Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán Khối 8

Nội dung text: Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán Khối 8

1. I-Phương trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c є Z 1.Các định lí: a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ước của c. b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phương trình ax + by = c thì nó có vô số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) được cho bởi công thức: b x x t 0 d a Với t є Z, d = (a,b) y y t 0 d 2.Cách giải: a.Tiến hành qua 5 bước sau: (cách giải chung) Bước 1: Tìm d = (a,b) Khi đó ax + by = c a1x + b1y = c1 Với a = da1; b = db1; c = dc1; (a1; b1) = 1 Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 2 số a1 và b1 Giả sử : a1 > b1 Ta có a1 = b1 q0 + r1 b1 = r1q1 + r2 r1 = r2q2 +r3 rn-2 = rn-1 + rn Với rn = 1 1 m Bước 3: Tính a0 + = 1 n a 1 1 a 2 1 a k Bước 4: Lấy nghiệm riêng (x0’; y0’) của phương trình a1x + b1y = 1 sao cho : Trang số: 1
2. x0’ = m x0’ = n hoặc y0’ = n y0’ = m Xác định dấu bằng cách thử trực tiếp được (x0’, y0’) Bước 5: x0 = c1 x0’; y0 = c1y0’ là nghiệm riêng của phương trình a1x + b1y = c1 nghiệm tổng quát của phương trình là: x = x0 + b1 t y = y0 -a1t (với t є Z ) Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên 5x - 7y = 3 Hướng dẫn: Ta nhận thấy (5, 7) = (7, 3) = 1 . Vậy phương trình có nghiệm nguyên Để giải ta tiến hành các bước: - Viết thuật toán Ơclit cho 2 số 5 và 7 m 1 3 7 = 5.1 + 2 = 1 + = n 2 2 5 = 2.2 + 1 - Tìm nghiệm riêng của phương trình 5x - 7y = 1 (x0’, y0’) = (3, 2) - Tìm nghiệm riêng của phương trình 5x - 7y = 3 là (x0, y0) = (9, 6) nghiệm tổng quát của phương trình là: x = 9 - 7t hay x = 7t + 2 y = 6 - 5t y = 5t + 1 (t є Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 6x -14 y = 12 Hướng dẫn: Ta nhận thấy (6 ,14) = (6 ,12) = 2 pt có nghiệm ta tiến hành giải như sau: Trang số: 2
3. Bước 1: 6x -14 y = 12 3x - 7y = 6 Bước 2: Viết thuật toán Ơclit cho 3 và 7 7 = 3.2 + 1 m 2 Bước 3: Tính = q0 = 2 = n 1 Bước 4: Tìm nghiệm riêng của phương trình 3x - 7y = 1 là (x0’, y0’) = (-2; -1) Bước 5: Xác định nghiệm riêng của pt 3x - 7y = 6 là (x0; y0) = (-12; -6) Nghiệm tổng quát của phương trình 6x -14 y = 12 là x = -12 - 7t hay x = 7t + 2 y = -6 - 3t y = 3t (t є Z ) * Nhận xét: Trên đây là phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên dạng ax + by = c Tuy nhiên khi đi vào bài toán cụ thể bằng các kiến thức về chia hết biết khéo léo sử dụng sẽ cho lời giải ngắn gọn. b.Cách giải thông thường khác (3 bước) Bước 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y) Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3: Thay y vào x sẽ tìm được nghiệm nguyên Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 Hướng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 x = 7 5y 2 x = 3 - 2y +1 y 2 1 y 1 y Do x, y nguyên nguyên. Đặt = t với (t є Z ) 2 2 y = 1 - 2t x = 3 - 2(1- 2t) + t = 5t + 1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: x = 5t + 1 Trang số: 3
4. y = -2t +1 (t є Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 6x - 15 y = 25 Hướng dẫn: Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25 Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình. 5x + 7y = 112 Hướng dẫn: Ta có 5x + 7y = 112 x = 112 7y = 22 - y + 2 2y 5 5 2 2y Do x, y nguyên nguyên hay (2 - 2y)  5 2(1-y)  5; (2 , 5) = 1 5 (1-y)  5 hay (y-1) 5 . Đặt y-1 = 5t (t є Z ) y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 - 7t lại có x > 0; y > 0 5t + 1 > 0 t > - 1 5 21 - 7t > 0 t < 3 t = 0 ;1; 2  Nếu t = 0 x = 21; y = 1 Nếu t = 1 x = 14; y = 6 Nếu t = 2 x = 7; y = 11 II. Phương trình nghiệm nguyên dạng a1x1 + a2x2 + + anxn= c (2) Với a, c є Z (i = 1,2 n); n 2 1.Định lý: Điều kiện cần và đủ để phương trình (2) có nghiệm là (a1, a2, an) \ c Trang số: 4
5. 2.Cách giải: Đưa phương trình về 1 trong 2 dạng sau: a. Có một hệ số của một ẩn bằng 1 Giả sử a1 = 1. Khi đó x1 = c - a2x2 - a3x3 - - anxn với x1, x2, ., xn є Z Nghiệm của phương trình là: (c - a2x2 - a3x3 - - anxn , x2, ., xn) với x2, ., xn nguyên bất kỳ b. Có hai hệ số là hai số nguyên tố cùng nhau Giả sử ( a1, a2 ) = 1. Khi đó pt (2) a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - - anxn Giải phương trình theo 2 ẩn x1, x2 Ví dụ 4: Giải phương trình trên tập số nguyên 6x + 15y + 10 z = 3 Hướng dẫn: Phương trình 6x + 15y + 10 z = 3 có nghiệm nguyên vì (6 ,15, 10) = 1 và 1/3 Cách 1: Ta biến đổi 6x + 15y + 10 z = 3 x + 10(y + z) + 5 ( x+ y) = 3 Đặt t = y + z, k = x + y với( t, k є Z). Ta có: x + 10 t + 5k = 3 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình x = 3- 10 t - 5k y = - 3 + 10 t + 6k ( t, k є Z) z = 3 - 9 t - 6k Cách 2: 6x + 15y + 10 z = 3 6 (x + z) + 15 y + 4 z = 3 Đặt x + z = t ta có 6t +15 y + 4z = 3 15 y + 4z = 3 - 6t Ta có cặp số (-1; 4) là nghiệm riêng của pt 15 y + 4z = 1 nên (-3 + 6t; 12 - 24 t) là nghiệm riêng của phương trình 15 y + 4z = 3 - 6t Do đó nghiệm tổng quát là: y = -3 + 6t + 4k (k є Z) z = 12 - 24t - 15 k lại có t = x + z x = t - z x = -12 = 25t + 15 k Trang số: 5
6. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình 6x + 15y + 10 z = 3 là: x = -12 = 25t + 15 k y = -3 + 6t + 4k với ( t, k є Z) z = 12 - 24t - 15 k III. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng g (x1, x2, ., xn) . h (x1, x2, ., xn) = a (3) Với a є Z 1.Cách giải: Đặt g (x1, x2, ., xn) = m (với m là ước của a) m h(x1, x2, ., xn) = a Giải hệ: g (x1, x2, ., xn) = m m h(x1, x2, ., xn) = a tìm được x1, x2, ., xn thử vào (3) ta được nghiệm của phương trình. 2.Chú ý: -Nếu a = 0 ta có g (x1, x2, ., xn) = 0 h(x1, x2, ., xn) = 0 -Nếu a = p với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x1, x2, ., xn) = p 1 h(x1, x2, ., xn) = p 2 Với 1 + 2 = a Ví dụ 5: Tìm x, y є Z biết x - y + 2xy = 6 Hướng dẫn: Ta có x - y + 2xy = 6 2 x - 2y + 4 xy = 12 2 x - 2y + 4 xy -1 = 11 (2x - 1) + 2y(2x-1) = 11 (2x - 1) (2y + 1) = 11 Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1) Ta có 2y + 1 = 1 (x; y) = (6; 0) 2x - 1 = 11 Trang số: 6
7. 2y + 1 = -1 (x; y) = (-5; -1) 2x - 1 = -11 2y + 1 = 11 (x; y) = (1, 5) 2x - 1 = 1 2y + 1 = -11 (x; y) = ( 0; -6) 2x - 1 = -1 Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 1 + x + x2 + x3 = 2y Hướng dẫn: Ta có 1 + x + x2 + x3 = 2y (1 + x) (1 + x2) = 2y 1 + x = 2 m và 1 + x2 = 2y - m (m nguyên dương) x = 2 m - 1 x 2 = 22m - 2 m +1 + 1 x2 = 2y - m - 1 x2 = 2y - m - 1 22m - 2m + 1 + 1 = 2 y - m - 1 2 y - m - 22m + 2m +1 = 2 Nếu m = 0 x = 0 ; y = 0 (t/m) Nếu m > 0 2 y - m - 1 - 22m - 1 + 2m = 1 mà 22m - 1và 2m đều là số chẵn nên: 2 y - m - 1 lẻ 2 y - m - 1 = 1 y - m - 1 = 0 y = m + 1 2 m - 22m - 1 = 0 2 m = 22m - 1 m = 2m - 1 m = 1 y = 2 ; x = 1 Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2) IV. Phương trình nghiệm nguyên đưa về dạng 2 2 2 [g1 (x1, x2, ., xn)] + [g2 (x1, x2, ., xn)] + + [gn (x1, x2, ., xn)] = 0 1.Cách giải:Ta thấy vế trái của phương trình là các số hạng không âm, tổng của chúng bằng 0 nên mỗi số hạng phải bằng 0 g1 (x1, x2, ., xn) = 0 Do vậy có: g2 (x1, x2, ., xn) = 0 Trang số: 7
8. gn (x1, x2, ., xn) = 0 Giải hệ này ta được x1 , x2 , , xn Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + y 2 -2xy + 2y - 6x + 5 = 0 Hướng dẫn: (Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái của phương trình) Ta có 2x2 + y 2 -2xy + 2y - 6x + 5 = 0 y 2 - 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 - 4x + 4 = 0 (y - x + 1)2 + (x - 2 )2 = 0 Vậy y - x + 1 = 0 hay x = 2 x - 2 = 0 y = 1 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là x = 2 ; y = 1 Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : (x -1) (y+1) = (x+ y)2 Hướng dẫn: Ta có (x-1) (y+1) = (x+ y)2 (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2 [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = 0 (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = 0 1 3 [(x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 = 0 2 4 y + 1 = 0 y = -1 1 (x-1) + (y+1) = 0 x = 1 2 Vậy nghiệm của phương trình là ( x = 1 ; y = -1) V- Phương trình nghiệm nguyên mà các ẩn có vai trò bình đẳng Khi làm toán ta thường gặp một số bài toán mà trong đó các ẩn bình đẳng với nhau . Để giải các bài toán đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ thể. ở đây ta nghiên cứu đến 1 phương pháp giải toán này: Ta giả sử các ẩn xảy ra theo một trật tự tăng dần rồi tiến hành giải Ví dụ 9: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình Trang số: 8
9. 1 1 1 9 + + + = 1 xy yz xz xyz Hướng dẫn: Giả sử 1 x y z x2 xy xz yz xyz 1 1 1 9 9 1 = + + + 1 + 1 + 1 + xy yz xz xyz x 2 x 2 x 2 x 2 12 1 x2 12 x є 1, 2,3 x 2 1 1 1 9 Nếu x = 1 + + + = 1 y yz z yz z + 1 + y + 9 = yz yz - z - y + 1 = 11 (y- 1) (z - 1) = 11 y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12 1 1 1 9 Nếu x = 2 + + + = 1 2y yz 2z 2yz (2y - 1) (2z-1) = 23 y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1 Nếu x = 3 (3y - 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị Ví dụ 10: Tìm x, y, z nguyên của phương trình xy yz xz + + = 3 z x y Hướng dẫn: Vì x, y, z bình đẳng nên ta giả sử 0 < x y z xy yz xz y z yz 3 = + + = x ( + ) + 2x + x z x y z y x 3x 3 x 1 x = 1 y z Với x = 1 ta có 3 = + yz + 2 + yz z y yz 1 y = 1 ; z = 1 Vậy nghiệm của pt (1,1,1) Trang số: 9
10. Ví dụ 11: Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm tự nhiên 1 1 1 + + = 1 (x,y 0) x 2 xy y 2 Hướng dẫn: Vì x, y có vai trò bình đẳng . Ta giả sử 1 x y Ta có x2 xy y2 (giả sử phương trình có nghiệm tự nhiên) 1 1 1 3 1 = + + x 2 3 x 2 xy y 2 x 2 1 1 x = 1( vì x є N* ) 1+ + = 1 (vô nghiệm) y y2 phương trình không có nghiệm là số tự nhiên. Chương II: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Không có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên nhưng để giải nó người ta thường áp dụng một số phương pháp sau hoặc kết hợp các phương pháp tuỳ theo từng bài cụ thể. Sau đây là một số phương pháp thường dùng I- Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 12: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn y2 - 2x2 = 1 Hướng dẫn: Ta có y2 - 2x2 = 1 y 2 = 2x2 +1 y là số lẻ Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1 x2 = 2 k2 + 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = 3 Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105 Hướng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ 2x + 5y + 1 lẻ 5y chẵn y chẵn 2 x + y + x2 + x = 2 x + y + x(x+ 1) lẻ Trang số: 10
11. có x(x+ 1) chẵn, y chẵn 2 x lẻ 2 x = 1 x = 0 Thay x = 0 vào phương trình ta được (5y + 1) ( y + 1) = 105 5y2 + 6y - 104 = 0 26 y = 4 hoặc y = ( loại) 5 Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phương trình II. Phương pháp 2 : Phương pháp phân tích Thực chất là biến đổi phương trình về dạng: g1 (x1, x2, ., xn) h (x1, x2, ., xn) = a Ví dụ 14: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 (x+1)4 - y2 = 1 [(x+1)2 -y] [(x+1)2+y]= 1 (x+1)2 - y = 1 1 + y = 1- y (x+1)2 + y = 1 (x+1)2 - y = -1 -1 + y = -1 - y (x+1)2 + y = -1 y = 0 (x+1)2 = 1 x+1 = 1 x = 0 hoặc x = -2 Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 ) Ví dụ 15: Tìm x, y nguyên sao cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố. Giải Ta có ( x + y ) P = xy với xy - Px - Py = 0 x ( y - P ) - ( Py - P2) = P2 ( y- P ) ( x- P ) = P2 Mà P nguyên tố P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P) Các cặp số (x,y ) là: Trang số: 11
12. (P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) và các hoán vị của chúng. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau: Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử x y z t 1 Ta có: 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt 5 5 5 5 10 30 2 = + + + + yzt xzt xyt xyz xyzt t 3 t 3 15 t = 1 hoặc t = 2 * Với t = 1 ta có 5 (x+ y + z + 1) + 10 = 2 xyz 5 5 5 15 2 = + + + 30 yz xz xy xyz z 2 z2 15 z = 1; 2 ;3  Nếu z = 1 có 5 (x+ y ) + 20 = 2xy (2x - 5) (2y - 5) = 65 x = 35 hoặc x = 9 y = 3 y= 5 Ta được nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị của chúng Với z = 2; z = 3 phương trình không có nghiệm nguyên * Với t = 2 thì 5 (x+ y + z ) + 20 = 4 xyz 5 5 5 20 35 4 = + + + xy yz xz xyz z 2 2 35 9 z = 2 (vì z t 2) z 4 (8x - 5) (8y - 5) = 265 Do x y z 2 nên 8x - 5 8y - 5 11 (8x - 5) (8y - 5) = 265 vô nghiệm vậy nghiệm của phương trình là bộ (x, y, z) Trang số: 12
13. = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) và các hoán vị Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z +t = xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử 1 x y z t có xyzt = x + y + z +t 4t Vì t nguyên dương xyz 4 xyz {1,2,3,4} Nếu xyz = 1 x = y = z = 1 3+t = t ( loại) Nếu xyz = 2 mà x y z x = 1; y=1; z = 2 t = 4 Nếu xyz = 3 mà x y z x = 1; y=1; z = 3 t = 5/2 ( loại ) Nếu xyz = 4 mà x y z x = 1; y=1; z = 4 hoặc x = 1; y=2; z = 2 t = 2 ( loại vì t z) hoặc t = 5/4 ( loại ) Vậy nghiệm của phương trình là bộ ( x;y;z) = (1;1;2;4) và các hoán vị của chúng. IV- Phương pháp loại trừ ( phương pháp 4 ) Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2 1! + 2! + + x! = y Hướng dẫn: Với x 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3 1! + 2! + + x! có tận cùng là 3, không là số chính phương (loại) Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên: x = 1 ; 2 ; 3 ; 4  Thử vào phương trình ta được (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn Ví dụ 19: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Hướng dẫn: Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x 4 y2 + 4y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4x2 + 4x + 1 Trang số: 13
14. (2x2 + x ) 2 - (2y + 1)2 = (3x + 1) (x +1) hay (2x2 + x + 1) 2 - (2y+ 1)2 = x(x-2) Ta thấy: Nếu x> 0 hoặc x 0 Nếu x > 2 hoặc x 0 Nếu x>2 hoặc x< 1 thì (2x2 + x) <(2y+1)2 < (2x2 + x + 1) 2 (loại) -1 x 2 x = 0, 1, -1, 2 Xét x = 2 y2 + y =30 y = 5 hoặc y= -6 Xét x= 1 y2 + y = 4 (loại) Xét x = 0 y2 + y = 0 y (y + 1) = 0 y = 0 hoặc y = -1 Xét x = -1 y2 + y = 0 y = 0 hoặc y= -1 Vậy nghệm nguyên của phương trình là: (x,y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1;0); (-1, -1) V.Phương pháp 5: Dùng chia hết và có dư Ví dụ 20: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - 2y2 = 5 Hướng dẫn: Xét x  5 mà x2 - 2y2 = 5 2y2  5 y2 5 (2,5) = 1 5 là số nguyên tố y2  25 x 2 - 2y2  25 lại có x 5 x2  25 5 25 loại Xét x  5 y  5 và x2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 y2 chia cho 5 có các số dư 1 hoặc 4 2y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3 x2 - 2 y2 chia cho 5 dư 1 hoặc 2(loại) Vậy phương trình x2 - 2y2 = 5 vô nghiệm Ví dụ 21: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn Trang số: 14
15. x2 + 3y = 3026 Hướng dẫn: Xét y = 0 x2 + 30 = 3026 x2 = 3025 mà x є N x = 55 Xét y > 0 3y  3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1 x2 + 3y chia cho 3 dư 0 hoặc 1 mà 3026 chia cho 3 dư 2 (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) VI. Phương pháp 6 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố Ví dụ 22: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + 1 = z Hướng dẫn: Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z z > 3 Mà z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn x = 2 Xét y = 2 22 + 1 = 5 là nguyên tố z = 5 (thoả mãn) Xét y> 2 y = 2k + 1 (k є N) 22k+1 + 1 = z 2. 4k + 1 = z Có 4 chia cho 3 dư 1 (2.4k+1)  3 z 3 (loại) Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn Ví dụ 23 : Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương Hướng dẫn: đặt 4p + 1 = x2 (x є N) x lẻ đặt x = 2k + 1 (k є N) 4p + 1 = (2k + 1)2 4p + 1 = 4k2 + 4k + 1 p =k(k+1) k(k + 1) chẵn p chẵn, p nguyên tố p = 2 VII. Phương pháp 7: Đưa về dạng tổng Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên của phương trình Trang số: 15
16. x2 + y2 - x - y = 8 Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 -x - y = 8 4 x2 + 4 y2 - 4 x -4y = 32 (4x2 - 4x +1) + (4y2 - 4y + 1) = 34 (2x - 1)2 + (2y - 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52 Do đó ta có 2x 1 = 3 hoặc2x 1 = 5 2y 1 = 52y 1 = 3 Giải ra ta được (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó. Ví dụ 25: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - 4xy + 5y2 = 169 Hướng dẫn: Ta có x2 - 4xy + 5y2 = 169 (x - 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 x 2y = 0 hoặc x 2y = 13 y = 13 y = 0 hoặc x 2y = 5 hoặc x 2y = 12 y = 12 y = 5 Giải ra ta được (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, - 5); (26, 13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0) VIII .Phương pháp 8: Lùi vô hạn Ví dụ 26: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình x2 - 5y2 = 0 Hướng dẫn: 2 2 Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x - 5y = 0 2 2 ta có x0 - 5y0 = 0 x0  5 đặt x0 = 5 x1 Trang số: 16
17. 2 2 2 2 Ta có (5x1) - 5y0 = 0 5x1 - y0 = 0 2 2 y0  5 đặt y0 = 5y1 x1 - 5y1 = 0 Vây nếu (x0,,y0) là nghiệm của phương trình đã cho thì x y (0 ,0 ) cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Cứ tiếp tục lập luận như 5 5 x y vậy (0 ,0 ) với k nguyên dương bất kỳ cũng là nghiệm của phương trình. 5k 5k Điều này xảy ra khi x0 = y0 = 0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0 Ví dụ 27: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 + y2 + z2 = x2 y2 Hướng dẫn: Nếu x, y đều là số lẻ x2 , y2 chia cho 4 đều dư 1 x2y2 chia cho 4 dư 1 x2 + y2 chia cho 4 dư 2 z2 chia cho 4 dư 3 (loại) mà x2 + y2 + z2 = x2 y2 x chẵn hoặc y chẵn * Giả sử x chẵn hoặc y chẵn * Giả sử x chẵn x2 , x2y2 chẵn x2  4 x2 y2  4 (y2 + z2)  4 y và z phải đồng thời chẵn Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta có 2 2 2 2 2 x1 + y1 +z1 = x1 y 1 2 2 2 2 2 lập luận tương tự ta có x2 + y2 + z2 = 16 x2 y 2 Trang số: 17
18. quá trình này cứ tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thì x y z (1 ,1 ,1 ) là nghiệm của phương trình với k nguyên dương 2k 2k 2k x1 = y1 = z1 = 0 Vậy pt có nghiệm là (0, 0, 0) IX. Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2 Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của tham số Ví dụ 28: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 Hướng dẫn: Ta có pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 y2 + (4x + 2)y + 3 x2 + 4x + 5 = ) (*) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt ' (*) ẩn y ta có y = -(2x + 1) x ' Do y nguyên, x nguyên x nguyên ' 2 2 2 Mà x = (2x + 1) - (3x + 4x + 5) = x - 4 x2 - 4 = n2 (n є Z) (x- n) (x+ n) = 4 x = 2 x - n = x + n = 2 Vậy phương trình có nghiệm nguyên (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Ví dụ 29: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - (y+5)x + 5y + 2 = 0 Hướng dẫn: Ta có x2 - (y+5)x + 5y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2 Ta có x1 + x2 = y + 5 x1 x2 = 5y + 2 Theo định lý Viet Trang số: 18
19. 5x1 + 5x2 = 5y + 25 x1x2 = 5y + 2 5 x1 + 5x2 - x1x2 = 23 (x1 -5) (x2 -5) = 2 Mà 2 = 1.2 = (-1)(-2) x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 y = 8 hoặc y = 2 thay vào phương trình ta tìm được các cặp số (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); là nghiệm của phương trình X- Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 30: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 -xy + y2 = 3 Hướng dẫn: y 3y 2 Ta có x2 -xy + y2 = 3 (x- )2 = 3 - 2 4 y 3y 2 Ta thấy (x- )2 0 3 - 0 -2 y 2 2 4 y= 2; 1; 0 thay vào phương trình tìm x Ta được các nghiệm nguyên của phương trình là : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Ví dụ 31: Chứng minh rằng phương trình x y z + + = b không có nghiệm tự nhiên khi b = 1 hoặc b = 2 nhưng có vô số y z x nghiệm tự nhiên khi b = 3 Hướng dẫn: x y z Ta thấy x, y, z є Z , , > 0 Theo bất đẳng thức Côsi ta có y z x x y z x y z ( + +) 3 27 ( )= 27 y z x y z x x y z + + 3 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z y z x x y z Vậy phương trình + + = b không có nghiệm là số tự nhiên khi b = 1 hoặc y z x b = 2 và có vô số nghiệm khi b = 3 chẳng hạn ( x = a, y = a, z = a) với a là số tự nhiên bất kỳ. Chương III: Bài tập luyện tập rèn tư duy sáng tạo Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình Trang số: 19
20. 2x + 3y = 11 Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1 Vì 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) - (2.4 + 3.1) = 0 2(x-4) + 3(y-1) = 0 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1 Đặt x - 4 = 3k và y - 1 = 2k với ( k Z) Vậy nghiệm tổng quát của pt là : x = 4 - 3k y = 1+ 2k ( k Z) *Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) của phương trình vô định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn. Cách 2: Dùng tính chất chia hết. Ta có 2x + 3y = 11 11 3y y 1 x= = 5- y- 2 2 y 1 Do x, y nguyên nguyên 2 y 1 đặt = k y = 2k +1 x = 4- 3k (k Z) 2 y = 2k +1 (k Z) Vậy nghiệm tổng quát: x = 4- 3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình 6x2 + 5y2 = 74 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 6x2 -24 = 50 - 5y2 6(x2 - 4) = 5(10 - y2) 6(x2 - 4) 5 x 2 - 4 5 (6, 5) = 1 x2 = 5t + 4 (t N) Thay x2 - 4 = 5t vào phương trình y2 = 10 - 6t 4 lại có x2 > 0 t > 5 5 y2 > 0 t < 3 Trang số: 20
21. t = 0 hoặc t = 1 với t = 0 ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) Với t = 1 ta có x2 = 9 x = 3 y2 = 4 y = 2 mà x, y Z x = 3, y = 2 thoả mãn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ và phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 là số chẵn y chẵn lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74 0 < y2 < 14 y2 = 4 x2 = 9 Cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75 x2 + 1  5 mà 0 < x2 12 x2 = 4 hoặc x2 = 9 Với x2 = 4 y2 = 10 loại Với x2 = 9 y2 = 4 thoả mãn cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = 2x2y2 Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta có a + b = 2 ab a b = a a =b b b  a Nếu a = b 2a = 2a2 a= a2 a= 0, a= 1 (a,b) = (0, 0); (1, 1) Nếu a = - b 2 b2 = 0 a = b = 0 (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 0 Ta giả sử x2 y2 x2 + y2 2 y2 2x2 y2 2y2 Trang số: 21
22. Nếu y = 0 phương trình có nghiệm (0;0) Nếu y 0 x2 1 x2= 0 hoặc x2 = 1 y2 = 0 (loại) hoặc y2 = 1 (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 = 4 x2y2 4 x2y2 -2x2 - 2y2 + 1 = 1 2x2 (2y2 - 1) - (2y2 - 1)= 1 (2x2 - 1) (2y2 - 1) = 1 Mà 1 = 1.1 = (-1)(-1) (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình x2 -3xy + 2y2+ 6 = 0 Hướng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phương trình 2 2 2 Ta coi phương trình x - 3xy + 2y + 6 = 0 ẩn x ta tính y = y - 24 Phương trình có nghiệm tự nhiên thì y là số chính phương y2 - 24 = k2 (y - k)(y + k) = 24 (k N) mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k và y - k cùng chẵn y+ k = 6 y = 5 hoặc y+ k = 12 y = 7 y - k = 4 y - k = 2 Thay vào ta tìm được (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x2 + 2y2 - 2xy + y + x - 10 = 0 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có phương trình đã cho 2x2 - (2y-1) x + 2y2 + y - 10 = 0 Coi x là ẩn y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x 2 2 2 Xét y = (2y - 1) - 4.2 (2y + y -10) = -12y - 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên thì y là số chính phương Đặt k2= -12y2 - 12 y + 81 k2 + 3(2y + 1) = 84 Trang số: 22
23. 2 (2y + 1)2 = 28 - k 28; (2y + 1) 2 lẻ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 3 y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phương trình ta tìm được các cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn Cách 2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y Z a, b Z phương trình 2x2 - (2y-1) x + 2y2 + y - 10 = 0 2a2 - 4b + a - 10 = 0 4a2 - 8b + 2a - 20 = 0 (a+ 1)2 + 3a2 - 8b - 21 = 0 (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 lại có (x+ y)2 4 xy a2 4b 8b + 21 2a2 + 21 (a+ 1)2 + 3a2 2a2 + 21 (a+ 1)2 21 mà (a+ 1)2 là số chính phương (a+ 1)2 {1, 4, 9, 16} a {0, 1, 2, 3} Với a = 0 12 + 3. 0 = 8b + 21 8b = 20 loại Với a = 1 (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 loại Với a = 2 (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = 0 b = 0 Với a = 3 (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loại Vậy được a = 2, b = 0 xy = 0 x + y = 2 (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn Bài 6 :Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x, y sao cho x2 + 4x - y2 = 1 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có x2 + 4x - y2 = 1 (x + 2)2 - y2 = 5 (x + 2+ y)(x+ 2-y) = 5 mà x, y nguyên dương (x + 2+ y) > (x+ 2-y) x+ 2 + y = 5 x = 1, y = 2 x + 2 - y = 1 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1, y = 2 Trang số: 23
24. Cách 2: Ta có x2 + 4 x - y2 = 1 x2 + 4 x - (y2 + 1) = 0 ' 2 y ' = 4 + y2 + 1 x = y 1 ' 2 2 Để phương trình có nghiệm thì y là số chính phương 4 + y + 1 = k (k- y) (k+ y) = 5 y = 2 thay vào phương trình tìm được x = 1 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là x = 1; y = 2 Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ. Hướng dẫn: Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương ) Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y) Đây là phương trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy - 4x - 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ x - 4 = 1 x = 5 hoặc x = 20 y-4 = 16 y = 20 y = 5 Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x y Ta có x, y nguyên dương xy = 4 (x + y) 4 + 4 = 1 x y lại có 4 4 4 + 4 8 8 1 x y x y x x x 8 x= 5, 6, 7, 8 Mà 4 1 x > 4 x Thử trực tiếp ta được x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ Trang số: 24
25. Bài 8: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm đường cứu nước thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng thêm 3. Hướng dẫn: Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất là 11 tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19 Gọi năm sinh của Bác là 18 xy (x, y nguyên dương, x, y 9) Theo bài ra ta có 1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3 11x + 2y = 99 2y  11 mà (2, 11) = 1 y 11 mà 0 y 9 y = 0 x = 9 Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890 Bài 9: Tìm tất cả các số nguyyên x, y thoả mãn phương trình x y = 3 x 2 xy y 2 7 Hướng dẫn: Ta có x y = 3 7 (x+ y) = 3 (x2 - xy + y2) x 2 xy y 2 7 Đặt x + y = p , x - y = q p, q nguyên x = p q ; y = p q thay vào phương trình có dạng 28 p = 3 (q2 + 3 q2) p > 0 2 2 và p 3 đặt p = 3k (k Z)0 28k = 3(3k2+ q2) k 3 và k có dạng 3m (m Z+) 28 m = 27m2 + q m( 28 - 27m) = q2 0 m = 0 hoặc m = 1 Với m = 0 k = 0 q = 0 x = y = 0 (loại) Với m = 1 thì k = 3; p = 9 28 = 27 + q2 q = 1 Khi p = 9, q = 1 thì x = 5, y= 4 khi p = 9, q = 1- thì x = 4, y= 5 Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bài 10: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số nguyên và có cạnh đo được 7 đơn vị Hướng dẫn: Trang số: 25
26. Giả sử cạnh đo được 7 đơn vị là cạnh huyền (a = 7) b2 + c2 = 72 b2 + c2  7 b 7; c 7 (vì số chính phương chia hết cho 7 dư 0, 1, 4, 2) lại có 0<b, c< 7 loại Cạnh đo được là cạnh góc vuông giả sử b = 7 Ta có a2 - c2 = 49 (a+c)(a-c) = 49 a+ c = 49 a = 25 Vậy tam giác cần dựng có số đo 3 cạnh a - c = 1 c = 24 là 7, 25, 24 Trang số: 26