Bộ đề thi vào Lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội

Nội dung text: Bộ đề thi vào Lớp 10 môn Toán của thành phố Hà Nội

1. đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội Năm học :1994-1995 2a 1 a 1 a 3 Bài 1: Cho biểu thức P = . a 3 3 a 1 a a 1 1 a a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngược 1h20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngược là bằng nhau. Bài 3: Cho tam gíac ABC cân tại A, A<900, một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB,AC tại B và C. Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh tương ứng BC,AB,CA. Gọi P là giao điểm của MB,IK và Q là giao điểm của MC,IH. a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp được b) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ//BC d) Gọi (O2) là đường tròn đi qua M,P,K,(O2) là đường tròn đi qua M,Q,H; N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC. Chứng minh M,N,D thẳng hàng. Bài 4: Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn phương trình sau: 5x- 2x(2 y) y 2 1 0 đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội Năm học :1995-1996 Bài2: Cho phương trình x2-2(m+2)x+m+1=0 (ẩn x) 3 a) Giải phương trình khi m = - 2 b) Tìm các GT của m để phương trình có hai nghiệm tráI dấu c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm GT của m để 2 x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m a) Bài 3: Bài4: Xét hai phương trình bậc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = 0. Tìm hệ thức giữa a,b,c là điều kiện cần và đủ để hai phương trinhg trên có một nghiệm chung duy nhất. đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội Năm học :1996-1997 1 2 x 2 1 2 Bài 1: Cho biểu thức A = : x 1 x x x x 1 x 1 x 1 1) Rút gọn A 1
2. 2) Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Bài3: Cho đường tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M trên cung nhỏ AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D. 1) Chứng minh AMD=ABC và MA là tia phân giac của góc BMD. 2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M. 3) Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoai tiếp tam giác BEF. 4) Chứng minh tích P=AE.AF không đổi khi M di động. Tính P theo bán kính R và ABC = Bài4: Cho hai bất phương trình : 3mx -2m>x+1 (1) m-2x<0 (2) Tìm m để hai bất phương trình trên có cùng tập hợp nghiệm 2
3. đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội Năm học :1998-1999 (c ơ s ở đ ể ch ọn v ào l ớp 10) A. Lí thuyết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề 1: Phát biểu tính chất cơ bản của phân thức đại số. Các đẳng thức sau đúng hay sai,vì sao? 3 x 2 1 5m 25 m 5 3; x 2 1 15 5m m 3 Đề 2: CMR: nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng. B. Bắt buộc(8 điểm): 2x 1 1 x 4 Bài1(2,5 điểm): Cho biểu thức P= : 1 3 x 1 x 1 x x 1 a) Rút gọn P b) Tìm GT nguyên của x để P nhận GT nguyên dương. Bai 2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 96km trong thời gian nhất định.Sau khi đi được nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút.Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường. Bai3(3,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A,đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại E và F. 1) CMR: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật 2) C/m: AE.AB = AF.AC 3) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt cạnh BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC. 4) C/m nếu diện tích tam giac ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân. đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội Năm học :1999-2000 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề1: Phát biểu hai quy tắc đổi dấu của phân thức. Viết công thức minh hoạ cho tong quy tắc. 2a 2 a 2 b 2 áp dụng: Thực hiện phép tính : . a b b a Đề 2: Phát biểu định lí về góc nội tiếp của đường tròn . Chứng minh định lí trong trưòng hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc. B.Bài toán bắt buộc(8 điểm): x 1 1 2 Bài1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = : x 1 x x x 1 x 1 3
4. a) Rút gọn P b) Tìm các GT của x để P>0 c) Tìm các số m để có các GT của x thoả mãn P.x m x . Bài 2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đi đến B.Xe tải đi với vận tốc 40km/h, xe con đi với vận tốc 60km/h. Saukhi mỗi xe đi được nửa đường thì xe con nghỉ 40 phút rồi chạy tếp đến B; xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vân tốc thêm 10km/h nhưng vẫn đến B chậm hơn xe con nửa giờ. Hãy tính quãng đường AB. Bài 3(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC và cát tuyến AMN với đường tròn( B,C,M,N thuộc đường tròn; AM<AN). Gọi I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn (E là trung điểm của MN). a) Chứng minh 4 điểm A,O,E,C cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh : AOC = BIC; c) Chứng minh : BI//MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tich tam giác AIN lớn nhất. đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội Năm học :2000-2001 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề 1: Thế nào là phép khử mẫu của biểu thức lấy căn. Viết công thức tổng quát. 2 3 1 3 Ap dụng tính : . 2 2 Đề 2: Phát biểu và chứng minh định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn. B.Bài toán bắt buộc( 8điểm): Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức x 4 3 x 2 x P = : . x x 2 x 2 x x 2 a) Rút gọn P b) Tính GT của P biết x=6-2 5 c) Tìm các GT của n để có x thoả mãn P.(x 1) x n . Bài 2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một ca nô chạy trên sông trong 8h, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng chạy trên khúc sông đó ,ca nô này chay trong 4h, xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết vân tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi. Bai3(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, dây MN vuông góc với dây AB tại I sao cho IA< IB. Trên đoạn MI lấy điểm E( E khác M và I).Tia AE cắt đường tròn tại điểm thứ hai K. a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp. 4
5. b) C/m tam giác AME,AKM đồng dạng và AM2 =AE.AK c) C/m: AE.AK+BI.BA=4R2 d) Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN. đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội Năm học :2001-2002 A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn một trong hai đề sau: Đề 1: Phát biểu định nghĩa và nêu tính chất của hàm số bậc nhất. Ap dụng: Cho hai hàm số bậc nhất y = 0,2x-7 và y = 5-6x Hỏi hàm số nào đồng biến , hàm số nào nghịch biến ,vì sao? Đề 2: Nêu các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn. B.Bài tập bắt buộc(8 điểm): x 2 x x 4 Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = x : x 1 x 1 1 x a) Rút gọn P b) Tìm các GT của x để P<0 c) Tìm GTNN của P Bai2(2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm trong một thời gian nhất định.Sau khi làm được 2h với năng xuất dự kiến ,người đó đã cảI tiến cácthao tác nên đã tăng năng xuất được 2 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm hơn dự kiến 30 phút. Hãy tính năng xuất dự kiến ban đầu. Bài3(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và một đường kính EF bất kì (E khác A,B). Tiếp tuyến tại B với đường tròn cắt các tia AE,AF lần lượt tại H,K . Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt HK tại M. a) C/m tứ giác AEBF là hình chữ nhât b) C/m tứ giác EFKH nội tiếp đường tròn c) C/m AM là trung tuyến của tam giác AHK d) Gọi P,Q là trung điểm tương ứng của HB,BK,xác định vị trí của đường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ nhất. 5
6. đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội Năm học :2003-2004 1 x 1 1 x Bài 1: Cho biểu thức P = x : x x x x a) Rút gọn P 2 b) Tính GT của P khi x = 2 3 c) Tìm các GT của x thoả mãn P. x 6 x 3 x 4 Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Để hoàn thành một công việc , hai tổ phải làm chung trong 6h. Sau 2h làm chung thì tổ hai bị điều đi làm việc khác , tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10h. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc. Bài3: Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A,B. Từ một điểm C trên d(C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn(M,N thuộc O) . Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. 1) C/m 4 điểm C,O,H,N thuộc một đường tròn 2) C/m : KN.KC=KH.KO 3) Đoạn thẳng CO cắt (O) tại I, chứng minh I cách đều CM,CN,MN. 4) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM,CN lần lượt tại E và F.Xác định vị trí của điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất. 6
7. đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :2005- 2006 a 3 a 2 a a 1 1 Bài 1: (2đ) Cho 2 biểu thức P và Q a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a) Tỡm ĐKXĐ và rút gọn P, Q b) Tớnh giỏ trị của Q tại a = 9 1 a 1 c) Đặt A = P: Q. Tìm a để : 1 . A 8 Bai2: (2đ) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B cách nhau 80km,sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ca nô ngược dòng 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô ,biết vận tốc của dòng nước là 4km/h. Bai3: (2đ) Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y=2x+3 và y=x2. Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 4 (3,5đ): Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM,H là giao điểm của AK và MN. 1) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp 2) Tính tích AH.AK theo R. 3) Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM+KN+KB) đạt GTLN và tính GTLN đó? Bài 5: (0,5đ) Cho hai số dương x,y thoả mãn điều kiện x+y =2. Chứng minh : x2y2(x2+y2) 2 . 7
8. đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :2006-2007 1 x x Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = : . x x 1 x x a) Rút gọn P b) Tính GT của P khi x=4 13 c) Tìm x để P = . 3 Bài 2(2,5 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy.Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mớc 10% so với thảng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy. 1 Bai3 (1 điểm): Cho Parabol (P): y= x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx+1. 4 1) C/m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m 2) Gọi A,B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m( O là gốc toạ độ). Bài 4(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) bán kính AB=2R và E là điểm bất kỳ trên đường tròn đó(E khác A,B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K khác A. 1) C/m hai tam giác KAF và KEA đồng dạng. 2) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc (O) tại E và tiếp xúc AB tại F. 3) Gọi M,N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,BE với đường tròn (I;IE). C/m MN//AB 4) Gọi P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK. Tìm GTNN của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên (O). Bài 5(0,5 điểm): Tìm GTNN của biểu thức A=(x-1)4+(x-3)4+6(x-1)2(x-3)2 9
9. đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :2007-2008 x 3 6 x 4 Bài1: Cho biểu thức P= x 1 x 1 x 1 a) Tỡm đk và rút gọn P b) Tớnh giỏ trị của P tại x = 9 1 c) Tìm các GT của x để P < . 2 Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km.Khi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút . Tính vân tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B. Bài 3: Cho phương trình x2 +bx+c=0 1) Giải phương trình khi b=-3;c=2 2) Tìm b,c để phương trình có hai nghệm phân biệt và tích bằng 1. Bài 4: Cho dường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng d tại A.Trên đường thẳng d lấy điểm H (H khác A) và AH<R. Qua H kẻ đương thẳng vuông góc với d cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt E,B( Enằm giữa B và H). 1) Chứng minh ABE=EAH và ABH ~ EAH . 2) Lấy điểm C trên đường thẳng d sao cho H là trung điểm của AC,đường thẳng CE cắt AB tại K. C/m tứ giác AHEK nội tiếp. 3) Xác định vị trí của điểm H để AB = R3 . Bài 5: Cho đường thẳng y = (m-1)x+2. Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới đường thẳng đó lớn nhất. 10
10. đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội Năm học :2008-2009 1 x x Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = : x x 1 x x a) Rút gọn P b) Tính GT của P khi x= 4 13 c) Tìm GT của x để P = 3 Bài 2(2,5 điểm): : Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, vì vậy hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Bài 3(1,0 điểm): 1 Cho Parabol (P) : y =x 2 và đường thẳng (d) có phương trình y =mx+1. 4 1) Chứng minh với mọi m đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt A,B. 2) Tính diện tích tam giác AOB theo m (O là gốc toạ độ) Bài 4(3,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R và E là điểm bất kì trên đường tròn đó(E khác A và B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. a) C/minh KAF KEA b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF và OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xcs với đường thẳng AB tại F. c) Chứng minh MN//AB ,trong đó M,N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,BE với đường tròn (I). d) Tính GTNN của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn (O), với P là giao điểm của NF và AK;Q là giao điểm của MF và BK. Bài 5(0,5 điểm): Tìm GTNN của biểu thức P = (x-1)4+ (x-3)4+ 6(x-1)2(x-3)2. 11