Bài tập Hình học Lớp 12 nâng cao - Tỉ số thể tích

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 12 nâng cao - Tỉ số thể tích

1. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé PHƯƠNG PHÁP CHUNG 1. Kỹ thuật chuyển đỉnh A. Song song đáy Vcò Vmíi B. Cắt đáy V Giaocò IA cò Vmíi Giao míi IB 2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) V S cò đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy được thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, khi đó ta sẽ dễ dàng so sánh tỉ số hơn. - Cả hai kỹ thuật đều nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu về đa diện khác dễ tính thể tích hơn. 3. Tỉ số diện tích của hai tam giác S OM.ON OMN S APQ OP.OQ 4. Tỉ số thể tích của khối chóp A. Công thức tỉ số thể tích của hình chóp tam giác V SM SN SP S.MNP . . VS.ABC SA SB SC Công thức trên chỉ áp dụng cho hình chóp tam giác, do đó trong nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng. B. Một số trường hợp đặc biệt V SA1 SB1 SC1 SD1 S.A1B1C1D1 3 Nếu A1B1C1D1 P ABCD và k thì k SA SB SC SD VS.ABCD Kết quả vẫn đúng trong trường hợp đáy là n − giác. Trang 1
2. 5. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé A. Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V 4 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: V V 4 3 2 V V 5 3 V 2V Ví dụ: V ;V A' B' BC 3 A' B' ABC 3 B. Mặt phẳng cắt các cạnh bên của lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V lần lượt là thể tích phần trên, phần dưới và lăng trụ. Giả sử AM CN BP m, n, p AA' CC' BB' m n p Khi đó: V .V 2 3 AM CN Khi M  A',N  C thì 1, 0 AA' CC' 6. Khối hộp A. Tỉ số thể tích của khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V 4 là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp. Khi đó: V V (hai đường chéo của hai mặt phẳng song song) 4 3 V V (trường hợp còn lại) 4 6 V V Ví dụ: V ,V A'C' BD 3 A'C' D' D 6 B. Mặt phẳng cắt các cạnh của hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM  x DD' x y  V .V BP 2 2 y BB'  Trang 2
3. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 1. Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu 1. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N, P lần lượt là trung V điểm của SA, SB, SC . Tỉ số thể tích S.ABC bằng VS.MNP A. 12. B. 2 . C. 8 . D. 3 . Lời giải S M P N A C B V SA SB SC Ta có S.ABC . . 2.2.2 8 , suy ra đáp ánC. VS.MNP SM SN SP Câu 2. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ . Gọi I ; J ; K lần lượt là trung V điểm của các cạnh MN ; MP ; MQ . Tỉ số thể tích MIJK bằng VMNPQ 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 6 8 Lời giải Chọn D M I K J N Q P V M .IJK MI MJ MK 1 1 1 1 Ta có: = . . = . . = . VM .NPQ MN MP MQ 2 2 2 8 Câu 3. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A , B , C , D theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC , SD . Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A B C D và S.ABCD . A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 16 4 8 2 Lời giải Chọn C S V SA SB SD 1 V 1 Ta có S.A B D . . S.A B D . D' C' VS.ABD SA SB SD 8 VS.ABCD 16 A' B' VS.B D C SB SD SC 1 VS.B D C 1 Và . . . D C VS.BDC SB SD SC 8 VS.ABCD 16 A V V 1 1 1 V 1 B Suy ra S.A B D S.B D C S.A B C D . VS.ABCD VS.ABCD 16 16 8 VS.ABCD 8 Trang 3
4. Câu 4. Cho hình chóp S.ABC . Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA, SB , SC . Tính tỉ số thể tích của 2 khối chóp S.MNP và S.ABC bằng 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 8 16 2 Lời giải Chọn B S M P N A C B V SM SN SP 1 Ta có S.MNP   VS.ABC SA SB SC 8 Câu 5. (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S.ABC có thể tích V . Gọi B ,C lần lượt là trung điểm của AB, AC . Tính theo V thể tích khối chóp S.AB C . 1 1 1 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 2 12 4 Lời giải Chọn D S C' A C B' B VA.SB C AB AC 1 1 1 1 1 Ta có tỷ số thể tích . . . Do đó VA.SB C VA.SBC hay VS.AB C V . VA.SBC AB AC 2 2 4 4 4 Câu 6. (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S.ABCD , gọi I , J , K , H lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.IJKH bằng 1. A. 16. B. 8 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B S VS.ABC SA SB SC Ta có: = . . = 8 Þ VS.ABC = 8VS.IJK . I H VS.IJK SI SJ SK J K A D VS.ACD SA SC SD = . . = 8 Þ VS.ACD = 8VS.IKH V SI SK SH C S.IKH B Do đó: VS.ABCD = 8VS.IJKH = 8. Câu 7. Cho hình chóp S.ABC , trên các tia SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm A' , B ' , C '. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích khối chóp S.ABC và S.A' B 'C '. Khẳng định nào sau đây là đúng? Trang 4
5. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V SA SB ' SC V 1 SB SC A. 1 . . . B. 1 . . . V2 SA ' SB SC ' V2 2 SB ' SC ' V SA SB V SA SB SC C. 1 . . D. 1 . . . V2 SA ' SB ' V2 SA ' SB ' SC ' Lời giải Chọn D V SA SB SC Theo công thức tỉ số thể tích ta có 1 . . . V2 SA ' SB ' SC ' Câu 8. (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC có thể tích bằng 5a3 . Trên các cạnh SB , SC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho SM = 3MB , SN = 4NC (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích V của khối chóp AMNCB . 3 3 A. V = a3 . B. V = a3 . C. V = a3 . D. V = 2a3 . 5 4 Lời giải Chọn D Gọi V1 là thể tích khối chóp SAMN và Vo là thể tích khối chóp SABC . V SM SN 3 4 3 Theo công thức tỷ lệ thể tích ta có: 1 = . = . = . Vo SB SC 4 5 5 V là thể tích khối chóp AMNCB ta có V + V1 = V0 . 2 2 Vậy V = V = .5a3 = 2a3 . 5 0 5 Câu 9. Nếu một hình chóp tứ giác đều có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên 2 lần thì thể tích của nó tăng lên bao nhiêu lần? A. 2 lần. B. 4 lần. C. 6 lần. D. 8 lần. Lời giải Chọn D h a Gọi h , a lần lượt là chiều cao và cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều. 1 Thể tích của khối chóp tứ giác đều là V a2h . 3 Trang 5
6. Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên 2 lần thì ta được khối chóp tứ giác đều mới có thể tích là 1 2 1 V 2a 2h 8 a2h 8V . 3 3 Vậy thể tích của khối chóp tăng lên 8 lần. Câu 10. Trên ba cạnh OA, OB, OC của khối chóp O.ABC lần lượt lấy các điểm A , B , C sao cho 2OA OA, 4OB OB và 3OC OC. Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.A B C và O.ABC là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 24 32 16 Lời giải Chọn B O B' A' C' A B C V OA OB OC 1 1 1 1 O.A'B C . . . . VO.ABC OA OB OC 2 4 3 24 V Câu 11. Cho khối chóp SAB.C , M là trung điểm của SA . Tỉ số thể tích M .ABC bằng VS.ABC 1 1 1 A. . B. . C. 2 . D. . 4 2 8 Lời giải Chọn B V SM 1 V 1 Ta có S.MBC M .ABC . VS.ABC SA 2 VS.ABC 2 Câu 12. (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho AE 3EB . Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V. V V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 5 Lời giải A E B D C VB.ECD BE AC AD 1 1 . . VB.ECD VE.BCD V VA.BCD BA AC AD 4 4 Trang 6
7. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13. (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V . Các điểm A , B , C tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC . Thể tích khối chóp S.A B C bằng V V V V A. . B. . C. . D. . 8 4 2 16 Lời giải VS.A B C SA SB SC 1 V Ta có   VS.A B C . VS.ABC SA SB SC 8 8 Câu 14. (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Trên các cạnh AB , AC lần a 2a lượt lấy các điểm B ',C ' sao cho AB ' , AC ' . Tỉ số thể tích của khối tứ diện AB 'C ' D và 2 3 khối tứ diện ABCD là 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 5 Lời giải V AB ' AC ' 1 Ta có: AB'C 'D . . VABCD AB AC 3 A B' C' B C D Dạng 2. Tỉ số khối lăng trụ Câu 1. (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng V . Tính thể tích khối đa diện BAA C C . 3V 2V V V A. . B. . C. . D. . 4 3 2 4 Lời giải Chọn B Mặt phẳng BA C chia khối lăng trụ ABC.A B C thành hai khối: B.AA C C và B.A B C Trang 7
8. VB.AA C C VABC.A B C VB.A B C . 1 Khối chóp B.A B C và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao VB.A B C V 3 1 2V V V V . BAA C C 3 3 Câu 2. (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm CC . Mặt phẳng ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện. Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V1 V2 là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số . V2 1 1 1 2 A. . B. . C. D. 5 6 2 . 5 Lời giải 1 V là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là V V S .MC 1 1 M .ABC 3 ABC 1 5 V là thể tích khối đa diện còn lại V V V S .CC S .CC S .CC 2 2 ABC.A B C 1 ABC 6 ABC 6 ABC Khi đó ta có tỉ số 1 1 S MC S .CC V ABC ABC 1 1 3 6 . V 5 5 5 2 S .CC S .CC 6 ABC 6 ABC Câu 3. Khối lăng trụ ABC.A B C có thể tích bằng 6 . Mặt phẳng A BC chia khối lăng trụ thành một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác có thể tích lần lượt là A. 2 và 4 . B. 3 và 3 . C. 4 và 2 . D. 1 và 5 . Lời giải Chọn A Trang 8
9. TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 +) Thể tích khôi lăng trụ là: VABC.A B C d B, A B C .SA B C 6 . +) Thể tích khối chóp tam giác B.A B C là: 1 1 1 VB.A B C .d B, A B C .SA B C .VABC.A B C .6 2 . 3 3 3 Vậy thể tích khối chóp tứ giác B.ACC A là: VB.ACC A VABC.A B C VB.A B C 6 2 4. Câu 4. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B C có thể tích V . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Mặt phẳng MAB chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k 1. Tìm k ? 2 3 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 6 Lời giải Chọn C Ta có V d C , ABC  SABC . 1 1 1 5 Khi đó VM .ABC d M , ABC .SABC d C , ABC  SABC V VABM .A B C V . 3 6 6 6 V 1 Vậy k M .ABC . VABM .A B C 5 Câu 5. (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác đều có thể tích là 4 . Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao của khối lăng trụ này hai lần thì được khối lăng trụ mới có thể tích là: A. 8 . B. 4 . C. 16. D. 2 . Lời giải Chọn A Giả sử khối lăng trụ tứ giác đều có độ dài cạnh đáy là a và chiều cao là h . Khi đó thể tích khối lăng trụ tứ giác đều được tính bởi công thức V = B.h = a2.h = 4. Nếu gấp đôi các cạnh đáy thì diện tích đáy mới B ' = 4a2 . Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao h h mới h' = . Vì vậy thể tích khối lăng trụ mới sẽ là: V = B '.h' = 4a2. = 2a2h = 8 . 2 2 Câu 6. Biết khối hộp ABCD.A' B 'C ' D ' có thể tích V . Nếu tăng mỗi cạnh của hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp mới là: A. 8V . B. 4V . C. 2V . D. 16V . Lời giải Chọn A Ta có nếu tăng mỗi cạnh của khối hộp lên hai lần thì ta được khối hộp mới đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số 2. Do đó thể tích khối hộp mới bằng 23.V 8V . Trang 9
10. V Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có M là trung điểm của AA . Tỉ số thể tích M .ABC bằng VABC.A B C 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 3 12 2 Lời giải A' C' Chọn A Ta có: B' VABC.A B C AA .S ABC M 1 1 1 1 V AM.S . AA .S V . M .ABC 3 ABC 3 2 ABC 6 ABC.A B C VM .ABC 1 A C VABC.A B C 6 B Câu 8. (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC.A B C có thể tích là V . Gọi M là trung điểm cạnh AA . Khi đó thể tích khối chóp M.BCC B là V 2V V V A. . B. . C. . D. . 2 3 3 6 Lời giải Chọn B A C B M C' A' B' Vì AA // BB C C nên d M , BB C C d A, BB C C suy raVM .BB C C VA.BB C C 1 2 Mà V V V V V V A.BB C C ABC.A B C AA B C 3 3 2 Vậy V V . M .BB C C 3 40 Chuyên đề Toán 12 Ôn thi THPT Năm 2021 chia thành 3 mức điểm 6-7, mức 7-8, mức 9-10, hi vọng với tài liệu này sẽ giúp ích được cho quý thầy cô trong việc luyện thi cho học sinh của mình, liên hệ Zalo 0988166193 để có tài liệu siêu hot này nhé Trang 10