›
›
›

Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

pdf 71 trang dichphong 8250
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbo_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_8_co_dap_an.pdf

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 (Có đáp án)

  1. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 1 phòng giáo dục và đào tạo kiểm tra chất l•ợng học sinh giỏi năm học 2008 – kim bảng 2009 môn toán lớp 8 Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề Đề chính thức Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thức 1 4 1 4 1 4 1 1+ 3+ 5 + 29 + 4 4 4 4 A= 41 4 1 4 1 4 1 2 + 4+ 6 + 30 + 4 4 4 4 Bài 2 (4 điểm) a/Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc 0 b/ Cho a + b + c = 2009. chứng minh rằng a3 + b 3 + c 3 - 3abc = 2009 a2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc Bài 3 (4 điểm). Cho a 0, b 0 ; a và b thảo mãn 2a + 3b 6 và 2a + b 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 – 2a – b Bài 4 (3 điểm). Giải bài toán bằng cách lập ph•ơng trình 2 Một ô tô đi từ A đến B . Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A vơí vận tốc bằng vận 3 tốc của ô tô thứ nhất . Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đ•ờng AB thì mất bao lâu? Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N thứ tự là trung điểm của BC và AC. Các đ•ờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O . Qua A kẻ đ•ờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đ•ờng thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H a) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào ? b) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ? Phòng GD - ĐT đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 Can lộc Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút xx52+ Bài 1. Cho biểu thức: A = x32−+ x x
  2. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A = 0 c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab 3ab− Tính giá trị của biểu thức: P = 2ab+ b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải các ph•ơng trình: 21−−x x x a) −1 = − 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3 Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm trong tam giác sao cho ABP= ACP , kẻ PH ⊥⊥AB, PK AC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh. a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, một đ•ờng thẳng d cắt các cạnh AB, AD tại M và K, cắt đ•ờng AB AD AC chéo AC tại G. Chứng minh rằng: += AM AK AG
  3. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 3 UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 1. xx2 ++76 2. x42+2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph•ơng trình: 1. x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 2. 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 1. Căn bậc hai của 64 có thể viết d•ới dạng nh• sau: 64=+ 6 4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d•ới dạng nh• trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 2. Tìm số d• trong phép chia của biểu thức ( x+2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức xx2 ++10 21. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ•ờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m= AB. 2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = . BC AH+ HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 đề chính thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức
  4. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 4 4xy 1 1 A = : + 2 2 2 2 2 2 y − x y − x y + 2xy + x a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. b) Rỳt gọn A. c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x +11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 + y2009 + z2009 = 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD= ECB 0 2 b) Cho BMC =120 và SAED = 36 cm . Tớnh SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH⊥ BC ( H BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ⊥ PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 (với x và y cựng dấu) y x x22 y x y b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22+ −35 + + (với x 0, y 0) y x y x Phòng giáo dục - Đào tạo Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện huyện Vũ th• Môn: Toán – Lớp 8 đề chính thức năm học 2008 – 2009 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) a+ b + c = 0 4 4 4 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn 2 2 2 , tính A= a + b + c . a+ b + c = 2009 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x+ y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B= xy + yz + zx . Bài 2: (2 điểm) Cho đa thức f( x) = x2 + px + q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f( k) = f( 2008) .f( 2009). Bài 3: (4 điểm)
  5. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 5 1, Tìm các số nguyên d•ơng x, y thoả mãn 3xy+ x + 15y − 44 = 0 . 2009 2, Cho số tự nhiên a2= ( 9 ) , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số của c. Tính d. Bài 4: (3 điểm) 2x−− m x 1 Cho ph•ơng trình +=3 , tìm m để ph•ơng trình có nghiệm d•ơng. x−+ 2 x 2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ•ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đ•ờng thẳng EB cắt đ•ờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh AEC đồng dạng CAF, tính EOF . Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB2 l•ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD= FAD . Chứng minh rằng: = . CE CF AC2 Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng•ời ta làm nh• sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh• vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đ•ợc không? Giải thích. Hết Thí sinh không đ•ợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
  6. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 6 pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 tr•ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. n 4 + 3n3 + 2n 2 + 6n − 2 b) B= có giá trị là một số nguyên . n 2 + 2 c) D=n5-n+2 là số chính ph•ơng . (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng : a b c a) + + =1 biết abc=1 ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c) + + + + b 2 c 2 a 2 b a c Câu 3: (5 điểm) giảI các ph•ơng trình sau: x − 214 x −132 x − 54 a) + + = 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d•ơng. câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ•ờng chéo. Qua O kẻ đ•ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F. a) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1 1 2 b) Chứng minh : + = AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d•ờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác DEF. hết pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề)
  7. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 7 Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d•ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành. Bài 4: (2 đ) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: − 4x 2 + 8x − 5 Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập ph•ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ•ờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC= CAD .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600. Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3m+2a2m+am b) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d• trong phép chia của biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 1 2x 2x C= − : 1− x −1 x3 + x − x 2 −1 x 2 +1 a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ•ợc Xác định. b) Rút gọn C. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ•ợc xác định. Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ•ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) chứng minh AE=AB b) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM. hết Phòng GD-đt vũ th• H•ớng dẫn chấm môn toán 8 Bài Nội dung Điểm 1.1 2,00 a+ b + c = 0 4 4 4 Cho ba số a, b, c thoả mãn 2 2 2 , tính A= a + b + c . a+ b + c = 2009 2 Ta có a2++=++− b 2 c 2 ( abc) 2abbcca( ++=−) 2abbcca( ++ ) 0,50 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 a++ b c 2009 0,50 ab+ bc + ca =( ab + bc + ca) − 2abca( + b + c) = = 24
  8. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 8 2 2 2009 A = a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2 ) − 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 2 1,00 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx . 2,00 B = xy + z(x + y) = xy + 3 − (x + y) (x + y) = xy + 3(x + y) − (x + y)2 = −x2 − y2 − xy + 3x + 3y 2 2 2 y − 3 −3y + 6y + 9 y − 3 −3 2 = − x + + = − x + + (y −1) + 3 3 2 4 2 4 1,25 y −1 = 0 y − 3 0,50 Dấu = xảy ra khi x + = 0 x = y = z = 1 2 x + y + z = 0 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1 2 Cho đa thức f (x) = x2 + px + q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên 2,00 k để f (k) = f (2008).f (2009). 2 f f (x) + x = f (x) + x + p(f (x) + x) + q = f 2 (x) + 2.x.f (x) + x2 + p.f (x) + p.x + q 2 = f (x) f (x) + 2x + p + (x + px + q) 2 = f (x) x + px + q + 2x + p +1 = f x x +1 2 + p x +1 + q = f x f x +1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,25 Với x = 2008 chọn k = f (2008) + 2008 0,50 Suy ra f (k) = f (2008).f (2009) 0,25 3.1 Tìm các số nguyên d•ơng x, y thoả mãn 3xy + x +15y − 44 = 0 . 2,00 3xy + x +15y − 44 = 0 (x +5)(3y +1) = 49 0,75  x, y nghuyênd•ơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên d•ơng và lớn hơn 1. 0,50 Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là •ớc lớn hơn 1 của 49 nên có: x + 5 = 7 x = 2 3y +1 = 7 y = 2 0,75 Vậy ph•ơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2. 2009 3.2 Cho số tự nhiên a = (29 ) , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d 2,00 là tổng các chữ số của c. Tính d.
  9. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 9 2009 3.2009 6027 a=( 29) =( 2 3) =( 2 3) 10 6027 b 9.6027 = 54243 c 5 + 4.9 = 41 d 4 + 1.9 = 13( 1) 1,00 23  − 1mod9 a  − 1mod9 mà a b  c  dmod9 d  − 1mod9( 2) 0,75 Từ (1) và (2) suy ra d = 8. 0,25 4 2x−− m x 1 3,00 Cho ph•ơng trình +=3 , tìm m để ph•ơng trình có nghiệm d•ơng. x−+ 2 x 2 Điều kiện: x 2;x − 2 0,25 2x−− m x 1 + =3 x( 1 − m) = 2m − 14 0,75 x−+ 2 x 2 m = 1ph•ơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm. 0,25 2m− 14 m1 ph•ơng trình trở thành x = 0,50 1m− 2m− 14 2 1m− 2m− 14 m4 Ph•ơng trình có nghiệm d•ơng −2 1m− 1 m 7 1,00 2m− 14 0 1m− m4 Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi . 1 m 7 0,25 5 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ•ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm 3,00 E, đ•ờng thẳng EB cắt đ•ờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng CAF, tính EOF . E  AEB đồng dạng CBF (g-g) A AB22 = AE.CF AC = AE.CF 1,00 O AE AC = B AC CF D  AEC đồng dạng CAF (c-g-c) 1,00  đồng dạng C =AEC CAF mà EOF= AEC + EAO = ACF + EAO =18000 − DAC = 120 1,00 F 6 Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, 3,00 DC lần l•ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD= FAD . Chứng minh rằng:
  10. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 10 BE BF AB2 = . CE CF AC2 A Kẻ EH ⊥AB tại H, FK ⊥AC tại K BAE = CAF; BAF = CAE AE EH H HAE đồng dạng KAF(g-g) = 1,00 K AF FK S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB ABE = = = = D C S ACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC 1,25 B E F BF AF.AB T•ơng tự = 0,50 CE AE.AC BE BF AB2  = (đpcm). CE CF AC2 0,25 7 Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng•ời ta làm nh• sau lấy ra hai số bất kỳ 2,00 và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh• vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đ•ợc không? Giải thích. Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên 1,00 bảng không đổi. 2008.( 2008+ 1) Mà S= 1 + 2 + 3 + + 2008 = = 1004.2009  0mod2 ; 1 1mod2 2 1,00 do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1. UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm:
  11. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 11 Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) x22+7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x( x + 1) + 6( x + 1) 0.5 =( xx +16)( + ) 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4+2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25 4 2 2 22 2 2 =+++x x1 2007( x ++=+−+ x 1) ( x 1) x 2007( x ++ x 1) 0,25 2 2 2 2 2 =++(x x1)( x −++ x 1) 2007( x ++=++ x 1) ( x x 1)( x −+ x 2008) 0,25 2. 2,0 2.1 x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 (1) 2 + Nếu x 1: (1) (xx −1) = 0 = 1 (thỏa mãn điều kiện ). 0,5 + Nếu x 1: (1) −+= −−x224 x 3 0 x x 3( x −= − 1) 0( x 1)( x −= 3) 0 xx =1; = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Ph•ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x =1. 2.2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) (2) x x x x Điều kiện để ph•ơng trình có nghiệm: x 0 22 1 22 1 1 1 2 (2) 8 x + + 4 x +22 x + − x + =( x + 4) 0,25 x x x x 2 11 2 22 8 x + − 8 x +2 =( x + 4) ( x + 4) = 16 0,5 xx x =08 hay x = − và x 0. 0,25 Vậy ph•ơng trình đã cho có một nghiệm x =−8 Phòng Giáo dục- Đào tạo đáp án và h•ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 Bài 1: (4 điểm) a) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm) b) A = 2x(x+y) (2 điểm) c) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
  12. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 12 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ) 1 x− y + 1 = 0 x = 2 + A = 2 khi 2x( x+= y) 2 3 x y;y 0 y = 2 (x− y + 1)2 = 1 + A = 1 khi 2x( x+= y) 1 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng x y;y 0 21− x = 2 hạn: 23+ y = 2 + Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 a) + = + 115 104 93 82 x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) (1 điểm) 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + − − = 0 (0,5 điểm) 115 104 93 82 x + 126 = 0 x = − 126 (0,5 điểm) b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm) x−= y 0 y − z = 0 z−= x 0 x = y = z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3
  13. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 13 Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n5 – n 5 n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 (1,25 điểm) - Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,75 điểm) Bài 4: 6 điểm E D A M Q B C P I H Câu a: 2 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra = EA.EB = ED.EC 0,5 điểm EC EA * Chứng minh EAD = ECB (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra EAD = ECB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có B = 30o 1 ED 1 ED = EB = 0,5 điểm 2 EB 2
  14. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 14 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho = từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: 2 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD2 BP BD BP BD = = = 0,5 điểm DH DC2 DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) =BDP DCQ   ⊥CQ PD o 1 điểm ma` BDP+= PDC 90  Bài 5: (2 điểm) xy a) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú + 2 (*) x22 + y 2xy yx (x − y)2 0( ). Bất đẳng thức ( ) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) xy b) Đặt +=t yx xy22 + =t22 − (0,25đ) yx22 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ) - Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 (t − 2)( t − 1) 0 P1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ) x y - Nếu x; y trỏi dấu thỡ 0 và 0 t 0 P > 1 (2) (0,25đ) - Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y phòng giáo dục và đào tạo kim bảng Kiểm tra chất l•ợng học sinh giỏi năm học 2008 – 2009 Đáp án , biểu điểm, h•ớng dẫn chấm Môn Toán 8 Nội dung Điểm Bài 1 (3 điểm)
  15. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 15 2 1,0 4 1 21 2 2 1 2 1 Có a + = aa+ − = a + a + a − a + 4 2 2 2 Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì: 0,5 Tử thức viết đ•ợc thành 1 (12+1+ )(12-1+ )(32+3+ )(32-3+ ) .(292+29+ )(292-29+ ) 2 Mẫu thức viết đ•ợc thành 0,5 (22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ ) (302+30+ )(302-30+ ) 0,5 Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ = .=k2+k+ 1 0,5 112 −+ 1 Nên A= 2 = 1 302 ++ 30 1861 2 Bài 2: 4 điểm ý a: 2 điểm -Có ý t•ởng tách, thêm bớt hoặc thể hiện đ•ợc nh• vậyđể sử dụng b•ớc sau 0,5 -Viết đúng dạng bình ph•ơng của một hiệu 0,5 - Viết đúng bình ph•ơng của một hiệu 0,5 - Lập luận và kết luận đúng 0,5 ý b: 2 điểm Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử 1,0 Rút gọn và kết luận đúng 1,0 Bài 3 : 4 điểm *Từ 2a + b ≤ 4 và b ≥ 0 ta có 2a ≤ 4 hay a ≤ 2 1,0 Do đó A=a2 - 2a - b ≤ 0 0,5 Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0 0,5 2 1,0 * Từ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 - a 3 2 22 0,5 Do đó A ≥ a2 – 2a – 2 + = ( a − )2 - ≥ - 3 9 2 0,5 Vậy A có giá trị nhỏ nhất là - khi a = và b = 3 Bài 4 : 3 điểm - Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng 0,25 - Biểu thị đ•ợc mỗi đại l•ợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại l•ợng) 0,25 x 4 - Lập đ•ợc ph•ơng trình 0,25 - Giải đúng ph•ơng trình 0,5 - Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô 0,5 - Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại 0,5 Bài 5 : 6 điểm ý a : 2 điểm Chứng minh đ•ợc 1 1.0 A cặp góc bằng nhau Nêu đ•ợc cặp góc 0,5 H N G O C B M
  16. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 16 bằng nhau còn lại Chỉ ra đ•ợc hai tam 0,5 giác đồng dạng ý b : 2 điểm Từ hai tam giác 0,5 đồng dạng ở ý a suy ra đúng tỉ số cặp cạnh AH / OM Tính đúng tỉ số cặp 0,5 cạnh AG / GM Chỉ ra đ•ợc cặp góc 0,5 bằng nhau Kết luận đúng 2 tam 0,5 giác đồng dạng ý c : 2 điểm - Từ hai tam giác đồng dạng 0,5 ở câu b suy ra góc AGH = góc MGO (1) - Mặt khác góc MGO + Góc 0,5 AGO = 1800(2) - Từ (1) và (2) suy ra góc 0,5 AGH + góc AGO = 1800 - Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5 Chú ý: -Các cách giải khác nếu đúng chấm điểm t•ơng tự theo các b•ớc của từng bài `-Điểm của bài làm là tổng số điểm của các bài HS làm đ•ợc, không làm tòn UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 3. xx2 ++76 4. x42+2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph•ơng trình: 3. x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 4. 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 3. Căn bậc hai của 64 có thể viết d•ới dạng nh• sau: 64=+ 6 4
  17. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 17 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d•ới dạng nh• trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 4. Tìm số d• trong phép chia của biểu thức ( x+2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức xx2 ++10 21. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ•ờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 4. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m= AB. 5. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 6. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = . BC AH+ HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 đề chính thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A = : + 2 2 2 2 2 2 y − x y − x y + 2xy + x a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. b) Rỳt gọn A. c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x +11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 + y2009 + z2009 = 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD= ECB 0 2 b) Cho BMC =120 và SAED = 36 cm . Tớnh SEBC?
  18. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 18 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH⊥ BC ( H BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ⊥ PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 (với x và y cựng dấu) y x x22 y x y b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22+ −35 + + (với x 0, y 0) y x y x pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 tr•ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. n 4 + 3n3 + 2n 2 + 6n − 2 b) B= có giá trị là một số nguyên . n 2 + 2 c) D=n5-n+2 là số chính ph•ơng . (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng : a b c a) + + =1 biết abc=1 ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c) + + + + b 2 c 2 a 2 b a c Câu 3: (5 điểm) giảI các ph•ơng trình sau: x − 214 x −132 x − 54 a) + + = 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d•ơng. câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ•ờng chéo. Qua O kẻ đ•ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F. d) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1 1 2 e) Chứng minh : + = AB CD EF f) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d•ờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác DEF. hết pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ)
  19. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 19 Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d•ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành. Bài 4: (2 đ) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: − 4x 2 + 8x − 5 Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập ph•ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ•ờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC= CAD .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600. Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: c) a3m+2a2m+am d) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d• trong phép chia của biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 1 2x 2x C= − : 1− x −1 x3 + x − x 2 −1 x 2 +1 d) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ•ợc Xác định. e) Rút gọn C. f) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ•ợc xác định. Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ•ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. c) chứng minh AE=AB d) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM. hết UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm:
  20. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 20 Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) x22+7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x( x + 1) + 6( x + 1) 0.5 =( xx +16)( + ) 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4+2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25 4 2 2 22 2 2 =+++x x1 2007( x ++=+−+ x 1) ( x 1) x 2007( x ++ x 1) 0,25 2 2 2 2 2 =++(x x1)( x −++ x 1) 2007( x ++=++ x 1) ( x x 1)( x −+ x 2008) 0,25 2. 2,0 2.1 x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 (1) 2 + Nếu x 1: (1) (xx −1) = 0 = 1 (thỏa mãn điều kiện ). 0,5 + Nếu x 1: (1) −+= −−x224 x 3 0 x x 3( x −= − 1) 0( x 1)( x −= 3) 0 xx =1; = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Ph•ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x =1. 2.2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) (2) x x x x Điều kiện để ph•ơng trình có nghiệm: x 0 22 1 22 1 1 1 2 (2) 8 x + + 4 x +22 x + − x + =( x + 4) 0,25 x x x x 2 11 2 22 8 x + − 8 x +2 =( x + 4) ( x + 4) = 16 0,5 xx x =08 hay x = − và x 0. 0,25 Vậy ph•ơng trình đã cho có một nghiệm x =−8 Phòng Giáo dục- Đào tạo đáp án và h•ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 Bài 1: (4 điểm) d) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm) e) A = 2x(x+y) (2 điểm) f) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
  21. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 21 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ) 1 x− y + 1 = 0 x = 2 + A = 2 khi 2x( x+= y) 2 3 x y;y 0 y = 2 (x− y + 1)2 = 1 + A = 1 khi 2x( x+= y) 1 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng x y;y 0 21− x = 2 hạn: 23+ y = 2 + Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 a) + = + 115 104 93 82 x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) (1 điểm) 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + − − = 0 (0,5 điểm) 115 104 93 82 x + 126 = 0 x = − 126 (0,5 điểm) b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm) x−= y 0 y − z = 0 z−= x 0 x = y = z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3
  22. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 22 Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n5 – n 5 n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 (1,25 điểm) - Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,75 điểm) Bài 4: 6 điểm E D A M Q B C P I H Câu a: 2 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra = EA.EB = ED.EC 0,5 điểm EC EA * Chứng minh EAD = ECB (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra EAD = ECB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có B = 30o 1 ED 1 ED = EB = 0,5 điểm 2 EB 2
  23. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 23 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho = từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: 2 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD2 BP BD BP BD = = = 0,5 điểm DH DC2 DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) =BDP DCQ   ⊥CQ PD o 1 điểm ma` BDP+= PDC 90  Bài 5: (2 điểm) xy c) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú + 2 (*) x22 + y 2xy yx (x − y)2 0( ). Bất đẳng thức ( ) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) xy d) Đặt +=t yx xy22 + =t22 − (0,25đ) yx22 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ) - Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 (t − 2)( t − 1) 0 P1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ) x y - Nếu x; y trỏi dấu thỡ 0 và 0 t 0 P > 1 (2) (0,25đ) - Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y
  24. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 24
  25. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 25
  26. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 26
  27. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 27
  28. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 28 UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 5. xx2 ++76 6. x42+2008 x + 2007 x + 2008
  29. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 29 Bài 2: (2điểm) Giải ph•ơng trình: 5. x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 6. 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 5. Căn bậc hai của 64 có thể viết d•ới dạng nh• sau: 64=+ 6 4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d•ới dạng nh• trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 6. Tìm số d• trong phép chia của biểu thức ( x+2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức xx2 ++10 21. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ•ờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 7. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m= AB. 8. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 9. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = . BC AH+ HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 đề chính thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A = : + 2 2 2 2 2 2 y − x y − x y + 2xy + x a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. b) Rỳt gọn A. c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x +11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82
  30. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 30 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 + y2009 + z2009 = 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD= ECB 0 2 b) Cho BMC =120 và SAED = 36 cm . Tớnh SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH⊥ BC ( H BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ⊥ PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 (với x và y cựng dấu) y x x22 y x y b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22+ −35 + + (với x 0, y 0) y x y x pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 tr•ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. n 4 + 3n3 + 2n 2 + 6n − 2 b) B= có giá trị là một số nguyên . n 2 + 2 c) D=n5-n+2 là số chính ph•ơng . (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng : a b c a) + + =1 biết abc=1 ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c) + + + + b 2 c 2 a 2 b a c Câu 3: (5 điểm) giảI các ph•ơng trình sau: x − 214 x −132 x − 54 a) + + = 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d•ơng. câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ•ờng chéo. Qua O kẻ đ•ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F. g) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1 1 2 h) Chứng minh : + = AB CD EF
  31. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 31 i) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d•ờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác DEF. hết pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d•ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành. Bài 4: (2 đ) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: − 4x 2 + 8x − 5 Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập ph•ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ•ờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC= CAD .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600. Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: e) a3m+2a2m+am f) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d• trong phép chia của biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 1 2x 2x C= − : 1− x −1 x3 + x − x 2 −1 x 2 +1 g) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ•ợc Xác định. h) Rút gọn C. i) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ•ợc xác định. Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ•ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. e) chứng minh AE=AB f) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM. hết
  32. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 32 UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm: Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) x22+7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x( x + 1) + 6( x + 1) 0.5 =( xx +16)( + ) 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4+2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25 4 2 2 22 2 2 =+++x x1 2007( x ++=+−+ x 1) ( x 1) x 2007( x ++ x 1) 0,25 2 2 2 2 2 =++(x x1)( x −++ x 1) 2007( x ++=++ x 1) ( x x 1)( x −+ x 2008) 0,25 2. 2,0 2.1 x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 (1) 2 + Nếu x 1: (1) (xx −1) = 0 = 1 (thỏa mãn điều kiện ). 0,5 + Nếu x 1: (1) −+= −−x224 x 3 0 x x 3( x −= − 1) 0( x 1)( x −= 3) 0 xx =1; = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Ph•ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x =1. 2.2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) (2) x x x x Điều kiện để ph•ơng trình có nghiệm: x 0 22 1 22 1 1 1 2 (2) 8 x + + 4 x +22 x + − x + =( x + 4) 0,25 x x x x 2 11 2 22 8 x + − 8 x +2 =( x + 4) ( x + 4) = 16 0,5 xx x =08 hay x = − và x 0. 0,25 Vậy ph•ơng trình đã cho có một nghiệm x =−8 Phòng Giáo dục- Đào tạo đáp án và h•ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8
  33. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 33 Bài 1: (4 điểm) g) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm) h) A = 2x(x+y) (2 điểm) i) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ) 1 x− y + 1 = 0 x = 2 + A = 2 khi 2x( x+= y) 2 3 x y;y 0 y = 2 (x− y + 1)2 = 1 + A = 1 khi 2x( x+= y) 1 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng x y;y 0 21− x = 2 hạn: 23+ y = 2 + Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 a) + = + 115 104 93 82 x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) (1 điểm) 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + − − = 0 (0,5 điểm) 115 104 93 82 x + 126 = 0 x = − 126 (0,5 điểm) b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm)
  34. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 34 x − y = 0 y − z = 0 z − x = 0 x = y = z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n5 – n 5 n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 (1,25 điểm) - Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,75 điểm) Bài 4: 6 điểm E D A M Q B C P I H Câu a: 2 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra = EA.EB = ED.EC 0,5 điểm EC EA * Chứng minh EAD = ECB (1 điểm)
  35. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 35 - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra EAD= ECB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có B = 30o 1 ED 1 ED = EB = 0,5 điểm 2 EB 2 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho = từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: 2 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD2 BP BD BP BD = = = 0,5 điểm DH DC2 DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) =BDP DCQ   ⊥CQ PD o 1 điểm ma` BDP+= PDC 90  Bài 5: (2 điểm) xy e) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú + 2 (*) x22 + y 2xy yx (x − y)2 0( ). Bất đẳng thức ( ) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) xy f) Đặt +=t yx xy22 + =t22 − (0,25đ) yx22 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ) - Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 (t − 2)( t − 1) 0 P1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ) x y - Nếu x; y trỏi dấu thỡ 0 và 0 t 0 P > 1 (2) (0,25đ)
  36. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 36 - Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y phòng giáo dục và đào tạo kiểm tra chất l•ợng học sinh giỏi năm học 2008 – kim bảng 2009 môn toán lớp 8 Thời gian 150 phút – Không kể thời gian giao đề Đề chính thức Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thức 1 4 1 4 1 4 1 1+ 3+ 5 + 29 + 4 4 4 4 A= 41 4 1 4 1 4 1 2 + 4+ 6 + 30 + 4 4 4 4 Bài 2 (4 điểm) a/Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc 0 b/ Cho a + b + c = 2009. chứng minh rằng a3 + b 3 + c 3 - 3abc = 2009 a2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc Bài 3 (4 điểm). Cho a 0, b 0 ; a và b thảo mãn 2a + 3b 6 và 2a + b 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a2 – 2a – b Bài 4 (3 điểm). Giải bài toán bằng cách lập ph•ơng trình 2 Một ô tô đi từ A đến B . Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A vơí vận tốc bằng vận 3 tốc của ô tô thứ nhất . Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đ•ờng AB thì mất bao lâu? Bài 5 (6 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các điểm M, N thứ tự là trung điểm của BC và AC. Các đ•ờng trung trực của BC và AC cắt nhau tại O . Qua A kẻ đ•ờng thẳng song song với OM, qua B kẻ đ•ờng thẳng song song với ON, chúng cắt nhau tại H d) Nối MN, AHB đồng dạng với tam giác nào ? e) Gọi G là trọng tâm ABC , chứng minh AHG đồng dạng với MOG ? f) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ? Phòng GD - ĐT đề thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009
  37. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 37 Can lộc Môn: Toán lớp 8 Thời gian làm bài 120 phút xx52+ Bài 1. Cho biểu thức: A = x32−+ x x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A - A = 0 c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a2 + b2) = 5ab 3ab− Tính giá trị của biểu thức: P = 2ab+ b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a2 + 2bc > b2 + c2 Bài 3: Giải các ph•ơng trình: 21−−x x x a) −1 = − 2007 2008 2009 b) (12x+7)2(3x+2)(2x+1) = 3 Bài 4: Cho tam giác ABC; Điểm P nằm trong tam giác sao cho ABP= ACP , kẻ PH ⊥⊥AB, PK AC . Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh. a) BP.KP = CP.HP b) DK = DH Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, một đ•ờng thẳng d cắt các cạnh AB, AD tại M và K, cắt đ•ờng AB AD AC chéo AC tại G. Chứng minh rằng: += AM AK AG
  38. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 38 UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 7. xx2 ++76 8. x42+2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph•ơng trình: 7. x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 8. 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 7. Căn bậc hai của 64 có thể viết d•ới dạng nh• sau: 64=+ 6 4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d•ới dạng nh• trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 8. Tìm số d• trong phép chia của biểu thức ( x+2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức xx2 ++10 21. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ•ờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 10. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m= AB. 11. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 12. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = . BC AH+ HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 đề chính thức
  39. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 39 (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A = : + 2 2 2 2 2 2 y − x y − x y + 2xy + x a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. b) Rỳt gọn A. c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x +11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 + y2009 + z2009 = 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD= ECB 0 2 b) Cho BMC =120 và SAED = 36 cm . Tớnh SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH⊥ BC ( H BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ⊥ PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 (với x và y cựng dấu) y x x22 y x y b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22+ −35 + + (với x 0, y 0) y x y x Phòng giáo dục - Đào tạo Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện huyện Vũ th• Môn: Toán – Lớp 8 đề chính thức năm học 2008 – 2009 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) a+ b + c = 0 4 4 4 1, Cho ba số a, b, c thoả mãn 2 2 2 , tính A= a + b + c . a+ b + c = 2009 2, Cho ba số x, y, z thoả mãn x+ y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B= xy + yz + zx . Bài 2: (2 điểm)
  40. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 40 Cho đa thức f( x) = x2 + px + q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để f( k) = f( 2008) .f( 2009). Bài 3: (4 điểm) 1, Tìm các số nguyên d•ơng x, y thoả mãn 3xy+ x + 15y − 44 = 0 . 2009 2, Cho số tự nhiên a2= ( 9 ) , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d là tổng các chữ số của c. Tính d. Bài 4: (3 điểm) 2x−− m x 1 Cho ph•ơng trình +=3 , tìm m để ph•ơng trình có nghiệm d•ơng. x−+ 2 x 2 Bài 5: (3 điểm) Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ•ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm E, đ•ờng thẳng EB cắt đ•ờng thẳng DC tại F, CE cắt à tại O. Chứng minh AEC đồng dạng CAF, tính EOF . Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, DC lần BE BF AB2 l•ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD= FAD . Chứng minh rằng: = . CE CF AC2 Bài 7: (2 điểm) Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng•ời ta làm nh• sau lấy ra hai số bất kỳ và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh• vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đ•ợc không? Giải thích. Hết Thí sinh không đ•ợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
  41. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 41 pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 tr•ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. n 4 + 3n3 + 2n 2 + 6n − 2 b) B= có giá trị là một số nguyên . n 2 + 2 c) D=n5-n+2 là số chính ph•ơng . (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng : a b c a) + + =1 biết abc=1 ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c) + + + + b 2 c 2 a 2 b a c Câu 3: (5 điểm) giảI các ph•ơng trình sau: x − 214 x −132 x − 54 a) + + = 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d•ơng. câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ•ờng chéo. Qua O kẻ đ•ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F. j) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1 1 2 k) Chứng minh : + = AB CD EF l) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d•ờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác DEF. hết
  42. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 42 pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d•ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành. Bài 4: (2 đ) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: − 4x 2 + 8x − 5 Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập ph•ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ•ờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC= CAD .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600. Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: g) a3m+2a2m+am h) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d• trong phép chia của biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 1 2x 2x C= − : 1− x −1 x3 + x − x 2 −1 x 2 +1 j) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ•ợc Xác định. k) Rút gọn C. l) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ•ợc xác định. Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ•ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. g) chứng minh AE=AB h) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM. hết Phòng GD-đt vũ th• H•ớng dẫn chấm môn toán 8 Bài Nội dung Điểm 1.1 2,00 a+ b + c = 0 4 4 4 Cho ba số a, b, c thoả mãn 2 2 2 , tính A= a + b + c . a+ b + c = 2009
  43. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 43 Ta có a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 − 2(ab + bc + ca) = −2(ab + bc + ca) 0,50 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + c 2009 0,50 a b + b c + c a = (ab + bc + ca) − 2abc(a + b + c) = = 2 4 2 2 2009 A = a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2 ) − 2(a2b2 + b2c2 + c2a2 ) = 1,00 2 1.2 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx . 2,00 B = xy + z(x + y) = xy + 3 − (x + y) (x + y) = xy + 3(x + y) − (x + y)2 = −x2 − y2 − xy + 3x + 3y 2 2 2 y − 3 −3y + 6y + 9 y − 3 −3 2 = − x + + = − x + + (y −1) + 3 3 2 4 2 4 1,25 y −1 = 0 y − 3 0,50 Dấu = xảy ra khi x + = 0 x = y = z = 1 2 x + y + z = 0 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1 2 Cho đa thức f (x) = x2 + px + q với p Z,q Z . Chứng minh rằng tồn tại số nguyên 2,00 k để f (k) = f (2008).f (2009). 2 f f (x) + x = f (x) + x + p(f (x) + x) + q = f 2 (x) + 2.x.f (x) + x2 + p.f (x) + p.x + q 2 = f (x) f (x) + 2x + p + (x + px + q) 2 = f (x) x + px + q + 2x + p +1 = f x x +1 2 + p x +1 + q = f x f x +1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,25 Với x = 2008 chọn k = f (2008) + 2008 0,50 Suy ra f (k) = f (2008).f (2009) 0,25 3.1 Tìm các số nguyên d•ơng x, y thoả mãn 3xy + x +15y − 44 = 0 . 2,00 3xy + x +15y − 44 = 0 (x +5)(3y +1) = 49 0,75  x, y nghuyênd•ơng do vậy x + 5, 3y + 1 nguyên d•ơng và lớn hơn 1. 0,50 Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là •ớc lớn hơn 1 của 49 nên có: x + 5 = 7 x = 2 3y +1 = 7 y = 2 0,75 Vậy ph•ơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
  44. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 44 2009 3.2 Cho số tự nhiên a2= ( 9 ) , b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d 2,00 là tổng các chữ số của c. Tính d. 2009 3.2009 6027 a=( 29) =( 2 3) =( 2 3) 10 6027 b 9.6027 = 54243 c 5 + 4.9 = 41 d 4 + 1.9 = 13( 1) 1,00 23  − 1mod9 a  − 1mod9 mà a b  c  dmod9 d  − 1mod9( 2) 0,75 Từ (1) và (2) suy ra d = 8. 0,25 4 2x−− m x 1 3,00 Cho ph•ơng trình +=3 , tìm m để ph•ơng trình có nghiệm d•ơng. x−+ 2 x 2 Điều kiện: x 2;x − 2 0,25 2x−− m x 1 + =3 x( 1 − m) = 2m − 14 0,75 x−+ 2 x 2 m = 1ph•ơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm. 0,25 2m− 14 0,50 m1 ph•ơng trình trở thành x = 1m− 2m− 14 2 1m− 2m− 14 m4 Ph•ơng trình có nghiệm d•ơng −2 1m− 1 m 7 1,00 2m− 14 0 1m− m4 Vậy thoả mãn yêu cầu bài toán khi . 1 m 7 0,25 5 Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đ•ờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm 3,00 E, đ•ờng thẳng EB cắt đ•ờng thẳng DC tại F. Chứng minh AEC đồng dạng CAF, tính EOF . E  AEB đồng dạng CBF (g-g) A AB22 = AE.CF AC = AE.CF 1,00 O AE AC = B AC CF D  AEC đồng dạng CAF (c-g-c) 1,00  đồng dạng C =AEC CAF mà EOF= AEC + EAO = ACF + EAO =18000 − DAC = 120 1,00 F
  45. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 45 6 Cho tam giác ABC, phân giác trong đỉnh A cắt BC tại D, trên các đoạn thẳng DB, 3,00 DC lần l•ợt lấy các điểm E và F sao cho EAD= FAD . Chứng minh rằng: BE BF AB2 = . CE CF AC2 A Kẻ EH ⊥AB tại H, FK ⊥AC tại K BAE = CAF; BAF = CAE AE EH H HAE đồng dạng KAF(g-g) = 1,00 K AF FK S BE EH.AB AE.AB BE AE.AB ABE = = = = D C S ACF CF FK.AC AF.AC CF AF.AC 1,25 B E F BF AF.AB T•ơng tự = 0,50 CE AE.AC BE BF AB2  = (đpcm). CE CF AC2 0,25 7 Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ng•ời ta làm nh• sau lấy ra hai số bất kỳ 2,00 và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh• vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đ•ợc không? Giải thích. Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên 1,00 bảng không đổi. 2008.( 2008+ 1) Mà S= 1 + 2 + 3 + + 2008 = = 1004.2009  0mod2 ; 1 1mod2 2 1,00 do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1. UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm:
  46. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 46 Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) x22+7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x( x + 1) + 6( x + 1) 0.5 =( xx +16)( + ) 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4+2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25 4 2 2 22 2 2 =+++x x1 2007( x ++=+−+ x 1) ( x 1) x 2007( x ++ x 1) 0,25 2 2 2 2 2 =++(x x1)( x −++ x 1) 2007( x ++=++ x 1) ( x x 1)( x −+ x 2008) 0,25 2. 2,0 2.1 x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 (1) 2 + Nếu x 1: (1) (xx −1) = 0 = 1 (thỏa mãn điều kiện ). 0,5 + Nếu x 1: (1) −+= −−x224 x 3 0 x x 3( x −= − 1) 0( x 1)( x −= 3) 0 xx =1; = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Ph•ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x =1. 2.2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) (2) x x x x Điều kiện để ph•ơng trình có nghiệm: x 0 22 1 22 1 1 1 2 (2) 8 x + + 4 x +22 x + − x + =( x + 4) 0,25 x x x x 2 11 2 22 8 x + − 8 x +2 =( x + 4) ( x + 4) = 16 0,5 xx x =08 hay x = − và x 0. 0,25 Vậy ph•ơng trình đã cho có một nghiệm x =−8 Phòng Giáo dục- Đào tạo đáp án và h•ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 Bài 1: (4 điểm) j) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm) k) A = 2x(x+y) (2 điểm) l) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
  47. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 47 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ) 1 x− y + 1 = 0 x = 2 + A = 2 khi 2x( x+= y) 2 3 x y;y 0 y = 2 (x− y + 1)2 = 1 + A = 1 khi 2x( x+= y) 1 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng x y;y 0 21− x = 2 hạn: 23+ y = 2 + Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 a) + = + 115 104 93 82 x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) (1 điểm) 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + − − = 0 (0,5 điểm) 115 104 93 82 x + 126 = 0 x = − 126 (0,5 điểm) b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm) x−= y 0 y − z = 0 z−= x 0 x = y = z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3
  48. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 48 Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n5 – n 5 n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 (1,25 điểm) - Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,75 điểm) Bài 4: 6 điểm E D A M Q B C P I H Câu a: 2 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra = EA.EB = ED.EC 0,5 điểm EC EA * Chứng minh EAD = ECB (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra EAD = ECB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có B = 30o 1 ED 1 ED = EB = 0,5 điểm 2 EB 2
  49. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 49 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho = từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: 2 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD2 BP BD BP BD = = = 0,5 điểm DH DC2 DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) =BDP DCQ   ⊥CQ PD o 1 điểm ma` BDP+= PDC 90  Bài 5: (2 điểm) xy g) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú + 2 (*) x22 + y 2xy yx (x − y)2 0( ). Bất đẳng thức ( ) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) xy h) Đặt +=t yx xy22 + =t22 − (0,25đ) yx22 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ) - Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 (t − 2)( t − 1) 0 P1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ) x y - Nếu x; y trỏi dấu thỡ 0 và 0 t 0 P > 1 (2) (0,25đ) - Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y phòng giáo dục và đào tạo kim bảng Kiểm tra chất l•ợng học sinh giỏi năm học 2008 – 2009 Đáp án , biểu điểm, h•ớng dẫn chấm Môn Toán 8 Nội dung Điểm Bài 1 (3 điểm)
  50. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 50 2 1,0 4 1 21 2 2 1 2 1 Có a + = aa+ − = a + a + a − a + 4 2 2 2 Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì: 0,5 Tử thức viết đ•ợc thành 1 (12+1+ )(12-1+ )(32+3+ )(32-3+ ) .(292+29+ )(292-29+ ) 2 Mẫu thức viết đ•ợc thành 0,5 (22+2+ )(22-2+ )(42+4+ )(42-4+ ) (302+30+ )(302-30+ ) 0,5 Mặt khác (k+1)2-(k+1)+ = .=k2+k+ 1 0,5 112 −+ 1 Nên A= 2 = 1 302 ++ 30 1861 2 Bài 2: 4 điểm ý a: 2 điểm -Có ý t•ởng tách, thêm bớt hoặc thể hiện đ•ợc nh• vậyđể sử dụng b•ớc sau 0,5 -Viết đúng dạng bình ph•ơng của một hiệu 0,5 - Viết đúng bình ph•ơng của một hiệu 0,5 - Lập luận và kết luận đúng 0,5 ý b: 2 điểm Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử 1,0 Rút gọn và kết luận đúng 1,0 Bài 3 : 4 điểm *Từ 2a + b ≤ 4 và b ≥ 0 ta có 2a ≤ 4 hay a ≤ 2 1,0 Do đó A=a2 - 2a - b ≤ 0 0,5 Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0 0,5 2 1,0 * Từ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 - a 3 2 22 0,5 Do đó A ≥ a2 – 2a – 2 + = ( a − )2 - ≥ - 3 9 2 0,5 Vậy A có giá trị nhỏ nhất là - khi a = và b = 3 Bài 4 : 3 điểm - Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng 0,25 - Biểu thị đ•ợc mỗi đại l•ợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại l•ợng) 0,25 x 4 - Lập đ•ợc ph•ơng trình 0,25 - Giải đúng ph•ơng trình 0,5 - Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô 0,5 - Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại 0,5 Bài 5 : 6 điểm ý a : 2 điểm Chứng minh đ•ợc 1 1.0 A cặp góc bằng nhau Nêu đ•ợc cặp góc 0,5 H N G O C B M
  51. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 51 bằng nhau còn lại Chỉ ra đ•ợc hai tam 0,5 giác đồng dạng ý b : 2 điểm Từ hai tam giác 0,5 đồng dạng ở ý a suy ra đúng tỉ số cặp cạnh AH / OM Tính đúng tỉ số cặp 0,5 cạnh AG / GM Chỉ ra đ•ợc cặp góc 0,5 bằng nhau Kết luận đúng 2 tam 0,5 giác đồng dạng ý c : 2 điểm - Từ hai tam giác đồng dạng 0,5 ở câu b suy ra góc AGH = góc MGO (1) - Mặt khác góc MGO + Góc 0,5 AGO = 1800(2) - Từ (1) và (2) suy ra góc 0,5 AGH + góc AGO = 1800 - Do đó H, G, O thẳng hàng 0,5 Chú ý: -Các cách giải khác nếu đúng chấm điểm t•ơng tự theo các b•ớc của từng bài `-Điểm của bài làm là tổng số điểm của các bài HS làm đ•ợc, không làm tòn UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 9. xx2 ++76 10. x42+2008 x + 2007 x + 2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph•ơng trình: 9. x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 10. 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 9. Căn bậc hai của 64 có thể viết d•ới dạng nh• sau: 64=+ 6 4
  52. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 52 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d•ới dạng nh• trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 10. Tìm số d• trong phép chia của biểu thức ( x+2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức xx2 ++10 21. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ•ờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 13. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m= AB. 14. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 15. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = . BC AH+ HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 đề chính thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A = : + 2 2 2 2 2 2 y − x y − x y + 2xy + x a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. b) Rỳt gọn A. c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x +11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 + y2009 + z2009 = 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD= ECB 0 2 b) Cho BMC =120 và SAED = 36 cm . Tớnh SEBC?
  53. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 53 c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH⊥ BC ( H BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ⊥ PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 (với x và y cựng dấu) y x x22 y x y b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22+ −35 + + (với x 0, y 0) y x y x pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 tr•ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. n 4 + 3n3 + 2n 2 + 6n − 2 b) B= có giá trị là một số nguyên . n 2 + 2 c) D=n5-n+2 là số chính ph•ơng . (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng : a b c a) + + =1 biết abc=1 ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c) + + + + b 2 c 2 a 2 b a c Câu 3: (5 điểm) giảI các ph•ơng trình sau: x − 214 x −132 x − 54 a) + + = 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d•ơng. câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ•ờng chéo. Qua O kẻ đ•ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F. m) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1 1 2 n) Chứng minh : + = AB CD EF o) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d•ờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác DEF. hết pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ)
  54. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 54 Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d•ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành. Bài 4: (2 đ) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: − 4x 2 + 8x − 5 Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập ph•ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ•ờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC= CAD .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600. Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: i) a3m+2a2m+am j) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d• trong phép chia của biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 1 2x 2x C= − : 1− x −1 x3 + x − x 2 −1 x 2 +1 m) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ•ợc Xác định. n) Rút gọn C. o) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ•ợc xác định. Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ•ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. i) chứng minh AE=AB j) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM. hết UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm:
  55. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 55 Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) x22+7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x( x + 1) + 6( x + 1) 0.5 =( xx +16)( + ) 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4+2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25 4 2 2 22 2 2 =+++x x1 2007( x ++=+−+ x 1) ( x 1) x 2007( x ++ x 1) 0,25 2 2 2 2 2 =++(x x1)( x −++ x 1) 2007( x ++=++ x 1) ( x x 1)( x −+ x 2008) 0,25 2. 2,0 2.1 x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 (1) 2 + Nếu x 1: (1) (xx −1) = 0 = 1 (thỏa mãn điều kiện ). 0,5 + Nếu x 1: (1) −+= −−x224 x 3 0 x x 3( x −= − 1) 0( x 1)( x −= 3) 0 xx =1; = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Ph•ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x =1. 2.2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) (2) x x x x Điều kiện để ph•ơng trình có nghiệm: x 0 22 1 22 1 1 1 2 (2) 8 x + + 4 x +22 x + − x + =( x + 4) 0,25 x x x x 2 11 2 22 8 x + − 8 x +2 =( x + 4) ( x + 4) = 16 0,5 xx x =08 hay x = − và x 0. 0,25 Vậy ph•ơng trình đã cho có một nghiệm x =−8 Phòng Giáo dục- Đào tạo đáp án và h•ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 Bài 1: (4 điểm) m) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm) n) A = 2x(x+y) (2 điểm) o) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1
  56. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 56 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ) 1 x− y + 1 = 0 x = 2 + A = 2 khi 2x( x+= y) 2 3 x y;y 0 y = 2 (x− y + 1)2 = 1 + A = 1 khi 2x( x+= y) 1 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng x y;y 0 21− x = 2 hạn: 23+ y = 2 + Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 a) + = + 115 104 93 82 x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) (1 điểm) 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + − − = 0 (0,5 điểm) 115 104 93 82 x + 126 = 0 x = − 126 (0,5 điểm) b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm) x−= y 0 y − z = 0 z−= x 0 x = y = z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3
  57. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 57 Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n5 – n 5 n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 (1,25 điểm) - Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,75 điểm) Bài 4: 6 điểm E D A M Q B C P I H Câu a: 2 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra = EA.EB = ED.EC 0,5 điểm EC EA * Chứng minh EAD = ECB (1 điểm) - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra EAD = ECB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có B = 30o 1 ED 1 ED = EB = 0,5 điểm 2 EB 2
  58. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 58 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho = từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: 2 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD2 BP BD BP BD = = = 0,5 điểm DH DC2 DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) =BDP DCQ   ⊥CQ PD o 1 điểm ma` BDP+= PDC 90  Bài 5: (2 điểm) xy i) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú + 2 (*) x22 + y 2xy yx (x − y)2 0( ). Bất đẳng thức ( ) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) xy j) Đặt +=t yx xy22 + =t22 − (0,25đ) yx22 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ) - Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 (t − 2)( t − 1) 0 P1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ) x y - Nếu x; y trỏi dấu thỡ 0 và 0 t 0 P > 1 (2) (0,25đ) - Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y
  59. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 59
  60. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 60
  61. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 61
  62. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 62
  63. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 63 UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử: 11. xx2 ++76 12. x42+2008 x + 2007 x + 2008
  64. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 64 Bài 2: (2điểm) Giải ph•ơng trình: 11. x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 2 2 2 1 22 1 1 1 2 12. 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) x x x x Bài 3: (2điểm) 11. Căn bậc hai của 64 có thể viết d•ới dạng nh• sau: 64=+ 6 4 Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng d•ới dạng nh• trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. 12. Tìm số d• trong phép chia của biểu thức ( x+2)( x + 4)( x + 6)( x + 8) + 2008 cho đa thức xx2 ++10 21. Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đ•ờng cao AH (H BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 16. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m= AB. 17. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM GB HD 18. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = . BC AH+ HC Hết Phòng Giáo dục- Đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8 đề chính thức (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi này gồm 1 trang Bài 1 (4 điểm): Cho biểu thức 4xy 1 1 A = : + 2 2 2 2 2 2 y − x y − x y + 2xy + x a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định. b) Rỳt gọn A. c) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A? Bài 2 (4 điểm): a) Giải phương trỡnh : x +11 x + 22 x + 33 x + 44 + = + 115 104 93 82
  65. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 65 b) Tỡm cỏc số x, y, z biết : x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x2009 + y2009 + z2009 = 32010 Bài 3 (3 điểm): Chứng minh rằng với mọi n N thỡ n5 và n luụn cú chữ số tận cựng giống nhau. Bài 4 (7 điểm): Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trờn cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuụng gúc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD= ECB 0 2 b) Cho BMC =120 và SAED = 36 cm . Tớnh SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trờn cạnh AC thỡ tổng BM.BD + CM.CA cú giỏ trị khụng đổi. d) Kẻ DH⊥ BC ( H BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ⊥ PD . Bài 5 (2 điểm): x y a) Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 (với x và y cựng dấu) y x x22 y x y b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = 22+ −35 + + (với x 0, y 0) y x y x pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8 tr•ờng thcs xi măng năm học 2008-2009 môn toán 2008-2009 môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để : a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố. n 4 + 3n3 + 2n 2 + 6n − 2 b) B= có giá trị là một số nguyên . n 2 + 2 c) D=n5-n+2 là số chính ph•ơng . (n 2) Câu 2: (5 điểm) Chứng minh rằng : a b c a) + + =1 biết abc=1 ab + a +1 bc + b +1 ac + c +1 b) Với a+b+c=0 thì a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a 2 b 2 c 2 c b a c) + + + + b 2 c 2 a 2 b a c Câu 3: (5 điểm) giảI các ph•ơng trình sau: x − 214 x −132 x − 54 a) + + = 6 86 84 82 b) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c) x2-y2+2x-4y-10=0 với x,y nguyên d•ơng. câu 4: (5 điểm).Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,O là giao điểm hai đ•ờng chéo. Qua O kẻ đ•ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E ,cát BC tại F. p) chứng minh rằng : diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. 1 1 2 q) Chứng minh : + = AB CD EF
  66. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 66 r) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng d•ờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác DEF. hết pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học 2008-2009 Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1 đ) Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab Bài 2: (1 đ) Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn d•ơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho : -a2+a-3 Bài 3: (1 đ) Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành. Bài 4: (2 đ) 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: − 4x 2 + 8x − 5 Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là lập ph•ơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó. Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đ•ờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD, BAC= CAD .Tính AD nếu chu vi của hình thang bằng 20 cm và góc D bằng 600. Bài 7: (2 đ) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: k) a3m+2a2m+am l) x8+x4+1 Bài 8: (3 đ) Tìm số d• trong phép chia của biểu thức : (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+ 2004 cho x2+8x+1 Bài 9: (3 đ) Cho biểu thức : 1 2x 2x C= − : 1− x −1 x3 + x − x 2 −1 x 2 +1 p) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đ•ợc Xác định. q) Rút gọn C. r) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đ•ợc xác định. Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đ•ờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đ•ờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. k) chứng minh AE=AB l) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM. hết
  67. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 67 UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục và đào tạo lớp 8 thCS - năm học 2007 - 2008 Môn : Toán Đáp án và thang điểm: Bài 1 Câu Nội dung Điểm 1. 2,0 1.1 (0,75 điểm) x22+7 x + 6 = x + x + 6 x + 6 = x( x + 1) + 6( x + 1) 0.5 =( xx +16)( + ) 0,5 1.2 (1,25 điểm) x4+2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1 0,25 4 2 2 22 2 2 =+++x x1 2007( x ++=+−+ x 1) ( x 1) x 2007( x ++ x 1) 0,25 2 2 2 2 2 =++(x x1)( x −++ x 1) 2007( x ++=++ x 1) ( x x 1)( x −+ x 2008) 0,25 2. 2,0 2.1 x2 −3 x + 2 + x − 1 = 0 (1) 2 + Nếu x 1: (1) (xx −1) = 0 = 1 (thỏa mãn điều kiện ). 0,5 + Nếu x 1: (1) −+= −−x224 x 3 0 x x 3( x −= − 1) 0( x 1)( x −= 3) 0 xx =1; = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,5 Vậy: Ph•ơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x =1. 2.2 2 2 2 1 22 1 1 1 2 8 x+ + 4 x +22 − 4 x + x + =( x + 4) (2) x x x x Điều kiện để ph•ơng trình có nghiệm: x 0 22 1 22 1 1 1 2 (2) 8 x + + 4 x +22 x + − x + =( x + 4) 0,25 x x x x 2 11 2 22 8 x + − 8 x +2 =( x + 4) ( x + 4) = 16 0,5 xx x =08 hay x = − và x 0. 0,25 Vậy ph•ơng trình đã cho có một nghiệm x =−8 Phòng Giáo dục- Đào tạo đáp án và h•ớng dẫn chấm thi học sinh giỏi TRựC NINH năm học 2008 - 2009 môn: Toán 8
  68. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 68 Bài 1: (4 điểm) p) Điều kiện: x y; y 0 (1 điểm) q) A = 2x(x+y) (2 điểm) r) Cần chỉ ra giỏ trị lớn nhất của A, từ đú tỡm được tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2. (0,5đ) 1 x− y + 1 = 0 x = 2 + A = 2 khi 2x( x+= y) 2 3 x y;y 0 y = 2 (x− y + 1)2 = 1 + A = 1 khi 2x( x+= y) 1 Từ đú, chỉ cần chỉ ra được một cặp giỏ trị của x và y, chẳng x y;y 0 21− x = 2 hạn: 23+ y = 2 + Vậy A chỉ cú thể cú 2 giỏ trị nguyờn dương là: A = 1; A = 2 (0,5 điểm) Bài 2: (4 điểm) x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 a) + = + 115 104 93 82 x+ 11 x + 22 x + 33 x + 44 ( + 1) + ( + 1) = ( 1) + ( + 1) (1 điểm) 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + = + 115 104 93 82 x+ 126 x + 126 x + 126 x + 126 + − − = 0 (0,5 điểm) 115 104 93 82 x + 126 = 0 x = − 126 (0,5 điểm) b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0 (0,75 điểm)
  69. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 69 x − y = 0 y − z = 0 z − x = 0 x = y = z x2009 = y2009 = z2009 (0,75 điểm) Thay vào điều kiện (2) ta cú 3.z2009 = 32010 z2009 = 32009 z = 3 Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm) Bài 3 (3 điểm) Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n 2 n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) 2 (vỡ n(n – 1) là tớch của hai số nguyờn liờn tiếp) (1 điểm) - Chứng minh: n5 – n 5 n5 - n = = n( n - 1 )( n + 1)( n2 – 4 + 5) = n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) lý luận dẫn đến tổng trờn chia hết cho 5 (1,25 điểm) - Vỡ ( 2 ; 5 ) = 1 nờn n5 – n 2.5 tức là n5 – n 10 Suy ra n5 và n cú chữ số tận cũng giống nhau. (0,75 điểm) Bài 4: 6 điểm E D A M Q B C P I H Câu a: 2 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra = EA.EB = ED.EC 0,5 điểm EC EA * Chứng minh EAD = ECB (1 điểm)
  70. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 70 - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra EAD= ECB 0,25 điểm Câu b: 1,5 điểm - Từ BMC = 120o AMB = 60o ABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có B = 30o 1 ED 1 ED = EB = 0,5 điểm 2 EB 2 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho = từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB Câu c: 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 Câu d: 2 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm BH BD2 BP BD BP BD = = = 0,5 điểm DH DC2 DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) =BDP DCQ   ⊥CQ PD o 1 điểm ma` BDP+= PDC 90  Bài 5: (2 điểm) xy k) vỡ x, y cựng dấu nờn xy > 0, do đú + 2 (*) x22 + y 2xy yx (x − y)2 0( ). Bất đẳng thức ( ) luụn đỳng, suy ra bđt (*) đỳng (đpcm) (0,75đ) xy l) Đặt +=t yx xy22 + =t22 − (0,25đ) yx22 Biểu thức đó cho trở thành P = t2 – 3t + 3 P = t2 – 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ) - Nếu x; y cựng dấu, theo c/m cõu a) suy ra t 2. t – 2 0 ; t – 1 > 0 (t − 2)( t − 1) 0 P1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 x = y (1) (0,25đ) x y - Nếu x; y trỏi dấu thỡ 0 và 0 t 0 P > 1 (2) (0,25đ)
  71. Đức Bác 09. Chúc các bạn thành công! 71 - Từ (1) và (2) suy ra: Với mọi x 0 ; y 0 thỡ luụn cú P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P là Pm=1 khi x=y