Bài tập Hình học luyện thi vào Lớp 10 THPT

Nội dung text: Bài tập Hình học luyện thi vào Lớp 10 THPT

1. ÔN HÌNH THI VÀO 10 ( BT mẫu + BT luyện) Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: A N 1. Tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 1 E 3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. P F 1 4. H và M đối xứng nhau qua BC. 2 O 5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. H Giải - 1 ( 1 Xét tứ giác CEHD ta có: B D 2 ( C  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao) -  CDH = 900 ( Vì AD là đường cao) M =>  CEH +  CDH = 1800 mà  CEH và  CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp 2 Theo giả thiết: BE là đường cao => BE  AC => BEC = 900. CF là đường cao => CF  AB => BFC = 900. Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC. Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn. 3 Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:  AEH =  ADC = 900 ; Â là góc chung AE AH => AEH  ADC => => AE.AC = AH.AD. AD AC * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có:  BEC =  ADC = 900 ; C là góc chung BE BC => BEC  ADC => => AD.BC = BE.AC. AD AC 4. Ta có C1 = A1 ( vì cùng phụ với góc ABC) C2 = A1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) => C1 =  C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB  HM => CHM cân tại C => CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC. 5. Theo chứng minh trên bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn => C1 = E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp C 1 = E2 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) E 1 = E2 => EB là tia phân giác của góc FED. Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Bài 2 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1.Chứng minh AC + BD = CD. y x D 0 2.Chứng minh COD = 90 . / 2 I AB M 3.Chứng minh AC. BD = . / 4 C 4.Chứng minh OC // BM N 5.Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD. 5.Chứng minh MN  AB. A O B 6.Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất.
2. 1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM. Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà AOM và BOM là hai góc kề bù => COD = 900. 3.Theo trên COD = 90 0 nên tam giác COD vuông tại O có OM  CD ( OM là tiếp tuyến ). áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có OM2 = CM. DM, AB2 Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC. BD =R2 => AC. BD = . 4 4. Theo trên COD = 900 nên OC  OD .(1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực của BM => BM  OD .(2). Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD). 5.Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính. Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB IO // AC , mà AC  AB => IO  AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD CN AC CN CM 6. Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy ra BN BD BN DM => MN // BD mà BD  AB => MN  AB. 7. ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy ra chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất , mà CD nhỏ nhất khi CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By. Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm của cung AB. Bài 3 Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp. 2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . d 3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. A P 4. Chứng minh OAHB là hình thoi. K D 5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng. N 6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d O H M Lời giải: I 1. Tự làm C 2. Vì K là trung điểm NP nên OK  NP ( quan hệ đường kính B Và dây cung) => OKM = 900. Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900. như vậy K, A, B cùng nhìn OM dưới một góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM. Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực của AB => OM  AB tại I . Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vuông tại A có AI là đường cao. áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI. IM = IA2. 4. Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH. OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH. => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi. 5. Theo trên OAHB là hình thoi. => OH  AB; cũng theo trên OM  AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB).
3. 6. (HD) Theo trên OAHB là hình thoi. => AH = AO = R. Vậy khi M di động trên d thì H cũng di động nhưng luôn cách A cố định một khoảng bằng R. Do đó quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R BT tự làm Bài 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại trung điểm M của OA. a) Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi b) Chứng minh 4.MO.MB = CD2 c) Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại N. Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CDN và B là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc N của ∆CDN. d) Chứng minh BM.AN = AM.BN Bài 2: Cho điểm A nằm ngoài (O; R). Từ A vẽ tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến ADE đến (O). Gọi H là trung điểm của DE a) Chứng minh rằng A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn b) Chứng minh HA là tia phân giác của B· HC c) DE cắt BC tại I. Chứng minh AB2 = AI.AH d) Cho AB R 3 và R = 2OH. Tính HI theo R Bài 3: Cho đường tròn (O; R ) và dây BC sao cho B· OC 1200 . Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại A. a) Chứng minh rằng ∆ABC đều. Tính diện tích ∆ABC theo R b) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB , AC lần lượt tại E, F. Tính chu vi ∆AEF theo R. c) Tính số đo của E· OF d) OE, OF cắt BC lần lượt tại H, K. Chứng minh FHOE và ba đường thẳng FH, EK, OM đồng quy. Bài 4: Cho hai đường tròn (O, 4cm) và (O' ; 3cm) với OO' = 6cm a) Chứng tỏ (O; 4cm) và (O'; 3cm) cắt nhau b) Gọi giao điểm 2 đường trong này là A và B. Vẽ đường kính AC của (O) và đường kính AD của (O'). Chứng minh C, B, D thẳng hàng. AN c) Qua B vẽ đường thẳng d cắt (O) tại M và cắt (O') tại N (B năm giữa M và N). Tính tỉ số AM » 0 d) Cho số đo AN 120 tính S∆AMN Bài 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O).M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh ∆DMC đều b) Chứng minh MB + MC = MA c) Chứng minh tứ giác ADOC nội tiếp được d) Khi M di động trên cung nhỏ BC thì D di động trên đường cố định nào? Bài 6: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC tại D và E. BE giao CD tại H. a) Chứng minh rằng AH  BC b) Chứng minh đường trung trực của DH đi qua trung điểm I của AH c) Chứng minh đường OE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ADE d) Biết BC = 2R và AB = HC. Tính BE, EC theo R Bài 7: Cho (O ; R) và đường kính AB cố định, CD là đường kính di động (CD không  AB, không trùn AB). a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật b) Các đường thẳng BC, BD cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O lần lượt tại E, F. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. c) Chứng minh AB3 CE.DF.FE d) Các đường trung trực của hai đoạn thẳng CD và EF cắt nhau tại I. Chứng minh khi CD quay quanh O thì I di động trên một đường cố định. Bài 8: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O ;R), vẽ đường kính AD và đường cao AH của ∆ABC. a) Chứng minh AB.AC = AH.AD
4. b) Đường thẳng AH cắt đường tròn (O) tại E. Gọi K là điểm đối xứng của E qua BC. Chứng minh K là trực tâm của ∆ABC. c) Hai đường thẳng CK và AB cắt nhau tại M, Hai đường thẳng BK và AC cắt nhau tại N. Chứng minh rằng hai đường thẳng AD và MN vuông góc với nhau. d) Cho B· AC 450 . Chứng minh năm điểm B, M, O, N, C cùng nằm trên một đường tròn tâm I. Tính diện tích giới hạn bởi dây MN và cung MN của (I) theo R. Bài 9: Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp (O ; R). Trên cung nhỏ BC lấy điểm K, AK cắt BC tại D. a) Chứng minh AO là tia phân giác của B· AC b) Chứng minh AB2 = AD.AK c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ BC sao cho độ dài AK là lớn nhất d) Cho B· AC 300 . Tính độ dài AB theo R. Bài 10: Từ điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), (A, B là 2 tiếp điểm). Qua A vẽ đường thẳng song song với MB cắt đường tròn tâm O tại F. Hai đường thẳng AF và MB cắt nhau tại I. a) Chứng minh IB2 = IF.IA b) Chứng minh IM = IB c) Cho OM = 2,5R. Tính diện tích ∆ABM, độ dài AE theo R Bài 11: Cho đường tròn (O ;R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau.Một cát tuyến bất kỳ qua A cắt đường kính CD tại N và cắt đường tròn (O) tại M.Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CMN. a) Chứng minh B, I, C thẳng hàng b) Đường thẳng MI cắt đường tròn (O; R) tại K. Chứng minh IM.IK = R2 - IO2 c) Tìm vị trí của điểm M sao cho IM.IK có giá trị lớn nhất Bài 12: Từ điểm A bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi giao điểm của OA và BC là H. a) Chứng minh : 4HO.HA = BC2 b) Vẽ đường kính CD của đường tròn (O) . Đường trung trực của CD cắt DB tại E. Chứng minh tứ giác AEBO là hình thang cân. c) Kẻ BI  DO. Chứng minh DI.AC = OC.BI IF d) AD cắt BI tại F. Tính tỉ số IB Bài 13: Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AE của ∆ABC cắt đường tròn (O) tại F. AD là đường kính của (O). a) Chứng minh rằng các góc ·ABC, D· AF có cùng tia phân giác và B, C, F, D là bốn đỉnh của hình thang cân. b) Chứng minh AB.AC = AD.AE c) Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh BC là đường trung trực của HF và DH đi qua trung điểm I của BC. d) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Chứng minh O, G, H thẳng hàng. Bài 14: Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B (O),C (O')) . Tiếp tuyến chung tại A cắt BC tại I. a) Chứng minh rằng các tam giác ABC và IOO' là các ∆  b) Chứng minh BC 2 RR' c) Gọi (S, r) là đường tròn tiếp xúc với đoạn thẳng BC và tiếp xúc ngoài với các đường tròn (O; R) và (O' ; R') 1 1 1 Chứng minh: r R R'