Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Đồng dạng

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Chuyên đề: Đồng dạng

1. CHUYấN ĐỀ ĐỒNG DẠNG A. ĐỊNH Lí TALET 1. Định lý Ta Lột A ABC  AM AN AM AN -  ; MN // BC AB AC MB NC M N 2. Hệ quả định lý Ta Let ABC(M AB, N AC) AM AN MN  MN // BC  AB AC BC B C 3. Định lý đảo AM AN - Nếu: MN // BC MB NC 4. Chỳ ý: Định lý vẫn đỳng trong cỏc trường hợp sau AB ' AC ' B 'C ' C' B' - Ta cú: A AB AC BC A B C B' C' B C 5. Định lý Ta Lột mở rộng m n a. Thuận: Nếu m cắt a, b, c tại A, B, C Nếu N cắt a, b, c tại A’, B’, C’ A A' a AB A' B ' AB A' B ' BC B 'C ' ; ; B' BC B 'C ' AC A'C ' AC A'C ' B b b. Đảo: Nếu a, b, c, cắt hai cỏt tuyến m, n và cú 1 trong 3 tỉ C' AB A' B ' AB A' B ' BC B 'C ' c số sau: ; ; a // b / c C BC B 'C ' AC A'C ' AC A'C ' p 1
2. *) Hệ quả: ( cỏc đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song ) 1. Hệ quả 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trờn hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ AB AC OA ( ) A' B ' A'C ' OA' 2. Hệ quả 2: Nhiều đường thẳng khụng song song định ra trờn hai đường thẳng song song cỏc đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thỡ chỳng đồng quy tại 1 điểm O A C a B a B A C O C' B' b A' b B' C' d d' d'' d d' - d’, d’’, d’’’ khụng song song cắt hai đường thẳng song song a và b tại A, B, C và A’, B’,C’ AB AC AB Và thảo món: ; 1 d ',d '',d '''O A' B ' A'C ' A' B ' Bài 1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD và điểm E thuộc đoạn BD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BC, BD với AE. Qua C kẻ đường thẳng song song với BD cắt MN tại F. Chứng minh rằng a. AE2 EM.EN A D 1 1 1 E b. AE AM AN F N AM FM c. AN FN B C M Lời giải 2
3. EA EN a. AE 2 EM.EN  EM EA EA ED EN Ta cú: ( Cỏc đường thẳng song song ) EM EB EA 1 1 1 AE AE AE b.  AE AM AN AE AM AN AE DE AE BE AE AE DE EB Ta cú: ; 1 AM DB AN BD AM AN BD 1 1 1 Chia cả hai vế cho AE, ta được: AE AM AN FE BC  FC // BE FM CM FE BC AN FN CN CN MN c. Ta cú:  (1);CF // ED (2) BC AN FM CM NM FE CD AB MA AB // CD CM NM  FE FN AN MN FN AM Từ (1)(2) . .  (dpcm) FM FE MN MA FM AN Bài 2: Cho hỡnh thang ABCD cú AB // CD, AB < CD. Kẻ đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở F. GỌi M, N lần lượt là giao điểm của FE với AD, B. Chứng minh rằng: a. EM = FN A B b. AB2 FE.CD M N E F Lời giải Ta phải đi chứng minh FE // AB // CD Hay AE AF C D Q P EP FC - Ta cú: ABQD và ABCP là hỡnh bỡnh hành nờn AB = DQ = CP DP CQ AE AB AB FA +) FE // PC(Ta.Let.Dao) FE // CD // AB EP DP CQ FC EM DE CN FN a. Ta cú: EM // AB EM FN AB DB CB AB 3
4. EM AE FA BN FN  Hoặc: DP AP CA BC CQ  EM FN DP CQ  FE FE BE BE AB BE AB AB BE FE AB b. ; AB? FE.CD AB DQ BD DE DP BE DE AB DP CD BD AB CD Bài 3: Cho tam giỏc ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt cỏc cạnh AB, AC tại D và E. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại F. Gọi H là giao điểm của AC với BF. Đường thẳng qua H song song với BC tại I. Chứng minh rằng DA ED a. A DB FE b. HC2 HA.HE 1 1 1 c. E IH AB CF D F H Lời giải DA ED EA a. B I C DB FE EC HC HF HE b. HA HB HC IH IH IC BI c. 1 dpcm AB CF BC IC Bài 4: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD ). Gọi M là trung điểm của CD, gọi I là giao điểm của AM với BD, K là giao điểm của BM với AC, đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a. IK // AB A B b. EI = IK = KF K E F Lời giải I AI AB AB AK a. IK // MC IM DM MC KC D M C 4
5. IK EI DI KM CF KF b. Cú : EI IK KF AB AB DB MB CB AB Bài 5: Cho tam giỏc ABC, gọi D là điểm đối xứng với A qua B, E là điểm đối xứng với B qua C và F là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng: ABC, DFE cú cựng trọng tõm Lời giải - Dựa vào tõm đối xứng của hỡnh bỡnh hành PG 1 - Hướng dẫn: G là trọng tõm DFE   PM // FA  PN // AC  ANPC là hỡnh bỡnh GF 2 hành F Giải Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, DE, AB A CP là đường trung bỡnh của BDE N G 1 CP // BN CP // BD;CP BD BNCP B C 2 CP BN M E Là hỡnh bỡnh hành M là trung điểm NP P +) MN là đường trung bỡnh của ABC D 1 1 1 MN // AC;MN AC MP // AC;MP AC FA 2 2 2 MG PG MP 1 Theo định lý Ta Lột: G là trọng tõm của hai tam giỏc. GA GF FA 2 Bài 6: Cho hỡnh thang ABCD ( AB // CD, AB < CD ). AC cắt BD tại M. Kẻ qua M đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại I và K a. Chứng minh rằng: MI = MK b. Kẻ Bx // AD, Bx cắt AC, CD tại E, F Kẻ Ay // BC, Ay cắt BD, CD tại P, Q. Chứng minh rằng: DE // IK c. Biết AB = a, CD = b. Tớnh IK theo a và b 5
6. Lời giải IM AI A B a. Xột ADC, IM // CD ( Hệ quả TaLet) (1) CD AD M K I MK BK P E - Tương tự ta cú: (2) CD DC AI BK Lại cú: IK // AB // CD ( TaLet mở rộng ) (3) AD BC D F Q C Từ (1)(2)(3) IM MK BE BP b. Ta đi chứng minh: PE // DF FE PD BE AB BP AB Thật vậy: (AB // CF)(4); (AB // DQ)(5) FE FC PD DQ ABFD; ABCQ là cỏc hỡnh bỡnh hành AB DF CQ DQ CF(6) BE PB AB AB Từ (4)(5)(6) ( ) PE / DF (Ta Lột đảo ) FE PD FC DQ c. Ta cú: IK = 2 MI = 2 MK MK BM Xột BCD(MK // CD) (He.qua.TaLet)(1) CD BD MB AB a Xột MCD(AB // CD) (He.qua.TaLet)(1) MD CD b MB a BM a (2) MB MD a b BD a b MK a ab 2ab Từ (1)(2) MK IK CD a b a b a b Bài 7: Cho hỡnh hỡnh bỡnh ABCD, đường thẳng qua A cắt BD, CD, BC lần lượt tại E, I, K. CMR: A B a. AE2 EI.EK AE AE E b. 1 AI AK I C D 6 K
7. c. DI. BK khụng đổi Lời giải AE 2 AE AE BE DE a. AE 2 EI.EK  1  . 1 . 1 EI.EK EI EK ED EB AE AE AE EK b. 1  AI AK AI AK AE BE AE BE  EI DE AI BD AE EK AE AE EK AE Ta cú:  1 EK EB EK BE AI AK AI AK AK AK AE DE AK BD  DI.BK DI BK DE BE c. Ta cần chứng minh: DI.BK=AD.AB 1  . 1  . 1 AD.AB AB AD EB ED DI DE Chứng minh: Xột DEI, DI // AB (He.qua.Ta.Let)(1) AB EB BK BE Xột AED, AD // BK (He.qua.Ta.Let)(1) AD ED DI BK Từ (1)(2) . 1 DI.BK AB.AD ( khụng đổi ) AB AD Hoặc cỏch khỏc: DI DE AD DI.BK AB.AD ( khụng đổi ) AB EB BK Bài 8: Cho Tứ giỏc ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E. Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G a. Chứng minh rằng: EG // CD b. Giả sử AB // CD. Chứng minh rằng: AB2 CD.EG Lời giải OE OG A B a. Hướng dẫn: EG // CD  OD OC O E G 7 D C
8. OE OA  AE // BC OB OC OE OG  EG // CD ( TaLet đảo ) OB OG OD OC BG // AB OD OA  AB2 AB AB AB2 CD.EG  1  . 1 b. Hướng dẫn: CD.EG GE CD Giải: OA OB OG  . (BG // AD) OG OD OA AB OA OA OD CD OD AB // EG (1); AD // BD (2); AB // CD (3) EG OG OG OB AB OB AB OA OD CD Từ (1)(2)(3) AB2 CD.EG EG OG OB AB Bè TẬP TỰ LUYỆN: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, cú: AB = a, AC = b. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD cõn ở B và tam giỏc ACF vuụng cõn ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng a. AH = AK b. AH 2 BH.CK B. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1. Định lý: Trong tam giỏc, đường phõn giỏc cảu một gúc chia cạnh A đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy ABC(D BC)  DB AB  ˆ ˆ DC AC A1 A2  2. Chỳ ý: Định lý trờn vẫn đỳng đối với tia phõn giỏc ngoài của tam B D C giỏc D ' B AB (AB AC) A D 'C AC D B C DB AB 3. Chỳ ý 2: Nếu D thuộc BC mà: AD là phõn giỏc BAˆC DC AC 8
9. a c a c 4. Chỳ ý tớnh hất của tỉ lệ thức: b d a b c d Bài 1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AB > CD. Phõn giỏc trong cỏc gúc BAD cắt BD tại M. Phõn giỏc trong gúc ADC cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN // AD Lời giải A a B N - Ta cú: MB a BD a b 2.DI a b DM 2b b 1 1 (1) M I MD b MD b DM b DI a b D C Lại cú: NC DC a NC a AC a b 2AI a b AI 2b 1 1 (2) NA DA b NA b NA b AN b AN a b Từ (1)(2) MN // AD ( Ta Lột đảo ) Bài 2: Cho tam giỏc ABC, AB < AC, phõn giỏc trong AD, M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng: BP = CQ Lời giải MB AB *) Chỳ ý: Nếu M BC mà: AM là phõn giỏc gúc BAC MC AC a. Cỏch 1: BA BD CQ CM P (AD // PM ); (MQ // AD) BP BM CA CD BA CQ BD CM BD AB CQ A . . 1 CQ BP BP CA BM CD CD AC BP Q b. Cỏch 2: BP BA CA CQ BM BD CD CM BP CQ B D M C BM CM Bài 3: Khú: Cho tam giỏc vuụng ABC vuụng tại A cú trọng tõm G, phõn giỏc trong BD, biết GD  AC . Tớnh ABˆC 9
10. B Lời giải Lời giải M Gọi M, E lần lượt là trung điểm của BC và AG G DE EA EG GM EGD cõn tại E E Mặt khỏc, tam giỏc ABC vuụng tại A, cú AM = MB = C A D MC ABM cõn tại M ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ - Cú: GD // AB( AC) A1 G1(slt) DGE DEG BAM MBA Mˆ Eˆ AD AE 1 AB 1 1 ED // BC AB BC AB BM AM ˆ ˆ M , E : so.le.trong DC EM 2 BC 2 2 Vậy tam giỏc ABM là tam giỏc đều ABˆC 600 Bài 4: Khú: Cho tam giỏc ABC ( AB DE > BE Lời giải a. E nằm giữa B và K  KB EB K D 1 E I Ta cú: BD là phõn giỏc gúc B 2 2 1 1 AD AB AC AE AD AE M B C (1) DC BC BC EB DC EB AD AK AK AE AK AE AB AB Lại cú: DK // BC (2)  1 1  DC KB KB AB KB AB KB EB KB EB E nằm giữa B và K ˆ ˆ ˆ ˆ b. Cú: KD // BC KDB B1(slt) B2 KDB ˆ ˆ ˆ ˆ Lại cú E nằm giữa K và B EDB KDB EDB B2 EB ED ( cạnh đối diện với gúc lớn hơn ) 10
11. EDˆB Bˆ EDˆB Bˆ  2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ +) Cú: EDB E1 B1 C1  E1 C1 C2 CD ED BE(dpcm) EDˆB Bˆ 1  Bài 5: Cho tam giỏc ABC kẻ phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài của gúc B cắt AC ở I và D. Từ I và D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở M và N a. Tớnh AB và MN, biết: MI = 12cm, BC = 20cm b. Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BI tại E và cắt BD tại F,Chứng minh rằng: BI.IC AI.IE;CE CF Lời giải N B 4 1 3 M 2 20 12 F A I C D E a. Ta cú MBI cõn tại M MI MB 12(cm) AM MI 12 3 AB MB 3 AB 12 3 AB 30 Do MI // BC  AB BC 20 5 AB 5 AB 5 AM 18 b. Cú BD là phõn giỏc ngoài của AD AB 3 AN AD 3 30 BN 3 CBˆN ; BC // ND BN 60;MN 72 DC BC 2 BN CD 2 BN 2 BI AI BI IC c. Cú: EC // AB  . 1 BI.IC IE.AI IE IC IE AI 11
12. d. Hướng dẫn AB AD AB AB AB AI AB AB CE CF  (CF // AB)    CF CD CF BC CF IC CF EC Lời giải: IA AB AD AB +) FE // AB (1); (2) IC EC CD CF DA AB AB IA +) (tớnh.chat.phan.giac)(3) +) (tớnh.chat.phan.giac)(4) DC BC BC IC AB AB Từ (1)(2)(3)(4) EC FC(dpcm) EC CF C. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC 1. Trường hợp đồng dạng thứ nhất: Nếu ba cạnh của tam giỏc này tỉ lệ với ba cạnh của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng AB BC CA ABC : A' B 'C '(c.c.c) A' B ' B 'C ' C ' A' 2. Trường hợp đồng dạng thứ hai: Nếu hai cạnh của tam giỏc này tỷ lệ với hai cạnh của tam giỏc kia và hai gúc tạo bởi cỏc cặp cạnh đú bằng nhau, thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng với nhau AB BC A ; Bˆ Bˆ ' ABC : A' B 'C '(cgc) A' B ' B 'C ' A' B C B' C' 3. Trường hợp đồng dạng thứ ba: Nếu hai gúc của tam giỏc này lần lượt bằng hai gúc của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú đồng dạng 12
13. ˆ ˆ ˆ ˆ A A A'; B B ' ABC : A' B 'C '(g g) A' B C B' C' Bài 1: Cho tam giỏc ABC và điểm O thuộc miền trong tam giỏc. Qua điểm O vẽ cỏc đường thẳng song song với Ca, CB, AB chỳng lần lượt cắt cỏc cạnh AB, BC, CA tại D, E, F. Chứng minh rằng: A AD BF CF 1 P AB BC CA D Lời giải AD CN M F +) DN // AC (1) AB CB +) Tứ giỏc OFCN là hỡnh bỡnh hành CF CN(2) B E N C ON EN +) ABC : OEN(gg) (3) AC BC AD BE CF CN BE ON BC Từ (1)(2)(3) 1 dpcm AB BC CA CB BC CA BC Bài 2: Cho hai tam giỏc đều ABC và DEF cú điểm F thuộc đoạn BC, điểm A thuộc đoạn DE, B và E cựng phớa so với đường thẳng AF. Chứng minh rằng: CD // BE E A D Lời giải 2 1 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ M CD // BE  BED EDC 180  BEF MDC 60  E1 A1; A2 D2 MD MA MA MC Aˆ Dˆ  AMF : DMC(cgc)   2 2 MC MF MD MF N  AMD : FMC(g g) B F C - Chứng minh tương tự: ˆ ˆ ˆ ˆ 0 E1 A1 BED CDE 180 BE // CD 13
14. Bài 3: Cho tam giỏc ABC cõn tại A, M là trung điểm của BC. Cỏc điểm D và E thay đổi lần lượt thuộc cỏc cạnh AB, AC sao cho EMˆD ABˆC. Chứng A minh rằng khoảng cỏch từ M đến DE khụng đổi Lời giải Phõn tớch: E - Khoảng cỏch từ M đến DE bằng MH H D Ta đi chứng minh: MH MK  DM là phõn giỏc BDˆE 1 MD BD MD BD K  BDM : MDE(cgc)  ; Bˆ DMˆE(gt)  ME BM ME MC 1 B M C ˆ ˆ  BDM : CME(g g)  D1 M1 Giải: ˆ ˆ ˆ 0  B D1 BMD 180 MD BD BD ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ Ta cú: BMD DME M 1 180  D1 M1 BDM : CME(g g) ME CM BM ˆ ˆ Bˆ Mˆ B EMD(gt) 1  BDM : MDE(cgc) EDˆM BDˆM MD là phõn giỏc của BDˆE - Gọi K là hỡnh chiếu của M trờn AB suy ra K cố định do M cố định MH MK ( cố định ) BA DA 5 Bài 4: Trờn đường thẳng d lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự ấy sao cho: . Từ BC DC 4 MA 5 điểm M nằm ngoài đường thẳng d sao cho , Nối M với A, B, C, D. Qua C kẻ đường MC 4 thẳng a song song với MA, đường thẳng M a cắt tia MB, MD lần lượt tại I và K a. Biết MB = 6cm, MD = 8cm. Tớnh BD K 6 b. Tớnh chu vi tam giỏc ADM biết chu vi 8 tam giỏc ADM bằng chu vi tam giỏc KCD cộng thờm 6cm A B C 10 D 14 I
15. c. Chứng minh rằng C là trung điểm của IK Lời giải MA BA a. BM là phõn giỏc AMˆC MC BC DA MA 5 - Lại cú: MD là phõn giỏc gúc ngoài của xMˆC MB  MD ( hai tia phõn giỏc DC MC 4 của hai gúc kề bự ) BMD vuụng tại M BD 10 chuvi DMA DA 5 b. Xột ADM, cú CK // AM DCK : DMA(dinh.ly) (tinh.chat. : ) chuvi DCK DC 4 chuvi DMA 5 chuvi DAM chuvi DCK chuvi DAM chuvi DCK 6 chuvi DCK 4 5 4 1 AM AM BA DA 4 c. C là trung điểm của IK  CI CK   CI CK BC DC 5 Bài 5: Cho hỡnh chữ nhật ABCD, kẻ DH  AC  H . Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của BC, AH, DH A a. Tứ giỏc MNKC là hỡnh gỡ? B 1 N b. Chứng minh rằng: ADN : CDK H c. Chứng minh rằng: DN  MN M K 3 Lời giải 1 1 1 a. MC // NK // AD MNKC là hỡnh bỡnh hành D C 2 b. Hướng dẫn cõu b AN DK AN AD AH AD ADN : CDK  Aˆ Dˆ ;   ( dựa vào đồng dạng tam giỏc 1 1 AD DC DK DC DH DC vuụng Aˆ : chung  AD AH giải: Xột ADC, ADH cú:  (1) ˆ ˆ 0 ADC AHD 90  DC HD AN AH AD AN AD DC Xột AHD, NK // AD (2) DK HD DC DK AN DK 15
16. ˆ ˆ ˆ ˆ Lại cú: A1 D1 ADN : CDK(cgc) D3 C1 ( hai gúc tương ứng ) ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 c. DN  MN  DNM 90 DNK KNM D3 KCM C1 KCM 90 Cỏch khỏc: Chứng minh K là trực tõm DCN CK  DN;MN //CK MN  DN  N Bài 6: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, AB < AC, AH  BC  H,HD là phõn giỏc AHˆC(D AC) a. Chứng minh rằng: AB2 BH.BC AD AB b. DC BC c. Biết chu vi tam giỏc ABC là 24cm, chu vi tam giỏc AHC là 12cm, chu vi tam giỏc AHB là 9cm. Tớnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC C Lời giải AB BC a. AB2 BH.BC   ABC : HBA(gg) BH AB AD AB AH AH b.   ABH : CAH (gg) D H DC BC CH CH 12 c. 9 chuvi AHB AB 9 3 * 1 AHB : CHA(gg) k AB 3k; AC 4k(k N ) chuvi CHA AC 12 4 A B Xột ABC(Aˆ 900 ) BC 5k chuvi ABC 12k 24 k 2 AB 6; AC 8; BC 10 16
17. CÁC BÀI TOÁN TRONG ĐỀ THI LIấN QUAN ĐẾN TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AC > AB), đường cao AH ( H thuộc BC). Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC tại E a. Chứng minh rằng: BEC : ADC , tớnh độ dài đoạn BE theo AB = m b. Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng BHM : BEC . Tớnh AHˆM ? c. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh GB HD rằng: BC AH HC A Lời giải m a. BEC, ADC cú: m E 1 Cˆ : chung m 2 M Cần thờm: 45° CD CA B H G D C  CDE : CAB(g g) CE CB Vậy BEC : ADC(cgc) BEˆC ADˆC ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 +) AHD vuụng cõn theo giả thiết DAH 45 ADC 135 E1 45 ABE vuụng cõn tại A BE 2AB m 2 b. BEC, ADC cú: Bˆ : chung BH BE BH BM Cần thờm: ,hoac : : c g c BM BC BE BC BM 1 BE 1 AD - Ta cú: . (do : BEC : ADC) BC 2 BC 2 AC 17
18. +) AHD vuụng cõn tại H BM 1 AD 1 AH 2 AH BH AH BH BH AD 2AH (do : ABH : CBA ) (BE 2AB) BC 2 AC 2 AC AC. 2 BA. 2 AC BA BE Vậy BHM : BEC(cgc) BHˆM BấC=1350 AHˆM 450 GB AB c. Ta cú: ABE vuụng cõn tại A nờn AM là phõn giỏc BAˆC GC AC AB ED AH HD mà: ( ABC : DEC) (ED // AH ) (AH DH ) AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Vậy: GC HC GB BC HD HC BC AH HC Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a. Chứng minh rằng: BD.DC DH.DA HD HE HF b. 1 AD BE CF c. Chứng minh H là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc DEF d. Gọi M, N, P, Q, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, EF, FD, DE. Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy tại 1 điểm Bài 3: Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Trờn đường chộo BD lấy điểm P. Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P a. Tứ giỏc AMDB là hỡnh gỡ? b. Gọi E và F lần lượt là hỡnh chiếu của điểm M lờn AB. Chứng minh rằng EF // AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng c. Chứng minh rằng tỷ số cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật MEAF khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm P d. Giả sử CP vuụng gúc với BD và CP = 2,4 cm, tớnh cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật biết: PD 9 PB 16 18
19. Bài 4: [ Việt yờn – Bắc Giang – 30/04/2013 ]. Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn cạnh AB lấy điểm E và trờn cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH  BF(H BF), AH cắt DC và BC tại M, N a. Chứng minh rằng tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật 1 1 1 b. Biết S 4.S . Chứng minh rằng: AC = 2.EF c. Chứng minh rằng: BCH AEH AD2 AM 2 AN 2 Lời giải E A B H F C D M N 1 (2.0 Ta cú Dã AM = Ã BF (cựng phụ Bã AH ) điểm) AB = AD ( gt) Bã AF = Ã DM = 900 (ABCD là hỡnh vuụng) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nờn. AE = DM Lại cú AE // DM ( vỡ AB // DC ) Suy ra tứ giỏc AEMD là hỡnh bỡnh hành Mặt khỏc.Dã AE = 900 (gt) Vậy tứ giỏc AEMD là hỡnh chữ nhật Ta cú ΔABH : ΔFAH (g.g) 2 AB BH BC BH (2.0 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH 19
20. điểm) Lại cú Hã AB = Hã BC (cựng phụ Ã BH ) ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nờn BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đú: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú: AD AM AD CN = = CN MN AM MN Lại cú: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lột, ta cú: MN MC AB MC AD MC 3 = = hay = (2.0 AN AB AN MN AN MN 2 2 2 2 2 2 2 điểm) AD AD CN CM CN + CM MN + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) AM AN AM AN AD Bài 5: [ Yờn Phong – 20/03/2018 ]. Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn tia đối cả tia CD lấy điểm M bất kỳ ( CM < CD), vẽ hỡnh vuụng CMNP ( P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K a. Chứng minh rằng: DH  BM PC PH KP b. Tớnh Q BC DH MK c. Chứng minh rằng: MP.MK DK.BD MD2 Bài 6: [ Yờn Phong – 2015 - 2016 ]. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi E, F theo thứ tự là hỡnh chiếu của H trờn AC và AB. Cho D là 1 điểm trờn BC. Gọi M, N theo thứ tự là hỡnh chiếu của D trờn AB và AC. Chứng minh rằng AC 2 HC a. AC 2 CH.BC; AB2 HB CE AC3 b. BF AB3 20
21. c. DB.DC MA.MB NA.NC Bài 7: [ Chương Mỹ, 2018 - 2019 ]. Cho ∆ABC cú Bã AC 900 , AB < AC, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cạnh AB và AC. a. Chứng minh rằng: MN = AH b. Chứng minh rằng: AM.AB = AN.AC = AH2 c. Gọi K là giao điểm của NM và BC. Chứng minh rằng: KB.KC = KH2; d. Gọi O là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN và AH. Chứng minh rằng OI vuụng gúc với AK. AH 40 AB e. Giả sử AO 41 . Tớnh tỉ số AC C O N H I B A M K HM ⊥ AB tại M (vỡ M là hỡnh chiếu của H trờn AB)  ãAMH 900 HN ⊥ AC tại N (N là hỡnh chiếu của H trờn AC) a)  ãANH 900 2đ Xột tứ giỏc AMHN cú ãAMH ãANH Mã AN 900  AMHN là hỡnh chữ nhật  AH = MN (t/c hỡnh chữ nhật) b) Ta cú AMHN là hỡnh chữ nhật (CMT) 2đ  ãAHM ãANM (t/c hỡnh chữ nhật) 21
22. Mà ãAHM ãABH (cựng phụ với gúc HAB)  ãANM ãABH hay ãANM ãABC Xột ∆ANM và ∆ABC cú Gúc A chung, ãANM ãABC  ∆ANM đồng dạng với ∆ABC (gúc – gúc) AN AM  AB AC  AM.AB = AN.AC Chứng minh được: AM.AB = AH2 Chứng minh ∆KHM đồng dạng với ∆KNH (gúc K chung, gúc KHM = gúc KNH cựng bằng gúc HAB) KH KM  KH 2 KM.KN (1) c) KN KH 1đ Chứng minh ∆KMB đồng dạng với ∆KCN (gúc K chung, gúc KMB bằng gúc C cựng bằng gúc AMN)  KM.KN = KB.KC (2) Từ (1) và (2) => KH2 = KB.KC ∆ABC vuụng tại A, trung tuyến AO  AO = OB = OC (t/c trung tuyến ∆ vuụng)  ∆OAC cõn tại O =>Oã AC Oã CA (T/c ∆ cõn) Mà Oã CA ãAMN (∆ANM đồng dạng với ∆ABC) d)  Oã AC ãAMN 1đ Mà ãANM ãAMN 900  Oã AC ãANM 900 => OA ⊥ MN hay OA ⊥ KN Xột ∆KAO Cú AH ⊥ KO, KN ⊥ OA mà AH cắt KN tại I => I là trực tõm ∆KAO => OI ⊥ AK AH 40 AH AO t AO 41 40 41  AH = 40t, AO = 41t Xột ∆HAO vuụng tại H ta cú: e) OA2 = OH2 + AH2 (đli Pitago) 1đ OH 2 = OA2 – AH2 = (41t)2 – (40t)2 = 81t2  OH = 9t Mà OA = OB = OC (t/c trung tuyến ∆ vuụng ABC)  OC = 41t => HC = 41t + 9t = 50t Chứng minh: ∆HAC đồng dạng với ∆ABC (g.g) 22
23. HA HC AB HA 40t 4  AB AC AC HC 50t 5 Bài 8: [ Vĩnh Lộc, 2016 - 2017 ]. Cho tam giỏc ABC phõn giỏc AD. Trờn nửa phẳng khụng chứa A bờ BC, vẽ tia Cx sao cho 1 Bã CX = Bã AC . Cx cắt AD tại E ; I là trung điểm DE. Chứng minh rằng : 2 a. ΔABD đồng dạng với ΔCED b. AE2 > AB.AC c. 4AB.AC = 4AI2 – DE2 d. Trung trực của BC đi qua E Lời giải A B D C I E a) Xột ABD và CED cú: 1 Bã AD Bã CE( Bã AC) 2 ãADB Cã DE (đối đỉnh)=> ABD : CED (g -g) b) Xột ABD và AEC cú: 1 Bã AD Eã AC( Bã AC) 2 23
24. ãABD ãAEC ( ABD = CED) => ABD : AEC (g-g) AB AE => => AB.AC = AD.AE AB.AC c) Ta cú: 4AI2 - DE2 = 4AI2 - 4DI2 = 4(AI - DI)(AI +DI) = 4AD(AI + IE) = 4AD.AE Mà AD.AE = AB.AC (cõu b) => 4AB.AC = 4AI2 - DE2 d) Chứng minh trung trực của BC qua E. +) ABE : ADC AB AD Bã AD Dã AC ; ( AD.AE = AB.AC) => ABE : ADC (c.g.c) => ãAEB ãACB AE AC + ) BDE; ADC Bã DE ãADC (đối đỉnh) Bã ED ãACD => BDE : ADC (g-g) => Dã BE Dã AC Bã CE => BEC cõn tại E => Trung trực BC qua E Bài 9: [ Cẩm Thủy, 2013 - 2014 ]. Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khỏc B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N . Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM. a. Chứng minh : ∆OEM vuụng cõn. b. Chứng minh : ME // BN. c. Từ C kẻ CH  BN ( H BN). Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng. Lời giải A E B 1 24 1 2 O 3 M H' H 1 D C N
25. Xột ∆OEB và ∆OMC Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC à à 0 Và B1 C1 45 a BE = CM ( gt ) 3 Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c .g.c) đ à ả OE = OM và O1 O3 ả ả ã 0 Lại cú O2 O3 BOC 90 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng ả à ã 0 O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuụng cõn tại O Từ (gt) tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng AB = CD và AB // CD AM BM + AB // CD AB // CN ( Theo ĐL Ta- lột) (*) MN MC b Mà BE = CM (gt) và AB = CD AE = BM thay vào (*) 2đ AM AE Ta cú : ME // BN ( theo ĐL đảo của đl Ta-lột) MN EB Gọi H’ là giao điểm của OM và BN Từ ME // BN Oã ME Oã H ' E ( cặp gúc so le trong) Mà Oã ME 450 vỡ ∆OEM vuụng cõn tại O 25
26. ã 0 à MH ' B 45 C1 ∆OMC : ∆BMH’ (g.g) c 1đ OM MH ' ,kết hợp Oã MB Cã MH ' ( hai gúc đối đỉnh) OB MC ∆OMB : ∆CMH’ (c.g.c) Oã BM Mã H 'C 450 Vậy Bã H 'C BãH 'M Mã H 'C 900 CH '  BN Mà CH  BN ( H BN) H  H’ hay 3 điểm O, M, H thẳng hàng ( đpcm) Bài 10: [ Duy Tiờn, 2012 - 2013 ]. Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE=AF. Cỏc đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N. a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng: Mã KN 900 c) Cỏc điểm E và F cú vị trớ như thế nào thỡ MN cú độ dài nhỏ nhất? Lời giải K A B F E N D C M a) Vỡ ABCD là hỡnh vuụng AB / /CD AB / /CN,AB / /ND EC AF AD BC mà AF EC FD BE (1) BE FD 26
27. CM CE Vỡ AB//CM (2) AB BE AB AF Vỡ AB//DN (3) DN FD CM AB Từ (1)(2)(3) CM.DN AB2 a 2 AB DN CM AB CM AD b) Theo cõu a, ta cú: (vỡAD BC AB) AB DN BC DN Do đú CMB : DAN (c.g.c) Cã MB Dã AN (4) Mà Dã AN Ã ND 900 (Vỡ DADN vuụng tai D) (5) Từ (4)(5) Cã MB Ã ND 900 Do đú Mã KN 900 c) Áp dụng BĐT cụsi ta cú DN CM 2 DN.CM 2 a 2 2a (Vỡa 0) DN CM CD 3a (VỡCD a) hay MN 3a CE AF CM a Dấu "=" xảy ra khi DN = CM = a. Khi đú 1 BE FD AB a CE BE hay AF FD Vậy khi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD thỡ MN cú độ dài nhỏ nhất là 3a Bài 11: [ Gia Viễn, 2014 - 2015 ]. Cõu 4. (6,5 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD, trờn tia đối của tia CD lấy điểm M bất kỡ (CM < CD), vẽ hỡnh vuụng CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt BD tại K. a) Chứng minh: DH vuụng gúc với BM. PC PH KP b) Tớnh Q = BC DH MK c) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2 Lời giải 27
28. A B K H P N D C M a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuụng gúc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 - CM: DPC = BMC (cgc) - Chứng minh được BHP = 900 PC PH KP b) (2,0 điểm) Tớnh Q = BC DH MK - CM : MP  BD 1 .DM .PC PC S - 2 PDM ; BC 1 S .DM .BC BDM 2 1 1 .DB.KP .DB.KP PH S PH S Tương tự : 2 PBM 2 PBD DH 1 S DH 1 S .DB.MK BDM .DB.MK BDM 2 2 S S S Q = PDM PBM PBD 1 S BDM c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2 - CM: MCP  MKD (g.g) MP . MK = MC . MD (1) - CM: DBC  DKM (g.g) DK . BD = DC. DM (2) - Từ (1) và (2) MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC) MP . MK + DK . BD = DM2 28