Các chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Các chuyên đề ôn thi vào Lớp 10 môn Toán - Chuyên đề 4: Chứng minh bất đẳng thức

1. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Chuyờn đề 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN. * Một số bất đẳng thức cần nhớ: 2 1. a 0; a 0 ; - a a a a b a b , dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ab 0 2. Bất đẳng thức Cụ - si : a, b 0 a b ab , dấu " = " xảy ra và chỉ khi a = b 2 3. Bất đẳng thức Bunhiacụpxki: a b (a.c + b.d)2 (a2 + b2) (c2 + d2), dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi c d B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Phương phỏp 1: DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA. A B A - B 0 Chỳ ý cỏc hằng đẳng thức: * a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 0; 2 2 2 2 * a + b + c + 2ab + 2ab + 2ca = (a + b + c) 0 Bài 1.1: Chứng minh rằng với mọi x, y ta luụn cú: 2 2 y a. x xy; 4 2 2 b. x + y + 1 xy + x + y; c. x4 + y4 xy3 +x3y Giải: y 2 4x 2 4xy y 2 1 a. Xột hiệu: x 2 xy (2x y)2 0 4 4 4 y 2 Vậy: x 2 xy . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 2x = y. 4 1 2 2 (2x 2y 2 2xy 2x 2y) 2 1
2. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 2 2 b. x + y + 1 - (xy + x + y) = 1 2 2 2 (x y) (y 1) ( x 1 )  0 2 2 2 Vậy: x + y + 1 xy + x + y. c. x4 + y4 - (xy3 + x3y) = x4 - xy3 + (y4 - x3y) = x (x3 - y3) - y (x3 - y3) = (x3 - y3) (x - y) = (x - y)2 (x2 + xy + y2) 2 2 y 2 3y = (x - y) ( x ) 0 2 4 Vậy: x4 + y4 xy3 + x3y Bài 1.2: Cho 0 < a b c. Chứng minh rằng: a b c b c a a. b c a a b c c b b a b. a c a b Giải: a b c b c a 1 a. (a 2c b2a c 2b b2c c 2a a 2b) b c a a b c abc 1 (a 2c b2c) (b2a a 2b) (c 2b c 2a) = abc 1 = c( a 2 b2 ) ab(b a) c 2 (b a ) abc 1 = (b a)( ca cb ab c 2 ) abc 1 (b a)(c b)(c a) 0 = abc ( vỡ o < a b c) Vậy: c b b a 1 b. (c 2b b2a b 2c a 2 c) a c a b abc 1 (c 2b b2a b2c abc) 2 abc (Vỡ a c abc) 1 1 (c 2b b2c) (b2a abc) bc(c b) ba(b c)   abc abc 2
3. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1 b (c b)( c a) 0 abc (Vỡ o 0 (vỡ a z Tương tự, xột hiệu: z - y = (a + d) (b + c) - (a + c) (b + d) = (a - b) (c - d) > 0 Suy ra: z > y. Vậy: x 36. Chứng minh rằng: a 2 b2 c 2 ab bc ca 3 Giải a 2 a 2 a 2 b2 c 2 ab bc ca b2 c 2 ab bc ca 3 4 12 2 2 a 2 2 a b c ab ca 2bc 3bc 4 12 2 a 1 3 b c (a 36) 0 (Vỡ abc = 1 2 12a và a3 > 36 nờn a > 0). 3
4. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Vậy: a 2 b2 c 2 ab bc ca 3 1 a 1 b , y Bài 1.5: Cho a > b > 0. So sỏnh hai số x, y với x =1 a a 2 1 b b2 Giải: Ta cú x,y > 0 và 1 1 1 1 1 y 2 b b 1 1 1 1 (Vỡ a > b> 0 nờn 2 2 va ) a b a b Vậy: x A C. B C * 0 x 1 => x2 x (vỡ x - x2 = x (1 - x) 0) Bài 2.1: Cho 0 x, y, x 1, Chứng minh rằng: a. 0 x + y + z - xy - yz - zx 1; b. x2 + y2 + z2 1 + x2y + y2z + z2x. Giải: a. Ta cú: x + y + z - xy - yz - zx = x (1 - y ) + y (1 - z) + z (1 - x) 0 (1) Mặt khỏc: (1 - x) (1 - y) (1 - z) = 1 - x- y - z + xy + yz + zx - xyz 0, Suy ra: x + y + z - xy - yz - zx 1 - xyz 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra: 0 x + y + z - xy - yz - zx 1. b. Ta chứng minh: x2 + y2 + z2 - x2y - y2z - z2x 1. Ta cú: x2 + y2 + z2 - x2y- y2z - z2x = x2 (1 - y) + y2 (1 - z) + z2 (1 - x) x (1 - y) + y (1 - z) + z (1 - x) (vỡ x2 x, y2 y, z2 z) x + y +z - xy - yz - zx 1 (cõu a). Bài 2.2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc cú chu vi bằng 2. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2. Giải: 4
5. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Nếu a 1 thỡ từ b + c 1 suy ra a + b + c > 2, vụ lý! Vậy 0 0, suy ra abc 1 - a - b - c - d Giải: Ta cú: (1 - a) (1 - b) = 1 - a - b + ab > 1 - a - b (1) Vỡ 1 - c > 0 nờn: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > (1 - a - b) (1 - c) (2) (1 - a - b) (1 - c) = 1 - a - b - c + c (a + b) > 1 - a - b - c (3) Từ (2) và (3) suy ra: (1 - a) (1 - b) (1 - c) > 1 - a - b - c Vậy: (1 - a) (1 - b) (1 - c) (1 - d) > (1 - a - b - c) (1 - d) > 1 - a - b - c - d (Vỡ d (a + b + c) > 0) Bài 2.4: Cho 0 a, b, c 2 thoả a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 5 Giải: Cỏch 1: Vỡ a + b + c = 3 nờn cú ớt nhất một trong ba số a, b, c khụng nhỏ hơn 1, giả sử a 1. Vỡ 1 a 2 nờn: (a - 1) (a - 2) = a2 - 3a + 2 0 => a (3 - a) 2 Suy ra: ab + bc + ca = a (b + c) + bc = a (3 - a) + bc 2 (1) Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca) = 9 - 2 (ab + bc + ca) 5 (theo (1)) Cỏch 2: Vỡ a, b, c 2 nờn: (2 - a) (2 - b) (2 - c) = 8 - 4 (a + b + c) + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 abc 2 2 5
6. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Suy ra: - 4 + 2 (ab + bc + ca) - abc 0 => ab + bc + ca 2+ Vậy: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 - 2 (ab + bc + ca) 9 - 4 = 5 Bài 2.5: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc cú chu vi bằng 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 4abc 0 Suy ra: 4abc + a2 + b2 + c2 + 4abc 0. Chứng minh: bc ca ab a b c b. Cho a c > 0, b c. Chứng minh: c(a c) c(b c ) ab Giải: a. a2 +b2 + c2 2 (bc + ac - ba) (Vỡ abc > 0) a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab 0 (a + b - c)2 0 (hiển nhiờn đỳng). a b c 1 1 1 2 bc ca ab a b c 6
7. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Vậy: b. c(a c) c(b c) ab ( c(a c) c (b c)) 2 ab c (a - c) + c (b - c) + 2c (a c)(b c) ab c2 - 2c ( a c)(b c) ( a c)(b c) 0 (c - ( a c )( b c ) ) 2 0 ( hiển nhiờn đỳng). Vậy: c(a c ) c(b c) ab Bài 3.2: Cho biểu thức: 3 1 4 P x 4 x3 x 1 x 1 x 4 x3 x5 x 4 x3 x 2 x 1 32 Chứng minh rằng 0 0 32 2 32 4 2 P 4 2 9 16(x x 1) 9 x x 1 9 16x4 + 16x2 + 7 > 0 (luụn luụn đỳng). 32 Vậy: 0 y và xy = 1. Chứng minh rằng: 8 (x y)2 Giải: 7 (x 2 y 2 )2 8 (x y)4 4(x y)2 4 8(x y)2 (x y)2
8. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Ta cú: x2 + y2 = (x - y)2 + 2xy = (x - y)2 + 2, suy ra: (x2 + y2)2 = (x - y)4 + 4 (x -y)2 + 4 Do đú: (x - y)4 - 4 (x - y)2 + 4 0 (x - y- 2)2 0 (luụn đỳng) Vậy: Phương phỏp 4: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ. * x2 + y2 2 /xy/ * x2 + y2 2xy 1 * ( x + y)2 4xy * x + 2 , với x > 0 x 1 1 4 1 4 (x, y 0) (x, y 0) * x y x y * xy (x y)2 Bài 4.1: Cho a, b, c 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a + 2b + c 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) Giải: Áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta cú: 2 4 (1 - a) (1 - b) (1 - c) = 4(b + c) (1 - c) (1 - b) (1 + b) (1 - b) (1 + b) (1 - b2) (1 + b = a + 2b + c 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 2 , b = 0, c = . Bài 4.2: Cho x, y > 0 và x + y - z = 1. Chứng minh rằng: x + y 16xyz. Giải: Áp dụng bất đẳng thức: 4xy (x + y)2, ta cú: 16xyz 4z (x + y)2 (1) Ta chứng minh: 4z (x + y)2 x + y 4z ( x + y) 1 4z (1 + z) 1 8
9. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 4z2 + 4z + 1 0 (2z + 1)2 0 Vậy: 4z (x + y)2 x + y (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 1 1 1 a b c Bài 4.3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 a b b c c a Giải: ab 1 1 1 Từ (a + b)2 4ab => (a b) (a b) (1) a b 4 1 1 4 a b 1 1 Tương tự: (b c) (2) 1 1 4 b c 1 1 (c a) (3) 1 1 4 c a Cộng (1), (2), (3) ta được điều phải chứng minh. 1 1 1 9 Bài 4.4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a b c a b c Giải: Cỏch 1 1 1 1 a a b b c c Ta cú: (a + b + c) 1 1 1 a b c b c a c a b a b a c b c 3 9 b a c a c b a b a c b c (Vỡ 2 ; 2; 2; b a c a c b Suy ra: 1 1 1 9 a b c a b c Cỏch 2: Áp dụng bất đẳng thức Cụ - si: a + b + c 3 3 abc 1 1 1 1 33 a b c abc 9
10. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1 1 1 1 1 1 9 Suy ra: ( a + b + c) 9 a b c a b c a b c Bài 4.5: Hai số dương a, b thoả món ab > a + b. Chứng minh rằng a + b > 4 Giải: a b Từ ab > a + b => a > 1 + và b > 1 + suy ra b a a b a b a + b > 2 + 4 (vỡ 2) b a b a Bài 4.6: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giỏc cú chu vi 2p. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c Giải: 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức: (x , y 0 ); Ta cú: x y x y 1 1 4 4 ; p a p b 2p a b c 1 1 4 ; p b p c a 1 1 4 . p c p a b 1 1 1 1 1 1 2 4 Do đú: p a p b p c a b c Suy ra: 1 1 1 1 1 1 2 . p a p b p c a b c Bài 4.7: Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: a b c d 2 b c c d a d a b Giải: 1 4 (x, y 0) Áp dụng bất đẳng thức: xy (x y)2 , ta cú: 10
11. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 a c a(d a) c(b c) a 2 c 2 ad bc 4. (1) b c d a (b c)(d a) (a b c d)2 b d b(a b) d(c d) b2 d 2 ab cd 4. (2) c d a b (c d)(a b) (a b c d)2 Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được: a b c d a 2 b2 c 2 d 2 ad bc ab cd 4. 2 b c c d d a a b (a b c d) Ta chứng minh: 4(a 2 b2 c 2 d 2 ad bc ab cd ) 2 (3) (a b c d)2 Thật vậy: (3) 4 (a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) 2 (a + b + c + d)2 2a2 + 2b2 + 2c2 + 2d2 - 4ac - 4bd 0 (a - c)2 + (b - d)2 0 (đpcm). Bài 4.8. Cho hai số dương a, b và a + b = 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 6 ab a b Giải: Áp dụng bất đẳng thức: 4ab (a + b)2, ta cú: 1 1 ab 4 4 ab Áp dụng bất đẳng thức: 1 1 4 với x, y > 0, ta cú: x y x y 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = . 2 a b b d c a d b Bài 4.9. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 4 a b b c c d d a Giải: a b b d c a d b a c c a b d d b Ta cú: a b b c c d d a a b c d b c d a 11
12. 1 2 Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 a c b d c a d b a c c a b d d b a b b c c d d a a b c d b c d a (a c)(a b c d) (b d) (a b c d) = (a b)(c d) (b c)(d a) 1 4 Áp dụng bất đẳng thức: , ta cú: xy (x y)2 (a c)(a b c d) (b d) (a b c d) (a b)(c d) (b c)(d a) 4(a c)(a b c d) 4(b d).(a b c d) 2 2 4 (đpcm). (a b c d) (a b c d) Phương phỏp 5: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG. Bài 5.1: Cho 3 số dương a, b, c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng cú ớt nhất một trong cỏc bất đẳng thức sau là sai: a(2 - a) > 1 ; b(2 - b) > 1 ; c( 2 - c) > 1. Giải: Giả sử cỏc bất đẳng thức đều đỳng, nhõn ba bất đẳng thức lại ta được: a (2 - a) b (2 - b) c (2 - c) > 1 (1) Mà 0 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng nếu x + y + z > x y z thỡ cú một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. 12
13. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Giải: Ta cú (x - 1) (y - 1) (z -1) = xyz - xy - yz - zx + x + y + z - 1 1 1 1 = x + y + z - (vỡ xyz = 1) x y z Suy ra: (x - 1) (y - 1) (z - 1) > 0 Trong ba số x - 1, y - 1, z - 1 cú một và chỉ một số dương. Thật vậy, nếu cả 3 số đều dương thỡ x, y, z > 1. Khi đú xyz > 1, vụ lý! Vậy chỉ cú một và chỉ một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. Bài 5.4: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng khụng thể đồng thời xảy ra cỏc bất đẳng thức sau: a + b cd > (a + b)2 - ab 3ab => cd > 3ab (1) Mặt khỏc, ta cú: (a + b) cd (a + b)2 cd 4abcd (a + b)2 cd a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2) Từ (1) và (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, vụ lý! Vậy ta cú điều phải chứng minh Phương phỏp 6: PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI. a a a c 1 a, b > 0 và b thỡ b b c a b c Bài 6.1: Cho 3 số dương a,b, c. Chứng minh rằng: 1 < 2 a b b c c a Giải: a a a a c Vỡ 1 nờn a b a b c a b a b c b b b a Tương tự: ; a b c b c a b c 13
14. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 c c c b . a b c c a a b c Cộng cỏc bất đẳng thức trờn lại ta được điều phải chứng minh. Bài 6.2: Cho a, b, c, d là cỏc số dương. Chứng minh rằng: a b b c c d d a A = a b c b c d c d a d a b khụng là số nguyờn. a b a b a b a b d Vỡ 1 nờn . a b c a b c d a b c a b c d b c b c b c a ; Tương tự: a b c d b c d a b c d c d c d c d b ; a b c d c d a a b c d d a d a d a c . a b c d d a b a b c d Cộng lại ta được 2 1 ta cú: . Do đú: k 2 k(k 1) k 1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 3 n 2 2 3 n 1 n n 1 4 4 4 b.Với k > 1 ta cú: , do đú: k 2 4k 2 4k 2 1 (2k 1)(2k 1) 1 1 1 2 2 k 2k 1 2k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 14 12 22 n2 3 5 5 7
15. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Suy ra: 1 1 1 1 2 1 2 2n 1 2n 1 3 2n 1 2 5 1 . 3 3 1 1 1 , ,a 1 . Bài 6.4: Cho dóy số a1 = 1, a2= 2 n 2 n Chứng minh rằng: 1 1 1 2 2 2 2 Với mọi n > 1. a2 2a2 nan Giải: Với k 2 ta cú: 1 1 1 1 1 1 2 (vỡ ak > ak - 1) => 2 ( vỡ ak - ak - 1 = k ) kak kak i ak kak ak 1 ak Do đú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a1 2a2 nan a1 a2 a2 a3 an 1 an 1 1 1 = 1 + 2 . 2 a1 an an 1 1 1 Bài 6.5: Cho dóy số a1 = 1, a2 = 1 + , , an = 1 + + + + 3 5 2n 1 1 1 1 2. Chứng minh rằng: 2 2 2 a1 3a2 (2n 1)an Giải: 1 Ta cú: ak - ak - 1= a a ; 2k 1 k k 1 1 1 ak ak 1 1 1 2 . (2k 1)ak (2k 1)ak 1ak ak 1ak ak 1 ak Do đú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 2 3a 2 (2n 1)a 2 a a a a a a 1 2 n 2 3 3 4 n 1 n 1 1 1 2 15 a 2 a n
16. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Phương phỏp 7: BẤT ĐẲNG THỨC Cễ-SI. a a a a1, a2, , an 0: 1 2 n n a a a n 1 2 n Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = =an. Bài 7.1: Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd trong đú ad - bc =1. Chứng minh rằng S 3 . Giải: (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2 = a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 +d2) Vỡ ad - bc = 1 nờn: 1 + (ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 +d)2 Áp dụng bất đẳng thức Cụ si, ta cú: 2 2 2 2 S = (a + b ) + (c + d ) + ac + bd 2 ( a 2 b2 )(c2 d 2 ) ac bd 2 1 (ac bd)2 ac bd . Rừ ràng: S > 0 vỡ 1 (ac bd) 2 ac bd Đặt: x = ac + bd ta cú: 2 2 2 2 2 S 2 1 x x S 4(1 x ) x 4x 1 x (1 x 2 ) 4 x 1 x2 4 x2 3 2 1 x2 2x 3 3 Vậy: S (đpcm). 1 1 1 Bài 7.2: Cho a, b c > 0 thoả 2. Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c 1 abc 8 Giải: 1 1 1 b c Ta cú: 1 1 1 a 1 b 1 c 1 b 1 c 16
17. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Áp dụng bất đẳng thức Cụ - Si: 1 bc 2 . 1 a (1 b )(1 c) 1 ac Tương tự: 2 ; 11 b (1 aac)(1 c) 2 . 1 b (1 a)( 1 b) Nhõn lại ta được: 1 8abc 1 abc (đpcm). (1 a)( b)(1 c) (1 a)(1 b)(1 c) 8 Bài 7.3: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 1 1 a b c a2 b2 b2 ac c2 ab 2abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cụ - si, ta cú: a2 + bc 2a bc; b2 + ac 2b ac; 2 c + ab 2c ab; 1 1 1 1 1 2 Suy ra: a2 bc b2 ac c2 ab 2a bc 2b ac 2c ab 1 ab bc ca 2 abc a b b c c a 1 a b c 2 2 2 2 abc 2abc Phương phỏp 8: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACễPXKI. (a b a b )2 (a2 a2 )(b2 b2 ) 1 1 n n 1 n 1 n 17
18. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 4 Bài 8.1: Cho x, y, z thoả x (x -1) + y(y - 1) + z (z - 1) . 3 Chứng minh rằng: x + y + z 4 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacụpxki, ta cú: (1.x + 1.y + 1.z)2 (12 + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) Suy ra: (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) Theo giả thiết, ta cú: x2 + y2 + z2 - (x + y + z) Từ đú suy ra: 1 (x + y + z)2 - (x+ y + z) 4 S2 - 3S - 4 0 3 3 (Với S = x + y + z) (S + 1) (S - 4) 0 - 1 S 4 Vậy: x + y + z 4. 2 Bài 8.2: Giả sử phương trỡnh x + ax + b = 0 cú nghiệm x0. Chứng minh 2 2 2 rằng: x0 1 a b Giải: 2 x0 là nghiệm phương trỡnh x + ax + b = 0 nờn ta cú: 2 4 2 2 2 2 x0 ax0 b 0 x0 (a.x0 1.b) (a b )(x0 1) 4 4 2 2 x0 x0 1 1 2 a b 2 2 2 x0 1 x 0 1 x0 1 x0 1 x2 1 a 2 b2 0 Bài 8.3: Cho tam giỏc ABC và một điểm Q nào đú ở trong tam giỏc. Qua kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt BC ở N. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F và cắt BC ở E. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở P và cắt AB ở R. Ký hiệu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR) và S = dt (ABC). Chứng minh rằng: 18
19. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 1 2 a. S ( S S S ) b. S1 S2 S3 S. 1 2 3 3 Giải: a. Ta cú QMP  BAC (Tỷ số MP ) , suy ra: AC 2 S MP S1 MP 1 S AC S AC Tương tự: 2 2 S QE PC 2 S AC AC S2 PC S2 PC S3 AM Suy ra: ; . S AC S AC S AC S S S MP PC AM AC 1 2 3 1 Do đú: S AC AC 2 Suy ra: S S1 S2 S3 S S1 S2 S 3 b. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacụpxki, ta cú: 2 2 2 2 S = 1. S 1. S 1 . S ) (1 + 1 +1 )(S1 +S2 + S3) 1 2 13 Suy ra: S + S + S . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 3 3 S1 = S2 = S3 Q là trọng tõm ABC. Phương phỏp 9: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP. Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n n0 ta thực hiện các bước sau: a. Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0. b. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k. c. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1. Bài 9.1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có: 1 1 1 13 . n 1 n 2 2n 24 Giải: 1 1 13 14 13 Với n = 2, ta có: 3 4 24 24 24 (đúng). 19
20. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 Giả sử với n = k, ta có: 1 1 1 13 13 k 1 k 2 2k 2k 24 Ta phải chứng minh: Thật vậy, ta có: 13 1 1 1 13 . 24 2k 2 2k 2 k 1 24 Vậy bất đẳng thức đúng với n=k +1,do đó bất đẳng hức đúng với mọi n 2. Bài 9.2: Chứng minh rằng: với n N, n 1. Giải: 1 1 Với n = 1; Ta cú (đỳng) 2 2 1 3 5 2k 1 1 Giả sử: . . 2 4 6 2k 3k 1 1 3 5 2k 1 1 Ta cần chứng minh: . . 2 4 6 2k 2 3k 4 1 3 5 2k 1 1 3 2k 1 2k 1 1 2k 1 . . . . . Ta cú: 2 4 6 2k 2 2 4 2k 2k 2 3 k 1 2k 2 1 2k 1 1 . Ta cần chứng minh: 3k 1 2k 2 3 k 4 (1) 2 2k 1 3k 1 Thật vậy: (1) . 2k 2 3k 4 (2k + 1)2 (3k + 4) (2k + 2)2 (3k + 1) 0 k (đỳng). Vậy bất đẳng thức đỳng với mọi n 1. 20
21. Timgiasuhanoi.com - Trung tõm Gia sư tại Hà Nội - 0987 109 591 21