Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề: Tỉ lệ thức - Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Nội dung text: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề: Tỉ lệ thức - Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

1. PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LỤC NAM TRƯỜNG THCS BẢO SƠN CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG VÀ HAI ĐỀ THI HSG DỰ THI GVG CẤP HUYỆN VềNG III CHU KỲ 2016 – 2018 Họ và tờn giỏo viờn: Nguyễn Thị Hường Đơn vị cụng tỏc: Trường THCS Bảo Sơn Giảng dạy mụn: Toỏn Trỡnh độ đào tạo: Đại học Bảo Sơn, thỏng 4 năm 2018
2. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 Chuyờn đề: TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: a c Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d). b d Cỏc số a, b, c, d được gọi là cỏc số hạng của tỉ lệ thức; a và d là cỏc số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là cỏc số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tớnh chất: a c Tớnh chất 1: Nếu thỡ ad bc (Tớch trung tỉ = Tớch ngoại tỉ) b d Tớnh chất 2: Nếu ad bc và a, b, c, d 0 thỡ ta cú cỏc tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b , , , b d c d b a c a Nhận xột: Từ một trong năm đẳng thức trờn ta cú thể suy ra cỏc đẳng thức cũn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU a c a c a c a c -Tớnh chất: Từ suy ra: b d b d b d b d -Tớnh chất trờn cũn mở rộng cho dóy tỉ số bằng nhau: a c e a c e a b c a b c suy ra: b d f b d f b d f b d f (giả thiết cỏc tỉ số trờn đều cú nghĩa). a b c * Chỳ ý: Khi cú dóy tỉ số ta núi cỏc số a, b, c tỉ lệ với cỏc số 2, 3, 5. 2 3 5 Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I/ DẠNG 1: TèM GIÁ TRỊ CỦA SỐ HẠNG CHƯA BIẾT TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. x y Vớ dụ 1: Tỡm hai số x và y biết và x y 20 2 3 Giải Cỏch 1: (Đặt ẩn phụ) x y Đặt k , suy ra: x 2k , y 3k 2 3 Theo giả thiết: x y 20 2k 3k 20 5k 20 k 4 Do đú: x 2.4 8 y 3.4 12 KL: x 8 , y 12 1
3. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường Cỏch 2: (sử dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: x y x y 20 4 2 3 2 3 5 x Do đú: 4 x 8 2 y 4 y 12 3 KL: x 8 , y 12 Cỏch 3: (phương phỏp thế) x y 2y Từ giả thiết x 2 3 3 2y mà x y 20 y 20 5y 60 y 12 3 2.12 Do đú: x 8 3 KL: x 8 , y 12 x y y z Vớ dụ 2: Tỡm x, y, z biết: , và 2x 3y z 6 . 3 4 3 5 Giải x y x y Cỏch 1: Từ giả thiết: (1) 3 4 9 12 y z y z (2) 3 5 12 20 x y z Từ (1) và (2) suy ra: (*) 9 12 20 x y z 2x 3y z 2x 3y z 6 Ta cú: 3 9 12 20 18 36 20 18 36 20 2 x Do đú: 3 x 27 9 y 3 y 36 12 z 3 z 60 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 x y z Cỏch 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k ( sau đú giải như cỏch 1 của VD1). 9 12 20 Cỏch 3: (phương phỏp thế: ta tớnh x, y theo z) y z 3z Từ giả thiết: y 3 5 5 3z x y 3y 3. 9z x 5 3 4 4 4 20 2
4. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường 9z 3z z mà 2x 3y z 6 2. 3. z 6 60 z 60 20 5 10 3.60 9.60 Suy ra: y 36 , x 27 5 20 KL: x 27 , y 36 , z 60 x y Vớ dụ 3: Tỡm hai số x, y biết rằng: và x.y 40 2 5 Giải x y Cỏch 1: (đặt ẩn phụ): Đặt k , suy ra x 2k ; y 5k 2 5 Theo giả thiết: x.y 40 2k.5k 40 10k2 40 k2 4 k 2 + Với k 2 ta cú: x 2.2 4 y 5.2 10 + Với k 2 ta cú: x 2.( 2) 4 y 5.( 2) 10 KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10 Cỏch 2: ( sử dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau) Vỡ x.y = 40 => x 0 x y Nờn nhõn cả hai vế của với x ta được: 2 5 x2 xy 40 8 x2 16 x 4 2 5 5 4 y 4.5 + Với x 4 ta cú y 10 2 5 2 4 y 4.5 + Với x 4 ta cú y 10 2 5 2 KL: x 4 , y 10 hoặc x 4 , y 10 Cỏch 3: (phương phỏp thế) làm tương tự cỏch 3 của vớ dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng x 2 x 4 x y z a. b. và 5x y 2z 28 x 1 x 7 10 6 21 c. 4x 3y ; 7y 5z và 2x 3y z 6 d. x: y : z 12:9:5 và xyz 20 10 6 14 x 16 y 25 z 9 e. và xyz 6720 f. và 2x3 1 15 x 5 y 9 z 21 9 16 25 Bài 2. Tỡm cỏc số x,y,z biết rằng a) x: y : z 3:4:5 và 5z2 3x2 2y2 594 b) 3 x 1 2 y 2 ; 4 y 2 3 z 3 và 2x 3y z 50 12x 15y 20z 12y 15y 20z c) và x y z 48 7 9 11 3
5. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường Bài 3. Tỡm cỏc số x,y,z biết : x 3 y 5 1 4y 1 6y 1 8y a) ; và 2x 3y 5z 1 b) y 2 z 7 13 19 5x 2x 1 y 2 2x 3y 1 1 2y 1 4y 1 6y c) d) 5 7 6x 18 24 6x 1 2y 1 4y 1 6y e) 18 24 6x Bài 4: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: x y z x y y z a) và 5x y 2z 28 b) , và 2x 3y z 124 10 6 21 3 4 5 7 2x 3y 4z x y c) và x y z 49 d) và xy 54 3 4 5 2 3 x y x y z e) và x2 y2 4 f) x y z 5 3 y z 1 z x 1 x y 2 Bài 5: Tỡm cỏc số x, y, z biết rằng: x 1 y 2 z 3 a) 3x 2y , 7y 5z và x y z 32 b) và 2x 3y z 50 2 3 4 x y z c) 2x 3y 5z và x y z 95 d) và xyz 810 2 3 5 y z 1 z x 2 x y 3 1 e) f) 10x 6y và 2x2 y2 28 x y z x y z Bài 6: Tỡm cỏc số x; y; z biết rằng: x 7 x y a) và 5x – 2y = 87; b) và 2x – y = 34; y 3 19 21 x3 y3 z3 2x 1 3y 2 2x 3y 1 b) và x2 + y2 + z2 = 14. c) 8 64 216 5 7 6x Bài 7: Tỡm cỏc số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 8: Tỡm cỏc số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Hướng dẫn: a) Đỏp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khỏc 0 nờn 2y – x = 0, do đú : x = 2y. Từ đú tỡm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 9. Tỡm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Hướng dẫn: Rỳt ra được: a = - 3b, từ đú suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. a b c Bài 10: Cho ba tỉ số bằng nhau: , , . Biết a + b + c 0 .Tỡm giỏ trị của b c c a a b mỗi tỉ số đú ? 4
6. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường II/ DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC A C Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dựng một số phương phỏp sau: B D Phương phỏp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C Phương phỏp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số A và C cú cựng giỏ trị. B D Phương phỏp 3: Sử dụng tớnh chất của tỉ lệ thức. (*) Một số kiến thức cần chỳ ý: a na +) (n 0) b nb n n a c a c +) b d b d +) a.b + a.c = a( b+ c) hoặc a.b - a.c = a( b - c) (*) Một số vớ dụ : ( giả thiết cỏc tỉ số đều cú nghĩa) a c a b c d Vớ dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: b d a b c d Giải: Cỏch 1: (Phương phỏp 1) Ta cú: (a b)(c d) ac ad bc bd (1) (a b)(c d) ac ad bc bd (2) a c Từ giả thiết: ad bc (3) b d Từ (1), (2), (3) suy ra: (a b)(c d) (a b)(c d) a b c d (đpcm) a b c d Cỏch 2: (Phương phỏp 2) a c Đặt k , suy ra a bk, c dk b d a b kb b b(k 1) k 1 Ta cú: (1) a b kb b b(k 1) k 1 c d kd d d(k 1) k 1 (2) c d kd d d(k 1) k 1 a b c d Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) a b c d 5
7. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường Cỏch 3: (phương phỏp 3) a c a b Từ giả thiết: b d c d Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: a b a b a b a b c d (đpcm) c d c d c d a b c d Hỏi: Đảo lại cú đỳng khụng ? a c ab a2 b2 Vớ dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: b d cd c2 d 2 Giải: a c Cỏch 1: Từ giả thiết: ad bc (1) b d Ta cú: ab c2 d 2 abc2 abd 2 acbc adbd (2) cd a2 b2 a2cd b2cd acad bc.bd (3) 2 2 2 2 2 2 ab a b Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c d cd a b (đpcm) cd c2 d 2 a c Cỏch 2: Đặt k , suy ra a bk , c dk b d ab bk.b kb2 b2 Ta cú: +) (1) cd dk.d kd 2 d 2 a2 b2 (bk)2 b2 b2k 2 b2 b2 k 2 1 b2 +) (2) c2 d 2 (dk)2 d 2 d 2k 2 d 2 d 2 k 2 1 d 2 ab a2 b2 Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm) cd c2 d 2 a c a b Cỏch 3: Từ giả thiết: b d c d ab a2 b2 a2 b2 cd c2 d 2 c2 d 2 ab a2 b2 (đpcm) cd c2 d 2 6
8. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường a 2 b 2 ab a c Vớ dụ 3: Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: . c 2 d 2 cd b d Giải 2 a 2 b 2 ab 2ab a2 2ab b2 a b ab a b a b a.b Ta cú : ; c 2 d 2 cd 2cd c2 2cd d 2 c d 2 cd c d c d c.d c a b b c d ca cb bc bd ca bd 1 a c d d a b ac ad da db ca bd a c ca cb ac ad cb ad (dpcm) b d BÀI TẬP VẬN DỤNG: a c Bài 1. Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng ta cú tỉ lệ thức sau ( với giả thiết cỏc b d tỉ số đều cú nghĩa ) 2a 7b 2c 7d 2015a 2016b 2015c 2016d a) b) 3a 4b 3c 4d 2016c 2017d 2016a 2017b 2 2 a b a2 b2 ab 2a 3b 7a2 5ac 7b2 5bd c) 2 2 d) e) 2 2 c d c d cd 2c 3d 7a 5ac 7b 5bd a c Bài 2. Cho a c 2b và 2bd c b d ; b,d 0 . Chứng minh rằng: b d a a a a Bài 3. Cho dóy tỉ số bằng nhau : 1 2 3  2014 Chứng minh rằng : a2 a3 a4 a2015 2014 a a a a  a 1 1 2 3 2014 a2015 a2 a3 a4  a2015 a1 a2 a8 a9 Bài 4: Cho và a1 a2 a9 0 . CMR: a1 a2 a9 a2 a3 a9 a1 a c Bài 5. Cho cỏc số x, y, z,t thỏa món ax yb 0 và zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh rằng : za tb zc td 2a 13b 2c 13d a c Bài 6. Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng : 3a 7b 3c 7d b d a c Bài 7: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta cú cỏc tỉ lệ thức sau: (với giả thiết b d cỏc tỉ số đều cú nghĩa). 2 3a 5b 3c 5d a b a2 b2 1) 2) 2 2 3a 5b 3c 5d c d c d 7
9. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường 2 a b c d ab a b 3) 4) a b c d cd c d 2 2a 5b 2c 5d 2005a 2006b 2005c 2006d 5) 6) 3a 4b 3c 4d 2006c 2007d 2006a 2007b a c 7a2 5ac 7b2 5bd 7) 8) a b c d 7a2 5ac 7b2 5bd 7a 2 3ab 7c 2 3cd 9) 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 3 a b c a b c a Bài 8: Cho . Chứng minh rằng: b c d b c d d a b c Bài 9: Cho . Chứng minh rằng: 4(a b)(b c) (c a)2 2003 2004 2005 a b a2 b2 a Bài 10: Chứng minh rằng nếu : thỡ b d b2 d 2 d 2 a b c a Bài 11: CMR: Nếu a bc thỡ . Đảo lại cú đỳng khụng? a b c a a b c d a c Bài 12: Cho . Chứng minh rằng . a b c d b d u 2 v 3 u v Bài 13: Chứng minh rằng nếu: thỡ . u 2 v 3 2 3 Bài 14: Chứng minh rằng nếu a(y z) b(z x) c(x y) ,trong đú a, b,c khỏc nhau y z z x x y và khỏc 0 thỡ : . a(b c) b(c a) c(a b) a c Bài 15: Cho . Cỏc số x, y, z, t thỏa món: xa yb 0 và zc td 0 b d xa yb xc yd Chứng minh rằng: . za tb zc td Bài 16: Cho a, b, c, d là 4 số khỏc 0 thỏa món: b2 ac ; c2 bd và b3 c3 d 3 0 a3 b3 c3 a Chứng minh rằng: . b3 c3 d 3 d 8
10. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường ax2 bx c a b c Bài 17: Cho P 2 . Chứng minh rằng nếu thỡ giỏ trị của P a1x b1x c1 a1 b1 c1 khụng phụ thuộc vào x. a b' b c' Bài 18: Cho biết : 1 ; 1 . Chứng minh rằng: abc + a’b’c’ = 0. a' b b' c 2a 13b 2c 13d a c Bài 19: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: . 3a 7b 3c 7d b d bz cy cx az ay bx x y z Bài 20: Cho dóy tỉ số : ; CMR: . a b c a b c III/ DẠNG 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC (*) Một số kiến thức cần chỳ ý: - Tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau - Tớnh chất của phõn số - Cỏc cụng thức về lũy thừa (*) Một số vớ dụ : 3x y 3 x Vớ dụ 1 : Cho tỉ lệ thức . Tớnh giỏ trị của tỉ số x y 4 y Bài giải: Cỏch 1 : 3x y 3 Từ 4(3x – y) = 3(x+y) 12x – 4y = 3x + 3y x y 4 12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y x 7 Vậy y 9 3x 1 3x y 3 y 3 Cỏch 2: Từ x x y 4 1 4 y x 3a 1 3 Đặt a y a 1 4 4(3a 1) 3(a 1) 12a 4 3a 3 7 12a 3a 3 4 9a 7 a 9 x 7 Vậy y 9 9
11. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường x y z y z x Vớ dụ 2: Cho . Tớnh giỏ trị của biểu thức P 2 3 4 x y z Cỏch 1: x y z Đặt = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0) 2 3 4 3k 4k 2k 5k 5 P 2k 3k 4k 3k 3 5 Vậy P 3 Cỏch 2 : x y z y z x y z x x y z x y z Cú 2 3 4 3 4 2 5 2 3 4 3 y z x x y z y z x 5 5 3 x y z 3 5 Vậy P 3 a b c d Vớ dụ 3 : Cho dóy tỉ số bằng nhau . Tớnh giỏ b c d a c d a b d b c a a b b c c d d a trị của biểu thức M . c d a d a b b c Bài giải: a b c d Từ b c d a c d a b d b c a a b c d 1 1 1 1 b c d a c d a b d b c a a b c d a b c d a b c d a b c d (*) b c d a c d a b d b c a +) Xột a b c d 0 a b (c d);b c (a d) M 4 +) Xột a b c d 0 Từ (*) ta cú : b c d a c d a b d b c a a b c d M 4 a b b c c a Vớ dụ 4: Cho a , b ,c đụi một khỏc nhau và thỏa món .Tớnh giỏ trị c a b a b c của biểu thức P 1 1 1 . b c a Bài giải: a b b c c a a b b c c a Từ 1 1 1 c a b c a b a b c a b c a b c (*) c a b 10
12. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường +) Xột a b c 0 a b c; a c b; b c a a b b c a c c a b abc P     1 b c a b c a abc +) Xột a b c 0 Từ (*) ta cú : a b c P 8 ab bc ca Vớ dụ 5 : Cho cỏc số a;b;c khỏc 0 thỏa món . Tớnh giỏ trị của biểu a b b c c a ab2 bc2 ca2 thức P . a3 b3 c3 Bài giải : ab bc ca Với a,b,c 0 ta cú : a b b c c a a b b c c a 1 1 1 1 1 1 ab bc ca b a c b a c 1 1 1 a b c P 1 a b c BÀI TẬP VẬN DỤNG: a1 a2 a3 an 1 an Bài 1. Cho  (với a1 a2  an 0 ) a2 a3 a4 an a1 2 2 2 9 9 9 a1 a1  an a1 a2  an Tớnh : A 2 ; B 9 a1 a2  an a1 a2  an a+b-c a-b+c -a+b+c Bài 2: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho: = = c b a (a+b)(b+c)(c+a) Tìm giá bằng số của biểu thức: M abc a1 a 2 a 2007 a 2008 Bài 3: Cho 2008 số thoả món a1+a2+ +a2008 0 và = = = = a 2 a3 a 2008 a1 2 2 2 2 a1 +a 2 + a 2007 +a 2008 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: N= 2 (a1 +a 2 + +a 2007 +a 2008 ) ax2 + bx + c a b c Bài 4: Cho P = 2 2 Chứng minh rằng nếu = = a1x + b1x + c1 a1 b1 c1 Thỡ giỏ trị của P khụng phụ thuộc vào giỏ trị của x. Bài 5: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d a b c d a b b c c d d a Tính M c d d a a b b c 11
13. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường Bài 6: Cho 3 số x , y , z, t khỏc 0 thỏa món điều kiện : y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt ( n là số tự nhiờn) x y z t và x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t IV/ DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ Vớ dụ 1: Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3. Lời giải * Gọi số tự nhiờn cú 3 chữ số cần tỡm là abc , ( ĐK :a,b,c N ,1 a 9,0 b,c 9 ) 1 a b c 27 abc2 +) abc18 ( do 18=2.9 và ƯCLN(2;9)=1 ) abc9 +) Cỏc chữ số của số cần tỡm tỉ lệ với 1; 2; 3 Mà abc2 c2 => a; b; c tỉ lệ với 1; 3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2 a b c a b c a b c +) Nếu a;b;c tỉ lệ với 1; 3; 2 a b c6 1 2 3 1 2 3 6 Lại cú abc ⋮ 9 a + b + c ⋮ 9 Mà 1 a b c 27 Nờn a + b + c = 18 a 3 a b c 3 b 9 (Thỏa món điều kiện) 1 3 2 c 6 a 9 +) Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2 b 3 (Thỏa món điiều kiện) c 6 Vậy số tự nhiờn cú 3 chữ số cần tỡm là 396; 936 1 Vớ dụ 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C cú tất cả 144 học sinh. Nếu rỳt ở lớp 7A đi số học sinh, 4 1 1 rỳt ở lớp 7B đi số học sinh, rỳt ở lớp 7C đi học sinh thỡ số học sinh cũn lại của cả 7 3 3 lớp bằng nhau. Tớnh số học sinh mỗi lớp ban đầu. Lời giải Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh) 12
14. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường ĐK: x, y, z N*, x, y, z 144 +) Ba lớp 7A, 7B, 7C cú tất cả 144 học sinh x y z 144 1 1 1 +) Nếu rỳt ở lớp 7A đi học sinh, rỳt ở lớp 7B đi học sinh, rỳt ở lớp 7C đi 4 7 3 học sinh thỡ số học sinh cũn lại của 3 lớp bằng nhau. 3 6 2 Nờn ta cú x y z 4 7 3 3 6 2 x y z x y z 144 x y 6 24 42 18z 8 7 9 8 7 9 24 x 48 y 42 (Thỏa món điều kiện) z 54 Vậy số học sinh lỳc đầu của cỏc lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh. Vớ dụ 3: Lớp 7A cú 52 học sinh được chia làm ba tổ. Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thờm vào 3 học sinh thỡ số học sinh tổ một , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2. Tỡm số học sinh mỗi tổ. Lời giải Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z.(học sinh) ĐK: x, y, z N*, x, y, z 52 +) Lớp 7A cú 52 học sinh => x + y + z = 52 +) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thờm vào 3 học sinh thỡ số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2 Nờn ta cú 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3) 3 x – 1 4 y – 2 2 z 3 12 12 12 x – 1 y – 2 z 3 4 3 6 x 1 y-2 z 3 x y z 52 4 4 3 6 13 13 x 1 16 x 17 y 2 12 y 14 (Thỏa món điều kiện) z 3 24 z 21 Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh. 3 Vớ dụ 4: Tỡm ba phõn số cú tổng bằng 3 . Biết tử của chỳng tỉ lệ với 3; 4; 5 cũn 70 mẫu của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2. Lời giải 13
15. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường a c e Gọi ba phõn số cần tỡm là , , với a,b, c, d, e, g Z; b,d, g 0 b d g Theo đầu bài ta cú a c e 3 a : c : e = 3:4 :5; b : d : g = 5: 1: 2 và 3 b d g 70 a c e +) a: c : e = 3 : 4 : 5 => k với k Z 3 4 5 a = 3k ,c = 4k , e = 5k b d g +) b : d : g = 5 : 1 : 2 => t với t Z,t 0 5 1 2 b= 5t, d = t, g = 2t a c e 3 3k 4k 5k 213 +) 3 => b d g 70 5t t 2t 70 k 71 213 k 3 . => t 10 70 t 7 a 9 c 12 e 15 , , b 35 d 7 g 14 9 12 15 Vậy ba phõn số cần tỡm là , , 35 7 14 Vớ dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giỏc tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số nào? Lời giải Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc và , lần lượt là cỏc chiều cao tương ứng. a.h b.h c.h Diện tớch của tam giỏc đú là: a b c => a. = b. = c. (1) 2 2 2 +) cú a, b, c tỉ lệ với 2; 3; 4 a b c => k (k o ) 2 3 4 => a = 2k, b = 3k v à c = 4k (1) =>2k. = 3k. = 4k. 2h 3h 4h 2h 3h 4h =>a b c a b c 12 12 12 h h h a b c => , tỉ lệ với 6; 4 ; 3 6 4 3 Vậy độ dài ba cạnh của một tam giỏc tỉ lệ với 2; 3; 4 thỡ ba chiều cao tương tứng với ba cạnh đú tỉ lệ với 6; 4; 3. 1 Vớ dụ 6: Một ụ tụ phải đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Sau khi đi được 2 quóng đường thỡ ụ tụ tăng vận tốc thờm 20%. Do đú ụ tụ đến B sớm hơn được 10 phỳt. Tớnh thời gian ụ tụ đi từ A đến B. 14
16. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường Lời giải Gọi vận tốc dự định là x, vận tốc mới tăng là y ( x,y > 0) 120 y 6 Ta cú y x => 100 x 5 Gọi C là trung điểm của AB. ễ tụ đến B sớm hơn dự định 10 phỳt là nhờ tăng vận tốc từ điểm C. Nếu ụ tụ đi từ C đến B với vận tốc x mất thời gian là Nếu ụ tụ đi từ C đến B với vận tốc y mất thời gian là y t y 6 Thỡ x. = y. => 1 mà x t2 x 5 t 6 t t t t t1 60 =>1 => 1 2 1 2 10 => t2 5 6 5 6 5 t2 50 =>Thời gian ụ tụ đi nửa đường AB với vận tốc đó tăng hết 50 phỳt Thời gian ụ tụ đi nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phỳt. Vậy thời gian ụ tụ đi từ A đến B là 60 + 50 = 110 (phỳt) Vớ dụ 7: Một cửa hàng cú ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đú là 186m, giỏ tiền mỗi một vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bỏn được một ngày cửa hàng cũn lại 2 3 cuộn thứ nhất, 1 cuộn thứ hai, 3 cuộn thứ ba. Số tiền bỏn được của ba cuộn thứ nhất, 3 5 thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tớnh xem trong ngày đú cửa hàng đó bỏn được bao nhiờu một vải mỗi cuộn. Lời giải Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z (m) ĐK: 0 x + y + z = 186 2 1 3 + Sau khi bỏn được một ngày cửa hàng cũn lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, 3 3 5 cuộn thứ ba => Trong ngày đú cửa hàng đó bỏn được số một vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba x 2y 2z lần lượt là , , (một) 3 3 5 +) Số tiền bỏn được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 và giỏ tiền mỗi một vải của ba cuộn như nhau. => Số một vải bỏn được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 x 2y 2z 2x 2y 2z => : : 2:3:2 => 3 3 5 12 9 10 x y z x y z 186 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta được: 6 12 9 10 12 9 10 31 15
17. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường x 72 => y 54 ( Thỏa món điều kiện ) z 60 Vậy trong ngày đú cửa hàng đó bỏn số một vải ở cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là : 24; 36; 24 (một). BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng số đú là bội của 72 và cỏc chữ số của nú xếp từ nhỏ đến lớn thỡ tỉ lệ với 1 ; 2 ; 3 3 Bài 2 . Tỡm hai phõn số tối giản biết hiệu của chỳng là và cỏc tử tương ứng tỉ lệ 196 với 3 và 5 , cỏc mẫu tương ứng tỉ lệ với 4 và 7. Bài 3. Cho ABC cỏc gúc ngoài của tam giỏc tại A,B,C tỉ lệ với 4 ; 5 ; 6 . Cỏc gúc trong tương ứng tỉ lệ với cỏc số nào ? Bài 4. Trong một đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển được 912m3 đất. Trung bỡnh mỗi học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự làm được 1,2m3; 1,4m3; 1,6m3 . Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3, số học sinh khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tớnh số học sinh mỗi khối ? Bài 5. Quóng đường AB dài 76m, người thứ nhất đi từ A đến B và người thứ hai đi từ 4 B đến A. Vận tốc của người thứ nhất chỉ bằng vận tốc của người thứ hai (đến lỳc 5 10 gặp nhau). Thời gian của người thứ nhất chỉ bằng thời gian của người thứ hai. Tớnh 11 quóng đường mỗi người đi được ? Bài 6. Số học sinh khối 6, 7, 8, 9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tớnh số học sinh của trường đú? 16
18. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường PHềNG GD & ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS BẢO SƠN MễN: Toỏn 7 (Thời gian làm bài : 150 phỳt) Cõu 1 ( 6 điểm) 1) Thực hiện phộp tớnh : 9.69.120 46.96 10 10 10 10 10 A ; B 84.313 612 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 a b c b c a a c b 2) Cho a, b, c là ba số thực khỏc 0, thoả món : . c a b b a c Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức B 1 . 1 . 1 . a c b 3) Tớnh giỏ trị của đa thức f (x) x5 2018x4 2016x3 2018x2 2016x 2017 tại x = 2017 Cõu 2 ( 3 điểm) 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z 1) Cho . Chứng minh rằng :. 4 3 2 2 3 4 1 2 2) Tỡm x, y, z biết: x y x2 xz 0 2 3 Cõu 3 (5 diểm) 1) Tỡm cỏc cặp số tự nhiờn (x; y) sao cho: 49- y2 =12(x -2001)2 2) Cho 2019x1 2018y1 2019x2 2018y2 2019x2018 2018y2018 0 . x x x x 2018 Chứng minh 1 2 3 2018 . y1 y2 y3 y2018 2019 3)Một cửa hàng cú ba cuộn vải, tổng chiều dài ba cuộn vải đú là 186m, giỏ tiền 2 mỗi một vải của ba cuộn là như nhau. Sau khi bỏn được một ngày cửa hàng cũn lại 3 1 3 cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba. Số tiền bỏn được của ba cuộn thứ nhất, 3 5 thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2. Tớnh xem trong ngày đú cửa hàng đó bỏn được bao nhiờu một vải mỗi cuộn. Cõu 4 (5 điểm) Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trờn AC ; K là một điểm trờn EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết Hã BE = 50o ; Mã EB =25o. Tớnh Hã EM và Bã ME Cõu 5 (1 điểm). Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y, z 0 thoả món điều kiện: x+y+z=xyz 17
19. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn 7 Cõu Nội dung Điểm 9.69.120 46.96 32.29.39.23.3.5 212.312 0,5 A 84.312 612 212.313 212.312 312.212.5 212.312 312.212 (5 1) 212.312 (3 1) 212.312.2 5 1 2 2 0.5 Vậy A= 2 10 10 10 10 10 B 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 5 5 5 5 5 2.( ) 7.12 12.17 17.22 2012.2017 2017.2022 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2( ) 7 12 12 17 17 22 2012 2017 2017 2022 0.5 1 1 2022 7 2015 = 2( ) 2. 7 2022 2022.7 7077 2015 Vậy B 7077 0.5 2) +Nếu a+b+c 0 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ,ta cú: a b c b c a c a b a b c b c a c a b Cõu 1 = = 1 0,5 a b c 6 điểm c a b a b c b c a c a b 1 1 1 0,5 mà c a b = 2 a b b c c a => =2 0,25 c a b b a c b a c a b c Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b 0,25 +Nếu a+b+c = 0 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ,ta cú: a b c b c a c a b a b c b c a c a b = = 0 0,5 c a b a b c 18
20. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường a b c b c a c a b mà 1 1 1 = 1 c a b a b b c c a 0,5 => =1 c a b b a c b a c a b c Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =1 a c b a c b 0,25 3)Tớnh giỏ trị của đa thức f (x) x5 2018x4 2016x3 2018x2 2016x 2017 tại x = 2017 2018 x 1 Ta cú x 2017 . Khi đú ta cú: 0,5 2016 x 1 f (2017) x5 (x 1)x4 (x 1)x3 (x 1)x2 (x 1)x x x5 x5 x4 x4 x3 x3 x2 x2 x x 0 0,5 Vậy f(2017) =0 3x 2y 2z 4x 4y 3z 1) Theo bài ra ta cú: 4 3 2 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: Cõu 2. 12x 8y 6z 12x 8y 6z 12x 8y 6z 12x 8y 6z 0 0,5 3 điểm 16 9 4 16 9 4 12x 8y 0 12x 8y 12x 8y 6z 8y 6z 0 8y 6z 0,5 12x 8y 6z x y z (đpcm) 24 24 24 2 3 4 0,5 2) Áp dụng tớnh chất A 0 0,25 1 1 1 x 0 x 0 x 2 2 2 2 2 2 y 0 y 0 y 1,0 3 3 3 x2 xz 0 x x z 0 1 z x 2 Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0,25 19
21. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường 1) Xột đẳng thức: 49- y2 =12 x -2001 2 . 0,5 Vế phải là mộ số chẵn khụng õm nờn y là một số lẻ và khụng lớn 0,5 hơn 7 Khi y = 1 x = 2003 và x = 1999 0,5 Khi y = 3 khụng cú giỏ trị x N Khi y = 5 khụng cú giỏ trị x N Khi y = 7 x = 2011 Vậy cỏc cặp (x; y) cần tỡm là (2003; 1); (1999; 1); (2001; 7) 2) Ta cú 2019x1 2018y1 0 2019x2 2018y2 0 2019x2018 2018y2018 0 2 2 2 (2017x1 2016y1) (2017x2 2016y2 ) (2017x2016 2016y2016 ) 0 0,5 Cõu 3. Theo bài ra ta cú: 5 điểm 2019x1 2018y1 2019x2 2018y2 2019x2018 2018y2018 0 Suy ra: 2019x1 2018y1 0 2019x2 2018y2 0  2019x2018 2018y2018 0 2019x1 2018y1 0,5 2019x2 2018y2 x x x 2018 1 2 2018 (1)  y1 y2 y2018 2019 2019x2018 2018y18 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta được: x x x x x x 1 2 2018 1 2 2018 (2) y y y y y y 1 2 2018 1 2 2018 0,5 x x x x 2018 Từ (1) và (2) suy ra 1 2 3 2018 (đpcm) y1 y2 y3 y2018 2019 20
22. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường 3) Gọi chiều dài cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là x, y, z 0,25 (m) ĐK: 0 x + y + z = 186 0,5 2 1 + Sau khi bỏn được một ngày cửa hàng cũn lại cuộn thứ nhất, 3 3 3 cuộn thứ hai, cuộn thứ ba 5 => Trong ngày đú cửa hàng đó bỏn được số một vải ở cuộn thứ nhất, x 2y 2z thứ hai, thứ ba lần lượt là , , (một) 3 3 5 +) Số tiền bỏn được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 và giỏ tiền mỗi một vải của ba cuộn như nhau. => Số một vải bỏn được của ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt tỉ lệ với 2; 3; 2 x 2y 2z 2x 2y 2z => : : 2:3:2 => 3 3 5 12 9 10 0,5 Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta được: x y z x y z 186 6 12 9 10 12 9 10 31 x 72 => y 54 ( Thỏa món điều kiện ) 0,5 z 60 Vậy trong ngày đú cửa hàng đó bỏn số một vải ở cuộn thứ nhất, thứ 0,25 hai, thứ ba lần lượt là : 24; 36; 24 (một). A I B M C H K Cõu 4 5 điểm E 1) Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt ) ãAMC = Eã MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nờn : AMC = EMB (c.g.c ) 0,75 AC = EB Vỡ AMC = EMB Mã AC = Mã EB 0,5 21
23. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường Mà Mã AC vàMã EB là 2 gúc cú vị trớ so le trong 0,5 Suy ra AC // BE . 0,25 2) Xột AMI và EMK cú : AM = EM (gt ) Mã AI = Mã EK ( vỡ AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nờn AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 Suy ra ãAMI = Eã MK Mà ãAMI + IãME = 180o ( tớnh chất hai gúc kề bự ) 0,5 Eã MK + IãME = 180o 0,5 Ba điểm I;M;K thẳng hàng (đpcm) 3) Trong tam giỏc vuụng BHE ( Hà = 90o ) cú Hã BE = 50o Hã BE = 90o - Hã BE = 90o - 50o =40o 0,5 Hã EM = Hã EB - Mã EB = 40o - 25o = 15o 0,5 Bã ME là gúc ngoài tại đỉnh M của HEM ã ã ã o o o Nờn BME = HEM + MHE = 15 + 90 = 105 0,5 ( định lý gúc ngoài của tam giỏc ) Khụng mất tớnh tổng quỏt của bài toỏn giả sử x y z 0,25 Vỡ x, y, z là cỏc số tự nhiờn khỏc 0 1 x y z Ta cú x y z xyz * 1 1 1 1 yz xz xy 1 1 1 3 1 2 2 2 2 Cõu 5 x x x x x2 3 x 1 1 điểm Thay vào (*) ta được 0,25 1+y+z = yz y 1 z 1 2 y 1 1 y 2 z 1 2 z 3 x,y,z 1;2;3 0,25 Vỡ vai trũ của x, y, z như nhau nờn cỏc bộ số (x,y,z) thoả món bài toỏn là : 1;2;3 ; 1;3;2 ; 2;1;3 ; 2;3;1 ; 3;1;2 ; 3;2;1 0,25 22
24. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường PHềNG GD & ĐT LỤC NAM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS BẢO SƠN MễN: Toỏn 9 (Thời gian làm bài : 150 phỳt) Cõu 1: (4,5 điểm) 2017 2018 a. Khụng dựng mỏy tớnh hóy so sỏnh : và 2017 2018 . 2018 2017 b. Tỡm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 0 . 1 5 c. Giải phương trỡnh: 4. x 3 x 4 Cõu 2: (4,0 điểm) x2 x 2x x 2 x 1 Cho biểu thức: P . x x 1 x x 1 a. Rỳt gọn P. b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P. 2 x c. Xột biểu thức: Q , chứng tỏ 0 < Q < 2. P Cõu 3: (4,0 điểm) 3 5 2 17 5 38 2018 a. Với x . Tớnh giỏ trị của biểu thức: B = 3x3 8x2 2 . 5 14 6 5 b. Xỏc định đa thức P(x) cú bậc bốn thỏa món: P( 1) 0 và P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1). Cõu 4: (6,0 điểm) 1/ Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, phõn giỏc AD 2 1 1 a) Chứng minh hệ thức: AD AB AC b) Hệ thức trờn thay đổi như thế nào nếu đường phõn giỏc trong AD bằng đường phõn giỏc ngoài AE 2/ Cho tam giỏc ABC cõn tại A, gọi I là giao điểm của cỏc đường phõn giỏc. Biết IA =25 cm, và IB = 3cm. Tớnh độ dài AB. Cõu 5: (1,5 điểm) Cho x, y là cỏc số tự nhiờn khỏc 0, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 36x 5y Hết 23
25. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Mụn: Toỏn 9 Cõu Nội dung Điểm Cõu 1 a) Ta cú: (4,5điểm) 2017 2018 2018 1 2017 1 0,5 2018 2017 2018 2017 1 1 2018 2017 2018 2017 2017 2018 0,5 2017 2018 Vậy 2017 2018 . 2018 2017 0,25 b)Ta cú: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 = 4x2 + y2 + y2 + z2 + z2 - 4xy – 2yz + 2y – 2z - 6z +1 + 9 0,5 = (4x2- 4xy + y2) + (y2 + z2 + 1 – 2yz + 2y – 2z) + (z2- 6z + 9) = (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 0,5 Vỡ (2x - y)2 0 ; (y – z + 1)2 0 ; ( z - 3)2 0 với mọi x, y, z nờn 2x y 0 x 1 (2x - y)2 + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 0 y z 1 0 y 2 0,5 z 3 0 z 3 Vậy (x;y;z) = (1; 2; 3) 0,25 c) ĐKXĐ: x > - 3. 0,25 Khi đú phương trỡnh đó cho tương đương với 1 5 2 2 0 x 3 x 4 1 5 4 4 x 3 x 4 0 1 5 2 2 x 3 x 4 4x 11 4x 11 0 1 5 x 3 2 x 4 2 x 3 x 4 1 1 (4x 11) 0 0,5 1 5 (x 3)(2 ) (x 4)(2 ) x 3 x 4 1 1 Vỡ x > - 3 nờn 0 0,25 1 5 x 3 2 x 4 2 x 3 x 4 24
26. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường 11 Do đú 4x + 11 = 0 x = (thỏa món điều kiện). 0,25 4 11 Vậy tập nghiệm của phương trỡnh là: S  . 4  0,25 Cõu 2 a) Rỳt gọn P: ( 4 điểm) Với x > 0 và x 1 ta cú: x x x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 P 0,5 x x 1 x x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 0,75 x x 2 x 1 2 x 2 x x 1 Vậy P x x 1 , với x 0; x 1. 0,25 b)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P. - Theo phần a ta cú: Với x 0; x 1 thỡ P x x 1 2 1 3 3 Mà P x x 1 x 0,5 2 4 4 1 1 dấu bằng xảy ra khi x 0 x ( thỏa món đk). 0,25 2 4 3 1 Vậy GTNN của P là khi x . 0,25 4 4 2 x 2 x c)Với x 0; x 1 thỡ Q P x x 1 2 1 3 3 Vỡ P x x 1 x >0 0,5 2 4 4 và 2 x 0 với mọi x > 0 nờn Q > 0 (1) 0,25 2 2 x 2 x 1 + Xột 2 0 .Dấu “=” khụng xảy ra vỡ x x 1 x x 1 2 x điều kiện x 1 2 0 hay 2 Q 0 => Q < 2 (2) 0,5 x x 1 Từ (1) và (2) suy ra 0 < Q < 2 (đpcm) 0,25 Cõu 3 5 2 3 17 5 38 (4 điểm) a)Ta cú x . 5 14 6 5 3 5 2 .3 5 2 5 2 5 2 1 . 1 5 (3 5)2 5 3 5 3 25
27. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường 1 2018 Thay x vào biểu thức B = 3x3 8x2 2 ta được: 3 3 2 2018 1 1 B 3. 8. 2 3 3 2018 1 1 3. 8. 2 27 9 1 2018 0,75 1 5 2 3 17 5 38 Vậy B = 1 tại x . 5 14 6 5 0,25 b) Ta cú: P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1). - Xột x =0 ta cú : P(0) - P(-1)=0 Mà P( 1) 0 => P(0)= 0 => P(x) cú nhõn tử là x 0,5 - Xột x =-1 ta cú : P(-1) - P(-2)=0 Mà P( 1) 0 =>P(-2)=0 => P(x) cú nhõn tử là x+2 0,5 - Lại cú P( 1) 0 => P(x) cú nhõn tử là x+1 Mà P(x) là đa thức bậc 4 nờn: P(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b) - Từ P(x) - P(x-1) = x(x + 1)(2x + 1). xột x=1 ta cú P(1)=6 Lại cú P(1)= 6(a+b) nờn ta cú: a+b = 1 (1) 0,5 - Tương tự ta cú với x = 2. ta cú: 24(2a+b)= 36 4a +2b=3 (2) Từ (1) và (2) Tớnh được: a=b= 1 0,25 2 Kết luận: P(x)=x(x+1)(x+2)(1 x+1 ) 0,25 2 2 Cõu 4 1) (6 điểm) A E B D C a. Đặt AC = b; AB = c 1 Ta cú SABC = bc 2 0,25 bc = 2 SABC = 2 SABD + 2SADC 0 0 = AD.AB.sin45 + AC.AD.sin45 0,5 26
28. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường = ( AB + AC )AD.sin450 = ( b + c )AD.sin450 0,25 Suy ra: bc = ( b + c )AD. 2 = ( b + c ). AD 2 2 AD bc = 2 b c 0,75 2 b c 1 1 = AD bc c b 0,25 2 1 1 Vậy (đpcm) AD AB AC 0,5 b)Ta cú: bc = 2 SABC = 2 SACE - 2SABE = AE.AC.sin1350 – AE.AB.sin450 2 2 2 = ( b – c )AE. bc = ( b – c )AE. = ( b – c ) AE. 2 2 2 0,75 2 b c 1 1 = AE bc c b 2 1 1 2 1 1 hay 0,5 AE AC AB AD AC AB 2 1 1 Vậy nếu AD = AE thỡ AD AC AB 0,25 2) A M H I B C Kẻ AM  AC, M thuộc tia CI 0,25 Chứng minh được ∆ AMI cõn tại M MI = AI = 2 5 Kẻ AH  MI HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 ) 0,5 Xột ∆ AMC vuụng tại A ta cú AM2 = MH.MC (25 )2 = x.(2x + 3) 2x2 + 3x – 30 = 0 ( 2x – 5)(x + 4) = 0 x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vỡ x > 0) 0,5 Vậy MC = 8cm Ta cú AC2 = MC2 – AM2 = 82 – (25 )2 = 64 – 20 = 44 0,5 0,25 AC = 44 = 211 cm AB = 211 cm 27
29. Trường THCS Bảo Sơn GV: Nguyễn Thị Hường Cõu 5 Với x, y N* thỡ 36x cú chữ số tận cựng là 6, 5y cú chữ số tận (1,5điểm) cựng là 5 nờn : 0,25 A cú chữ số tận cựng là 1 ( nếu 36 x > 5y) hoặc 9 ( nếu 36 x < 5y) 0,25 TH1: A = 1. khi đú 36x - 5y =1 36x - 1 = 5y . Điều này khụng xảy ra vỡ (36x – 1)  35 nờn (36x – 1)  7, cũn 5y khụng 0,25 chia hết cho 7. TH2: A = 9. Khi đú 5 y - 36x = 9 5y = 9 + 36x điều này 0,25 khụng xảy ra vỡ (9 + 36x)  9 cũn cũn 5y khụng chia hết cho 9. TH3: A = 11. Khi đú 36 x - 5y =11. Thấy x = 1, y = 2 thỏa 0,25 món. Vậy GTNN của A bằng 11, khi x = 1, y = 2. 0,25 Bảo Sơn, ngày 10 thỏng 04 năm 2018 Người ra đề ( Kớ và ghi rừ họ và tờn) Nguyễn Thị Hường 28