Đề thi Oympic Toán lớp 8 - Trường THCS Mỹ Hưng

Nội dung text: Đề thi Oympic Toán lớp 8 - Trường THCS Mỹ Hưng

1. TRƯỜNG THCS ĐỀ THI OYMPIC TOÁN LỚP 8 MỸ HƯNG NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1. (6 điểm) 1 1 1 1 a) Giải phương trình: x2 9x 20 x2 11x 30 x2 13x 42 18 b) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 b c a a c b a b c Câu 2. (5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 9 b) Tìm các số nguyên n để n5 1 chia hết cho n3 1 Câu 3. (3 điểm) 1 1 1 a) Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 9 a b c b) Cho a,bdương và a2000 b2000 a2001 b2001 a2002 b2002 . Tính a2011 b2011 Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BAtại O. Chứng minh rằng: a)OA.OB OC.OH b) O· HA có số đo không đổi c) Tổng BM.BH CM.CA không đổi
2. ĐÁP ÁN Câu 1. a) ĐKXĐ: x 4; x 5; x 6; x 7 Phương trình trở thành: 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x 7) 18 x 4 x 7 x 4 x 13 x 13 x 2 0 x 2 b) Đặt b c a x 0; c a b y 0; a b c z 0 y z x z x y Từ đó suy ra a ;b ;c 2 2 2 Thay vào ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Từ đó suy ra A 2 2 2 hay A 3 a b c 2 Câu 2. a) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a b chia hết cho 3 Ta có: a3 b3 a b a2 ab b2 a b a b 2 3ab Vì a b chia hết cho 3 nên a b 2 3ab chia hết cho 3. Do vậy, a b a b 2 3ab chia hết cho 9
3. b) n5 1 n3 1 n5 n2 n2 1  n3 1 n2 n3 1 n2 1  n3 1 n 1 n 1  n 1 n2 n 1 n 1n2 n 1 n n 1 n2 n 1 n2 nn2 n 1 n2 n 1 1 n2 n 1 Hay 1n2 n 1 Xét hai trường hợp: 2 2 n 0 )n n 1 1 n n 0 n 1 )n2 n 1 1 n2 n 2 0,không có giá trị của n thỏa mãn Câu 3. 1 b c 1 a a a 1 a c a.Từ a b c 1 1 b c b 1 a b 1 c c c 1 1 1 a b a c b c 3 3 2 2 2 9 a b c b a c a c b 1 Dấu “=” xảy ra a b c 3 b) a2001 b2001 a b a2000 b2000 ab a2002 b2002
4. a b ab 1 a 1 a 1 b 1 0 b 1 2000 2001 b 1(tm) Với a 1 b b b 0(ktm) 2000 2001 a 1(tm) Với b 1 a a a 0(ktm) Vậy a 1;b 1 a2011 b2011 2 Câu 4. O A H M C B K OB OH a) BOH : COA g.g OA.OB OH.OC OC OA OB OH OA OH b) và Oµ chung OHA : OBC OC OA OC OB
5. O· HA O· BC (không đổi) c) Vẽ MK  BC; BKM : BHC(g.g) BM BK BM.BH BK.BC (3) BC BH CM CK CKM : CAB g.g CM.CA BC.CK(4) CB CA Cộng từng vế của (3) và (4) ta có: BM.BH CM.CA BK.BC BC.CK BC. BK KC BC 2 (Không đổi)