Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Tính giá trị biểu thức

1. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC I.LÝ THUYẾT Chia sẻ cá nhân : Chuyên đề tính giá trị của biểu thức là một chuyên đề hay và đòi hỏi người học phải có sự nhìn nhận nhanh về mối qua hệ giữa biểu thức và các điều kiện của đầu bài. Có rất nhiều các phương pháp tùy từng đối tượng bài, Xong ở chương trình lớp 8, Tài Liệu Toán xin phép được ra một vài phương pháp hay giặp như sau : + Biến đổi biểu thức sao cho có chứa nhân tố của điều kiện để khử. + Nếu biểu thức có nhiều mẫu, ta có thể phân tích mẫu thành nhân tử và quy đồng. + Nếu biểu thức cần tính còn thiếu so với giả thiết, ta có thể nhân thêm hoặc chia xuống cho phù hợp +Đối với các bài toán có lũy thừa cao, thường các giá trị của ẩn chỉ nằm trong phạm vi là 1;0; 1 hoặc các giá trị của biến bằng nhau. II .BÀI TẬP ab Bài 1: Cho : 4a2 b2 5ab và 2a b 0 , Tính giá trị của : A 4a2 b2 HD : Từ : 4a2 b2 5ab 4a2 4ab ab b2 0 4a b a b 0 TH 1: 4a b 0 4a b ( mâu thẫn vì 2a > b) a2 1 TH 2: a b 0 a b A 4a2 a2 3 a b Bài 2: Cho 3a2 3b2 10ab và b a 0 , Tính A a b HD: Từ: 3a2 3b2 10ab 3a2 9ab ab 3b2 0 a 3b 3a b 0 TH 1: a 3b 0 a 3b ( mâu thuẫn vì b>a>0) a 3a 1 TH 2: 3a b 0 3a b A a 3a 2 3x 2y Bài 3: Cho 9x2 4y2 20xy 2y 3x 0 , Tính A 3x 2y HD: Từ: 9x2 4y2 20xy x 2y 9x 2y 0 3x x 1 TH1: x 2y A 3x x 2 TH2: 9x 2y (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0) x y Bài 4: Cho x2 2y2 xy, y 0, x y 0 ,Tính A x y HD: Từ x2 2y2 xy x2 xy 2y2 0 x 2y x y 0 2y y 1 TH1: x 2y 0 x 2y A 2y y 3 TH2: x y 0 ( mâu thuẫn vì x + y # 0 ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x y Bài 5: Cho x y 0 và 2x2 2y2 5xy , Tính A x y HD: Từ: 2x2 2y2 5xy 2x2 5xy 2y2 0 x 2y 2x y 0 2y y TH1: x 2y A 3 2y y TH2: 2x y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) x2 2xy Bài 6: Cho 3x y 3z và 2x y 7z , Tính A , x, y 0 x2 y2 HD: 3x y 3z x 2z 4z2 12z2 8 Từ gt ta có: A 2 2 2x y 7z y 3z 4z 9z 13 1 1 Bài 7: Cho xy 1 , Tính P y2 xy x2 xy HD: 1 1 x y x y Ta có: P 1 y y x x x y xy x y 1 x y x 2x 3y Bài 8: Cho 3y x 6 , Tính giá trị của A y 2 x 6 HD: 3y 6 2 3y 6 3y Ta có: 3y x 6 x 3y 6 A 3 1 12 y 2 3y 6 6 x y z Bài 9: Tính biểu thức :P với x.y.z =1 và các mẫu khác 0 xy x 1 yz y 1 xz z 1 HD : z x y Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của: B 1 1 1 x y z HD : a b Bài 11:Tình giá trị của biểu thức: A với b> a> 0 và 2a2 2b2 5ab a b HD : x2 y2 10 x y Bài 12: Cho y x 0, , tính giá trị của biểu thức: M xy 3 x y HD : 2a 1 5 a 1 2 Bài 13: Cho biểu thức: P , a , Tính giá trị của P biết: 10a 5a 3 3a 1 3a 1 3 HD: Ta có: 2a 1 3a 1 5 a 3a 1 6a2 2a 3a 1 15a 5 3a2 a 3a2 15a 6 P 2 2 3a a 3a 1 3a 12 9a 1 Mặt khác 10a2 5a 3 9a2 a2 5a 3 Thay vào P ta được : 3a2 15a 6 P 3 a2 5a 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2015a b c Bài 14: Cho abc=2015, Tính A ab 2015a 2015 bc b 2015 ac c 1 HD : a2bc b c A ab a2bc abc bc b abc ac c 1 a2bc b c ac c 1 1 ab 1 ac c b c 1 ac ac c 1 ac c 1 a b 2c Bài 15: Cho abc=2, Tính B ab a 2 bc b 1 ac 2c 2 HD : a b abc2 a b abc2 B 1 ab a abc bc b 1 ac abc2 abc a b 1 bc bc b 1 ac 1 bc b a b c Bài 16: Cho abc=1, Tính A ab a 1 bc b 1 ac c 1 HD : a2bc b c a2bc b c A 1 ab a2bc abc bc b abc ac c 1 ab 1 ac c b c 1 ac ac c 1 a b 2012c Bài 17: Cho abc= - 2012, Tính B ab a 2012 bc b 1 ac 2012c 2012 HD : a b abc2 a b abc2 B 1 ab a abc bc b 1 ac abc2 abc a b 1 bc bc b 1 ac 1 bc b 1 1 1 Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì 1 1 x xy 1 y yz 1 z zx HD : xyz xyz 1 xyz xyz 1 VT 1 VP xyz x2 yz xy xyz y yz 1 z zx xy z xz 1 y xz 1 z 1 z zx 2010x y z Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: 1 xy 2010x 2010 yz y 2010 xz z 1 HD : x2 yz y z VT 1 xy x2 yz xyz yz y xyz xz z 1 Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : abc 2016 2bc 2016 2b 4032 3ac P 3c 2bc 2016 3 2b ab 3ac 4032 2016a x 2xy 1 y 2yz 1 z 2zx 1 Bài 21: Tính GTBT P biết xyz 1 x xy xz 1 y yz yx 1 z zx zy 1 HD : yz x 2xy 1 xz y 2yz 1 xy z 2zx 1 P yz x xy xz 1 xz y yz xy 1 xy z zx xy 1 1 y y 1 z 1 z z 1 x 1 x x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 y 1 1 1 z 1 x 1 y 1 z 1 x 1 x 1 z 1 y 1 x y 1 1 z 1 x 3 y 1 1 z x 1 a 10 16a2 40ab Bài 22: Cho , Tính A b 3 8a2 24ab HD : 100 10 50 16. b2 40. b2 a 10 10 a b A 9 3 9 5 100 10 10 b 3 3 8. .b2 24. .b2 9 3 9 Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a b c 0 , CMR: a3 b3 c3 3abc HD : Ta có : a b c a b 3 c3 a3 b3 3ab a b c3 a3 b3 c3 3abc Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và a3 b3 c3 3abc , CMR: a b c 0 HD : Ta có : a3 b3 c3 a b c a2 b2 c2 ab bc ac 3abc Vì a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0 Mà a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 ( Mâu thuẫn vì a b c ) Nên a b c 0 3 3 3 a b c Bài 25: Cho a b c 3abc, a,b,c 0 , Tính P 1 1 1 b c a HD : Ta có : a3 b3 c3 a b c a2 b2 c2 ab bc ca 3abc , Mà a3 b3 c3 3abc Nên a b b c a c c a b TH1 : a b c 0 P . . . . 1 b c a b c a TH2 : a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b c P 1 1 1 1 1 1 8 a b b c c a a b c Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và , Tính B 1 1 1 c a b b c a HD : a b b c c a 2 a b c Từ gt c a b a b c a b b c a c c a b TH1 : Nếu a b c 0 B . . . . 1 b c a b c a a b b c a c 2c 2a 2b TH2 : nếu a b c 0 gt 2 B . . . . 8 b c a b c a 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b c Bài 27: Cho a b b c c a 3a b c , Tính A 1 1 1 b c a HD : ab x 3 3 3 a b b c c a y z x z x y Đặt bc y x y z 3xyz x y z 0 A . . . . b c a bc ac ab ac z ab bc ac . . 1Hoặc : x y z a b c A 8 bc ac ab Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a b c b c a c a b a b c Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn: . Tính A 1 1 1 c a b b c a HD : a b c b c a c a b a b c Từ gt=> c a b a b c a b b c a c TH1 : a b c 0 A . . 1 a c a TH2 : a b c 0 gt 1 a b 2c,b c 2a,c a 2b A 8 ax by c 3 3 3 Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn: bx cy a , CMR : a b c 3abc cx ay b HD : Cộng theo vế của gt=> a b c x a b c y a b c a b c x y 1 0 TH1: a b c 0 a3 b3 c3 3abc TH2: x y 1 a b c a3 b3 c3 3abc a2 b2 c2 Bài 30: Cho a3 b3 c3 3abc và a b c 0 , Tính giá trị N a b c 2 HD: 3a2 1 Từ gt a b c N 9a2 3 xyz Bài 31: Cho x3 y3 z3 3xyz , Rút gọn A x y y z z x HD: xyz x3 1 Từ gt=>TH1: x y z 0 A 1 TH 2 : x y z A xyz 2x.2x.2x 8 Bài 32: Rút gọn : A a b 2c 3 b c 2a 3 c a 2b 3 HD: Đặt: a b 2c x,b c 2a y,c a 2b z A x y z x2 y2 z2 xy yz zx a b 2c b c 2a c a 2b x2 y2 z2 0 1 1 1 1 1 1 Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 , Rút gọn: A a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab HD: 1 1 1 Ta có: 0 ab bc ca 0 a2 2bc a2 bc ab ca a b a c a b c Tương tự: b2 2ac b a b c ,c2 2ba c a c b 1 1 1 c b a c b a Khi đó: A 0 a b a c b a b c c a c b a b b c c a 1 1 1 1 1 1 Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và 0 , Tính P a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab HD : 1 1 1 bc ac ab Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 , Rút gọn: B a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Theo bài 26 => bc ac ab ab c b ac a c ab b a B a b a c b a b c c a c b a b b c c a Phân tích tử => B 1 1 1 a2 b2 c2 Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và 0 ,Rút gọn: C a b c a2 2bc b2 2ac c2 2ab HD: Theo bài 26 a2 b2 c2 a2 c b b2 a c c2 b a C a b a c b c b a c a c b a b b c c a Phân tích tử =>C 1 1 1 bc ac ab Bài 37: Cho a,b,c 0, và 0 , Tính A a b c a2 b2 c2 HD: 1 1 1 1 1 1 3 Từ gt = 0 a b c a3 b3 c3 abc abc abc abc 1 1 1 3 Khi đó: A 3 3 3 abc 3 3 3 abc. 3 a b c a b c abc 1 1 1 yz xz xy Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và 0 , Tính A x y z x2 2yz y2 2xz z2 2xy HD: ab bc ac Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c 0, Rút gọn A a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 HD: Từ a b c 0 a b c a2 b2 2ab c2 a2 b2 c2 2ab Tương tự: b2 c2 a2 2bc,c2 a2 b2 2ac , Khi đó: ab bc ac 3 A 2ab 2bc 2ac 2 a2 b2 c2 Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn B a2 b2 c2 b2 a2 c2 c2 a2 b2 HD: Từ a b c 0 b c a b2 c2 2bc a2 a2 b2 c2 2bc , Tương tự: b2 a2 c2 2ac,c2 a2 b2 2ab , Khi đó: a2 b2 c2 1 3abc 3 B a3 b3 c3 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 1 1 1 Bài 41: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn A b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 HD: Từ: a b c 0 b c a b2 c2 2bc a2 b2 c2 a2 2bc Tương tự: c2 a2 b2 2ac,a2 b2 c2 2ab , Khi đó: 1 1 1 1 a b c A 0 2bc 2ac 2ab 2 abc Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a2 b2 c2 Bài 42: Cho a+b+c=0, a,b,c 0, Rút gọn A bc ca ab HD: a3 b3 c3 3abc Từ a b c 0 a3 b3 c3 3abc , khi đó: A 3 abc abc abc abc 1 1 1 yz xz xy Bài 43: Cho 0, x 0, y 0, z 0 , Tính giá trị của biểu thức: x y z x2 y2 z2 HD: 1 1 1 Với a ,b ,c , Áp dụng kết quả câu a ta có: x y z 1 1 1 3 yz zx xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 3 3 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 x y z xyz x y z x y z x y z xyz 1 1 1 Bài 44: Cho a+b+c=1, 0 , CMR: a2 b2 c2 1 a b c HD: Từ a b c 1 a2 b2 c2 2 ab bc ca 1 , (1) 1 1 1 ab bc ca Mà: 0 0 ab bc ca 0 , thay vào (1)=> ĐPCM a b c abc 1 1 1 1 1 1 Bài 45: Cho x,y,z 0, Thỏa mãn:x y z xyz và 3 , Tính A x y z x2 y2 z2 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z Từ: 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 x y z x y z xy yz zx x y z xyz Nên A 2 3 A 1 1 1 1 1 1 1 Bài 46: Cho a,b,c 0 và 2 , và a b c abc , CMR: 2 a b c a2 b2 c2 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 a b c a b c ab bc ca a b c abc a b c Bài 47: Cho a b c 0, x y z 0 và 0 , CMR: a.x 2 b.y 2 c.z 2 0 x y z HD: 1 1 1 Bài 48: Cho a,b,c là ba số thực khác 0, thỏa mãn : a b c 3 và 0 , Tính A a2 b2 c2 a b c HD: Từ: a b c 3 a2 b2 c2 2 ab bc ca 9 , (1) 1 1 1 Mà: 0 ab bc ca 0 thay vào (1) A 2.0 9 A 9 a b c 1 1 1 1 1 1 Bài 49: Cho 2 và a b c abc , Tính A a b c a2 b2 c2 HD: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 1  1 1 1 1 1 1 Từ: 2 2 2 2 2 4 a b c a b c ab bc ca a b c A 2 4 A 2 4 A 2 abc 1 1 1 1 1 1 Bài 50: CMR: Nếu 3 và a+b+c=abc Thì ta có: 7 a b c a2 b2 c2 HD: x y z a b c x2 y2 z2 Bài 51: Cho 1 và 0 , Tính A a b c x y z a2 b2 c2 HD: x y z x2 y2 z2 xy yz zx cxy ayz bzx Từ: 1 2 2 2 2 1 A 2 1 (1) a b c a b c ab bc ca abc a b c Mà: 0 ayz bxz cxy 0 thay vào (1) ta được: A 2.0 1 A 1 x y z x y z a b c a2 b2 c2 Bài 52: Cho 0, 2 , Tính A a b c x y z x2 y2 z2 HD: a b c a2 b2 c2 ab bc ca abz bcx cay Từ: 2 2 2 2 2 A 2 2 (1) x y z x y z xy yz zx xyz x y z Mà: 0 bcx acy abz 0 thay vào (1) ta được: A 2.0 2 A 2 a b c a b c b2 c2 a2 Bài 53: Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc 1 và , CMR trong ba số a,b,c b2 c2 a2 a b c phải có 1 số bằng bình phương số còn lại HD: a b c b2 1 c2 1 a2 1 Đặt: x , y , z , , xyz 1 và b2 c2 a2 a x b y c z 1 1 1 x y z xy yz zx x y z Xét tích: x 1 y 1 z 1 0 x 1, y 1, z 1 . Với x 1 a b2 (ĐPCM) 2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c Bài 54: Cho 0 , Rút gọn: A a b c ax by cz 2 HD: x y z Đặt k x ak, y bk, z ck thay vào A a b c 2y 2z x 2z 2x y 2x 2y z Bài 55: Cho: , trong đó a,b,c thỏa mãn: a b c x y z 2b 2c a,2c 2a b,2a 2b c 0 , CMR: 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c HD: 2 2z 2x y 2 2x 2y z 2y 2z x Từ gt = 2b 2c a 2 2x 2y z 2 2y 2z x 2z 2x y 2c 2a b Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x y z = 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c 1 1 1 yz zx xy Bài 56: Cho 0, xyz 0 , Tính A x y z x2 y2 z2 HD: a3 b3 c3 Bài 57: Cho a b c 0 , Tính 2 2 2 a b b c c a HD: 2 2 a2 b2 c2 a b c ab bc ca Bài 58: Tính : A 2 a b c ab bc ca HD: 2 a2 a c Bài 59: Cho c2 2ab 2ac 2bc 0 , Rút gọn biểu thức : 2 b2 b c HD: x y z Bài 60: Cho a b c 1,a2 b2 c2 1, và , CMR: xy yz zx 0 a b c HD: x y z Đặt: k xy yz zx k 2 ab bc ca (1) a b c Mà: a b c 1 a2 b2 c2 2 ab bc ca 1 ab bc ca 0 thay vào (1) ta được: xy yz xz 0 Bài 61: Cho a,b,c thỏa mãn: a b c 0,ab bc ca 0 , Tính A a 1 2015 b2014 c 1 2013 HD: Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét: a b c 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 0 Do đó : a=b=c=0 thay vào A 1 2015 02014 12013 0 1 1 1 Bài 62: Cho x,y,z là ba số thỏa mãn: xyz=1 và x y z , Tính P x19 1 y5 1 z1890 1 x y z HD: Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét: x 1 y 1 z 1 xyz xy yz zx x y z 1 0 Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, nếu z=1=>P=0 1 1 1 Bài 63: Cho xyz=1, x y z , Tính A x2015 1 y1006 1 z 1 2016 x y z HD : xy yz zx Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có : x y z xy yz zx xyz Xét tích : x 1 y 1 z 1 xyz xy yz zx x y z 1 0 Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 Nếu x=1 thì P=2016, Nếu y=1 thì P=2016, Nếu z=1 thì P=2016 1 1 1 Bài 64: Cho x,y,z là các số thỏa mãn : xyz=1, và x y z , x y z Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Tính : A x15 1 y27 1 z2016 1 HD : 1 1 1 Từ gt ta có : x y z xy yz zx x y z Xét x 1 y 1 z 1 xyz xy yz zx x y z 1 0 Nên hoặc x=1 hoặc y=1 hoặc z=1 khi đó A=0 1 1 1 Bài 65: Cho x2 y2 z2 6 , Tính A x2012 y2013 z2014 x2 y2 z2 HD : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 x y z 0 Từ gt=> x 2 2 y 2 2 z 2 2 0 x y z x y z Vì x2012 , y2014 luôn nhân giá trị bằng 1 khi x,y nhận giá trị 1 hoặc -1 nên ta có 2 TH : TH1 : y 1 A 3 TH2 : y 1 A 1 1 1 1 1 Bài 66: CMR nếu a,b,c là ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 và , thì 1 trong ba số phải có 1 số a b c 2000 bằng 2000 HD : 1 1 1 1 1 1 1 1 a b a b Từ gt ta có : 0 0 a b c a b c a b c a b c ab c a b c a b c a b c ab 0 a b b c c a 0 TH1 : a b 0 c 2000 TH2 : b c 0 a 2000 TH3 : c a 0 b 2000 1 1 1 Bài 67: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : abc=1 và a b c , a b c CMR có ít nhất 1 số a,b,c bằng 1 HD : 1 1 1 Từ gt ta có : a b c ab bc ca a b c Xét tích : a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1 0 nên hoặc a=1 hoặc b=1 hoặc c=1 Bài 68: Cho các số thực dương thỏa mãn a100 b100 a101 b101 a102 b102 , Tính P a2015 b2015 HD : Từ : a100 b100 a101 b101 a100 a 1 b100 b 1 0 (1) và a101 b101 a102 b102 a101 a 1 b101 b 1 0 (2) Từ (1) và (2) => a101 a 1 b101 b 1 a100 a 1 b100 b 1 0 a100 a 1 2 b100 b 1 2 0 2 a 1 0 a 1 2015 2015 Do a,b 0 khi đó : P 1 1 2 2 b 1 b 1 0 a3 b3 1 Bài 69: Cho , Tính A a2014 b2014 2 2 (CL) a b 1 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x y a b Bài 70: Cho CMR: xn yn an bn 2 2 2 2 x y a b HD: Ta có: x2 y2 a2 b2 x a x a y b y b 0 (1) Mà x a b y thay vào (1) ta được: b y x a b y 0 TH1 : b y 0 b y x a xn y2 an b2 TH2 : x a b y 0 x y b a 2x 2b x b y a => xn yn an bn x2 y2 z2 Bài 71: Cho x+y+z=0, Rút gọn: A y z 2 z x 2 x y 2 HD : Ta có : x y z 0 x2 y2 z2 2 xy yz zx 0 x2 y2 z2 2 xy yz zx Mẫu :2x2 2y2 2z2 2 xy yz zx = 2x2 2y2 2z2 x2 y2 z2 3 x3 y2 z2 x2 y2 z2 1 Khi đó : A 3 x2 y2 z2 3 Bài 72: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn : x 3 y 3 z 3 3xyz , Tính giá trị của biểu thức : x10 y10 z10 T 10 x y z HD : Bài 73: Cho ax by cz 0,a b c 2016 , Tính giá trị của biểu thức : 2 2 2 bc y z ac z x ab x y A ax2 by2 cz2 HD: Bài 74: Cho a b c 1 ( a, b, c khác 1 và 2), CMR : c ab a bc b ac bc ac ab 8 a2 b2 abc 1 b2 c2 abc 1 a2 c2 abc 1 a 2 b 2 c 2 HD: a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 2 Bài 75: Rút gọn : A a b c 2 ab bc ca HD : Ta có : Đặt :a2 b2 c2 x và ab bx ca y khi đó : a b c 2 x 2y , thay vào A ta có : x(x 2y) y2 x2 2xy y2 A x y a2 b2 c2 ab ab ca x 2y y x y 1 2 2 2 a b b c c a 2 a b c a2 b2 c2 Bài 76: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn : 1 , Tính giá trị của: Q b c c a a b b c c a a b HD: Nhận thấy a b c 0 không thỏa mãn : nên nhân vào gt với a b c 0 ta được : a b c a b c a b c b c c a a b a2 a b c b c a b2 c a b c2 a b c b c b c c a c a a b a b Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Q a b c a b c Q 0 a b c Bài 77: Cho a,b,c đôi một khác nhau và 0 , Tính giá trị của biểu thức : b c c a a b a b c A b c 2 c a 2 a b 2 HD: 1 1 1 a b c 1 1 1 Nhân vao gt ta được : 0 b c c a a b b c c a a b b c c a a b a b b c c a P 0 b c c a c a a b a b b c a b a b b c b c c a c a P 0 P 0 a b b c c a a b 2 b c 2 c a 2 Bài 78: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, thỏa mãn : ab bc ca 1 , Tính A 1 a2 1 b2 1 c2 HD : Ta có : 1 a2 ab bc ca a2 b a c a a c a b a c Tương tự : 1 b2 b a b c , 1 c2 c a c b khi đó : A 1 Bài 79: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau , thỏa mãn: ab bc ca 1 , a2 2bc 1 b2 2ca 1 c2 2ab 1 Tính B a b 2 b c 2 c a 2 HD : Ta có : a2 2bc 1 a2 2bc ab bc ca a2 bc ab ac a a b c b a a b a c Tương tự : b2 2ca 1 b a b c , c2 2ab 1 c a c b Khi đó : B 1 Bài 80: Cho a,b,c là ba số khác nhau, CMR : b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a HD : b c a c a b 1 1 1 1 Ta có : a b a c a b a c a b a c a b c a c a 1 1 a b 1 1 Tương tự : , b c b a b c a b c a c b c a b c 1 1 1 1 1 1 Khi đó : VT VP a b c a b c a b c a b c ab bc ca Bài 81: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị : A b c c a c a a b a b b c HD : a b c Đặt : x, y, z khi đó : b c c a a b x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 xy yz zx 1 a b c Bài 82: Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau thỏa mãn : 0 , CMR trong ba số a,b,c phải có b c c a a b 1 số âm, 1 số dương Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
13. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD : 1 1 1 a b c Vì a b,b c,c a 0 Mà : 0 b c c a a b b c c a a b a b c 1 1 1 0 b c c a a b b c c a a b a b c a b a c b c 0 2 2 2 b c c a a b b c c a a b b c c a a b a b c Nhận thấy Tổng B 0 => 0 , b c 2 c a 2 a b 2 Do đó a,b,c không cùng âm, cùng dương, Nên phải có 1 số âm 1 số dương 1 1 1 Bài 83: Cho a,b,c là các số hữu tỉ đôi 1 khác nhau, MCR :A là bình phương a b 2 b c 2 c a 2 của 1 số hữu tỉ HD : Ta có : 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a a b b c b c c a c a a b 2 a b 2 b c 2 c a A A 0 A Vậy A là bình phương của 1 số hữu tỉ : a b b c c a a b b c c a c a b Bài 84: Cho a+b+c=0,P và Q , CMR : P.Q=9 c a b a b b c c a HD : c c b c c a c b2 bc ac a2 c a b c a b Xét P. 1 1 . 1 . a b a b a b a b ab a b ab 2c2 2c3 a 2a3 b 2b3 1 1 , Tương tự : P. 1 và P. 1 khi đó : ab abc b c abc c a abc 2 a3 b3 c3 P.Q 3 9 abc Bài 85: Cho a,b,c đôi 1 khác nhau, Tính giá trị của biểu thức: a2 b2 c2 A a b a c b c b a c b c a HD : a2 c b b2 a c c2 b a A 1 a b b c c a Bài 86: Cho 3 số a,b,c thỏa mãn: b c,a b c và c2 2 ac bc ab , 2 a2 a c a c CMR: b2 b c 2 b c HD : Ta có : a2 a c 2 a2 c2 c2 a c 2 a2 c2 2 ac bc ab a c 2 2 2 2 a2 c2 2ac 2b a c a c a c 2b a c a c 2 a c a c b Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
14. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Tương tự ta có : b2 b c 2 2 b c b c a 2 a2 a c a c Khi đó : b2 b c 2 b c Bài 87: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau, CMR: y z z x x y 2 2 2 x y x z y z y x z x z y x y y z z x HD: y z x y x z 1 1 1 1 Ta có: x y x z x y x z x z x y x y z x z x 1 1 x y 1 1 Tương tự ta có: và y z y x y z x y z x z y z x y z Cộng theo vế ta được: Bài 88: Cho a+b+c=0, CMR: 3 3 3 2 2 2 a5 b5 c5 a b c a b c a, 2 a5 b5 c5 5abc a2 b2 c2 b, . 5 3 2 HD: Ta có: a b c 0 a3 b3 c3 3abc 3abc a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 =>3abc a2 b2 c2 a5 b5 c5 a3 b2 c2 b3 c2 a2 c3 a2 b2 Mà: b c a b2 c2 b c 2 2bc a2 2bc , Tương tự ta có: c2 a2 b2 2ac a2 b2 c2 2ab Nên ta có : a3 b3 c3 a2 b2 c2 a5 b5 c5 a3 a2 2bc b3 b2 2ac c3 c2 2ab 2 a5 b5 c5 2abc a2 b2 c2 2 a5 b5 c5 5abc a2 b2 c2 a2 b2 c2 3 Bài 89: Cho a+b+c=0, CMR: a2 b2 c2 b2 a2 c2 c2 a2 b2 2 HD: Từ a b c 0 b c a b2 c2 2bc a2 a2 b2 c2 2bc , Tương tự: b2 a2 c2 2ac,c2 a2 b2 2ab , Khi đó: a2 b2 c2 1 3abc 3 a3 b3 c3 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 a b 2 b c 2 c a 2 Bài 90: CMR: 2 a b 2 b c 2 c a 2 HD : a b b c c a Đăt : x, y, z M x2 y2 z2 , Ta cần CM : a b b c c a x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 =>xy yz zx 1 (1) Từ : x y z 2 0 x2 y2 z2 2 xy yz zx 2 1 2 M 2 a b b c c a Dấu bằng khi x y z 0 0 a b b c c a Bài 91: Cho a+b+c=0 và a2 b2 c2 14 , Tính A a4 b4 c4 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
15. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 Ta có :142 a2 b2 c2 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 (1). Ta lại có : a b c 0 a b c 2 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 ab bc ca 7 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c 49 , Thay lên (1) 142 A 2.49 Bài 92: Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a b c 0,a2 b2 c2 2010 , Tính giá trị của biểu thức: A a4 b4 c4 HD: 2 2 2 2 a b c a b c 0 2010 Ta có: ab bc ca 1005 2 2 2 2 a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca 2abc a b c 1005 2abc.0 10052 2 A a4 b4 c4 a2 b2 c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 20102 10052 2.10052 1 1 Bài 93: Cho x>0 thỏa mãn: x2 7 , CMR: x5 là 1 số nguyên x2 x5 HD : 5 1 4 1 1 3 1 Ta có : x 5 x 4 x x 3 x x x x 2 1 2 1 1 3 1 2 1 1 1 Ta tính : x x 2 2 9 x 3 , x 3 x 2 x x 18 x x x x x x x 4 1 3 1 1 2 1 Và x 4 x 3 x x 2 47 x x x x 1 Bài 94: Cho x 0 và x a , Tính theo a các giá trị của: x 1 1 1 a, x3 b, x6 c, x7 x3 x6 x7 HD : 1 2 1 2 3 1 1 2 1 1 2 a, x a x 2 a 2 Nên x 3 x x 2 x a a 2 a x x x x x x 2 6 1 3 1 b, x 6 x 3 2 x x 7 1 3 1 4 1 1 c, x 7 x 3 x 4 x x x x x 1 Bài 95: Cho x 0 và x2 a , Tính theo a các giá trị của: x2 1 1 1 a, x3 b, x6 c, x7 x3 x6 x7 HD : 2 2 1 1 1 Ta có :x 2 x 2 x a 2 . Làm giống bài 68 x x x Bài 96: Cho biết a, b là hai số thực thỏa mãn : a b 5 và a2 b2 5 , Tính a3 b3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
16. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 6 1 6 1 x x 6 2 2 1 x x Bài 97: Cho x 2 2 , và x > 0. Tính A 3 x 1 3 1 x x 3 x x HD : 2 1 2 1 1 3 1 1 2 1 1 x x 2 2 4 x 2 và x 3 x x 2 x 2.2 2 2 x x x x x x x 2 6 1 3 1 và x 6 x 3 2 2 thay vào A x x Bài 98: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 và x2 y2 z2 a2 , Tính A x4 y4 z4 theo a HD : 2 Ta có :a4 x2 y2 z2 A 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 ) , Mặt khác: x y z 2 a2 2 xy yz zx 0 2 4 4 a 2 a a xy yz zx xy yz zx x2 y2 y2 z2 z2 x2 2xyz x y z 2 4 4 a4 a4 a4 x2 y2 y2 z2 z2 x2 Thay lên trên ta đươc : a4 A 2. A 4 4 2 Bài 99: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 và a2 b2 c2 2010, Tính giá trị của biểu thức: A a4 b4 c4 HD: 2 2 2 2 a b c a b c 0 2010 Ta có: ab bc ca 1005 2 2 =>a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca 2 2abc a b c = 1005 2 2abc.0 10052 2 => A a4 b4 c4 a2 b2 c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 20102 10052 2020050 1 2 1 1 1 Bài 100: Cho a+b+c=0, CMR: a4 b4 c4 a2 b2 c2 Bài 10: CMR: Nếu 3 và 2 a b c 1 1 1 a+b+c=abc . Thì ta có: 7 a2 b2 c2 HD : Ta có : a b c 2 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 0 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 4 ab bc ca 2 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 4 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 2 a4 b4 c4 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2c2a2 2 2 a4 b4 c4 a2 b2 c2 => ĐPCM Bài 101: Cho 2 số x,y thỏa mãn: xy x y 1, và x2 y xy2 12 , Tính A x3 y3 HD : xy x y 1 a b 1 a 3 a 4 Từ gt ta có : hoặc xy x y 12 ab 12 b 4 b 3 Khi đó A x y 3 3xy x y Bài 102: Cho x+y=9, xy=14, Tính Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
17. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 a, x2 y2 b, x3 y3 c, x y d, x5 y5 HD : a, x2 y2 x y 2 2xy 81 28 b, x3 y3 x y 3 3xy x y 93 3.14.9 351 c, x y 2 x y 2 4xy d, x5 y5 x3 y3 x2 y2 x2 y2 x y 2 Bài 103: Cho x-y=2, Tính : A 2 x3 y3 3 x y HD : Ta có : x3 y3 x y 3 3xy x y , Mà : x y 2 x y 2 4xy A 2.8 12xy 3. 4 4xy Bài 104:Cho a b 1 , Tính giá trị của biểu thức: C 2 a3 b3 3 a2 b2 HD: Ta có: C 2 a3 b3 3 a2 b2 2 a b a2 ab b2 3 a2 b2 2 a2 ab b2 3 a2 b2 2 2 a2 b2 2ab 3 a2 b2 a2 b2 2ab a b 1 Bài 105: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính a, x2 y2 b, x3 y3 c, x y , HD : a, x2 y2 x y 2 2xy b, x3 y3 x2 y2 x y xy x y , mà : x y 2 x y 2 4xy 49 4.60 Bài 106: Cho a+b=1, tính A a3 b3 3ab a2 b2 6a2b2 a b HD : Ta có :a3 b3 a b 3 3ab a b , và a2 b2 a b 2 2ab Bài 107: Cho x2 y2 1 , Tính A 2 x6 y6 3 x4 y4 HD : 2 x6 y6 x2 y2 x4 y4 x2 y2 x2 y2 , mà : x4 y4 x2 y2 2x2 y2 , thay vào ta được Bài 108: Cho a+b=1, Tính giá trị của biểu thức C 2 a3 b3 3 a2 b2 HD : Ta có: C 2 a3 b3 3 a2 b2 2 a b a2 ab b2 3 a2 b2 2 = 2 a2 ab b2 3 a2 b2 a2 b2 2ab a b 1 a b c 0 Bài 109: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: , Tính A a4 b4 c4 2 2 2 a b c 2012 HD: a2 b2 c2 a b c 2 2 ab bc ca 2 ab bc ca 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 2012 => a b b c c a ab bc ca 2abc a b c 2 4 20122 => A a4 b4 c4 a2 b2 c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
18. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 1 1 3 Bài 110: Cho x y z 2 x2 y2 z2 và x, y, z 0 , CMR: x3 y3 z3 xyz HD : 2 xy yz zx 1 1 1 Từ : x y z x2 y2 z2 xy yz zx 0 0 0 xyz x y z 1 1 1 3 Khi đó : x3 y3 z3 xyz Bài 111: CMR: Nếu a b c 2 3 ab bc ca thì a=b=c HD: Từ: a2 b2 c2 ab bc ca 0 a b 2 b c 2 c a 2 0 Bài 112: Cho a2 b2 c2 m , Tính theo m giá trị của: A 2a 2b c 2 2b 2c a 2 2c 2a b 2 HD: Phân tích theo hằng đẳng thức: Bài 113: Cho a2 b2 4c2 , CMR: 5a 3b 8c 5a 3b 8c 3a 5b 2 HD: VT 5a 3b 2 64c2 25a2 30ab 9b2 16a2 16b2 3a 5b 2 1 1 Bài 114: Tìm x,y biết: x2 y2 4 x2 y2 HD: 2 1 2 1 x 2 2 y 2 2 0 x y x2 y2 z2 x2 y2 z2 Bài 115: Tìm x,y,z biết : 2 3 4 5 HD: x2 x2 y2 y2 z2 z2 0 2 5 3 5 4 5 x2 yz y2 zx z2 xy a2 bc b2 ca c2 ab Bài 116: Cho , CMR : a b c x y z HD: x2 yz y2 zx z2 xy Đặt gt =k=>a ,b ,c , sau đó tính: a2 bc,b2 ca,c2 ab rồi thay vào k k k 1 ax2 by2 cz2 Bài 117: Cho ax by cz 0,a b c , CMR : 2000 2000 bc y z 2 ac x z 2 ab x y 2 HD: Từ ax by cz 2 0 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2 abxy bcyz acxz Xét mẫu số: bc y2 2yz z2 ac x2 2xz z2 ab x2 2xy y2 bcy2 bcz2 acx2 acz2 abx2 aby2 a2 x2 b2 y2 c2 z2 c ax2 by2 cz2 b ax2 by2 cz2 a ax2 by2 cz2 a b c ax2 by2 cz2 1 VT 2000 a b c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
19. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 ay bx cx az bz cy Bài 118: Cho a,b,c là ba số khác 0 thỏa mãn : , CMR : c b a ax by cz 2 x2 y2 z2 a2 b2 c2 HD: acy bcx bcx abz abz acy Đặt gt=k=> k 0 ay bx cx az bz cy 0 c2 b2 a2 => ay bx 2 cx az 2 bz cy 2 0 ay bx 2 cx az 2 bz cy 2 0 a2 y2 b2 x2 c2 x2 a2 z2 b2 z2 c2 y2 2 aybx cxaz bzcy 0 => a2 y2 a2 z2 a2 x2 b2 x2 b2 y2 b2 z2 c2 x2 c2 y2 c2 z2 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2axby 2bycz 2axcz 0 2 a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 0 =>ĐPCM Bài 119: Cho x2 yz a, y2 zx b, z2 xy c CMR : ax by cz x y z a b c Với x, y, z 0 HD: x3 xyz ax 3 3 3 3 Từ gt=> y xyz by ax by cz x y z 3xyz 3 z xyz cz ax by cz x y z x2 y2 z2 xy yz zx x y z a b c x2 2y 1 0 2 2000 2000 2000 Bài 120: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : y 2z 1 0 , Tính A x y z 2 z 2x 1 0 HD: Cộng theo vế của gt ta được: x2 2x 1 y2 2y 1 z2 2z 1 0 x y z 1 Bài 121: Cho 3 số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P x y z HD: x 1 y 1 4 2 2 2 Từ gt ta có: x 1 z 1 16 x 1 y 1 z 1 4.16.9 x 1 y 1 z 1 24 y 1 z 1 9 1 2 Bài 122: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2x3 y3 xyz z3 , Tính giá trị của biểu thức: 4 27 2018 6x 3y 2z N 1 6x 3y 2z HD: 3 1 2z 3 3 3 Vì 2x3 y3 xyz 6x 3y 2z 108xyz 4 27 3 3 3 a b c 0 Áp dụng hằng đẳng thức: a b c 3abc a b c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
20. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Đặt 6x=a, 3y=b, 2z=c, ta có: a3 b3 c3 3abc , mà x, y,z dương nên 6x 3y 2z 0 6x 3y 2z thay vào ta có : 2018 2018 6x 3y 2z 2z 2z 2z N 2 2 0 6x 3y 2z 2z 2z 2z 1 1 1 Bài 123: Cho a,b,c là ba số thực đôi 1 khác nhau và khác 0, thỏa mãn:a b c , b c a CMR: abc=1 hoặc abc=-1 HD: 1 1 b c c a a b Từ gt=> a b a b ,T 2 b c ,c a c b bc ca ab a b b c c a 2 2 2 Nhân theo vế: a b b c c a 2 a b b c c a a b c 1 0 abc Vì a,b,c khác nhau đôi 1 nên abc 2 1 abc 1 , hoặc -1 Bài 124: Cho x,y,z thỏa mãn: by cz a, và ax cz b và ax by c , Trong đó a,b,c là các số dương cho 1 1 1 trước, CMR : , không phụ thuộc vào a,b,c x 1 y 1 z 1 HD: Cộng theo vế của gt ta có: 1 2c a b c 2 ax by cz a b c 2 c cz 2c 1 z z 1 a b c 1 2a 1 2b Tương tự: , x 1 a b c y 1 a b c a b b c c a Bài 125: Cho x , y , z , Thì 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z a b b c c a HD: a b 2a Tính x 1 1 , Tương tự là ra a b a b a b b c a c b c a c b a Bài 126: Cho a,b,c là ba số thực khác nhau: CMR: . . . 1 a b b c c a b c c a a b HD: a b 2a 2b b c 2a 2c Đặt: x x 1 , x 1 , y y 1 , y 1 a b a b a b b c b c b c c a 2c 2a z z 1 , z 1 , Khi đó: x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 c a c a c a Khi đó: xy yz zx 1 Bài 127: Cho x by cz và y ax by , z ax by và x+y+z khác 0. 1 1 1 Tính giá trị: A 1 a 1 b 1 c HD: 1 2x Cộng theo vế gt ta được: x y z 2 ax by cz 2 ax x 2x a 1 a 1 x y z 1 2y 1 2z Tương tự: , b 1 x y z c 1 x y z Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
21. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2a by cz 1 1 1 Bài 128: Cho 2b ax cz và a b c 0 , Rút gọn: M x 2 y 2 z 2 2c ax by HD: Cộng theo vế gt tacó 2a 2b 2c 2ax 2by 2cz a b c ax by cz ax 2a a x 2 1 a 1 b 1 c , Tương tự: , x 2 a b c y 2 a b c z 2 a b c a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Bài 129: Cho 1 , CMR trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số 2ab 2bc 2ac kia HD: Từ gt ta có: a2 b2 c2 c b2 c2 a2 a c2 a2 b2 b 2abc a2 b2 c2 2ab c b2 c2 a2 2bc a c2 a2 b2 2ac b 0 a b c a b c c b c a b c a a c a b c a b b 0 a b c a c b b c a 0 c a b hoặc a c b hoặc: b c a bc y z 2 ca z x 2 ab x y 2 Bài 130: Cho ax by cz 0 , Rút gọn A ax2 by2 cz2 HD: Từ ax by cz 2 0 a2 x2 b2 y2 c2 z2 2 abxy bcyz acxz Xét mẫu số: bc y2 2yz z2 ac x2 2xz z2 ab x2 2xy y2 bcy2 bcz2 acx2 acz2 abx2 aby2 a2 x2 b2 y2 c2 z2 c ax2 by2 cz2 b ax2 by2 cz2 a ax2 by2 cz2 a b c ax2 by2 cz2 a b c ax2 by2 cz2 Khi đó: A a b c ax2 by2 cz2 x2 y2 z2 Bài 131: Cho x y z 0 , Rút gọn: B y z 2 z x 2 x y 2 HD: Ta có: x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 0 x2 y2 z2 2 xy yz zx Khi đó: Mẫu = 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 x2 y2 z2 1 Vậy B 3 x4 y4 z4 x4 y4 z4 Bài 132: Cho các số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c 0 và , Tính a4 b4 c4 a4 b4 c4 P x2 y9 z1945 2017 HD: x4 x4 y4 y4 z4 z4 Từ gt=> 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 0 a b c a a b c b a b c c nên x y z 0 P 2017 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
22. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 1 1 1 1 Bài 133: Cho a,b,c là ba số thực 0 thỏa mãn: , CMR: a b c a b c 1 1 1 1 a2015 b2015 c2015 a2015 b2015 c2015 HD: 1 1 1 1 b c b c Từ gt ta có: 0 0 a a b c b c a a b c bc 1 1 1 1 TH1: b c 0 b c a2015 b2015 b2015 a2015 b2015 b2015 1 1 TH2: 0 bc a2 ab ac 0 a b a c 0 => giống TH1: a2 ab ac bc a3 b3 c3 Bài 134: Cho a,b,c thỏa mãn: 1006 , a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 a3 b3 b3 c3 c3 a3 Tính giá trị của biểu thức: M a2 ab b2 b2 bc c3 c2 ca a2 HD : M 2 a b c Bài 135: Cho x,y,z thỏa mãn: x y, xyz 0, và x y2 xz 1 yz y x2 yz 1 xz , 1 1 1 CMR : x y z x y z HD: Từ GT ta có: x2 yz y 1 xz x 1 yz y2 xz x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 = xy2 x2 z x2 yz2 x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 x2 z xy3 z x2 yz2 0 xy x y xyz yz y2 xz x2 z x2 y2 0 x y xy xyz x y z xz yz 0 Do x # y nên xy xz yz xyz x y z 0 hay xy xz yz xyz x y z 1 1 Bài 136: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : a b c ,a2 b2 c2 ab bc ca , Tính giá trị của 2 6 a b c biểu thức: P b c c a a b 2 b2 c2 a2 a2 b c Bài 137: Cho x ; y , Tính giá trị của biểu thức M x y xy 2bc b c 2 a2 HD: 2 b c a2 b c a b c a a b c a b c Ta có: x a 1 và y 2bc 2bc b c a b c a a b c a b c b c a b c a b c a b c a Khi đó M y x 1 x . 1 b c a b c a 2bc 2bc a b c a b c a b c b c a 4bc M 1 1 1 2bc 2bc 2bc Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
23. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x 2 x2 Bài 138: Cho biết , Tính độ dài của biểu thức : x2 x 1 3 x4 x2 1 HD : x 2 x2 x 1 3 1 3 1 5 Từ gt ta có : x 1 x x2 x 1 3 x 2 x 2 x 2 x4 x2 1 1 1 2 25 21 x2 4 2 Nên 2 x 2 1 x 1 1 Vậy 4 2 x x x 4 4 x x 1 21 1 (Hoặc ta có thể giải phương trình đầu ra được x 2, x rồi thay vào) 1 2 2 x2 yz y2 xz Bài 139: CMR: với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, thì xy+xz+yz=xyz(x+y+z) x 1 yz y 1 xz HD: Từ GT ta có: x2 yz y 1 xz x 1 yz y2 xz x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 = xy2 x2 z x2 yz2 x2 y x3 yz y2 z xy2 z2 xy2 x2 z xy3 z x2 yz2 0 xy x y xyz yz y2 xz x2 z x2 y2 0 x y xy xyz x y z xz yz 0 Do x # y nên xy xz yz xyz x y z 0 hay xy xz yz xyz x y z x y x2 y2 Bài 140: Cho x>y>0, hãy so sánh A và B x y x2 y2 HD: x y x y x2 y2 x2 y2 A , Mà x2 y2 2xy x2 y2 , x2 y2 0 nên A x y 2 2xy x2 y2 x2 y2 Vậy A<B Bài 141: Cho x(m+n)=y(n+p)=z(p+m), Trong đó x,y,z là các số khác nhau và khác 0 m n n p p m CMR : x(y z) y(z x) z(x y) HD : x m n y n p z p m m n n p p m Từ giải thiết ta có : xyz xyz xyz yz xz xy p m n p m n p m n p m n = = ĐPCM xy xz yz xy xz yz x2 y2 z2 2yz x y z 2 8 1 Bài 142: Tính giá trị của biểu thức: a, A : với x 1 , y , z 3 x2 xz y2 yz x y z 3 3 3 HD: x y z x y z x y z x y z Rút gọn biểu thức A : x y x y z x y z x y Bài 143: Cho các số a,b lần lượt thỏa mãn hệ thức: a3 3a2 5a 2011 0,b3 3b 5b 2005 0 , Tính a+b HD: Từ điều kiện ta có: a 1 3 2 a 1 2008 0 và b 1 3 2 b 1 2008 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
24. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 Cộng theo vế ta được: a 1 3 b 1 3 a b 2 0 a b 2 a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 2 a b 2 0 = >a b 2 a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 2 0 , Vì a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 2 1 2 1 2 1 2 = a b a 1 b 1 2 0 nên a+b - 2=0=> a+b=2 2 2 2 Bài 144: Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức: 5x 2 5y 2 8xy 2x 2y 2 0 Tính giá trị của biểu thức: M a3 b3 3ab a2 b2 6a2b2 a b HD: Từ 5a2 5b2 8ab 2a 2b 2 0 4a2 8ab 4b2 a2 2a 1 b2 2b 1 0 2 2 2 a 1 4 a b a 1 b 1 0 Thay vào biểu thức M ta được: b 1 z x y Bài 145: Cho x,y,z khác 0 vàx y z 0 , Tính B 1 1 1 x y z HD: x z y y z x Vì x y z 0 y x z , thay vào B ta được: B . . 1 x y z z y x a b c b c a c a b Bài 146: Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn: 0 , ab bc ca CMR: trong ba số a,b,c có 1 số bằng tổng hai số kia HD: Quy đồng ta được: c a b c a b c a b c a b 0 ca bc c2 ab ac a2 bc ab b2 0 a2 b2 c2 2ab 0 2 2 a b c a b c a b c a b c 0 b a c 1 1 1 1 1 1 Bài 147: Cho k và a+b+c=abc, Tính k để k a b c a2 b2 c2 HD: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 2 , Để thì ta có: 2 2 2 k 2 2 2 k a b 2 c ab bc ac a b c a b c 2 2 k 1 k 2 k k k 2 0 abc k 2 x y 2z Bài 147:Q với xyz=2 và các mẫu thức đều khác 0 xy x 2 yz y 1 xz 2z 2 Bài 148: Tính tổng: x2 y2 z2 x y z a, A , P với xyz=1 và các y2 z2 x2 z2 x2 y2 x2 y2 z2 xy x 1 yz y 1 xz z 1 mẫu thức đều bằng 0 Bài 149: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
25. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 4 1 1 1 a, CMR: n n 1 n n n 1 4 2 2 1 1 1 1 14 34 54 134 4 4 4 4 b, Áp dụng câu a, thu gọn: A 4 1 4 1 4 1 4 1 2 4 6 14 4 4 4 4 HD: 2 4 1 4 2 1 2 2 1 2 1 1 a) Ta có: n n n n n n n n 1 . n n 1 4 4 2 2 2 b) Áp dụng: 1 1 1 1 1 1 0.1 1.2 2.3 3.4 12.13 13.14 1 2 2 2 2 2 2 1 A 2 1 1 1 1 1 1 1 421 1.2 2.3 3.4 4.5 13.14 14.15 14.15 2 2 2 2 2 2 2 Bài 150: Chứng minh với ba số a, b, c đôi 1 khác nhau thì : a3 b3 c3 a b c a b a c b c b a c a c b HD: a3 c b b3 a c c3 b a a3 c b b3 b a c b c3 b a Ta có: VT a b b c c a a b b c c a a3 c b b3 b a b3 c b c3 b a c b a3 b3 b a c3 b3 a b b c c a a b b c c a c b a b a2 ab b2 b a c b c2 bc b2 a b b c c a a b c a b b c c a a b b c c a a b c Bài 151: Chứng minh rằng : Nếu a4 b4 c4 d4 4abcd và a,b,c,d là các số dương thì a= b= c= d HD: Từ: a4 b4 c4 d 4 4abcd a4 b4 2a2b2 c4 d 4 2c2d 2 2 a2b2 c2d 2 2abcd 0 a2 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d 2 ab cd 0 c d a b c d ab cd 1 1 1 1 Bài 153: Chứng minh rằng nếu : x1 x2 x3 xn , thì x1 x2 x3 xn x2 x3 x4 x1 hoặc : x1.x2.x3 xn 1 HD: 1 1 x2 x3 Từ giả thiết ta có: x1 x2 , x3 x2 x2.x3 x3 x4 x1 x2 Tương tự như vậy : x2 x3 , , xn x1 ,, Xét tích theo vế ta được: x3.x4 x1.x2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
26. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 x2 x3 x3 x4 xn x1 x1 x2 x1 x2 x2 x3 xn x1 x1.x2 x2.x3 xn.x1 x1.x2 1 x x x x xn x x x 1 0 1 2 2 3 1 1 2 x .x x .x x .x x .x 1 2 2 3 n 1 1 2 x x x x xn x x x 0 x x x x 1 2 2 3 1 1 2 1 2 3 n 2 x .x .x x 1 x1.x2.x3 xn 1 1 2 3 n 1 1 1 Bài 154: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực thỏa mãn: 2 và a b c abc , thì a b c 1 1 1 2 a2 b2 c2 HD: Từ: 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b c 2 2 2 2 2 4 A 2 4 A 2 a b c a b c ab bc ca abc Bài 155: Cho a b c 2p , CMR: 2bc b2 c2 a2 4p p a HD: 2 2 Vì a b c 2p b c 2p a b c 2p a b2 c2 2bc 4p2 4ap a2 2bc b2 c2 a2 4p p a Bài 156: Cho x y a, x 2 y 2 b, x 3 y 3 c , CMR: a3 3ab 2c 0 HD: 2 2 a b Vì x y a x y a2 x2 y2 2xy a2 b 2xy a2 xy 2 2 3 3 3 3 a b 3 3 Và x y x y 3xy x y a c 3 .a a a 3ab 2c 0 2 Bài 157: Cho a b c 0,a2 b2 c2 1 , Tính giá trị của: M a4 b4 c4 HD: 2 Ta có: a b c 0 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 0 2 ab bc ca 1 1 ab bc ca , Bình phương tiếp ra được: 2 1 1 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c a2b2 b2c2 c2a2 4 4 2 1 1 Mà a2 b2 c2 1 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 1 M 2. 1 M 4 2 2 Bài 158: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau thỏa mãn: a b c a2 b2 c2 , CMR: a2 b2 c2 1 a2 2bc b2 2ac c2 2ab HD: Từ GT ta có: ab bc ca 0 Nên a2 2bc a2 bc bc a2 bc ab ca a b a c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
27. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 b 2ac b a b c Tương tự ta có: , Thay vào ta được: 2 c 2ab c a c b a2 b2 c2 a2 c b b2 a c c2 b a VT a b a c b c b a c a c b a b b c c a Phân tích tử thành: a b b c c a 1 1 1 b c c a a b Bài 159: Cho 0 , Tính giá trị của: M a b c a b c HD: b c c a a b a b c a b c a b c Xét M 3 1 1 1 a b c a b c 1 1 1 M 3 a b c 0 M 3 a b c a b c a2 b2 c2 Bài 160: Cho 1 , CMR: 0 b c c a a b b c c a a b HD: a b c Xét a b c a b c , với a b c 0 b c c a a b a2 b2 c2 ab ac ab bc ac bc a b c b c c a a b c a a b b c a b b c c a c a b a b c b c a A a b c A 0 a b b c c a a.x2 b.y2 c.z2 Bài 161: Cho a.x b.y c.z 0 , Rút gọn: A 2 2 2 bc y z ac x z ab x y HD: 2 Mẫu thức bc y z ac x z x y y z ab x y x y 2 2 bc y z ac x z x y ac x z y z ab x y c y z b y z a x z a x y c x z b x y c y z by bz ax az a x y cx cz bx by c y z by bz ax az a x y cx cz bx by (1) ax by cz Mà ax by cz 0 Thay vào (1) ta được: ax by cz (1) c y z az bz cz a x y ax bx cx 2 2 cz y z a b c ax x y a b c a b c ax axy cyz cz a b c ax2 cz2 axy cyz (2) Mà ax by cz 0 axy by2 cyz 0 axy cyz by2 thay vào (2) ta được: (2) a b c ax2 by2 cz2 3 3 3 Bài 162: Chứng minh rằng nếu: x y z 3 thì: x 1 y 1 z 1 3 x 1 y 1 z 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
28. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 HD: x 1 a Vì x y z 3 x 1 y 1 z 1 0 , Đặt y 1 b z 1 c 3 3 3 a b c 0 a3 b3 c3 3abc hay x 1 y 1 z 1 3 x 1 y 1 z 1 a b c Bài 163: Cho a b c 0, x y z 0, 0 , CMR: a.x 2 by 2 cz 2 0 x y z HD: Xét x y z ax by cz 0 ax2 by2 cz2 bxy cxz axy cyz axz byz 0 A xy a b yz b c xz a c 0 A cxy ayz bxz 0 A ayz bxz cxy 0 (1) a b c Mà 0 ayz bxz cxy 0 Thay vào (1) ta được A 0 x y z a b c a b c 0 Bài 164: Cho , CMR: 2 2 2 0 b c c a a b b c c a a b HD: 1 1 1 a b c Xét 0 b c c a a b b c c a a b a b c a b2 c 2 2 b c b c c a b c a b c a b c c a c a a b a b c 2 0 a b b c a b c a a b b a b c c a a a b c b c a c a b b c A 0 a b b c c a A 0 0 A 0 x 2 x2 Bài 165: Cho , Hãy tính giá trị của biểu thức: x2 x 1 3 x4 x2 1 HD: x 2 x2 x 1 3 1 3 1 5 Từ: , hay x 1 x x2 x 1 3 x 2 x 2 x 2 4 2 2 2 x x 1 2 1 1 21 x 4 2 x 2 1 x 1 , vậy 4 2 x x x 4 x x 1 21 a3 3a2 5a 2011 0 Bài 166: Cho các số a, b, c thỏa mãn các hệ thức sau: , Tính a+b 3 b 3b 5b 2005 0 HD: 2 Từ điều kiện ta có: a 1 2 a 1 2008 0 (1) 2 Và b 1 2 b 1 2008 0 (2) Cộng theo vế ta được : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
29. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 2 2 a 1 b 1 a b 2 0 a b 2 a 1 a 1 b 1 b 1 2 a b 2 0 2 2 a b 2 a 1 a 1 b 1 b 1 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 Vì a 1 a 1 b 1 b 1 2 a b a 1 b 1 2 0 2 2 2 Nên a b 2 0 a b 2 x2 yz y2 xz Bài 167: Chứng minh rằng nếu: , x y , xyz 0, yz 1, xz 1 , thì: x 1 yz y 1 xz xy xz yz xyz x y z HD: Từ GT x2 yz y 1 xz x 1 yz y2 xz x2 y x3yz y2z xy2z2 xy2 x2z xy3z x2 yz2 x2 y x3yz y2z xy2z2 xy2 x2z xy3z x2 yz2 0 xy x y xyz yz y2 xz x2 z x2 y2 0 xy x y xyz x y x y z z x y x y 0 x y xy xyz x y z xz yz 0 Do x y 0 xy xz yz xyz x y z 0 Hay xy xz yz xyz x y z Bài 168: Cho x m n y n p z p m , trong đó x, y, z là các số khác nhau và khác 0, CMR : m n n p p m x y z y z x z x y HD : Vì xyz 0 và x m n y n p z p m x m n y n p z p m m n n p p m , hay xyz xyz xyz yz xz xy p m n p m n p m n p m n m n n p p m xy xz yz xy xz yz x y z y z x z x y xy 2x 1 yz 2y 1 zx 2z 1 Bài 169: Rút gọn: A xy x y 1 yz y z 1 zx z x 1 HD: xy 2x 1 xy x y 1 x y x y x y Ta có: 1 1 xy x y 1 xy x y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 yz 2y 1 y z zx 2z 1 z x 1 , 1 yz y z 1 y 1 z 1 zx z x 1 z 1 x 1 Cộng theo vế ta được A=3 2 Bài 170: Chứng minh rằng: x2 y2 z2 2 x4 y4 z4 , biết rằng: x+y+z=0 HD: 2 2 Ta có: x y z 0 x y z x y z Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
30. CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 8 2 2 x2 y2 z2 2xz x2 y2 z2 2xz x2 y2 z2 2xz x4 y4 z4 2x2 y2 2x2z2 2y2z2 4x2z2 x4 y4 z4 2x2 y2 2x2z2 2y2z2 x4 y4 z4 x4 y4 z4 x4 y4 z4 2x2 y2 2x2z2 2y2z2 2 2 x4 y4 z4 x2 y2 z2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30