Bài tập môn Toán Lớp 12 - Bài 3: Logarit

Nội dung text: Bài tập môn Toán Lớp 12 - Bài 3: Logarit

1. BÀI 3. LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM LOGARIT Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 1. Định nghĩa: Cho 2 số a,b 0 dương với a khác 1. Số thỏa mãn đẳnng thức a b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu loga b a a = loga b Û a = b Chú ý . Không có logarit của số 0 và số âm vì a luông dương với mọi . Cơ số của logarit phải dương và khác 1 . Theo đinh nghĩa logarit ta có các tính chất sau 2. Tính chất Cho hai số dương a và b , a 0 . Ta có các tính chất sau logab loga1 0; loga a 1; a b, b ¡ ,b 0; loga a , ¡ Ví dụ. Tính log 4 log 3 log 3 1 a) 4 2 ; b) 3 3 ; c) 2 2 ; d) log 4 e) log 2 3 3 1 log 1 log 5+ log 3 f) log g) (2a) 3 a với 0 0; b1> 0; b2> 0, a 1 b log 1 log b log b a b a 1 a 2 2 Logarit của một thương bằng hiệu các logarit
2. 1 log log b, 0 a 1,b 0 a b a Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Ví dụ. Tính a) log 100 log 4 ; b) log 20 log 6 log 15 . 25 25 2 2 2 c) log 5 log 10 log 25 . d) log 6 log 7 log 14 2 2 2 3 3 3 3. Logarit của một lũy thừa: a > 0; b> 0, a 1 loga b loga b Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số 1 log n b log b a n a Ví dụ 5. Cho loga b 2;loga c 3 . Hãy tính loga x , biết a2b3 a2 b a) x b) x c) x a23bc2 c4 c3 III. ĐỔI CƠ SỐ: Cho a > 0; b > 0; c>0, a 1, c 1 log b 1 1 log b c ; log b ,b 1; log b log b, 0 a log a a log a a a c b 1 Ví dụ. a) Tính log 2 log 3 ; b)Cho log 3 a;log 5 b;log 2 c . Tính log 50 36 1 2 3 7 63 2 6 V. LOGARIT THẬP PHÂN. LOGARIT TỰ NHIÊN 1. Lôgarit thập phân Lôgarit thập phân là logarit cơ số 10 của một số dương x được gọi là logarit thập phân của x và được kí hiệu là log x hoặc lg . Một ứng dụng quan trong của logarit thập phân trong các bài toán Casio Rõ ràng khi x 10n thì log x n . Còn với số x 1 tùy ý, viết x trong hệ thập phân thì số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x là n 1, trong đó n là phần nguyên của log x , kí hiệu n log x . Thật vậy, vì 10n là số tự nhiên bé nhất có n 1 chữ số nên số các chữ số đứng trước dấu phẩy của x bằng n 1 khi và chỉ khi 10n x 10n 1 , tức là n log x n 1 ; điều này chứng tỏ n log x . Ví dụ: Để tìm số các chữ số của 22008 khi viết trong hệ thập phân người ta lấy giá trị gần đúng của log 2 là 0,3010 và ta được 2008.log 2 1 2008.0,3010 1 605 . Vậy số 22008 có 605 chữ số.
3. 2. Lôgarit tự nhiên: Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e. Kí hiệu loge b ln b Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tính toán về logarit 2 3 Câu 1: Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log2 a x , log2 b y . Tính P log2 a b . A. P x2 y3 B. P x2 y3 C. P 6xy D. P 2x 3y Lời giải Chọn D 2 3 2 3 P log2 a b log2 a log2 b 2log2 a 3log2 b 2x 3y . a,b 0 a,b 1 P log b3.log a4 Câu 2: Cho và , biểu thức a b có giá trị bằng bao nhiêu? A. 18 . B. 24 . C. 12 . D. 6 . Lời giải Chọn B P log b3.log a4 6log b . 4log a 24 a b a b . 1 2 2 Câu 3: Cho b là số thực dương khác 1. Tính P logb b .b . 3 5 1 A. P . B. P 1. C. P . D. P . 2 2 4 Lời giải Chọn C 1 5 2 2 2 5 5 Ta có P logb b .b logb b logb b . 2 2 2 Câu 4:Cho a 0 , a 1 . Biểu thức aloga a bằng A. 2a . B. 2 . C. 2a . D. a2 . Lời giải Chọn D 2 Ta có aloga a a2loga a a2 . Câu 5: Giá trị biểu thức A 2log4 9 log2 5 là: A. A 8 . B. A 15 . C. A 405 . D. A 86 . Lời giải Chọn B Ta có A 2log4 9 log2 5 2log4 9.2log2 5 2log2 3.2log2 5 3.5 15 . 1 Câu 6: Cho a 0,a 1. Tính giá trị của biểu thức P log 3 3 a a A. P 9 . B. P 1 . C. P 1. D. P 9
4. Lời giải Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Chọn A Ta có: Thay số bất kỳ chẳng hạn a 3 có ngay P 9 . 1 Câu 7: Cho a 0,a 1 . Tính giá trị của biểu thức P log 3 3 a a A. P 9 . B. .P 1 C. . P 1 D. . P 9 Lời giải Chọn A 1  Tự luận : P log log a 3 9log a 9 3 a 3 1 a a a3 1  Trắc nghiệm : Sử dụng máy tính, thay a 2 rồi nhập biểu thức log 3 3 vào máy a a bấm = ta được kết quả P 9 . a2 Câu 8: Cho a là số thực dương khác 2 . Tính I log a . 2 4 1 1 A. I . B. I . C. I 2 . D. I 2 . 2 2 Lời giải Chọn C 2 a2 a a I log a log a 2log a 2 . 2 4 2 2 2 2 Câu 9: Cho a là số thực dương và b là số thực khác 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 3a3 1 3a3 A. log3 2 1 log3 a 2log3 b . B. log3 2 1 3log3 a 2log3 b . b 3 b 3a3 3a3 C. log3 2 1 3log3 a 2log3 b . D. log3 2 1 3log3 a 2log3 b . b b Lời giải Chọn C 3 3a 3 2 3 Ta có log3 2 log3 3a log3 b log3 3 log3 a log3 b . b 3 log3 3 log3 a log3 b 1 3log3 a 2log3 b . Câu 10: Cho log3 a . Tính log9000 theo a . A. 6a . B. a2 3 . C. 3a2 . D. 2a 3 . Lời giải
5. Chọn D Cách 1: log9000 log9 log1000 2log3 3 2a 3 . Cách 2: Gán log3 a . Tính log9000 2a 3 0 . Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 11: Cho log6 9 a. Tính log3 2 theo a a a 2 a 2 2 a A. . B. . C. . D. . 2 a a a a Lời giải Chọn D 2 2 2 a Ta có: log6 9 2log2.3 3 a log3 2 1 log3 2 . log3 2.3 a a a,b 0 log b2 log b4 Câu 12: Cho . Rút gọn biểu thức a a2 A. 2loga b B. 0 C. loga b D. 4loga b Lời giải Chọn D 2 4 1 Ta có log b log 2 b 2log b .4.log b 4log b . a a a 2 a a Câu 13: Cho loga x 2 , logb x 3 với a , b là các số thực lớn hơn 1. Tính P log a x . b2 1 1 A. 6 . B. 6 . C. . D. . 6 6 Lời giải Chọn B Vì a , b là các số thực lớn hơn 1 nên ta có: 2 3 loga x 2 x a a2 b3 a b3 a b2 . 3 logb x 3 x b P log a x log 3 x log 1 x 2logb x 6 . 2 2 b2 b b b2 Câu 14: Đặt a log2 3 và b log5 3 . Hãy biểu diễn log6 45 theo a và b . a 2ab 2a2 2ab a 2ab A. log 45 . B. log 45 . C. log 45 . D. 6 ab b 6 ab 6 ab 2a2 2ab log 45 . 6 ab b Lời giải Chọn A
6. 1 2 2 log3 5.3 log 5 2 a 2ab log 45 3 b . 6 log 2.3 log 2 1 1 ab b 3 3 1 a Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2 a b a b a 1 log b 2 T log 3 ba Câu 15: Cho số thực dương , thỏa mãn , , a . Tính a . b 2 2 2 2 A. T . B. T . C. T . D. T . 5 5 3 3 Lời giải Chọn D 1 Ta có: log b 2 log a . a b 2 1 1 T log 3 ba log 3 b log 3 a . a a a a a b b b log log 3 b b 3 a b 1 1 1 1 . log a log b log a log b 3 3 3 b 3 b 3 a 3 a log a 3 3log b 2 b 2 a 1 1 2 . 3 1 3 . 3 3.2 3 2 2 2 Câu 16: Với a log2 5 và b log3 5 , giá trị của log6 5 bằng ab a b 1 A. . B. . C. . D. a b . a b ab a b Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1 ab Ta có log 5 . 6 log 6 log 2 log 3 1 1 log 2 log 3 1 1 a b 5 5 5 5 5 a b a b Câu 17: Biết log xy3 1 và log x2 y 1 , tìm log xy ? 5 1 3 A. log xy . B. log xy . C. log xy . D. log xy 1 . 3 2 5 Lời giải Chọn A Ta có log xy3 1 log xy 2log y 1, log x2 y 1 log xy log x 1 Vậy log x 2log y x y2 1 Xét log xy3 1 log y2 y3 1 5log y 1 y 105 3 3 3 Vậy log xy log y log 105 5 a P log a10b2 log log b 2 0 a 1;0 b 1 Câu 18: Tính giá trị của biểu thức a2 a 3 b ( với ). b A. P 2 . B. P 1. C. P 3 . D. P 2 . Lời giải
7. Chọn B Sử dụng các quy tắc biến đổi logarit a P log a10b2 log log b 2 a2 a 3 b b 1 . log a10 log b2 2 log a log b 3. 2 log b . 2 a a a a b 1 1 10 2loga b 2 1 loga b 6 1. 2 2 Câu 19: Biết log27 5 a, log8 7 b, log2 3 c thì log12 35 tính theo a, b, c bằng: 3 b ac 3b 2ac 3b 2ac 3 b ac A. . B. . C. . D. . c 2 c 1 c 2 c 1 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có: log 5 log 5 a log 5 3a , log 7 log 7 b log 7 3b . 27 3 3 3 8 3 2 2 log 7.5 log 7 log 5 log 7 log 3.log 5 3b c.3a 3 b ac log 35 2 2 2 2 2 3 . Mà 12 2 log2 3.2 log2 3 2 log2 3 2 c 2 c 2 2 2 Câu 20: Cho a,b 0 , nếu log8 a log4 b 5 và log4 a log8 b 7 thì giá trị của ab bằng A. 29 . B. 8 . C. 218 . D. 2 . Lời giải Chọn A 1 2 log a log b 5 2 2 6 log8 a log4 b 5 3 log2 a 6 a 2 Ta có: . log a2 log b 7 1 log b 3 b 23 4 8 log a log b 7 2 2 3 2 Vậy ab 29 . Dạng 2. So sánh hai số logarit Câu 1: Số nào trong các số sau lớn hơn 1 1 1 A. log0,5 . B. log0,2 125 . C. log1 36 . D. log0,5 . 8 6 2 Lời giải Chọn A Ta có: 1 3 3 log log 1 2 3 1 , log 125 log 1 5 3 1. 0,5 8 2 0,2 5 1 log 36 log 62 2 1 log log 0,5 1 1 6 1 , 0,5 0,5 . 6 2 Câu 2: Cho a , b là các số thực, thỏa mãn 0 a 1 b , khẳng định nào sau đây đúng?
8. A. logb a loga b 0 . B. logb a 1 . C. loga b 0 . D. loga b logb a 2 . Hướng dẫn giải Chọn A Vì 0 a 1 b nên logb a logb 1 logb a 0 và loga b loga 1 loga b 0 . Suy ra : logb a loga b 0 . Câu 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a 1, b 1 . Điều kiện nào sau đây cho biết loga b 0 ? A. ab 1 B. a 1 b 1 0 C. b 1 D. ab 1 Lời giải Chọn C a, b 0 a2 b2 14ab log a b 4 log a log b hoặc . nVậy 2 2 2 . Câu 4: Cho các số thực a , b thỏa mãn 1 a b . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. 1 . B. 1 . loga b logb a logb a loga b 1 1 1 1 C. 1 . D. 1 . loga b logb a loga b logb a Lời giải Chọn A Vì 1 a b nên ta có logb a logb b logb a 1 và loga a loga b 1 loga b . 1 1 Do đó logb a 1 loga b 1 . loga b logb a Câu 5: Cho 0 a b 1 , mệnh đề nào dưới đây đúng? A. logb a loga b . B. logb a loga b . C. loga b 1. D. loga b 0 . Lời giải Chọn A Do 0 a 1 nên hàm số y loga x nghịch biến trên 0; . Đáp án B sai, vì: Với b 1 loga b loga 1 loga b 0 . Đáp án D sai, vì: Với a b loga a loga b loga b 1 . Với 0 a b 1 ta có 0 loga b 1 . 1 2 Đáp án C sai, vì: Nếu logb a loga b loga b loga b 1 (vô lí). loga b 1 2 Đáp án A đúng, vì: Nếu logb a loga b loga b loga b 1 (luôn đúng). loga b
9. Câu 6: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. log3 5 0 . B. log 2016 log 2017 . 2 x2 2 x2 1 C. log0,3 0,8 0 . D. log3 4 log4 . 3 Lời giải Chọn C 0 Ta có: log0,3 0,8 0 0,8 0,3 0,8 1 (sai) Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ