›
›
›

Bài toán tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

pdf 7 trang mainguyen 4510
Download
Bạn đang xem tài liệu "Bài toán tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_toan_tim_gia_tri_lon_nhat_va_nho_nhat_cua_ham_so.pdf

Nội dung text: Bài toán tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

  1. NguynPhúKhánh–ðàLt GIÁTRLNNHTVÀNHNHTCAHÀMS TĨMTTLÝTHUYT • Hàms f( x )xácđnhvàcĩliêntctrênđon a; b  thì f' ( x ) xácđnhtrênkhong (a; b ) . • Hàms f( x )xácđnhvàcĩliêntctrênnađon ab;) hay ( ab ;  thì f' ( x ) xácđnhtrên khong (a; b ) . • Hàmscĩthkhơngđtgiátrlnnhthocnhnhttrênmttphpsthcchotrưc. •maxfx = max fafxfx , , fxfb , ( ) { ( ) ( 1) ( 2 ) ( i ) ( )} xab∈; xab ∈  ; •minfx = min fafxfx , , fxfb , ( ) { ( ) ( 1) ( 2 ) ( i ) ( )} xab∈; xab ∈  ; ∀x ∈ Dfx, ( ) ≤ M • M =max f() x ⇔  x∈ D ∃x ∈ Dfx, = M  0() 0 ∀x ∈ Dfx, ( ) ≥ m • m =min f() x ⇔  x∈ D ∃x ∈ Dfx, = m  0() 0 Víd1:Tìmgiátrlnnhtvànhnhtcacáchàms: 4 4 afx) ( ) = sin x + cos x bfx) ( ) = x + 4 − x 2 Gii: afx) ( ) = sin4 x + cos 4 x Hàmsđãchoxácđnhtrên ℝ . Tacĩ 2 2 4 4 2 2 2 2 1  1 2 fxxxxx() =+=+−sin cos() sin cos 2sin xx .cos =− 1 22. sin.cos xx  =− 1 sin2 x 2  2 Vimi x ∈ ℝ ,tacĩ 1 1 1 11 0sin210≤2x ≤⇒≥− sin2 2 x ≥−⇒≥− 11 sin22 xhayfx ≥ ≤() ≤ 1 2 2 2 22  1 π π  1 fx= khix = + k minf() x= khi sin2 x = 1  min () ⇒ 2 hay  2 4 2 π maxfx() = 1 khi sin2 x = 0  maxfx() = 1 khix = k   2 bfx) ( ) = x + 4 − x 2 Hàmsđãchoxácđnhtrênđon −2;2  . x4 − x2 − x Tacĩ f'() x=− 1 = , x ∈−() 2;2 4−x2 4 − x 2 4−−=xx2 0  4 −= xx 2 0<<x 2  0 << x 2 f'() x =⇔ 0  ⇔  ⇔ 2 2 ⇔  2 ⇔=x 2 x∈− x ∈− 4−x = x x = 2 ()2;2  () 2;2  
  2. NguynPhúKhánh–ðàLt Bngbinthiênca f( x )trênđon −2;2  x −2 2 2 f' ( x ) − 0 + f( x ) −2 2 2 2 Tbngbinthiên,tađưc maxfx( ) = 22 khix = 2 min fx( ) =− 2 khix =− 2 x∈ −2;2  x ∈ − 2;2  Víd2:Tìmgiátrlnnhtvànhnhtcacáchàms: afx) ( ) = sin4 x + cos 2 x + 2 π  bfx) ( ) = x − sin 2 x trênđon − ;π  2  Gii: afx) ( ) = sin4 x + cos 2 x += 2 sin 42 x − sin x + 3 Hàmsđãchoxácđnhtrên ℝ . ðt t=sin2 x , 0 ≤ t ≤ 1 1 Xéthàms ftttt()()()()=−+∈2 3, 0;1  fttt ' =−∈ 2 1, 0;1 ft ' =⇔= 0 t   2 1  11 f()()0= f 1 = 3, f   = 2  4 11 3 minfx()()= min ft = = 2 mfxax( ) = max ft( ) = 3 t∈0;1  4 4 t∈0;1  π  bfx) ( ) = x − sin 2 x trênđon − ;π  2  π  Hàmsđãchoxácđnhtrênđon − ;π  2  π πππ5 Tacĩ: fx'() =− 12cos2, x −<<⇒ xπ fx '() =⇔=− 0 x ,, 2 666 ππ3  ππ 3553  ππ  ππ f−=−+; f  =− ; f  =+ ;; ff  −=−()π = π 6 62662   662  2 2 5π 3 5 π ππ Vy maxfx=+ khix = ;min fx =− khix =− π  () π  () x∈ − ;π  62 6x ∈ − ; π  2 2 2  2  Víd3:Choparabol (P) : y= x 2 vàđim A(−3;0 ) .Xácđnhđim M thuc (P ) saochokhongcách AM làngnnht;tìmkhongcáchngnnhtđĩ. Gii: Gi Mxy∈ P ⇒ Mxx 2 ( 00;) ( ) ( 00 ; )
  3. NguynPhúKhánh–ðàLt 2 2 dxAM= = x ++ x2 = xx 4 +++ 2 x ()()0 03() 0 000 6 9 2x3 + x + 3 dx' = 0 0 dxx'⇔ = − 1 ()0 4 2 ()0 0 x0+ x 0 +6 x 0 + 9 d x x x d x x ' ( 0 ) đidutâmsangdươngkhi 0 điqua 0 = − 1 .Hàms ( 0 ) đtcctiuti 0 = − 1, d (−1) = 5 .ðim M(−1;1 ) ∈ ( P ) làđimđkhongcách AM = 5 làngnnht. Víd4:Ngưitađnhlàmmtcáihpkimloihìnhtrcĩthtích V chotrưc.Tìmbánkínhđáy r vàđưngcao h cahìnhtrsaochoíttnkimloinht Gii: V Gi x làbánkínhđáy.ðhpkimloihìnhtrcĩthtích V= π x2 h thìhiucaocahplà h = . πx 2 V Lưngkimloiđlàmhpbngdintíchtồnphncahp: Sx() =2π x2 + 2. π x , x > 0 πx 2 V  V Sbinthiênca Sx Sx'= 22π x − ,' Sx =⇔= 0 x 3 ()() 2  () x  2π V S' ( x ) đidutâmsangdươngnênhàms S( x ) đtđimcctiuti x = 3 .Vy: 2π V4 V r=3, h = 3 2π π Víd5:Chuvicamttamgiáclà 16 (cm ) ,đdàicamtcnhtamgiáclà 6 (cm ) .Tìmhaicnh cịnlicatamgiácsaochotamgiáccĩdintíchlnnht. Gii: Gimtcnhcịnlicatamgiáclà x ,cnhcịnlithhailà y ,tacĩ xy++=6 16 ⇒= y 10 − x Dintíchtamgiác:(theocơngthchêrơng). Sxpp( ) =( −6) ( pxpy −)( −=) 48( − x) ( 8 −=−+− y) 4 x2 1016,0 x () x 2
  4. NguynPhúKhánh–ðàLt 2000 Dintíchcamnhcáctơngdùnglàmhìnhhplà: Sxx=+24 xhx =+ 2 , x > 0 () x Bàitốntrthànhtìm x > 0 saochotiđĩ S( x ) đtgiátrnhnht. 3 2000 2(x − 1000 ) Tacĩ Sxx'2() =−= ,0 x > S'( x) = 0 ⇔ x = 10 x2 x 2 Bngbinthiênca S( x ) trênkhong (0; +∞ ) x 0 10 +∞ S' ( x ) − 0 + S( x ) 300 Vy x= 10 ( cm )thìmin S( x ) = 300 . Víd7:Chomttamgiácđu ABC cnh a .Ngưitadngmthìnhchnht MNPQ cĩcnh MN nmtrêncnh BC ,haiđnh P và Q theothtnmtrênhaicnh AC và AB catamgiác.Xác đnhvtríđim M saochohìnhchnhtcĩdintíchlnnhtvàtìmgiátrlnnhtđĩ. Gii: a ðt BM= x,0 <<⇒ x NM = BC − 2 BMa =− 2 x 2 QM Trongtamgiácvuơng BMQ cĩ tanQBM=⇒= QM BM .tan QBM = x 3 BM Dintíchhìnhchnht MNPQ là Sx( ) = MNQM. =( a − 2 xx) 3 a  Bàitốnquyv:Tìmgiátrlnnhtca Sx()()= a −2 xx 3, x ∈  0;  2  a  a Sx'() =−+ 43 xax 3,0; ∈  Sx '() =⇔= 0 x 2  4 a  Bngbinthiênca S( x ) trênkhong 0;  2  a a x 0 4 2 S' ( x ) + 0 − a 2 3 S( x ) 8 0 0 a 2 3 a Vydintíchhìnhchnhtlnnhtlà khi x = 8 4 Víd8:Khinuơicáthínghimtrongh,mtnhàsinhhcthyrng:Nutrênmiđơnvdintíchca mthcĩ n concáthìtrungbìnhmiconcásauvcânnng P( n) =480 − 20 n ( gam ) .Hiphith baonhiêucátrênmtđơnvdintíchcamthđsaumtvthuhochđưcnhiunht?
  5. NguynPhúKhánh–ðàLt Gii: Nutrênmiđơnvdintíchcamthcĩn concáthìsaumtv,scátrênmiđơnvdintích mthtrungbìnhcânnng: fn( ) = nPn.( ) = n( 48020, − nnN) ∈ * fn'( ) =− 48040 n fn '( ) =⇔= 0 n 12 Vyđthuđưcnhiunhtsaumtvthuhochcnthmiđơnvdintíchmthlà n = 12 concá. Víd8:Trongcáchìnhchnhtcĩchuvilà 40 (cm ) ,hãycácđnhhìnhchnhtcĩdintíchlnnht. Gii: Gimtcnhbtkỳcahìnhchnhtcĩchiudàix( cm ) .Tngchiudàihaicnhlà 20 (cm ) .Chiu dàicnhkialà 20 − x ( cm ) .Dintíchhìnhchnhtlà: Sxx( ) =(20 − x) ,0 ≤≤ x 20 Sx'( ) =− 0 0 0 0 0 x, y > 0  2) Gi x, y làđdàihaikíchthưccahìnhchnht,tacĩ: ⇔  48 xy = 48 y =   x 48  Chuvicahìnhchnhtlà pxy=+=+2 2 x  , x >⇒ 0min pp = 43163 = () x > ( ) x  0 1. Tìmgiátrlnnhtvànhnhtcacáchàmssauđây:
  6. NguynPhúKhánh–ðàLt 2 2 afx) ( ) = x + 2 x − 5 trênđon −2;3  dfx) ( ) =− x + 2 x + 4 trênđon 2;4  x 3 2x2 + 5 x + 4 bfx) () = + 234 x2 + x − trênđon −4;0  e) f() x = trênđon 0 : 1  3   x + 1   1 1 cfx) = x + trênkhong 0; +∞ f) fx= x − trênnakhong 0 : 2  () x ( ) () x (  2.Tìmgiátrlnnhtvànhnhtcacáchàmssauđây: afx) = x3 + 391 x 2 − x + trênđon −4;4  x ( )   e) f() x = trênnakhong (−2;4  x + 2  bfx) = x3 + 5 x − 4 trênđon −3;1  ( )   1 4 2 f) fx() = x + 2 + trênkhong (1; +∞ ) cfx) ( ) = x − 816 x + trênđon −1;3  x − 1 gfx) = x 1 − x 2 trênđon −1;1  3 3  ( )   dfx) ( ) = x − 3 x + 3 trênđon −3;  2  π  hfx) ( ) = x − sin 2 x trênđon − ;π  2  3. Tìmgiátrlnnhtvànhnhtcacáchàmssauđây: afx) ( ) = 2 sin2 x + sin x − 1 cfx) ( ) = cos3 x − 6cos 2 x + 9cos x + 5 bfx) ( ) = cos22 x − sin.cos xx + 4 dfx) ( ) = sin3 x − cos2 x + sin x + 2 5. ðgimhuytápcamtbnhnhânđưcchobicơngthc Gx( ) =0,025 x2 ( 30 − x ) trongđĩ x( mg ) làliulưngthucđưctiêmchobnhnhân.Tínhliulưngthuccntiêmchobnhnhân đhuytápgimnhiunhtvàtínhđgimđĩ. Hưngdn Gx'( ) =⇔== 0 xx 0, 20, G ''20( ) < 0 .Lưngthuccntiêmđgimhuytápnhiunhtlà 20 (mg ) .ðgimhuytáplà G (20) = 100 . 6. Mtconcáhibơingưcdịngđvưtmtkhongcáchlà 300 km .Vntcnưclà 6km / h .Nu vntcbơicacákhinưcđngyênlà v( km/ h ) thìnănglưngtiêuhaocacátrong t giđưccho bicơngthc Ev( ) = cvt3 , trongđĩ c làmthngs, E( J ) .Tìmvntcbơicacákhinưcđng yênđnănglưngtiêuhaolàítnht. Hưngdn: Vntccákhidịngnưcđngyênlà v( km/ h ) ,thìvntccacákhingưcdịngnưclà v− 6( km / h ) 300 Thigiancacábơingưcdịngvikhongcách s= 300 km là t = v − 6
  7. NguynPhúKhánh–ðàLt Nănglưngtiêuhaocacá 300 218v3− v 2 Evcvtcv==3 3 Jv,6 >⇒= Ev ' 300 c ⇒ min Evkhiv = 9 () ()() 2 () v − 6 ()v − 6 7. Saukhipháthinmtbnhdch,cácchuyêngiaytưctínhsngưinhimbnhktngàyphát 2 3 hinbnhnhânđutiênđnngàyth t là ft( ) =45 tt − , t ∈  0;25  .Nucoi f( t ) làhàmsxác đnhtrênđon 0;25  thìđohàm f' ( t ) đưcxemlàtcđtruynbnh(ngưi/ngày)tithiđim t . a) Tínhtcđtruynbnhvàongàythnăm. b) Xácđnhngàymàtcđtruynbnhlàlnnhtvàtínhtcđđĩ. c) Xácđnhcácngàymàtcđtruynbnhlnhơn 600 . d) Xétchiubinthiêncahàms f( t ) trênđon 0;25  . Hưngdn: 2 3 ft( ) =45 tt − , t ∈  0;25  a) ft'( ) = 330 t( −⇒ t) f '5( ) = 375 b) ft''( ) =−⇒ 90 6 t max' ftf( ) = '15( ) = 675 c) fttt'( ) = 330( −>) 600 ⇔ t) 0,0 <<⇒ t 25 Hàms f( t ) đngbintrênđon 0;25  . 8.Hìnhthangcân ABCD cĩđáynh AB vàhaicnhbênđudài 1m .Tínhgĩc α =DAB = CBA sao π chohìnhthangcĩdintíchlnnht.Tínhdintíchlnnhtđĩ.Gis ADC= x,0 < x < 2 Hưngdn: AB+ CD π AHCDAH⊥, = sin; xDH = cos; xDC =+⇒= 12cos xS AH =+() 1cossin,0 x x << x 2 2 9.Trongcáctamgiácvuơngmàcnhhuyncĩđdàicnhbng 10 cm ,hãyxácđnhtamgiáccĩdin tíchlnnht. Hưngdn: Gi x, y làđdàihaicnhgĩcvuơngcatamgiácvuơngcĩcnhhuynbng 10 cm , 0<x < 10, 1 12 1 0<y < 10 và S= xycm22 ⇒= S() xy = x 22100 −<< x ,0 x 100 vi x2+ y 2 = 100 2() 4 4 () 10.Mthànhlanggiahainhàcĩhìnhdngcamtlăngtrđng.Haimtbên ABB'', A ACC '' A là haitmkínhhìnhchnht AA'20=( mAB) ,''5 =( mBC) , = xm( ) . a) Tínhthtích V cahìnhlăngtrtheo x b) Tìm x saochohìnhlăngtrcĩthtíchlnnhtvàtínhthtíchlnnhtđĩ. Hưngdn: Vx=5 100 −<<⇒ xx2 ,0 10 max VV = 52 = 250 x∈()0;10 ( )