Chuyên đề Đại số Lớp 12 - Chuyên đề: Cực trị trong không gian Oxyz

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 12 - Chuyên đề: Cực trị trong không gian Oxyz

1. CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz I. PHƯƠNG PHÁP Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách làm: Cách 1: Sử dụng phương pháp hình học Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số. Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) và mặt phẳng (P) : ax by cz d 0. Tìm điểm M (P) sao cho 1. MA MB nhỏ nhất. 2. MA MB lớn nhất với d(A, (P)) d(B, (P)). Phương pháp: Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P). Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P). Nếu (axA byA czA d)(axB byB czB d) 0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P). 1. MA MB nhỏ nhất. Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P). Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi M (P)  AB. Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P). Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A ' và B ở khác phía (P) và MA MA nên MA MB MA MB A B. Vậy MA MB nhỏ nhất bằng A B khi M A B  (P). 2. MA MB lớn nhất. Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) . Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên MA MB lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi M (P)  AB. Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) . Gọi A ' đối xứng với A qua mặt phẳng (P) , khi đó A ' và B ở cùng phía (P) và MA MA nên MA MB MA MB A B. Vậy MA MB lớn nhất bằng A B khi M A B  (P). Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết 1. (P) đi qua đường thẳng và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất 2. (P) đi qua và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất 3. (P) đi qua và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất. Phương pháp: Cách 1: Dùng phương pháp đại số
2. x x y y z z 1. Giả sử đường thẳng : 1 1 1 và A(x ; y ; z ) a b c 0 0 0 Khi đó phương trình (P) có dạng: A(x x1) B(y y1) C(z z1) 0 bB cC Trong đó Aa Bb Cc 0 A (a 0 ) (1) a A(x x ) B(y y ) C(z z ) Khi đó d(A, (P)) 0 1 0 1 0 1 (2) A2 B2 C2 B Thay (1) vào (2) và đặt t , ta đươc d(A, (P)) f (t) C mt2 nt p Trong đó f (t) , khảo sát hàm f (t) ta tìm được max f (t) . Từ đó suy ra được sự biểu m ' t2 n ' t p' diễn của A, B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được A, B . 2. và 3. làm tương tự Cách 2: Dùng hình học 1. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên và (P) , khi đó ta có: d(A, (P)) AH AK , mà AK không đổi. Do đó d(A, (P)) lớn nhất H  K  Hay (P) là mặt phẳng đi qua K , nhận AK làm VTPT. · 2. Nếu  (Q) (P), (Q) 900 nên ta xét và (Q) không vuông góc với nhau. Gọi B là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q) . Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ CH  (P), CK  d. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là B· CH. BH BK Ta có sin B· CH . BC BC BK Mà không đổi, nên B· CH nhỏ nhất khi H  K. BC Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng (BCK) . Suy ra     n u , u , n là VTPT của (P) . P Q 3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng d ' qua M và song song với d . Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ AH  (P), AK  d. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d ' là HM KM ·AMH . Ta có cos ·AMH . AM AM KM Mà không đổi, nên ·AMH lớn nhất khi H  K. AM Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng (d ', . Suy ra     n u , u , u là VTPT của (P) . P d ' II. CÁC VÍ DỤ
3. Ví dụ 1. 8 Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho A(2;5; 3) và đường thẳng x 1 y z 2 d : . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên d và viết phương trình mặt phẳng 2 1 2 (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Lời giải.  Đường thẳng d có ud (2;1; 2) là VTCP.  Gọi H là hình chiếu của A lên d H(1 2t; t; 2 2t) AH (2t 1; t 5; 2t 1) .   Do AH  d AH.ud 0 2(2t 1) t 5 2(2t 1) 0 t 1 H(3;1; 4) . Gọi H ' là hình chiếu của A lên mp(P) . Khi đó, ta có: AH ' AH d(A, (P)) lớn nhất H  H ' (P)  AH  Suy ra AH (1; 4;1) là VTPT của (P) và (P) đi qua H . Vậy phương trình (P) : x 4y z 3 0 . Ví dụ 2.8 Trong không gian với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxyz cho bốn điểm A 1; 0; 0 , B 1;1; 0 , C 0;1; 0 , D 0; 0; m với m 0 là tham số. 1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD khi m 2 ; 2. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD . Tìm các giá trị của tham số m để diện tích tam giác OBH đạt giá trị lớn nhất. Lời giải.  Ta có: AB (0;1; 0), CD (0; 1; m)   1. Với m 2 ta có: CD (0; 1; 2) và AC ( 1;1; 0)      Do đó AB, CD (2; 0; 0) AB, CD .AC 2    AB, CD .AC   2 Vậy d(AB, CD)   1 . AB, CD 2 2. Đặt x OH BH OB2 OH2 2 x2 1 1 1 1 Suy ra S x. 2 x2 x2(2 x2) (x2 2 x2) . OBH 2 2 4 2 Đẳng thức xảy ra x 1 OH 1 d(O, BD) 1     Ta có: BD ( 1; 1; m), OB (1;1; 0) BD, OB ( m; m; 0)   BD, OB m 2 Do đó d(O, BD)  1 2m2 2 m2 BD 2 m2 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3.8 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 9; 4) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C (khác gốc tọa độ) sao cho: 1. M là trực tâm của tam giác ABC ; 2. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng ( ) là lớn nhất; 3. OA OB OC ; 4. 8OA 12OB 16 37OC và xA 0, zC 0 . Lời giải.
4. Giả sử mặt phẳng ( ) cắt các trục tọa độ tại các điểm khác gốc tọa độ là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c 0. x y z Phương trình mặt phẳng ( ) có dạng 1. a b c 1 9 4 Mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1; 9; 4) nên 1 (1).    a b c  1. Ta có: AM(1 a; 9; 4), BC(0; b; c), BM(1; 9 b; 4), CA(a; 0; c). M ( )   Điểm M là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi AM.BC 0   BM.CA 0 1 9 4 1 a b c 98 49 9b 4c a 98; b ; c . 9 2 a 4c Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm là x 9y 4z 98 0. 2. 1 1 Cách 1: Ta có: d(O, ( )) . 1 1 1 1 1 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 1 Bài toán trở thành, tìm giá trị nhỏ nhất của T với các số thực a2 b2 c2 1 9 4 a, b, c 0 thỏa mãn 1 (1). a b c 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 Ap dụng bđt Bunhiacopski ta có: 1. 9. 4. (1 9 4 ) . a b c a2 b2 c2 1 1 1 1 : 9 : 4 : 1 a b c Nên suy ra T . Dấu đẳng thức xảy ra khi a 9b 4c 98. 98 1 9 4 1 a b c Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm là x 9y 4z 98 0. Cách 2: Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ( ) . Vì mặt phẳng ( ) luôn đi qua điểm cố định M nên d(O, ( )) OH OM 98. Dấu đẳng thức xảy ra khi H  M, khi đó ( ) là mặt phẳng đi qua M và có véc tơ pháp tuyến là  OM(1;9;4) nên phương trình ( ) là 1.(x 1) 9(y 9) 4.(z 4) 0 x 9y 4z 98 0. 3. Vì OA OB OC nên a b c , do đó xảy ra bốn trường hợp sau: Trường hợp 1: a b c. 1 9 4 Từ (1) suy ra 1 a 14, nên phương trình ( ) là: x y z 14 0. a a a 1 9 4 Trường hợp 2: a b c. Từ (1) suy ra 1 a 6, nên phương trình ( ) là a a a x y z 6 0. 1 9 4 Trường hợp 3: a b c. Từ (1) suy ra 1 a 4, nên phương trình ( ) là a a a x y z 4 0.
5. 1 9 4 Trường hợp 4: a b c. Từ (1) có 1 a 12, nên phương trình ( ) là a a a x y z 12 0. Vậy có bốn mặt phẳng thỏa mãn là x y z 14 0, và các mặt phẳng x y z 6 0, x y z 4 0, x y z 12 0. 4. Vì xA 0, zC 0 nên a 0, c 0, do đó 8OA 12OB 16 37OC 8a 12 b 16 37c. 8 2a 4 Nếu b 0 c a, b , a 2 nên từ (1) ta có 37 3 1 27 37 2 a 5 1 a 2a 35 0 a 2a 4 2a a 7 40 Vì a 2 nên a 5 b 2; c , phương trình mặt phẳng cần tìm là 37 ( ) : 8x 20y 37z 40 0. 8 4 2a Nếu b 0 c a, b , a 2 nên từ (1) ta có 37 3 1 27 37 29 3 109 1 a2 29a 35 0 a a 4 2a 2a 2 Vì a 2 nên không có giá trị thỏa mãn. Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : 8x 20y 37z 40 0. Ví dụ 4.8 Cho mặt cầu (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 25 và mặt phẳng ( ) có phương trình 2x 2y z 7 0 1. Chứng minh rằng mặt phẳng ( ) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và tìm bán kính của đường tròn đó; 2. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 1; 2), B(3;5; 2) và (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) , bán kính R 5 . 2 2 1 7 1. Ta có d(I, ( )) 4 R , suy ra ( ) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính 22 22 12 r R2 d2(I, ( )) 3 H là hình chiếu của I lên mặt phẳng ( ) , suy ra phương trình của HI là: x 1 2t y 1 2t z 1 t x 1 2t 5 x y y 1 2t 3 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ z 1 t 1 z 2x 2y z 7 0 3 5 5 1 Vậy tâm H ; ; . 3 3 3 x 1 t  2. Ta có AB 2; 6; 4 nên phương trình đường thẳng AB : y 1 3t y 2 2t Vì IA R nên mặt phẳng (P) đi qua AB luôn cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính r 25 d2(I, (P)) .
6. Do đó r nhỏ nhất d(I, (P)) lớn nhất. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của I lên AB và (P) , ta luôn có IH IK nên suy ra d(I, (P)) lớn nhất H  K  Do H AB H(1 t; 1 3t; 2 2t) IH (t; 3t 2;1 2t)   4  4 2 1 Vì IH  AB IH.AB 0 t 3(3t 2) 2(1 2t) 0 t IH ; ; 7 7 7 7 Vậy phương trình ( ) : 4x 2y z 4 0 . Ví dụ 5.8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P) : 2x y 2z 14 0 và mặt cầu x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 ; 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất. Lời giải. Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 1) và bán kính R 3 . y 0 1.Trục Ox có phương trình: phương trình (Q): ay bz=0 . z 0 Mặt cầu (S) cắt (Q) theo một đường tròn có bán kính r 3 R I (Q) a 2b 0 , chọn b 1 a 2 . Vậy phương trình mp(Q): 2x y 0 . 2. Gọi là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(P) . Suy ra phương trình của x 1 y 2 z 1 : 2 1 2 cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B . Khi đó nếu d(A, (P)) d(B, (P)) d(M, (P)) lớn nhất M  A . Tọa độ giao điểm của và mặt cầu (S) là nghiệm của hệ: x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 x 1 y 2 z 1 . 2 1 2 Giải hệ này ta được hai giao điểm.A( 1; 1; 3), B(3; 3;1) Ta có:d(A, (P)) 7 d(B, (P)) 1 . Vậy d(M, (P)) lớn nhất. M( 1; 1; 3) Ví dụ 6.8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x y 2z 6 0 và hai điểm A(5; 2; 6), B(3; 2;1) . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho: 1. MA MB nhỏ nhất 2. MA MB lớn nhất Lời giải.  Mặt phẳng (P) có nP (2; 1; 2) là VTPT Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình của (P) ta được 18 và 4 nên hai điểm A, B nằm về cùng một phía so với (P) . 1. Gọi A ' là điểm đối xứng với A qua (P) , khi đó A ' và B ở khác phía so với (P) và với mọi điểm M (P) , ta có MA MA ' . Do đó M (P) : MA MB A ' M MB A ' B , mà A ' B không đổi và đẳng thức xảy ra khi M A ' B  (P) , suy ra MA MB nhỏ nhất M A ' B  (P) .
7. x 5 2t Ta có: AA '  (P) AA ' : y 2 t z 6 2t Tọa độ giao điểm H của AA ' và (P) là nghiệm của hệ: x 5 2t x 1 y 2 t y 0 H(1; 1; 2) z 6 2t z 2 2x y 2z 6 0 x 2x x 3 A ' H A H là trung điểm của AA ' yA ' 2yH yA 2 A '( 3; 2; 2) zA ' 2zH zA 2 x 3 6t  Suy ra A ' B (6; 4; 3) , phương trình A ' B : y 2 4t , t ¡ z 2 3t 21 x x 3 6t 11 y 2 4t 14 Tọa độ M là nghiệm của hệ y z 2 3t 11 2x y 2z 6 0 5 z 11 21 14 5 Vậy M ; ; là điểm cần tìm. 11 11 11 2. Vì A, B nằm về cùng một phía so với (P) nên với mọi M (P) ta luôn có AM MB AB , đẳng thức xảy ra khi M AB  (P) . x 5 2t Phương trình AB : y 2 z 6 5t 17 x 5 2t x 7 y 2 17 3 Tọa độ M : y 2 . Vậy M ; 2; . z 6 5t 7 7 3 2x y 2z 6 0 z 7 Ví dụ 7.8 Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 1;1) , đường thẳng có phương trình x 1 y z 1 : và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 1 0 2 1 1 1. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng và khoảng cách từ A đến (Q) lớn nhất; 2. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa và tạo với (P) một góc nhỏ nhất; 3. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa hai điểm M(1;1;1), N( 1; 2; 1) và tạo với đường thẳng một góc lớn nhất. Lời giải.  Mặt phẳng (P) có nP (2; 1; 2) là VTPT  Đường thẳng đi qua B(1; 0; 1) và có u (2;1; 1) là VTCP.
8.  1. Cách 1: Giả sử n (a; b; c) là VTPT của (Q) , suy ra phương trình của (Q) có dạng: a(x 1) by c(z 1) 0 ax by cz a c 0 (1) Do  (Q) nên 2a b c 0 c 2a b . 2c b 4a b 16a2 8ab b2 Do đó: d(A, (Q)) 2 2 a2 b2 c2 5a2 4ab 2b2 5a 4ab 2b 4 Nếu b 0 d(A, (Q)) 5 a 16a2 8ab b2 16t2 8t 1 Nếu b 0 thì ta đặt t , ta có: f (t) b 5a2 4ab 2b2 5t2 4t 2 24t2 54t 12 1 Xét hàm số f (t) với t ¡ ta có: f '(t) , f '(t) 0 t 2, t (5t2 4t 2)2 4 7 14 Suy ra max f (t) f ( 2) , do đó max d(A, (Q)) , đạt được khi a 2b 2 2 Chọn b 1 ta tìm được a 2, c 3 . Vậy phương trình (Q) : 2x y 3z 1 0 . Cách 2: Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên và (Q) , khi đó d(A, (Q)) AH AK , mà AK không đổi nên d(A, (Q)) lớn nhất H  K  Dẫn tới (Q) là mặt phẳng đi qua K và nhận AK làm VTPT.  Vì K K 1 2t; t; 1 t AK 2t; t 1; t 2   1 1 1  1 3 AK  AK.u 0 4t t 1 t 2 0 t K 0; ; , AK 1; ; 2 2 2 2 2 Vậy phương trình (Q) : 2x y 3z 1 0 . 2. Cách 1: Tương tự như trên ta có (Q) : ax by (2a b)z a b 0 · Gọi (P), (R) , 00 900 . 2a b 2(2a b) 1 b2 12ba 36a2 Ta có: cos . 2 2 3 a2 b2 (2a b)2 3 2b 4ab 5a 1 Nếu a 0 cos 3 2 b b2 12ba 36a2 t2 12t 36 Nếu a 0 , đặt t thì ta có: f (t) a 2b2 4ab 5a2 2t2 4t 5 7 53 Khảo sát hàm số f (t) ta tìm được max f (t) f ( ) 10 6 b 7 Suy ra max cos  đạt được khi , chọn b 7 a 10 a 10 Vậy phương trình (R) : 10x 7y 13z 3 0 . Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (P)
9. x 1 2t Ta có phương trình d : y t , lấy C(3; 1;1) d, C B z 1 2t C (P) B K (R) H Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C lên (R) và , khi đó B· CH và BH BK sin sin B· CH . BC BC BK Mà không đổi, nên suy ra nhỏ nhất H  K hay (R) là mặt phẳng đi qua và vuông góc với BC mặt phẳng (BCK) .    Mặt phẳng (BCK) đi qua và vuông góc với (P) nên n n , u ( 1; 6; 4) là VTPT của (BCK) . 1 P    Do (R) đi qua và vuông góc với (BCK) nên n n , u 10; 7;13 là VTPT của (R) , suy ra R 1 phương trình của (R) : 10x 7y 13z 3 0 . 3. Cách 1: Giả sử phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: ax by cz d 0 3 d b a b c d 0 2 Do M, N ( ) nên a 2b c d 0 1 c a b 2 Ta viết lại dạng phương trình của ( ) như sau: 2ax 2by (b 2a)z 3b 0  · Suy ra n (2a; 2b; b 2a) là VTPT của ( ) . Gọi (  ))   n .u 4a 2b b 2a 1 b2 12ab 36a2 Ta có: sin   2 2 2 2 2 n . u 6. 4a 4b (b 2a) 6 5b 4ab 8a 3 b Nếu a 0 sin , với a 0 , đặt t , t ¡ 2 a t2 12t 36 5 53 Xét hàm số f (t) ta tìm được max f (t) f . 5t2 4t 8 8 9 b 5 Do đó sin , chọn b 5, a 8 max max a 8 Vậy phương trình của ( ) : 16x 10y 11z 15 0 .
10.  Cách 2: Ta có: NM 2; 1; 2 là VTCP của MN , suy ra phương trình đường thẳng x 1 2t MN : y 1 t , t ¡ . Gọi d là đường thẳng đi qua M , song song với . Suy ra phương trình z 1 2t x 1 2t d : y 1 t , t ¡ z 1 t Trên d ta lấy điểm A(3; 2; 0) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên ( ) và MN , khi đó · ( ), ·ABH . BH BK BK Ta có: cos ·ABH , mà không đổi nên ·ABH lớn nhất H  K BA BA BA Hay ( ) là mặt phẳng đi qua MN và vuông góc với mặt phẳng ()  (MN, d)    Ta có: n NM, u 1; 6; 4 là VTPT của ()     Suy ra n NM, n 16; 10;11 là VTPT của ( )  Vậy phương trình của ( ) : 16x 10y 11z 15 0 . A Δ N H M d K (P) Ví dụ 8.8 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : x y z 3 0 và điểm A(1; 2; 3) . Lập phương trình đường thẳng nằm trong ( ) và 1. đi qua M(1;1;1) và khoảng cách từ A đến lớn nhất, nhỏ nhất; x 2 y z 2. đi qua M và khoảng cách giữa và d : lớn nhất. 1 2 1 Lời giải.  Mặt phẳng ( ) có n (1;1;1) là VTPT  Gọi u (a; b; c) là VTCP của , do  (P) a b c 0 c a b (1)    1. Ta có: AM 0; 1; 2 u, AM c 2b; 2a; a   u, AM (c 2b)2 5a2 (b a)2 5a2 Do đó: d(A, )  u a2 b2 c2 a2 b2 (a b)2 1 b2 2ab 6a2 2 b2 2ab b2 1 b Nếu a 0 d(A, ) , với a 0 đặt t , t ¡ 2 a
11. t2 2t 6 Xét hàm số f (t) , khảo sát hàm số f (t) ta tìm được t2 t 1 2 2 max f (t) f ( ) 10, min f (t) f (4) 3 3 2 b 2 Khoảng cách từ A đến lớn nhất khi t , chọn b 2 a 3, c 1 , suy ra 3 a 3 x 1 y 1 z 1 phương trình đường thẳng : : 3 2 1 b Khoảng cách từ A đến nhỏ nhất khi t 4 4 , chọn b 4 a 1, c 5 , suy ra phương a x 1 y 1 z 1 trình đường thẳng : : . 1 4 5  2. Đường thẳng d đi qua N(2; 0; 0) và có u1 (1; 2; 1) là VTCP       MN 1; 1; 1 , u, u (2a b; b; 2a b) u, u .MN 3b 1 1    u, u .MN 1 3 b b2 Do đó d( , d)   3 3 u, u 2 2 2 4a2 3b2 1 (2a b) b (2a b)  Đẳng thức xảy ra khi a 0 c b u b(0;1; 1) x 1 Vậy phương trình : y 1 t . z 1 t x 1 y z 2 Ví dụ 9.8 Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1; 2) và cắt đường thẳng d : 2 1 1 sao cho: 1. Khoảng cách từ B(2; 1;1) đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất; x 5 y z 2. Khoảng cách giữa d và : là lớn nhất. 2 2 1 Lời giải. Giả sử d cắt d ' tại điểm M thì M( 1 2t; t; 2 t), t ¡ .  AM (2t 1; t 1; t) là VTCP của đường thẳng d .    1. Ta có AB (2; 2; 1) nên AB, AM (1 t; 1; 4 2t). Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là   AB, AM 5t2 18t 18 d(B, d)  f (t) AM 6t2 2t 2 5t2 18t 18 98t(t 2) Ta có f (t) nên f (t) . 6t2 2t 2 (6t2 2t 2)2 1 Từ đó ta tìm được max f (t) f (0) 18, min f (t) f (2) . 11 Do đó:
12. 1  min d(B, d) đạt được khi t 2 AM (3; 3; 2) nên phương trình đường thẳng cần tìm 11 x y 1 z 2 d : . 3 3 2  max d(B, d) 3 2 đạt được khi t 0 AM ( 1;1; 1) nên phương trình đường thẳng cần tìm x y 1 z 2 d : . 1 1 1  2. đi qua N(5; 0; 0) và có véc tơ chỉ phương u (2; 2; 1).    Ta có u , AM (t 1; 4t 1; 6t), AN (5; 1; 2). Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:    u , AM .AN 6 3t d( ; d)   u , AM 2 2 2 (t 1) (4t 1) (6t) (2 t)2 (2 t)2 3. 3. f (t), f (t) . 53t2 10t 2 53t2 10t 2 6(t 2)(4 37t) 4 Vì f (t) nên f (t) 0 t 2, t . (53t2 10t 2)2 37 4  1 Từ đó ta tìm được max f (t) f , khi đó AM 29; 41; 4 . 37 37 x y 1 z 2 Vậy đường thẳng d có phương trình là d : . 29 41 4 CC BÀI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 1 1. Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A( 1; 3; 2), B( 3;7; 18) và mặt phẳng P : 2x y z 1 0 . a) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (P) . b) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MA MB nhỏ nhất. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; 1; 2), C( 1; 4; 3), D(1; 6; -5) . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD . Tìm tọa độ M trên CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất. 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình: x 2y 2z 5 0 và hai điểm A 3; 0;1 , B 1; 1; 3 . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P) , hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. 4. Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(1;4;9) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C (khác gốc tọa độ) sao cho a) Thể tích khối tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất. b) OA OB OC đạt giá trị nhỏ nhất. x 1 y 8 z 1 5. Cho đường thẳng : và các điểm A( 3; 4; 1), 2 3 1 B(1; 6; 1), C(1; 10; 3). Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho a) MA MB nhỏ nhất. b) MA MC nhỏ nhất. Bài 2 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có A trùng với gốc tọa độ, B a; 0; 0 , D 0; a; 0 , A ' 0; 0; b với a 0, b 0 . Gọi M là trung điểm của CC ' .
13. a) Tính thể tích của khối tứ diện BDA ' M . b) Cho a b 4 . Tìm max VA ' BDM . 2. Cho các điểm A(3; 1;0),B(2;1; 1),C(3;2;6). a) Tìm điểm D thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho ABCD là tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc. b) Tìm điểm M trên trục hoành sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất. 3. Cho hai điểm A(5;2;3),B( 1; 2; 1). a) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oxz) tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? b) Tìm tọa độ điểm N trên mặt phẳng (Oxz) sao cho NA NB có gia trị nhỏ nhất. c) Cho điểm K có các thành phần tọa độ bằng nhau. Xác định K biết rằng 2KA2 3KB2 đạt giá trị lớn nhất 4. Cho A(1; 1; 2), mặt phẳng (P) : x y z 1 0 và đường thẳng x 1 y z 4 : . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 2 1 3 đồng thời a) d //(P) và khoảng cách giữa d và là lớn nhất. b) d //(P) và góc giữa d và là lớn nhất, bé nhất. x 1 t c) d vuông góc với đường thẳng d : y 3 t (t R) và khoảng cách từ điểm B( 1; 1; 1) đến đường thẳng z 1 t d là lớn nhất, bé nhất. x y z 1 Bài 3 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : và ba điểm 1 2 1 A(3; 2; 1), B(1; 2;1), C(2;1; 3) . Tìm M sao cho: 1. MA MB nhỏ nhất 2.MA MC nhỏ nhất. Bài 4 Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M 1; 4; 9 sao cho ( ) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A, B, C thỏa: 1. M là trọng tâm tam giác ABC ; 2. Tứ diện OABC có thể tích lớn nhất; 3. Khoảng cách từ O đến (ABC) lớn nhất; 4. OA OC 4OB và OA OB 9 . 1 1 1 Bài 5 Cho A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c với a, b, c 0 và 2 a b c 1. Tìm tâm và bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính R . 1 3 2. Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC . Chứng minh rằng: r . 4 2( 3 1) Bài 6 Cho các điểm A(1; 0; 1), B(2; 2; 1), C(0; 1; 0) .    1. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) : x 2y 2z 6 0 sao cho :MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. 57    2. Tìm M thuộc mặt cầu (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 sao cho : 2MA 4MB 3MC đạt giá 2 trị lớn nhất. Bài 7 2 2 2 2 2 2 1. Cho mặt cầu (S1) : x y z 6x 12y 12z 72 0 và mặt cầu (S2) : x y z 9 0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường nối tâm của hai mặt cầu (S1) và (S2), tiếp xúc với hai mặt cầu đó và có bán kính lớn nhất
14. 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm điểm A(3; 2; 1) và x 1 y 1 z 1 cắt đường thẳng d : sao cho 1 2 1 a) Khoảng cách từ B(2; 1; 1) đến là lớn nhất, bé nhất. x 1 2t b) Khoảng cách giữa và : y 2 t (t R) lớn nhất. z 1 2t c) Góc giữa và mặt phẳng (P) : 5x 2y 3z 8 0 lớn nhất. x 1 y 2 z x 2 y 1 z Bài 8. Cho d : và d : , (Q) : x 2y 2z 3 0. Lập phương trình 1 2 1 2 1 2 mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và 1. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) nhỏ nhất. 2. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d lớn nhất. x 1 y 2 z Bài 9 Trong không gian cho hai điểm A(1; 4; 2), B( 1; 2; 4) và đường thẳng: d : . 1 1 2 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. 2. Viết phương trình (Q) chứa d vào tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất. 3. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo với Oy một góc lớn nhất. Bài 10 Cho các điểm A(1; 1; 2), B( 2; 1; 0), C(2; 0; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x y z 3 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho 1. MA MB có giá trị nhỏ nhất 2. MA MC có giá trị lớn nhất. 3. MA MC có giá trị nhỏ nhất 4. MA MB có giá trị lớn nhất. Bài 11. x 1 y 1 z x y 1 z 1 1. Cho O(0; 0; 0) và đường thẳng : , đường thẳng d : . Lập 1 2 1 2 2 1 phương trình đường thẳng d qua O, vuông góc với và cách d ' khoảng lớn nhất. 2. Cho các điểm A(4; 1; 2), B(1; 4; 2), C(1; 1; 5) và đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P) : x y z 7 0 và mặt cầu (S) có phương trình x2 y2 z2 2x 2y 4z 3 0 . Tìm tọa độ điểm M (C) sao cho MA MB MC đạt giá trị lớn nhất. Bài 12. Cho các điểm A,B,C lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ). Lập phương trình mặt phẳng (ABC) biết 1. Điểm G( 2;3;1) là trọng tâm của tam giác ABC. 2. Điểm H(5; 3; 2) là trực tâm của tam giác ABC. 3. Mặt phẳng (ABC) qua M(1; 2;3) và d(O,(ABC)) lớn nhất. 4. Mặt phẳng (ABC) qua N(1;2;3) và OA OB OC. 5. Mặt phẳng (ABC) qua P(3;2;1), điểm A có hoành độ bằng 2 đồng thời OB 1 2OC. Bài 13. Cho mặt phẳng (P) :x y z 1 0 và ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2),C( 2;0;1). 1. Tìm tọa độ điểm M có tung độ bằng 1, nằm trong mặt phẳng (P) và thỏa mãn MA MB. 2. Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (P) sao cho 2NA2 NB2 NC2 đạt giá trị nhỏ nhất.
15. Bài 14. 1. Cho mặt phẳng (P ) : x 2y z 1 0 và các điểm A(1; 0;0), B(0; 2; 3). Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P), đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất?. 2. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 1; 2), song song với mặt phẳng (Q) : 2x y z 3 0, đồng x 1 y 1 z thời d tạo với đường thẳng d : một góc nhỏ nhất, lớn nhất?. 1 2 2 x 1 y 2 z 2 3. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A( 1; 0; 1) và cắt đường thẳng d : sao cho 2 1 1 x 3 y 2 z 3 góc giữa đường thẳng d và đường thẳng : là lớn nhất, nhỏ nhất? 1 2 2 x 1 y 2 z Bài 15. Cho đường thẳng d : và điểm A (1; 4; 2 ), 1 1 2 B( 1; 2; 4). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và 1. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là lớn nhất. 2. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (xOy) là nhỏ nhất. 3. Góc giữa mặt phẳng (P) và trục Oy là lớn nhất. Chú ý: Trong không gian cho n điểm A1, A2, , An . 2 2 2 1. Tìm M sao cho P 1MA1 2MA2 nMAn a) Nhỏ nhất khi 1 2 n 0 b) Lớn nhất khi 1 2 n 0    n 2. Tìm M sao cho P 1 MA1 2 MA2 n MAn nhỏ nhất hoặc lớn nhất , trong đó  i 0 . i 1 Phương pháp giải:    n Gọi I là điểm thỏa mãn: 1 IA1 2 IA2 n IAn 0 điểm I tồn tại và duy nhất nếu  i 0 . i 1 Khi đó :   2   2   2 1. P 1 MI IA1 1 MI IA2 1 MI IAn n 2 2 ( 1 2 n)IM  1IAi i 1 n 2 Do  1IAi không đổi nên: i 1 Nếu 1 2 n 0 thì P nhỏ nhất MI nhỏ nhất Nếu 1 2 n 0 thì P lớn nhất MI nhỏ nhất       n 2. P 1 MI IA1 2 MI IA2 n MI IAn  i .MI i 1 Do đó P nhỏ nhất hoặc lớn nhất MI nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Nếu M thuộc đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P) ) thì MI lớn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên (hoặc (P) ).
16. Nếu M thuộc mặt cầu (S) và đường thẳng đi qua I và tâm của (S), cắt (S) tại hai điểm A, B ( IA IB) thì MI nhỏ nhất (lớn nhất) M  B (M  A ). Ví dụ 10.8 Cho (P) : x y z 1 0 và ba điểm A(1;1;1), B(0;1; 2), C( 2; 0;1) . 1. Tìm tọa độ điểm M (P) sao cho MA MB và yM 1 ; 2. Tìm N (P) sao cho S 2NA2 NB2 NC2 nhỏ nhất. Lời giải. 1. Gọi M(x;1; z) (P) , ta có: x 1 z 1 0 x z Suy ra MA MB (x 1)2 (z 1)2 x2 (z 2)2 2x 2z 2 4z 4 1 1 1 1 z ; x . Vậy M( ;1; ) . 2 2 2 2   2. Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa mãn 2IA IB IC 0 (*)    Ta có: 2IA 2 2x; 2 2y; 2 2z , IB x;1 y; 2 z , IC 2 x; y;1 z 4x 0 3 5 3 5 Nên (*) 3 4y 0 x 0, y , z . Suy ra I 0; ; 4 4 4 4 5 4z 0  2   2   Khi đó: 2NA 2 NI IA 2NI2 2IA2 4NI.IA  2    2   NB NI2 IB2 2NI.IB ; NC NI2 IC2 2NI.IC     Do đó S 4NI2 2IA2 IB2 IC2 2NI 2IA IB IC 4NI2 2IA2 IB2 IC2 Do 2IA2 IB2 IC2 không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi NI nhỏ nhất hay N là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) .  3 5  Gọi N(x; y; z) IN x; y ; z , n 1; 1;1 là VTPT của (P) 4 4 Vì N (P) x y z 1 0 (1) x k   3 Do IN  (P) nên IN kn y k thay vào (1), ta có được: 4 5 z k 4 3 5 3 3 3 1 k k k 1 0 k x , y , z 4 4 2 2 4 4 3 3 1 Vậy N ; ; . 2 4 4 Ví dụ 11.8 Trong không gian cho ba điểm A(1; 2; 3), B( 1; 0; 3), C(2; 3; 1) 1. Tìm M thuộc mặt phẳng ( ) : 2x y 2z 1 0 sao cho biểu thức sau nhỏ nhất S 3MA2 4MB2 6MC2 ; x 1 y 1 z 1 2. Tìm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức sau lớn nhất: 2 3 1    P MA 7MB 5MC ; 3. Tìm M thuộc mặt cầu (S) : (x 2)2 (y 2)2 (z 8)2 36 sao cho biểu thức F MA2 4MB2 2MC2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Lời giải. 1. Cách 1:       Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa mãn: 3IA 4IB 6IC 0 IA 6AC 4AB (*)
17.    Mà IA (1 x; 2 y; 3 z), 6AC (6; 30; 24), 4AB ( 8; 8; 24) 1 x 6 8 x 13 Do đó (*) 2 y 30 8 y 24 I( 13; 24; 3) 3 z 24 24 z 3  2  2  2   2   2   2 Khi đó: S 3MA 4MB 6MC 3 MI IA 4 MI IB 6 MI IC     IM2 2MI 3IA 4IB 6IC 3IA2 4IB2 6IC2 IM2 3IA2 4IB2 6IC2 . Do 3IA2 4IB2 6IC2 không đổi nên S nhỏ nhất IM nhỏ nhất M là hình x 13 2t chiếu của I lên ( ) . Ta có IM  ( ) IM : y 24 t z 3 2t x 13 2t x 11 y 24 t Tọa độ của M là nghiệm của hệ: y 25 z 3 2t z 1 2x y 2z 1 0 Vậy M( 11; 25;1) là điểm cần tìm. Cách 2: Gọi M(a; b; c) ( ) 2a b 2c 1 0 Suy ra: 3MA2 3a2 3b2 3c2 6a 12b 18c 42 4MB2 4a2 4b2 4c2 8a 24c 40 6MC2 6a2 6b2 6c2 24a 36b 12c 84 Suy ra S a2 b2 c2 26a 48b 6c 2 (a 11)2 (b 25)2 (c 1)2 4a 2b 4c 749 2(2a b 2c 1) 747 747 Đẳng thức xảy ra a 11, b 25, c 1 hay M( 11; 25;1) là điểm cần tìm 2. Cách 1: Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa mãn:       IA 7IB 5IC 0 IA 7AB 5AC (*)    Mà IA 1 x; 2 y; 3 z , 7AB (14;14; 42), 5AC (5; 25; 20) 1 x 14 5 x 18 Nên (*) 2 y 14 25 y 13 I( 18;13; 19) 3 z 42 20 z 19       Khi đó: P MI IA 7 MI IB 5 MI IC MI Do đó P nhỏ nhất MI nhỏ nhất M là hình chiếu của I lên  M M 1 2t; 1 3t;1 t IM (2t 19; 3t 14; t 20) 12 Vì IM  2(2t 19) 3(3t 14) ( t 20) 0 t 7
18. 31 29 5 Vậy M ; ; là điểm cần tìm. 7 7 7 Cách 2: Ta có M M 1 2t; 1 3t;1 t   Suy ra MA 2t; 3 3t; 2 t , 7MB 14 14t; 7 21t; 28 7t  5MC 5 10t; 10 15t; 10 5t    Do đó MA 7MB 5MC 2t 19; 3t 14; t 20 Nên P2 (2t 19)2 (3t 14)2 (t 20)2 14t2 48t 957 2 12 6411 6411 14 t 7 7 7 12 31 29 5 Đẳng thức xảy ra t . Vậy M ; ; là điểm cần tìm. 7 7 7 7       3. Gọi E(x; y; z) là điểm thỏa mãn: EA 4EB 2EC 0 EA 2AC 4AB Ta tìm được E 10; 2;16 . Khi đó F EM2 EA2 4EB2 2EC2 Vì EA2 4EB2 2EC2 không đổi nên F lớn nhất, nhỏ nhất khi và chỉ khi EM nhỏ nhất, lớn nhất. x 2 8t  Mặt cầu (S) có tâm I(2; 2; 8) , IE 8; 4; 8 IE : y 2 4t z 8 8t Tọa độ các giao điểm của IE với mặt cầu (S) là nghiệm của hệ x 2 8t y 2 4t 2 2 2 2 2 2 1 8 t 4 t 8 t 36 t . z 8 8t 2 2 2 2 (x 2) (y 2) (z 8) 36 1  t M 6; 0;12 IM (2; 2; 4) MI 2 6 2 1  t N 2; 4; 4 IN ( 4; 2; 4) NI 6 2 Do NI MI nên ta có được: F lớn nhất khi và chỉ khi E  M E 6; 0;12 F nhỏ nhất khi và chỉ khi E  N E 2; 4; 4 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 3;1), B( 1; 2; 0), C(1; 2; 2) . 1. Lập phương trình mặt phẳng (ABC) ; 2. Tìm a, b để mặt phẳng ( ) : (2a b)x (3a 2b)y 1z 1 0 song song với (ABC) ; 3. Tìm M () : 3x y z 1 0 sao cho S 2MA2 4MB2 3MC2 nhỏ nhất;    4. Tìm N ( ) : 3x 3y z 29 0 sao cho P 3NA 5NB 7NA nhỏ nhất.
19. Bài 2 Cho các điểm A( 2; 3;1), B(5; 2;7), C(1; 8; 1) . Tìm tập hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn     1. 2M. A2 MB2 MC2 AM AB BM CM Bài 3 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 4; 5), B(0; 3; 1), C(2; 1; 0) và mặt phẳng (P) : 3x 3y 2z 15 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho 1. MA2 MB2 MC2 có giá trị nhỏ nhất. 2. MA2 2MB2 4MC2 có giá trị lớn nhất. x 1 y 2 z Bài 4 Cho A(1; 4; 2), B( 1; 2; 4) và : . Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho 1 1 2 1. MA2 MB2 nhỏ nhất    2. 3OM 2AM 4BM nhỏ nhất. 3. Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Bài 5 Cho tam giác ABC có A 3; 2;5 , B 2;1; 3 ,C 5;1; 1 . Điểm M có các thành phần tọa độ bằng nhau. 1. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn.   2. Tìm tọa độ điểm M sao cho MA 3BC đạt giá trị nhỏ nhất. 3. Tìm điểm M sao cho 2MA2 MB2 4MC2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 6. Cho ba điểm A(1;2; 3),B(2;4;5),C(3;6;7) và mặt phẳng (P) : x y z 3 0. 1. Tìm tọa độ hình chiếu trọng tâm G của tam giác ABC trên mặt phẳng (P). 2. Tìm tọa độ điểm G đối xứng với điểm G qua mặt phẳng (P). 3. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức T có giá trị nhỏ nhất với T MA2 MB2 MC2. Bài 7. Cho các điểm A(1; 0; 1),B(0; 2; 3), C( 1; 1; 1) và đường thẳng x 1 y 1 z : . Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho 1 2 2 a) MA2 2MB2 4MC2 lớn nhất.   b) AM BC nhỏ nhất. x 1 2t Bài 8. Cho đường thẳng m : y (1 m)t (t ¡ ), m là tham số. z 2 mt Tìm giá trị của m sao cho 1. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến m là lớn nhất, nhỏ nhất. 2. m tạo với mặt phẳng (xOy) một góc lớn nhất. 3. Khoảng cách giữa m và trục Oy lớn nhất.