Bài toán ba hình vuông

Nội dung text: Bài toán ba hình vuông

1. BÀI TOÁN BA HÌNH VUÔNG Nguyễn Đăng Khoa - THCS Lâm Thao - Lâm Thao - Phú Thọ Ngày 12 tháng 5 năm 2018 (Dành tặng bạn bè, thầy cô trường THCS Lâm Thao) 1 Bài toán ba hình vuông Cho ba hình vuông được sắp xếp như hình vẽ. Chứng minh rằng: α + β = 45◦ 2 Một số lời giải cho bài toán 3 hình vuông 2.1 Tiếp cận bài toán bằng phương pháp đồng dạng Lời giải 1: 1
2. Ta có: 4BCA ∼ 4BAD(c.g.c) nên BCAd + BDAd = BCAd + BACd = 45◦ Lời giải 2: Ta có: 4AIP ∼ 4AP Q(c.g.c) suy ra APd F + AQPd = APd F + APd I = IPFd = 45◦ Lời giải 3: Ta có: 4ABI ∼ 4AF P (c.g.c) suy ra APd F + AQPd = BIAd + BAId = IBCd = 45◦ Lời giải 4: 2
3. Ta có: 4CIQ ∼ 4EAP (c.g.c) suy ra APd E + AQEd = CQId + AQEd = COQd = 45◦ Lời giải 5: Ta có: 4IBQ ∼ 4AQE(c.g.c) suy ra APd E + AQEd = BQEd + IQBd = CQPd = 45◦ Lời giải 6: 3
4. Ta có: 4IAP ∼ 4EAQ(c.g.c) suy ra AQEd + APd E = IPAd + APd E = BPd E = 45◦ Lời giải 7: Ta có: 4IAQ ∼ 4EAP (c.g.c) suy ra AQEd + APd E = AQEd + IQAd = CQEd = 45◦ Trên đây là một vài lời giải cơ bản sử dụng đồng dạng để chứng minh cho bài toán trên, vẫn còn rất nhiều lời giải sử dụng đồng dạng khác có cấu hình tương tự các cách trên. Có lẽ những cách giải khác đó đang chờ bạn đọc khám phá. 4
5. 2.2 Tiếp cận bài toán bằng cặp tam giác bằng nhau, tam giác vuông cân Lời giải 8: Ta có: 4ABL = 4AEP = 4LF Q(c.g.c) nên ta có 4ALQ là tam giác vuông cân và APd E+AQEd = Fd QL + AQEd = AQLd = 45◦. Lời giải 9: Ta có: 4AKL = 4P EA(c.g.c) và 4AEQ = 4LIP (c.g.c). Suy ra tam giác ALP vuông cân và APd E + AQEd = APd E + IPLd = APd L = 45◦ 5
6. Lời giải 10:(Bạn đọc tự chứng minh) Lời giải 11:(Bạn đọc tự chứng minh) 6
7. Lời giải 12: Ta có: 4FPN = 4EAP (c.g.c) và 4ABN = 4AEQ(c.g.c) Suy ra 4AP N vuông cân và AQEd + APd E = ANBd + FNPd = ANPd = 45◦ Lời giải 13: 7
8. Ta có 4ANQ vuông cân và 4AEP ∼ 4NRQ(c.g.c). Từ đó suy ra điều cần chứng minh. Lời giải 14:(Bạn đọc tự chứng minh) Lời giải 15: 8
9. Ta có: 4AQM vuông cân và 4ACM ∼ 4AEP (c.g.c) từ đó ta được điều phải chứng minh. Lời giải 16:(Bạn đọc tự chứng minh) Lời giải 17: 9
10. Ta có: 4AQL vuông cân và 4AEP ∼ 4ACL(c.g.c) từ đó giúp ta có được điều phải chứng minh. 2.3 Tiếp cận bài toán bằng phương pháp sử dụng tứ giác nội tiếp Lời giải 18: 10
11. Ta có: AIQd = AEQd = 90◦ nên tứ giác AEQI nội tiếp từ đó AQEd = AIEd . Kết hợp với APd E = EIFd do 4IEF = 4P AE. Từ đó ta có lời giải bài toán. Lời giải 19: Ta có tứ giác AIPE nội tiếp suy ra APd E = AIEd . Kết hợp với 4IEH ∼ 4QAE(c.g.c) ta có điều phải chứng minh. Lời giải 20: Ta có tứ giác AP IE nội tiếp nên APd E = FIEd 11
12. AF QF Mặt khác: = = 2 ⇒ AQ k EI ⇒ AQEd = Fd EI. Suy ra APd E + AQEd = Fd EI + FIEd = FI EF IFQd = 45◦. Lời giải 21:(Bạn đọc tự chứng minh) Lời giải 22: 12
13. Ta có tứ giác IDQA nội tiếp nên APd E = IDBd = CQAd Suy ra APd E + AQEd = CQAd + AQEd = CQEd = 45◦ 2.4 Tiếp cận bài toán bằng cách sử dụng định lý Pythagoras Lời giải 23: Lấy K đối xứng với P qua E. Hạ QH vuông góc với KA. Đặt cạnh hình vuông là a(đvđd) Ta có: APd E + AQEd = AKEd + AQEd = HAQd . Vậy ta cần chứng minh tam giác HAQ vuông cân. √ Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác AEK ta tính được AK = 5a. √ √ Mặt khác AK.KH = KE.KQ = 10a2 ⇒ KH = 2 5a; AH = 5a. √ Ta lại áp dụng tiếp định lý Pythagoras và tam giác KHQ ta sẽ có: HQ = 5a. √ Suy ra HA = HQ = 5a. Suy ra tam giác HAQ vuông cân hay ta có điều phải chứng minh. Lời giải 24: 13
14. Lấy K đối xứng với Q qua E. Hạ PH vuông góc với KA. Làm tương tự lời giải 23 ta có điều phải chứng minh. Lời giải 25:(Bạn đọc tự chứng minh) Lấy K đối xứng với P qua E. Gọi H là chân đường cao kẻ từ K xuống QA. Ta có tam giác HKA vuông cân là hoàn tất chứng minh. Lời giải 26: Lấy K đối xứng với A qua E và các điểm khác như hình vẽ. Ta có: AQEd + APd E = QILd . Ta cần chứng minh tam giác ALI vuông cân. 14
15. √ √ 2 5 5 Ta tính được EH = a suy ra QL = a. 5 5 √ √ AI AK 4 3 5 6 5 Ta có: = = mà AT = AP + PT = a nên AI = a. AT AK + QT 5 2 √ 5 7 5 Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác QLA ta có: AL = a √ 5 5 Suy ra IL = AL − AI = a = QL. Vậy tam giác QIL vuông cân nên ta có điều phải chứng 5 minh. Lời giải 27: Lấy K đối xứng với P qua E. Lấy I đối xứng với A qua E. Kẻ QL vuông góc với KI. Ta có:APd E + AQEd = EKId + IQEd = QILd . Vậy ta cần đi chứng minh tam giác QIL vuông√ cân. √ Ta có: KI.KL = KE.KQ = 10a2 ⇒ KL = 2 5a ⇒ IL = 5a. √ Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác KLQ ta có: LQ = 5a = IL. Suy ra tam giác ILQ vuông cân. Vậy ta hoàn tất chứng minh. 15
16. 3 Tổng quát cho bài toán 3 hình vuông Bài toán tổng quát: Cho hình chữ nhật tạo bởi (2m + 1)x(2n + 1) hình vuông (với n > m) xếp kề nhau như hình vẽ. ◦ Chứng minh rằng: 6 OAn+m+1Bn−m + 6 OA2n+1B2m+1 = 45 Khi n = 1 và m = 0 thì ta có bài toán 3 hình vuông. Phần chứng minh bài toán tổng quát này để dành cho bạn đọc tìm tòi, khám phá. 16
17. 4 Tài liệu tham khảo [1] Nâng cao và phát triển toán 9 - Vũ Hữu Bình. Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Phương pháp sáng tạo các bài toán hình học trung học cơ sở - TS. Nguyễn Ngọc Giang. Nxb đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh [3] Tài liệu chuyên toán trung học cơ sở toán 9 - Vũ Hữu Bình(chủ biên). Nxb Giáo dục Việt Nam [4] Vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hình học 9 - Nguyễn Đức Tấn. Nxb Giáo dục Việt Nam [5] [6] [7] 17