Các chuyên đề bài tập Toán Lớp 8 - Nguyễn Thành Chung

65 trang dichphong 7040

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Các chuyên đề bài tập Toán Lớp 8 - Nguyễn Thành Chung", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

cac_chuyen_de_bai_tap_toan_lop_8_nguyen_thanh_chung.doc

Nội dung text: Các chuyên đề bài tập Toán Lớp 8 - Nguyễn Thành Chung

Website: 1  n2 - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra: 2 n 0 + n - n + 1 = 1 n(n - 1) = 0 (Tm đề bài) n 1 + n2 - n + 1 = -1 n2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm) Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho: a) n2 + 2n - 4  11 b) 2n3 + n2 + 7n + 1  2n - 1 c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1  n4 - 1 d) n3 - n2 + 2n + 7  n2 + 1 Giải a) Tách n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11) n2 + 2n - 4  11 (n2 - 2n - 15) + 11  11 (n - 3)(n + 5) + 11  11 n 31 1 n = B(11) + 3 (n - 3)(n + 5)  11 n + 5 1 1 n = B(11) - 5 b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5 Để 2n3 + n2 + 7n + 1  2n - 1 thì 5  2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) 2n 1 = - 5 n = - 2 2n 1 = -1 n = 0 2n 1 = 1 n = 1 2n 1 = 5 n = 3 Vậy: n 2; 0; 1; 3  thì 2n3 + n2 + 7n + 1  2n - 1 c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1  n4 - 1 Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1) = n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) A chia hết cho b nên n 1 A chia hết cho B n - 1  n + 1 (n + 1) - 2  n + 1 n 1 = - 2 n = -3 n 1 = - 1 n = - 2 2  n + 1 n 1 = 1 n = 0  n 1 = 2 n = 1 (khong Tm) Vậy: n 3; 2; 0  thì n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1  n4 - 1 d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8 Để n3 - n2 + 2n + 7  n2 + 1 thì n + 8  n2 + 1 (n + 8)(n - 8)  n2 + 1 65  n2 + 1 Lần lượt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; 2; 8 Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m) Vậy: n3 - n2 + 2n + 7  n2 + 1 khi n = 0, n = 8 Bài tập về nhà: Tìm số nguyên n để: a) n3 – 2 chia hết cho n – 2 b) n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1 c)5n – 2n chia hết cho 63 Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết Bài 1: Tìm n N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7 Giải n 3k k Nếu n = 3k ( k N) thì 2 – 1 = 2 – 1 = 8 - 1 chia hết cho 7 Nguyễn Thành Chung 11 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Nếu n = 3k + 1 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1 Nếu n = 3k + 2 ( k N) thì 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3 V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3 Bài 2: Tìm n N để: a) 3n – 1 chia hết cho 8 b) A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25 c) 5n – 2n chia hết cho 9 Giải a) Khi n = 2k (k N) thì 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8 Khi n = 2k + 1 (k N) thì 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2 Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k N) b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n = BS 25 + 2(9n + 16n) Nếu n = 2k +1(k N) thì 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25 Nếu n = 2k (k N) thì 9n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16n có chữ số tận cùng bằng 6 suy ra 2((9n + 16n) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25 c) Nếu n = 3k (k N) thì 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho 9 Nếu n = 3k + 1 thì 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k = BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3 Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5n – 2n không chia hết cho 9 CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC Ngày soạn: 19 – 02 - 2012 Ngày dạy: - 02 - 2012 A. Dạng 1: Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia 1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng) a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783): Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a f(a) = 0 b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1 c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì chia hết cho x + 1 Ví dụ : Không làm phép chia, hãy xét xem A = x3 – 9x2 + 6x + 16 chia hết cho B = x + 1, C = x – 3 không Kết quả: A chia hết cho B, không chia hết cho C 2. Đa thức chia có bậc hai trở lên Nguyễn Thành Chung 12 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì f(x) = g(x). Q(x) + ax + b Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia x7 + x5 + x3 + 1 cho x2 – 1 Cách 1: Ta biết rằng x2n – 1 chia hết cho x2 – 1 nên ta tách: x7 + x5 + x3 + 1 = (x7 – x) + (x5 – x) +(x3 – x) + 3x + 1 = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1 chia cho x2 – 1 dư 3x + 1 Cách 2: Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có: x7 + x5 + x3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1) với x = - 1 ta có - 2 = - a + b (2) Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1 Ghi nhớ: an – bn chia hết cho a – b (a -b) an + bn ( n lẻ) chia hết cho a + b (a -b) Ví dụ 2: Tìm dư của các phép chia a) x41 chia cho x2 + 1 b) x27 + x9 + x3 + x cho x2 – 1 c) x99 + x55 + x11 + x + 7 cho x2 + 1 Giải 41 41 40 4 10 4 a) x = x – x + x = x(x – 1) + x = x[(x ) – 1] + x chia cho x – 1 dư x nên chia cho x2 + 1 dư x 27 9 3 27 9 3 b) x + x + x + x = (x – x) + (x – x) + (x – x) + 4x = x(x26 – 1) + x(x8 – 1) + x(x2 – 1) + 4x chia cho x2 – 1 dư 4x c) x99 + x55 + x11 + x + 7 = x(x98 + 1) + x(x54 + 1) + x(x10 + 1) – 2x + 7 chia cho x2 + 1 dư – 2x + 7 B. Sơ đồ HORNƠ 1. Sơ đồ Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a (a là hằng số), ta sử dụng sơ đồ hornơ 3 2 Nếu đa thức bị chia là a0x + a1x + a2x + a3, đa thức chia là x – a ta được thương là 2 b0x + b1x + b2, dư r thì ta có Ví dụ: Đa thức bị chia: x3 -5x2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2 Ta có sơ đồ 1 - 5 8 - 4 2 1 2. 1 + (- 5) = -3 2.(- 3) + 8 = 2 r = 2. 2 +(- 4) = 0 Vậy: x3 -5x2 + 8x – 4 = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết 2. Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị của đa thức tại x = a Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a 1. Ví dụ 1: Tính giá trị của A = x3 + 3x2 – 4 tại x = 2010 Nguyễn Thành Chung 13 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Ta có sơ đồ: 1 3 0 -4 a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 0 2010.4046130 – 4 = 4046130 = 8132721296 Vậy: A(2010) = 8132721296 C. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác I. Phương pháp: 1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia 2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia 3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x)  g(x) f(x) g(x)  g(x) 4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia II. Ví dụ 1.Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 Ta có: x8n + x4n + 1 = x8n + 2x4n + 1 - x4n = (x4n + 1)2 - x4n = (x4n + x2n + 1)( x4n - x2n + 1) Ta lại có: x4n + x2n + 1 = x4n + 2x2n + 1 – x2n = (x2n + xn + 1)( x2n - xn + 1) chia hết cho x2n + xn + 1 Vậy: x8n + x4n + 1 chia hết cho x2n + xn + 1 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n N Ta có: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 = x3m + 1 - x + x3n + 2 – x2 + x2 + x + 1 = x(x3m – 1) + x2(x3n – 1) + (x2 + x + 1) Vì x3m – 1 và x3n – 1 chia hết cho x3 – 1 nên chia hết cho x2 + x + 1 Vậy: x3m + 1 + x3n + 2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi m, n N 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Ta có: f(x) – g(x) = x99 – x9 + x88 – x8 + x77 – x7 + + x11 – x + 1 – 1 = x9(x90 – 1) + x8(x80 – 1) + + x(x10 – 1) chia hết cho x10 – 1 Mà x10 – 1 = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + + x + 1) chia hết cho x9 + x8 + x7 + + x + 1 Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Nên f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 chia hết cho g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 4. Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x Đa thức g(x) = x2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1 Ta có f(0) = (-1)10 + 110 – 2 = 0 x = 0 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x f(1) = (12 + 1 – 1)10 + (12 – 1 + 1)10 – 2 = 0 x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x – 1, mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó f(x) chia hết cho x(x – 1) hay f(x) = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 – 2 chia hết cho g(x) = x2 – x 5. Ví dụ 5: Chứng minh rằng a) A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 chia hết cho D = (x – 1)2 c) C (x) = (x + 1)2n – x2n – 2x – 1 chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1) Giải a) A = x2 – x9 – x1945 = (x2 – x + 1) – (x9 + 1) – (x1945 – x) Nguyễn Thành Chung 14 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Ta có: x2 – x + 1 chia hết cho B = x2 – x + 1 x9 + 1 chia hết cho x3 + 1 nên chia hết cho B = x2 – x + 1 x1945 – x = x(x1944 – 1) chia hết cho x3 + 1 (cùng có nghiệm là x = - 1) nên chia hết cho B = x2 – x + 1 Vậy A = x2 – x9 – x1945 chia hết cho B = x2 – x + 1 b) C = 8x9 – 9x8 + 1 = 8x9 – 8 - 9x8 + 9 = 8(x9 – 1) – 9(x8 – 1) 8 7 7 6 = 8(x – 1)(x + x + + 1) – 9(x – 1)(x + x + + 1) = (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) (8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0 suy ra (x – 1)(8x8 – x7 – x6 – x5 – x4 – x3 – x2 – x – 1) chia hết cho (x – 1)2 c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = - 1 2 Ta có: C(0) = (0 + 1)2n – 02n – 2.0 – 1 = 0 x = 0 là nghiệm của C(x) C(-1) = (-1 + 1)2n – (- 1)2n – 2.(- 1) – 1 = 0 x = - 1 là nghiệm của C(x) 1 1 1 1 1 C(- ) = (- + 1)2n – (- )2n – 2.(- ) – 1 = 0 x = - là nghiệm của C(x) 2 2 2 2 2 Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia đpcm 6. Ví dụ 6: Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không có nghiệm nguyên Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong đó Q(x) là đa thức có hệ số nguyên, do đó f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1) Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ không thể là số lẻ, mâu thuẩn Vậy f(x) không có nghiệm nguyên Bài tập về nhà: Bài 1: Tìm số dư khi a) x43 chia cho x2 + 1 b) x77 + x55 + x33 + x11 + x + 9 cho x2 + 1 Bài 2: Tính giá trị của đa thức x4 + 3x3 – 8 tại x = 2009 Bài 3: Chứng minh rằng a) x50 + x10 + 1 chia hết cho x20 + x10 + 1 b) x10 – 10x + 9 chia hết cho x2 – 2x + 1 c) x4n + 2 + 2x2n + 1 + 1 chia hết cho x2 + 2x + 1 d) (x + 1)4n + 2 + (x – 1)4n + 2 chia hết cho x2 + 1 e) (xn – 1)(xn + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1)2 Nguyễn Thành Chung 15 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: CHUYÊN ĐỀ 5 : SỐ CHÍNH PHƯƠNG Ngày soạn: 23 – 02 - 2012 Ngày dạy: - 02 - 2012 I. Số chính phương: A. Một số kiến thức: Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác Ví dụ: 4 = 22; 9 = 32 A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2 + Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8 + Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 23 thì chia hết cho 24, n + Số 1 1 1 = a thì 9 9 9 = 9a 9a + 1 = 9 9 9 + 1 = 10 n n n B. Một số bài toán: 1. Bài 1: Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 Giải Gọi A = n2 (n N) a) xét n = 3k (k N) A = 9k2 nên chia hết cho 3 n = 3k 1 (k N) A = 9k2 6k + 1, chia cho 3 dư 1 Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 b) n = 2k (k N) thì A = 4k2 chia hết cho 4 n = 2k +1 (k N) thì A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1 Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1 Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4 + Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1) 2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương a) M = 19922 + 19932 + 19942 b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 d) Q = 12 + 22 + + 1002 e) R = 13 + 23 + + 1003 Giải a) các số 19932, 19942 chia cho 3 dư 1, còn 19922 chia hết cho 3 M chia cho 3 dư 2 do đó M không là số chính phương b) N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4, và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương c) P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương d) Q = 12 + 22 + + 1002 Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4 dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính phương e) R = 13 + 23 + + 1003 k(k + 1) k(k - 1) Gọi Ak = 1 + 2 + + k = , Ak – 1 = 1 + 2 + + k = 2 2 Nguyễn Thành Chung 16 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 2 2 3 Ta có: Ak – Ak -1 = k khi đó: 3 2 1 = A1 3 2 2 2 = A2 – A1 3 2 2 n = An = An - 1 Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có: 2 2 3 3 3 2 n(n + 1) 100(100 1) 2 1 + 2 + +n = An = 50.101 là số chính phương 2 2 3. Bài 3: CMR: Với mọi n N thì các số sau là số chính phương. a) A = (10n +10n-1 + +.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1 n 1 n+1 10 1 n 1 A = (11  1 )(10 + 5) + 1 .(10 5) 1 n 10 1 2 2 2 n+1 a - 1 a + 4a - 5 + 9 a + 4a + 4 a + 2 Đặt a = 10 thì A = (a + 5) + 1 = 9 9 9 3 b) B = 111 . 1 555  5 6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5) n n - 1 n n B = 111 . 1 555  5 + 1 = 111 . 1 . 10 + 555  5 + 1 = 111 . 1 . 10 + 5 111 . 1 + 1 n n n n n n n Đặt 11  1 = a thì 10 = 9a + 1 nên n 2 2 2 B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a + 6a + 1 = (3a + 1) = 3 3 34 n - 1 c) C =11  1 .+ 44 .4 + 1 2n n n Đặt a = 11  1 Thì C = 11  111  1 + 4. 11  1 + 1 = a. 10 + a + 4 a + 1 n n n n = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 n d) D = 99  9 800  0 1 . Đặt 99  9 = a 10 = a + 1 n n n n + 2 n + 1 n n D = 99  9 . 10 + 8. 10 + 1 = a . 100 . 10 + 80. 10 + 1 n 2 2 2 = 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a + 180a + 81 = (10a + 9) = (99  9 ) n + 1 n + 2 e) E = 11  1 22  2 5 = 11  1 22  2 00 + 25 = 11  1 .10 + 2. 11  1 00 + 25 n n + 1 n n + 1 n n 2 2 2 = [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a + 300a + 25 = (30a + 5) = (33  3 5) n f) F = 44  4 = 4.11  1 là số chính phương thì 11  1 là số chính phương 100 100 100 Số 11  1 là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1 100 Thật vậy: (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 chia 4 dư 1 11  1 có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3 100 vậy 11  1 không là số chính phương nên F = 44  4 không là số chính phương 100 100 Bài 4: Nguyễn Thành Chung 17 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: a) Cho các số A = 11  .11 ; B = 11  11 ; C = 66  66 2m m + 1 m CMR: A + B + C + 8 là số chính phương . 102m 1 10m 1 1 10m 1 Ta có: A ; B = ; C = 6. Nên: 9 9 9 102m 1 10m 1 1 10m 1 102m 1 10m 1 1 6(10m 1) 72 A + B + C + 8 = + + 6. + 8 = 9 9 9 9 m 2 m 2 102m 1 10.10m 1 6.10m 6 72 10 16.10 64 10m 8 = = 9 9 3 b) CMR: Với mọi x,y Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương. A = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2) [(x2 + 5xy + 4y2) + 2y2) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)2 + 2(x2 + 5xy + 4y2).y2 + y4 = [(x2 + 5xy + 4y2) + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương a) n2 – n + 2 b) n5 – n + 2 Giải a) Với n = 1 thì n2 – n + 2 = 2 không là số chính phương Với n = 2 thì n2 – n + 2 = 4 là số chính phương Với n > 2 thì n2 – n + 2 không là số chính phương Vì (n – 1)2 = n2 – (2n – 1) < n2 – (n - 2) < n2 b) Ta có n5 – n chia hết cho 5 Vì n5 – n = (n2 – 1).n.(n2 + 1) Với n = 5k thì n chia hết cho 5 Với n = 5k 1 thì n2 – 1 chia hết cho 5 Với n = 5k 2 thì n2 + 1 chia hết cho 5 Nên n5 – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n5 – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên n5 – n + 2 không là số chính phương Vậy : Không có giá trị nào của n thoã mãn bài toán Bài 6 : a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn Giải Mọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3 Với a = 4k + 1 thì a = 4k2 + 4k + 1 – 4k2 = (2k + 1)2 – (2k)2 Với a = 4k + 3 thì a = (4k2 + 8k + 4) – (4k2 + 4k + 1) = (2k + 2)2 – (2k + 1)2 b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nên A = (10k 3)2 =100k2 60k + 9 = 10.(10k2 6) + 9 Số chục của A là 10k2 6 là số chẵn (đpcm) Bài 7: Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vị Giải Gọi n2 = (10a + b)2 = 10.(10a2 + 2ab) + b2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ số tận cùng của b2 Nguyễn Thành Chung 18 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Theo đề bài , chữ số hàng chục của n2 là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b2 phải lẻ Xét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b2 = 16, b2 = 36 có chữ số hàng chục là chữ số lẻ, chúng đều tận cùng bằng 6 Vậy : n2 có chữ số hàng đơn vị là 6 * Bài tập về nhà: Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương a) A = 22  2 4 b) B = 11115556 c) C = 99 .9 00  0 25 50 n n 2 2 2 d) D = 44 .4 8 8 8 9 e) M =11. .1 – 22  2 f) N = 1 + 2 + + 56 n n - 1 2n n Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương a) n3 – n + 2 b) n4 – n + 2 Bài 3: Chứng minh rằng a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ Bài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị CHUYÊN ĐỀ 6 – ĐỒNG DƯ THỨC Ngày soạn: 28 - 02 - 2012 Ngày dạy: - 03 - 2012 A. ĐỊNH NGHĨA: Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m 0 thì ta nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a  b (mod m) Ví dụ:7  10 (mod 3) , 12  22 (mod 10) + Chú ý: a  b (mod m) a – b  m B. TÍNH CHẤT: 1. Tính chất phản xạ: a  a (mod m) 2. Tính chất đỗi xứng: a  b (mod m) b  a (mod m) 3. Tính chất bắc cầu: a  b (mod m), b  c (mod m) thì a  c (mod m) a  b (mod m) 4. Cộng , trừ từng vế: a c  b d (mod m) c  d (mod m) Hệ quả: a) a  b (mod m) a + c  b + c (mod m) b) a + b  c (mod m) a  c - b (mod m) c) a  b (mod m) a + km  b (mod m) a  b (mod m) 5. Nhân từng vế : ac  bd (mod m) c  d (mod m) Hệ quả: a) a  b (mod m) ac  bc (mod m) (c Z) b) a  b (mod m) an  bn (mod m) 6. Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương a  b (mod m) ac  bc (mod mc) Nguyễn Thành Chung 19 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Chẳng hạn: 11  3 (mod 4) 22  6 (mod 8) ac  bc (mod m) 7. a  b (mod m) (c, m) = 1 16  2 (mod 7) Chẳng hạn : 8  1 (mod 7) (2, 7) = 1 C. CÁC VÍ DỤ: 1. Ví dụ 1: Tìm số dư khi chia 9294 cho 15 Giải Ta thấy 92  2 (mod 15) 9294  294 (mod 15) (1) Lại có 24  1 (mod 15) (24)23. 22  4 (mod 15) hay 294  4 (mod 15) (2) Từ (1) và (2) suy ra 9294  4 (mod 15) tức là 9294 chia 15 thì dư 4 2. Ví dụ 2: Chứng minh: trong các số có dạng 2n – 4(n N), có vô số số chia hết cho 5 Thật vậy: Từ 24  1 (mod 5) 24k  1 (mod 5) (1) Lại có 22  4 (mod 5) (2) Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 24k + 2  4 (mod 5) 24k + 2 - 4  0 (mod 5) Hay 24k + 2 - 4 chia hết cho 5 với mọi k = 0, 1, 2, hay ta được vô số số dạng 2n – 4 (n N) chia hết cho 5 Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường quan tâm đến a  1 (mod m) a  1 (mod m) an  1 (mod m) a  -1 (mod m) an  (-1)n (mod m) 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng a) 2015 – 1 chia hết cho 11 b) 230 + 330 chi hết cho 13 c) 555222 + 222555 chia hết cho 7 Giải a) 25  - 1 (mod 11) (1); 10  - 1 (mod 11) 105  - 1 (mod 11) (2) Từ (1) và (2) suy ra 25. 105  1 (mod 11) 205  1 (mod 11) 205 – 1  0 (mod 11) b) 26  - 1 (mod 13) 230  - 1 (mod 13) (3) 33  1 (mod 13) 330  1 (mod 13) (4) Từ (3) và (4) suy ra 230 + 330  - 1 + 1 (mod 13) 230 + 330  0 (mod 13) Vậy: 230 + 330 chi hết cho 13 c) 555  2 (mod 7) 555222  2222 (mod 7) (5) 23  1 (mod 7) (23)74  1 (mod 7) 555222  1 (mod 7) (6) 222  - 2 (mod 7) 222555  (-2)555 (mod 7) Lại có (-2)3  - 1 (mod 7) [(-2)3]185  - 1 (mod 7) 222555  - 1 (mod 7) Ta suy ra 555222 + 222555  1 - 1 (mod 7) hay 555222 + 222555 chia hết cho 7 4n + 1 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng số 22 + 7 chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n Thật vậy:Ta có: 25  - 1 (mod 11) 210  1 (mod 11) Xét số dư khi chia 24n + 1 cho 10. Ta có: 24  1 (mod 5) 24n  1 (mod 5) 2.24n  2 (mod 10) 24n + 1  2 (mod 10) 24n + 1 = 10 k + 2 4n + 1 Nên 22 + 7 = 210k + 2 + 7 =4. 210k + 7 = 4.(BS 11 + 1)k + 7 = 4.(BS 11 + 1k) + 7 = BS 11 + 11 chia hết cho 11 Bài tập về nhà: Nguyễn Thành Chung 20 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Bài 1: CMR: a) 228 – 1 chia hết cho 29 b)Trong các số có dạng2n – 3 có vô số số chia hết cho 13 Bài 2: Tìm số dư khi chia A = 2011 + 2212 + 19962009 cho 7. CHUYÊN ĐỀ 7 – CÁC BÀI TOÁN VỀ BIỂU THỨC HỮU TỈ Ngày soạn: 01 - 3 - 2012 Ngày dạy: - 03 - 2012 A. Nhắc lại kiến thức: Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ a) Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0 b) Phân tích tử thành nhân , chia tử và mẫu cho nhân tử chung B. Bài tập: 4 2 Bài 1: Cho biểu thức A = x 5x 4 x4 10x2 9 a) Rút gọn A b) tìm x để A = 0 c) Tìm giá trị của A khi 2x 1 7 Giải a)Đkxđ : x4 – 10x2 + 9 0 [(x2)2 – x2] – (9x2 – 9) 0 x2(x2 – 1) – 9(x2 – 1) 0 x 1 (x2 – 1)(x2 – 9) 0 (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) 0 x 3 Tử : x4 – 5x2 + 4 = [(x2)2 – x2] – (x2 – 4) = x2(x2 – 1) – 4(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2) (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2) Với x 1; x 3 thì A = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3) (x - 2)(x + 2) b) A = 0 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0 x = 2 (x - 3)(x + 3) 2x 1 7 2x 8 x 4 c) 2x 1 7 2x 1 7 2x 6 x 3 (x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12 * Với x = 4 thì A = (x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) 7 * Với x = - 3 thì A không xác định 2. Bài 2: 2x3 7x2 12x 45 Cho biểu thức B = 3x3 19x2 33x 9 a) Rút gọn B b) Tìm x để B > 0 Giải a) Phân tích mẫu: 3x3 – 19x2 + 33x – 9 = (3x3 – 9x2) – (10x2 – 30x) + (3x – 9) = (x – 3)(3x2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3)2(3x – 1) 1 Đkxđ: (x – 3)2(3x – 1) 0 x 3 và x 3 Nguyễn Thành Chung 21 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: b) Phân tích tử, ta có: 2x3 – 7x2 – 12x + 45 = (2x3 – 6x2 ) - (x2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x2 – x – 15) = (x – 3)[(2x2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3)2(2x + 5) 1 Với x 3 và x 3 2x3 7x2 12x 45 (x - 3)2 (2x + 5) 2x + 5 Thì B = = 3x3 19x2 33x 9 (x - 3)2 (3x - 1) 3x - 1 1 x 3 3x 1 0 5 1 x x 2x + 5 2x 5 0 2 3 c) B > 0 > 0 3x - 1 3x 1 0 1 5 x x 2x 5 0 3 2 5 x 2 3. Bài 3 1 2 5 x 1 2x Cho biểu thức C = 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên Giải a) Đkxđ: x 1 1 2 5 x 1 2x 1 x 2(1 x) 5 (x 1)(x 1) 2 C = 2 : 2 . 1 x x 1 1 x x 1 (1 x)(1 x) 1 2x 2x 1 b) B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì 2 có giá trị nguyên 2x 1 2x 1 1 x 1 2x 1 1 x 0 2x – 1 là Ư(2) 2x 1 2 x 1,5 2x 1 2 x 1 Đối chiếu Đkxđ thì chỉ có x = 0 thoả mãn 4. Bài 4 3 2 Cho biểu thức D = x x 2x x x 2 x2 4 a) Rút gọn biểu thức D b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên c) Tìm giá trị của D khi x = 6 Giải a) Nếu x + 2 > 0 thì x 2 = x + 2 nên x3 x2 2x x3 x2 2x x(x 1)(x 2) x2 x D = = x x 2 x2 4 x(x 2) x2 4 x(x 2) (x 2)(x 2) 2 Nếu x + 2 < 0 thì x 2 = - (x + 2) nên x3 x2 2x x3 x2 2x x(x 1)(x 2) x D = = x x 2 x2 4 x(x 2) x2 4 x(x 2) (x 2)(x 2) 2 Nguyễn Thành Chung 22 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Nếu x + 2 = 0 x = -2 thì biểu thức D không xác định 2 b) Để D có giá trị nguyên thì x x hoặc x có giá trị nguyên 2 2 x2 x x2 - x  2 x(x - 1)  2 +) có giá trị nguyên 2 x > - 2 x > - 2 Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2 x x  2 x = 2k +) có giá trị nguyên x 2k (k Z; k - 2 nên D = = 15 2 2 * Dạng 2: Các biểu thức có tính quy luật Bài 1: Rút gọn các biểu thức 3 5 2n 1 a) A = (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2 Phương pháp: Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm ra quy luật 2n 1 2n 1 1 1 Ta có = Nên n(n 1)2 n2 (n 1)2 n2 (n 1)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n(n 1) A = 12 22 22 32 32 n2 n2 (n 1)2 1 (n 1)2 (n 1)2 1 1 1 1 b) B = 1 2 . 1 2 . 1 2 1 2 2 3 4 n 1 k 2 1 (k 1)(k 1) Ta có 1 Nên k 2 k 2 k 2 B = 1.3 2.4 3.5 (n 1)(n 1) 1.3.2.4 (n 1)(n 1) 1.2.3 (n 1) 3.4.5 (n 1) 1 n 1 n 1 . . . . 22 32 42 n2 22.32.42 n2 2.3.4 (n 1)n 2.3.4 n n 2 2n 150 150 150 150 1 1 1 1 1 1 1 c) C = = 150. . 5.8 8.11 11.14 47.50 3 5 8 8 11 47 50 1 1 9 = 50. 50. 45 5 50 10 1 1 1 1 d) D = = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1)n n(n 1) 1 1 1 (n 1)(n 2) = 2 1.2 n(n 1) 4n(n 1) Bài 2: m 1 m 2 2 1 1 1 1 1 A a) Cho A = ; B = . Tính 1 2 m 2 n 1 2 3 4 n B Ta có n n n n 1 1 1 1 A = 1 1 .  1 n (n 1) 1 2 n 2 n 1 n 1 1 2 n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 A = n 1 n nB = n 1 2 n 2 n 1 2 n 2 n 1 B Nguyễn Thành Chung 23 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 1 1 1 1 1 1 b) A = ; B = 1 + 1.(2n - 1) 3.(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 3 2n - 1 Tính A : B Giải 1 1 1 1 1 1 1 A = 1 1 2n 2n - 1 3 2n - 3 2n - 3 3 2n - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n 3 2n - 1 2n - 3 2n - 1 2n - 3 3 1 1 1 1 1 A 1 .2. 1 .2.B 2n 3 2n - 1 2n - 3 2n B n Bài tập về nhà Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 1 12 32 52 n2 a) + + b) . . 1.2 2.3 (n - 1)n 22 1 42 1 62 1 (n + 1)2 1 1 1 1 c) + + 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n +2) * Dạng 3: Rút gọn; tính giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện của biến 1 Bài 1: Cho x + = 3 . TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : x 1 1 1 1 a) A = x2 + ; b) B = x3 + ; c) C = x4 + ; d) D = x5 + . x2 x3 x4 x5 Lêi gi¶i 2 2 1 æ 1ö a) A = x + = çx + ÷ - 2 = 9 - 2 = 7 ; x2 èç xø÷ 3 3 1 æ 1ö æ 1ö b) B = x + = çx + ÷ - 3çx + ÷= 27- 9 = 18 ; x3 èç xø÷ èç xø÷ 2 4 1 æ2 1 ö c) C = x + = çx + ÷ - 2 = 49 - 2 = 47 ; x4 èç x2 ø÷ æ2 1 öæ3 1 ö 5 1 1 d) A.B = çx + ÷çx + ÷= x + + x + = D + 3 D = 7.18 – 3 = 123. èç x2 ø÷èç x3 ø÷ x x5 x y z a b c Bài 2: Cho + + = 2 (1); + + = 2 (2). a b c x y z 2 2 2 a b c Tính giá trị biểu thức D = + + x y z Từ (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3) Từ (2) suy ra 2 2 2 2 2 2 a b c ab ac bc a b c ab ac bc + + + 2 . 4 + + 4 2 . x y z xy xz yz x y z xy xz yz (4) Thay (3) vào (4) ta có D = 4 – 2.0 = 4 Bài 3 Nguyễn Thành Chung 24 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: a b 2c a) Cho abc = 2; rút gọn biểu thức A = ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2 a ab 2c a ab 2c Ta có : A = ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc a ab 2c a ab 2 ab + a + 2 = 1 ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab ab + a + 2 a 2 b2 c2 b) Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B = a 2 - b2 - c2 b2 - c2 - a 2 c2 - b2 - a 2 Từ a + b + c = 0 a = -(b + c) a2 = b2 + c2 + 2bc a2 - b2 - c2 = 2bc Tương tự ta có: b2 - a2 - c2 = 2ac ; c2 - b2 - a2 = 2ab (Hoán vị vòng quanh), nên a 2 b2 c2 a3 b3 c3 B = (1) 2bc 2ac 2ab 2abc a + b + c = 0 -a = (b + c) -a3 = b3 + c3 + 3bc(b + c) -a3 = b3 + c3 – 3abc a3 + b3 + c3 = 3abc (2) a3 b3 c3 3abc 3 Thay (2) vào (1) ta có B = (Vì abc 0) 2abc 2abc 2 c) Cho a, b, c từng đôi một khác nhau thoả mãn: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 a 2 b2 c2 Rút gọn biểu thức C = + a 2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab Từ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 ab + ac + bc = 0 a2 + 2bc = a2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c) Tương tự: b2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c2 + 2ab = (c – a)(c – b) a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 C = + - (a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c) a 2 (b - c) b2 (a - c) c2 (b - c) (a - b)(a - c)(b - c) = - 1 (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) * Dạng 4: Chứng minh đẳng thức thoả mãn điều kiện của biến 1 1 1 1 1 1 1. Bài 1: Cho + + = 2 (1); + + = 2 (2). a b c a 2 b2 c2 Chứng minh rằng: a + b + c = abc Từ (1) suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 + 2 + 2 + 2. + + 4 2. + + 4 2 + 2 + 2 a b c ab bc ac ab bc ac a b c 1 1 1 a + b + c + + 1 1 a + b + c = abc ab bc ac abc 1 1 1 1 2. Bài 2: Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện + + = . a b c a + b + c Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. 1 1 1 1 Từ đó suy ra rằng :+ + = . a 2009 b2009 c2009 a 2009 + b2009 + c2009 1 1 1 1 1 1 1 1 a + b a + b Ta có : + + = + + - = 0 + = 0 a b c a + b + c a b c a + b + c ab c(a + b + c) éa + b = 0 éa = - b c(a + b + c) + ab ê ê (a + b). = 0 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û êb + c = 0 Û êb = - c ê ê abc(a + b + c) ê ê ëc + a = 0 ëc = - a Nguyễn Thành Chung 25 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 1 1 1 1 1 1 1 Từ đó suy ra : + + = + + = a 2009 b2009 c2009 a 2009 (- c)2009 c2009 a 2009 1 1 1 = = a2009 + b2009 + c2009 a2009 + (- c)2009 + c2009 a2009 1 1 1 1 + + = . a2009 b2009 c2009 a2009 + b2009 + c2009 a b c b c a 3. Bài 3: Cho + + (1) b c a a b c chứng minh rằng : trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau Từ (1) a 2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 + a 2b a 2 (b - c) - a(c2 b2 ) bc(c - b) = 0 (c – b)(a2 – ac = ab + bc) = 0 (c – b)(a – b)( a – c) = 0 đpcm 4. Bài 4: Cho (a2 – bc)(b – abc) = (b2 – ac)(a – abc); abc 0 và a b 1 1 1 Chứng minh rằng: + + = a + b + c a b c Từ GT a2b – b2c - a3bc + ab2c2 = ab2 – a2c – ab3c + a2bc2 (a2b – ab2) + (a2c – b2c) = abc2(a – b) + abc(a - b)(a + b) (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c) ab + ac + bc 1 1 1 = a + b + c + + = a + b + c abc a b c 5. Bài 5: a b c Cho a + b + c = x + y + z = + + = 0 . Chứng minh rằng: ax2 + by2 + cz2 = 0 x y z Từ x + y + z = 0 x2 = (y + z)2 ; y2 = (x + z)2 ; z2 = (y + x)2 ax2 + by2 + cz2 = a(y + z)2 + b(x + z)2 + c (y + x)2 = = (b + c)x2 + (a + c)y2 + (a + b)z2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1) Từ a + b + c = 0 - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2) a b c Từ + + = 0 ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vào (1); ta có: x y z ax2 + by2 + cz2 = -( ax2 + by2 + cz2 ) ax2 + by2 + cz2 = 0 6. Bài 6: a b c a b c Cho + 0 ; chứng minh: + 0 b - c c - a a - b (b - c)2 (c - a)2 (a - b)2 a b c a b c b2 ab + ac - c2 Từ + 0 = b - c c - a a - b b - c a - c b - a (a - b)(c - a) a b2 ab + ac - c2 1 (1) (Nhân hai vế với ) (b - c)2 (a - b)(c - a)(b - c) b - c b c2 bc + ba - a 2 c a 2 ac + cb - b2 Tương tự, ta có: (2) ; (3) (c - a)2 (a - b)(c - a)(b - c) (a - b)2 (a - b)(c - a)(b - c) Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm 7. Bài 7: a - b b - c c - a c a b Cho a + b + c = 0; chứng minh: + + = 9 (1) c a b a - b b - c c - a a - b b - c c - a c 1 a 1 b 1 Đặt = x ; y; z = ; c a b a - b x b - c y c - a z Nguyễn Thành Chung 26 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 1 1 1 (1) x + y + z + + 9 x y z 1 1 1 y + z x + z x + y Ta có: x + y + z + + 3 + + (2) x y z x y z y + z b - c c - a c b2 bc + ac - a 2 c c(a - b)(c - a - b) c(c - a - b) Ta lại có: . . x a b a - b ab a - b ab(a - b) ab c2c - (a + b + c) 2c2 = (3) ab ab x + z 2a 2 x + y 2b2 Tương tự, ta có: (4) ; (5) y bc z ac Thay (3), (4) và (5) vào (2) ta có: 2 2 2 1 1 1 2c 2a 2b 2 3 3 3 x + y + z + + 3 + = 3 + (a + b + c ) (6) x y z ab bc ac abc Từ a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc (7) ? 1 1 1 2 Thay (7) vào (6) ta có: x + y + z + + 3 + . 3abc = 3 + 6 = 9 x y z abc Bài tập về nhà: Bài 1: 2 x 3 x 2 x x Cho biểu thức A = 2 : 1 x 3 x 2 x 5x 6 x 1 a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 0; A > 0 Bài 2: 3 2 Cho biểu thức B = 3y 7y 5y 1 2y3 y2 4y 3 a) Rút gọn B b) Tìm số nguyên y để 2D có giá trị nguyên 2y + 3 c) Tìm số nguyên y để B 1 Bài 3 : 1 1 1 yz xz xy cho + + 0 ; tính giá trị biểu thức A = + + x y z x2 y2 z2 xyz xyz xyz HD: A = + + ; vận dụng a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc x3 y3 z3 Bài 4: 3 3 3 a b c Cho a + b + c = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A = + 1 + 1 + 1 b c a Bài 5: y z x z x y Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: 3 0 x y z Bài 6: a b c Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1; . Chứng minh xy + yz + xz = 0 x y z Nguyễn Thành Chung 27 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: CHUYÊN ĐỀ 8 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT Ngày soạn: 06 – 03 - 2012 Ngày dạy: 09 - 03 - 2012 A.Kiến thức: 1. Định lí Ta-lét: A ABC  AM AN * Định lí Talét  = M N MN // BC AB AC AM AN MN * Hệ quả: MN // BC = B C AB AC BC B. Bài tập áp dụng: 1. Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC ở G B a) chứng minh: EG // CD b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. A EG O Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD E G OE OA a) Vì AE // BC = (1) OB OC OB OG BG // AC = (2) OD OA D C OE OG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = OD OC EG // CD b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên AB OA OD CD AB CD = = AB2 CD. EG EG OG OB AB EG AB Bài 2: Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH. CK D Giải A Đặt AB = c, AC = b. H BD // AC (cùng vuông góc với AB) K F AH AC b AH b AH b nên HB BD c HB c HB + AH b + c AH b AH b b.c B C Hay AH (1) AB b + c c b + c b + c AK AB c AK c AK c AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c Hay AK (2) AC b + c b b + c b + c Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK Nguyễn Thành Chung 28 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: AH AC b AK AB c AH KC AH KC b) Từ và suy ra (Vì AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH AH2 = BH . KC 3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng: a) AE2 = EK. EG 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. DG có giá trị không đổi Giải A a B a) Vì ABCD là hình bình hành và K BC nên AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: b K E EK EB AE EK AE = = AE2 EK.EG AE ED EG AE EG C G AE DE AE BE D b) Ta có: = ; = nên AK DB AG BD AE AE BE DE BD 1 1 1 1 1 = 1 AE 1 (ñpcm) AK AG BD DB BD AK AG AE AK AG BK AB BK a KC CG KC CG c) Ta có: = = (1); = = (2) KC CG KC CG AD DG b DG BK a Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: = BK. DG = ab không đổi (Vì a = AB; b b DG = AD là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi) 4. Bài 4: Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia B trong các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh E rằng: A a) EG = FH P H F b) EG vuông góc với FH O Giải D Q Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG 1 1 BM 1 BE BM 1 N M Ta có CM = CF = BC = = = 2 3 BC 3 BA BC 3 G EM BM 2 2 EM // AC = EM = AC (1) AC BE 3 3 C NF CF 2 2 T-¬ng tù, ta cã: NF // BD = NF = BD (2) BD CB 3 3 mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1 AC (b) 3 Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD EM  MG E· MG = 900 (4) Tương tự, ta có: F· NH = 900 (5) Từ (4) và (5) suy ra E· MG = F· NH = 900 (c) Từ (a), (b), (c) suy ra EMG = FNH (c.g.c) EG = FH b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì Nguyễn Thành Chung 29 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: P· QF = 900 Q· PF + Q· FP = 900 mà Q· PF = O· PE (đối đỉnh), O· EP = Q· FP ( EMG = FNH) Suy ra E· OP = P· QF = 900 EO  OP EG  FH 5. Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải CP AF a) EP // AC = (1) PB FB CM DC AK // CD = (2) D C AM AK các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) CP CM I P Kết hợp (1), (2) và (3) ta có MP // AB M PB AM (Định lí Ta-lét đảo) (4) CP CM K F B b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có: = A PB AM DC DC AK FB DC DI CP DI Mà (Do FB // DC) IP // DC // AB (5) FB IB PB IB Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy 6. Bài 6: Cho ABC có BC < BA. Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE của A· BC ; đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh rằng đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần bằng nhau Giải Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của DF và BC KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên KBC cân tại B BK = BC và FC = FK Mặt khác D là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của AKC DF // AK hay DM // AB Suy ra M là trung điểm của BC 1 DF = AK (DF là đường trung bình của AKC), ta có 2 BG BK BG BK 2BK = ( do DF // BK) = (1) GD DF GD DF AK CE DC - DE DC AD Mổt khác 1 1 (Vì AD = DC) DE DE DE DE CE AE - DE DC AD 1 1 DE DE DE DE Nguyễn Thành Chung 30 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: CE AE - DE AE AB AE AB B Hay 1 2 2 (vì = : DE DE DE DF DE DF Do DF // AB) CE AK + BK 2(AK + BK) M Suy ra 2 2 (Do DF = K DE DE AK G 1 CE 2(AK + BK) 2BK F AK) 2 (2) 2 DE AK AK BG CE A D E C Từ (1) và (2) suy ra = EG // BC GD DE OG OE FO Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có OG = = OE = MC MB FM Bài tập về nhà Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F a) Chứng minh FE // BD b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H. Chứng minh: CG. DH = BG. CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F. Chứng minh: a) AE2 = EB. FE 2 AN b) EB = . EF DF CHUYÊN ĐỀ 9 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Ngày soạn: 07 – 3 - 2013 Ngày dạy: - 03 - 2013 A. Kiến thức: 1. Định lí Ta-lét: A ABC  AM AN * Định lí Talét  = MN // BC AB AC M N AM AN MN * Hệ quả: MN // BC = AB AC BC 2. Tính chất đường phân giác: B C BD AB ABC ,AD là phân giác góc A = CD AC BD' AB A AD’là phân giác góc ngoài tại A: = CD' AC B. Bài tập vận dụng B D C 1. Bài 1: A Cho ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD D' B C Nguyễn Thành Chung 31 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số: AI ID Giải BD AB c A a) AD laø phaân giaùc cuûa B· AC neân CD AC b BD c BD c ac BD = c CD + BD b + c a b + c b + c b ac ab I Do ñoù CD = a - = b + c b + c AI AB ac b + c b) BI laø phaân giaùc cuûa A· BC neân c : ID BD b + c a B D C 2. Baøi 2: a Cho ABC, coù Bµ 4 DM Giaûi Aµ Aµ + Cµ 1800 - Bµ a)Ta coù A· DB = Cµ + > = 600 2 2 2 A· DB > Bµ AD 4 DM ta c/m a > hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Thaät vaäy : do c > d (b + d)(b + c) > (b + d)2 4bd . Baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc c/m Baøi 3: Cho ABC, trung tuyeán AM, caùc tia phaân giaùc cuûa caùc goùc AMB , AMC caét AB, AC theo thöù töï ôû D vaø E a) Chöùng minh DE // BC A b) Cho BC = a, AM = m. Tính ñoä daøi DE c) Tìm taäp hôïp caùc giao dieåm I cuûa AM vaø DE neáu ABC I coù BC coá ñònh, AM = m khoâng ñoåi D E d) ABC coù ñieàu kieän gì thì DE laø ñöôøng trung bình cuûa noù Giaûi DA MB B C a) MD laø phaân giaùc cuûa A· MB neân (1) M DB MA EA MC ME laø phaân giaùc cuûa A· MC neân (2) EC MA DA EA Töø (1), (2) vaø giaû thieát MB = MC ta suy ra DE // BC DB EC Nguyễn Thành Chung 32 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: x m - DE AD AI x 2a.m b) DE // BC . Ñaët DE = x 2 x = BC AB AM a m a + 2m 1 a.m c) Ta coù: MI = DE = khoâng ñoåi I luoân caùch M moät ñoaïn khoâng ñoåi 2 a + 2m a.m neân taäp hôïp caùc ñieåm I laø ñöôøng troøn taâm M, baùn kính MI = (Tröø giao a + 2m ñieåm cuûa noù vôùi BC d) DE laø ñöôøng trung bình cuûa ABC DA = DB MA = MB ABC vuoâng ôû A 4. Baøi 4: Cho ABC ( AB DE > BE E Giaûi a) BD laø phaân giaùc neân AD AB AC AE AD AE M B C = EB KB EB KB EB KB EB E naèm giöõa K vaø B b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa DE vaø CB. Ta coù C· BD = K· DB (so le trong) K· BD = K· DB maø E naèm giöõa K vaø B neân K· DB > E· DB K· BD > E· DB E· BD > E· DB EB E· CB D· EC >D· CE (Vì D· CE = E· CB ) Suy ra: CD > ED CD > ED > BE 5. Baøi 5: Cho ABC . Ba ñöôøng phaân giaùc AD, BE, CF. H Chöùng minh DB EC FA A a. . . 1 . DC EA FB F 1 1 1 1 1 1 E b. . AD BE CF BC CA AB Giaûi C DB AB B D a)AD laø ñöôøng phaân giaùc cuûa B· AC neân ta coù: = DC AC (1) EC BC FA CA Töông töï: vôùi caùc phaân giaùc BE, CF ta coù: = (2) ; = (3) EA BA FB CB DB EC FA AB BC CA Töø (1); (2); (3) suy ra: . . = . . = 1 DC EA FB AC BA CB b) §Æt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. Nguyễn Thành Chung 33 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. AD BA BA.CH c.CH c Theo §L TalÐt ta cã: AD .CH CH BH BH BA + AH b + c 2bc 1 b c 1 1 1 1 1 1 1 Do CH c), caùc phaân giaùc BD, CE a) Tính ñoä daøi CD, BE roài suy ra CD > BE b) Veõ hình bình haønh BEKD. Chöùng minh: CE > EK c) Chöùng minh CE > BD CHUYEÂN ÑEÀ 10 – CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ TAM GIAÙC ÑOÀNG DAÏNG Ngaøy soaïn:15 – 3 - 2013 Ngaøy daïy: 18 - 03 - 2013 A. Kieán thöùc: * Tam giaùc ñoàng daïng: a) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.c.c) AB AC BC ABC A’B’C’ = = A'B' A'C' B'C' b) tröôøng hôïp thöù nhaát: (c.g.c) AB AC ABC A’B’C’ = ; Aµ = Aµ' A'B' A'C' c. Tröôøng hôïp ñoàng daïng thöù ba (g.g) ABC A’B’C’ Aµ = Aµ' ; Bµ = Bµ' A'H' S 2 AH; A’H’laø hai ñöôøng cao töông öùng thì: = k (Tæ soá ñoàng daïng); A'B'C' = K AH SABC B. Baøi taäp aùp duïng A Baøi 1: Cho ABC coùBµ = 2 Cµ , AB = 8 cm, BC = 10 cm. a)Tính AC E b)Neáu ba caïnh cuûa tam giaùc treân laø ba soá töï nhieân lieân B tieáp thì moãi caïnh laø bao nhieâu? Giaûi Caùch 1: C Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm E sao cho:BD = BC D Nguyễn Thành Chung 34 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: AC AD ACD ABC (g.g) AB AC AC2 AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Caùch 2: Veõ tia phaân giaùc BE cuûa A· BC ABE ACB AB AE BE AE + BE AC = AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 AC AB CB AB + CB AB + CB AC = 12 cm b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c thì töø caâu a ta coù b2 = a(a + c) (1) Vì b > aneân coù theå b = a + 1 hoaëc b = a + 2 2 2 + Neáu b = a + 1 thì (a + 1) = a + ac 2a + 1 = ac a(c – 2) = 1 a = 1; b = 2; c = 3(loaïi) + Neáu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 - Vôùi a = 1 thì c = 8 (loaïi) A - Vôùi a = 2 thì c = 6 (loaïi) - vôùi a = 4 thì c = 6 ; b = 5 Vaäy a = 4; b = 5; c = 6 Baøi 2: Cho ABC caân taïi A, ñöôøng phaân giaùc BD; tính BD D bieát BC = 5 cm; AC = 20 cm Giaûi CD BC 1 Ta coù = CD = 4 cm vaø BC = 5 cm B C AD AC 4 Baøi toaùn trôû veà baøi 1 Baøi 3: Cho ABC caân taïi A vaø O laø trung ñieåm cuûa BC. Moät ñieåm O di ñoäng treân AB, OB2 laáy ñieåm E treân AC sao cho CE = . Chöùng minh raèng BD a) DBO OCE b) DOE DBO OCE c) DO, EO laàn löôït laø phaân giaùc cuûa caùc goùc BDE, CED d) khoaûng caùch töø O ñeán ñoaïn ED khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB Giaûi OB2 CE OB a) Töø CE = = vaø Bµ = Cµ (gt) DBO OCE BD OB BD µ µ b) Töø caâu a suy ra O3 = E2 (1) µ · · 0 Vì B, O ,C thaúng haøng neân O3 + DOE EOC 180 (2) µ µ · 0 trong tam giaùc EOC thì E2 + C EOC 180 (3) Töø (1), (2), (3) suy ra D· OE Bµ Cµ DO OE DOE vaø DBO coù = (Do DBO OCE) DB OC Nguyễn Thành Chung 35 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: A DO OE vaø = (Do OC = OB) vaø D· OE Bµ Cµ DB OB neân DOE DBO OCE µ µ E c) Töø caâu b suy ra D1 = D2 DO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc I 1 2 D BDE 1 µ µ H Cuûng töø caâu b suy ra E1 = E2 EO laø phaân giaùc cuûa caùc goùc 2 CED 3 c) Goïi OH, OI laø khoaûng caùch töø O ñeán DE, CE thì OH = OI, B O C maø O coá ñònh neân OH khoâng ñoåi OI khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân AB Baøi 4: (Ñeà HSG huyeän Loäc haø – naêm 2007 – 2008) Cho ABC caân taïi A, coù BC = 2a, M laø trung ñieåm BC, laáy D, E thuoäc AB, AC sao cho D· ME = Bµ a) Chöùng minh tích BD. CE khoâng ñoåi b)Chöùng minh DM laø tia phaân giaùc cuûa B· DE A c) Tính chu vi cuûa AED neáu ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi a) Ta coù D· MC = D· ME + C· ME = Bµ + B· DM , maø D· ME = Bµ (gt) · · µ µ neân CME = BDM , keát hôïp vôùi B = C ( ABC caân taïi A) E suy ra BDM CME (g.g) I BD BM = BD. CE = BM. CM = a 2 khoâng ñoåi D CM CE H DM BD DM BD K b) BDM CME = = ME CM ME BM (do BM = CM) DME DBM (c.g.c) B M C M· DE = B· MD hay DM laø tia phaân giaùc cuûa B· DE c) chöùng minh töông töï ta coù EM laø tia phaân giaùc cuûa D· EC keû MH  CE ,MI  DE, MK  DB thì MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) MC a ABC laø tam giaùc ñeàu neân suy ra CME cuûng laø tam giaùc ñeàu CH = 2 2 AH = 1,5a PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a Baøi 5: F Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Qua ñieåm D thuoäc caïnh BC, veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AM, caét AB, AC taïi K A E vaø F a) chöùng minh DE + DF khoâng ñoåi khi D di ñoäng treân BC E b) Qua A veõ ñöôøng thaúng song song vôùi BC, caét FE taïi K. Chöùng minh raèng K laø trung ñieåm cuûa FE Giaûi D M B C Nguyễn Thành Chung 36 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: DE BD BD a) DE // AM = DE = .AM (1) AM BM BM DF CD CD CD DF // AM = DF = .AM = .AM (2) AM CM CM BM Töø (1) vaø (2) suy ra BD CD BD CD BC DE + DF = .AM + .AM = + .AM = .AM = 2AM khoâng ñoåi BM BM BM BM BM FK KA b) AK // BC suy ra FKA AMC (g.g) = (3) AM CM EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = (2) ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (Vì CM = BM) FK EK Töø (1) vaø (2) suy ra FK = EK hay K laø trung ñieåm cuûa FE AM AM Baøi 6: (Ñeà HSG huyeän Thaïch haø naêm 2003 – 2004) Cho hình thoi ABCD caïnh a coù Aµ = 600 , moät ñöôøng thaúng baát kyø qua C caét tia ñoái cuûa caùc tia BA, DA taïi M, N a) Chöùng minh raèng tích BM. DN coù giaù trò khoâng ñoåi b) Goïi K laø giao ñieåm cuûa BN vaø DM. Tính soá ño cuûa goùc BKD Giaûi M MB CM a) BC // AN = (1) BA CN 1 CM AD CD// AM = (2) C CN DN B Töø (1) vaø (2) suy ra 1 K MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a 2 BA DN b) MBD vaø BDN coù M· BD = B· DN = 1200 A D N MB MB CM AD BD = = (Do ABCD laø hình BD BA CN DN DN thoi coù Aµ = 600 neân AB = BC = CD = DA) MBD BDN µ µ · · µ µ Suy ra M1 = B1 . MBD vaø BKD coù BDM = BDK vaø M1 = B1 neân B· KD = M· BD = 1200 Baøi 7: Cho hình bình haønh ABCD coù ñöôøng cheùo lôùn AC,tia Dx caét SC, AB, BC laàn löôït taïi I, M, N. Veõ CE vuoâng goùc vôùi AB, CF vuoâng goùc vôùi AD, BG vuoâng goùc vôùi AC. Goïi F K laø ñieåm ñoái xöùng vôùi D qua I. Chöùng minh raèng 2 D a) IM. IN = ID C KM DM I G b) = M KN DN K c) AB. AE + AD. AF = AC2 Giaûi A B E N Nguyễn Thành Chung 37 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: IM CI a) Töø AD // CM = (1) ID AI CI ID Töø CD // AN (2) AI IN IM ID Töø (1) vaø (2) suy ra = hay ID2 = IM. IN ID IN DM CM DM CM DM CM b) Ta coù = = = (3) MN MB MN + DM MB + CM DN CB Töø ID = IK vaø ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM = = = = = IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB (4) KM DM Töø (3) vaø (4) suy ra = KN DN AE AC c) Ta coù AGB AEC = AB.AE = AC.AG AG AB AB. AE = AG(AG + CG) (5) AF CG CG CGB AFC = (vì CB = AD) AC CB AD AF . AD = AC. CG AF . AD = (AG + CG) .CG (6) Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vaäy: AB. AE + AD. AF = AC2 Baøi taäp veà nhaø Baøi 1 Cho Hình bình haønh ABCD, moät ñöôøng thaúng caét AB, AD, AC laàn löôït taïi E, F, G AB AD AC Chöùng minh: + = AE AF AG HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuoäc AC) Baøi 2: Qua ñænh C cuûa hình bình haønh ABCD, keû ñöôøng thaúng caét BD, AB, AD ôû E, G, F chöùng minh: FE a) DE2 = . BE2 EG b) CE2 = FE. GE (Gôïi yù: Xeùt caùc tam giaùc DFE vaø BCE, DEC vaø BEG) Baøi 3 Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH, trung tuyeán BM, phaân giaùc CD caét nhau taïi moät ñieåm. Chöùng minh raèng BH CM AD a) . . 1 HC MA BD b) BH = AC Nguyễn Thành Chung 38 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: CHUYEÂN ÑEÀ 11 – PHÖÔNG TRÌNH BAÄC CAO Ngaøy soaïn: 27 - 03 - 2013 Ngaøy daïy: - 03 - 2013 A.Muïc tieâu: * Cuûng coá, oân taäp kieán thöùc vaø kyõ naêng giaûi caùc Pt baäc cao baèng caùch phaân tích thaønh nhaân töû * Khaéc saâu kyõ naêng phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû vaø kyõ naêng giaûi Pt B. Kieán thöùc vaø baøi taäp: I. Phöông phaùp: * Caùch 1: Ñeå giaûi caùc Pt baäc cao, ta bieán ñoåi, ruùt goïn ñeå döa Pt veà daïng Pt coù veá traùi laø moät ña thöùc baäc cao, veá phaûi baèng 0, vaän duïng caùc phöông phaùp phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû ñeå ñöa Pt veà daïng pt tích ñeå giaûi * Caùch 2: Ñaët aån phuï II. Caùc ví duï: 1.Ví duï 1: Giaûi Pt a) (x + 1)2(x + 2) + (x – 1)2(x – 2) = 12 2x3 + 10x = 12 x3 + 5x – 6 = 0 (x3 – 1) + (5x – 5) (x – 1)(x2 + x + 6) = 0 x = 1 2 x - 1 = 0 1 23 2 x 1 (Vì x + 0 voâ nghieäm) 2 1 23 x + x + 6 = 0 x + 0 2 4 2 4 b) x4 + x2 + 6x – 8 = 0 (1) Veá phaûi cuûa Pt laø moät ña thöùc coù toång caùc heä soá baèng 0, neân coù moät nghieäm x = 1 neân coù nhaân töû laø x – 1, ta coù (1) (x4 – x3) + (x3 – x2) + (2x2 – 2x) + (8x – 8) = 0 (x – 1)(x3 + x2 + 2x + 8) (x – 1)[(x3 + 2x2) – (x2 + 2x) + (4x – 8) ] = 0 (x – 1)[x2(x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0 (x – 1)(x + 2)(x2 – x + 4) = 0 c) (x – 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 x3 – 3x2 + 3x – 1 + 8x3 + 36x2 + 54x + 27 – 27x3 – 8 = 0 - 18x3 + 33x2 + 57 x + 18 = 0 6x3 - 11x2 - 19x - 6 = 0 (2) Ta thaáy Pt coù moät nghieäm x = 3, neân veá traùi coù nhaân töû x – 3: (2) (6x3 – 18x2) + (7x2 – 21x) + (2x – 6) = 0 6x2(x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 (x – 3)(6x2 + 7x + 2) = 0 (x – 3)[(6x2 + 3x) + (4x + 2)] = 0 (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = 0 (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) d) (x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) = 24 [(x2 + 5x)2 – 2(x2 + 5x) + 1] – 25 = 0 (x2 + 5x - 1)2 – 25 = 0 (x2 + 5x - 1 + 5)( (x2 + 5x - 1 – 5) = 0 (x2 + 5x + 4) (x2 + 5x – 6) = 0 [(x2 + x) +(4x + 4)][(x2 – x) + (6x – 6)] = 0 (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = 0 e) (x2 + x + 1)2 = 3(x4 + x2 + 1) (x2 + x + 1)2 - 3(x4 + x2 + 1) = 0 (x2 + x + 1)2 – 3(x2 + x + 1)( x2 - x + 1) = 0 Nguyễn Thành Chung 39 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: ( x2 + x + 1)[ x2 + x + 1 – 3(x2 - x + 1)] = 0 ( x2 + x + 1)( -2x2 + 4x - 2) = 0 (x2 + x + 1)(x2 – 2x + 1) = 0 ( x2 + x + 1)(x – 1)2 = 0 f) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 (x5 – 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) – (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 (x – 2) (x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 +) x – 2 = 0 x = 2 +) x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 (x4 + x3) + (x + 1) + x2 = 0 (x + 1)(x3 + 1) + x2 = 0 1 1 3 (x + 1)2(x2 – x + 1) + x2 = 0 (x + 1)2 [(x2 – 2.x. + ) + ] + x2 = 0 2 4 4 2 2 1 3 1 3 (x + 1)2 x + + + x2 = 0 Voâ nghieäm vì (x + 1)2 x + + 0 2 4 2 4 nhöng khoâng xaåy ra daáu baèng Baøi 2: a) (x2 + x - 2)( x2 + x – 3) = 12 (x2 + x – 2)[( x2 + x – 2) – 1] – 12 = 0 (x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 Ñaët x2 + x – 2 = y Thì (x2 + x – 2)2 – (x2 + x – 2) – 12 = 0 y2 – y – 12 = 0 (y – 4)(y + 3) = 0 * y – 4 = 0 x2 + x – 2 – 4 = 0 x2 + x – 6 = 0 (x2 + 3x) – (2x + 6) = 0 (x + 3)(x – 2) = 0 * y + 3 = 0 x2 + x – 2 + 3 = 0 x2 + x + 1 = 0 (voâ nghieäm) b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 Ñaët x2 – 11x + 29 = y , ta coù: (x2 – 11x + 28)( x2 – 11x + 30) = 1680 (y + 1)(y – 1) = 1680 y2 = 1681 y = 41 y = 41 x2 – 11x + 29 = 41 x2 – 11x – 12 = 0 (x2 – x) + (12x – 12) = 0 (x – 1)(x + 12) = 0 11 121 159 * y = - 41 x2 – 11x + 29 = - 41 x2 – 11x + 70 = 0 (x2 – 2x. + )+ 2 4 4 = 0 c) (x2 – 6x + 9)2 – 15(x2 – 6x + 10) = 1 (3) Ñaët x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = y 0, ta coù (3) y2 – 15(y + 1) – 1 = 0 y2 – 15y – 16 = 0 (y + 1)(y – 15) = 0 Vôùi y + 1 = 0 y = -1 (loaïi) Vôùi y – 15 = 0 y = 15 (x – 3)2 = 16 x – 3 = 4 + x – 3 = 4 x = 7 + x – 3 = - 4 x = - 1 d) (x2 + 1)2 + 3x(x2 + 1) + 2x2 = 0 (4) Ñaët x2 + 1 = y thì (4) y2 + 3xy + 2x2 = 0 (y2 + xy) + (2xy + 2x2) = 0 (y + x)(y + 2x) = 0 +) x + y = 0 x2 + x + 1 = 0 : Voâ nghieäm +) y + 2x = 0 x2 + 2x + 1 = 0 (x + 1)2 = 0 x = - 1 Nguyễn Thành Chung 40 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Baøi 3: a) (2x + 1)(x + 1)2(2x + 3) = 18 (2x + 1)(2x + 2)2(2x + 3) = 72. (1) Ñaët 2x + 2 = y, ta coù (1) (y – 1)y2(y + 1) = 72 y2(y2 – 1) = 72 y4 – y2 – 72 = 0 Ñaët y2 = z 0 Thì y4 – y2 – 72 = 0 z2 – z – 72 = 0 (z + 8)( z – 9) = 0 * z + 8 = 0 z = - 8 (loaïi) * z – 9 = 0 z = 9 y2 = 9 y = 3 x = b) (x + 1)4 + (x – 3)4 = 82 (2) Ñaët y = x – 1 x + 1 = y + 2; x – 3 = y – 2, ta coù (2) (y + 2)4 + (y – 2)4 = 82 y4 +8y3 + 24y2 + 32y + 16 + y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16 = 82 2y4 + 48y2 + 32 – 82 = 0 y4 + 24y2 – 25 = 0 Ñaët y2 = z 0 y4 + 24y2 – 25 = 0 z2 + 24 z – 25 = 0 (z – 1)(z + 25) = 0 +) z – 1 = 0 z = 1 y = 1 x = 0; x = 2 +) z + 25 = 0 z = - 25 (loaïi) Chuù yù: Khi giaûi Pt baäc 4 daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thöôøng ñaët aån phuï y = x + a + b 2 c) (4 – x)5 + (x – 2)5 = 32 (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 Ñaët y = x – 3 x – 2 = y + 1; x – 4 = y – 1; ta coù: (x – 2)5 – (x – 4)5 = 32 (y + 1)5 - (y – 1)5 = 32 y5 + 5y4 + 10y3 + 10y2 + 5y + 1 – (y5 - 5y4 + 10y3 - 10y2 + 5y - 1) – 32 = 0 10y4 + 20y2 – 30 = 0 y4 + 2y2 – 3 = 0 Ñaët y2 = z 0 y4 + 2y2 – 3 = 0 z2 + 2z – 3 = 0 (z – 1)(z + 3) = 0 d) (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 Ñaët x – 7 = a; x – 8 = b ; 15 – 2x = c thì - c = 2x – 15 a + b = - c , Neân (x - 7)4 + (x – 8)4 = (15 – 2x)4 a4 + b4 = c4 a4 + b4 - c4 = 0 a4 + b4 – (a + b)4 = 0 2 2 3 2 3 7 2 4ab(a + ab + b ) = 0 4ab a + b + b = 0 4ab = 0 2 4 16 2 3 7 2 (Vì a + b + b 0 nhöng khoâng xaåy ra daáu baèng) ab = 0 x = 7; x = 8 4 16 4 3 2 2 1 1 e) 6x + 7x – 36x – 7x + 6 = 0 6 x 2 7 x - 36 0 x x 1 1 (Vì x = 0 khoâng laø nghieäm). Ñaët x - = y x2 = y2 + 2 , thì x x2 2 1 1 2 2 6 x 2 7 x - 36 0 6(y + 2) + 7y – 36 = 0 6y + 7y – 24 = 0 x x (6y2 – 9y) + (16y – 24) = 0 (3y + 8 )(2y – 3) = 0 Nguyễn Thành Chung 41 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 8 1 8 +) 3y + 8 = 0 y = - x - = - (x + 3)(3x – 1) = 3 x 3 x = - 3 x + 3 = 0 0 1 3x - 1 = 0 x = 3 3 1 3 +) 2y – 3 = 0 y = x - = (2x + 1)(x – 2) = 2 x 2 x = 2 x - 2 = 0 0 1 2x + 1 = 0 x = - 2 Baøi 4: Chöùng minh raèng: caùc Pt sau voâ nghieäm a) x4 – 3x2 + 6x + 13 = 0 ( x4 – 4x2 + 4) +(x2 + 6x + 9) = 0 (x2 – 2)2 + (x + 3)2 = 0 Veá traùi (x2 – 2)2 + (x + 3)2 0 nhöng khoâng ñoàng thôøi xaåy ra x2 = 2 vaø x = -3 b) x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 (x – 1)( x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0 x7 – 1 = 0 x = 1 x = 1 khoâng laø nghieäm cuûa Pt x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 Baøi taäp veà nhaø: Baøi 1: Giaûi caùc Pt a)(x2 + 1)2 = 4(2x – 1) HD: Chuyeån veá, trieån khai (x2 + 1)2, phaân tích thaønh nhaân töû: (x – 1)2(x2 + 2x + 5) = 0 b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhaân 2 nhaân töû vôùi nhau, aùp duïng PP ñaët aån phuï) c) (12x + 7)2(3x + 2)(2x + 1) = 3 (Nhaân 2 veá vôùi 24, ñaët 12x + 7 = y) d) (x2 – 9)2 = 12x + 1 (Theâm, bôùt 36x2) e) (x – 1)4 + (x – 2)4 = 1 ( Ñaët y = x – 1,5; Ñs: x = 1; x = 2) f) (x – 1)5 + (x + 3)5 = 242(x + 1) (Ñaët x + 1 = y; Ñs:0; -1; -2 ) g) (x + 1)3 + (x - 2)3 = (2x – 1)3 Ñaët x + 1 = a; x – 2 = b; 1 - 2x = c thì a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc 1 h) 6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6 = 0 (Chia 2 veá cho x2; Ñaët y = x + ) x 5 4 3 2 i) x + 2x + 3x + 3x + 2x + 1 = 0 (Veá traùi laø ña thöùc coù toång caùc heä soá baäc chaün baèng toång caùc heä soá baäc leû ) Baøi 2: Chöùng minh caùc pt sau voâ nghieäm a) 2x4 – 10x2 + 17 = 0 (Phaân tích veá traùi thaønh toång cuûa hai bình phöông) 4 3 2 b) x – 2x + 4x – 3x + 2 = 0 (Phaân tích veá traùi thaønh tích cuûa 2 ña thöùc coù giaù trò khoâng aâm ) Nguyễn Thành Chung 42 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: CHUYEÂN ÑEÀ 12 – VEÕ ÑÖÔØNG THAÚNG SONG SONG ÑEÅ TAÏO THAØNH CAÙC CAËP ÑOAÏN THAÚNG TYÛ LEÄ Ngaøy soaïn: 01 – 4 - 2013 Ngaøy daïy: - 04 - 2013 A. Phöông phaùp: Trong caùc baøi taäp vaän duïng ñònh lí Taleùt. Nhieàu khi ta caàn veõ theâm ñöôøng phlaø moät ñöôøng thaúng song song vôùi moät ñöôøng thaúng cho tröôùc,. Ñaây laø moät caùch veõ ñöôøng phuï ïhay duøng, vì nhôø ñoù maø taïo thaønh ñöôïc caùc caëp ñoaïn thaúng tæ leä B. Caùc ví duï: 1) Ví duï 1: Treân caùc caïnh BC, CA, AB cuûa tam giaùc ABC, laáy töông öùng caùc ñieåm P, Q, R sao cho ba ñöôøng thaúng AP, BQ, CR caét nhau taïi moät ñieåm. E A F AR BP CQ Chöùng minh: . . 1 (Ñònh lí Ceâ – va) RB PC QA R Q Giaûi O Qua A keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét caùc ñöôøng thaúng CR, BQ taïi E, F. Goïi O laø giao ñieåm cuûa AP, BQ, CR AR AE ARE BRC = (a) RB BC B P C BP OP BOP FOA = (1) FA OA PC PO POC AOE = (2) AE AO BP PC BP FA Töø (1) vaø (2) suy ra: = (b) FA AE PC AE CQ BC AQF CQB = (c) AQ FA AR BP CQ AE FA BC Nhaân (a), (b), (c) veá theo veá ta coù: . . . . 1 RB PC QA BC AE FA AR BP CQ * Ñaûo laïi: Neáu . . 1 thì bai ñöôøng thaúng AP, BQ, RB PC QA CR ñoàng quy R 2) Ví duï 2: Moät ñöôøng thaêng baát kyø caét caùc caïnh( phaàn keùo daøi cuûa caùc caïnh) cuûa tam giaùc ABC taïi P, Q, R. A E RB.QA.PC Chöùng minh raèng: 1 (Ñònh lí Meâ-neâ-la-uyùt) RA.CQ.BP Q Giaûi: Qua A keû ñöôøng thaúng song song vôùi BC caét PR taïi E. Ta coù RB BP RAE RBP = (a) RA AE B P C Nguyễn Thành Chung 43 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: QA AE AQE CQP = (b) QC CP Nhaân veá theo veá caùc ñaúng thöùc (a) vaø (b) ta coù RB QA BP AE . = . (1) RA QC AE CP PC RB PC QA BP AE PC Nhaân hai veá ñaúng thöùc (1) vôùi ta coù: . . = . . 1 BP RA BP QC AE CP BP RB.QA.PC Ñaûo laïi: Neáu 1 thì ba ñieåm P, Q, R thaúng haøng RA.CQ.BP 3) Ví duï 3: Cho tam giaùc ABC, trung tuyeán AM. Goïi I laø ñieåm baát kyø treân caïnh BC. Ñöôøng thaúng qua I song song vôùi AC caét AB ôû K; ñöôøng thaúng qua I song song vôùi AB caét AC, AM theo thöù töï ôû D, E. Chöùng minh DE = BK Giaûi Qua M keû MN // IE (N AC).Ta coù: A DE AE DE MN = (1) MN AN AE AN E MN // IE, maø MB = MC AN = CN (2) N DE MN Töø (1) vaø (2) suy ra (3) K D AE CN MN CN MN AB Ta laïi coù (4) AB AC CN AC B I C DE AB M Töø (4) vaø (5) suy ra (a) AE AC BK AB Töông töï ta coù: (6) KI AC Vì KI // AC, IE // AC neân töù giaùc AKIE laø hình bình haønh neân KI = AE (7) K BK BK AB Töø (6) vaø (7) suy ra (b) KI AE AC I DE BK Töø (a) vaø (b) suy ra DE = BK F B AE AE M 4) Ví duï 4: A Ñöôøng thaúng qua trung ñieåm cuûa caïnh ñoái AB, CD E cuûa töù giaùc ABCD caét caùc ñöôøng thaúng AD, BC theo thöù töï ôû I, K. Chöùng minh: IA . KC = ID. KB Giaûi D N C Goïi M, N theo thöù töï laø trung ñieåm cuûa AB, CD Ta coù AM = BM; DN = CN Veõ AE, BF laàn löôït song song vôùi CD AME = BMF (g.c.g) AE = BF IA AE BF Theo ñònh lí Taleùt ta coù: = (1) ID DN CN Nguyễn Thành Chung 44 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: KB BF Cuûng theo ñònh lí Taleùt ta coù: = (2) KC CN IA KB Töø (1) vaø (2) suy ra = IA . KC = ID. KB ID KC 5) Ví duï 5: Cho x· Oy , caùc ñieåm A, B theo thöù töï chuyeån ñoäng treân caùc tia Ox, Oy sao cho 1 1 1 + (k laø haèng soá). Chöùng minh raèng AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh OA OB k Giaûi Veõ tia phaân giaùc Oz cuûa x· Oy caét AB ôû C. veõ CD // OA y B · · · (D OB) DOC = DCO = AOC z COD caân taïi D DO = DC D CD BD CD OB - CD Theo ñònh lí Taleùt ta coù = C OA OB OA OB CD CD 1 1 1 1 (1) O A x OA OB OA OB CD 1 1 1 Theo giaû thieát thì + (2) OA OB k Töø (1) vaø (2) suy ra CD = k , khoâng ñoåi Vaäy AB luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh laø C sao cho CD = k vaø CD // Ox , D OB 6) Ví duï 6: Cho ñieåm M di ñoäng treân ñaùy nhoû AB cuûa hình thang ABCD, Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai caïnh beân DA, CB. Goïi G laø giao ñieåm cuûa OA vaø CM, H laø giao ñieåm cuûa OB vaø DM. Chöùng I P O K minh raèng: Khi M di ñoäng treân AB thì toång OG OH + khoâng ñoåi G GD HC H A M Giaûi B Qua O keû ñöôøng thaúng song vôùi AB caét CM, DM F theo thöù töï ôû I vaø K. Theo ñònh lí Taleùt ta coù: OG OI OH OK OG OH OI OK IK ; + GD CD HC CD GD HC CD CD CD OG OH IK + (1) D Q C GD HC CD Qua M veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB caét IK, CD theo thöù töï ôû P vaø Q, ta coù: IK MP FO khoâng ñoåi vì FO laø khoaûng caùch töø O ñeán AB, MQ laø ñöôøng cao CD MQ MQ cuûa hình thang neân khoâng ñoåi (2) OG OH FO Töø (1) vaø (2) suy ra + khoâng ñoåi GD HC MQ 7) Ví duï 7: Cho tam giaùc ABC (AB < AC), phaân giaùc AD. Treân AB laáy ñieåm M, treân AC laáy ñieåm N sao cho BM = CN, goïi giao ñieåm cuûa CM vaø BN laø O, Töø O veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AD caét AC, AB taïi E vaø F. Nguyễn Thành Chung 45 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: E Chöùng minh raèng: AB = CF; BE = CA Giaûi. A G AD laø phaân giaùc neân B· AD = D· AF F EI // AD B· AD = A· EF (goùc ñoàng vò) M Maø D· AF O· FC (ñoàng vò); A· FE = O· FC (ñoái ñænh) N Suy ra A· EF A· FE AFE caân taïi A AE P O =AF (a) Aùp duïng ñònh lí Taleùt vaøo ACD , vôùi I laø giao K D I CF CI CF CA B C ñieåm cuûa EF vôùi BC ta coù = CA CD CI CD Q (1) CA BA AD laø phaân giaùc cuûa B· AC neân (2) CD BD CF BA Töø (1) vaø (2) suy ra (3) CI BD Keû ñöôøng cao AG cuûa AFE . BP // AG (P AD); CQ // AG (Q OI) thì B· PD = C· QI = 900 Goïi trung ñieåm cuûa BC laø K, ta coù BPK = CQK (g.c.g) CQ = BP BPD = CQI (g.c.g) CI = BD (4) CF BA Thay (4) vaøo (3) ta coù CF = BA (b) BD BD Töø (a) vaø (b) suy ra BE = CA Baøi taäp veà nhaø 1) Cho tam giaùc ABC. Ñieåm D chia trong BC theo tæ soá 1 : 2, ñieåm O chia trong KA AD theo tæ soá 3 : 2. goïi K laø giao ñieåm cuûa BO vaø AC. Chöùng minh raèng KC khoâng ñoåi 2) Cho tam giaùc ABC (AB > AC). Laáy caùc ñieåm D, E tuyø yù thöù töï thuoäc caùc caïnh AB, AC sao cho BD = CE. Goïi giao ñieåm cuûa DE, BC laø K, chöùng minh raèng : KE Tæ soá khoâng ñoåi khi D, E thay ñoåi treân AB, AC KD (HD: Veõ DG // EC (G BC). CHUYEÂN ÑEÀ 13 – BOÅ ÑEÀ HÌNH THANG VAØ CHUØM ÑÖÔØNG THAÚNG ÑOÀNG QUY Ngaøy soaïn: – 4 - 2013 Ngaøy daïy: - 4 - 2013 A. Kieán thöùc: 1) Boå ñeà hình thang: Nguyễn Thành Chung 46 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: “Trong hình thang coù hai ñaùy khoâng baèng nhau, ñöôøng thaúng ñi qua giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng cheùo vaø ñi qua giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng thaúng chöùa hai caïnh beân thì ñi qua trung ñieåm cuûa hai ñaùy” Chöùng minh: H Goïi giao ñieåm cuûa AB, CD laø H, cuûa AC, BD laø G, trung ñieåm cuûa AD, BC laø E vaø F Noái EG, FG, ta coù: ADG CBG (g.g) , neân : AD AG 2AE AG AE AG E (1) A / / D CB CG 2CF CG CF CG Ta laïi coù : E· AG F· CG (SL trong ) (2) G Töø (1) vaø (2) suy ra : AEG CFG (c.g.c) Do ñoù: A· GE C· GF E , G , H thaúng haøng (3) // // B F C Töông töï, ta coù: AEH BFH A· HE B· HF H , E , F thaúng haøng (4) Tõöø (3) vaø (4) suy ra : H , E , G , F thaúng haøng 2) Chuøm ñöôøng thaúng ñoàng quy: Neáu caùc ñöôøng thaúng ñoàng quy caét hai ñöôøng thaúng O song song thì chuùng ñònh ra treân hai ñöôøng thaúng song song aáy caùc ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä Neáu m // n, ba ñöôøng thaúng a, b, c ñoàng quy ôû O m A B C chuùng caét m taïi A, B, C vaø caét n taïi A’, B’, C’ thì AB BC AC AB A'B' AB A'B' = hoaëc = ; A'B' B'C' A'C' BC B'C' AC A'C' A' B' C' * Ñaûo laïi: n + Neáu ba ñöôøng thaúng trong ñoù coù hai ñöôøng thaúng b c caét nhau, ñònh ra treân hai ñöôøng thaúng song song caùc a caëp ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä thì ba ñöôøng thaúng ñoù ñoàng quy + Neáu hai ñöôøng thaúng bò caét bôûi ba ñöôøng thaúng ñoàng quy taïo thaønh caùc caëp ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä thì chuùng song song vôùi nhau B. Aùp duïng: 1) Baøi 1: Cho töù giaùc ABCD coù M laø trung ñieåm CD, N laø trung ñieåm CB. Bieát AM, AN caét BD thaønh ba ñoaïn baèng nhau. Chöùng minh raèng ABCD laø hình bình haønh Giaûi Goïi E, F laø giao ñieåm cuûa AM, AN vôùi BD; G, H laø giao ñieåm cuûa MN vôùi AD, BD MN // BC (MN laø ñöôøng trung bình cuûa BCD) Töù giaùc HBFM laø hình thang coù hai caïnh beân ñoøng quy taïi A, N laø trung ñieåm cuûa ñaùy BF neân theo boå ñeà hình thang thì N laø trung ñieåm cuûa ñaùy MH MN = NH (1) Nguyễn Thành Chung 47 Trường THCS Kỳ Ninh
A D G Website: F Töông töï : trong hình thang CDEN thì M laø trung ñieåm cuûa E M GN GM = MN (2) B Töø (1) vaø (2) suy ra GM = MN = NH N C Ta coù BNH = CNM (c.g.c) B· HN = C· MN BH // CM hay AB // CD (a) H Töông töï: GDM = NCM (c.g.c) D· GM = C· NM GD // CN hay AD // CB (b) Töø (a) vaø (b) suy ra töù giaùc ABCD coù caùc caëp caïnh ñoái A song song neân laø hình bình haønh P N 2) Baøi 2: H Cho ABC coù ba goùc nhoïn, tröïc taâm H, moät ñöôøng Q K thaúng qua H caét AB, AC thöù töï taï P, Q sao cho HP = HQ. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Chöùng minh: HM  PQ B M I C Giaûi Goïi giao ñieåm cuûa AH vaø BC laø I Töø C keû CN // PQ (N AB), ta chöùng minh MH  CN HM  PQ Töù giaùc CNPQ laø hình thang, coù H laø trung ñieåm PQ, hai caïnh beân NP vaø CQ ñoàng quy taïi A neân K laø trung ñieåm CN MK laø ñöôøng trung bình cuûa BCN MK // CN MK // AB (1) H laø tröïc taâm cuûa ABC neân CH A B (2) Töø (1) vaø (2) suy ra MK  CH MK laø ñöôøng cao cuûa CHK (3) Töø AH  BC MC HK MI laø ñöôøng cao cuûa CHK (4) Töø (3) vaø (4) suy ra M laø tröïc taâm cuûa CHK MH CN MH PQ 3) baøi 3: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù M, N thöù töï laø trung ñieåm cuûa AD, BC. Goïi E laø moät ñieåm baát kyø thuoäc tia B A ñoái cuûa tia DC, K laø giao ñieåm cuûa EM vaø AC. K Chöùng minh raèng: NM laø tia phaân giaùc cuûa K· NE N // // M Giaûi I Goïi H laø giao ñieåm cuûa KN vaø DC, giao ñieåm cuûa AC vaø MN laø I thì IM = IN H D E Ta coù: MN // CD (MN laø ñöôøng trung bình cuûa hình C chöõ nhaät ABCD) Töù giaùc EMNH laø hình thang coù hai caïnh beân EM vaø HN ñoàng quy taïi K vaø I laø trung ñieåm cuûa MN neân C laø trung ñieåm cuûa EH Trong ENH thì NC vöøa laø ñöôøng cao, vöøa laø ñöôøng trung tuyeán neân ENH caân taïi N NC laø tia phaân giaùc cuûa E· NH maø NC  MN (Do NM  BC – MN // AB) NM laø tia phaân giaùc goùc ngoaøi taïi N cuûa ENH Vaäy NM laø tia phaân giaùc cuûa K· NE Nguyễn Thành Chung 48 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Baøi 4: Treân caïnh BC = 6 cm cuûa hình vuoâng ABCD laáy ñieåm E sao cho BE = 2 cm. Treân tia ñoái cuûa tia CD laáy ñieåm F sao cho CF = 3 cm. Goïi M laø giao ñieåm cuûa AE vaø BF. Tính A· MC Giaûi A B H Goïi giao ñieåm cuûa CM vaø AB laø H, cuûa AM vaø DF laø G M BH AB BH 6 E Ta coù: = CF FG 3 FG AB BE 2 1 Ta laïi coù = = CG = 2AB = 12 cm CG EC 4 2 D C F G BH 6 FG = 9 cm BH = 2 cm BH = BE 3 9 BAE = BCH (c.g.c) B· AE = B· CH maø B· AE + B· EA = 900 Maët khaùc B· EA = M· EC ; M· CE = B· CH M· EC + M· CE = 900 A· MC = 900 Baøi 5: Cho töù giaùc ABCD. Qua ñieåm E thuoäc AB, H thuoäc AC veõ B caùc ñöôøng thaúng song song vôùi BD, caét caùc caïnh coøn laïi cuûa E töù giaùc taïi F, G A H a) Coù theå keát luaän gì veà caùc ñöôøng thaúng EH, AC, FG M b) Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD, cho bieát OB = OD. F O Chöùng minh raèng ba ñöôøng thaúng EG, FH, AC ñoàng quy N Giaûi a) Neáu EH // AC thì EH // AC // FG D G C Neáu EH vaø AC khoâng song song thì EH, AC, FG ñoàng quy b) Goïi giao ñieåm cuûa EH, HG vôùi AC Trong hình thang DFEB coù hai caïnh beân DF, BE ñoàng quy taïi A vaø OB = OD neân theo boå ñeà hình thang thì M laø trung ñieåm cuûa EF Töông töï: N laø trung ñieåm cuûa GH ME MF Ta coù = neân ba ñöôøng thaúng EG, FH, AC ñoàng quy taïi O GN HN CHUYEÂN ÑEÀ 14 – SÖÛ DUÏNG COÂNG THÖÙC DIEÄN TÍCH ÑEÅ THIEÁT LAÄP QUAN HEÄ ÑOÄ DAØI CUÛA CAÙC ÑOAÏN THAÚNG Ngaøy soaïn: – 4 - 2013 Ngaøy daïy: - 4 - 2013 A. Moät soá kieán thöùc: 1. Coâng thöùc tính dieän tích tam giaùc: 1 S = a.h (a – ñoä daøi moät caïnh, h – ñoä daøi ñöôøng cao töông öùng) 2 2. Moät soá tính chaát: Nguyễn Thành Chung 49 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Hai tam giaùc coù chung moät caïnh, coù cuøng ñoä daøi ñöôøng cao thì coù cuøng dieän tích Hai tam giaùc baèng nhau thì coù cuøng dieän tích B. Moät soá baøi toaùn: 1. Baøi 1: Cho ABC coù AC = 6cm; AB = 4 cm; caùc ñöôøng cao AH; BK; CI. Bieát AH = CI + BK 2 A Tính BC Giaûi K 2S 2S I Ta coù: BK = ABC ; CI = ABC AC AB 1 1 BK + CI = 2. SABC AC AB B H C 1 1 1 1 1 2AH = 2. . BC. AH . BC. 2 AC AB AC AB = 2 1 1 1 1 BC = 2 : = 2 : = 4,8 cm AC AB 6 4 Baøi 2: Cho ABC coù ñoä daøi caùc caïnh laø a, b, c; ñoä daøi caùc ñöôøng cao töông öùng laø ha, hb, hc. Bieát raèng a + ha = b + hb = c + hc . Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc ñeàu Giaûi Goïi SABC = S 2S 2S 1 1 a - b Ta xeùt a + ha = b + hb a – b = ha – hb = - 2S. - 2S. b a b a ab a - b 2S a – b = 2S. (a – b) 1 - = 0 ABC caân ôû C hoaëc vuoâng ôû C (1) ab ab Töông töï ta coù: ABC caân ôû A hoaëc vuoâng ôû A (2); ABC caân ôû B hoaëc vuoâng ôû B (3) Töø (1), (2) vaø (3) suy ra ABC caân hoaëc vuoâng ôû ba ñænh (Khoâng xaåy ra vuoâng taïi ba ñænh) ABC laø tam giaùc ñeàu Baøi 3: Cho ñieåm O naèm trong tam giaùc ABC, caùc tia AO, BO, Co caét caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC theo thöù töï taïi A’, B’, C’. Chöùng minh raèng: OA' OB' OC' OA OB OC a) 1 b) 2 AA' BB' CC' AA' BB' CC' OA OB OC c) M = 6 . Tìm vò trí cuûa O ñeå toång M coù giaù trò nhoû nhaát OA' OB' OC' OA OB OC d) N = . . 8 . Tìm vò trí cuûa O ñeå tích N coù giaù trò nhoû nhaát OA' OB' OC' Giaûi Goïi SABC = S, S1 = SBOC , S2 = SCOA , S3 = SAOB . Ta coù: Nguyễn Thành Chung 50 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: A OA S S S S = 2 = 3 2 3 (1) OA' SOA'C SOA'B S1 OA' S S S S S = OA'C = OA'B OA'C OA'B 1 (2) B' AA' SAA'C SAA'B SAA'C SAA'B S C' OA S S Töø (1) vaø (2) suy ra 2 3 O AA' S OB S S OC S S OB' S Töông töï ta coù 1 3 ; 1 2 ; 2 ; OB' S2 OC' S3 BB' S B A' C OC' S 3 CC' S OA' OB' OC' S S S S a) 1 2 3 1 AA' BB' CC' S S S S OA OB OC S S S S S S 2S b) 2 3 1 3 1 2 2 AA' BB' CC' S S S S OA OB OC S S S S S S S S S S S S c) M = 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3 OA' OB' OC' S1 S2 S3 S2 S1 S2 S3 S3 S1 S S S S S S Aùp duïng Bñt Coâ si ta coù 1 2 3 2 1 3 2 2 2 6 S2 S1 S2 S3 S3 S1 Ñaúng thöùc xaåy ra khi S1 = S2 = S3 O laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC S S S S S S S S S S S S d) N = 2 3 . 1 3 . 1 2 2 3 1 3 1 2 S1 S2 S3 S1.S2.S3 2 2 2 2 S2 S3 S1 S3 S1 S2 4S1S2.4S2S3.4S1S3 N = 2 2 64 N 8 S1.S2.S3 S1.S2.S3 Ñaúng thöùc xaåy ra khi S1 = S2 = S3 O laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC Baøi 4: Cho tam giaùc ñeàu ABC, caùc ñöôøng caoAD, BE, CF; goïi A’, B’, C’ laø hình chieáu cuûa M (naèm beân trong tam giaùc ABC) treân AD, BE, CF. Chöùng minh raèng: Khi M thay ñoåi vò trí trong tam giaùc ABC thì: a) A’D + B’E + C’F khoâng ñoåi b) AA’ + BB’ + CC’ khoâng ñoåi Giaûi A Goïi h = AH laø chieàu cao cuûa tam giaùc ABC thì h khoâng ñoåi Goïi khoaûng caùch töø M ñeán caùc caïnh AB; BC; CA laø MP; E MQ; MR thì A’D + B’E + C’F = MQ + MR + MP F C' R Vì M naèm trong tam giaùc ABC neân SBMC + SCMA + SBMA = P B' SABC A' M BC.(MQ + MR + MP) = BC.AH MQ + MR + MP = B Q D C AH A’D + B’E + C’F = AH = h Vaäy: A’D + B’E + C’F = AH = h khoâng ñoåi b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F) Nguyễn Thành Chung 51 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: = (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h khoâng ñoåi Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù BC baèng trung bình coäng cuûa AC vaø AB; Goïi I laø giao ñieåm cuûa caùc phaân giaùc, G laø troïng taâm cuûa tam giaùc. Chöùng minh: IG // BC Giaûi Goïi khoaûng caùch töø a, I, G ñeán BC laàn löôït laø AH, IK, GD A Vì I laø giap ñieåm cuûa ba ñöôøng phaân giaùc neân khoaûng caùch töø I ñeán ba caïnh AB, BC, CA baèng nhau vaø baèng IK I G Vì I naèm trong tam giaùc ABC neân: SABC = SAIB + SBIC + SCIA BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1) AB + CA B H K D M C Maø BC = AB + CA = 2 BC (2) 2 1 Thay (2) vaøo (1) ta coù: BC. AH = IK. 3BC IK = AH (a) 3 Vì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC neân: 1 1 1 SBGC = SABC BC . GD = BC. AH GD = AH (b) 3 3 3 Töø (a) vaø (b) suy ra IK = GD hay khoaûng caùch töø I, G ñeán BC baèng nhau neân IG // BC Baøi taäp veà nhaø: 1) Cho C laø ñieåm thuoäc tia phaân giaùc cuûa x· Oy = 600 , M laø ñieåm baát kyø naèm treân ñöôøng vuoâng goùc vôùi OC taïi C vaø thuoäc mieàn trong cuûa x· Oy , goïi MA, MB thöù töï laø khoaûng caùch töø M ñeán Ox, Oy. Tính ñoä daøi OC theo MA, MB 2) Cho M laø ñieåm naèm trong tam giaùc ñeàu ABC. A’, B’, C’ laø hình chieáu cuûa M treân caùc caïnh BC, AC, AB. Caùc ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC taïi C, vuoâng goùc vôùi CA taïi A , vuoâng goùc vôùi AB taïi B caét nhau ôû D, E, F. Chöùng minh raèng: a) Tam giaùc DEF laø tam giaùc ñeàu b) AB’ + BC’ + CA’ khoâng phuï thuoäc vò trí cuûa M trong tam giaùc ABC CHUYEÂN ÑEÀ 15 – TÌM GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT, NHOÛ NHAÁT CUÛA MOÄT BIEÅU THÖÙC Ngaøy soaïn: 09 – 4 - 2013 Ngaøy daïy: - 4 - 2013 A. Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa moät bieåu thöùc: 1) Khaùi nieäm: Neáu vôùi moïi giaù trò cuûa bieán thuoäc moät khoaûng xaùc ñònh naøo ñoù maø giaù trò cuûa bieåu thöùc A luoân luoân lôùn hôn hoaëc baèng (nhoû hôn hoaëc baèng) moät haèng soá k vaø toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå A coù giaù trò baèng k thì k goïi laø giaù trò nhoû nhaát (giaù trò lôùn nhaát) cuûa bieåu thöùc A öùng vôùi caùc giaù trò cuûa bieán thuoäc khoaûng xaùc ñònh noùi treân 2) Phöông phaùp a) Ñeå tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A, ta caàn: Nguyễn Thành Chung 52 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: + Chöùng minh A k vôùi k laø haèng soá + Chæ ra daá “=” coù theå xaåy ra vôùi giaù trò naøo ñoù cuûa bieán b) Ñeå tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa A, ta caàn: + Chöùng minh A k vôùi k laø haèng soá + Chæ ra daá “=” coù theå xaåy ra vôùi giaù trò naøo ñoù cuûa bieán Kí hieäu : min A laø giaù trò nhoû nhaát cuûa A; max A laø giaù trò lôùn nhaát cuûa A B.Caùc baøi taäp tìm Giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa moät bieåu thöùc: I) Daïng 1: Tam thöùc baäc hai Ví duï 1 : a) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = 2x2 – 8x + 1 b) Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa B = -5x2 – 4x + 1 Giaûi a) A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 - 7 min A = - 7 x = 2 4 2 4 9 9 2 9 b) B = - 5(x2 + x) + 1 = - 5(x2 + 2.x. + ) + = - 5(x + )2 5 5 25 5 5 5 5 9 2 max B = x = 5 5 b) Ví duï 2: Cho tam thöùc baäc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm min P neáu a > 0 b) Tìm max P neáu a 0 thì a(x + )2 0 do ñoù P k min P = k x = - 2a 2a b b b) Neáu a < 0 thì a(x + )2 0 do ñoù P k max P = k x = - 2a 2a II. Daïng 2: Ña thöùc coù daáu giaù trò tuyeät ñoái 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) A = (3x – 1)2 – 4 3x - 1 + 5 ñaët 3x - 1 = y thì A = y2 – 4y + 5 = (y – 2)2 + 1 1 x = 1 3x - 1 = 2 min A = 1 y = 2 3x - 1 = 2 1 3x - 1 = - 2 x = - 3 b) B = x - 2 + x - 3 B = x - 2 + x - 3 = B = x - 2 + 3 - x x - 2 + 3 - x = 1 min B = 1 (x – 2)(3 – x) 0 2 x 3 2) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa C = x2 - x + 1 x2 - x - 2 Nguyễn Thành Chung 53 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Ta coù C = x2 - x + 1 x2 - x - 2 = x2 - x + 1 2 + x - x2 x2 - x + 1 + 2 + x - x2 = 3 min C = 3 (x2 – x + 1)(2 + x – x2) 0 2 + x – x2 0 x2 – x – 2 0 (x + 1)(x – 2) 0 - 1 x 2 3) Ví duï 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = 3 (1) Vµ x 2 x 3 x 2 3 x x 2 3 x = 1 (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1 + 3 = 4 Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y ra khi 1 x 4 (2) DÊu b»ng x¶y ra khi 2 x 3 VËy T cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4 khi 2 x 3 III.Daïng 3: Ña thöùc baäc cao 1) Ví duï 1: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)( x2 – 7x + 12) Ñaët x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36 Min A = - 36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 (x – 1)(x – 6) = 0 x = 1 hoaëc x = 6 b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2 x - y = 0 = (x – y)2 + (x – 1)2 + 2 2 x = y = 1 x - 1 = 0 c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta coù C + 3 = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1). Ñaët x – 1 = a; y – 1 = b thì b b2 3b2 b 3b2 C + 3 = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a. + ) + = (a + )2 + 0 2 4 4 2 4 Min (C + 3) = 0 hay min C = - 3 a = b = 0 x = y = 1 2) Ví duï 2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4 Ñaët x + 7 = y C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + 1 + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + 1 = 2y4 + 12y2 + 2 2 min A = 2 y = 0 x = - 7 b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 0 min D = 0 x = 3 IV. Daïng phaân thöùc: 1. Phaân thöùc coù töû laø haèng soá, maãu laø tam thöùc baäc hai Bieåu thöùc daïng naøy ñaït GTNN khi maãu ñaït GTLN 2 - 2 2 Ví duï : Tìm GTNN cuûa A = = 6x - 5 - 9x2 9x2 - 6x + 5 (3x - 1)2 4 1 1 2 2 Vì (3x – 1)2 0 (3x – 1)2 + 4 4 A - (3x - 1)2 4 4 (3x - 1)2 4 4 1 2 1 1 min A = - 3x – 1 = 0 x = 2 3 Nguyễn Thành Chung 54 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 2. Phaân thöùc coù maãu laø bình phöông cuûa moät nhò thöùc 3x2 - 8x + 6 a) Ví duï 1: Tìm GTNN cuûa A = x2 - 2x + 1 +) Caùch 1: Taùch töû thaønh caùc nhoùm coù nhaân töû chung vôùi maãu 3x2 - 8x + 6 3(x2 - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 2 1 1 A = = 3 . Ñaët y = Thì x2 - 2x + 1 (x - 1)2 x - 1 (x - 1)2 x - 1 1 A = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 2 min A = 2 y = 1 = 1 x = 2 x - 1 +) Caùch 2: Vieát bieåu thöùc A thaønh toång cuûa moät soá vôùi moät phaân thöùc khoâng aâm 3x2 - 8x + 6 2(x2 - 2x + 1) + (x2 - 4x + 4) (x - 2)2 A = = 2 2 x2 - 2x + 1 (x - 1)2 (x - 1)2 min A = 2 x – 2 = 0 x = 2 x b) Ví duï 2: Tìm GTLN cuûa B = x2 20x + 100 x x 1 1 Ta coù B = . Ñaët y = x = 10 thì x2 20x + 100 (x + 10)2 x + 10 y 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 B = ( 10 ).y = - 10y + y = - 10(y – 2.y. y + ) + = - 10 y - + y 20 400 40 10 40 1 40 1 1 1 Max B = y - = 0 y = x = 10 40 10 10 x2 + y2 c) Ví duï 3: Tìm GTNN cuûa C = x2 + 2xy + y2 1 2 2 2 2 (x + y) (x - y) 2 x + y 1 1 (x - y) 1 1 Ta coù: C = 2 . min A = x x2 + 2xy + y2 (x + y)2 2 2 (x + y)2 2 2 = y 3. Caùc phaân thöùc coù daïng khaùc 3 - 4x a)Ví duï : Tìm GTNN, GTLN (Cöïc trò) cuûa A = x2 1 3 - 4x (4x2 4x 4) (x2 1) (x - 2)2 Ta coù: A = 1 1 min A = - 1 x = 2 x2 1 x2 1 x2 1 3 - 4x (4x2 4) (4x2 + 4x + 1) (2x 1)2 Ta laïi coù: A = 4 4 max A = 4 x = x2 1 x2 1 x2 1 1 2 C. Tìm GTNN, GTLN cuûa moät bieåu thöùc bieát quan heä giöõa caùc bieán 1) Ví duï 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN cuûa A = x3 + y3 + xy Ta coù A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1) a) Caùch 1: Bieåu thò aån naøy qua aån kia, roài ñöa veà moät tam thöùc baäc hai Töø x + y = 1 x = 1 – y 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 neân A = (1 – y) + y = 2(y – y) + 1 = 2(y – 2.y. + ) + = 2 y - + 2 4 2 2 2 2 Nguyễn Thành Chung 55 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 1 1 Vaäy min A = x = y = 2 2 b) Caùch 2: Söû duïng ñk ñaõ cho, laøm xuaát hieän moät bieåu thöùc môùi coù chöùa A Töø x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1(1). Maët khaùc (x – y)2 0 x2 – 2xy + y2 0 (2) Coäng (1) vôùi (2) veá theo veá, ta coù: 1 1 1 2(x2 + y2) 1 x2 + y2 min A = x = y = 2 2 2 2)Ví duï 2: Cho x + y + z = 3 a) Tìm GTNN cuûa A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN cuûa B = xy + yz + xz Töø Cho x + y + z = 3 Cho (x + y + z)2 = 9 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1) 1 Ta coù x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx = .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 2 1 = (x y)2 (x z)2 (y z)2 0 x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx (2) 2 Ñaúng thöùc xaåy ra khi x = y = z a) Töø (1) vaø (2) suy ra 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2 + y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 3 min A = 3 x = y = z = 1 b) Töø (1) vaø (2) suy ra 9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) xy+ yz + zx 3 max B = 3 x = y = z = 1 3) Ví duï 3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) víi x,y,z > 0 vµ x + y + z = 1 1 1 V× x,y,z > 0 ,¸p dông B§T C«si ta cã: x+ y + z 33 xyz 3 xyz xyz 3 27 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho x+y ; y+z ; x+z ta cã x y . y z . z x 33 x y . y z . x z 2 33 x y . y z . z x 1 8 1 8 DÊu b»ng x¶y ra khi x = y = z = S . 3 27 27 729 8 1 VËy S cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ khi x = y = z = 729 3 4) Ví duï 4: Cho xy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x4 y4 z4 ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho 6 sè (x,y,z) ;(x,y,z) 2 2 Ta cã xy yz zx 2 x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 (1) ¸p dông B§T Bunhiacèpski cho (x2 , y2 , z2 ) vµ (1,1,1) Ta cã (x2 y2 z2 )2 (12 12 12 )(x4 y4 z4 ) (x2 y2 z2 )2 3(x4 y4 z4 ) 1 Tõ (1) vµ (2) 1 3(x4 y4 z4 ) x4 y4 z4 3 1 3 VËy x4 y4 z4 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi x= y = z = 3 3 Nguyễn Thành Chung 56 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: D. Moät soá chuù yù: 1) Khi tìm GTNN, GTLN ta coù theå ñoåi bieán Ví duï : Khi tìm GTNN cuûa A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta ñaët x – 2 = y thì A = (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 + 2 2 2) Khi tìm cöïc trò cuûa moät bieåu thöùc, ta coù theå thay ñk cuûa bieåu thöùc naøy ñaït cöïc trò bôûi ñk töông ñöông laø bieåu thöùc khaùc ñaït cöïc trò: 1 +) -A lôùn nhaát A nhoû nhaát ; +) lôùn nhaát B nhoû nhaát (vôùi B > 0) B +) C lôùn nhaát C2 lôùn nhaát x4 + 1 Ví duï: Tìm cöïc trò cuûa A = 2 x2 + 1 1 a) Ta coù A > 0 neân A nhoû nhaát khi lôùn nhaát, ta coù A 2 2 1 x + 1 2x2 1 1 1 min = 1 x = 0 max A = 1 x = 0 A x4 + 1 x4 + 1 A b) Ta coù (x2 – 1)2 0 x4 - 2x2 + 1 0 x4 + 1 2x2. (Daáu baèng xaåy ra khi x2 = 1) 2x2 2x2 1 Vì x4 + 1 > 0 1 1 1 1 2 max = 2 x2 = 1 x4 + 1 x4 + 1 A 1 min A = x = 1 2 3) Nhieàu khi ta tìm cöïc trò cuûa bieåu thöùc trong caùc khoaûng cuûa bieán, sau ñoù so saùmh caùc cöïc trò ñoù ñeå ñeå tìm GTNN, GTLN trong toaøn boä taäp xaùc ñònh cuûa bieán y Ví duï: Tìm GTLN cuûa B = 5 - (x + y) a) xeùt x + y 4 - Neáu x = 0 thì A = 0 - Neáu 1 y 3 thì A 3 - Neáu y = 4 thì x = 0 vaø A = 4 b) xeùt x + y 6 thì A 0 So saùnh caùc giaù trò treân cuûa A, ta thaáy max A = 4 x = 0; y = 4 4) Söû duïng caùc haèng baát ñaúng thöùc Ví duï: Tìm GTLN cuûa A = 2x + 3y bieát x2 + y2 = 52 Aùp duïng Bñt Bunhiacoápxki: (a x + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) cho caùc soá 2, x , 3, y ta coù: (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 2x + 3y 26 2 x y 3x 2 2 2 3x 2 Max A = 26 = y = x + y = x + = 52 13x = 52.4 x 2 3 2 2 = 4 Vaäy: Ma x A = 26 x = 4; y = 6 hoaëc x = - 4; y = - 6 5) Hai soá coù toång khoâng ñoåi thì tích cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau Nguyễn Thành Chung 57 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Hai soá coù tích khoâng ñoåi thì toång cuûa chuùng lôùn nhaát khi vaø chæ khi chuùng baèng nhau a)Ví duï 1: Tìm GTLN cuûa A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khoâng ñoåi neân tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lôùn nhaát khi vaø chæ khi x2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = 0 x = 5 hoaëc x = - 2 Khi ñoù A = 11. 11 = 121 Max A = 121 x = 5 hoaëc x = - 2 (x + 4)(x + 9) b) Ví duï 2: Tìm GTNN cuûa B = x (x + 4)(x + 9) x2 13x + 36 36 Ta coù: B = x + 13 x x x 36 36 36 36 Vì caùc soá x vaø coù tích x. = 36 khoâng ñoåi neân x + nhoû nhaát x = x x x x x = 6 36 A = x + 13 nhoû nhaát laø min A = 25 x = 6 x 6)Trong khi tìm cöïc trò chæ caàn chæ ra raèng toàn taïi moät giaù trò cuûa bieán ñeå xaåy ra ñaúng thöùc chöù khoâng caàn chæ ra moïi giaù trò ñeå xaåy ra ñaúng thöùc Ví duï: Tìm GTNN cuûa A = 11m 5n Ta thaáy 11m taän cuøng baèng 1, 5n taän cuøng baèng 5 Neáu 11m > 5n thì A taän cuøng baèng 6, neáu 11m B B A + A > B > 0 An > Bn n + A>B vµ B >C A > C + A > B An > Bn víi n lÎ + A>B A + C >B + C + A > B An > Bn víi n ch½n + A>B vµ C > D A +C > B + D + m > n > 0 vµ A > 1 Am > An + A>B vµ C > 0 A.C > B.C m n + A>B vµ C n > 0 vµ 0 0 A B 3 - mét sè h»ng bÊt ®¼ng thøc + A2 0 víi  A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + An 0 víi A ( dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) Nguyễn Thành Chung 58 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: + A 0 víi A (dÊu = x¶y ra khi A = 0 ) + -A 0) + A B A B ( dÊu = x¶y ra khi A.B B Ta chøng minh A – B > 0 Lu ý dïng h»ng bÊt ®¼ng thøc M2 0 víi  M VÝ dô 1  x, y, z chøng minh r»ng : a) x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz Gi¶i: 1 a) Ta xÐt hiÖu : x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx = .2 .( x2 + y2 + z2 - xy – yz – zx) 2 1 = (x y)2 (x z)2 (y z)2 0 ®óng víi mäi x;y;z R 2 V× (x-y)2 0 víix ; y .DÊu b»ng x¶y ra khi x = y (x- z)2 0 víix ; z . DÊu b»ng x¶y ra khi x = z (y- z)2 0 víi z; y . DÊu b»ng x¶y ra khi z = y VËy x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx . DÊu b»ng x¶y ra khi x = y =z b)Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x2 + y2 + z2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z)2 0 ®óng víi mäi x;y;z R VËy x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz ®óng víi mäi x;y;z R DÊu b»ng x¶y ra khi x + y = z VÝ dô 2: chøng minh r»ng : 2 2 2 2 2 a 2 b2 a b a b c a b c a) ; b) c) H·y tæng qu¸t bµi to¸n 2 2 3 3 gi¶i a) Ta xÐt hiÖu 2 2 2 2 2 2 2 a b a b 2 a b a 2ab b 1 2 2 2 2 1 2 = = 2a 2b a b 2ab = a b 0 2 2 4 4 4 4 2 a 2 b2 a b VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 1 2 2 2 b)Ta xÐt hiÖu: = a b b c c a 0 3 3 9 2 a 2 b2 c2 a b c VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b =c 3 3 2 2 2 2 a1 a 2 a n a1 a 2 a n c)Tæng qu¸t: n n * Tãm l¹i c¸c bíc ®Ó chøng minh A B theo ®Þnh nghÜa Nguyễn Thành Chung 59 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: Bíc 1: Ta xÐt hiÖu H = A - B Bíc 2:BiÕn ®æi H = (C+D)2 hoÆc H=(C+D)2 + .+(E+F) 2 Bíc 3: KÕt luËn A B 2) ph¬ng ph¸p 2 : Dïng phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng Lu ý: Ta biÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi bÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc bÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh lµ ®óng. VÝ dô 1: Cho a, b, c, d,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng b2 a) a 2 ab b)a 2 b2 1 ab a b c) 4 a 2 b2 c2 d2 e2 a b c d e Gi¶i: 2 b 2 a) a 2 ab 4a 2 b2 4ab 4a 2 4a b2 0 2a b 0 (B®t nµy lu«n 4 ®óng) b2 Vëy a 2 ab (dÊu b»ng x¶y ra khi 2a = b) 4 b) a 2 b2 1 ab a b 2(a 2 b2 1) 2(ab a b) a 2 2ab b2 a 2 2a 1 b2 2b 1 0 (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0 (lu«n ®óng) VËy a 2 b2 1 ab a b DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = 1 c) a 2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 4 a 2 b2 c2 d2 e2 4a b c d e a 2 4ab 4b2 a 2 4ac 4c2 a 2 4ad 4d2 a 2 4ac 4c2 0 a 2b 2 a 2c 2 a 2d 2 a 2c 2 0 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a10 b10 a 2 b2 a8 b8 a 4 b4 Gi¶i: a10 b10 a 2 b2 a8 b8 a 4 b4 a12 a10b2 a 2b10 b12 a12 a8b4 a 4b8 b12 a8b2 a 2 b2 a 2b8 b2 a 2 0 a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0 a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0 x.y.z 1 1 1 1 VÝ dô 4: cho ba sè thùc kh¸c kh«ng x, y, z tháa m·n: x y z x y z Chøng minh r»ng : cã ®óng mét trong ba sè x,y,z lín h¬n 1 Gi¶i: XÐt (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 1 1 1 1 1 1 = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( ) = x + y + z - ( ) 0 x y z x y z 1 1 1 (v× 1 x.y.z>1 M©u thuÉn gt x.y.z =1 b¾t buéc ph¶i x¶y ra trêng hîp trªn tøc lµ cã ®óng 1 trong ba sè x ,y ,z lµ sè lín h¬n 1 3) Ph¬ng ph¸p 3: dïng bÊt ®¼ng thøc quen thuéc A) mét sè bÊt ®¼ng thøc hay dïng Nguyễn Thành Chung 60 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 1) C¸c bÊt ®¼ng thøc phô: a) x2 y2 2xy b) x2 y2 xy dÊu( = ) khi x = y = 0 2 a b c) x y 4xy d) 2 b a a a a a n 2)BÊt ®¼ng thøc C« sy: 1 2 3 n a a a a Víi a 0 n 1 2 3 n i 3)BÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski 2 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 a n . x1 x2 n a1x1 a 2x2 a n xn 4) BÊt ®¼ng thøc Trª-b - sÐp: a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c aA bB cC a b c A B C NÕu . A B C 3 3 3 a b c DÊu b»ng x¶y ra khi A B C B) c¸c vÝ dô vÝ dô 1 Cho a, b ,c lµ c¸c sè kh«ng ©m chøng minh r»ng (a+b) (b+c)(c+a) 8abc Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc phô: x y 2 4xy Tacã a b 2 4ab ; b c 2 4bc ; c a 2 4ac 2 2 2 2 a b b c c a 64a 2b2c2 8abc (a + b)(b + c)(c + a) 8abc DÊu “=” x¶y ra khi a = b = c vÝ dô 2: Cho a > b > c > 0 vµ a 2 b2 c2 1 chøng minh r»ng a3 b3 c3 1 b c a c a b 2 a 2 b2 c2 Do a,b,c ®èi xøng , gi¶ sö a b c a b c b c a c a b ¸p dông B§T Trª- b-sÐp ta cã 2 2 2 2 a 2 b 2 c a b c a b c 1 3 1 a . b . c . . =. = b c a c a b 3 b c a c a b 3 2 2 a3 b3 c3 1 1 VËy DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c = b c a c a b 2 3 vÝ dô 3: Cho a,b,c,d > 0 vµ abcd =1 .Chøng minh r»ng : a 2 b2 c2 d2 a b c b c d d c a 10 Ta cã a 2 b2 2ab ; c2 d2 2cd 1 1 1 Do abcd =1 nªn cd = (dïng x ) ab x 2 1 Ta cã a 2 b2 c2 2(ab cd) 2(ab ) 4 (1) ab MÆt kh¸c: a b c b c d d c a = (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad) Nguyễn Thành Chung 61 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: 1 1 1 = ab ac bc 2 2 2 ab ac bc a 2 b2 c2 d2 a b c b c d d c a 10 vÝ dô 4: Chøng minh r»ng : a 2 b2 c2 ab bc ac Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski XÐt cÆp sè (1,1,1) vµ (a,b,c) ta cã 12 12 12 (a 2 b2 c2 ) 1.a 1.b 1.c 2 3 a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 2 ab bc ac a 2 b2 c2 ab bc ac (®pcm) DÊu b»ng x¶y ra khi a = b = c 4) Ph¬ng ph¸p 4: dïng tÝnh chÊt cña tû sè A. KiÕn thøc 1) Cho a, b ,c lµ c¸c sè d¬ng th× a a a c a a a c a ) NÕu 1 th× b ) NÕu 1 th× b b b c b b b c a c a a c c 2) NÕu b, d > 0 th× tõ b d b b d d B. C¸c vÝ dô: vÝ dô 1: Cho a, b, c, d > 0 a b c d Chøng minh r»ng :1 2 a b c b c d c d a d a b a a a d Theo tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc ta cã 1 (1) a b c a b c a b c d a a MÆt kh¸c : (2) a b c a b c d a a a d Tõ (1) vµ (2) ta cã (3) a b c d a b c a b c d b b b a T¬ng tù ta cã : (4) a b c d b c d a b c d c c b c d d d c (5); a b c d c d a a b c d a b c d d a b a b c d (6) céng vÕ víi vÕ cña (3); (4); (5); (6) ta cã a b c d 1 2 (®pcm) a b c b c d c d a d a b a c vÝ dô 2 : Cho: vµ b,d > 0 b d a ab cd c Chøng minh r»ng b b2 d2 d a c ab cd ab ab cd cd c a ab cd c Gi¶i: Tõ (®pcm) b d b2 d2 b2 b2 d2 d2 d b b2 d2 d vÝ dô 3 : Cho a;b;c;d lµ c¸c sè nguyªn d¬ng tháa m·n : a + b = c+d =1000 a b t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c d Nguyễn Thành Chung 62 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: a b a a b b a gi¶i : Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö : ; 1 v× a + b = c c d c c d d c + d b a b a, NÕu: b 998 th× 998 999 d c d a b 1 999 b, NÕu: b = 998 th× a =1 = §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi d = 1; c = 999 c d c d a b 1 VËy: gi¸ trÞ lín nhÊt cña = 999 + khi a = d = 1; c = b = 999 c d 999 1 1 1 1 3 VÝ dô 4 : Víi mäi sè tù nhiªn n >1 chøng minh r»ng : 2 n 1 n 2 n n 4 1 1 1 Ta cã víi k = 1,2,3, ,n-1 n k n n 2n 1 1 1 1 1 n 1 Do ®ã: n 1 n 2 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 VÝ dô 5: CMR: A = 1 với n ≥ 2 kh«ng lµ sè tù nhiªn 22 32 42 n 2 1 1 1 1 HD: ; ; 22 1.2. 32 2.3 VÝ dô 6: Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chøng minh r»ng : a b b c c d d a 2 3 a b c b c d c d a d a b Gi¶i : a b a b a b d V× a ,b ,c ,d > 0 nªn ta cã: (1) a b c d a b c a b c d b c b c b c a (2) a b c d b c d a b c d d a d a d a c (3) a b c d d a b a b c d Céng c¸c vÕ cña 4 bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã : a b b c c d d a 2 3 (®pcm) a b c b c d c d a d a b 5. Ph¬ng ph¸p 5:Dïng bÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c Lu ý: NÕu a;b;clµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c th× : a; b; c > 0 Vµ |b-c| (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Gi¶i 0 a b c a 2 a(b c) 2 a)V× a,b,c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn ta cã 0 b a c b b(a c) 2 0 c a b c c(a b) Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã a2 + b2 + c2 b - c a 2 a 2 (b c)2 > 0 b > a - c b2 b2 (c a)2 > 0 Nguyễn Thành Chung 63 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: c > a - b c2 c2 (a b)2 0 Nh©n vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc ta ®îc: a 2b2c2 a 2 b c 2 b2 c a 2 c2 a b 2 a 2b2c2 a b c 2 b c a 2 c a b 2 abc a b c . b c a . c a b VÝ dô2: (®æi biÕn sè) a b c 3 Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng (1) b c c a a b 2 y z x z x y x y z §Æt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta cã a = ; b = ; c = 2 2 2 y z x z x y x y z 3 y z x z x y ta cã (1) 1 1 1 3 2x 2y 2z 2 x x y y z z y x z x z y ( ) ( ) ( ) 6 lµ B®t ®óng? x y x z y z VÝ dô 3: (®æi biÕn sè) 1 1 1 Cho a, b, c > 0 vµ a + b + c 0 x y z Theo bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã: 1 1 1 1 1 1 1 x y z 3.3 xyz vµ 3. .3 x y z . 9 x y z xyz x y z 6) ph¬ng ph¸p lµm tréi : Chøng minh B§T sau : 1 1 1 1 a) 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 1 1 1 b) 1 2 1.2 1.2.3 1.2.3 n Gi¶i : 1 1 2k 1 (2k 1) 1 1 1 a) Ta cã : . 2n 1 . 2n 1 2 (2k 1).(2k 1) 2 2k 1 2k 1 Cho n ch¹y tõ 1 ®Õn k .Sau ®ã céng l¹i ta cã 1 1 1 1 2 1 . 1 (®pcm) 1.3 3.5 (2n 1).(2n 1) 2 2n 1 2 1 1 1 1 1 1 b) Ta cã : 1 1 1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3 n 1 .n 1 1 1 1 1 1 < 1 1 2 2 (®pcm) 2 2 3 n 1 n n Bµi tËp vÒ nhµ: 1) Chøng minh r»ng: x2 + y2 + z2 +3 2 (x + y + z) HD: Ta xÐt hiÖu: x2 + y2 + z2 +3 – 2( x+ y +z ) = x2 - 2x + 1 + y2 -2y +1 + z2 -2z +1 Nguyễn Thành Chung 64 Trường THCS Kỳ Ninh
Website: a b c 2) Cho a ,b,c lµ sè ®o ba c¹nh tam gi¸c. Chøng minh r»ng : 1 2 b c c a a b a a a 2a a a (HD: vµ ) b c a b c a b c b c a b c 1 1 1 1 1 3) 1 0. Chøng minh r»ng a + b + c a b c bc ac b a ac ab bc ab HD: = c 2c; ? ; ? a b a b b c a c Nguyễn Thành Chung 65 Trường THCS Kỳ Ninh