›
›
›

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 - Chuyên đề: Tứ giác

doc 56 trang hoaithuong97 7232
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 - Chuyên đề: Tứ giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docchuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_toan_lop_8_chuyen_de_tu_gi.doc

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8 - Chuyên đề: Tứ giác

  1. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com CHUYấN ĐỀ TỨ GIÁC Bài 1: HèNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BèNH CỦA HèNH THANG A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa: - Hỡnh thang là tứ giỏc cú hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đỏy, hai cạnh cũn lại là hai cạnh bờn. (H1) - Hỡnh thang vuụng là hỡnh thang cú một gúc vuụng. (H2) - Hỡnh thang cõn là hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau. (H3) - Đường trung bỡnh của tam giỏc là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giỏc. (H4) - Đường trung bỡnh của hỡnh thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bờn của hỡnh thang. (H5) A B B C A B D C A D D C H1. HèNH THANG H2. THANG VUễNG H3. THANG CÂN A A B N N M M B C D C H4.ĐƯỜNG TRUNG BèNH TAM GIÁC H5. ĐƯỜNG TRUNG BèNH HèNH THANG 2. Tớnh chất: - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh bờn song song thỡ hai cạnh bờn ấy bằng nhau. - Nếu một hỡnh thang cú hai cạnh đỏy bằng nhau thỡ hai cạnh bờn song song và bằng nhau. - Trong hỡnh thang cõn, hai cạnh bờn bằng nhau. - Trong hỡnh thang cõn, hai đường chộo bằng nhau. - Đường trung bỡnh của tam giỏc thỡ song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy. 1 Với H4. Ta cú: MN / /BC,MN BC 2 - Đường trung bỡnh của hỡnh thang thỡ song song với hai đỏy và bằng nửa tổng hai đỏy. AB CD Với H5. Ta cú: MN / / AB / /CD và MN 2 3. Định lý: - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giỏc và song song với cạnh thứ hai thỡ đi qua trung điểm của cạnh thứ ba, và đường ấy cũng chớnh là đường trung bỡnh của tam giỏc. Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
  2. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bờn của hỡnh thang và song song với hai đỏy thỡ đi qua trung điểm của cạnh bờn cũn lại và đường ấy cũng là đường trung bỡnh của hỡnh thang. 4. Dấu hiệu nhận biết : - Hỡnh thang cú hai gúc kề một đỏy bằng nhau là hỡnh thang cõn. - Hỡnh thang cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh thang cõn. Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
  3. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 5. Mở rộng: - Trong hỡnh thang cú hai cạnh bờn khụng song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chộo thỡ song song với hai đỏy và bằng một nửa hiệu hai đỏy. (H6) A B M N C D (H6) CD AB - Ở H6 ta cú: MN / / AB / /CD và MN 2 B. LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC cú AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9 cm, Trờn tia AB lấy điểm D sao cho: BD = BA. Trờn tớa AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kộo dài trung tuyến AM của tam giỏc ABC, lấy MI = MA. a. Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ADE. A b. Chứng minh DI // BC. c. Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng. 5 7 HD: C B M 9 D I E Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm của AD và BC, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, BE, AC, BD, CMR: MNPQ là hỡnh thang E HD: Dễ dạng chứng minh được MN // AB M N Gọi R là trung điểm của AD khi đú ta cú: RQ // AB A B RP // DC // AB Nờn RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB R Vậy MNPQ là hỡnh thang Q P D C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
  4. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
  5. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 3: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, Vẽ AH vuụng gúc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AH CH, CMR : A MN vuụng gúc với AB và BM vuụng gúc với AN HD: Vỡ MN là đường trung bỡnh => MN//AC mà AC  AB M => MN  AB=> M là trực tõm của ABN ABN cú M là trực tõm => BM  AN C B H N Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nú, trờn cựng 1 nửa mặt phẳng cú bờ AB, vẽ hai tia Ax và By vuụng gúc với AB, Một gúc vuụng đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D a, AC+BD=CD b, CO là tia phõn giỏc của ãACD HD a, Gọi I là trung điểm của CD AC// BD => OI là trung bỡnh của hỡnh thang ABCD D AC BD I =>OI 2 C 2 => AC BD 2.OI 1 Lại cú COD vuụng => OI là đường trung tuyến => OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD b, Ta cú OCD vuụng tại O cú OI là đường trung tuyến nờn OI = IC 1 ả à A O B => IOC cõn tại I =>C2 O1 à à à ả ã Mà: O1 C1 Nờn =>C1 C2 Vậy OC là tia phõn giỏc gúc ACD Bài 5: Cho ABC cú À 800 , AB AC . Trờn cạnh AB lấy D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tớnh gúc Bã EF ? HD: A 80 E D O B C F Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
  6. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 6: Cho tứ giỏc ABCD cú AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N của cỏc cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR : ãAEM Mã FB HD : Gọi I là trung điểm của BD E Ta cú: MI, NI lần lượt là đường trung bỡnh AD BC ? =>MI IN => IMN cõn F 2 2 ả à ? =>M E ( đồng vị ) A à à M và N F ( so le trong) B Vậy Eà Fà I D N C Bài 7: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD) tia phõn giỏc gúc C đi qua trung điểm M của AD, CMR: a, Bã MC 900 b, BC = AB + CD HD: a, Giả sử MC cắt AB tại E A B Khi đú CMD EMA g.c.g E 2 => CM = EM và CD = AE à ả à Xột BEC cú: E C2 C1 => BEC cõn 2 Mà BM là đường trung tuyến M => BM là đường cao 1 Vậy BM  EC b, Vi BEC cõn nờn EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB 1 D 2 C Bài 8: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD), cú Cà 600 , DB là phõn giỏc của gúc Dà , Biết chu vi của hỡnh thang là 20cm, Tớnh mỗi cạnh của hỡnh thang HD: Đặt BC= a, ta cú ngay:AD = AB = BC = a E à 0 ả 0 ã 0 Mà: C 60 D2 30 DBC 90 ả 0 à 0 Xột BDC cú D2 30 ,C 60 DC 2a Mà Chu vi hỡnh thang là 20 cm nờn a + a + a + 2a = 20 => a = 4 A B 1 a 1 1 2 D C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
  7. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 9: Cho tam giỏc ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) đi qua trung điểm I của AM cắt cỏc cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C trờn đường thẳng (d) BB ' CC ' CMR: AA ' 2 HD: A Gọi H, K lần lượt là giao của (d) với AB và AC Lấy N là hỡnh chiếu của M trờn đường thẳng (d) => AA’I = MNI ( cạnh huyền- gúc nhọn) M' C' => AA’ = MN d B' Hỡnh thang BB’C’C cú MN là đường trung bỡnh nờn: A' I BB ' CC ' MN AA' 2 C B M Bài 10: Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao BH, CK. Gọi D và E lần lượt là hỡnh chiếu của B và C trờn đường thẳng HK, A CMR: DK = EH. HD: Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và DE, Xột BHC vuụng tại H cú HM là đường trung tuyến nờn: 1 E HM BC (1) H 2 M' BKC vuụng tại K cú KM là đường trung tuyến nờn: K 1 D KM BC (2) 2 Từ (1) và (2) => MH = MK => KM’ = HM’ Vậy DM’ = EM’ B M C Bài 11: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao BD và CE, gọi I và K theo thứ tự là hỡnh chiếu của B và C trờn đường thẳng ED, CMR: IE=DK HD: Gọi M là trung điểm của BC, kẻ MN  ED Tứ giỏc BIKC là hỡnh thang => NI= NK (1) A 1 BEC vuụng cú EM = . BC 2 1 BDC vuụng cú DM = . BC => EM =DM K 2 D => EDM cõn cú MN đường cao và là trung tuyến N => NE = ND (2) E I Từ (1) và (2) => IE= DK C Chỳc cỏc em chăm ngoan B– học giỏi !! M Trang 7
  8. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 12: Cho tam giỏc ABC cú G là trọng tõm, đường thẳng (d) khụng cắt cỏc cạnh của tam giỏc ABC, Gọi A’, B’, C’, G’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, G trờn đường thẳng (d), AA' BB ' CC ' CMR: GG ' 3 HD: A Gọi M là trung điểm của AC, và D đối xứng với G qua M, M’ là hỡnh chiếu của M trờn (d), Khi đú ta cú : D BG GM DM M 2 => G là trung điểm của BD G => GG’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang BB’D’D => MM’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang GG’D’D BB ' DD ' B C Nờn: GG ' (1) 2 d AA' CC' DD ' GG ' MM ' ;MM ' B' A' G' M' D' C' 2 2 => DD’ + GG’ = AA’ + CC’ => DD’ = AA’ + CC’ - GG’ Thay (1) vào ta được: 2GG’ = BB’ + AA’ + CC’ - GG’ => 3GG’ = AA’ + BB’ + CC’ => ĐPCM Bài 13: Cho tam giỏc ABC cú trọng tõm G ( G nằm bờn trong tam giỏc), Vẽ đường thẳng (d) đi qua G, cắt AB, AC, Gọi A’, B’, C’ là hỡnh chiếu của A, B, C trờn (d), Khi đú AA’, BB’, CC’ cú mỗi quan hệ gỡ? HD: Gọi I trờn AG sao cho AI = IG Kẻ MM’  (d) A Khi đú ta cú: GII’ = GMM’ (cạnh huyền = gúc nhọn) 1 I => II’ = MM’ mà II’ = AA’ => AA’ = 2. MM’ 2 C' Hỡnh thang BB’C’C cú MM’ là đường trung bỡnh G M' Nờn ta cú: 2. MM’ = BB’ + CC’ B' A' I' Nờn ta cú : AA’ = BB’ + CC’ B M C Bài 14: Cho tam giỏc ABC, Gọi D là trung điểm cạnh AB, trờn BC lấy cỏc điểm E, F sao cho BE = EF = FC, trờn tia đối của tia BA lấy điểm G sao cho BG = BD CMR: AF, CD, GE đồng quy HD: Gọi I là giao điểm của CD và GE A => E là trọng tõm của DGC => DI = IC DEC cú IF là đường trung bỡnh nờn IF // DE Lại cú: DE là đường trung bỡnh ABF => DE // AF Khi đú A, I, F thẳng hàng hay AF cú đi qua I D I B C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! E F Trang 8 G
  9. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 15: Cho tam giỏc ABC cú BC = a, cỏc đường trung tuyến BD, CE, lấy cỏc điểm M, N trờn cỏc cạnh BC sao cho BM=MN=NC, GỌi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE, Tớnh IK HD: Vỡ DN là đường trung bỡnh của ACM => DN // AM BM MN BDN cú: => I là trung điểm của BD AM / /DN A Chứng minh tương tự => K là trung điểm của EC Kộo dài IK cắt AB và AC lần lượt tại G và H Khi đú BED cú GI đi qua trung điểm I của BD và // ED Nờn GE=GB CED cú KH đi qua trung điểm K của EC và // ED Nờn HD=HC E D 1 1 1 1 Khi đú ta cú: GI ED a, KH ED a 2 4 2 4 1 3a 3a Cũn 2GH a a GH G H 2 2 4 I K 3a 1 1 a Nờn IK= GH - GI- HK= a a 4 4 4 4 B C a M N Vậy IK 4 Bài 16: Cho hỡnh thang ABCD cú àA Bà 1v, BC 2AB 2AD , Gọi M là 1 điểm nằm trờn đỏy nhỏ AD, kẻ Mx vuụng gúc với BM và Mx cắt CD tại N CMR: MB = MN HD: Kẻ DK //AB, chứng minh BDC vuụng tại D A M D 1 0 0 0 2 =>ãADC 90 45 135 , 2 1 Gọi H là trung điểm của BN, N Chứng minh MH BN vỡ BMN vuụng 1 1 MH BN, DH BN MH DH 2 2 1 2 H 3 Hã MD Hã DM mà Hã DM ãABH Dã MN Mã BH (1) B C Và Hã MD Hã MN Dã MN (2) K Từ (1) và (2) => Mã BH Hã MN Mà: Mã BH Mã NH 900 Hã MN Mã NH 900 Bài 17: Cho tam giỏc ABC nhọn, trực tõm H, M là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với HM, cắt AB, AC theo thứ tự tại E và F a. Trờn Tia đối tia HC, lấy điểm D sao cho HD=HC, CMR E là trực tõm của tam giỏc DBH b. CMR: HE=HF HD: A D a, Ta cú MH là đường trung bỡnh BCD => MH// BD, K Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9 F H E G B M C
  10. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Mà EF // MH => EF  BD Ta lại cú: BA DH => BDH cú E là trực tõm b, Gọi G là giao điểm của DE và BH => K là giao điểm BH và AC => DHG = CHK ( cạnh huyền - gúc nhọn) => HG =HK => HGE = HKF ( c. g. c) => HE= HF Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
  11. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 18: Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của BD và AC, Vẽ đường thẳng đi qua E và vuụng gúc với AD và đường thẳng qua F vuụng gúc với BC, cắt nhau tại I, CMR: IC=ID HD: Gọi N là trung điểm của DC => FN là đường trung bỡnh của ADC A B FN / / AD => PE  FN EI  FN PE  AD K P Chứng minh tương tự: E F FQ  EN FI  EN => I là trực tõm => IN  EF, mà EF // DC => IN  DC I IDC cú IN vừa trung tuyến vừa đường cao => IDC cõn => ID=IC D N C Bài 19: Cho hỡnh thang ABCD, (AB MN AD, MN / / AD 2 1 PQ là đường trung bỡnh => PQ AD, PQ / / AD 2 N P E D Q C Bài 20: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự nằm trờn đường thẳng d, ( AB > BC), Trờn cựng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d, vẽ cỏc ADB, BEC đều, Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự là Trung điểm của cỏc đoạn thẳng BD, AE, BE, CD, DE a, CMR: 3 điểm I, M, N thẳng hàng b, CMR: 3 điểm I, Q, P thẳng hàng 1 c, CMR: MNPQ là thỡnh thang cõn d, NQ DE 2 D HD: a, Dễ thấy AD // BE IN là đường trung bỡnh ADE => IN // AD I IM là đường trung bỡnh DBE => IM // BE // AD => 3 điểm I, M, N thẳng hàng Q M E b, Chứng minh tương tự c, Trong AEB cú NP là đường trung bỡnh => NP // (d) 1 1 N 2 Tương tự MQ // (d) => MQ // NP 2 P ả à 1 1 N1 A1 0 => Nà àA 60 , 2 2 ả ả A B C N2 A2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
  12. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com ả à D1 B1 0 0 0 0 Chứng minh tương tự ta cú: Qã PN 180 60 60 60 à ả P2 B2 d, Vỡ MNPQ thang cõn => NQ = MP, Mà MP là đường trung bỡnh BED nờn: 1 1 MP DE NQ MP DE 2 2 Bài 21: Cho ABC đều, Trờn tia đối của tian AB, lấy D, trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD=AE, Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là cỏc trung điểm của BE, AD, AC, AB, CMR: a, Tứ giỏc BCDE là hỡnh thang cõn b, Tứ giỏc CNEQ là hỡnh thang c, MNP là tam giỏc đều HD: E D a, AED đều => Dà 600 Bà ED / /BC Lại cú 2 đường chộo bằng nhau => là hỡnh thang cõn N b, ABC đều => CQ AD AED đều => EN  AD => CQ // En => là hỡnh thang A 1 c, Ta cú: NP là đường trung bỡnh => NP DC 1 2 M Xột BEP cú Pà 900 , MP là đường trung tuyến 1 1 => MP BE DC Q P 2 2 Xột ENB cú Nà 900 và MN là đường trung tuyờn 1 1 => MN BE DC 2 2 Vậy NMP cú 3 cạnh bằng nhau nờn là tam giỏc đều B C Bài 22: Cho tứ giỏc ABCD, Gọi P, Q theo thứu tự là trung điểm của AD và BC AB CD a, CMR: PQ 2 AB CD b, Tứ giỏc ABCD là hỡnh thang khi và chỉ khi PQ 2 B HD: AB CD b, Ta chứng minh ABCD là hỡnh thang => PQ 2 Thật vậy : ADC cú pR là đường trung bỡnh A Q 1 =>PR DC (1) 2 P RQ là đường trung bỡnh ABC R 1 =>RQ AB (2) 2 D C AB CD Cộng theo vế (1) và (2) ta được : PQ RQ 2 AB CD Ngược lại :PQ PQ PR RQ => 3 điểm P, Q, R thẳng hàng, 2 Mà : PQ // DC và RQ // AB => AB // CD => ABCD là hỡnh thang 0 Bài 23: Cho tứ giỏc ABCD, cú : àA Cà 180 , AB BC AD M CMR : ABCD là hỡnh thang cõn B 1 A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 C N D
  13. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com HD: Vẽ BM  AB, BN  CD => ABM = CBN ( cạnh huyền- gúc nhọn) => BM =BN => BD là tia phõn giỏc gúc Dà à à A1 D Mà ABD cõn => AB// DC=> => Dà Cà à à A1 C Vậy ABCD là hỡnh thang cõn Bài 2: ĐỐI XỨNG TRỤC, DỐI XỨNG TÂM A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa: - Hai điểm A và A’ được gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d, nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’. (H1) - Hai điểm A và A’ được gọi là đối xứng với nhau qua điểm O, nếu O là trung điểm của AA’.(H2) A' ( d ) A O A' H2 H1 A 2. Tớnh chất: -. Mọi điểm nằm trờn đường thẳng (d) đều cỏch đều hai đầu mỳt A và A’. 3. Quy ước: -. Điểm nằm trờn trục đối xứng (d) thỡ điểm đối xứng với nú qua (d) là chớnh nú. - Điểm đối xứng với điểm O qua tõm O chớnh là điểm O. B. LUYỆN TẬP Bài 1: Cho ABC cú àA 600 , cỏc đường phõn giỏc BD và CE cắt nhau tại I, qua E kẻ đường thẳng vuụng gúc với BD cắt BC ở F, CMR: ã a, E và F đối xứng nhau qua BD b, IF là phõn giỏc BIC A c, D và F đối xứng nhau qua IC HD: 60 a, EBF cõn tại B, BD là tia phõn giỏc gúc Bà , D nờn BD là đường trung trực EF, vậy E, F đối xứng với nhau qua BD E ã 0 à 0 à 0 à 0 b, Tớnh BIC 120 nờn I1 60 , I2 60 , I3 60 , I 1 4 vậy IF là tia phõn giỏc Bã IC 2 3 c, IDC = IFC (g.c.g) => IF =ID, CF= CD Do đú: CI là đường trung trực của DF B C Vậy D, F đối xứng với nhau qua CI F Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
  14. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 2: Cho ABC nhọn, trong đú àA 600 , Lấy D là điểm bất kỡ trờn BC, gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của D qua cạnh AB, AC. EF cắt AB, AC lần lượt tại M, N a, CMR: AE=AF và Tớnh Eã AF b, CMR: AD là tia phõn giỏc DMN HD: A a, Ta cú: D và E đối xứng với nhau qua AB nờn AB là đường trung trực của ED=> AE=AD F Tương tự AD= AF N Eã AD 2.Mã AD khi đú AE=AF, Ta cú: M Dã AF 2.Dã AM => Eã AF 2 Mã AD Dã AM 2.àA 1200 E C b, Do đối xứng nờn ta cú: B D ãAEM ãADM và AEF cõn tại A nờn ãAEM ãAFN ãADM ãADN ãAFN ãADN Vậy AD là phõn giỏc gúc Mã DN Bài 3: Cho ABC vuụng tại A và M là điểm bất kỡ trờn BC, Gọi P là điểm đối xứng với M qua AB, MP cắt AB tạo D, Gọi Q là điểm đối xứng với M qua AC, MQ cắt AC tại E a. Cỏc tứ giỏc ADME và BCQP là hỡnh gỡ? b. Cho AB=6cm, AC=8cm, Tớnh độ dài BC và diện tớch ABC c. Chứng minh A là trung điểm của PQ d. Tỡm vị trớ của M trờn BC để chu vi của tứ giỏc BCQP đạt giỏ trị nhỏ nhất HD: Q A E P D B C M Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
  15. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD, cú cỏc đường chộo AC và BD cắt nhau tại O, AD vuụng gúc AC, BD vuụng gúc với CB, Gọi E là giao điểm của AD và BC, d là đường thẳng đi qua cỏc trung điểm của EO và CD a. CMR: A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d b. Tứ giỏc ABCD sẽ như thế nào nếu D trựng EO HD: E a, Ta cú: Gọi I, K lần lượt là trung điểm của OE và BC AOE vuụng tại A cú AI là trung tuyến Nờn AI= IE=IO (1) I B BOE vuụng tại B cú BI là đường trung tuyến A Nờn BI=EI=IO (2) Từ (1) và (2) ta cú: IA = IB O Tương tự ADC vuụng tại A cú AK là đường trung tuyến => AK = DK=CK BDC cú BK là đường trung tuyến của tam giỏc vuụng D C nờn BK = KD= KC K Nờn KA= KB hay K nằm trờn đường trung trực AB Vậy IK là trung trực của AB hay A và B đối cứng với nhau qua (d) b, Ta thấy EO là đường thẳng chứa đường cao của EDC Nếu d trựng với EO thỡ d vừa là đường trung trực AB và CD nờn ABCD là hỡnh thang cõn Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
  16. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 5: Cho ABC, kẻ cỏc đường cao BD và CJ, Gọi H là trực tõm của , E là trung điểm của AH, D là trung điểm của BC, CMR: I và J đối xứng với nhau qua ED HD: A BIC vuụng tại I cú ID là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC BC => ID E I 2 BC Chứng minh tương tự: JD ID JD J 2 Chứng minh tương tự: JE= EI H => ED là đường trung trực của IJ => IJ đối xứng nhau qua ED B D C Bài 6: Cho ABC nhọn, trực tõm H, cỏc đường cao BD, CE. Gọi M là trung điểm của BC, lấy điểm F đối xứng với C qua H a. Qua F kẻ 1 đường thẳng song song với AC cắt AB tại P, nối PH cắt AC tại Q, CMR : HP=HQ b. CM : MH PQ c. Gọi I là trung điểm của DE, J là trung điểm của AH. CMR: I, J, M thẳng hàng d. CMR: S PBC S QBC 2S BHC HD: A F J D Q E I H P B M C Bài 7: Cho ABC, kẻ đường cao AH, Gọi D và E theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng với H qua AB và AC, đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M, N a. CMR: DAE cõn b. CMR: HA là phõn giỏc Mã HN c. CME : 3 đường thẳng BN, CM, AH thẳng hàng d. CMR : BN, CM là cỏc đường cao của ABC A E HD: I K b, Do Tớnh chất đối xứng ta => AB là phõn giỏc Dã MH AI  HM N Kẻ AI AJ (1) M J AJ  DM AC là phõn giỏc Eã NH , D Kẻ AK  HN=> AK= AJ (2) Từ (1) và (2) ta cú: AI = AK B C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! H Trang 16
  17. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy A cỏch đều 2 cạnh gúc Mã HN => HA là phõn giỏc gúc Mã HN c, Chứng minh tương tự ta cũng cú: CM là tia phõn giỏc Hã MN BN là tia phõn giỏc gúc Mã NH Trong MHN cỏc đường phõn giỏc trong HA, MC, NB cựng đồng quy tại 1 điểm d, AB là phõn giỏc gúc Dã MH MC là phõn giỏc gúc Mã HN , mà 2 gúc Dã MH,Mã HN kề bự => MC AB => MC là đường cao ABC Chứng minh tương tự BN là đường cao của ABC Bài 8: Cho hỡnh thang vuụng ABCD, (AB//CD), gọi E , F theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng của B và điểm A qua đường thẳng DC, G, H theo thứ tự là cỏc điểm đối xứng của C và E qua AD a, CMR: D là trung điểm của BH b, CMR: AH// BF, CH// BG HD: a, Gọi I là giao BE và DC, do tớnh chất đối xứng ta cú: BI =IE, Mà DF =AD và AD=BI=> DF =BI Ta cũng cú: DI= HF A B Hai tam giỏc vuụng BID và DFH bằng nhau cho ta DB= DH (1) 1 à ả ả ả ả ả à 0 0 0 0 Và B1 D1 D1 D2 D3 D1 B1 90 90 90 180 G 1 D 2 I => H, B, D thẳng hàng (2) 3 1 C Từ (1) và (2) => D là trung điểm BH 1 b, Dễ dạng chứng minh được ADH = FDB 1 => àA Fà AH / /BF 1 1 H F E à à Dễ chứng minh được BDG = HDC =>C1 G1 CH / /GB Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
  18. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 3: HèNH BèNH HÀNH A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa: - Tứ giỏc cú cỏc cặp cạnh đối song song là hỡnh bỡnh hành.( H1) - ABCD là hỡnh bỡnh hành: A AB / /CD B AD / /BC D C H1 2. Tớnh chất: - Trong hỡnh bỡnh hành cỏc cạnh đối song song và bằng nhau. - Trong hỡnh bỡnh hành cỏc gúc đối bằng nhau. - Trong hỡnh bỡnh hành hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giỏc ABCD là HBH nếu cỏc cạnh đối song song. - Tứ giỏc ABCD là HBH nếu cỏc cạnh đối bằng nhau. - Tứ giỏc ABCD là HBH nếu cỏc gúc đối bằng nhau. - Tứ giỏc ABCD là HBH nếu hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Tứ giỏc ABCD là HBH nếu hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. 4. Mở rộng: - Hai HBH cú một đường chộo chung thỡ cỏc đường chộo của chỳng đồng quy tại trung điểm của đường chộo chung. A B K O H D C B. LUYỆN TẬP Bài 1: Cho tam giỏc ABC, ba điểm N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC, và I, J, K lần lượt là TĐ của cỏc đoạn thẳng NP, BP, NC. CMR: IJKQ là hỡnh bỡnh hành A HD: Ta cú: NPB cú IP =IN ( gt) và JP =JN (gt) 1 Nờn Ị là đường trung bỡnh => IJ // NB và IJ = NB 2 N Q 1 1 Tương tự ta cú: QK // AN và QK = . AN= NB 2 2 I K Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 B J P C
  19. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Từ đú ta cú: IJKQ là hỡnh bỡnh hành Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
  20. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 2: Cho ABC, Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh AB, AC, BC và I, J, K theo thứ tự là trung điểm của DF, BF, CD a. CMR: Tứ giỏc IJFK và IEKJ là hỡnh bỡnh hành b. 3 điểm E, K, F thẳng hàng HD: IJ BD, IJ / /BD A a, Ta cú: IJFK là hỡnh bỡnh hành KF BD, KF / /BD Chứng minh tương tự cho tứ giỏc IEKJ b, DE// FC và DE =FC D E => DECF là hỡnh bỡnh hành => EF đi qua trung điểm K của DC K I Vậy E, K, F thẳng hàng C B J F Bài 3: Cho HBH ABCD, Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC, đường chộo AC cắt BE, DF lần lượt tại P và Q, gọi R là trung điểm của đoạn thẳng BP, CMR: a, AP=PQ=QC b, Tứ giỏc ARQE là hỡnh bỡnh hành HD: a, Trong BDC cú CO và DF là hai đường trung tuyến D C nờn Q là trọng tõm 1 1 Q =>OQ QC OC 2 3 E Tương tự ABD cú P là trọng tõm O 1 1 =>OP AP AO P 2 3 R Từ (1) và (2) ta cú AP= QC A B Ta lại cú : 2 AC 2 PQ AC AP QC AC 2AP AC AO AC AC AP 3 3 3 Vậy AP= PQ= QC 1 b, Vỡ P là trọng tõm ABD nờn EP PB PR 2 Tứ giỏc ARQE cú hai đường chộo cắt nhau tịa trung điểm mỗi đường nờn là HBH Bài 4: Cho HBH ABCD cú àA 1200 , Tia phõn giỏc gúc D đi qua trung điểm I của AB, Kẻ AH vuụng gúc với DC, CMR: a, AB=2AD b, DI=2AH c, AC vuụng gúc AD HD: a, DAI cõn đỉnh A D H C 1 => AD = AI= AB 2 b, Kẻ AH  DC, AM  DI M 1 => ADM = ADH => AH= DM = DI 2 A I B Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
  21. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com c, ADC cú Dà 600 CD 2.AD ADC vuụng tại A Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
  22. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com BD Bài 5: Cho HBH ABCD, lấy hai điểm E, F trờn BD sao cho BE DF 2 a. CMR: AECF là HBH b. Gọi K là giao điểm của CE và AB, I là trung điểm của AK, Xỏc định vị trớ E sao cho AI=IK=KB HD: A I K 1 B E O F 1 D C a, Xột ABE và CDF ta cú: à ả AB= CD, B1 D1 và BE= CF => ABE= CDF (c. g.c) => AE= CF Chứng minh tương tự AF = CE=> AECF là hỡnh bỡnh hành b, Ta cú: OA OC BK IK OI / /CK Khi đú: => E là trung điểm OB AI KI KE / /IO Bài 6: Cho tam giỏc ABC, trờn tia đối của tia BC, lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=BC=CE, Qua D kẻ đường thẳng // với AB cắt AC ở H, qua E kẻ đường thẳng // với AC cắt AB ở k, chỳng cắt nhau ở I a, Tứ giỏc BHKC là hỡnh gỡ? b, Tia IA cắt BC tại M, CMR : MB=MC c, Tỡm điều kiện của ABC để tứ giỏc DHKE là hỡnh thang cõn HD: a, Tứ giỏc BHKC là hỡnh bỡnh hành vỡ cú 2 đường chộo BK và HC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường b, Tứ giỏc AHIK cũng là hỡnh bỡnh hành, nờn AK// IH và AK= IH I AB//IH và AB=IH => ABHI là hỡnh bỡnh hành => IA// HB=> AM là đường trung bỡnh của  HBC H K => BM = MC c, Tứ giỏc DHKE là hỡnh thang vỡ HK //DE, à à để là hỡnh thang cõn => D E A Hay Bà Cà ABC cõn tại A D B M C E Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
  23. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 7: Cho hỡnh thang vuụng ABCD àA Dà 900 , cú CD= 2AB, gọi H là hỡnh chiếu của D trờn AC, M là trung điểm của HC, CMR: Bã MD 900 HD: B Gọi N là trung điểm của HD, ta cú: MN là đường trung bỡnh A 1 => MN DC, MN / /DC 2 1 H Mà: AB / /DC, AB DC 2 nờn AB// MN và AB= MN => ABMN là hỡnh bỡnh hành M => AN//BM N ADM cú DH  AM, MN  AD, AN  DM Khi đú Bã MD 900 D C Bài 8: Cho hỡnh thang vuụng ABCD, àA Dà 900 , CD=2AB=2AD, Gọi H là hỡnh chiếu của D lờn AC. Gọi M, P, Q lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD a. CMR: Tứ giỏc ABMD là hỡnh vuụng và tam giỏc BDC là tam giỏc vuụng cõn b. CMR: DMPQ là hỡnh bỡnh hành c. CMR: AQ vuụng gúc với DP HD: A B a, Chứng minh tứ giỏc ABMD cú 4 cạnh bằng nhau, H lại cú àA 900 nờn ABMD là hỡnh vuụng BCD cú MB= MC=MD nờn là tam giỏc vuụng , ã 0 lại cú BDC 45 Q P Do đú: BDC là tam giỏc vuụng cõn ở B b, Tứ giỏc DMPQ là hỡnh bỡnh hành vỡ cú PQ// DM và PQ = DM D M C c, Chứng minh Q là trực tõm của ADP Bài 9: Cho tam giỏc ABC cú gúc A tự, AC > AB, H là chõn đường cao hạ từ A, về phớa trong gúc Bã AC , dựng D và E sao cho AD vuụng gúc với AB, AD = AB, AE vuụng gúc với AC và AE = AC, M là trung điểm DE CMR: A, H, M thẳng hàng HD: A Dựng HBH DAEF => M là trung điểm AF => AE = DF Mà AE AC => DF AC Ta cú: Dã AE Bã AC Dã AE Bã AD Dã AC 900 900 1800 N Mà: Dã AE ãADF 1800 Bã AC ãADF I B C ADF = ABC (c.g.c) =>Bà Dã AF và Cà Fà H Gọi FD cắt BC tại I, cắt AC tại N và AF cắt BC tại H’ D Hã ' IF Nã IC d 2 M 0 => IãH ' F Nà 90 , E à à C F Hay AF BC tại H Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23 F
  24. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com => A, F, H thẳng hàng => A, H, M thẳng hàng Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
  25. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 10: Cho HBH ABCD cú AB và BD cắt nhau tại O, Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và khụng cắt đoạn BD, gọi BB’, CC’, DD’ là khoảng cỏch từ B, C, D đến đường thẳng (d), ( B’, C’, D’ nằm trờn (d) ) CMR: BB’ + DD’ = CC’ HD: Vẽ OO’  (d) (O’ (d) ) Khi đú ta cú: BB’D’D là hỡnh thang cú OO’ là đường trung bỡnh nờn: B' 2.OO’= BB’ + DD’ (1) A B Tương tự ACC’ cú OO’ là đường trung bỡnh nờn: 2.OO’ = CC’ (2) O' Từ (1) và (2) => BB’ + DD’ = CC’ C' O D' D C Bài 11: Cho HBH ABCD và đường thẳng (d) nằm bờn ngoài HBH, Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là hỡnh chiếu của A, B, C, D trờn (d). CMR: AA’+ CC’ = BB’ + DD’ HD: Vỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành Nờn hai đường chộo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường A B Gọi O là giao của hai đường chộo AC và BD O’ là hỡnh chiếu của O xuống (d) Khi đú ta cú: OO’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang AA’C’C O Nờn: 2OO’ = AA’ + CC’ (1) Tương tự OO’ là đường trung bỡnh của hỡnh thang DD’B’B Nờn: 2.OO’ = DD’ + BB’ (2) D C Từ (1) và (2) => AA’ + CC’ = BB’ + DD’ d Vậy HM BN => BMN cú MH vừa là đường cao A' D' O' B' C' vừa là trung tuyến nờn MB = MN Bài 12: Cho ABC cú ba gúc nhọn (AB Chứng minh ãACD 900 , ta cú: DC AC, BH AC ( H là trực tõm của ABC) => BH // DC H Chứng minh tương tự ta cũng cú: CH// DB Vậy BHCD là Hỡnh bỡnh hành b, M là trung điểm của BC O => M là trung điểm của HD Mà O là trung điểm của AD B C => OM là đường trung bỡnh của AHD M Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25 D
  26. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1 => OM = AH => AH= 2OM 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
  27. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 13: Cho ABC, Trực tõm H, I là giao điểm cỏc đường trung trực, Gọi E là điểm đối xứng với A qua I, CMR: BHCE là hỡnh bỡnh hành A HD: Gọi I là giao của 3 đường trung trực => IA = IB = IC Lại cú: IA = IE nờn IA= IB= IE= IC Chứng minh AC  CE để suy ra BH// EC Tương tự CH// BE H I B C E Bài 14: Cho ABC cú trực tõm H, Gọi M là trung điểm của BC, Gọi D là điểm đối xứng với H qua M, Gọi I là trung điểm của AD, CMR: IM vuụng gúc BC HD: A Vỡ IM là đường trung bỡnh của AHD IM / / AH => IM  BC AH  BC E F H I B M C D Bài 15: Cho HBH ABCD, Cỏc đường cao AE và AF, biết AC = 25cm, EF = 24cm, Tớnh khoẳng cỏch từ A đến trực tõm H của AEF HD: Kẻ CN vuụng gúc với AB, Tứ giỏc EHFC cú EH // CF, HF// FC nờn EHFC là hỡnh binh hành => AN = HF ( = EC) A N B Tứ giỏc ANFH cú AN = HF, AN// HF nờn là hỡnh bỡnh hành => AH + NF, AH// NF Lại cú AH  EF nờn NF  EF EFN vuụng tại F cú EF =24cm, NE = AC= 25cm nờn H F NF 2 NE 2 EF 2 252 242 49 NF 7 AH 7cm Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27 D E C
  28. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
  29. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 16: Cho tam giỏc ABC đều, một đường thẳng // với BC cắt AB, AC ở D và E, Gọi D là trọng tõm của tam giỏc ADE, I là trung điểm của CD, Tớnh số đo cỏc gúc của tam giỏc GIB HD: A Qua C vẽ đường thẳng song song với BD, cắt DE tại K Ta cú: BDKC là hỡnh bỡnh hành => B, I, K thẳng hàng G Chứng minh GDB= GEK (c.g.c) D E K Để GBK cõn tại G cú Bã GK 1200 , do đú cỏc gúc của GBI lần lượt là 900 ,600 ,300 I B C Bài 17: Cho ABC cõn tại A, từ 1 điểm D bất kỳ trờn đỏy BC, vẽ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt cỏc đường thẳng AB, AC ở E và F, Vẽ cỏc HCN BDEH, CDFK CMR:A là trung điểm của HK HD: H E Gọi I và O là tõm của HCN BDEH và CDFK, Ta cú: Bà Dả ,Cà Dả Mà Bà Cà gt Bà Dả Cà Dả 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 A => BE// DK, DH// CA => AIDO là hỡnh bỡnh hành nờn AO = ID mà HI = ID, Nờn AO = HI I Ta lại cú: AO // HI nờn AOIH là hỡnh bỡnh hành K F Do đú: AH // IO, AH= IO (1) O Chứng minh tương tự ta cú: AIOK là hỡnh bỡnh hành => AK// IO và AK=IO (2)1 1 2 1 Từ (1) và (2) ta cú: H, A, K thẳng hàng và AH= AK B D C Bài 18: Cho ABC, D trờn AB, E trờn AC sao cho BD=CE, Gọi M, N là trung điểm của BC, DE, Vẽ cỏc hỡnh bỡnh hành BDNI và CENK a. CMR: I, M, K thẳng hàng b. MN cắt AC tại Q, cắt BA tại P, CMR: APQ cõn HD: BI / /DN a, Tứ giỏc BDNI là hỡnh bỡnh hành => BI / /DE BI DN P KC / /NE Tứ giỏc NECK là hỡnh bỡnh hành => KC / /DE KC NE A Từ đú ta cú KC//DE và BI= KC 1 Q => Tứ giỏc BICK là hỡnh bỡnh hành cú M là trung điểm của BC 2 => M đi qua trung điểm IK => I, K, M thẳng hàng b, Ta cú: NI=DB, NK= CE mà BD = CE => NI = NK D N => NIK cõn tại N E ả ả 1 2 Mà MN là đường trung tuyến => NM là phõn giỏc => N1 N2 K B M C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! I Trang 29
  30. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com ả ả Lại cú : NK // QC=>N2 Q2 ( đồng vị) ả à và NI// BD=>N1 P ( đồng vị ) ả à à ả à à =>Q2 P Q1 Q2 ( đối đỉnh) =>P Q1 Vậy APQ cõn tại A Bài 19: Cho ABC cõn tại A, lấy điểm D trờn AB, E trờn AC sao cho AD=CE, gọi I là trung điểm của DE, K là giao điểm AI và BC CMR: ADKF là HBH A HD: Kẻ DM, IN // BC, Hóy chứng minh AM = CE Vỡ MN =NE=> N là trung điểm AC => I là trung điểm AK Tứ giỏc ADKE cú hai đường chộo cắt nhau D M tại trung điểm mỗi đường nờn là HBH N I E B K C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
  31. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 4: HèNH CHỮ NHẬT A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa : - Tứ giỏc cú 4 gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. (H1) A B H1 D C 2. Tớnh chất : - Hỡnh chữ nhật cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành và hỡnh thang cõn. - Trong hỡnh chữ nhật, hai đường chộo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 3. Dấu hiệu nhận biết : - Tứ giỏc cú ba gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. - Hỡnh thang cõn cú một gúc vuụng là hỡnh chữ nhật. - Hỡnh bỡnh hành cú một gúc vuụng là hỡnh chưa nhật. - Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh chữ nhật 4. Mở rộng : - Hỡnh chữ nhật cú một tõm đối xứng là giao điểm của hai đường chộo và cũng là trung điểm. - Hỡnh chữ nhật cú hai trục dối xứng là hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện. B. LUYỆN TẬP Bài 1: Cho HCN ABCD, M là điểm bất kỳ nằm trong HCN, vẽ ME  AB tại E, MF  AD tại F, CK  AM tại K, CMR: a, ME 2 MF 2 MA2 b, MA2 MC 2 MB2 MD2 c, Bã KD 900 HD a, Tứ giỏc AEMF là hỡnh chữ nhật A E B => MA= EF => ME 2 MF 2 EF 2 AM 2 H b, Gọi G là giao điểm của EM và CD, F H là giao điểm của FM và BC M => Tứ giỏc DFMG, GMHC, EBHM là hỡnh chữ nhật, Do vậy MC 2 MH 2 MG2 O K MB2 ME 2 MH 2 MD2 MG2 MF 2 => ĐPCM c, Gọi O là giao của 2 đường chộo AC và BD AC BD D G C => KO BK  DK Bã KD 900 2 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
  32. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 2: Cho MNP vuụng tại N, biết MN=6cm, NP=8cm, đường cao NH, Qua H kẻ HC vuụng gúc với MN, HD vuụng gúc với NP a. CMR : HDNC là hỡnh chữ nhật N b. CMR : NH.MP=MN.NP c. Tớnh độ dài CD d. Tớnh diện tớch NMH D HD: 6 8 C M H P Bài 3: Cho H là hỡnh chiếu của B trờn đường chộo AC của HCN ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD 1 a. Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC, CMR: MO IC 2 b. Tớnh số đo Bã MK ? HD: Ta cú: BIKC là Hỡnh chữ nhật nờn O là trung điểm của IC và BK 1 Xột IMC vuụng, Ta cú : MO= DC I 2 A B 1 1 b, MBK cú MD = IC= BK, Nờn Bã MK 900 2 2 M O H D C Bài 4: Cho HCN ABCD, Kẻ BH vuụng gúc với AC, Gọi K và M lần lượt là trung điểm của HC và AD, CMR: BK vuụng gúc với KM HD: AKB, kẻ đường cao KI cắt BH tại E => E là trực tõm của AKB=> AE  BK Ta cú : KI// AD và KI //BC => KE // MA và KE =MAA I B => Tứ giỏc AMKE là hỡnh bỡnh hành => AE//MK mà AE  BK=> MK  BK E M H Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32 K D C
  33. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33
  34. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 5: Cho ABC vuụng cõn tại A cú AH là đường cao, Gọi M là 1 điểm bất kỳ trờn cạnh BC, I và K là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB, AC, CMR: IHK vuụng cõn HD: A Chứng minh AIMK là hỡnh chữ nhật Vỡ ABC vuụng cõn tại A K => AK= IM = BI mà BH = HA => Hã BI Hã AK 450 => BHI = AHK (c. g. c) I => IH = HK 1 ả ả 0 ả ả 0 2 Mà H3 H2 90 H1 H2 90 3 B M H C Bài 6: Cho ABC vuụng tại A (AC>AB), đường cao AH, trờn HC lấy HD=HA, đường  BC tại D cắt AC tại E a, CMR: AE =AB b, M là TĐ của BE, Tớnh ãAHM HD: a, Chứng minh AE=AB Kẻ EF  AH => tứ giỏc HDEF là hỡnh chữ nhật A => HBA= FAE (g.c.g) => AB=AE BE b, ABE vuụng cõn tại A=> AM 2 BE E BDE vuụng cõn tại D=> MD F 2 Từ đú ta cú: AM = MD M ả ả 0 C Xột AHM = DHM (c. c. c) => H1 H2 45 B H D Bài 7: Cho ABC cõn tại A, từ 1 điểm D bất kỳ trờn đỏy BC, vẽ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt cỏc đường thẳng AB, AC ở E và F, Vẽ cỏc HCN BDEH, CDFK, Gọi I, J lần lượt là tõm cỏc HCN BDEH và CDFK, M là trung điểm của AD a. CMR: Trung điểm HK là 1 điểm cú định khụng phụ thuộc vào vị trớ của D trờn BC b. CMR: 3 điểm I, J, M thẳng hàng và 3 đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy HD: à ả à à ả à a, Ta cú: B1 D1 mà B1 C1 D1 C1 ID / / AC Chứng minh tương tự ta cú: JD// AB H E Khi đú AIDJ là hỡnh bỡnh hành=> AJ // ID, AJ = ID => Chứng minh AHIJ là hỡnh bỡnh hành => IJ // AH và IJ = AH và IJ //AK và IJ =AK A Khi đú 3 điểm A, H, K thẳng hàng và A là trung điểm của HK b, Tứ giỏc AIDJ là hỡnh bỡnh hành I => M là trung điểm của AD, F K thỡ M nằm trờn đường chộo của HBH M J Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34 1 1 2 1 B D C
  35. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 8: Cho HCN ABCD, qua E trờn đường chộo AC, kẻ đường // với BD cắt AD và phần kộo dài của CD ở M và N, Vẽ HCN DMFN, CMR: a, FD//AC b, E là trung điểm của FB HD: A B E F M O I 1 2 1 1 N D C a, Chứng minh FD// AC Tứ giỏc ABCD là hỡnh chữ nhật, ả à AC cắt BD tại O => OC= OD =>D1 C1 , ả ả à Mà EN // BD =>N1 D1 C1 Mà IND cõn ả ả ả à =>N1 D2 D1 C1 => FD//AC b, Chứng minh DIEO là hỡnh bỡnh hành => DI//EO và DI =EO => FI//EO và FI =EO => FIOE là hỡnh bỡnh hành => IO //EF và IO =EF (1) Mặt khỏc IO là đường trung bỡnh của DFB => OI =EB (2) Từ (1) và (2) => EB= EF Bài 9: Cho HCN ABCD và E là điểm nằm trờn đường chộo AC, trờn tia đối của tia EB lấy F sao cho EF =BE, Gọi M, N là hỡnh chiếu của F trờn 2 đường thẳng AD, DC, CMR: a. DF//AC và MN//BD b. 3 điểm E, M, N thẳng hàng HD: a, Dễ thấy OE là đường trung bỡnh của BDF => DF// OE=> DF // AC A B =>àA Dả ( Đồng vị ) 1 1 1 à ả ả => OAD cõn => A1 D2 D1 ả ả => IDm cõn => D1 M1 ả ả =>D2 M1 ( đồng vị) => MN// DB O b, I là trung điểm DF => IE là trung bỡnh => IE // DB mà MN // BD 2 N Vậy M, N, E thẳng hàng D 1 C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35 I 1 1 M F
  36. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36
  37. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 10: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chộo BD ( P khỏc B và D), Gọi M là điểm đối xứng của C qua P a. Chứng minh AM song song với BD b. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của M trờn AD và AB. Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng c. Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA khụng phụ thuộc vào vị trớ của P B HD: C P O M I F E A D K a, Ta cú: O là trung điểm của AC (ABCD là hỡnh chữ nhật) P là trung điểm của CM ( Vỡ M đối xứng với C qua P) Nờn Op là đường trung bỡnh của ACM, do đú: OP//AM=> AM//BD 1 b, Vỡ OP là đường trunh bỡnh của ACM nờn OP//AM và OP= AM 2 Do đú: OP//AI và OP=AI=> tứ giỏc AIPO là hỡnh bỡnh hành=> PI//AC (1) Kẻ ME//AB cắt AC tại K, ta cú: Kã AE Eã AM Kã DA Nờn AE là phõn giỏc Kã AM . Mặt khỏc: AE  KM AKM cõn E là trung điểm của KM, do đú EI là đường trung bỡnh của AMK=> EI//OA=>EI//AC (2) Ta lại cú : E, I, F thẳng hàng (3) Từ (1), (2) và (3) ta cú: E, F, P thẳng hàng. Bài 11: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH, kẻ HD  AB và HE  AC , Gọi O là giao điểm của AH và DE a. CMR : AH =DE b. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BH và CH, CMR: DEQP là thang vuụng c. CMR: O là trực tõm của ABQ S 2.S d. CMR : ABC APBC A HD : E D O B C P H Q Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37
  38. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38
  39. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 12: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, Gọi D và E theo thứ tự là chõn đường vuụng gúc kẻ từ H đến AB, AC ,CMR: a, AH= DE b, Hã AB Mã AC c, AM  DE d, DI//EK, với I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC HD: a, Tứ giỏc ADHE cú 3 gúc vuụng nờn là HCN => AH= DE b, ABC vuụng tại A, Cú AM là đường trung tuyến => AM= MB= MC => AMC cõn tại M => Mã AC Cà Mặt khỏc Hã AB Cà , B ã ã ã à Vỡ cựng phụ với HAC HAB MAC C I 1 H à ả 0 D c, Chứng minh AM DE , Ta cú: A1 E2 90 , ta cú: ả à ả à ả à 0 E2 A1 E2 A3 E2 E1 90 M K d, Ta cú: HEC cú EK = KH = KC => EKC cõn tại K O ả à à => E3 C A1 3 2 1 => EK //AM => KE  DE, Chứng minh tương tự 1 2 3 C => DI  DE DI / /EK A E Bài 13: Cho ABC vuụng tại C, Gọi D là trung điểm của AB, Kẻ DM vuụng gúc với AC (M AC), Gọi E là điểm đối xứng với D qua BC, DE cắt BC tại N a. CMR: CMDN là hỡnh chữ nhật b. Tứ giỏc BDCE là hỡnh gỡ ? S 2.S c. CMR : ABC CMDN d. ABC cần cú thờm điều kiện gỡ để ABEC là hỡnh thang cõn HD : C E M N A B D Bài 14: Cho ABC cõn tại A, Cú AB=5cm, BC=6cm, phõn giỏc AM ( M BC), Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O a. Tớnh diện tớch ABC b. CM: AK//MC c. Tứ giỏc AMCK là hỡnh gỡ? A d. ABC cú thờm điều kiện gỡ thỡ tứ giỏc AMCK là hỡnh vuụng K HD: O Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39 B M C
  40. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40
  41. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 15: Cho ABC vuụng tại A, E là 1 điểm thuộc cạnh BC, Gọi D, F lần lượt là cỏc điểm đối xứng với E qua AB và AC a. CMR: D và F đối xứng với nhau qua A b. DEF là hỡnh gỡ ? c. CM BC=BD+CF d. Tứ giỏc BDFC là hỡnh gỡ, vỡ sao ? e. Điểm E ở vị trớ nào trờn cạnh BC để tứ giỏc BDFC là HBH f. ABC cú thờm điều kiện gỡ và E ở vị trớ nào trờn BC để BDFC là hỡnh chữ nhật HD: F A D B E C Bài 16: Cho ABC đều cú cạnh bằng 4cm, M và N là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai cạnh BC và AC sao cho BM= CN a. Tớnh diện tớch ABC b. Xỏc định vị trớ của M, và N để độ dài MN nhỏ nhất . Tỡm độ dài nhỏ nhất đú? HD: A a 3 4 3 a, Tớnh được độ dài đường cao: h 2 3 cm 2 2 1 1 Q Suy ra diện tớch: S a.h 4.2 3 4 3(cm2 ) ABC 2 2 H b, Gọi P và Q là chõn đường vuụng gúc kẻ từ M và N xuống AB 1 N Ta cú: ANQ vuụng ở Q, cú: À 600 AQ AN 2 P 1 Tương tự đối với MPB cú : PB BM 2 B C M 1 1 1 1 Cộng theo vế ta được : AQ PB AN BM AN NC AC 2 2 2 2 Kẻ MH  QN, Tứ giỏc MPQH là hỡnh chữ nhật 1 1 Ta cú: MN MH PQ AB AQ BP AB AC AB 2 2 1 Như vậy khi M, N di chuyển ta luụn cú: MN AB 2 1 Và MN AB , Khi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41
  42. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Suy ra vị trớ của M,N cần xỏc định lần lượt là trung điểm BC và AC, 1 Khi đú độ dài nhỏ nhất của MN là : MN AB 2cm 2 Bài 17: Cho ABC nhọn, Trực tõm H, giao điểm của cỏc đường trung trực là O, Gọi P, Q, N theo thứ tự là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AH, AC a. CMR: OPQN là HBH b. ABC cần cú điều kiện gỡ để OPQN là HCN HD: A a, Gọi O là giao của 3 đường trung trực nờn OP  AB,ON  AC Trong AHC, QN là đường trung bỡnh nờn QN// HC Và PO //HC ( cựng vuụng gúc với AB) Q Chứng minh tương tự ta cú: OPQN là hỡnh bỡnh hành b, Tứ giỏc BCQN là hỡnh chữ nhật cú 2 đường chộo là NC và BQ N => NC = BQ P 1 1 =>MP NC BQ , 2 2 H O 1 Xột MQB cú MP là đường trung tuyến nờn MP = BQ 2 Nờn MBQ vuụng tại M => MB  MQ B C Bài 18: Cho HCN ABCD, kẻ CE  DB (E DB), Lấy điểm F đối xứng với C qua E, kẻ FG // BC ( G DB). CMR: a. Tứ giỏc CGFB là hỡnh thoi b. Tứ giỏc AFBD là hỡnh thang cõn c. Gọi H là hỡnh chiếu của F trờn đường thẳng AD, FG cắt AB tại K, Tứ giỏc AHFK là hỡnh gỡ? d. CMR: Ba điểm H, K, E thẳng hàng HD: H F B A K E G D C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42
  43. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 19: Cho HCN ABCD, kẻ AN và CM cựng vuụng gúc với BD a. CMR: DN=BM b. CM tứ giỏc ANCM là hỡnh bỡnh hành c. Gọi K là điểm đối xứng với A qua N, tứ giỏc DKCB là hỡnh gỡ? d. Tia AM cắt KC tại P, CM cỏc đường thẳng PN, AC, KM đồng quuy HD: A B M P N D C K Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 43
  44. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 5: HèNH THOI VÀ HèNH VUễNG A. Lí THUYẾT 1. Định nghĩa: - Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi. (H1) - Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau và bốn gúc vuụng là hỡnh vuụng.(H2) B A B A C D C D H1 H2 2. Tớnh chất: - Hỡnh thoi cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh bỡnh hành. - Hỡnh thoi cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau. - Hỡnh thoi cú hai đường chộo là đường phõn giỏc của cỏc gúc. - Hỡnh vuụng cú tất cả cỏc tớnh chất của hỡnh thoi và hỡnh chữ nhật. 3. Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giỏc cú bốn cạnh bằng nhau là hỡnh thoi. - Hỡnh bỡnh hành cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh thoi. - Hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc là hỡnh thoi. - Hỡnh bỡnh hành cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh thoi. - Hỡnh chữ nhật cú hai cạnh kề bằng nhau là hỡnh vuụng. - Hỡnh chữ nhật cú hai đường chộo vuụng gúc là hỡnh vuụng. - Hỡnh chữ nhật cú một đường chộo là đường phõn giỏc của một gúc là hỡnh vuụng. - Hỡnh thoi cú một gúc vuụng là hỡnh vuụng. - Hỡnh thoi cú hai đường chộo bằng nhau là hỡnh vuụng. 4. Mở rộng: - Trong hỡnh thoi, hai đường chộo là hai trục đối xứng. - Trong hỡnh thoi, giao điểm hai đường chộo là tõm đối xứng và là tõm của hỡnh thoi. B. LUYỆN TẬP Bài 1: Cho HBH ABCD cú AB=2AD, Gúc Dà 700 vẽ BH vuụng gúc với AD, H AD . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CD và AB a. CMR: ANMD là hỡnh thoi H b. Tớnh Hã MC 3 HD: 1 2 b, Ta cú: ả à 0 ả A N M1 D 70 , Tớnh M 2 B ả ả Ta cú: M 2 H1 ( So le trong) ả ả ả ả Mà : M 2 H3 H1 H3 2 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi70 !! 1 Trang 44 D M C
  45. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com ả ả à 0 Xột HAN cõn tại N => H1 H3 A 70 ả 0 ả 0 ã 0 0 0 =>H1 35 M 2 35 , Vậy HMC 35 70 105 Bài 2: Cho ABC nhọn, vẽ cỏc đường cao AD và BE, Tia phõn giỏc Ax của Dã AC cắt BE và BC lần lượt ở M và N, Tia phõn giỏc By của Eã BC cắt AD và AC lần lượt tại P và Q, CMR: a, AN BQ b, Tứ giỏc MPNQ là hỡnh thoi HD: a, Ta cú: Eã BC Dã AC ( cựng phụ gúc C) A à ả à ả 2 => A1 A2 B1 B2 1 à ã 0 ả ã 0 EBQ vuụng => B1 BQE 90 A2 BQE 90 => ãAOQ 900 AN  BQ b, APQ cú AO vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao E M => AO là đường trung trực Q => MP= MQ, NP= NQ BMN cú BO vừa là đường phõn giỏc vừa là đường cao P O => là đường trung trực => ĐPCM 1 B 2 D N C Bài 3: Cho ABC đều, đường cao AD, M là điểm nằm giữa B và D, gọi N là Trung điểm của AM, vẽ ME vuụng gúc AB tại E, MF vuụng gúc AC tại F CMR: DENF là hỡnh thoi A HD: 1 1 2 Ta cú: MN = EN = DF= FN AM 2 ã ã ã ã ã ã 0 => END ENM MND 2.EAM 2MAD 2.DAE 60 N ã ã ã => DNF MNF MND 1 2 F => Dã NF 2.Mã AC 2.Mã AD 2.Dã AC 600 => NED Đều, NDF đều E Vậy DENF là hỡnh thoi B M D C Bài 4: Cho tam giỏc đều ABC, trực tõm H, kẻ đường cao AD, một điểm M thuộc cạnh BC, từ M kẻ ME vuụng gúc với AB và MF vuụng gúc với AC, Gọi I là trung điểm của AM, CMR: a. DEIF là hỡnh thoi b. Đường thẳng HM đi qua tõm đối xứng của hỡnh thoi DEIF A HD: 1 a, ADM vuụng cú DI AM , 2 1 Tương tự EI AM DI EI EID cõn 2 K à à EI AI AIE cõn cú I1 2A1 I à ả ã à à 0 Tương tự : I2 2.A2 EID I1 I2 60 F => EID đều => EI=ED= IP H Chứng minh tương tự: IF=FD=ID N Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 45 E G B M J D C
  46. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com => EIFD là hỡnh thoi b, Gọi O là giao điểm của hai đường chộo của hỡnh thoi DEIF và N là trung điểm AH, Ta cú: AMH cú IN là đường trung bỡnh => IN//MH, IDN cú OH là đường trung bỡnh => OH//IN Như vậy O, H, M thẳng hàng => MH đi qua giao điểm O của ID và EF Bài 5: Cho ABC, trờn tia AB ta lấy 1 điểm D, trờn tia AC lấy 1 điểm E sao cho BD=CE, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DE, EB a. CMR: MNPQ là hỡnh thoi b. CMR: cỏc đường chộo của hỡnh thoi MNPQ // với cỏc phõn giỏc trong và ngoài của gúc A HD: b, Vỡ MNPQ là hỡnh thoi, MP và NQ là hai đường chộo A y => MP  NQ Gọi I, J lầ lượt là giao NQ với AB và AC à à => PQ//AD=>I1 Q1 ( so le) Tương tự: Nả Qà => IAJ cõn tại A 1 1 B M C => Phõn giỏc Ax là đường cao => Ax  IJ, Mà MP  IJ J => Ax //MP Q Dễ dàng chứng minh được NQ// Ay N I E P D x Bài 6: Cho hỡnh thoi ABCD, đường chộo AC BD, M là 1 điểm tựy ý trờn AC, đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD tại E, Cắt BC tại G, đường thẳng qua M song song với AD cắt AB tại F, cắt CD tại H a. CMR : Tứ giỏc MEAF là hỡnh thoi, Từ đú EFGH là hỡnh thang cõn b. Xỏc định vị trớ của điểm M sao cho EFGH là hỡnh chữ nhật c. Hỡnh thoi ABCD thỏa món điều kiện gỡ để hỡnh chữ nhật EFGH ở cõu b là hỡnh vuụng HD : B G F A C M O E H D Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 46
  47. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 7: Cho hỡnh thoi ABCD, trờn tia đối của tia BA, ta lấy điểm M, trờn tia đối của tia CB lấy N, trờn tia đối tia DC lấy P, trờn tia đối tia AD lấy Q sao cho BM=CN=DP=AQ a, CMR: MNPQ là hỡnh bỡnh hành b, CMR : MNPQ là hỡnh thoi và ABCD cú cựng tõm đối xứng c, Hỡnh thoi ABCD phải cú ĐK gỡ để MNPQ là hỡnh vuụng M HD: a, AQM = NCP => QM= PN B MBN= PDQ => QP= MN Q à ả 1 b, OBM= ODN=>O1 O2 C => Pã OM Pã OB Oà Pã OB Oả Bã OD 1800 1 2 A O => P, O, M thẳng hàng 2 N Chứng minh tương tự ta cú: Q, O, N thẳng hàng => HBH MNPQ cú tõm O c, Để MNPQ là hỡnh thoi thỡ Hỡnh bỡnh hành MNPQ D cú hai cạnh kề bằng nhau: QM= QD. Thật vậy: P QAM= MBN =>Mã BN Qã AM Qã AM Bã AD , Mà Qã AM Bã AD và Qã AM Bã AD 1800 Bã AD 900 Bài 8: Cho ABC vuụng tại A, đường cao AH, Gọi D là trung điểm của AC, lấy E đối xứng với H qua D a. CMR : AHCE là hỡnh chữ nhật b. Kẻ AI// HE( I thuộc BC) cm tứ giỏc AEHI là hỡnh bỡnh hành c. Trờn tia đối của HA lấy điểm K sao cho AH= HK, CM tứ giỏc CAIK là hỡnh thoi d. ABC cần cú thờm điều kiện gỡ để hỡnh thoi CAIK là hỡnh vuụng, Khi đú tứ giỏc AHCE là hỡnh gi ? HD : A E D C I B H K Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 47
  48. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 9: Cho HCN ABCD, Gọi M là trung điểm của BC và E là giao điểm của đường thẳng AM với DC a. CMR : ABEC là hỡnh bỡnh hành b. Gọi F là điểm đối xứng của B qua C, CMR : BEFD là hỡnh thoi c. CMR C là trọng tõm AEF d. Cho AB2 3.BC2 , Gọi H là trung điểm của DF và K là giao điểm của AH với EF, CMR : AE=2. MK HD : B A M D C E H F K Bài 10: Cho HBH ABCD, cỏc đường chộo cắt nhau ở O, gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc của cỏc OAB, OBC, OCD, OAD CMR: EFGH là hỡnh thoi D HD: C Vỡ OH , OF là hai tia phõn giỏc của cỏc gúc đối đỉnh G 1 nờn H, O, F thẳng hàng Tương tự ta cú: G, O, E thẳng hàng H 2 Lại cú OH OG ( Hai tia phõn giỏc của hai gúc kề bự) 1 O F Xột OAE = OCG (c.g.c) => OG =OE Chứng minh tương tự : OH= OF 1 E => EFGH là hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau A B => là hỡnh thoi Bài 11: Cho hỡnh vuụng ABCD, Gọi E, F theo thứ tự là TĐ của AB, BC a. CMR: CE vuụng gúc với DF A E B b. Gọi M là giao điểm của CE và DF, CMR : AM=AB HD: b, Gọi N là trung điểm của DC, Tứ giỏc AECN cú AE //NC và AE=NC=> Là hỡnh bỡnh hành => AN // EC=> AN  DF F M Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! H Trang 48 D C
  49. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com DN NC Trong DMC cú: DH HM HN / /MC => ADM cú AH là đường cao lại là đường trung tuyến nờn AD= AM= AB Bài 12: Cho hỡnh vuụng ABCD, cỏc điểm E, F lần lượt trờn cỏc cạnh BC, CD sao cho Eã AF 450 , Trờn tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho DM =BE, CMR: a. ABE ADM , Mã AF 450 b. Chu vu tam giỏc CEF bằng 1 nửa chu vi tứ giỏc ABCD HD: a, ABE = ADN ( 2 cạnh gúc vuụng) à ả A B => A1 A2 1 45 => Mã AE 900 Mã AF 900 450 45 2 b, AEF = AMF (c.g.c) => EF = MF, EF = MD+DF=BE+DF E Chu vi CEF = CE+EF+CF 1 = CK+BE+DF+CF= BC+CD= chu vi ABCD 2 M D F C Bài 13: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, kẻ đường cao AH và trung tuyến AM, đường phõn giỏc gúc A, cắt đường trung trực BC tại D, Từ D kẻ DE vuụng gúc với BA và DF vuụng gúc với AC a. CMR: AD là phõn giỏc Hã AM b. 3 điểm E, M, F thẳng hàng c. Tam giỏc BDC là tam giỏc vuụng cõn HD: à à a, Ta cú: C1 A1 ( cựng phụ gúc B) 1 Mà AM= BC=> AM= MC=> ảA Cà àA ảA , àA ảA 2 2 1 1 2 3 4 => AD là tia phõn giỏc ả ả b, AH // DM =>D1 A4 , A mà ảA àA Dả àA ADM cõn 2 4 3 1 3 1 => AM= MD 4 3 Chứng minh Tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng => EA= ED => FA=FD F Ta cú: M, E, F đều nằm trờn đường trung trực của AD M B 1 C => Thẳng hàng H c, BED = CFD => Dả Dả 2 3 E ã ã ả ã ả ã 0 BDC BDF D3 BDF D2 EDF 90 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! 1 Trang 49 3 2 D
  50. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com => BDC vuụng cõn Bài 14: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, và AB AB => Bà Cà Mà: Bà Hã AC Hã AC Cà => HC>AH=> AH= HD F => HC>HD=> D nằm giữa H,C b, Ta cú: M à ả 0 ả à 0 à à B C A1 A2 90 , A2 A3 90 A1 A3 H D kết hợp với AE= AH => AEF = AHB => AB= AF Tứ giỏc ABGF là hỡn bỡnh hành cú 1 gúc vuụng => HCN cú AB = AF => là hỡnh vuụng 1 G c, Gọi M là giao điểm BF, AG, Khi đú BDF cú DM = BF, 2 1 Tương tự AM= BF => M nằm trờn đường trung trực AD, 2 Ta lại cú: AE= ED, HA= HD => E, H cũng nốm trờn đường trung trực của AD hay H, M, E thẳng hàng Bài 15: Cho hỡnh vuụng ABCD và 1 điểm E bắt kỳ nằm giữa 2 điểm A và B, trờn tia đối của tia CB lấy 1 điểm F sao cho CF =AE a. Tớnh Eã DF b. Gọi G là điểm đối xứng với D qua trung điểm I của EF, tứ giỏc DEGF là hỡnh gỡ? c. CMR: AC, DG, EF đồng quy HD: E B a, AED = CFD (c.g.c) A => ãADE Cã DF Eã DF Eã DC Cã DF Eã DC ãADE => Eã DF ãADC 900 G b, Tứ giỏc DEGF cú I là trung điểm của EF (gt) I là trung điểm của DG Do đú: DEGF là hỡnh bỡnh hành I lại cú: Eã DF 900 => Là hỡnh chữ nhật, lại cú tiếp DE= DF => Là hỡnh vuụng D C F Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 50
  51. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 16: Cho hỡnh vuụng ABCD, M là điểm bất kỡ trờn cạnh BC, trong nửa mp bờ AB chứa C đựng hỡnh vuụng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH ở E, Cắt DC ở F a. CMR: BM=ND b. CMR: N, D, C thẳng hàng c. EMFN là hỡnh gỡ? d. Chứng minh DF BM FM và chu vi MFC khụng đổi khi M thay đổi trờn BC HD : à ã 0 a, Tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng=>A1 MAD 90 (1) Vỡ AMHN là hỡnh vuụng A B ả ã 0 1 A2 MAD 90 (2) à ả 2 Từ (1) và (2) ta cú : A1 A2 d E Ta cú : AND= AMB (c.g.c) 3 M à ả 0 B D1 90 ,BM ND b, ABCD là hỡnh vuụng 1 0 0 O ả ả ả ã 2 D2 90 D1 D2 NDC 180 , Nờn N, D, C thẳng hàng 1 2 c, Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AH và MN N D F C của hỡnh vuụng AMHN => O là tõm đối xứng của hỡnh vuụng AMHN => AH là đường trung trực của đoạn MN, mà E, F AH => EN=Em và FM=FN (3) H à ả O1 O2 EM NF (4) Từ (3) và (4) => EM=NE=NF=FM=> MENF là hỡnh thoi (5) d, Từ (5) suy ra FM=FN=FD+DN, mà DN=MB (cmt) => MF=DF+BM Gọi chu vi của MCF là P và cạnh hỡnh vuụng ABCD là a Ta cú : P MC CF MF MC CF BM DF , Vỡ ( MF=DF+MB) MC MB CF FD BC CD a a 2a Hỡnh vuụng ABCD cho trước => a khụng đổi=> P khụng đổi Bài 17: Cho hỡnh vuụng ABCD, Gọi E là 1 điểm bất kỳ trờn cạnh BC ( E khỏc B và C), Qua A kẻ Ax vuụng gúc với AE, Ax cắt CD tại F, trung tuyến AI của AEF cắt CD ở K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G a. Chứng minh AE=AF và tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi b. Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF2 FK.FC c. Khi E thay đổi trờn BC, chứng minh chu vi của EKC khụng đổi HD: A B a, Xột ABE vuụng tại B và ADF vuụng tại D cú: AB=AD, ã ã BAE CAF => ABE= ADF G E => AE=AF Vỡ AE=AF và AI là đường trung tuyến AEF => AI  EF Hai IEG vuụng tại I và IFK vuụng tại I cú: I IE=IF, IãEG IãFK , Nờn IEG= IFK=> EG=FK Tứ giỏc EGFK cú hai cạnh đối EG và FK song song và F D K C Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 51 x
  52. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com bằng nhau nờn là hỡnh bỡnh hành. Hỡnh bỡnh hành EGFK cú hai đường chộo GK và EF vuụng gúc nờn là hỡnh thoi b, Xột AKF và CAF cú: Ã FK Cã FA , AF FK Kã AF Ã CF 450 AKF : CAF(g.g) AF 2 FK.FC FC AF c) Theo cõu a ta cú: ABE = ADF nờn EB=FD, Tứ giỏc EGFK là hỡnh thoi nờn EK= KF Do đú chu vi EKC là: CEKC EK KC CE CF CE CD DF CE 2CD ( Khụng đổi) Bài 18: Cho HV ABCD, trờn tia đối của tia CB lấy điểm M, trờn tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN=BM, đường thẳng song song AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau ở F a. CMR: ANFM là hỡnh vuụng b. Chứng minh F nằm trờn đường phõn giỏc của gúc MCN c. CM AC vuụng gúc với CF d. Gọi O là trung điểm của AF, CMR 3 điểm B, D, O thẳng hàng và tứ giỏc BOFC là hỡnh thang HD : A B N D C O M F Bài 19: Cho hỡnh vuụng ABCD, gọi E là điểm đối xứng của A qua D a. CMR : ACE là tam giỏc vuụng cõn b. Kẻ AH vuụng gúc với BE tại H, Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AH và HE, tứ giỏc BMNC là hỡnh gỡ ? c. Cho AC =5cm, Tớnh diện tớch BCE A B d. CMR: Ã NC vuụng HD: M H D C N Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 52 E
  53. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 53
  54. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 20: Cho HV ABCD cú AC cắt BD tại O, Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC( M khỏc B và C), Tia AM cắt CD tại N, trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE=CM a. CMR : OEM vuụng cõn b. CM: ME song song với BN c. Từ C kẻ CH vuụng gúc với BN tại H, CMR: O, M, H thẳng hàng HD: A E B M H O D C N 2a 2a Bài 21: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, trờn AB lấy AM , trờn BC lấy BN sao cho BN 3 3 a. CMR: AN vuụng gúc DM b. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của NM, DN và K là giao AN và DN, Tớnh IK , KJ và IJ HD : a, Ta chứng minh ABN = DAM ả à ả ả 0 M =>D1 A1 , Mà : D1 M1 90 A B 1 1 à ả 0 à 0 => A1 M1 90 K 90 a2 4a2 a b, Ta cú : MN 5 K 9 9 3 I 1 a KI MN 5 2 6 a 10 a Tương tự ta cú : DN KJ 10 N 3 6 1 J Chỳc cỏc em chăm ngoan – họcD giỏi !! TrangC 54
  55. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com a a Tương tự DM 13 IJ 13 3 6 Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 55
  56. CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 22: Cho hỡnh vuụng ABCD, Từ điểm M tựy ý trờn đường chộo BD, kẻ ME, MF lần lượt vuụng gúc với AB và AD, CMR: a, CF=DE, CF DE b, CM=EF, OM EF c, CM, BF, DE đồng quy d, Xỏc định M để diện tớch AEMF lớn nhất HD: a, BD là đường chộo của hỡnh vuụng ABCD A E B => BD là phõn giỏc gúc D =>ãADB 450 DFM cõn tại F=> DF=FM=AE à ả CDF= DAE (c.g.c) => CF = DE và C1 D1 à à 0 ả à 0 ã 0 Mà C1 F1 90 D1 F1 90 FOD 90 b, AM =EF, BD là đường trung trực của AC H => MA =MC=> MC= EF 2 F N Kộo dài FM cắt BC tại N => Tứ giỏc BEMN là hỡnh vuụng, 1 M 1 O => MN= ME ả ã => EMF= MNC(c. g. c) =>M1 MEF , 1 ả ả 0 ã ả 0 1 Mà M1 M 2 90 MEF M 2 90 D C =>Eã HM 900 => ĐPCM c, EFC cú CH EF=> CM trựng CH là đường cao ứng với cạnh EF Lại cú ED CF tại O=> ED là đường cao ứng với cạnh CF Chứng minh tương tự cõu a=> CE BF=> BF là đường cao ứng với cạnh CE => 3 đường CM, BF, DE đồng quy Chỳc cỏc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 56