Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 8

Nội dung text: Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh - Hà Nội - Phần 8

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. Bộ đề thi HSG Toán 9 các Tỉnh, TP. HCM – Hà Nội Phần 8 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HOÁ Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề Đề số 1 Câu I. 2 1) Cho pt: x−2 m x + 2 m − 1 = 0. Chứng minh pt luôn có hai nghiệm xx12, với mọi m. 23xx12+ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 22 khi m thay đổi. x1+ x 2 +2(1 + x 1 x 2 ) 1 1 1 2) a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn +=. CMR: A= a2 + b 2 + c 2 là số hữu tỉ. a b c 1 1 1 b). Cho ba số hữu tỉ x,, y z đôi một phân biệt. CMR : B = + + số hữu tỉ. (x− y)2 (y − z) 2 (z − x) 2 Câu II. . 22 xx 10 1) Giải phương trình: += . xx−+1 1 9 2 11 xx+ + 14 + = yy 2) Giải hệ phương trình: 2 3 xx 1 x +23 + + = 4. y y y Câu III. Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE. Câu IV. Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( PAB , và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( NP ). 1) Chứng minh rằng ANP= BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. 1. Cho a1, a 2 , , a 45 là 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a 2 a 45 130. Đặt dj= a j+1 − a j , ( j = 1,2, ,44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d j xuất hiện ít nhất 10 lần. 2. Cho ba số dương abc,, thoả mãn: a2+ b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 = 2011. a2 b 2 c 2 1 2011 Chứng minh rằng: + + . b+ c c + a a + b 22 HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 2 Bài 1. (4,0 điểm) x y xy Cho biểu thức: P = − − (x+ y )(1 − y ) ( x + y )( x + 1) ( x + 1)(1 − y ) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. (4,0 điểm) 1. Tìm m để phương trình (x2 − 1)( x + 3)( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt 1 1 1 1 + + + = −1 x1,,, x 2 x 3 x 4 thỏa mãn x1 x 2 x 3 x 4 x22=+2 xy 2. Giải hệ phương trình : 22 y=+2 x y Bài 3. (4 điểm) 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60. 2. Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và x3++ y 3 z 3 chia hết cho x2 y 2 z 2 . Tìm thương của phép chia x3++ y 3 z 3: x 2 y 2 z 2 Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC và AC lần lượt tại M, N. 1. Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân. 2. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K. Chứng minh K là trung điểm của DM. 3. Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q. Gọi G là trung điểm của DK. Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng. Bài 5. (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0 x , y , z 2 và x + y + z = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= x + y + z . HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
3. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUÃNG NGÃI NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 3 Bài 1:(4 điểm) a) Cho a; b là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn 2a 2 + a = 3b2 + b. ab− Chứng minh là phân số tối giản. 2a+2b+1 b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn: 15x2 − 7y2 = 9 Bài 2: (4 điểm) 33 a) Cho − x ; x≠0 và 3+ 2x − 3 − 2x = a . 22 6+− 2 9 4x2 Tính giá trị biểu thức P = theo a. x 1 1 1 b) Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn + + = 2. 1+ a 1 + b 1 + c Tìm giá trị lớn nhất của Q =abc Bài 3: (4 điểm) x2+ a) Giải phương trình: (x− 1)( x + 2) + 4( x − 1) = 12 . x1− 1 1 b) Giải hệ phương trình: 2 x 1+= 3 và 2 y 1−= 1. xy+ xy+ Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB cố định. EF là dây cung di động trên nửa AB đường tròn đó, sao cho E thuộc cung AF và EF== R . Gọi H là giao điểm của AF và BE; C 2 là giao điểm của AE và BF; I là giao điểm của CH và AB. a) Tính số đo CIF· b) Chứng minh rằng biểu thức AE.AC + BF.BC có giá trị không đổi khi EF di động trên nửa đường tròn. c) Xác định vị trí của EF trên nửa đường tròn để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Bài 5: (2 điểm) Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN – Bảng A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 4 Câu 1. (4 điểm): a. Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điểu kiện: a2 + a = 2b2 + b. Chứng monh rằng a – b và a + b + 1 đều là các sô chính phương. b. Tìm số tự nhiên n sao cho số 2015 có thể viết được thành tổng của n hợp số nhưng không thể viết được thành tổng của n + 1 hợp số. Câu 2. (5 điểm): a. Giải phương trình: 6x− 1 + 9 x22 − 1 = 6 x − 9 x x22+ y + xy = 2 b. Giải hệ phương trình: 22 x+ y =24 x + y Câu 3. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: abc = 1. 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = ++. a+2 b + 3 b + 2 c + 3 c + 2 a + 3 Câu 4. (6 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M (M không trùng với B, C). Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng: a. Ba điểm D, E, F thẳng hàng . AB AC BC b. += MF ME MD Câu 5. (2 điểm): Cho 121 điểm phân biệt nằm trong hoặc trên các cạnh của một tam giác đều có cạnh bằng 6 cm. Chứng mỉnhằng có thể vẽ được một hình tròn đường kính bằng 3 cm chứa ít nhất 11 điểm trong số các điểm đã cho. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
5. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 5 Câu 1. (5,0 điểm) 1) Tính giá trị của biểu thức A =3326 + 15 3 − 26 − 15 3 . a−2 + 2 a − 2 a + 7 3 a − 2 + 1 1 2) Rút gọn biểu thức P = .: + − . 3 3+a − 2 11− a a − 3 a − 2 − 2 a − 2 Câu 2. (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: 3x32+ 8 = 2 x − 3 x + 10 . x22+ y + xy +14 = y 2) Giải hệ phương trình sau: . 2 (x+ 1)( x + y − 2) = y Câu 3. (4,0 điểm) 1. Cho hàm số yx= 2 . Tìm các giá trị của m để đường thẳng có phương trình y=− x m 44 cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A( x1 ; y 1 ), B ( x 2 ; y 2 ) thoả mãn: (x2− x 1 ) + ( y 2 − y 1 ) = 18 . 2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố abc,, đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện 20abc 30( ab + bc + ca ) 21 abc Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N. OA và MN cắt nhau tại D. 1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp. 1 1 1 2) Chứng minh : =+. AD HB HC 3) Cho AB=3 và AC=4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. Câu 5. (1,0 điểm) Cho ba số dương ab, và c thoả mãn abc =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + . a2+2 b 2 + 3 b 2 + 2 c 2 + 3 c 2 + 2 a 2 + 3 2 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH HÀ NAM Năm học: 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 6 Bài 1.(6 điểm) 6+ 2 5 − 13 + 48 1. Cho biểu thức A = 31+ a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y22− A = x(A + x)(A + x ) 2. Gọi d12 ,d là các đường thẳng lần lượt có phương trình: 2 d1 :y= 2x + 3m + 2 và d2 : y= (m + m)x − 4 a) Tìm m để hai đường thẳng song song. b) Tuỳ theo giá trị của m, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 B=( 2x − y3m2 + +) + (m + m)x − y4 − Bài 2.(6 điểm) 1. Giải phương trình: 2(x23+ 2) = 3( x + 8 + 2x) 2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4+ 3x 3 − (2m1)x − 2 −( 3m1x +) + m 2 + m = 0 Bài 3.(1 điểm) x2y1x( − −) + y2x1y( − −) = 0 Giải hệ phương trình : 33 x+= y 16 Bài 4.(6 điểm) Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O) đi qua B và C (O không thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF. 1. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi. 2. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’. Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang. 3. Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi. Bài 5.(1 điểm) Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho AM.BC++ BM.CA CM.AB đạt giá trị nhỏ nhất. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH ĐĂK NÔNG NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số 7 Bài 1: (4,0 điểm) 2+x 2 − x 4 x x − 3 1) Cho biểu thức A = − − :.Tìm điều kiện của x để A > 0. 2−x 2 + xx − 4 2 x − x 2 2) Cho x = 11 − 2+ 1 − 1 2 + 1 + 1 Tính giá trị của biểu thức: B=( x4 − x 3 − x 2 + 2 x − 1) 2011 Bài 2: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 . xy2 +2 + 1 = 0 2 2) Cho x, y z là nghiệm của hệ phương trình: yz+2 + 1 = 0 2 zx+2 + 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức: C= x10 + y 3 + z 2011 . Bài 3: (4,0 điểm) 1) Tìm các cặp số ( a, b) thỏa mãn hệ thức: a+ b −2011 = a + b − 2011 . 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: n2 – 14n + 38 là một số chính phương. Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là một điểm nằm trên cung nhỏ AD . Nối CE cắt OA tại M và nối BE cắt OD tại N. 1) Chứng minh: AM. ED= 2 OM . EA OM ON 2) Chứng minh tích  là một hằng số. Từ đó, suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng AM DN OM ON + , khi đó cho biết vị trí của điểm E? AM DN Bài 5: (3,0 điểm) Cho abc,, là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: a3+ b 3 + c 3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9 + + + . 2abc ab+ c2 bc + a 2 ca + b 2 2 HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
8. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 8 Câu 1 (2 điểm): a) Phân tích đa thức thành nhân tử : f( x )= x4 − 4 x + 3 3 3 1+ 1− b) Chứng minh đẳng thức: 2 + 2 = 1 3 3 1+ 1+ 1− 1− 2 2 Câu 2 (2 điểm): a) Giải phương trình: x2−1 − 10 x − x 2 − 9 = 2 x 2 − 14 x + 12 22 x+ 2 + x + y + 3 + y = 5 b) Giải hệ phương trình: 22 x+ 2 − x + y + 3 − y = 2 Câu 3 (2 điểm): a) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m− 4) x +( m − 3) y = 1 (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. 22 b) Tìm các số tự nhiên có 2 chữ số xy sao cho: 2.xy=( x + 2) +( y + 4) Câu 4 ( 3 điểm): 1. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường tròn (O; r), trong đó A di động, E cố định ( với A ≠ E). Qua E vẽ một đường thẳng vuông góc với AE cắt đường tròn (O; R) ở B và C. Gọi giao điểm của AE với (O ; R) là I và K, M là trung điểm của đoạn thẳng AB . a) Chứng minh BC2 + IK2 không phụ thuộc vị trí điểm A . b) Chứng minh rằng khi điểm A di động trên đường tròn (O; r) và A≠ E thì đường thẳng CM luôn đi qua một điểm cố định. 2. Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất . Câu 5 (1 điểm): Cho ba số dương abc,, thoả mãn: a2+ b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 = 1. a2 b 2 c 2 1 Chứng minh rằng: + + b+ c c + a a + b 22 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
9. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. THANH HÓA NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 9 Bài 1 (4,0 điểm) 1) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x: 6x − (x + 6) x − 3 3 1 A = − − . 2(x − 4 x + 3)(2 − x) − 2x +10 x −12 3 x − x − 2 Điều kiện x 0 , x 4; x 9 ; x 1 2 + 3 2 − 3 2) Rút gọn biểu thức: B = + 2 + 2 + 3 2 − 2 − 3 Bài 2 (6,0 điểm) 3a+ 1 a − 1 2a(a2 − 1) 1) Cho phương trình : −= ( a là tham số) a+ x a − x x22 − a a) Giải phương trình trên. b ) Tìm các giá trị nguyên dương của a để phương trình có nghiệm x là số nguyên tố. x3− y 3 − z 3 = 3xyz 2) Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình sau: 2 x=+ 2(y z) Bài 3 (4,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho : 2 abc = n -1 Với n Z ; n >2 2 cba = (n − 2) 2) Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6 . Chứng minh : 52 3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54 Bài 4 (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh là a và N là một điểm trên cạnh AB. Tia CN cắt tia DA tại E. Trên tia đối của tia BA lấy điểm F sao cho BF = DE. Gọi M là trung điểm của EF. 1) Chứng minh tam giác ACE đồng dạng với tam giác BCM. 2) Xác định vị trí điểm N trên AB sao cho diện tích tứ giác ACFE gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có B+ C = 1050 và AB + AC 2 = 2BC. Tính B và C Hết . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
10. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 10 x+4 x − 4 + x − 4 x − 4 Bài 1 (2,0đ) Cho biểu thức: A = 8 16 1−+ xx2 Rút gọn rồi tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (2,0đ) Giải các phương trình: a. x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2x − 3 b. (4x+ 2) x + 8 = 3 x2 + 7 x + 8 Bài 3 (1,5đ) a. Cho f( x )= ( x3 + 12 x − 31) 2013 . Tính f (a) với a=33 16 − 8 5 + 16 + 8 5 b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: y2 +2 xy − 3 x − 2 = 0 Bài 4 (1,5 điểm) a b c a2 b 2 c 2 a. Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và + + = + + b2 c 2 a 2 c a b Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a, b, c là bình phương của một số hữu tỉ. b. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a + b + c = 3. a b c 3 Chứng minh rằng + + 1+b2 1 + c 2 1 + a 2 2 Bài 5 (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF. a. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA. b. Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất. BE3 CE c. Chứng minh các hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và = . BF3 DF d. Nếu tam giác vuông BEF có một hình vuông BMKN nội tiếp (K EF; M BE và N BF) sao cho tỉ số giữa cạnh hình vuông với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BEF là 22+ . Hãy 2 tính các góc nhọn của tam giác BEF? Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
11. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN VĨNH YÊN NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 11 Câu 1: (3,5 điểm) 2 1a + 2 a. Cho aa 0, 4 và P =+ : . Rút gọn biểu thức P và a−2 a a − 2 a − 4 a + 4 tính giá trị của biểu thức P khi a =−4 2 3. b. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm ABC(1;1) ,( 3;2) ,( 4;4) . Hãy vẽ các điểm ABC,, và tính diện tích tam giác ABC . 1 1 1 c. Cho Q = + + + . Tính Q +2016 2 . 2+ 4 4 + 6 2014 + 2016 ( ) Câu 2: (1,5 điểm) 11 a. Tìm tất cả các số nguyên dương xy, thỏa mãn +=1. xy b. Cho các số nguyên tố xy, và số nguyên dương z thỏa mãn phương trình 1 2016 z +=. Tìm tất cả các bộ số ( x,, y z) . xy5 Câu 3: (1,0 điểm) Cho các số thực dương abc,, thỏa mãn abc =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 a. abc+ + + + . b. + + 1. abc 2+abc 2 + 2 + Câu 4: (3,0 điểm) Cho hai đường tròn (OR11; ) và (OR22; ) ( RR21 ) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn đã cho ( BOR ( 11; ) và COR ( 22; ) ). Đường thẳng cắt đường thẳng OO12 tại điểm D. a. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông. b. Tính độ dài đoạn thẳng DB theo RR12,. c. Đường tròn (O) tiếp xúc ngoài với và (OR22; ) lần lượt tại EF,. Chứng minh rằng DEF,, thẳng hàng. Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x2+ y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2015. x2 y 2 z 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = + + . y+ z z + x x + y Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
12. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 12 Câu 1. (2,0 đ) 1 2 6 x−− 9x 1 11 a) Cho biểu thức: P = +  với x 0; x ;x 2 x−− 11− 4x 1 3 x 49 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên. b) Cho x =335 + 2 13 + 5 − 2 13 . Tính giá trị của biểu thức A = x2015 – x2016 + 2017. Câu 2. (2,0 đ) a) Giải phương trình: x22+3 x + 1 =( x + 3) x + 1 b) Tìm các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: 5x− 3 y = 2 xy − 11. Câu 3. (2,0 đ) a) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số. b) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x y z P = + + x+1 y + 1 z + 1 Câu 4. (3,0 đ) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm. Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H thứ thự là giao điểm của AF với BE, BD. Vẽ BIM = 450 (M thuộc cạnh BC), O là giao điểm của IM và BD. a) Tính độ dài của AI, BI. b) Chứng minh 4 điểm B, I, H, M cùng thuộc một đường tròn. c) Chứng minh DH.BO = OH.BD. Câu 5. (1,0 đ) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 3 1 1 1 10 a+  b +  c + . b c a 3 Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
13. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN ĐÔNG SƠN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn Toán – Bảng A ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 13 1 1 1 2 1 1 x − y Bài 1: Cho biểu thức: A = ( + ). + .( + ) : x y x + y + 2 xy ( x + y)3 x y xy xy a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 + 5 ; y = 3 - Bài 2: Cho 3 số a, b, c 0 thỏa mãn: a b c và a3+b3 +c3 = 3abc. a − b b − c c − a c a b P = + + ; Q = + + c a c a − b b − c c − a Chứng minh rằng : P.Q = 9. Bài 3: Giải phơng trình : (4x – 1) x 2 + 1 = 2(x2+1) + 2x -1. x − y + x = y Bài 4: Giải hệ phương trình sau: x + y + 18 xy = 4 x + 3 y + 13 Bài 5: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3 và x4+y4+z4 =3xyz. Hãy tính giá trị của biểu thức M = x2006 + y2006 + z2006 Bài 6: Cho Parabol (P) có phương trình y = x2 và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) có hoành độ a. a) Xác định a để đoạn thẳng AM có độ dài ngắn nhất . b) Chứng minh rằng khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M. Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x3 + x2 + x +1 = 2003y Bài 8: Cho tam giác ABC vuông ở A. I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt các đường trung trực của AB, AC theo thứ tự tại E và F. a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,I,D,F cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AE.AC = AF.AB. c) Cho AC = b; AB = c. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AEF theo b, c Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm P di động trên BC. Qua P vẽ PQ//AC (Q AB) và PR//AB (R AC). Tìm quỹ tích các điểm D đối xứng với P qua QR. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
14. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN HÂU LỘC NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn Toán ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề số 14 xx++2 1 1 Câu 1 (4,0 đ): Cho biểu thức M = + + x x−1 x + x + 1 1 − x a) Rút gọn biểu thức M. b) Tính giá trị của M với x =−9 4 2 . 1 c) Chứng minh M . 3 Câu 2 (4,0 đ): Cho đường thẳng: y = (m - 2)x + 3 ( m là tham số) (d). a) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng : y = 2x - 1 b) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 1. Câu 3 (4,0 đ): Giải các phương trình sau: x + 2 3 3 a) + = +1 x+1 x − 2 x2 − x − 2 b) x2 −1 = x + 1 + x + 1 Câu 4 (2,0điểm: Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 y+ xy − x = 4 . Câu 5 (5,0đ): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 2cm, HC = 4,5cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ các tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm, khác điểm H). a) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng. b) Tính diện tích tứ giác BMNC. c) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính các độ dài AK, KN. Câu 6 (1,0đ): Cho x2+ y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= x + y + 2 z . Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.