Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7

Nội dung text: Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7

1. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý: 200 1000 1 1 a) và b) (-32)27 và (-18)39 16 2 Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) x 3 8 20 Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức : A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a) Xác định bậc của A. b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z. x y z t Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M có giá trị không x y z x y t y z t x z t phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N* ). Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC. 1
2. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng Đáp án Toán 7 Bài 1: (1,5 điểm): 200 4.200 800 1000 1 1 1 1 a) Cách 1: = > 16 2 2 2 200 200 5.200 1000 1 1 1 1 Cách 2: > = (0,75điểm) 16 32 2 2 b) 3227 = (25 )27 = 2135 -1839 (-32)27 > (-18)39 (0,25điểm) Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 . Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,5điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6. Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) x 3 8 20 x 3 8 20 ; x 3 8 20 x 3 8 20 x 3 28 x = 25; x = - 31 (0,25điểm) x 3 8 20 x 3 12 : vô nghiệm (0,25điểm) Bài 3: (1,5 điểm): a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0 (0,25điểm) 5 3x - 5 = 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 x = z = ;y = -1;y = 1 (0,5điểm) 3 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 x2 y2 z2 x2 y2 z2 116 Từ giả thiết 4 (0,25điểm) 4 9 16 4 9 16 29 Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) (0,5điểm) Bài 4: (1,5 điểm): a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 A có bậc 4 (0,5điểm) b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z (0,725điểm) Bài 5: (1 điểm): x x x Ta có: (0,25điểm) x y z t x y z x y y y y x y z t x y t x y z z z (0,25điểm) x y z t y z t z t t t t x y z t x z t z t x y z t x y z t M ( ) ( ) (0,25điểm) x y z t x y x y z t z t 2
3. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng hay: 1 < M < 2 . Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên (0,25điểm) Bài 6: (3 điểm): a. AIC = BHA BH = AI (0,5điểm) b. BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm) c. AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N N là trực tâm DN AC (0,75điểm) d. BHM = AIM HM = MI và BMH = IMA (0,25điểm) mà :  IMA + BMI = 900 BMH + BMI = 900 (0,25điểm) HMI vuông cân HIM = 450 (0,25điểm) mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450 IM là phân giác HIC (0,25điểm) B H D M I N A C 3
4. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học : 2005 - 2006 Môn : TOÁN - Khối lớp: 7 Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b 8 8 + d) = 2bd . Chứng minh ( a c ) 8 = a c b d b8 d 8 Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết: 3 2 5. x - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2} 4 3 b/ Tìm x , y biết: 3 y + 2x y = 0 Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42 b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và a 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7. Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7. Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41 b/ Biết x Q và 0 AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC. Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE. a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau. b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD. 4
5. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM 2bd Bài 1 (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d = (0,5đ) c a c 2bc c Viết = = (0,5đ) b d 2bd d a c a c Suy ra = = (0,5đ) b d b d Biến đổi để có điều phải chứng minh (0,5đ) 3 2 1 Bài 2 (2đ) a/ Tính được x = (0,5đ) 4 3 4 3 3 Tìm được x = , x = (0,5đ) 4 2 b/ Nêu 3 y 0 và 2x y 0 (0,25đ) Để có 3 y + 2x y 0 (0,25đ) Suy ra 3 y = 0 và 2x y = 0 (0,25đ) 3 Tìm được x = và y = -3 (0,25đ) 2 Bài 3 (2đ) a/ Viết được 7x2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ) Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời (0,5đ) b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7 (0,25đ) f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7 (0,25đ) Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7. (0,25đ) Suy ra b chia hết cho 7 (0,25đ) Bài 4 (2đ) a/ Viết được (x+1)2 = 42 + 8y2 (0,25đ) Suy ra (x+1)2 là số chẵn, để có (x+1)2 chia hết cho 4 (0,25đ) Nêu 42 + 8y2 không chia hết cho 4. (0,25đ) Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài (0,25đ) b/ Xét xn – x = x ( xn-1 - 1 ) (0,25đ) + 0 0 (0,25đ) Suy ra: xn - x < 0 (0,25đ) + Suy ra điều phải chứng minh (0,25đ) 5
6. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng Bài 5 (2đ) a/ Nêu được AK  MC (0,5đ) Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau (0,5đ) b/ Chứng minh CE = MN (0,25đ) Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN (0,25đ) Hạ MI  BD và chứng minh BM > BI (0,25đ) Kết luận AB + CE > AC + BD (0,25đ) 6
7. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng Sở GD & ĐT Đà Nẵng KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII Trường THCS Nguyễn Khuyến Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút x3 x2 03y 1 Bài 1: (1,5 điểm) Cho A biết x ; y là số nguyên âm lớn nhất x2 y 2 x 16 y 25 z 9 9 x 11 x Bài 2: (2 điểm) Cho và 2 .Tìm x+y+z 9 16 25 7 9 Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x,y Z biết 2xy+3x = 4 16 - 72 + 90. Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0 Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều. 7
8. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7 Bài1: (1,5 điểm) + Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ) + Với x = - ; y = -1 A = - (0,5đ) + Với x = ; y = -1 A= - (0,5đ) Bài 2: (2 điểm) + Từ + = 2 (2 – x)( + ) = 0 x = 2 (0,75đ) + Thay x = 2 = = = = = 2. (1đ) + x + y + z = 100 (0,25đ) Bài 3: (2 điểm) + Biến đổi được: x(2y + 3) = 4 (0,5đ) + Chỉ ra được x, y Z x Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ) + Lập bảng. (1đ) x -4 -2 -1 1 2 4 2y + 3 -1 -2 -4 4 2 1 y -2 loại loại loại loại -1 Bài 4: (2 điểm). a) Chỉ được; a + b + c + d = 0 đpcm. (0,5đ) (hoặc tính được P(1) = 0 đpcm). b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ) + Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1 = 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ) + Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ) (Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm) 8
9. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng Bài 5: (2,5 điểm) + Hình vẽ (phục vụ được câu 1): (0,25đ) a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của BEC (0,5đ) F trung trực BC BFC cân (0,5đ) (học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm). K F b) + Tính được EBC = 15 . (0,5đ) + Hạ FK AB FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ) BFC vuông cân FBC = 45 . (0,25đ) + Kết luận BFE đều. (0,25đ) A F H C 9
10. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng Sở GD & ĐT Đà Nẵng KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII Trường THCS Nguyễn Khuyến Năm học 2006 – 2007 Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút x2 y2 z2 Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: , và x – y + z = 4 4 9 25 b2 b2 Bài 2: (1 điểm) Biếta2 ab 25 ;c2 9 ; a2 ac c2 16 3 3 2c b c và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: . a a c Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90. Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. 10
11. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Bài 1: (1điểm) x2 y2 z2 x y z 0,5đ và x, y, z N, x ≠ 0 4 9 25 2 3 5 0,25đ x y z x y z 4 0,25đ 1 2 3 5 2 3 5 4 x = 2; y = 3; z = 5. Vậy xyz = 235 Bài 2: (1,5 điểm) b2 b2 0,5đ Ta có: c 2 a2 ac c 2 a2 ab (vì 9 + 16 = 25) 3 3 0,25đ Suy ra: 2c2= a(b – c) 0,25đ 2c b c (vì a ≠ 0; c ≠ 0) a c 0,5đ 2c b c 2c b c b c (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0) a c a c a c Bài 3: (2,5điểm) 0,5đ a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3 0,25đ biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0 0,25đ m = 5 và m ≠ -5 Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x. b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9 0,25đ g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 0,25đ Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0 g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9. Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9 0,25đ Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0 9 3 0,25đ 4x2 - 9 = 0 4x2 = 9 x2 = x = . 4 2 0,5đ Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r 0,5đ 5a r 5a + r < 5a + a 11
12. Giáo viên: Tôn Nữ Bích Vân - Trường THCS Nguyễn Khuyến – TP Đà Nẵng 112 112 : 6 a ≥ 19 (2) Từ (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: a 19 20 21 22 0,5đ r = 112 – 5a 17 12 7 2 Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25đ suy ra: CH = CF. Kết luận FCH cân tại C. 0,25đ -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh FIG cân tại I. - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. 0,25đ 0,25đ - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g). 0,25đ - Suy ra AK = KI 0,25đ b/ (1,5 điểm) Vẽ OE  AB tại E. Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. 0,5đ BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cân tại B. 0,5đ Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5đ A E H K OG B F I C 12