Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Bất đẳng thức cauchy (am – gm)

Nội dung text: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - Bất đẳng thức cauchy (am – gm)

1. BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM) I.LÝ THUYẾT 1. Tên gọi: Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si. 2. Định nghĩa: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau. 3. Tổng quát: Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau: a b Với a,b 0 thì ab , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 2 a b c Với a,b,c 0 thì 33 abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c 3 II.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC Bài 1: Cho x, y, z 0 , CMR : x y y z z x 8xyz HD: Áp dụng Cô si cho hai số x, y 0 , ta có: x y 2 xy , y z 2 yz Làm tương tự ta sẽ có : , Nhân theo vế ta được: x y y z z x 8xyz z x 2 zx x y Dấu “ = “ khi và chỉ khi: y z x y z z x Bài 2: Choa,b,c 0 và abc 1 , CMR: a 1 b 1 c 1 8 HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a 1 2 a b 1 2 b Tương tự ta sẽ có : a 1 b 1 c 1 8 abc 8 c 1 2 c Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c 1 Bài 3: Cho a,b không âm. CMR: a b ab 1 4ab HD : Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,b , ta có : a b 2 ab Tương tự : ab 1 2 ab , nhân theo vế ta được : a b ab 1 4ab a b Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b 1 ab 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. x y z Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: 3 y z x HD: x2 yz x y z x y z x y z 2 Ta có: 33 . . 3 , Dấu bằng khi y xz x y z y z x y z x y z x 2 z xy Bài 5: CMR: a4 b4 c4 d 4 4abcd , Với mọi a,b,c,d HD : 4 Vì a4,b4,c4,d 4 là 4 số dương => a4 b4 c4 d 4 4 4 abcd 4abcd Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c d Bài 6: Cho a,b,c,d 0;abcd 1 . CMR: a2 b2 c2 d 2 ab cd 6 HD : a2 b2 2ab Ta có : a2 b2 c2 d 2 ab cd 3 ab cd 3.2 abcd 6 2 2 c d 2cd Dấu “ = “ khi và chỉ khi a2 b2 c2 c b a Bài 7: CMR: b2 c2 a2 b a c HD: a2 b2 a2 b2 a Áp dụng Cô si cho hai số không âm ; , ta có : 2. , b2 c2 b2 c2 c b2 c2 b c2 a2 c Tương tự : 2. , và 2. c2 a2 a a2 b2 b a2 b2 c2 a b c Cộng theo vế ta được : 2 2 2 2 2 VT VP b c a c a b Dấu “ = “ xảy ra khi: a b c bc ca ab Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR: a b c a b c HD : bc ca b a Ta có : c 2c , a b a b ca ab c b ab bc a c Tương tự ta có : a 2a và b 2b b c b c c a c a Cộng theo vế ta được : 2VT 2VP a b c 1 1 1 1 Bài 9: Cho a,b,c 0 . CMR : 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2 a b c HD: Áp dụng Cô si cho hai số a2 ,b2 0 , ta có : a2 b2 2ab Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. Làm tương tự ta sẽ 2 2 b c 2bc a b c 1 1 1 1 1 1 1 có VT Dấu “ = “ khi và chỉ 2 2 c a 2ca 2ab 2bc 2ca 2b 2c 2a 2 a b c a b khi: b c a b c c a 1 1 1 Bài 10: CMR: Với mọi a,b,c 0 , thì a b c 9 a b c HD: 1 1 1 1 Áp dụng Cô si cho ba số a,b,c 0 , ta có : a b c 33 abc và 33 a b c abc 1 1 1 Nhân theo vế ta có: a b c 9 a b c a b c Dấu “ = “ khi và chỉ khi : 1 1 1 a b c a b c Bài 11: Cho a,b,c 0 và a b c 3 , a b c 3 1 1 1 CMR : 1 a2 1 b2 1 c2 2 1 a 1 b 1 c HD: 1 a2 2a 2 a b c a b c 3 Ta có: 1 b 2b 1 a2 1 b2 1 c2 2a 2b 2a 2 2 1 c 2c 1 a x 1 1 1 3 Đặt 1 b y x y z a b c 3 6 =>B , x y z 2 1 c z 1 1 1 1 1 1 9 9 3 Khi đó: x y z 9 x y z x y z x y z 6 2 a b c 3 Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: b c c a a b 2 HD: 1 1 1 Ta có : Áp dụng bất đẳng thức : x y z 9 x y z x a b 1 1 1 Đặt y b c 2 a b c 9 a b b c c a z c a a b c a b c a b c 9 a b c 9 3 3 a b b c c a 2 b c c a a b 2 2 a b 1 3 Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: b 1 a 1 a b 2 HD : a b 1 1 1 1 VT 1 1 1 3 a b 1 3 b 1 a 1 a b b 1 a 1 a b Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. 1 1 1 1 9 3 a 1 b 1 a b 3 3 2 a 1 b 1 a b 2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. a b c Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR: 3 b c a c a b a b c HD : abc Ta có : VT 33 b c a c a b a b c Lại có : b c a c a b 2 b c a c a b 2c 2 b c a c a b , Tương tự ta có : a c a b a b c và b b c a a b c abc =>abc b c a c a b a b c => 1 VT 33 1 3 b c a c a b a b c 1 1 1 a b c Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: a2 bc b2 ac c2 ab 2abc HD : Co si cho hai số : a2 ,bc , Ta được: 2 1 1 2 1 1 1 a bc 2a bc 2 2 a bc 2a bc a bc 2 ab bc Tương tự ta có : 2 1 1 1 2 1 1 1 2 và 2 b ac 2 ab bc c ab 2 ca cb 1 1 1 a b c a b c Cộng theo vế ta được : 2VT VT ab bc ca abc 2abc Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. Dạng 2: TÌM ĐIỂM RƠI CỦA BĐT AM- GM 1. Nhận dạng xử lý: - Với bài toán có điều kiện của ẩn, thì điểm rơi thường là điểm biên của ẩn - Với các ẩn có vai trò như nhau trong biểu thức thì điểm rơi là các ẩn đó có giá trị bằng nhau. 2. Phương pháp : - Thay giá trị điểm rơi vào 1 biểu thức muốn AM – GM, để tách biểu thức đó sao cho Cô si xảy ra dấu bằng. - Ta có thể hạ bậc hoặc nâng bậc của biểu thức để Cô si để biểu thức sau khi Cô si được như ý. Dạng 2.1: Điểm rơi cho Cô - si hai số 1 5 Bài 1: Cho a 2,CMR : a a 2 HD : 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi : a = 2 => k.a k.2 k a 2 4 1 1 a 3a a 3a 3a 3 5 Khi đó ta có : a 2 1 1 a a 4 4 4a 4 4 2 2 1 a Dấu bằng khi a 4 a 2 a 2 1 Bài 2: Cho a 3 , Tìm GTNN của: S a a HD : 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi : a 3 k.3 k a 3 9 1 a 8a 2 8.3 2 8 10 Khi đó ta có : S a 9 9 9 9 3 3 3 10 Vậy Min S 3 1 Bài 3: Cho x 1 , Tìm GTNN của: A 3x 2x HD : 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi x 1 k.3 k 2x 2 6 1 3x 5x 2 5.1 5 7 Khi đó : A 1 2x 6 2 4 2 2 2 1 1 Bài 4: Cho a,b > 0, a b 1,CMR : a b 5 a b HD : a b 1 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi a b 2 k. k 4 a b 2 a 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. 1 1 1 1 Khi đó : VT a b 4a 4b 3 a b a b a b 2 4 2 4 3 a b , Mà a b 1 3 a b 3 VT 4 4 3 5 Bài 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn : x 3; y 3 . 1 1 Tìm GTNN của biểu thức : A 21 x 3 y y x HD : x2 y2 Bài 6: Cho x 2y 0, Tìm GTNN của: P xy HD : x y x 1 Ta có : P , đặt a a 2 P a y x y a 1 1 1 1 a 3a Dự đoán dấu bằng khi : a 2 k.2 k P a 2 4 a 4 4 2 3.2 3 5 P 1 4 4 2 2 1 1 1 Bài 7: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm GTNN của: A a b c a b c HD : 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi : a 10 k.10 k , Tương tự với b và c, a 10 100 Khi đó ta có : 1 a 99a 2 99.10 101 B , Tương tự với b và c a 100 100 100 100 10 Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 1 , 1 1 1 Tìm GTNN của: P a b c a b c HD : 1 1 1 1 Dấu bằng khi a b c , Khi đó P 9a 9b 9c 8 a b c 3 a b c P 2 9 2 9 2 9 8 a b c Mà a b c 1 8 a b c 8 Vậy P 6 6 6 8 10 3 Bài 9: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c , 2 1 1 1 Tìm GTNN của: P a b c a b c HD : 1 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi : a b c P 4a 4b 4c 3 a b c 2 a b c 3 15 P 4 4 4 3. 2 2 Bài 10: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 1 , 1 1 1 Tìm GTNN của: P a b c 2 a b c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. HD : 1 Dự đoán dấu bằng khi a b c 3 2 2 2 Khi đó: P 18a 18b 18c 17 a b c P 19 a b c 1 Bài 11: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn: a b 1 , Tìm GTNN của: S ab ab HD : 1 1 Dự đoán dấu bằng khi : a b 4 16ab 2 ab 1 Khi đó ta có : S 16ab 15ab 2 16 15ab ab 1 15 mà a b 2 ab 1 2 ab ab 15ab 4 4 15 15 17 Vậy S 2.4 8 4 4 4 33 Bài 12: Cho x,y dương thỏa mãn: x y 4 , Tìm GTNN của: P x2 y2 xy HD : 33 k Dự đoán dấu = khi: x y 2 khi đó: P 2xy , nên 2xy 8 k 32 khi đó: xy 4 32 1 1 1 4 1 1 P 2xy 2 64 , Mà: P 2.8 xy xy xy xy x y 2 4 4 1 1 Bài 13: Cho a,b 0,a b 1 , Tìm GTNN của P a2 b2 a2 b2 HD: 1 Dấu = khi a b 2 1 1 2 1 15 1 15 P a2 b2 ab ab Ta có: 2 2 2 2 2. a b ab 8ab 8ab 4 8ab 1 1 15 15 Mà 1 a b 2 ab ab 4 , Thay vào P ta được: 4 ab 8ab 2 15 17 P 1 2 2 a b ab Bài 14: Cho a,b 0 . Tìm GTNN của: P ab a b HD : a b ab Dự đoán dấu bằng khi : m ab a b m 4 a b a b ab 3 a b 1 3.2 ab 3.2 5 Khi đó ta có : P . 2 1 4 ab a b 4 ab 4 4 ab 4 2 1 Bài 15: Cho x 0 , Tìm GTNN của A 4x2 3x 2019 4x HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. 1 Bấm máy, Cho x chạy từ 0 đến 5, Tìm ra điểm rơi x 2 1 2 1 Biến đổi A 4x2 4x 1 x 2018 2x 1 2 2018 2019 4x 4 5 4 1 Bài 16: Cho a,b 0,a b , Tìm GTNN của A 4 a 4b HD : 1 Bấm máy tính, Tìm điểm rơi là : a 1;b 4 4 1 5 Khi đó : A 4a 4b 4 a b 2 16 2 1 4. 5 a 4b 4 6 8 Bài 17: Cho a b 0,a b 6 , Tìm GTNN của A 3a 2b a b HD : Bấm máy, tìm điểm rơi là : a 2;b 4 Khi đó ta có : 6 8 6 3a 8 b 3 3 A 3a 2b a b 2 9 2 4 .6 19 a b a 2 b 2 2 2 10 8 Bài 18: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn: x y 6 , Tìm GTNN của: P 5x 3y x y HD : Dấu bằng khi :x y , Bấm máy , Tìm điểm rơi là x 2, y 4 10 1 8 1 Khi đó ta có : x 2 5 k.5.2 k ,, 2 3.4.h h x 2 4 6 10 5x 8 3y 5x 5y 5 => P 2.5 2.2 .6 29 x 2 y 6 2 2 2 2 3 Bài 19: Cho x, y 0 và x 2y 2 , Tìm GTNN của A 2x2 16y2 x y HD : 1 Dự đoán điểm rơi :x 2y 2 x 2 2y Thay vào A, bấm máy cho ta x 1; y 2 2 2 2 3 2 3 2 3 Khi đó : A 2 x 1 4 4y 1 6 4x 16y 4x 16y x y x y x y Bài 20: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn :a 2b 3c 20 , 3 9 4 Tìm GTNN của: P a b c a 2b c HD : Bấm máy, tìm điểm rơi là : a 2;b 3;c 4 3 3a 9 b 4 c a b 3c Khi đó : P a 4 2b 2 c 4 4 2 4 1 1 P 3 3 2 a 2b 3c 8 .20 4 4 a2 b2 Bài 21: Cho a,b 0 thỏa mãn : a 2b , Tìm GTNN của biểu thức A ab Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. HD : a b a 1 Ta chia xuống, được : A , Đặt t, t 2 , Khi đó A t b a b t t 1 3t 2 3.2 5 Dấu bằng xảy ra khi t 2 , Nên A 4 t 4 4 4 2 x2 2y2 Bài 22: Cho x, y 0 thỏa mãn: xy 4 2y , Tìm GTNN của A xy HD: x 1 Từ 2y xy 4 4 xy y 2 x y 4 x 2y x 1 Từ A chia xuống ta được: A , Đặt t, t y x y 4 2 1 Khi đó A t , Dấu = khi t t 4 2a2 b2 2ab Bài 23: Cho a,b 0 thỏa mãn: a 2b . Tìm GTNN của P ab HD: 2.a b a 1 Ta chia xuống, được: P 2 , Đặt t, t 2 , Khi đó P 2t 2 b a b t 1 t 7t 2 7.2 5 Dấu bằng xảy ra khi t 2 P 2 2 t 4 4 4 4 2 1 1 2 Bài 24: CMR với mọi a,b > 0 thỏa mãn: ab=1, ta có BĐT: 3 a b a b HD : a b 2 2 a b a b 2 2 ab Ta có : a b 2 1 2 3 ab a b a b 2 2 a b 2 a2 b2 c2 Bài 25: CMR: với a,b,c > 0 thì : a b c b c a HD: a2 b2 c2 Ta có: b c a a b c 2a 2b 2c a b c a b c VP b c a a b c 1 1 1 Bài 26: Cho a,b,c>0, CMR: b2 c2 a2 a b c HD : a 1 2 b2 a b b 1 2 1 1 1 1 1 1 Ta có : 2 VT 2 => ĐPCM c b c a b c a b c c 1 2 2 a c a a2 b2 c2 a b c Bài 27: Cho a,b,c > 0, CMR: b c c a a b 2 HD : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. a2 b c b2 c a c2 a b Ta có : a , Tương tự ta có : b và c b c 4 c a 4 a b 4 Cộng theo vế ta được : a b c a b c VT a b c VT 2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. a2 b2 c2 a b c Bài 28: Cho a,b,c 0 , Chứng minh rằng: b 2c c 2a a 2b 3 HD: a2 a2 a 1 Dự đoán dấu = khi a b c , Khi đó: k. b 2c k.3a k b 2c 3a 3 9 a2 b 2c a2 2a Ta biến đổi: 2. , làm tương tự và cộng theo vế ta được: b 2c 9 9 3 3 a b c 2 a b c 2 a b c a b c a b c VT VT 9 3 3 3 3 x2 y2 z2 Bài 29: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: P y z x z x y HD : 2 x2 1 y z Dự đoán dấu bằng khi x y z , Khi đó : k 4 3 y z 3 k x2 y z x y z x y z Nên : x , Tương tự ta có : P x y z P 1 y z 4 2 2 x2 y2 Bài 30: Cho x,y > 1, CMR : 8 y 1 x 1 HD : x2 x2 Dự đoán dấu bằng khi x y , Thay vào ta được : 8 x y 2 x 1 x 1 x2 y2 Khi đó : 4 y 1 4x và 4 x 1 4y y 1 x 1 VT 4 x y 4 y 1 4 x 1 8 a3 b3 c3 Bài 31: Cho a,b,c > 0, CMR : ab bc ca b c a HD: 3 3 3 a 2 b 2 c 2 2 2 2 Ta có: b c a a b c b c a a3 b3 ab a b Mà: a a b a2 ab b b b3 c3 Tương tự => c2 b2 bc, a2 c2 ca c a Khi đó VT a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca a3 b3 c3 a2 b2 c2 Bài 32: Cho a,b,c 0 , Chứng minh rằng : P b 2c c 2a a 2b 3 HD: Dấu bằng khi a b c , và để sau khi Cô si vẫn còn a2 thì ta làm như sau: a2 a b 2c 2.a2 Xét , Làm tương tự và cộng theo vế ta được: b 2c 9 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
13. 3 ab bc ca 2 2 ab bc ca P a2 b2 c2 P a2 b2 c2 9 3 3 3 2 2 2 2 a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 P 3 3 a2 b2 c2 P 3 Bài 33: Cho x, y 0, xy 6, y 3 , Tìm GTNN của P x y 2019 HD : Dự đoán điểm rơi tại y 3, x 2 , Khi đó y x 1 , Cô si cho hai số x 1; y 0 , ta được : P x 1 y 2018 2 y x 1 2018 2. xy y 2018 2 6 3 2018 2024 Bài 34: Cho x, y 0, x y 1 , Tìm GTLN và GTNN của A x2 y2 HD: x2 x Ta có: 0 x, y 1 A x y 1 2 y y 1 Mặt khác, dự đoán dấu “=” khi x y , 2 1 x2 x 4 1 1 Khi đó: A x y 1 A 1 2 2 y2 y 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
14. Dạng 2.2 : Điểm rơi cho Cô- si 3 số 1 Bài 1: Cho a 2, Tìm Min của: S a a2 HD : 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi a = 2 => h.2 h , Khi đó ta có : a2 4 8 a a 1 3a 1 3.2 3 6 9 3 S 2 3 8 8 a 4 64 4 4 4 4 3 Bài 2: Cho a 2 , Tìm GTNN của : P x x3 HD : 3 3 3 Dự đoán dấu = khi x 2 , Khi đó : k.x 2k k x2 4 8 3 3x 3x x 3 3x 3x x 1 2 9 2 11 3 Khi đó : P 2 2 3.3. x 8 8 4 x 8 8 4 64 4 4 4 4 1 1 Bài 3: Cho 0 a , Tìm Min của: S 2a 2 a2 HD ; 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khia 4 k.2. k 4 , Khi đó ta có : 2 a2 2 1 3 1 S 2 8a 8a 14a 3 64 14a , mà a 14a 7 S 3.4 7 5 a 2 1 1 Bài 4: Cho a,b là các số thực thỏa mãn: a b 1 , Tìm min của A a b a2 b2 HD : 1 1 1 Dự đoán dấu bằng khi a b A 8a 8a 2 8b 9b 2 15 a b 2 a b S 3.4 3.4 15.1 9 3 1 1 1 Bài 5: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a b c , Tìm Min P a b c 2 a2 b2 c2 HD : 1 Dấu bằng khi a b c 2 1 1 1 Khi đoa : P 8a 8a 2 8b 8b 2 8c 8c 2 15 a b c a b c 3 45 27 P 3.4 3.4 3.4 15. 36 2 2 2 3 1 1 1 Bài 6: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: a b c , Tìm Min: A a2 b2 c2 2 a b c HD : 1 Dấu bằng khi : a b c 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 3 1 1 1 P a b c 8a 8a 8b 8b 8c 8c 4 a b c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
15. 3 3 3 3 9 27 P 4 4 4 4 a b c 4 3 4 Bài 7: Cho x 2 , Tìm GTNN của : P 2x x x2 HD : 4 1 Dự đoán dấu = khi x 2 , Khi đó : 1 k.x k.2 k , Vậy ta tách : x2 2 x x 3 4 4 x x 3 3 3 3 P x 2 2 x , lại nhẩm tiếp : k.x k.2 k 2 2 x x x 2 2 x x 2 4 4 x x 3 3x x 9 2 1 13 Nên P 2 3 2 3 3 x 2 2 x 4 4 4 4 2 2 Bài 8: Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: a b c 1 , a3 b3 c3 Tìm Min của: A 1 a 2 1 b 2 1 c2 HD : 1 Dấu bằng khi a b c Khi đó : 3 a3 1 a 1 a 3 b3 1 b 1 b 3 a , Tương tự ta cũng có : b 1 a 2 8 8 4 1 b 2 8 8 4 c3 1 c 1 c 3 c 1 c 2 8 8 4 Bài 9: Cho a,b,c 0 , thỏa mãn : ab bc ca 3 , a3 b3 c3 Tìm GTNN của P 1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b HD : Dự đoán dấu bằng khi a b c 1 a3 1 b 1 c a3 3a Xét 3.3 , Làm tương tự và cộng theo vế ta được : 1 b 1 c 8 8 64 4 a 1 b 1 c 1 3 a b c 3 a b c a b c 3 a b c 3 P P 4 4 4 4 4 2 4 2 3 3 3 Mà a b c 3 ab bc ca 9 a b c 3 , Thay vào P ta được : P 2 4 4 x3 y3 z3 Bài 10: Cho x, y,z 0 thỏa mãn : xy yz zx 3 , Tìm GTNN của : P y 1 z 1 x 1 HD : Dự đoán dấu bằng khi x y z 1 x3 y 1 1 3.x Xét , Làm tương tự và cộng theo vế ta được : y 1 4 2 2 x y z 3 3 3 x y z 5 x y z 9 P P 4 4 2 2 4 4 2 Mà x y z 3 xy yz zx 3.3 9 x y z 3 , Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
16. 5.3 9 3 Thay vào P ta được : P 4 4 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
17. Bài 11: Cho x, y,z 0 thỏa mãn: x y z 11 , Tìm GTNN của P x3 4y3 9z3 HD: Các thầy cô có thể bấm máy tính để tìm điểm rơi. Hoặc phân tích theo cách như sau: Dự đoán x a, y b,z c a b c 11 và P k x y z Áp dụng cô si cho 3 số x3,a3,a3 ta được: x3 a3 a3 3xa2 (1) Tương tự ta cũng có : y3 b3 b3 3yb2 (2) Và z3 c3 c3 3zc2 (3) Để có được biểu thức P ta cộng (1) 4.(2) 9(3) ta được : x3 2a3 4 y3 2b3 9 z3 2c3 3 a2 x b2 y c2z P 2 a3 4b3 9c3 3 a2 x 4b2 y 9c2z , đồng nhất với k x y z ta được : a2 4b2 9c2 a 2b 3c , mà a b c 11 a 6 x,b 3 y,c 2 z Giờ ta quay lại làm hoàn thiện bài toán như sau : x3 63 63 3.36x (4) , y3 33 33 3.9y (5) và z3 23 23 3.4z (6) Cộng (4) 4.(5) 9.(6) x3 4y3 9z3 2.63 8.33 18.23 108 x y z 11.108 P 396 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
18. Dạng 3: CÔ SI NGƯỢC DẤU a b Bài 1: Cho a,b 0;a b 4ab . Tìm GTNN của A 4b2 1 4a2 1 HD: 1 Dấu bằng xảy ra khi a b 2 1 1 Nếu co si mẫu thì ta được: 4b2 1 4b , Như vậy ta không thể tìm được 4b2 1 4b GTNN Khi đó ta biến đổi: 4ab2 4a2b 4ab2 4a2b A a 2 b 2 a b a b 2ab 4ab 2ab 2ab 4b 1 4a 1 4b 4a 2 2 Mà a b 4ab a b a b a b 0 a b 1 Vì a,b 0 a b 0 1 1 Khi đó : 4ab a b 1 2ab A 2 2 1 1 1 Bài 2 : Cho x, y,z 0 và x y z 3 , Tìm GTNN của : P x2 1 y2 1 z2 1 HD : Dự đoán dấu bằng khi x y z 1 1 1 Nếu Cô si dưới mẫu thì ta được : x2 1 2x thì ta đều không tìm ra được x2 1 2x GTNN. 1 1 1 9 9 Cách 1: Ta có thể áp dụng BĐT P a b c a b c x2 y2 z2 3 2 2 x y z 9 Mà x y z 3. x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 , Thay vào P ta được : 3 3 9 3 P 3 3 2 1 x2 1 x2 x2 Cách 2: Hoặc ta biến đổi : 1 , Rồi mới Cô si dưới mẫu : x2 1 x2 1 x2 1 x2 x2 x2 x Khi đó ta có : x2 1 2x 1 1 , làm tương tự và cộng theo vế : x2 1 2x x2 1 2 x y z 3 3 P 3 3 2 2 2 x2 y2 z2 Bài 3 : Cho x, y,z 0 và x y z 3 , Tìm GTNN của P x 2y3 y 2z3 z 2x3 HD : Dự đoán dấu = khi x y z 1 3 3 x2 x.x x x 2y 2xy 2xy3 Xét x , Vì dấu = khi x y z x 2y3 x 2y3 x 2y3 x 2y3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
19. Nên dưới mẫu ta phải Cô si cho 3 số : 2xy3 2y.3 x2 x y3 y3 3.3 xy6 3.y2 3 x x x x 2y3 3 2 Làm tương tự và cộng theo vế ta được : P x y z y 3 x2 z 3 y2 x 3 z2 3 2xy y Mà 3y 3 x2 3.3 x2 y3 xy xy y y 3 x2 , Làm tương tự và công theo vế ta có : 3 3 2 xy yz zx x y z P 3 , 2 3 3 2 Và x2 y2 z2 xy yz zx x y z 3 xy yz zx xy yz zx 3 2 Thay vào P ta được : P 3 2 1 1 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
20. Dạng 4: KỸ THUẬT DỒN BIẾN 20 Bài 1: Cho x, y,z 0 và x y z 3 , Tìm GTNN của: P x2 y2 z2 x y z HD: Ta sẽ dồn x2 y2 z2 về x y z hoặc ngược lại, tùy vào cách nhìn nhật của mỗi người. Dự đoán dấu = khi x y z 1 Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức phụ về mối quan hệ của biến trong bài: 2 3 x2 y2 z2 x y z rồi đặt ẩn, dùng điểm rơi Cách 2: Ta có x2 1 2x , y2 1 2y và z2 1 2z , Cộng theo vế ta được: 20 x2 y2 z2 3 2 x y z P 2 x y z 3 , đặt x y z t, 0 t 3 x y z 20 18 2 2 29 Dấu = khi t 3 P 2t 3 2t 3 2. 36 3 t t t 3 3 a b c 1 1 1 a b c Bài 2: Cho , , 1 , Tìm GTLN của: P 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b c HD: 1 1 1 Ta sẽ dồn về biến , Dự đoán dấu = khi a b c 1 a b c a a 1 Ta có: a2 b2 2ab , Làm tương tự và cộng theo vế ta được: a2 b2 2ab 2b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P , Đặt t , Dự đoán điểm rơi 0 t 3 2 a b c a b c a b c t 3 Và P t 3 2 2 b2 c2 a2 9 9 Bài 3: Cho a,b,c dương thỏa mãn: abc = 1, CMR: a b c 2 a b c 2 HD : a2 b2 c2 Ta có : c 2a , a 2b, b 2c c a b 9 a b c a b c 9 9 Ki đó VT a b c 2 a b c 2 2 2 a b c 2 33 abc 2.3 3 9 VT 3 2 2 2 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
21. Dạng 5: BIẾN ĐỔI ĐỂ ĐƯA VỀ CÔ SI ĐÚNG 2 1 Bài 1: Tìm min của biểu thức: A 0 x 1 1 x x HD: 2 2x 2x 1 x x 2x 1 x 2x 1 x Tách A 3 3 2 . 3 2 2 1 x x 1 x x 1 x x 2x 1 x Dấu ‘’ = ’’ khi x 2 1 1 x x x 5 Bài 2: Tìm min của: B với 0 1) 2 x 1 HD: x 1 1 2 x 1 2 1 1 x 1 2 C 2 , Dấu bằng khi 2 x 1 2 x 1 2 2 2 x 1 x 4 Bài 4: Cho 0 1 x 1 HD: x2 1 1 1 1 1 Ta có: C x 1 x 1 2 2 2 , Dấu bằng khi x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 x 1 Bài 7: Tìm min của: A với x > 0 x2 x 1 HD: x2 x 1 2x 2x 2 1 2 2 Tách A 1 1 , mà x 2 2 2 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 3 x x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
22. x2 4x 4 Bài 8: Tìm min của: B với x 0 x HD: 4 4 Ta có: B x 4 4 4 8 , dấu bằng xảy ra khi x x 2 x x 1 Bài 9: Tìm min của: B x 1 1 với x > 0 x HD: 1 1 Tách B x 1 1 2 2 , dấu bằng xảy ra khi x x 1 x x 2 2 2 x Bài 10: Tìm min của: A x 1 2 với x 1 x 1 HD: 2 2 1 2 1 Tách A x 1 x 1 2 x 1 2 2 2 2 2 x 1 x 1 2 1 4 1 1 Dấu bằng khi 2 x 1 x 1 x 1 4 x 1 2 2 2 2 x y x y Bài 11: Cho x,y >0, Tìm min của: P 2 y x y x HD: 2 2 x y 2 1 9 1 9 Đặt t P t t 2 t , mà t 2 P 2 0 y x 2 4 2 4 x a x b Bài 12: Cho a, b > 0. Tìm min của: A với x > 0 x HD: x2 ax bx ab ab 2 Ta có: B a b x a b 2 ab a b x x a b Bài 13: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho 1 , x y Tìm x,y để S x y đạt min, Tìm min S theo a,b HD: a b bx ay 2 Ta có S x y a b a b 2 ab , min S a b x y y x ay bx a b Dấu bằng khi mà 1 x a ab, y b ab x y x y 2 x2 y2 12xy Bài 14: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của: A x y HD: 2 x y 2 2xy 12xy 2 2 x y 8xy 1 Ta có :A 2 x y , x y x y x y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
23. 1 x y 1 1 Co six y 2 =>A 4 dấu bằng khi x y x y 4xy 1 2 BẤT ĐẲNG THỨC SCHAWRZ A. LÝ THUYẾT 1. Tên gọi: Bất đẳng thức Schawzr hay còn gọi là bất đẳng thức cộng mẫu số được hiểu là hệ quả của bất đẳng thức Bunyakovsky. Còn hay gọi tắt là Svac – Xơ. 2. Tổng quát: Ở chương trình THCS. Tài Liệu Toán chỉ xin phép đưa ra công thức tổng quát và áp dụng cho 2 hoặc 3 số. 2 2 2 2 a a a a1 a2 an 1 2 n - Với các số b1,b2, bn 0 , ta có: b1 b2 bn b1 b2 bn a a a Dấu “ = “ khi và chỉ khi: 1 2 n b1 b2 bn 1 1 4 1 1 - Với hai số a,b 0 ta có : , Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b a b a b a b 1 1 1 9 - Với ba số a,b,c 0 thì ta có : , Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c a b c a b c B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG Dạng 1 : ÁP DỤNG CÔNG THỨC THÔNG THƯỜNG 1 1 4 Bài 1: Cho x, y > 0. Chứng minh BĐT : x y x y HD : x y 4 2 2 Ta có: gt x y 4xy x y 0 xy x y Dấu ‘ = ‘ khi x=y 1 1 1 1 1 1 Bài 2: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác, CMR: a b c b c a c a b a b c HD : Vì a, b, c là ba cạnh của 1 tam giác nên các mẫu đều dương 1 1 4 2 Áp dụng BĐT schawzr ta có : a b c b c a 2b b 1 1 2 1 1 2 Tương tự ta cũng có : và b c a c a b c c a b a b c a Cộng theo vế ta được điều phải chứng minh 1 1 Bài 3: Cho x 0, y 0, x y 1 , CMR: 4 x2 xy y2 xy HD : Áp dụng BĐT schawzr ta có : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
24. 1 1 4 2 1 4 , Vì x y 1 x y 1 1 x2 xy y2 xy x y 2 x y 2 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
25. Dạng 2 : ĐIỂM RƠI CỦA SCHAWRZ 1 1 Bài 1: Cho a b 1 và a,b 0 , Tìm min của: P a2 b2 ab HD : 1 Dấu bằng khi a b 2 1 1 1 4 1 Khi đó : P 2 2 2 a b 2ab 2ab a b 2ab 4 2 4 2 6 P 6 a b 2 4ab a b 2 a b 2 a b 2 1 1 Bài 2: Cho a,b 0;a b 1 , Tìm GTNN của biểu thức : A a2 b2 2ab HD: 1 Dự đoán dấu = khi a b , Để ý hai biểu thức dưới mẫu, có thể nhóm chúng được lại với 2 nhau 1 1 4 Nên ta sử dụng BĐT phụ: a b a b 1 1 4 4 Khi đó: A 2 2 2 2 2 4 a b 2ab a b 2ab a b 3 2 Bài 3: Cho a,b 0,a b 1 , Tìm GTNN của: A a2 b2 ab HD: 1 Dấu bằng khi a b , Biến đổi A thành: 2 3 4 3 3 1 1 1 1 4 2 A 2 2 2 2 3 2 2 3. 2 2 14 a b 2ab a b 2ab 2ab a b 2ab 2ab a b a b 1 1 Bài 4: Cho a,b>0 và a b 1 , Tìm GTNN của: P 1 a2 b2 2ab HD : 1 1 1 Dấu bằng khi : a b . Khi đó : 2 1 a2 b2 3.2ab 1 1 1 4 1 4 1 P 2 2 => P 2 1 a b 6ab 3ab a2 b2 6ab 1 3ab a b 4ab 1 3ab 1 4 1 8 Mặt khác : a b 2 ab ab P 1 4 2 1 3. 3 4 1 a2 b2 6ab 1 Dấu bằng khi a b a b 2 a b 1 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
26. 2 35 Bài 5: Cho x, y 0, x y 4 , Tìm GTNN của A 2xy x2 y2 xy HD : Dấu bằng xảy ra khi x y 2 2 2 34 1 1 32 2 Biến đổi A 2 2 2xy 2 2 2 2xy x y 2xy xy x y 2xy xy xy 2.4 8 A 2 16 2 17 x y x y 1 1 Bài 6: Cho a,b>0, a b 1 , Tìm Min của: P 4ab a2 b2 ab HD : 1 Dấu bằng khi a b 2 1 1 1 4 1 1 Khi đó : P 2 2 4ab 2 4ab a b 2ab 2ab a b 4ab 4ab a2 b2 2ab 4 4ab 1 1 1 P 2. 7 . Dấu bằng khi a2b2 a b 2 1 a b 4ab 4. 16 2 4 a b 1 1 25 Bài 7: Cho a,b 0,a b 4 , Tìm GTNN của biểu thức: P ab a2 b2 ab HD: Dấu = khi a b 2 , và mẫu có thể ghép được lại với nhau. Nên ta biến đổi P thành: 1 1 49 4 16 17 4 34 P 2 2 ab 2 ab 2 8 2 a b 2ab 2ab a b ab 2ab a b a b 38 38 83 2 P 2 8 8 , Vì a b 4 a b 16 a b 16 8 1 1 Bài 8: Cho x 2, x y 3 , y > 0 , Tìm Min của P x2 y2 x x y HD : 1 1 4 1 1 1 1 1 1 Ta có : P x2 y2 x y x y x y 4x 4 y x 4x 4 y 2 5 2 1 x 2 P x y , Điểm rơi cosi : 4x 4 y x y 3 5 3 Bài 9: Cho x, y 0; x y 3 , Tìm GTNN của A x2 y2 xy HD: 3 Dấu bằng khi x y , để ý thì dưới mẫu có thể kết hợp lại được với nhau, ta biến đổi: 2 5 6 5 5 1 1 1 1 4 1 A 2 2 2 2 5 2 2 5. 2 x y 2xy x y 2xy 2xy x y 2xy 2xy x y 2xy Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
27. 2 1 1 1 2 Mà x y 4xy 2 2 , Thay vào A ta được: x y 4xy 2xy x y 20 2 22 22 A 2 2 2 x y x y x y 9 1 1 1 1 1 1 Bài 10: Cho 4, CMR: 1 a b c 2a b c a 2b c a b 2c HD : 1 1 4 Áp dụng BĐT : x y x y 3 Dấu ’’=’’ xảy ra khi a b c 2a b c 4 Khi đó ta có : 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 2a b c 4 2a b c 4 2a 4 b c 16 a b c tương tự ta có : 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 a 2b c 4 2b a c 4 2b 4 a c 16 b a c 1 4 1 2 1 1 1 4 4 4 , Khi đó VT 1 4 a b 2c 16 c a b 16 a b c Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27