Chủ đề Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Nội dung text: Chủ đề Các trường hợp bằng nhau của tam giác

1. CHỦ ĐỀ 6: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1/ Lợi ớch của việc chứng minh hai tam giỏc bằng nhau là suy ra được cỏc cặp cạnh tương ứng bằng nhau, cỏc cặp gúc tương ứng bằng nhau. 2/ Cỏc trường hợp bằng nhau của tam giỏc * Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của tam giỏc này bằng ba cạnh tương ứng của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. * Trường hợp cạnh - gúc - cạnh: Nếu hai cạnh và một gúc xen giữa của tam giỏc này bằng hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau * Trường hợp gúc - cạnh - gúc: Nếu một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc này bằng một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. 3/ Việc chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai gúc) bằng nhau ta làm như sau: - Xột xem hai đoạn thẳng (hay hai gúc) là hai cạnh (hay hai gúc) thuộc hai tam giỏc nào. - Chứng minh hai tam giỏc đú bằng nhau - Suy ra hai cạnh (hay hai gúc) tương ứng bằng nhau. 4/ Chỳ ý: Để tạo ra được hai tam giỏc bằng nhau, đụi khi ta phải vẽ thờm đường phụ bằng nhiều cỏch: - Nối hai cạnh cú sẵn trờn hỡnh để tạo ra một cạnh chung của hai tam giỏc. - Trờn một tia cho trước, đặt một đoạn bằng một đoạn thẳng khỏc. - Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song với một đoạn thẳng. - Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuụng gúc với một đoạn thẳng. B/ CÁC VÍ DỤ: Vớ dụ 1: Cho gúc vuụng xOy, điểm A trờn tia Ox, điểm B trờn tia Oy. Lấy điểm E trờn tia đối của tai Ox, điểm F trờn tia Oy sao cho OE= OB, OF= OA. a. Chứng minh AB = EF, AB  EF. b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và EF. Chứng minh rằng tam giỏc OMN vuụng cõn. Hướng dẫn
2. GT xãOy = 900; A Ox, B Oy ; OE = OB, OF= OA ; M AB: MA = MB N EF: NE = NF KL a) AB = EF, AB  EF b) V OMN vuụng cõn Chứng minh a. Xột V AOB và V FOE cú: y OA = OF ( GT) F ã ã 0 AOB = FOE = 90 V AOB và V FOE(C.G.C) H B OB = OE (GT) 1 N M AB = EF( cạnh tương ứng) 2 1 E 3 À = Fà (1) ( gúc tương ứng) O A x Xột V FOE : Oà = 900 Eà +Fà = 900 (2) Từ (1) và (2) Eà +À = 900 EãAH =900 EH  HA hay AB  EF. b. Ta cú: BM = 1 AB( M là trung điểm của AB) 2 EN = 1 EF( M là trung điểm của EF) 2 Mà AB = EF BM = EN Mặt khỏc:V FOE : Oà = 900 Eà +Fà = 900 à 0 à à 0 V OAB : O = 90 A +B1 = 90 à à à à Mà A = F (cmt) E = B1 Xột V BOM vàV EON cú : à à OB = OE (gt) ; B1 = E (cmt) ; BM = EN (cmt) V BOM =V EON (c.g.c) ả ả OM = ON (*) Và O1 = O2 ả ả 0 ả ả 0 ã 0 Mà O2 +O3 =90 nờn O1 +O3 =90 MON = 90 ( ) Từ (*) và( ) V OMN vuụng cõn
3. Vớ dụ 2: Cho V ABC cõn đỉnh A. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng. Hướng dẫn GT V ABC: AB = AC ; D AB, E AC sao cho BD = CE ; I DE: ID = IE KL B, I, C thẳng hàng A Phõn tớch: B, I, C thẳng hàng Bã IE +EãIC = 1800 Cần c/m BãID = EãIC D ã ã C Mà BID +BIE = 180 B F I Cần tạo ra một điểm F trờn cạnh BC: V EIC = V DIF E Vớ dụ 3: Cho V ABC, À = 600. Phõn giỏc BD, CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng : a. V DOE cõn b. BE + CD= BC. Hướng dẫn GT V ABC, À =600 ; BD: Phõn giỏc Bà (D AC) ; CE: Phõn giỏc Cà (E AB) BD CE = {O} KL a. V DOE cõn b. BE + CD= BC. à à 0 à 0 0 0 a) Ta cú: V ABC: B +C =180 - A =180 - 60 = 120 (Định lý tổng A ba gúc của một tam giỏc) E D Bà Cà O Mà Bà = (BDlà phõn giỏcBà ); Cà = (CE là phõn giỏc Cà ) 1 1 2 1 2 2 4 3 Bà Cà 1200 Nờn Bà +Cà = = = 600 B C 1 1 2 2 F ã 0 à à 0 0 0 V OBC cú BOC = 180 - (B1 +C1 ) = 180 - 60 =120 (Định lý tổng ba gúc của một tam giỏc) ã ả 0 ã ả 0 Mặt khỏc:BOC +O1 = 180 ( kề bự) ; BOC +O2 = 180 ( kề bự)
4. ả ả 0 O1 =O2 =60 BãOC Vẽ phõn giỏc OF của BãOC (F BC) Oả =Oả = =600 3 4 2 ả ả ả ả 0 Do đú : O1 =O2 =O3 =O4 =60 Xột V BOE và V BOF cú: ả à à ả ả 0 B2 = B1 (BDlà phõn giỏcB ); BO cạnh chung ; O1 =O4 =60 V BOE = V BOF(g.c.g) OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) Và BE = BF c/m tương tự V COD = V COF(g.c.g) OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) và CD = EF Từ (1 ) và (2) OE = OD V DOE cõn b) Ta cú BE = BF ; CD = CF (cmt) BE+CD=BF+FC=BC Vậy : BE + DC= BC * Nhận xột: - Vớ dụ 3 cho ta thờm một cỏch vẽ đường phụ:Vẽ phõn giỏc OF của BãOC . Khi đú OF là một đoạn thẳng trung gian để so sỏnh OD với OE. - Ta cũng cú thể vẽ thờm đường phụ bằng cỏch khỏc: Trờn BC lấy điểm F sao cho BF= BE. Do đú cần c/m V BOE = V BOF(g.c.g) và V COD = V COF(g.c.g). C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1: Tam giỏc ABC và tam giỏc A'B'C' cú AB=A'B', AC= A'C'. Hai gúc A và A'bự nhau. Vẽ trung tuyến AM rồi kộo dài một đoạn MD = MA. Chứng minh: a. ãABD = À' b. AM = 1 B'C' 2 Bài 2:Cho tam giỏc ABC. vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABE và ACF. Chứng minh: a. BF = CE và BF  CE b. Gọi M là trung điểm của BC. CMR: AM = 1 EF 2
5. Bài 3: Cho V ABC, vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABE và ACF. Vẽ AH vuụng gúc với BC. Đường thẳng AH giao EF tại O. CMR: O là trung điểm của EF. Bài 4: Cho V ABC cú À = 600 . Dựng ra ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc đều ABM và CAN. a. CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng b. c/m BN = CM c. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tớnh BãOC . Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến ứng với cạnh thứ ba của tam giỏc này bằng hai cạnh và trung tuyến ứng với cạnh thứ ba của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. Bài 6: Cho tam giỏc ABC cú AB = AC ,gọi M là trung điểm cua cạnh BC a) Chứng minh 2 tam giỏc ABM&ACM bằng nhau b) Chứng minh AM vuụng gúc với BC c) AM là phõn giỏc gúc A Bài 7: Cho ABC cú AB < AC. Kẻ tia phõn giỏc AD của Bã AC ( D thuộc BC). Trờn cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trờn tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng: a) BDF = EDC. b) BF = EC. c) F, D, E thẳng hàng. d) AD  FC Bài 8. Cho ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA, lấy điểm E sao cho ME = MA. a) Chứng minh AC // BE. b) Gọi I là một điểm trờn AC, K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK. Chứng minh 3 điểm I, M, K thẳng hàng. Bài 9. Cho gúc nhọn xOy và tia phõn giỏc Oz của gúc đú. Trờn Ox, lấy điểm A, trờn Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Trờn tia Oz, lấy điểm I bất kỡ. Chứng minh: a) AOI = BOI. b) AB  OI.
6. Bài 10. Cho gúc nhọn xOy. Trờn tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trờn tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB ; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D). a) Chứng minh OAD = OBC b) So sỏnh 2 gúc Cã AD và Cã BD . Bài 11. Cho ABC vuụng ở A. TRờn tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. a) Chứng minh ABC = ABD b) Trờn tia đối của tia AB, lấy điểm M. Chứng minh MBD = MBC. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a) Xột V AMC và V DMB cú: AM = MD (gt) ; ãAMC = DãMB (đối đỉnh); MC = MB( gt) V AMC = V DMB (c.g.c) à à AC = BD ( hai cạnh tương ứng) ; A1 = D (hai gúc tương ứng) AC//BD ( vỡ cú cặp gúc SLT bằng nhau) BãAC +ãABD = 1800(hai gúc trong cựng phớa) Mà BãAC +À' = 1800(gt) A ãABD = À' A' b) Xột V ABD và V B'A'C' cú: B ã à AB = A'B'(gt) ; ABD =A' (cmt) B' C' M C BD = A'C'(=AC) D V ABD và V B'A'C'(c.g.c) AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) 1 1 Mà AM = AD (gt) AM = B'C' 2 2 * Nhận xột: Hai tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp gúc xen giữa chỳng bự nhau thỡ trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giỏc này bằng một nửa cạnh thứ ba của tam giỏc kia.
7. Bài 2: F ã ã ã 0 ã a) Ta cú: EAC = EAB +BAC = 90 + BAC E BãAF = BãAC + CãAF = 900 + BãAC A 1 EãAC = BãAF I 2 Xột V ABF và V AEC cú: O AB = AE(gt) ; BãAF =EãAC (cmt) ; AF = AC (cmt) B M C V ABF = V AEC(c.g.c) à à BF = CE ( hai cạnh tương ứng) vàB1 = E1 ( hai gúc tương ứng) (1) Gọi O và I lần lượt là giao điểm của CE với BF và AB. à à 0 Xột V AEI vuụng tại A cú E1 +I1 = 90 (2) à à Và I1 = I2 (đối đỉnh) (3) à à 0 ã 0 Từ (1), (2) và (3) B1 +I2 =90 BOI = 90 BF  CE b) Ta cú:EãAB +BãAC +CãAF +FãAE = 3600 BãAC +FãAE = 3600 - (EãAB +CãAF ) =3600-(900+900)=1800 Ta thấy: V ABC và V EAF cú hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp gúc xen giữa chỳng bự nhau nờn trung tuyến AM = 1 EF 2 K F E O Bài 3: I Kẻ EI  AH, FK AH (I, K AH) A Xột V AEI và V ABH cú: $ à 0 I = H = 90 ; AE = AB (gt) B H C EãAI = BãAH (cặp gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc cựng nhọn) V AEI = V ABH (cạnh huyền- gúc nhọn) EI = AH ( hai cạnh tương ứng) Tương tự: V AFK = V CAH (cạnh huyền- gúc nhọn) FK = AH ( hai cạnh tương ứng) Xột V OEI và V OFK cú: $I = Kà = 900 ; EI = FK (=AH) ; KãFO =IãEO (SLT, EI//FK) V OEI = V OFK(g.c.g)
8. OE = OF ( hai cạnh tương ứng) Mà O EF(gt) O là trung điểm của EF. Bài 4: a) V ABM, V CAN đều BãAM = CãAN =600 Vậy Mã AN =BãAM +BãAC +CãAN = 600+600+600=1800 M,A,N thẳng hàng b) Xột V ABN và V ACM cú: M A AB = AM (gt); BãAN =CãAM (=1200) ; AN = AC(gt) N 1 V ABN = V ACM(c.g.c) BN = CM ( hai cạnh tương ứng) O 1 à ả và C1 =N1 (hai gúc tương ứng) B C c) BãOC là gúc ngoài của V OCN ã ã ã à ã ã BOC =OCN +ONC = C1 +ACN +ONC à ả Mà C1 =N1 (cmt) ã ả ã ã ã ã 0 0 0 BOC =N1 +ACN +ONC = ACN +ANC =60 +60 =120 Bài 5: A' Lấy D AM: MD = MA A 2 1 2 1 Lấy D' A'M': M'D' = M'A' M' Xột V ABM và V DMC cú: C' B M C B' MB = MC(gt) ; ãAMB =CãMD (đối dỉnh) 1 1 AM = MD(cỏch lấy điểm D) D D' V ABM = V DMC(c.g.c) ả ả CD = AB( hai cạnh tương ứng) Và A2 =D1 (1)( hai gúc tương ứng) ả ả C/m tương tự ; C'D' = A'B'; A'2 =D '1 (2) Xột V ACD và V A'C'D' cú: AC = A'C'(gt) ; AD = A'D' (vỡ AM = A'M') ; CD = C'D' ( = AB) V ACD = V A'C'D'(c.c.c) à ả ả ả A1 =A'1 vàD1 =D '1 (3)
9. ả ả à ả ã ã Từ (1), (2),(3) A2 =A'2 mà A1 =A'1 BAC = B ' A'C ' Vậy V ABC =V A'B'C'(c.g.c) * cỏch 2: V AMC và V A'M'C' cú: à ả AM = A'M'(gt); A1 =A'1 (cmt); AC= A'C'(gt) V AMC = V A'M'C' (c.g.c) MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) Mà MC = 1 BC; M'C' = 1 B'C'(gt). Do đú: BC = B'C'. 2 2 Vậy V ABC=V A'B'C'(c.c.c)