Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

Nội dung text: Bộ đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội

1. ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2018-2019 x 4 3 x 1 2 Bài I.(2 điểm ) Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 1 x 1 x 2 x 3 x 3 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 1 b) Chứng minh:B x 1 A x c) Tìm tất cả giá trị của x để 5 B 4 Bài II.(2 điểm ) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 m và độ dài đường chéo bằng 10m .Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Bài III.(2 điểm) 4x y 2 3 1) Giải hệ phương trình : x 2 y 2 3 2) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) ,cho đường thẳng d : y m 2 x 3 và parabol P : y x2 a) Chứng minh rằng (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. b) Tìm tất cả giá trị m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên. Bài IV.(3,5 điểm ) Cho đường tròn (O;R) với dây cung AB không đi qua tâm .Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A).Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC,SD với đường tròn (O;R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C,D là các tiếp điểm ).Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Chứng minh năm điểm C,D,H,O,S thuộc cùng một đường tròn đường kính SO. b) Khi SO 2R ,hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo góc CSD. c) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với SC ,cắt đoạn thẳng CD tại điểm K.Chứng minh tứ giác ADHK nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC. d) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng ,khi điểm S thay đổi trên tia đối AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định. Bài V.(0,5 điểm ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 1 x 1 x 2 x ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2017-2018 x 2 3 20 2 x Bài I.(2 điểm ) Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 25 x 5 x 5 x 25 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 1 b) Chứng minh:B x 5 c) Tìm tất cả giá trị của x để A B. x 4 Bài II.(2 điểm ) Một xe ô tô và một xe máy khởi hành từ A để đi đến B với vận tốc của mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120km.Do vận tốc xe ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h nên xe ô tô đến B sớm hơn xe máy 36 phút .Tính vận tốc của mỗi xe. Bài III.(2 điểm) x 2 y 1 5 1) Giải hệ phương trình : 4 x y 1 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) ,cho đường thẳng d : y mx 5 a) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua điểm A 0;5 với mọi giá trị của m. 2 3) Tìm tất cả giá trị m để (d) cắt parabol P : y x tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1; x2 với x1 x2 sao cho x1 x2 Page 1
2. b) Bài IV.(3,5 điểm ) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung nhỏ BC. Hai dậy AN và CM cắt nhau tại điểm I. Dây MN cắt cạnh AB và BC lần lượt tại các điểm H và K. 1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I cùng thuộc một đường tròn. 2). Chứng minh NB2 = NK.NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi. 4) Gọi P,Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E là trung điểm của đoạn PQ. Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) .Chứng minh ba điểm D,E,K thẳng hàng. Bài V.(0,5 điểm ) Cho các số thực a,b,c thay đổi luôn thỏa mãn a 1,b 1,c 1 và ab bc ca 9 .Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 c2 ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2016-2017 7 x 2 x 24 Bài I.(2 điểm ) Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 9 x 8 x 3 x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25 x 8 b) Chứng minh:B x 3 c) Tìm tất cả giá trị của x để P A.B có giá trị là số nguyên. Bài II.(2 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Bài III.(2 điểm) 3 ― 2 = 4 1) Giải hệ phương trình ― 1 + 2 2 + 1 = 5 ― 1 + 2 2) Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng ( ): = 3 + 2 ―1 và parabol (푃): = 2. a) Chứng minh ( ) luôn cắt (푃) tại hai điểm phân biệt với mọi . b) Gọi 1; x2 là hoành độ giao điểm của ( ) và (푃).Tìm để ( 1 + 1)(x2 + 1) = 1. Bài IV.(3,5 điểm) Cho đường tròn ( ) và một điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( ) ( là tiếp điểm) và đường kính . Trên đoạn lấy điểm ( khác , khác ). Đường thẳng cắt ( ) tại hai điểm và ( nằm giữa và ). Gọi là trung điểm . 1) Chứng minh bốn điểm , , , cùng nằm trên một đường tròn. BD 2) Chứng minh = BE 3) Đường thẳng đi qua song song với , cắt tại 퐾. Chứng minh 퐾// . 4) Tia cắt tại điểm 푃, tia cắt 푃 tại điểm 퐹. Chứng minh tứ giác 퐹 là hình chữ nhật. Bài V ( 0,5 điểm) Với các số thực ; thỏa mãn ― + 6 = y + 6 ―y, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 푃 = + . ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2015-2016 x 3 x 1 5 x 2 Bài I.(2 điểm ) Cho hai biểu thức P và Q với x 0, x 4 x 2 x 2 x 4 a) Tính giá trị của biểu thức P khi x 9 b) Rút gọn Q. P c) Tìm tất cả giá trị của x để đạt giá trị nhỏ nhất. Q Bài II.(2 điểm ) Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km,sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/h. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng ,biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ . Bài III.(2 điểm) 2 x y x 1 4 1) Giải hệ phương trình : x y 3 x 1 5 2) Cho phương trình :x2 m 5 x 3m 6 0 (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Tìm tất cả giá trị m để phương trình có hai nghiệm 1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5. Page 2
3. Bài IV.(3,5 điểm ) Cho đường nửa tròn (O) có đường kính AB. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác A,C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K.Gọi M là điểm bất kì trên cung KB (M khác K,M khác B). Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM,BM lần lượt tại H và D. Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N. a) Chứng minh ACMD là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh CA.CB=CH.CD c) Chứng minh ba điểm A,N,D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH. d) Khi M di động trên cung KB, chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài V.(0,5 điểm ) Cho các số thực a,b không âm thỏa mãn a2 b2 4 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab M a b 2 ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2014-2015 Bµi I(2 ®iÓm) x 1 1) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A = khi x = 9. x 1 x 2 1 x 1 2) Cho biÓu thøc P = . víi x > 0 vµ x 1. x 2 x x 2 x 1 x 1 a) Chøng minh r»ng P = . x b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó 2P = 2 x + 5. Bµi II (2 ®iÓm) Mét ph©n xưởng theo kÕ ho¹ch cÇn ph¶i s¶n xuÊt 1100 s¶n phÈm trong mét sè ngµy quy ®Þnh. Do mçi ngµy ph©n xưởng ®ã s¶n xuÊt vît møc 5 s¶n phÈm nªn ph©n xưởng ®· hoµn thµnh kÕ ho¹ch sím h¬n thêi gian quy ®Þnh 2 ngµy. Hái theo kÕ ho¹ch, mçi ngµy ph©n xưởng s¶n xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ bao nhiªu s¶n phÈm? Bµi III( 2 diÓm) 4 1 5 x y y 1 1) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 1 2 1 x y y 1 2) Trªn mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho đường th¼ng (d): y = - x + 6 vµ parabol (P) : y = x2. a) T×m täa ®é c¸c giao ®iÓm cña (d) vµ (P). b) Gäi A, B lµ hai giao ®iÓm cña (d) vµ (P). TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AOB. Bµi IV (3,5 ®iÓm) Cho ®ường trßn (O; R) cã ®êng kÝnh AB cè ®Þnh. VÏ đường kÝnh MN cña ®êng trßn (O; R)(M kh¸c A, M kh¸c B). TiÕp tuyÕn cña đường trßn (O; R) t¹i B c¾t c¸c đường th¼ng AM, AN lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm Q vµ P. 1) Chøng minh tø gi¸c AMBN lµ h×nh ch÷ nhËt. 2) Chøng minh 4 ®iÓm M, N, P, Q cïng thuéc mét ®êng trßn. 3) Gäi E lµ trung ®iÓm cña BQ.Đường th¼ng vu«ng gãc víi OE t¹i O c¾t PQ t¹i ®iÓm F. Chøng minh F lµ trung ®iÓm cña BP vµ ME // NF. 4) Khi đường kÝnh MN quay quanh t©m O vµ tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi, x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña đường kÝnh MN ®Ó tø gi¸c MNPQ cã diÖn tÝch nhá nhÊt. Bµi V (0,5 ®iÓm) Víi a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tháa m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc Q = 2a bc 2b ca 2c ab ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2013-2014 Bài I (2,0 điểm) 2 x x 1 2 x 1 Với x > 0, cho hai biểu thức A và B . x x x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64. 2) Rút gọn biểu thức B. A 3 3) Tìm x để . B 2 Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Page 3
4. Quãng đường từ A đến B dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 9 km/h. Thời gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A đến lúc trở về đến A là 5 giờ. Tính vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B. Bài III (2,0 điểm) 3(x 1) 2(x 2y) 4 1) Giải hệ phương trình: 4(x 1) (x 2y) 9 1 1 2) Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx m2 + m +1. 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P). b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 x2 2 . Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O). 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp. 2) Chứng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN = 6 cm. 3) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T. Chứng minh MT // AC. 4) Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau ở K. Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài. Bài V (0,5 điểm) 1 1 1 Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh: 3 a 2 b2 c2 ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2012-2013 Bài I (2,5 điểm) x 4 1) Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rút gọn biểu thức B : (với x 0;x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với các của biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị của x nguyên để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên Bài II (2,0 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: 12 Hai người cùng làm chung một công việc trong giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất 5 hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 1 2 x y 1) Giải hệ phương trình: 6 2 1 x y 2 2 2) Cho phương trình: x – (4m – 1)x + 3m – 2m = 0 (ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 2 2 thỏa mãn điều kiện : x1 x2 7 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. 1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh A· CM A· CK 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C 4) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa AP.MB mặt phẳng bờ AB và R . Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK MA Page 4
5. x2 y2 Bài V (0,5 điểm). Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M xy ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2011-2012 x 10 x 5 Bài I (2,5 điểm) Cho A Với x 0,x 25 . x 5 x 25 x 5 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tính giá trị của A khi x = 9. 1 3) Tìm x để A . 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? 2 2 Bài III (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x và đường thẳng (d): y 2x m 9 . 1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N. 1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp. 0 2) Chứng minh ENI EBI và MIN 90 . 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI . 4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng. 2 1 Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x 3x 2011 . 4x ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2010-2011 Bài I (2,5 điểm) x 2 x 3x 9 Cho biểu thức : A = , với x 0 và x 9. x 3 x 3 x 9 1) Rút gọn biểu thức A. 1 2) Tìm giá trị của x để A = 3 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7 m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1. 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m 2 2 để: x1 x2 + x2 x1 – x1x2 = 3. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC. 3) Chứng minh C· FD = O· CB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg·AFB = 2. Bài V ( 0,5 điểm) Page 5
6. Giải phương trình: x2 + 4x + 7 = (x + 4) x2 7 ĐỀ THI TOÁN VÀO 10 HÀ NỘI NĂM 2009-2010 Bài I (2,5 điểm) x 1 1 Cho biểu thức: A với x 0 và x 4 x 4 x 2 x 2 1) Rút gọn A 2) Tính giá trị của A khi x = 25 1 3) Tìm x để A 3 Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 áo.Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? Bài III (1,0 điểm) Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 1) Giải phương trình đã cho khi m = 1 2 2 2) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x1 x2 10 Bài IV (3,5 điểm) Cho (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 1) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R2 3) Trên cung nhỏ BC của (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K của (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P và Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC. 4) Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại M, N. Chứng minh PM + QN MN Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình 1 1 1 x2 x2 x 2x3 x2 2x 1 4 4 2 Page 6