cm) Sau khi c¾t mçi gãc mét h×nh vu«ng c¹nh 4cm råi gÊp lªn thµnh mét h×nh hép th×: - ChiÒu réng h×nh hép lµ: x-8 (cm) - ChiÒu dµi h×nh hép lµ 48-x-8=40-x (cm) - ChiÒu cao h×nh hép lµ 4cm. V× h×nh hép cã thÓ tÝch lµ 768cm3 nªn ta cã pt: (x-8)(40-x).4=768. 65) Mét nhãm thî ®Æt kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 3000 s¶n phÈm. Trong 8 ngµy ®Çu hä thùc hiÖn ®óng møc ®Ò ra, nh÷ng ngµy cßn l¹i hä ®· v•ît møc mçi ngµy 10 s¶n phÈm, nªn ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím 2 ngµy. Hái theo kÕ ho¹ch mçi ngµy cÇn s¶n xuÊt bao nhiªu s¶n phÈm? Gi¶i: 3000 Gäi n¨ng suÊt cña nhãm thî theo kÕ ho¹ch lµ x (x N*, x , s¶n phÈm/ngµy) 8 *) Theo kÕ ho¹ch: 3000 Thêi gian dù ®Þnh hoµn thµnh c«ng viÖc cña nhãm thî ®ã lµ (ngµy) x *) Thùc tÕ: +) 8 ngµy ®Çu nhãm thî lµm ®•îc 8x (s¶n phÈm) Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 28
  29. Chuyªn ®Ò gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph•¬ng tr×nh, hÖ ph•¬ng tr×nh +) Sè s¶n phÈm cßn l¹i lµ 3000-8x (s¶n phÈm). +) N¨ng suÊt cña nhãm thî khi lµm c¸c s¶n phÈm cßn l¹i lµ : x + 10 (sp/ngµy) 3000 8x +) Thêi gian nhãm thî lµm xong c¸c s¶n phÈm cßn l¹i lµ: (ngµy) x 10 *) V× thùc tÕ nhãm thî hoµn thµnh sím h¬n dù ®Þnh 2 ngµy nªn ta cã pt: 3000 3000 8x 82 x x 10 3 Bài 66.Mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi b»ng chiÒu réng. NÕu bít mçi chiÒu ®i 5cm th× diÖn tÝch h×nh 2 ch÷ nhËt ®ã gi¶m ®i 16 % . TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Gi¶i: Gäi chiÒu réng cña HCN lµ x (x>5;cm) 3 ChiÒu dµi cña HCN lµ x (cm) 2 33 DiÖn tÝch cña HCN lµ x. x x2 (cm2) 22 NÕu bít mçi chiÒu ®i 5cm th×: - ChiÒu réng cña HCN lµ (x-5) (cm) 3 - ChiÒu dµi cña HCN lµ x 5 (cm) 2 3 2 - DiÖn tÝch cña HCN lóc nµy lµ xx 55 (cm ) 2 332 V× diÖn tÝch cña HCN gi¶m ®i 16% so víi ban ®Çu nªn ta cã pt: x 5 x 5 84%. x 22 Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường GV: Tuyensinh247.com Truy cập trang để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 29