›
›
›

Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 7

pdf 99 trang mainguyen 4810
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 7", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfcac_chuyen_de_boi_duong_hoc_sinh_gioi_hinh_hoc_7.pdf

Nội dung text: Các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học 7

  1. CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7 CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC I. Cơ sở lí thuyết Để giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức sau: Trong tam giác: o Tổng số đô ba góc trong tam giác bằng . o Biết hai góc ta xác địn được góc còn lại. o Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó. Trong tam giác cân: biết một góc ta xác định được hai góc còn lại. Trong tam giác vuông: o Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại. o Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng . Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng . Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng . Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau. Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là . Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là . Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cung phía, Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý: 1. Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hường chứng minh đúng.
  2. 2. Phát hiện các tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân trong hình vẽ. 3. Chú ý liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau. Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ các góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau. Trong các đường phụ vẽ thêm, có thể vẽ đường phân giác, đường vuông góc, tam giác đều, 4. Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữa các góc. 5. Xét đủ các trường hợp về số đo góc có thể xảy ra (ví dụ góc nhọn, góc tù, ) (Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập 2 – Vũ Hữu Bình) Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau rồi suy ra kết quả. Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng bất ngờ" có thể là một đường kẻ phụ, một hình vẽ phụ từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ năng đã học trước đó mới giải quyết được. Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là “chìa khoá “ thực thụ để giải quyết dạng toán này. II. Một số dạng toán và hướng giải quyết Dạng 1. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều. Bài toán 1. Cho có có , lấy sao cho . Tính số đo Nhận xét Ta cần tìm thuộc có mà . Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc và góc , mặt khác . Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiệ ở trên liên quan đến tam giác đều. Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều. A Hướng giải Cách 1. (Hình 1) M Vẽ đều (D, A cùng phía so với BC). Nối A với D. Ta có (c.c.c) => D B C
  3. Lại có (c.g.c) => => A M Cách 2. (Hình 2) D Vẽ đều (M, D khác phía so với AC). Ta có (c.g.c) => (1) => cân tại D, => (2) B C Từ (1) và (2) suy ra . Từ hướng giải quyết trên chúng ta thử giải Bài toán1 theo các phương án sau: Vẽ đều (C, D khác phía so với AB) Vẽ đều (B, D khác phía so với AC) Vẽ đều (D, C khác phia so với AB) Lập luận tương tự ta cũng có kết quả. Bài toán 2. Cho cân tại A, . Đường cao AH, các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho . Tính Hướng giải A Vẽ đều (B, D khác phía so với AC) cân tại A, (gt) => mà (gt) F E => , => cân tại F. D => , mặt khác , FD chung C B H Do AH là đường cao của tam giác cân BAC => , (vì đều), (gt)
  4. => (g.c.g) => => cân tại A mà Nhận xét Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác đều xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ giả thiết và mối liên hệ được suy ra từ cân tại F. Với hướng suy nghĩ trên chúng ta có thể giải Bài toán 2 theo các cách sau: Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.1). Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.2). A A D F F (H.1) D (H.2) E E C H C B H B Bài toán 3. (Trích toán nâng cao lớp 7 – Vũ Hữu Bình) Cho , . Điểm E nằm trong sao cho . Tính Nhận xét Xuất phát từ và đã biết, ta có và do cân tại E. Với những yếu tố đó giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ là tam giác đều. Hướng giải Vẽ đều (I, B cùng phía so với AE). A Ta có (c.g.c) I mà ( đều) E C => . B
  5. A Khai thác Chúng ta có thể giải Bài toán 3 theo cách sau: E C Vẽ đều (D, E khác phía so với AC) B D Một số bài toán tương tự Bài toán 3.1. Cho , . Kẻ tia . Kẻ AD sao cho (B, D cùng phía so với AC). Tính Bài toán 3.2. Cho , (B, H khác phía so với AC). Tính Bài toán 3.3. Cho . Điểm M nằm trong tam giác sao cho . Tính Bài toán 4. Cho . M là điểm nằn trong tam giác sao cho . Tính Nhận xét Xuất phát từ giả thiết và liên hệ giữa góc với ta có . Từ đó nghĩ đến giải pháp dựng tam giác đều. Hướng giải D Cách 1. (H.1) A Vẽ đều (A, D cùng phía so với BC) Dễ thấy (c.g.c) và (g.c.g) M C cân tại B, B
  6. A Cách 2. (H.2) Vẽ (D, A khác phía so với BC) M C cân tại A. Từ đó có hướng giải quyết tương tự. D B Bài toán 5. Cho . Kẻ tia sao cho . Trên tia lấy điểm D sao cho (A, D khác phía so với BC). Tính Nhận xét Ta thấy bài ra xuất hiện góc và mà , đồng thời với . Điều này làm nảy sinh suy nghĩ về vẽ A hình phụ là tam giác đều. Hướng giải Cách 1 I Vẽ đều (I, A cùng phía so với BC) Ta thấy (c.g.c) và (c.g.c) C B D x A Cách 2 Vẽ đều (E, B khác phía so với AC) Từ đây ta có cách giải quyết tương tự. E C B D x
  7. Dạng 2. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền Bài toán 6. Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau. Phân tích +/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia thành ba góc bằng nhau cân tại A (Đường cao đồng thời là phân giác) đồng thời là trung tuyến A K +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến C B và liên quan đến HM = H M HB = BM = MC Kẻ MK AC tại K. Khi đó có sơ sơ đồ phân tích. Hướng giải Vì tại K. Xét có AH là đường cao ứng với BM AH là đường phân giác ứng với cạnh BM (vì ) Nên cân tại đỉnh A => H là trung điểm BM
  8. Xét có AM là cạnh huyền chung (gt) (cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng) Xét có , KM = MC khi đó ta tính được Vậy Bài toán 7. Cho . Đường cao AH AH = BC. D là trung điểm của AB. Tính Hướng giải A D B C cân tại C => CD là phân giác => H Nhận xét Suy nghĩ chứng minh cân xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ vuông có và AH = BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng .
  9. Bài toán 8. Cho có ba góc nhọn. Về phía ngoài của ta vẽ các tam giác đều ABD và ACE. I là trực tâm , H là trung điểm BC. Tính Phân tích là một nửa tam giác đều =>, vẽ thêm đường phụ để xuất hiện nửa tam giác đều (còn lại) E => Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF A Hướng giải D I Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF Ta có B H C Ta có IA = IB và (vì đều) Mà F cân tại I mà Khai thác Với cách giải này nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đường phụ như sau: Lấy K đối xứng với I qua H (H.1) Lấy M đối xứng với B qua I (H.2) E E M A A D D I I B H C B H C
  10. (H.2) (H.1) Bài tập cùng dạng: Cho , vẽ đều (E, D nằm ngoài tam giác). I, P lần lượt là trung điểm của AD và CE. Điểm F nằm trên BC sao cho BF = 3FC. Tính Dạng 3. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân Bài toán 9. Cho , M là trung điểm của BC, . Tính Phân tích Khi đọc kĩ bài toán ta thấy , quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết được nó có nguồn gốc từ Bài toán 3. Mặt khác , điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân. Hướng giải Cách 1. Hạ (Dễ chứng minh được tia CB nằm giữa hai tia CA và CK) Ta có vuông cân tại K (vì ) Vẽ vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC) Do vuông tại K => KM = BC = MC A cân tại M S Dễ thấy và B C M K
  11. đều => AS = SM = AK cân tại A Cách 2. Lấy D đối xứng B qua AM => cân tại A A Mà đều Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), ( ) D Mà I Mặt khác xét có B C M cân tại D => AD = CD Mà AD = BD ( đều) Vậy vuông cân tại D => Bài toán 10. Cho . D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC. Tính Hướng giải Kẻ sao cho EA = ED, với EF = AD (B, F khác phía so với AC) Ta có (c.g.c) (*) B vuông cân tại D (1) E A C Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho AI = 2AB D Dễ thấy (c.g.c) => (2) Từ (*), (1) và (2) ta có I F Nhận xét
  12. Sau khi vẽ hình ta dự đoán lúc đó ta nghĩ đến việc tạo ra một tam giác vuông cân làm sao để tổng số đo của hai góc cần tìm bằng số đo góc . Ý nghĩ dự đoán xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ vuông cân (E là trung điểm AD). Khi phát hiện tổng hai góc đó bằng chúng ta có thể giải bài toán theo nhiều cách giải khác nhau. Bài toán 11. Cho vuông cân tại A, M là điểm bất kì trên đoạn AC (M khác A, C). Kẻ . E là điểm thuộc đoạn BF sao cho EF = FC kẻ EI // BM, . Tính ? B Hướng giải Gọi K là giao điểm của IE và AC Xét có FA // EK, EF = FC (gt) E => KA = AC và I F Ta có => AM = AI => vuông cân tại A K C A M Nhận xét Đường kẻ phụ KI và KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai B nguyên nhân cơ bản làm nảy sinh kẻ đường phụ này: +/ Một là do IE // AF +/ Hai là EF = FC E Từ đó làm xuất hiện ý nghĩ chứng minh I F và bài toán được giải quyết. Căn cứ vào các yếu tố giả thiết đã cho của bài toán ta có các C A M cách vẽ hình phụ khác như sau: Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AM. H Từ đó ta có cách giải quyết tương tự như trên. Dạng 4. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc.
  13. Bài toán 12. Cho . D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC=AB. M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Tính Hướng giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC K Nối K với B ta có cân tại A (vì AB = DC) A D Mặt khác ta có MA = MD => MK = MC, BN = NC => MN là đường trung bình của B C Nhận xét Vì đâu ta có kẻ đường phụ AK? +/ Thứ nhất: Ta có cân và biết . Như vậy các góc của sẽ tìm được. +/ Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC +/ Thứ ba: Do NB = MC Với lí do thứ hai và ba ta có được góc cần tìm bằng . Vậy bài toán được giải quyết. Sau khi nêu ra các lí do cơ bản đó, ta có các đường kẻ phụ khác như sau: Lấy K đối xứng với A qua N Lấy K là trung điểm của BD Lấy K đối xứng M qua B Lấy K đối xứng D qua N Bài toán trên có thể ra dưới dạng tổng quát như sau: Giữ nguyên giả thiết và thay Một số bài toán tham khảo Bài 1. Cho , các phân giác AD, CE cắt nhau tại F, , . Tính Bài 2. Cho , CA = CB, điểm M nằm trong tam giác sao cho . Tính Bài 3. Cho cân tại C, , M nằm trong tam giác sao cho
  14. . Tính Bài 4. Cho AB = AC, , trung tuyến CM. trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, biết . Tính CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC A, Tóm tắt lý thuyết 1.Hai tam giác bằng nhau: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
  15. ABC = A’B’C’ 2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác a.Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh ( c.c.c ) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ (c.c.c) Nâng cao : quan hệ bằng nhau của hai tam giác có tính chất bắc cầu Nếu ABC = DEF; DEF = HIK Thì ABC = HIK b.Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh (c.g.c) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ (c.g.c)
  16. Hệ quả : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Nâng cao : Trong trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh, cặp góc bằng nhau phải là cặp góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau. Nếu không có điều kiện đó thì hai tam giác chưa chắc đã bằng nhau. Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng : Nếu hai tam giác nhọn có hai cặp cạnh bằng nhau từng đôi một và một cặp góc tương ứng bằng nhau (không cần xen giữa) thì hai tam giác đó bằng nhau. c.Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc – cạnh – góc ( g.c.g ) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ ( g.c.g )
  17. Nâng cao: Trong trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc, cặp cạnh bằng nhau phải là cặp cạnh kề với hai cặp góc bằng nhau. Nếu không có điều kiện đó thì hai tam giác chưa chắc đã bằng nhau. Tuy nhiên có thể thay điều kiện cặp cạnh kề bằng điều kiện khác như sau : Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia và có một cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau. d.Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông . Trường hợp 1 : hai cạnh góc vuông (cạnh – góc – cạnh) Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. . Trường hợp 2 : cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh - góc) Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ ( cạnh huyền – góc nhọn )
  18. . Trường hợp 3 : cạnh huyền – cạnh góc vuông (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. ABC = A’B’C’ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông ) 3. Ứng dụng Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để : - Chứng minh : hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thằng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, - Tính : các độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tính chu vi, diện tích, - So sánh : các độ dài đoạn thẳng, so sánh các góc, . B. Các dạng bài tập Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh- cạnh – cạnh rồi suy ra hai góc tương ứng bằng nhau.
  19. Ví dụ 1: Cho hai tam giác ABC có = 400, AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của mỗi tam giác AMB, AMC. Phân tích: Ta thấy rằng ABC có AB = AC nên ABC là tam giác cân và M là trung điểm của BC từ đó suy ra AMB = AMC theo trường hợp (c.c.c) . Cho = 400 từ đó có thể tính được các góc còn lại dựa vào định nghĩa hai tam giác bằng nhau. Lời giải Xét AMB và AMC có : AB = AC (giả thiết) MB = MC (giả thiết) AM chung  AMB = AMC (c.c.c)  = , = , = (các góc tương ứng) Ta lại có : + = 400 nên = = 200 + = 1800 nên = = 900 Suy ra = = 1800 – 900 – 200 = 700 Khai thác : giả sử tam giác ABC là tam giác đều, M là trung điểm của BC Tính các góc của mỗi tam giác AMB, AMC.
  20. Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : AM là tia phân giác của góc BAC. Phân tích : Chứng minh AM là tia phân giác của thì ta cần chứng minh = .Muốn chứng minh hai góc này bằng nhau thì phải chứng minh AMB = AMC (c.c.c) Lời giải Xét AMB và AMC có : AB = AC (gt) AM chung MB = MC (gt)  AMB = AMC (c.c.c)  = Vậy AM là tia phân giác (đpcm) Khai thác : c, Hãy chứng minh MN là đường trung trực của đoạn BC. b, Ba điểm A, M, N thẳng hàng. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Cho tam giác ABC. Vẽ cung tâm A có bán kính bằng BC, vẽ cung tâm C có bán kính bằng AB, chúng cắt nhau ở M (M và B nằm khác phía đối với AC). Chứng minh rằng AM// BC. (Trích Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Bài 2: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB (D và C nằm khác phía đối với AB), AD = AB. Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B nằm khác phía đối với AC), AE = AC. Biết rằng DE = BC. Tính . (Trích Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình)
  21. Bài 3 : Cho đoạn thẳng AB và điểm C cách đều hai điểm A và B, điểm D cách đều hai điểm A và B (C và D nằm khác phía đối với AB). a,Chứng minh rằng tia CD là tia phân giác của góc . b, Kết quả ở câu a có đúng không nếu C và D nằm cùng phía đối với AB? (Trích Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Bài 4: Cho ABC = A’B’C’ . Gọi M và M’ tương ứng là trung điểm của BC và B’C’. Biết AM = A’M’. Chứng minh rằng : a, AMB = A’M’B’ b, = ( ‐%C4%91%E1%BB%81‐2‐tam‐giac‐b%E1%BA%B1ng‐nhau‐ truonghocso) Bài 5 : Cho ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính bằng AB, cung tròn tâm B bán kính bằng AC. Hai cung tròn trên cắt nhau tại D (A và D thuộc hai nửa mặt phẳng bờ BC) . Chứng minh CD // AB và BD // AC. ( ‐%C4%91%E1%BB%81‐2‐tam‐giac‐b%E1%BA%B1ng‐nhau‐ truonghocso) Bài 6 : Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox và Oy lấy tương ứng hai điểm A và B sao cho OA = OB, vẽ đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm M, N nằm trong góc xOy. Chứng minh rằng : a, OMA = OMB và ONA = ONB. b, Ba điểm O, M, N thẳng hàng. c, AMN = BMN. d, MN là tia phân giác của góc AMB. ( ‐%C4%91%E1%BB%81‐2‐tam‐giac‐b%E1%BA%B1ng‐nhau‐ truonghocso)
  22. Bài 7 : Cho ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm cạnh BC. a, Chứng minh AH vuông góc với BC và là tia phân giác của góc BAC. b, Trên tia đối của HA lấy điểm K sao cho HK = HA, chứng minh rằng CK // AB. ( ‐%C4%91%E1%BB%81‐2‐tam‐giac‐b%E1%BA%B1ng‐nhau‐ truonghocso) Bài 8 : Cho ABC có AB = AC. Gọi D và E là hai điểm trên BC sao cho BD = DE = EC. a, Chứng minh = . b, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc DAE. c, Giả sử = 600, có nhận xét gì về các góc của AED. ( ‐%C4%91%E1%BB%81‐2‐tam‐giac‐b%E1%BA%B1ng‐nhau‐ truonghocso) Bài 9 : Cho ABC, vẽ đoạn AD vuông góc với AB (C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC), AE = AC. Biết rằng DE = BC, tính . ( ‐%C4%91%E1%BB%81‐2‐tam‐giac‐b%E1%BA%B1ng‐nhau‐ truonghocso) Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.Từ đó vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh- góc – cạnh rồi suy ra hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có < 90o. Trên nửa mặt phẳng có chứa A bờ BC, vẽ tia Bx vuông góc với BC, trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC. Trên nửa mặt phẳng có chứa C bờ AB, vẽ tia By vuông góc với BA, trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh rằng : DA = EC
  23. Phân tích: Để chứng minh DA = EC ta cần chứng minh ABD = EBC Lời giải: Xét ABD và EBC có : AB = BE = ( cùng bằng 900 - ) BD = BC  ABD = EBC ( c.g.c) DA = EC Khai thác : b, Chứng minh DA vuông góc với EC. Ví dụ 2: Chứng minh định lý : Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Phân tích: Để chứng minh AM = BC ta phải vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AM = AD. Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Ta cần chứng minh ABC = CDA từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Lời giải : Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Xét AMB và DMC có: MB = MC (gt)
  24. = (đối đỉnh) MA = MD (do cách vẽ)  AMB = DMC ( c.g.c )  AB = DC và =  AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Vì AC vuông góc với AB (gt) nên AC vuông góc với CD ( quan hệ giữa tính song song và vuông góc ) Xét ABC và CDA có: AB = CD ( chứng minh trên) = = 900 AC chung  ABC = CDA ( c.g.c )  BC = AD Vì AM = AD nên AM = BC Khai thác : Cho ABC, các trung tuyến BD, CE. Trên tia BD lấy điểm M, trên tia CE lấy điểm N sao cho BD = BM, CE = CN. Chứng minh rằng BC = MN. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7- tập 1)
  25. Bài 2 : Cho tam giác ABC có = 500. Vẽ đoạn thẳng AI vuông góc và bằng AB ( I và C khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AK vuông góc và bằng AC ( K và B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng : a. IC = BK. b. IC vuông góc với BK. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7 – tập 1) Bài 3 : Tam giác ABC có = 1000 . M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA. a. Tính số đo góc ABK. b. Về phía ngoài của tam giác ABC, vẽ các đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh rằng ABK = DAE. c. Chứng minh : MA vuông góc với DE. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7- tập 1) Bài 4 : Trên các cạnh Ox và Oy của góc xOy lấy các điểm A và B sao cho OA = OB. Tia phân giác của góc xOy cắt AB ở C. Chứng minh rằng : a. C là trung điểm của AB. b. AB vuông góc với OC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 5 : Cho tam giác ABC có = 900, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng : a. KC vuông góc với AC. b. AK song song với BC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 6 : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm N sao cho DN = DB. Trên tia đối của tia EC, lấy điểm M sao cho EM = EC. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 7 : Cho O là điểm thuộc đoạn thẳng AB ( không trùng haid đầu mút). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ox và Oy sao cho = < 900. Lấy
  26. điểm C trên tia Ox và điểm D trên tia Oy sao cho OC = OA và OD = OB. Chứng minh rằng AD = BC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Lấy các điểm E trên đoạn thẳng AD, F trên đoạn thẳng BC sao cho AE = BF. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 9 : Chứng minh rằng nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác này bằng hai cạnh và trung tuyến của cạnh thứ ba của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc .Từ đó vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, các đường thẳng song song, các điểm thẳng hàng. Phương pháp: Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc rồi suy ra hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC ở M, tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC. Phân tích: Gọi I là giao điểm của BM và CN. Ta có = 600 từ đó suy ra = 600, = 600. Chứng minh BIN = BID để suy ra BN = BD(1) . Chứng minh tương tự CIM = CID (g.c.g) suy ra CM = CD(2) . Từ (1) và (2) suy ra BN + CM = BD + CD = BC Lời giải :
  27. Gọi I là giao điểm của BM và CN. Ta có = 600 suy ra + = 1800 - 600 = 1200 Do đó + = 1200 : 2 = 600 Vì vậy = 600, = 600 Kẻ tia phân giác của góc BIC cắt BC ở D. Tam giác BIC có + = 1200 nên = 1200. Do đó = = 600 Xét BIN và BID có : = Chung BI = = 600 Do đó BIN = BID (g.c.g) suy ra BN = BD(1) Chứng minh tương tự CIM = CID (g.c.g) suy ra CM = CD(2) Từ (1) và (2) suy ra BN + CM = BD + CD = BC Khai thác : Nêu các cặp tam giác bằng nhau trong hình trên Ví dụ 2: Chứng minh định lý : Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau. Phân tích: Việc nối AC làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AC. Muốn chứng minh AB = CD và BC = AD ta cần chứng minh ABC = CDA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
  28. Lời giải : Nối AC. ABC và CDA có: = (cặp so le trong của AB // CD) AC chung = (cặp so le trong của BC // AD) Vậy ABC = CDA (g.c.g) Suy ra AB = CD và BC = AD. Khai thác : Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy ba điểm A, B, C sao cho OA = AB = BC . Từ A, B, C vẽ ba đường thằng song song với nhau cắt tia Oy lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng OD = DE = EF. Bài tập vận dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên các cạnh AB và AC lấy điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng : a. BE = CD b. KBD = KCE (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 2: Cho tam giác ABC có = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D, tia phân giác của góc C cắt AB ở E. Các tia phân giác đó cắt nhau ở I. Chứng minh rằng ID = IE. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 3 : Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh rằng EG + FH = AB. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1)
  29. Bài 4 : Cho tam giác ABC có = 900, AB = AC. Qua A vẽ đường thẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Kẻ BH và CK vuông góc với d. Chứng minh rằng : a. AH = CK b. HK = BH + CK (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 5: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD bằng và vuông góc với AB (D và C nằm khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AE bằng và vuông góc với AC (E và B nằm khác phía đối với AC) . Vẽ AH vuông góc với BC. Đường thẳng HA cắt DE ở K. Chứng minh rằng DK = KE. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 6: Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm A ở trong góc đó. Hãy nêu cách vẽ một đường thẳng qua A cắt Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho AB = CD. (bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7) Bài 7: Cho tam giác ABC. Các điểm D và M di động trên cạnh AB sao cho AD = BM. Qua D và M vẽ các đường thẳng song song với BC cắt AC lần lượt tại E và N. Chứng minh rằng tổng DE + MN không đổi. (bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7) Bài 8: Cho tam giác ABC, = 1200, phân giác BD và CE cắt nhau ở O. trên cạnh BC lấy hai điểm I và K sao cho = = 300. Chứng minh rằng : a. OI vuông góc với OK b. BE + CD < BC (bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7) Bài 9: Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác vuông cân ở A là ABE và ACF. Vẽ AH vuông góc với BC. Đường thẳng AH cắt EF tại O. chứng minh rằng O là trung điểm của EF. (bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 7) Dạng 4 : Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
  30. Phương pháp: Ngoài các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông suy ra từ các trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc và trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, đối với tam giác vuông còn có trường hợp bằng nhau cạnh huyền – cạnh góc vuông. Nếu một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Ví dụ 1 : Tam giác ABC có AB = 24, AC = 32, BC = 40 Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = 7.Chứng minh rằng: a. Tam giác ABC vuông. b. = 2 Phân tích: - Nhờ có định lý Py – ta – go mà ta có thể tính được một cạnh của tam giác vuông khi biết hai cạnh còn lại. - Định lý Py – ta – go đảo cho ta thêm một cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Lời giải: a, Tam giác ABC có AB 2 + AC 2 = 24 2 + 322 = 1600 BC2 = 1600. Vậy AB 2 + AC 2 = BC2 Suy ra tam giác ABC vuông tại A (định lý Py – ta - go đảo) b, Áp dụng định lý Py – ta - go vào tam giác vuông AMB ta có : BM 2 = AB 2 + AM 2 = 242 + 72 = 625 BM = 25 Mặt khác, MC = AC – AM = 32 – 7 = 25
  31. Vậy MB = MC suy ra MBC cân tại M do đó = = + (tính chất góc ngoài của MBC) hay = 2 Khai thác: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác. a. Chứng mỉnh rằng tam giác ABC cân. b. Cho biết AB = 37, AM = 35. Tính BC. Ví dụ 2 : Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ( AB < AC ) và các điểm M thuộc AC, H thuộc cạnh BC sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân giác góc A. Phân tích: Để chứng minh AH là tia phân giác của góc A ta cần chứng minh các cặp tam giác bằng nhau để suy ra được các cặp góc tương ứng bằng nhau. Lời giải: Kẻ HI vuông góc với AB, HK vuông góc với AC Ta có = ( cùng phụ với ) Xét HKM và HIB có: = = 900 HM = HB ( gt ) = (chứng minh trên) Do đó HKM = HIB (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra HI = HK Xét HIA và HKA có : = = 900
  32. HA chung HI = HK (chứng minh trên) Do đó HIA = HKA ( cạnh huyền – cạnh góc vuông), suy ra = Do đó AH là tia phân giác của góc A. Khai thác: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Bài tập vận dụng : Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD ( H AE). CMR : a. BH = CK b. AHB = AKC c. BC // HK Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, góc A nhọn. Kẻ BD vuông góc với AC (E AB ). Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng : a. AD = CE b. AI là phân giác của góc BAC Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ A kẻ AH vuông góc với BC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK vuông góc với AC (K AC ). Chứng minh rằng AK = AH. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng : a. BH = AK b. MBH = MAK c. MHK vuông cân
  33. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông góc với AE cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng : a. BA = BH b. = 450 Bài 6: Cho tam giác vuông cân tại A. Một đường thẳng d bất kì luôn đi qua A. Kẻ BH và CK cùng vuông góc với d. Chứng minh rằng tổng BH 2 + CK 2 có giá trị không đổi. Bài 7 : Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Bài 8: Cho tam giác ABC cân tại A, < 900. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A. Bài 9 : Cho một tam giác có ba đường cao bằng nhau a. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. b. Biết mỗi đường cao có độ dài là , tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó.
  34. CHUYÊN ĐỀ 3: CÁC TAM GIÁC ĐẶC BIỆT A. Tóm tắt lý thuyết I. Tam giác cân A B C 1. Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. ABC cân tại A 2. Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. ABC cân tại A = 3. Dấu hiệu nhận biết:
  35. - Theo định nghĩa. - Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. II. Tam giác vuông cân A B C 1. Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. ABC vuông cân tại A 2. Tính chất: Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45 . = III. Tam giác đều
  36. A B C 1. Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau. ABC đều 2. Tính chất: Trong tam giác đều, mỗi góc bằng 60 3. Dấu hiệu nhận biết: - Theo định nghĩa. - Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. - Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 thì tam giác đó là tam giác đều. IV. Định lý Pi-ta-go 1. Định lý py – ta – go: ( thể hiện tính chất về cạnh của tam giác vuông) Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. B ABC vuông tại A  BC2 = AB2 + AC2 A C 2. Định lý Py- ta – go đảo: ( Cách nhận biết tam giác vuông) Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
  37. B. Các dạng toán I. Dạng 1: Vẽ tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều. 1. Phương pháp giải Dựa vào cách vẽ tam giác đã học ( vẽ bằng compa đã học ở lớp 6)và định nghĩa tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều để vẽ. 2. Ví dụ a. Ví dụ 1: Dùng thước có chia xentimet và compa vẽ tam giác đều ABC có cạnh bằng 3 cm. Hướng dẫn cách vẽ: - Vẽ đoạn thẳng BC = 3cm. - Vẽ cung tròn tâm B bán kính 3cm và cung tròn tâm C bán kính 3cm, chúng cắt nhau tại A. - Vẽ các đoạn thẳng AB, AC. 3. Bài tập áp dụng - Bài 1: Cho 2 điểm A và B nằm về cùng một phía của đường thẳng d. Hãy dựng tam giác MNP sao cho đáy MN nằm trên d, còn A và B lần lượt là chân hai đường cao kẻ từ M và N. II. Dạng 2: Chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều từ các dấu hiệu nhận biết các tam giác đặc biệt và từ điều chứng minh trên suy ra 2 đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. 1. Phương pháp giải - Dựa vào dấu hiệu nhận biết và định nghĩa các tam giác đặc biệt để nhận biết được các tam giác đó thuộc loại tam giác nào. - Sử dụng các tính chất của các tam giác đặc biệt đó để chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. 2. Ví dụ minh họa a. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC). Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc BC, cắt AC tại E. Trên AB lấy điểm P sao cho AF = AE. Chứng minh rằng: + = + DBF là tam giác cân
  38. + DB = DE. B D F A E C  Bài giải: + phụ , phụ nên = .(1) + EAD = FAD ( c.g.c) vì  = => = (2) Từ (1) và (2) suy ra, = , do đó DBF cân tại D( dấu hiệu nhận biết tam giác cân sử dụng tính chất của tam giác cân) + DBF cân tại D => DB = DF( định nghĩa tam giác cân)(3) EAD = FAD ( chứng minh trên) => DE =DF (4) Từ ( 3) và (4) suy ra DB = DE.  Khai thác bài toán: Nếu thay điều kiện = = 90 bởi = = Thì bài toán có đúng nữa không?( Trả lời: bài toán vẫn đúng). b. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, = 100 . Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng = 30 .
  39. A B C D  Phân tích: - Từ việc chứng minh 2 tam giác bằng nhau và áp dụng tính chất cộng góc của các góc ta sẽ đi tới điều phải chứng minh.  Bài giải: ABC cân tại A, = 100 => = = 40  Cách 1: Dựng ADE đều, E và C cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB. A B C D E Ta có: = – = 100 - 60 = 40 ABC = CAE ( c.g.c) vì  ( hai cặp cạnh tương ứng bằng nhau của 2 tam giác bằng nhau)
  40. Ta lại có: ADC = EDC (c.c.c) => = ( hai góc tương ứng bằng nhau của 2 tam giác bằng nhau) Mà + = = 60 . Do đó, = 30 .  Cách 2: Dựng tam giác BCF đều, A và F nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. A B C D E = + = 100 ACF = CAD ( vì AC chung, = = 100 , CF = AD) = ( hai góc tương ứng bằng nhau của 2 tam giác bằng nhau) Ta có: ABF = ACF ( c.c.c)  = mà + = 60 . Do đó, = = 30  Cách 3: Vẽ tam giác ADM đều, M và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB. Vẽ điểm N sao cho = 100 , AN = AC, N và A cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ MD.
  41. N M A B C D NAD = CAD (c.g.c) vì = 100  = (hai góc tương ứng bằng nhau của hai tam giác bằng nhau) ABC = NMA (c.g.c) vì ( hai cạnh tương ứng bằng nhau của hai tam giác bằng nhau) AND = MND (c.c.c)  = Mà = = = 60  = 30 . Do đó, = 30 . 3. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tam giác đều AMC, BMD. Gọi E, F lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AD< CB. Chứng minh rằng tam giác MEF là tam giác đều ( trích sách “ Nâng cao và phát triển toán 7 của tác giả Vũ Hữu Bình)
  42. Bài 2: Ở miền trong góc nhọn xOy, vẽ tia Oz sao cho = . Qua điểm A thuộc tia Oy, vẽ AH vuông góc với Ox, cắt Oz ở B. Trên tia BZ lấy điểm D sao cho BD = OA . Chứng minh rằng tam giác AOD là tam giác cân. ( trích sách “ Nâng cao và phát triển toán 7 của tác giả Vũ Hữu Bình) Bài 3: Cho tam giác ABC cân tịa A, = 140 . Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, kẻ tia Cx sao cho = 110 . Gọi D là giao điểm của các tia Cx và BA. Chứng minh rằng AD = BC. ( trích sách “ Nâng cao và phát triển toán 7 của tác giả Vũ Hữu Bình) Bài 4: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC), có = 80 . Gọi D là điểm trong tam giác sao cho = 10 , = 30 . Tìm số đo góc BAD. ( trích sách “ Cẩm nang vẽ them hình phụ trong giải toán hình học phẳng của tác giả Nguyễn Đức Tấn) Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, có = 108 , BC= a, AC = b. Vẽ phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD cân tại A có = 36 . Tính chu vi tam giác ABD theo a và b. ( trích sách “ Cẩm nang vẽ them hình phụ trong giải toán hình học phẳng của tác giả Nguyễn Đức Tấn) III. Dạng 3: Áp dụng định lí py – ta – go. 1. Dạng 3.1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông( một tam giác vuông cân) a) Phương pháp giải: Sử dụng định lí thuận của định lí Py – ta – go để tìm độ dài các cạnh. - Chú ý: Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông để áp dụng được định lý Py – ta – go. b) Ví dụ Ví dụ 1: Tính độ dài x trên hình sau, biết rằng CD = 7, DB = 18, = 90 .
  43. C C 7 7 D D x 18 x H 9 x x B A B A  Phân tích: - Dựa vào đề bài ta thấy để tính được cạnh x ta chỉ có thể áp dụng định lí py- ta – go đối với tam giác vuông. - Mà trong tam giác vuông ABC , vuông tại A, ta chỉ mới biết độ dài của cạnh huyền. Vì vậy, để áp dụng được định lý Py – ta – go vào trong tam giác vuông để tính cạnh x ta phải gắn chúng vào 1 tam giác vuông  Kẻ AH vuông góc với BC ta sẽ áp dụng được đinh lý Py – ta –go và tính ra độ dài cạnh x.  Giải: Kẻ AH BD. Dễ chứng minh BH = HD = 9. Áp dụng định lý Py – ta – go vào ABC vuông tại H, ta có: AH2 = AB2 - HB2 = x2 – 92 = x2 – 81.(1) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ABC vuông tại H, ta có: AH2 = AC2 – CH2 = (252 – x2) – 162 = 369 – x2.(2) Từ (1) và (2) ta có: X2 – 81 = 369 – x2. Do đó: 2x2 = 450 x2 = 225 x2 = 152 x = 15 ( đvđd)  Khai thác bài toán: - Cho tam giác ABC vuông tại A, D nằm trên cạnh huyền CD sao cho CD = 7, BD = 18.
  44. Chứng minh rằng tam giác ABD cân. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có = 135 , AB = cm, BC = 2 cm. Tính độ dài cạnh AC H B C A  Phân tích: - = 135 . Gợi ta nghĩ đến đường phụ cần vẽ thêm AH, AH vuông góc với BC tại H. - Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ta tính được canh AH.  Bài giải: Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Ta có + = 180 ( hai góc kề bù) Nên + 135 = 180  = 45 Xét tam giác vuông HBA, vuông tại H, có = 45  HAB vuông cân tại H  HA = HB Ta có: AH2 + HB2 = AB2 ( áp dụng định lý Py – ta – go) AH2 + AH2 = ( )2  AH = 1 ( cm) Nên HB =HA = 1 cm Ta có HC = HB + BC = 1 + 2 = 3 cm. Xét HAC vuông tại H  AC2 = AH2 + HC2 = 12 + 32  AC = cm.  Bài tập vận dụng:
  45. - Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông goc với BC ( H BC). Biết HB = 9cm, HC = 16 cm. Tính độ dài AH. - Bài 2: Cho tam giác ABC, < 90 , M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: AB2 + AC2 = 2AM2 + - Bài 3: Tính độ dài x trên hình sau: 4 3 x 2 - Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết BC = 20 cm và 4AB = 3AC. Tính độ dài các cạnh AB, AC. - Bài 5: Cho tam giác cân ở A. = 30 , BC = 2 cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho = 60 . Tính độ dài AD. ( trích sách “ ôn tập hình học 7”_ tác giả Nguyễn Ngọc Đạm Và sách “ Nâng cao và phát triển toán 7” _ tác giả Vũ Hữu Bình Và sách : “Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải toán hình học phẳng”_ tác giả Nguyễn Đức Tấn.) 2. Dạng 3.2: Sử dụng định lý Py – ta – go để nhận biết tam giác vuông a) Phương pháp: - Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác. - So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia. - Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam gác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền. b) Ví dụ: Ví dụ : Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau: a) 9 cm, 15 cm, 12 cm. b) 7 dm, 7 dm, 100 cm  Phân tích:
  46. - Để chứng minh xem tam giác có đội dài các cạnh như trên có là tam giác vuông không ta lần lượt tính các bình phương. - So sánh xem tổng bình phương cạnh dài nhất có bằng tổng bình phương các cạnh còn lại không: + Nếu bằng ta kết luận tam giác đó là tam giác cân. + Nếu không bằng thì kết luận tam giác đó không phải là tam giác cân. - Chú ý: phải đổi tất cả các cạnh cùng một đơn vị đo.  Bài giải: a) 92 = 81; 152 = 225; 122 = 144 Ta thấy 225 = 81 + 144 Nên tam giác này là tam giác vuông. b) Đổi 100 cm = 10 m. Ta có 72 = 49, 102 = 100. Ta thấy 100 49 + 49 Nên tam giác này không là tam giác vuông.  Khai thác bài toán c) Bài tập vận dụng: - Bài 1: Chọn trong các số 5, 8, 9, 12, 13, 15 các bộ ba số có thể là độ dài các cạnh của một tam giác vuông. - Bài 2: Cho hình vẽ, trong đó BC = 6cm, AD = 8 cm. Chứng minh AD vuông góc với BC. A 3 B 7 C D - Bài 3: Vẽ về cùng một phía của đoạn thẳng AB = 5 cm các tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 5 cm. Trên tia By lấy điểm E sao cho BE = 1 cm. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho AC = 2 cm. Góc DCE có là góc vuông hay không? Vì sao? - Bài 4: Chứng minh tam giác ABC ở hình vẽ sau là tam giác vuông cân
  47. B C A (trích sách “ ôn tập hình học 7”_ tác giả Nguyễn Ngọc Đạm Và sách “ Nâng cao và phát triển toán 7” _ tác giả Vũ Hữu Bình Và sách : “Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải toán hình học phẳng”_ tác giả Nguyễn Đức Tấn.
  48. CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC I. LÝ THUYẾT 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Trong một tam giác : . Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. . Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Nhận xét : . Trong tam giác tù ( hoặc tam giác vuông ), góc tù ( hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù ( hoặc góc vuông – cạnh huyền ) là cạnh lớn nhất. . Trong tam giác đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn. 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. 2.1 Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên. Điểm A ở ngoài đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Trên d lấy điểm B bất kì ( B ≠ H) . Khi đó : A . Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến chân đường thẳng d. Điểm H được gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của A trên đường thẳng d. d H B . Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. . Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng.
  49. 2.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Trong các đường xiên và đường thẳng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. Chú ý : Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. 2.3 Các đường xiên và các hình chiếu của chúng. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: . Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. . Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. . Nếu hai dường xiên bằng nhau thì hình chiếu của chúng bằng nhau và ngược lại. Nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác – Bất đẳng thức trong tam giác. 3.1 Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớ hơn độ dài cạnh còn lại. A AB+BC > AC AB + AC > BC AC + BC > AB B C 3.2 Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại. AC BC AB AC BC AB AC BC AB AC AB BC AC AB BC
  50. II. BÀI TẬP 1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác Bài 1 : Cho tam giác ABC,  900. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với các đỉnh của tam giác. CMR : BC > MN Phân tích lời giải : A Dữ liệu đề bài cho  900 nên ta có thể c/m N  0 BMC 90 . Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh M trong tam giác ta có BC > MC B C Mà MNC >  => MNC 900  MC > MN  BC > MN Giải : Xét tam giác BMC ta có BMC BAC  ACM ( tính chất góc ngoài tam giác)  BMC >  mà  900 nên BMC 900  BM > MC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) Xét tam giác MNC có MNC >  => MNC 900  MC > MN  BC > MN Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC,  MN hay không ? Vì sao ? Bài 2 : Cho ABC , AB DB
  51. Phân tích lời giải : A a. C/m : 2  0 1 ADC 90 E ↑   0 B C ADB ADC 180 D x ↑   ADB ADC b. Vì DB và DC là 3 điểm thẳng hàng nên ta không thể sử dụng BĐT trong tam giác. Vậy ta sẽ lấy thêm điểm E sao cho AE = AB. Khi đó : ADB ADE( ) c g c => DB = DE và chứng minh được DC > DE => DC > DB Giải : a. Tam giác ABC có : AB DB = DE ( 2 cạnh tương ứng ) (1)     và ABD AED do đó CBx CED ( cùng bù với hai góc bằng nhau )   CBx C ( tính chất góc ngoài của tam giác ABC )
  52.   CED C do đó DC > DE (2) Từ (1) và (2) : DC > DB Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BD của góc B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD cắt BC tai E a. CM : BA = BE b. Chứng minh : Tam giác BED là tam giác vuông c. So sánh : AD và DC Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB < AC, M là trung điểm của cạnh BC. So sánh   BAM MAC Phân tích lời giải : Hai góc BAM và MAC không thuộc về một tam giác. Do vậy ta tìm một tam giác có hai góc bằng hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì AB < AC Lấy điểm D trên tia đối của tia MA sao cho MA = MD . Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm. Giải : Vẽ tia đối của tia MA và trên đó lấy điểm D sao cho MD = MA CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC III. LÝ THUYẾT 4. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Trong một tam giác : . Góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. . Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Nhận xét :
  53. . Trong tam giác tù ( hoặc tam giác vuông ), góc tù ( hoặc góc vuông) là góc lớn nhất nên cạnh đối diện với góc tù ( hoặc góc vuông – cạnh huyền ) là cạnh lớn nhất. . Trong tam giác đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn. 5. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. 5.1 Khái niệm về đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên. Điểm A ở ngoài đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Trên d lấy điểm B bất kì ( B ≠ H) . Khi đó : A . Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến chân đường thẳng d. Điểm H được gọi là chân đường vuông góc hay hình chiếu của A trên đường thẳng d. d H B . Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. . Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng.
  54. 54 5.2 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Trong các đường xiên và đường thẳng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. Chú ý : Độ dài đường vuông góc AH gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. 5.3 Các đường xiên và các hình chiếu của chúng. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: . Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. . Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. . Nếu hai dường xiên bằng nhau thì hình chiếu của chúng bằng nhau và ngược lại. Nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 6. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác – Bất đẳng thức trong tam giác. 6.1 Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớ hơn độ dài cạnh còn lại. A AB+BC > AC AB + AC > BC AC + BC > AB B C 6.2 Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại. AC BC AB AC BC AB AC BC AB AC AB BC AC AB BC IV. BÀI TẬP 2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác 54
  55. 55 Bài 1 : Cho tam giác ABC,  900. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với các đỉnh của tam giác. CMR : BC > MN A N Phân tích lời giải : Dữ liệu đề bài cho  900 nên ta có thể c/m M BMC 900 . Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh trong B C tam giác ta có BC > MC Mà MNC >  => MNC 900  MC > MN  BC > MN Giải : Xét tam giác BMC ta có BMC BAC  ACM ( tính chất góc ngoài tam giác)  BMC >  mà  900 nên BMC 900  BM > MC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác ) Xét tam giác MNC có MNC >  => MNC 900  MC > MN  BC > MN Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC,  MN hay không ? Vì sao ? Bài 2 : Cho ABC , AB DB A 2 1 Phân tích lời giải : E 55 B C D x
  56. 56 c. C/m :  0 ADC 90 ↑   0 ADB ADC 180 ↑   ADB ADC d. Vì DB và DC là 3 điểm thẳng hàng nên ta không thể sử dụng BĐT trong tam giác. Vậy ta sẽ lấy thêm điểm E sao cho AE = AB. Khi đó : ADB ADE( ) c g c => DB = DE và chứng minh được DC > DE => DC > DB Giải : c. Tam giác ABC có : AB DB = DE ( 2 cạnh tương ứng ) (1)     và ABD AED do đó CBx CED ( cùng bù với hai góc bằng nhau )   CBx C ( tính chất góc ngoài của tam giác ABC )   CED C do đó DC > DE (2) Từ (1) và (2) : DC > DB 56
  57. 57 Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BD của góc B. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD cắt BC tai E d. CM : BA = BE e. Chứng minh : Tam giác BED là tam giác vuông f. So sánh : AD và DC Bài 3 : Cho tam giác ABC có AB CD MAC MDC ( quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác ). 57
  58. 58   Mà MAC MDC và BAM MDC    BAM MAC Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC và   BAM MAC . Chứng minh : AB BD Hướng dẫn giải : Cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài bằng BD. CD. Sau đó so sánh góc đối diện với hai cạnh ý. Lấy điểm E trêm cạnh AC sao cho AE = AB. Bài 2 : Cho tam giác ABC có Â = 900. Tren tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD BD ( Cách làm tương tự bài 1 ) Bài 3 : Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng AB + AC > BC Hướng dẫn giải : Cần tạo ra một tam giác mà trong đó có hai cạnh có độ dài bằng AB + AC, BC. Sau đó tìm cách so sánh các góc đối diện với các cạnh đó. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Bài 4 : Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ). Trên cạnh đáy BC lấy các điểm D, E sao   cho BD = DE = EC. Chứng minh rằng : BAD DAE Hướng dẫn giải : Tìm một tam giác có hai góc bằng góc BAD và DAE, rồi so sánh hai cạnh đối diện của chúng    Xét tam giác AEC có AED ACE mà ACE ABC     Do đó AED ABE . Từ đó suy ra AB > AE => BAD DAE Bài 5 : Cho tam giác ABC ( AB = AC ), D là điểm bất kì trong tam giác sao cho   ADB ADC . Chứng minh rằng : DC > DB 58
  59. 59 Hướng dẫn giải : Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho   CAx BAD và trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD Bài 6 : Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác. Tia AM cắt BC tại K. Hãy so sánh các góc :   a. CMK với CAK   b. CMB với CAB Hướng dẫn giải : Áp dụng tính chất góc ngoài của tam giác Tài liệu tham khảo : Vẽ thêm yếu tố hình phụ để giải một số bài toán Hình Học 7 _ Nguyễn Đức Tấn Chuyên đề BĐT và cực trị trong hình học phẳng _ Nguyễn Đức Tấn 3. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu. Bài 1 : Cho ABC với đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ H đến AB và AC. Chứng minh rằng nếu BM=CN thì ABC cân với đáy BC. Phân tích lời giải : Ta nhận thấy rằng đây là 1 bài toán mang tính giả thiết tạm thời . Nếu BM = CN thì tam giác ABC cân với đáy BC. Trước hết để làm bài này ta cần phải giả sử là nếu BM = CN thì tam giác ABC không cân. Sau đó ta áp dụng định lý Pitago và liên hệ giữa hình chiếu và đường xiên để làm bài . Giải : Giả sử ABC không cân Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử AB> AC. Khi đó HB> HC ( liên hệ giữa hình chiếu và đường xiên ). Ta có : BH2 = BM2 + HM2 ( Định lý Pitago trong tam giác vuông BMH) A CH2 = CN2 + HN2 ( Đ/L Pitago) M Mà BM = CN ( giả thiết ) N 59 B C H
  60. 60  HM > HN (1) Ta lại có : AH2 = AM2 + HM2 AH2 = AN2 + HN2 Mà từ (1) có : HM > HN => AM AB ( DE+BC) 2 H D E ↑ 2 BE > BC + DE ↑ BE + BE > HE + BN B C ↑ HD = NC ↑ HBD = NEC Giải : Vẽ BH DE(),() H DE EN  BC N BC 60
  61. 61  0  0 Xét HBE(90) BHE và NEB(90) ENB có : BE chung NEC   HBE NEB ( vì DE // BC )  HBE NEB ( cạnh huyền – góc nhọn)  BH= EN ( 2 cạnh tương ứng)   0 Mặt khác : HBD DBC HBC 90   0 NEC ECN 90 ( NEC có N̂ = 900)  Mà DBC ECN ( tam giác ABC cân tại A)    HBD NEC Xét HBD và NEC có :   DHB CNE ( = 900), BH = EN ( chứng minh trên )   HBD NEC ( CMT) Do đó : HBD = NEC ( g.c.g)  HD = NC ( 2 cạnh tương ứng) Mà BH DE BE HE (Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ) mà HE = HD + DE Mặt khác ENBCBEBN ( Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) Do đó : BE + BE > HE + BN Mà HE + BN = DE + HD + BN = DE + NC+ BN= DE + BC nên BE + BE > DE + BC => 2 BE > BC + DE 1  BE > ( DE+BC) ( đpcm) 2 61
  62. 62 Khai thác bài toán Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M và N sao cho AM=AN. CMR : a. Các hình chiếu của BM và CN trên BC bằng nhau 1 b. BN > ( BC + MN) 2 Bài 3 : Cho tam giác ABC ( Â=900), vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ). Chứng minh AH + BC > AB + AC Phân tích lời giải : B Nhân xét rằng AH EC Giải : Trên tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AH Vì AB < BC nên D nằm giữa B và C, AH < AC nên E nằm giữa A và C, tam giác ABD cân đỉnh B ( vì BD= AB)    BAD BDA     0 Ta có : BAD DAE BDA HAD 90  DAE HAD Xét HAD và EAD có : AH = AE 62
  63. 63 AD chung   HAD DAE  HAD EAD( ) c g c    DAE HAD ( 2 góc tương ứng )  0  0 Mà AHD 90 nên AED 90 Ta có : DEACDCEC ( quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc) Do đó : AH + BC = AH + BD + DC > AE + AB+ EC = AB + AC Vậy AH + BC > AB + AC Khai thác bài toán : Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác a. Gọi I là giao điểm của đường thẳng BM và cạnh AC. Chứng minh rằng : MA+MB< IA+IB < CA + CB b. CMR : MA + MB +MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC. Bài 4 : Cho tam giác ABC, có góc B và C nhọn. Điểm M nằm giữa B và C. Gọi d là tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM a. Chứng minh dBC b. Xác định vị trí của M trên BC sao cho d có giá trị lớn nhất Phân tích lời giải : a. Kẻ BDAMCEAMBDCEd ;; Áp dụng quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên trong tam giác ta được điều cần c/m Xác định vị trí lớn nhất của d dựa vào câu a. Xảy ra  BD= BM; CE= CM  D trùng với M và E trùng với M  M trùng với hình chiếu H của A trên BC 63
  64. 64 Giải A a. Kẻ BDAMCEAMBDCEd ;; BDBMCECM ; Ta có : D Nên BD CE BM CM C Hay dBC B H M b. Giá trị lớn nhất của d = BC E  BD= BM; CE= CM  D trùng với M và E trùng với M  M trùng với hình chiếu H của A trên BC Khai thác bài toán : Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng về một phía của đường thẳng d. Tìm trên đường thẳng d điểm C sao cho CA + CB nhỏ nhất. Bài tập áp dụng Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B, phân giác AD. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AD tại E. CMR : Chu vi tam giác ECD lớn hơn chu vi tam giác ABD Bài 2 : Cho tam giác ABC. Vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ). Gọi D,E,F lần lượt là các điểm nằm giữa A và H, nằm giữa B và H, nằm giữa C và H. Chứng minh rằng chu vi tam giác DEF nhỏ hơn chu vi tam giác ABC. Với vị trí nào của 1 điểm D,E,F thì chu vi tam giác DEF bằng chu vi tam giác ABC. 2 Bài 3 : Cho tam giác ABC, AB > AC, vẽ BDACCEABDACEAB ,(,) Chứng minh rằng : AB – AC > BD – CE  0 Bài 4 : Cho tam giác ABC có Â= 900, ABC 54 , trên cạnh AC lấy điểm D sao  0 cho DBC 18 . Chứng minh rằng : BD < AC Bài 5 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE. Nối D với E. Chứng minh : BC < DE 64
  65. 65 Tài liệu tham khảo : Vẽ thêm yếu tố hình phụ để giải một số bài toán Hình Học 7 _ Nguyễn Đức Tấn Chuyên đề BĐT và cực trị trong hình học phẳng _ Nguyễn Đức Tấn Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS – Vũ Dương Thụy 4. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác Bài 1 : Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : ABACAM 2 Phân tích lời giải : Ta tìm cách tạo ra đường thẳng có độ dài bằng 2AM và là cạnh của tam giác có hai AB AC ,,AM cạnh còn lại bằng hai cạnh AB, AC hoặc tạo ra một tam giác có 3 cạnh 22 Trên tia đối của tia AM lấy điểm D sao cho MD=MA. Tam giác ADC có AD = 2 AM, DC= AB . từ đó ta sẽ c/m được ABACAM 2 Giải : Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA A Xét MAB và MDC có MA=MD B C AMB DMC ( đối đỉnh ) M MB=MC( giả thiết )  MAB MDC( ) c g c D  AB=DC ( 2 cạnh tương ứng ) Xét ADC có : CD + AC > AD ( bất đẳng thức trong tam giác ) Do đó : AB + AC > AD mà AD = 2 AM 65
  66. 66  ABACAM 2 ( đpcm) Khai thác bài toán : Cho hai điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. M là điểm nằm ngoài đường thẳng AD. Chứng minh rằng : MA+ MD > MB + MC Bài 2 : Cho điểm M nằm trong ABC Chứng minh rằng : MB + MC < AB+ AC Từ đó suy ra : MA + MB + MC < AB + AC + BC Phân tích lời giải : Nối BM cắt AC tại D. Áp dụng BĐT trong tam giác ABD và tam giác MDC ta sẽ được điều cần phải c/m Giải A Kẻ BM cắt cạnh AC tại D D Xét ABD có : M BD < AB + AD B C  MB + MD < AB + AD (1) Xét M DC có : MC < MD + DC (2) Từ (1) và (2) suy ra : MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD  MB + MC < AB + AC CMTT ta có : MA + MC < AB + BC và MA + MB < AC + BC Do đó : 2 ( MA + MB + MC ) < 2 ( AB + AC + BC )  MA + MB + MC < AB + AC + BC Khai thác bài toán : Cho ABC . Tìm vị trí của điểm M đề thỏa mãn điều kiện MB + MC AB + AC. 66
  67. 67 Bài 3 : Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Từ điểm M ở trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox ( H thuộc Õ ), MK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ). CMR : MH Ĉ , AM là trung tuyến . D là điểm trên đoạn AM. CMR : DB < DC Bài tập áp dụng 67
  68. 68 Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB > AC, AD là tia phân giác của góc BAC. (D thuộc BC ). M là một điểm nằm trên đoạn thẳng AD CMR : MB – MC AC + BC Bài 3 : Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AC=40km, AB=80km a. Nếu đặt ở B máy phát sóng truyền hình có bán kính hoạt động bằng 40km thì ở thành phố C có nhận được tín hiệu hay không ? Vì sao ? b. Nếu đặt ở B máy phát sóng truyền hình có bán kính hoạt động bằng 120km thì ở thành phố C có nhận được tìn hiệu hay không ? Vì sao ? Bài 4 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O , AB = 6, CD = 4. Chứng minh rằng trong 4 đoạn thẳng AC, CB, BD, DA luôn tồn tại hai đoạn thẳng nhỏ hơn 5. Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh bên bằng 5 và hai điểm M, N bất kì. Chứng minh rằng trên các cạnh của tam giác ABC tồn tại 1 điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đén M và N lớn hơn 7. Tài liệu tham khảo : Vẽ thêm yếu tố hình phụ để giải một số bài toán Hình Học 7 _ Nguyễn Đức Tấn Chuyên đề BĐT và cực trị trong hình học phẳng _ Nguyễn Đức Tấn Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS – Vũ Dương Thụy BÀI TOÁN DỰNG HÌNH I. Các vấn đề dựng hình Dựng hình là dùng thước và compa để dựng một hình nào đó theo yêu cầu của bài toán trên cơ sở những dữ liệu mà bài toán đã cho. 68
  69. 69 1. Các phép dựng hình cơ bản Có 5 phép dựng hình cơ bản: - Dựng những hình đã cho trước. - Dựng đường thẳng đi qua hai điểm - Dựng đường tròn có tâm và bán kính cho trước - Dựng giao điểm (nếu có) của hai hình đã biết. - Dựng điểm tuỳ ý trên mặt phẳng (thuộc hay không thuộc hình đã dựng) Mọi phép dựng khác đều phải quy về 5 phép dựng cơ bản trên. 2. Giải bài toán dựng hình Là ta đi tìm các nghiệm của bài toán. Nghiệm của bài toán dựng hình là hình dựng được thoả mãn điều kiện của bài toán. Đi tìm nghiệm của bài toán nghĩa là chúng ta phải: - Xác lập một số hữu hạn trường hợp bao hàm tất cả những khả năng có thể xảy ra đối với việc lựa chọn những cái đã cho. - Đối với mỗi trường hợp trả lời câu hỏi bài toán có nghiệm hay không và nếu có thì bao nhiêu nghiệm. - Đối với mỗi trường hợp mà bài toán có nghiệm, chỉ ra một số hữu hạn các phép dựng hình cơ bản cần tiến hành theo một thứ tự nào đó để có thể dựng được nó bằng thước và compa. Nếu những hình không yêu cầu về vị trí thì những hình đó bài toán yêu cầu dựng coi như một nghiệm. Nếu có yêu cầu về vị trí thì những vị trí khác nhau cho ta những hình khác nhau. Để cho đơn giản trong thực hành, trình bày lời giải người ta thêm các bài toán dựng hình cơ bản ngoài những phép dựng hình cơ bản. 3. Các bài toán dựng hình cơ bản: - Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước. - Dựng một đoạn thẳng bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng đã cho. 69
  70. 70 - Dựng một góc bằng một góc đã cho. - Dựng một góc bằng tổng (hiệu) hai góc đã cho. - Chia đôi một đoạn thẳng đã cho. - Chia đôi một góc đã cho. - Dựng đường trung trực của đoạn thẳng đã cho. - Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và song song với một đường thẳng khác đã cho. - Dựng đường thẳng đi qua một điểm đã cho và vuông góc với một đường thẳng đã cho. - Chia đoạn thẳng thành những phần tỷ lệ với những đoạn thẳng đã cho. - Dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tự đối với ba đoạn thẳng đã cho. - Dựng tiếp tuyến với một đường tròn đã cho và đi qua một điểm đã cho. - Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn đã cho. - Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng đã cho. - Dựng đoạn thẳng mà bình phương của nó bằng tổng (hiệu) các bình phương hai đoạn thẳng đã cho. - Dựng tam giác biết (g.c.g), (c.g.c), (c.c.c). - Dựng tam giác vuông biết cạnh huyền và cạnh góc vuông. - Dựng tam giác vuông biết cạnh góc vuông và góc nhọn. 4. Các bước của một bài toán dựng hình Để giải một bài toán dựng hình một cách dễ dàng ta giải theo 4 bước: phân tích, dựng hình, chứng minh, biện luận. a) Phân tích Là bước nhằm tìm ra cách dựng bằng cách thiết lập mối quan hệ giữa những yếu tố phải tìm và những yếu tố đã cho làm cơ sở để tiến hành các bước dựng. 70
  71. 71 - Trước hết ta vẽ phác hình giả sử dựng được như trên (như yêu cầu của bài toán), có thể vẽ thêm những hình phụ. - Tìm mối tương quan giữa cái đã biết và cái chưa biết để đưa việc dựng hình F quy về dựng hình F1, quy việc dựng hình F1 về dựng hình F2: F F1 F2 Fn. Trong đó Fn là hình cơ bản đã biết cách đựng. Hình là một tập hợp điểm, hình cơ bản đôi khi là những điểm chốt. Từ đó ta đưa ra đường lối dựng. Chú ý: Phân tích là bước quan trọng nhất vì nó cho ta biết phải dựng như thế nào để được hình theo yêu cầu của đề bài. b) Cách dựng - Là bước chỉ ra một số hữu hạn và có thứ tự các phép dựng cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản rồi dựng ngược từ Fn đến Fn-1 cuối cùng được hình F. Chú ý: - Các bước dựng phải là các phép dựng cơ bản hay các bài toán dựng hình cơ bản. - Mỗi bước dựng nếu cần có thể viết thêm điều kiện có thể dựng được các phép dựng ấy. - Các bước dựng phải theo một thứ tự xác định, tránh lộn xộn. - Số các bước dựng phải hữu hạn. c) Chứng minh Là bước kiểm tra xem hình đã dựng đã thoả mãn điều kiện đầu bài không? Để thực hiện bước này ta dựa vào các bước dựng và các định lý đã học mà chứng minh. Điều kiện dễ chứng minh trước, điều kiện khó chứng minh sau. Chú ý: Cần chứng minh hình dựng được thoả mãn đề A bài cả về định lượng cũng như định tính. d) Biện luận h m B C 71 H M a
  72. 72 Là bước xem khi nào bài toán có nghiệm và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm. Hay là để xét xem những yếu tố nào đã cho phải thoả mãn điều kiện nào để có thể dựng được hình phải tìm, nếu dựng được thì có bao nhiêu nghiệm hình. - Biện luận theo cách dựng là ở mỗi bước dựng đó xét xem phải thoả mãn điều kiện gì thì bước dựng này thực hiện được và nếu dựng được thì có bao nhiêu nghiệm. Chú ý: - Phân chia các trường hợp tránh lộn xộn dẫn đến sót hoặc trùng lặp các trường hợp. - Nếu hình phải dựng không áp dụng được cách dựng tổng quát trong phần dựng hình thì phải trình bày cách dựng tương ứng cho từng trường hợp cụ thể này. - Số nghiệm bài toán dựng hình ta quy ước như sau: Nếu bài toán không quy định vị trí của hình phải tìm đối với mỗi hình đã cho tương ứng thì những hình bằng nhau (chỉ khác nhau về vị trí) thoả mãn điều kiện đầu bài đã được xem là một nghiệm. Biện luận là một bước góp phần rèn luyện tư duy đầy đủ cho học sinh (biện luận đủ), tư duy khái quát cho học sinh. Tóm lại, khi làm một bài toán dựng hình chúng ta không được bỏ một bước nào trong bốn bước trên. Nếu bỏ bước phân tích hoặc phân tích không rõ ràng tổng quát có thể dẫn đến sót nghiệm. Nếu bỏ bước chứng minh có thể dẫn đến thừa nghiệm vì không phải tất cả kết quả của các bước dựng đều là hình phải tìm. 5. áp dụng Bài toán 1 Dựng ABC biết cạnh BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến AM = m Bài giải: a) Phân tích Giả sử ta dựng được ABC thoả mãn: 72
  73. 73 Cạnh BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến AM = m. Ta phải xác định đỉnh A thoả mãn 2 điều kiện: _A cách BC một khoảng bằng h, suy ra A đường thẳng p// BC và cách BC một khoảng h. _ A cách điểm M là trung điểm của BC một khoảng m. b) Cách dựng - Dựng BC bằng a - Dựng đường thẳng p//BC và cách BC một khoảng bằng h. - Dựng đường tròn tâm M bán kính m cắt p tại A. B a C A h H m ABC là tam giác cần dựng. A M c) Chứng minh p A ABC có BC = a (cách dựng) h Đường cao AH = h (cách dựng) m C Trung tuyến AM = m (cách dựng) B H M a ABC là tam giác cần dựng. d) Biện luận - m > h bài toán có 4 nghiệm (4 điểm A) - m = h bài toán có 2 nghiệm (2 điểm A) - m < h bài toán vô nghiệm (không có điểm A) Bài toán 2 Cho đường thẳng m song song với đường thẳng n và điểm A không thuộc 2 đường thẳng đó. Dựng điểm B m, C n sao cho ABC là tam giác đều. Bài giải: 73
  74. 74 a) Phân tích Giả sử đã dựng được điểm B m, điểm C n để ABC đều. Dựng hình chiếu vuông góc của A trên điểm M là E Dựng tam giác đều AEF. Xét AEB và AFC ta có: AE = AF ( ABF đều) CAF = BAE (= 600 + CAE) AB = AC ( ABC đều) AEB = AFC (c.g.c) BEA = CFA = 900 (vì AE  BE) A b) Cách dựng F Từ A hạ AE  m tại E B E - Dựng đều AEF C - Từ F dựng đường vuông góc với AF cắt n tại C - Nối A với C, dựng đường tròn tâm A bán kính AC cắt m tại B. - Nối A với B, B với C ta được ABC cần dựng c) Chứng minh Xét vuông ABE và vuông ACF có: AB = AC (Cách dựng) vuông ABF = vuông ACF (c.g.c) AE = AF BAE = CAF Mà CAF = EAF + CAE = 600 + CAE Và BAE = BAC + CAE BAC = 600 ABC có AB = AC và BAC = 600 ABC đều d) Biện luận 74
  75. 75 Bài toán có 2 nghiệm vì ta có thể dựng được 2 đều Bài toán 3 Dựng ABC biết BC = a; AB + AC = d; ABC = Bài giải: a) Phân tích Giả sử ta đã dựng được ABC thoả mãn các điều kiện của đầu bài. Kéo dài BA và trên đường kéo dài lấy điểm D sao cho AD = AC. Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d DAC cân A = BD  đường trung trực của CD b) Cách dựng x a D d A B C - Dựng đoạn BC = a - Dựng tia Bx sao cho xBC = - Dựng điểm D trên Bx sao cho BD = d - Nối D với C - Dựng điểm A là giao của BD và đường trung trực của CD - Nối A với C ta được ABC cần dựng c) Chứng minh 75
  76. 76 ABC = (cách dựng) BC = a (cách dựng) A đường trung trực của DC AD = AC A, D Bx; BD = d (cách dựng) BD = AB + AD = AB + AC = d ABC là cần dựng d) Biện luận - d a Bài toán có một nghiệm Bài toán 4 Dựng ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đường cao CH = h Bài giải a) Phân tích Giả sử đã dựng được ABC thoả mãn điều kiện của đầu bài A đường tròn tâm M bán kính m. h H đường tròn đường kính BC A CH = h; B, H, A thẳng hàng H b) Cách dựng h - Dựng BC = a, trung điểm M của BC B C M - Dựng đường tròn (M, m) A’ - Dựng đường tròn đường kính BC - Dựng điểm H đường tròn đường kính BC sao cho HC = h - Dựng điểm A là giao điểm của BH và (M, m) c) Chứng minh BC = a 76
  77. 77 CH = h (cách dựng) A (M, m) AM = m ABC là tam giác cần dựng d) Biện luận h BC a Bài toán có nghiệm khi 2m h Bài toán có hai nghiệm do BH cắt (M, m) tại hai điểm là A và A' II - Các phương pháp dựng hình Có 3 phương pháp dựng hình cơ bản 1. Dựng hình bằng phương pháp tương giao Mọi hình đều được xác định bởi một số hữu hạn điểm nên bài toán có thể quy về dựng vài điểm nào đó gọi là điểm chốt. Giải một bài toán dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao nghĩa là quy về xác định một điểm thoả mãn hai điều kiện 1 và 2. Ta tạm bỏ điều kiện 2 và tìm quỹ tích những điểm thoả mãn điều kiện 1. Quỹ tích này là hình H1. Sau đó ta tạm bỏ điều kiện 1 và tìm quỹ tích thoả mãn điều kiện 2. Quỹ tích này là hình H2. Qua đó một điểm thoả mãn cả hai điều kiện 1 và 2 phải là giao của hình H1 và H2. Ví dụ áp dụng Bài toán 1 Dựng ABC biết B =  < 900, đường cao BH và đường cao AD Bài giải A a) Phân tích H Giả sử ABC đã dựng được. vuông ABD là dựng được B C ta chỉ cần dựng điểm C. D 77
  78. 78 Muốn vậy ta phải đi dựng điểm H: H giao của hai đường tròn đường kính AB và đường tròn tâm B bán kính BH C = AH  BD b) Cách dựng A - Dựng ABD vuông tại D H sao cho ABD < 900 và AD cho trước.  C B D - Dựng điểm H là giao điểm của hai đường tròn: (B,BH) và đường tròn đường kính AB (BH cho trước). - Dựng điểm C là giao của BD và AH ABC là ta cần dựng. c) Chứng minh ABD =  < 900 (cách dựng) AD là đường cao có độ dài cho trước (cách dựng) BH bằng đoạn cho trước (cách dựng) ABC thoả mãn yêu cầu của đề bài d) Biện luận Bài toán luôn có nghiệm Bài toán có một nghiệm Bài toán 2 Dựng hình bình hành ABCD biết 2 đỉnh đối diện A và C còn 2 đỉnh B và D thuộc một đường tròn (O,R) cho trước. Bài giải: a) Phân tích Giả sử đã dựng được hình bình hành thoả mãn điều kiện của đề bài là ABCD. Nếu I là giao điểm của 2 đường chéo của ABCD thì: I AC và IA = IC, I BD và IB = ID; B, D (O,R) OI  BD 78
  79. 79 B b) Cách dựng C - Dựng I là trung điểm của AC A I - Dựng đường thẳng qua I O D và  OI cắt (O) tại B và D ABCD là hình bình hành cần dựng. c) Chứng minh OI  BD IB = ID IA = IC (cách dựng); B, D (O,R) (cách dựng) AIB = DIC (c.g.c) ABI = IDC AB//CD ABCD là hình bình hành thoả mãn đầu bài. d) Biện luận Bài toán có nghiệm khi điểm I ở trong đường tròn (O) khi đó bài toán có 1 nghiệm. Bài toán 3: Cho đường tròn C(O,R) và điểm A đường thẳng d. Dựng đường tròn tiếp xúc với C(O,R) và tiếp xúc với d tại A. Bài giải: a) Phân tích Giả sử đã dựng được (O',R') tiếp xúc với (O,R) và tiếp xúc với d tại A O' p là đường thẳng qua A và  với d. Dựng điểm E sao cho O'E = O'O (AE = R). O' nằm trên đường trung trực của OE O' là giao của đường trung trực của OE & p P b) Cách dựng - Dựng đường thẳng p  d tại A O O’ 79 d A E
  80. 80 - Dựng điểm E p sao cho AE = R - Dựng đường trung trực của OE là q, q  p  O' - Dựng đường tròn (O',O'A) Đó là đường tròn cần dựng c) Chứng minh (O',O'A) tiếp xúc với d tại A (cách dựng) Nối O với O'. Vì O' đường trung trực của OE OO' = O'E Mà O'E = O'A + AE OO' = OA + AE = O'A +R (O,R) & (O',O'A) tiếp xúc với nhau (O') là đường tròn cần dựng d) Biện luận Trên p có thể lấy E1 ở trong đường tròn (O') sao cho AE1 = R. Vậy bài toán có 2 nghiệm hình. 2. Dựng hình bằng phương pháp đại số Giải một bài toán dựng hình bằng phương pháp đại số thường được quy về dựng một số đoạn thẳng. Ta gọi các độ dài các đoạn thẳng phải tìm là x, y, z. Sau đó ta lập phương trình để biểu thị mối tương quan giữa các đoạn thẳng đã biết là a, b, c. Sau đó giải hệ phương trình để được các ẩn x, y, z. * Một vài đoạn thẳng dựng được biểu thị bằng biểu thức đơn giản là: a.b.c x = a b ; x = e. f x = na, n N ; x = a 2 b 2 c 2 d 2 (a2 + d2 > b2 + c2) a x = , n N ; x = a 2 b 2 n na x = ; m, n N ; x = ab m 80
  81. 81 ab x = ; x = an ; n N c Ví dụ áp dụng Bài toán 1 Cho hình thang ABCD, AD // BC. Dựng đường thẳng EF//BC chia đôi diện tích hình thang. a) Phân tích Giả sử đã dựng được EF//BC chia đôi diện tích hình thang kéo dài BC, CD cắt nhau tại O. Suy ra: O OBC OEF OAD b x Đặt OB = a, OA = b, OE = x A a D S a 2 S b 2 Ta có: OBC ; OAD S x 2 S x 2 OEF OEF E F 2 2 S OBC S OAD a b 2 S OEF x BC Mà: S OBC + S OAD = S OEF + Shình thang EBCF + S OAD = S OEF + Shình thang AEFD + S OAD = 2S OEF a 2 b 2 2 2x2 = a2+ b2 x 2 1 a 2 b 2 x 2 2 2 a 2 b 2 Đặt y ; z x y 2 z 2 2 2 b) Cách dựng - Kéo dài BA, CD cắt nhau ở O - Dựng đoạn trung bình nhân 81
  82. 82 của a, a ta được y 2 - Dựng đoạn trung bình nhân của b , b ta được z 2 - Dựng vuông có y, z là 2 cạnh góc vuông độ dài cạnh huyền của đó là x. - Trên OB lấy OE = x, dựng EF // BC ta sẽ được đoạn EF cần dựng. c) Chứng minh Gọi hình thang ADEF diện tích là S1 và hình thang EBCF có diện tích là S2 Ta phải chứng minh S1 = S2 Ta có OAD DEF (vì AD//EF) tỉ số đồng dạng là: a x 2 S OAD a S0 2 S OEF x S0 S1 2 S OBC b S0 S1 S2 OEF OBC 2 S OEF x S0 S1 2 2 2 2 a b 2S0 S1 S 2 a b 2S0 S1 S2 2 2 2 x S0 S1 a b S0 S1 2 2S0 S1 S2 2 2S0 S1 S2 2S0 2S1 S1 S2 S0 S1 Shình thang ADEF = Shình thang EBCF d) Biện luận Bài toán luôn có một nghiệm hình Bài toán 2 Cho hình bình hành ABCD. Dựng hai đường thẳng đi qua A đỉnh A và chia hình bình hành thành 3 phần có diện tích bằng nhau. 82
  83. 83 Bài giải: a) Phân tích Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A cắt BC tại E, cắt CD tại F thoả mãn: S 1 ABE = SBECF = S AFD = SABCD 3 1 Gọi độ dài: BE = x, đường cao AH = h S ABE = h.x 2 SABCD = AH.BC = h.BC. Mà SABCD = 3 S ABE h.BC = 3. 1 hx BC = 3 x x = 2 BC 2 2 3 Tương tự ta gọi: DF = y y = 2 DC 3 b) Cách dựng A D - Dựng đoạn BE = 2 BC 3 F - Dựng đoạn DF = 2 DC 3 B C E - Nối A với E, A với F ta được: 1 S ABE = S AFD = SAECF = SABCD 3 c) Chứng minh 1 1 2 1 1 Ta có: S ABE = hx = h. BC = h.BC = SABCD 2 2 3 3 3 1 Tương tự: S ADF = SABCD 3 1 SAECF = SABCD Điều phải chứng minh 3 d) Biện luận Bài toán có một nghiệm hình 3. Dựng hình bằng phương pháp biến hình: 83
  84. 84 Dựng hình bằng phương pháp biến hình là áp dụng phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, đồng dạng. Ta quy việc dựng một hình về việc dựng một điểm M. Dựng trực tiếp điểm M đôi khi gặp khó khăn. Trong trường hợp này ta chọn một phép biến hình là một song ánh f (để f có ánh xạ ngược) biến điểm M thành điểm M' mà điểm M' này ta có thể đựng được một cách dễ dàng. Sau khi đã dựng được điểm M' ta được phép biến hình ngược: f-1(M') = M. Ví dụ như tịnh tiến a . Ví dụ áp dụng Bài toán 1 Cho 2 điểm A, B nằm về một phía của đường thẳng d. Tìm điểm M d sao cho AM + MB là nhỏ nhất. Bài giải: a) Phân tích Giả sử đã dựng được điểm M d để (AM + MB) ngắn nhất. Ta lấy điểm A' đối xứng với A qua d. IA = IA'; MA = MA' (AM + MB) ngắn nhất khi: A, M, B thẳng hàng. M giao của đường thẳng nối 2 điểm A', B và đường thẳng d. b) Cách dựng B - Dựng điểm A' đối xứng A qua d A - Nối A' với B d - Dựng M = A'B  d M M’ Đó là điểm M cần dựng A’ c) Chứng minh - Lấy M' d (M' tuỳ ý) và ta chứng minh: M'A + M'B > MA + MB Theo cách dựng thì A', M, B thẳng hàng và AM = A'M 84
  85. 85 Xét A'BM' ta có: M'A + M'B > A'B (1) Mà theo cách dựng thì A'B = MA' + MB = MA + MB (2) Từ (1) và (2) MA' + MB' > MA + MB (MA + MB) min (đpcm) d) Biện luận Bài toán có 1 nghiệm hình vì điểm A' dựng được là duy nhất. Bài toán 2 Cho 2 đường thẳng b//c, điểm A b,c. Dựng đều ABC sao cho B b, C c. Bài giải: a) Phân tích: Giả sử ta dựng được đều ABC thoả mãn điều kiện của bài toán. B b, C c. Ta thực hiện phép quay theo chiều kim đồng hồ ta có: r(A, 600)(B) = C ; r(A, 600)(b) = b' Mà B b C b'. Mặt khác: C c c  b' = C b) Cách dựng A - Dựng đường thẳng b B B’ b' = r(A, 600)(b) - Dựng điểm C c C C’ là giao điểm của b' và c - Dựng điểm B bằng cách: 0 r(A, 60 )(C) = B b c) Chứng minh: r(A, -600)(C) = B; r(A, -600)(b') = b Mà C b' B b (đpcm). d) Biện luận Bài toán có 2 nghiệm hình 85
  86. 86 Bài toán 3 Cho ABC. Dựng hình vuông MNPQ sao cho M AB; N,P BC, Q AC. Bài giải: a) Phân tích Giả sử đã dựng được hình vuông MNPQ thoả mãn điều kiện của bài toán. Nối B BQ' với Q và thực hiện phép vị tự: h(B, k = ) (Q' BQ) thì: Q Q'; M M'; N BQ N'; P P' M 'Q' N'M ' N'P' P'Q' MQ NM NP PQ Mà MQ = MN = NP = PQ và NMQ = 900 M'Q' = M'N' = N'P' = P'Q'; N'M'Q' = 900 M'N'P'Q' là hình vuông. A b) Cách dựng M Q - Lấy M' AB, dựng M'N'  BC M’ Q’ - Dựng hình vuông M'N'P'Q' B C - Kẻ BQ' cắt AC tại Q N’ N P’ P BQ' - Thực hiện phép vị tự: h(B; k = ) (Q') = Q; p' p; M' M; N' N ta BQ dựng được hình vuông MNPQ cần dựng. c) Chứng minh MQ NM NP PQ Theo cách dựng ta có: và M'N'P'Q' là hình vuông; M 'Q' N'M ' N'P' P'Q' N'M'P' = 900 MN = NP = PQ = MQ & NMP = 900 MNPQ là hình vuông d) Biện luận 86
  87. 87 Bài toán có 1 nghiệm hình 4. Các phương pháp khác Các phương pháp dựng hình trên là rất cơ bản nhưng không thể là đầy đủ. Vì thế chúng ta phải tìm tòi, sáng tạo ra những phương pháp tích cực khác. Những phương pháp đó sẽ hình thành khi chúng ta làm những bài toán dựng hình trên cơ sở vận dụng, phân tích và tổng hợp những phương pháp trên một cách thông minh và linh hoạt. Bài tập dựng hình 1. Cho hai đường tròn (O1, R1) và (O2, R2) và phương . Dựng đoạn AB = a song song với sao cho A (O1, R1), B (O2, R2). 2. Cho hai đường tròn (O1, R1) và (O2, R2) cùng đường thẳng d. Dựng hình vuông ABCD sao cho A (O1, R1), C (O2, R2); B, D d. 3. Dựng một đều sao cho diện tích của nó bằng diện tích một cho trước 4. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d. Dùng đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc với d. 5. Cho hai điểm A, B đường thẳng d cho trước. Dựng đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d. 6. Dựng hai đường thẳng đi qua A chia hình bình hành thành 3 phần bằng nhau về diện tích. 7. Cho ABC, dựng đường thẳng song song với BC chia ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. 8. Cho đường tròn (O, R) và hai điểm A, B (O, R) cùng một đoạn thẳng đã biết l. Dựng hai dây cung song song đi qua A và B sao cho tổng của chúng bằng l. 9. Cho điểm A ở ngoài (O, R). Dựng cát tuyến đi qua A cắt (O, R) tại B và C sao cho AB = BC. 10. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định. Dựng đều MNP thoả mãn: M & P (O); N AB và MN  AB. 87
  88. 88 11. Cho hình vuông ABCD có giao điểm hai đường chéo là 0. hãy dựng ảnh của các điểm A, B, C, D trong phép quay tâm O một góc 450 ngược chiều kim đồng hồ. 12. Dựng một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính R, dựng một lục giác và một tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R. CHUYÊN ĐỀ 5 : TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC 88
  89. 89 1.Nhắc lại kiến thức -Đường trung tuyến của tam giác:Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của tam giác ABC.Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến. -Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác: Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ,điểm đó ccahs mỗi đỉnh một khoảng bằng 2 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 3 Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác 2.Ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC= 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM. 1. Chứng minh : AM vuông góc BC. 2. Tính AM. GIẢI *Phân tích bài toán: a) để chứng minh AM vuông góc với BC ta cần chứng minh AMCˆˆ AMB 900 Ta sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh 2 góc trên bằng nhau,đồng thời 2 góc đó lại kề bù. +tam giác ABC cân +AM là đường trung tuyến b) Để tìm được độ dài AM,ta cần gắn vào tam giác AMC chứng minh được tam giác AMC vuông vì: +sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh tam giác AMB=tam giác AMC  AMBˆˆ AMC + góc AMB và AMC kề bù 89
  90. 90  AMBˆˆ AMC =900 Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông AMC để tính được AM 1. AM vuông góc BC : Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có : AB =AC (gt) MB = MC (AM là đường trung tuyến) AM cạnh chung => ΔAMB = ΔAMC (c – c – c) => Mà : (hai góc kề bù) => Hay AM BC. 2.Tính AM : Ta có : BM = BC : 2 = 16cm (AM là đường trung tuyến) Xét ΔAMB vuông tại M. ta có : AB2 = AM2 + BM2 (pitago) 342 = AM2 + 162 =>AM = 30cm. Ví dụ 2:Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI. a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI. 90
  91. 91 b) Các góc DIE và góc DIF là góc gì ? c) DE = DF = 13cm, EF = 10cm. Tính DI. Giải. Phân tích bài toán: a) Để chứng minh tam giác DEI=DFI Ta nhận thấy 2 tam giác trên bằng nhau theo trường hợp c-c-c Sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh b) Từ chứng mình câu a ta có được rằng : góc DIE=DIF Lại nhận thấy rằng 2 góc trên kề bù,từ đó ta sử dụng để chứng minh rằng 2 góc đó là hai góc vuông. c) Ta sử dụng được giả thiết DI là đường trung tuyến  EI=IF Mặt khác sử dụng được định lý pitago vì đã chứng mình được câu b Từ đó tìm được độ dài cạnh DI a) Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI. Xét ΔDEI và ΔDFI, ta có : DE = DF (gt) IE = IF ( DI là trung tuyến) DI cạnh chung. => ΔDEI = ΔDFI (c – c – c) b) Các góc DIE và góc DIF : (ΔDEI = ΔDFI) Mà : (E, I,F thẳng hàng ) => c) tính DI : IE = EF : 2 = 10 : 2 = 5cm Xét ΔDEI vuông tại I, ta có : DE2 = DI2 + IE2 => DI2 = DE2 – IE2 =132 – 52 = 144 => DI = 12cm. 91
  92. 92 Ví dụ 3:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA. a) Tính số đo góc ABD b) Chứng minh : ABC = BAD. c) So sánh độ dài AM và BC. Giải. Phân tích bài toán: a) Để tính được số đo góc ABD ta cần tính được tổng Bˆˆ12 B Sử dụng giả thiết tam giác ABC vuông tại A ta có BCˆ190 ˆ 0 Sử dụng các giả thiết về cạnh để chứng minh tam giác AMC =BMD  BCˆ2 ˆ  BBˆˆ1290 0  ABDˆ 900 b) Sử dụng câu b để chứng minh(AC=BD) c) Để so sánh AM và BC ta đi so sánh AM và AD( vì AD=BC) GIẢI a) Tính số đo góc ABD b) Xét ΔAMC và ΔDMB, ta có : MA = MD (gt) (đối đỉnh) MC = MB (gt) => ΔAMC = ΔDMB => (góc tương ứng); Mà : (ΔABC vuông tại A) => Hay b)Chứng minh : ABC = BAD Xét ABC và BAD, ta có : 92
  93. 93 AB cạnh chung. AC = BD (AMC = ΔDMB) => ΔABC =Δ BAD c)So sánh độ dài AM và BC : AD AM = (gt). 2 Mà : AD = BC (ΔABC =Δ BAD) BC => AM = 2 3.Bài tập áp dụng: BÀI 1 : Hai đường trung tuyến AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại G. kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh : G là trung điểm của AI. BÀI 2 : Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC. 1. Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE. 2. CI cắt GE tại O. điểm O là gì của tam giác ABC. chứng minh BE = 9OE. BÀI 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC. 1. Tính AB. 2. Điểm M là gì của tam giác BCD. 3. Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng. BÀI 4: Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G. 1. Tam giác BGC là tam giác gì ? 2. So sánh tam giác BCD và tam giác CBE. 3. Tam giác ABC là tam giác gì ? BÀI 5:Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 16/3cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC. 1. Tính AC. 93
  94. 94 2. Điểm M là gì của tam giác BCD. 3. Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng. D CHỦ ĐIỂM 2: TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC 1.Nhắc lại kiến thức -Định lý 1: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. x B t O A y -Định lý 2: (định lý đảo) Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó. x 2.Các dạng bài tập Dạng 1:chứng minh một tia là tia phân giác của một góc t Cách giải: chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc xOy + Cách 1: chứng minh: O y Tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oy xOtˆˆ tOy + Cách 2: Chứng minh 1 xOtˆˆ tOy xOy ˆ 2 94
  95. 95 Ví dụ :Trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox,vẽ tia Oy,Ot sao cho xOyˆˆ 13000 ; xOt 65 Chứng minh rằng : Ot là tia phân giác của xOyˆ *Phân tích bài toán: Để chứng minh Ot là tia phân giác của góc xOy ta cần áp dụng cách chứng minh 1 hoặc 2. ở bài này ta sử dụng cách 2 vì chưa có điều kiện tia Ot nằm giữa Ox và Oy t Chứng minh: x Trên cùng một nửa mặt phẳng bở chứa tia Ox ˆˆ00 Ta có: xOt xOy(65 130 ) y =>tia Ot nằm giữa Ox và Oy (1) ˆˆ ˆ => xOt tOy xOy O Thay xOyˆˆ 13000 ; xOt 65 (gt) Ta được: 6500 tOyˆ 130 => tOyˆ 13000 65 =>tOyˆ 650 xOtˆˆ tOy (2) Mà xOtˆ 650 ( gt ) Từ (1)và (2)=> Ot là tia phân giác của xOyˆ DẠNG 2: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc để giải các bài toán khác Ví dụ: tia Oy và Oz cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bở là tia Ox xOyˆˆ 3000 ; xOz 120 ˆ Om là tia phân giác của xOy ˆ On là tia phan giác của yOz ˆ ˆ Tính yOz và mOn Giải: *Phân tích bài toán: Sử dụng các tính chất kề bù và tia phân giác của góc để tính các góc 95
  96. 96 Ta có: xOyˆˆˆ yOz xOz (vì tia Oy nằm giữa Ox và Oz) Thay xOyˆˆ 3000 ; xOz 120 (gt) n 00ˆ ta được: 30 yOz 120 z y hay yOzˆ 12000 30  yOzˆ 900 m b)Tính mOnˆ ? ta có: 11 xOmˆˆ mOy xOy ˆ 3000 15 x 22 O (vì Om là tia p/g của xOyˆ ) Lại có: 11 yOnˆˆ nOz yOz ˆ 9000 45 22 (vì On là tia p/g của yOzˆ ) Mà mOnˆˆˆ mOy yOn (vì tia Oy nằm giữa Om và On) Thay mOyˆˆ 1500 ; yOn 45 ta được: mOnˆ 1500 45 60 0 3.Bài tập áp dụng BÀI 1 :Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối tia CD lấy điểm E, gọi F là giao điểm của AE và BC. Đường thẳng song song AB kẻ từ F cắt BE tại P. Chứng minh CP là phân giác góc CBE. BÀI 2 :Cho hình bình hành ABCD. phân giác góc A cắt đường chéo BD tại E và phân giác góc B cắt đường chéo AC tại F. Chứng minh : EF // AB. BÀI 3 :Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm, CA = 8cm. Đường phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I. Tính : BD và CD. BÀI 4:Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. chứng minh : IG // BC và tính IG. 96
  97. 97 cho tam giác ABC có AB= 5cm, AC = 6cm và BC =7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính EB và EC. ˆ 0 BÀI 5:Vẽ hai góc kề bù xOy,yOx’,biết xOy 100 .Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy,Ot’là tia phân giác của góc x’Oy. ˆˆˆ Tính x';Ot xOt ';' tOt Chủ điểm 6: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 1.Kiến thức cần nhớ +Định lý 1(định lý thuận):điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. + Định lý 2(định lý đảo): điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. Ứng dụng: Ta có thể vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước và compa như sau: 1 -Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn 2 AB -Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính đó sao cho hai cung tròn này có 2 điểm chung ,gọi là C và D -Dùng thước vẽ đường thẳng CD .Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB. 2.Các dạng bài tập Dạng 1: Chứng minh một đường thằng là đường trung trực của một đoạn thẳng Cách giải: Cách 1:chứng minh rằng đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng tai trung điểm của đoạn thẳng đó Cách 2: chứng minh 2 điểm thuộc đường thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng 97
  98. 98 Ví dụ 1:cho tam giác ABC cân đỉnh C,tam giác ABD cân đỉnh D Chứng minh rằng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB C Giải: *Phân tích bài toán: để chứng minh CD là đường trung trực của AB Ta chứng minh C và D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB Tam giác ABC cân đỉnh C (gt) A B => CA=CB =>C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB Tương tự D cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB D =>CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB Dạng 2: sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng để giải các bài toán khác Ví dụ 1:Tam giác ABC cân tại A .Đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D .Biết ˆ CD là tia phân giác của góc ACB ,Tính các góc của tam giác ABC Giải: A Ta có: DA=Dc => tam giác ADC cân tại D ˆˆ ˆˆ  A C2=>CA 2 (1) ˆ ˆ Tam giác ABC cân tại A => CB (2) ˆˆˆ D Tam giác ABC có ABC 180 (3) ˆ 0 Từ 1,2,3 suy ra A 36 ˆ ˆ 0 BC 72 B C 3.Bài tập áp dụng BÀI 1 : 98
  99. 99 Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho các đường AB, AC lần lược là các đường trung trực của DH, EH. 1. Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân. 2. Đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M và N. chứng minh tia HA là phân giác của góc NHM. 3. Chứng minh : BÀI 2 : Cho tam giác ABC cân tại A. hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. 1. Chứng minh tam giác BIC cân tại I. 2. Chứng minh AI là đường trung trực của BC. BÀI 3 : Cho tam giác ABC cân tại A. gọi M là trung điểm của BC. hai đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D. chứng minh : 1. DB = DC. 2. A, M, D thẳng hàng. BÀI 4: Cho d là đường trung trực của AC. Lấy điểm B sao cho A và B ở cùng bên đường thẳng d. BC cắt d tại I. điểm M di động trên d. 1. So sánh MA + MB với BC. 2. Tìm vị trí M trên d để MA + MB nhỏ nhất. BÀI 5 : Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = AB. trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AC. Vẽ đường cao BH của tam giác ABM và đường cao CK của tam giác ACN, hai đường cao cắt nhau tại O. chứng minh rằng : 1. Điểm O nằm trên đường trung trực của MN. 2. AO là phân giác của góc BAC. 99