Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương trình lượng giác cơ bản (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương trình lượng giác cơ bản (Có đáp án)

1. BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 1) Phương trình sin x = a Trường hợp a > 1 ¾ ¾® phương trình vô nghiệm, vì - 1£ sin x £ 1 với mọi x . Trường hợp a £ 1 ¾ ¾® phương trình có nghiệm, cụ thể: ïì 1 2 3 ïü ▪ a Î íï 0;± ;± ;± ;± 1ýï . Khi đó ï ï îï 2 2 2 þï éx = a + k2p sin x = a Û sin x = sin a Û ê , k Î ¢ . ê ëx = p - a + k2p ïì 1 2 3 ïü éx = arcsin a + k2p ▪ a Ï íï 0;± ;± ;± ;± 1ýï . Khi đó sin x = a Û ê , k Î ¢ . ï ï ê îï 2 2 2 þï ëx = p - arcsin a + k2p 2) Phương trình cos x = a Trường hợp a > 1 ¾ ¾® phương trình vô nghiệm, vì - 1£ cos x £ 1 với mọi x . Trường hợp a £ 1 ¾ ¾® phương trình có nghiệm, cụ thể: ïì 1 2 3 ïü ▪ a Î íï 0;± ;± ;± ;± 1ýï . Khi đó ï ï îï 2 2 2 þï éx = a + k2p cos x = a Û cos x = cosa Û ê , k Î ¢ . ê ëx = - a + k2p ïì 1 2 3 ïü éx = arc cos a + k2p ▪ a Ï íï 0;± ;± ;± ;± 1ýï . Khi đó cos x = a Û ê , k Î ¢ . ï ï ê îï 2 2 2 þï ëx = - arc cos a + k2p 3) Phương trình tan x = a p Điều kiện: x ¹ + kp (k Î ¢ ). 2 ïì 1 ïü ● a Î íï 0;± ;± 1;± 3ýï . Khi đó tan x = a Û tan x = tan a Û x = a + kp, k Î ¢ . îï 3 þï ïì 1 ïü ● a Ï íï 0;± ;± 1;± 3ýï . Khi đó tan x = a Û x = arctan a + kp, k Î ¢ . îï 3 þï 4) Phương trình cot x = a Điều kiện: x ¹ p + kp (k Î ¢ ). ïì 1 ïü ● a Î íï 0;± ;± 1;± 3ýï . Khi đó cot x = a Û cot x = cot a Û x = a + kp, k Î ¢ . îï 3 þï Trang 47
2. ïì 1 ïü ● a Ï íï 0;± ;± 1;± 3ýï . Khi đó cot x = a Û x = arccot a + kp, k Î ¢ . îï 3 þï Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ B. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Ví dụ 1. Giải các phương trình a) cos 2x 0 ; b) cos 4x 1; c) cos x 1; 6 3 5 x d) sin 3x 0 e) sin 1 ; f) sin 2x 1; 3 2 4 6 Hướng Dẫn Giải k a) cos 2x 0 2x k x ,k ¢ 6 6 12 2 k b) cos 4x 1 4x k2 x ,k ¢ 3 3 12 2 4 c) cos x 1 x k2 x k2 ,k ¢ 5 5 5 k d) sin 3x 0 3x k x ,k ¢ 3 3 9 3 x x 3 e) sin 1 k2 x k4 ,k ¢ 2 4 2 4 2 2 f) sin 2x 1 2x k2 x k ,k ¢ 6 6 2 3 Ví dụ 2. Giải phương trình 1 1 a) sin3x 1 ; b) cos2x 2 2 2 x c) tan 2 3 ; d) cot 2x 3 4 3 4 Giải a) Ta có: k2 3x k2 x 6 18 3 1 sin3x sin ,k ¢ 6 5 k2 3x k2 x 6 18 3 Trang 48
3. k2 5 k2 Vậy nghiệm của phương trình (1) là x ;x ,k ¢ . 18 3 18 3 Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ b) Ta có: 2x k2 x k 2 3 3 2 cos2x cos ,k ¢ 3 2 2x k2 x k 3 3 Vậy nghiệm của phương trình (*) là: x k ,k ¢ 3 c) 3 x 3arctan 2 k3 ,k ¢ Vậy nghiệm của phương trình (*) là x 3arctan 2 k3 ,k ¢ d) Ta có: k 4 cot 2x cot 2x k x ,k ¢ . 4 6 4 6 24 2 k x ,k ¢ . Vậy nghiệm của phương trình là: 24 2 Lời bình: Những phương trình ch trên là nhưng phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác 1 •Ở câu a) sin3x . Dùng MTCT (ở chế độ rad ) ta ấn SHIF sin 1  2 ta được kết quả là 2 π 1 π . Do đó: sin3x sin 6 2 6 1 • Hoàn toàn tương tự cho câu b) cos2x . Ta ấn: 2 2π 1 2π SHIF cos 1  2 ta được kết quả là . Do đó: cos2x cos 3 2 3 •Ở câu c) nếu ta dùng MTCT: Thử ấn SHIFT tan 2 ta được kết quả x x Do đó, phương trình tan 2 ta chỉ có thể ghi arctan2 kπ 3 3 Trang 49
4. 1 • Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết cot α . Do đó, đối với câu d) tanα cot 2x 3 ta ấn máy như sau: 4 π SHIT tan 1  3 ta được kết quả là . Do đó: cot 2x 3 cot 6 4 6 Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Ví dụ 3. Giải phương trình 0 x a) sin 4x sin x ; b) cot g x 30 cot g . 3 2 3 2 c) cos2 x ; d) sin 2x cos3x. 4 Giải a) Ta có: k2 4x x k2 x 3 9 3 sin 4x sin x ,k ¢ 3 2 k2 4x x k2 x 3 15 5 k2 2 k2 Vậy nghiệm của phương trình (*) là x ;x 9 3 15 5 0 0 x 30 k.180 0 x 30 b) Điều kiện: k,n ¢ x 0 n.180 x n.3600 2 x x cot g x 300 cot g x 300 k.1800 2x 600 x k.3600 2 2 x 600 k.3600,k ¢ Vậy nghiệm của phương trình là: x 600 k.3600,k ¢ c) Ta có 3 2 1 cos2x 3 2 cos2 x 2 1 cos2x 3 2 4 2 4 3 cos2x cos 2x k2 x k ,k ¢ 2 6 6 12 Vậy nghiệm của phương trình (*) là x k ,k ¢ 12 Nhận xét: Ngoài cách giải trên ta có thể giải theo cách sau: Trang 50
5. 3 2 3 2 x arccos k2 cos x 4 2 3 2 4 cos x ,k ¢ 4 3 2 3 2 cos x x arccos k2 4 4 Tuy nhiên không nên giải theo cách này vì mất đi cái vẻ đẹp của toán học. Lời giải ban đầu sử dụng dụng công thức hạ bậc với các phép biến đổi hết sức đơn giản đưa về phương trình rất đẹp với đáp số. d) Ta có 3x 2x k2 2 sin 2x cos3x cos3x cos 2x 2 3x 2x k2 2 k2 5x k2 x 2 10 5 ;k ¢ x k2 x k2 2 2 k2 Vậy nghiệm của (*) là x ;x k2 ,k ¢ 10 5 2 Nhận xét: Phương trình sin 2x cos3x được chuyển thành cos3x cos 2x , ta cũng có thể 2 chuyển thành dạng sau: sin 2x sin 3x . 2 Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình sinx 4m 1 * Giải 1 4m 1 1 m • Trường hợp 1: 4m 1 1 2 4m 1 1 m 0 Phương trình (*) vô nghiệm 1 • Trường hợp 2: 4m 1 1 1 4m 1 1 0 m 2 x arcsin 4m 1 k2 Phương trình (*) có nghiệm ,k ¢ x arcsin 4m 1 k2 Tóm lại: 1 m • Nếu 2 thì phương trình (*) vô nghiệm m 0 Trang 51
6. 1 x arcsin 4m 1 k2 Nếu 0 m thì phương trình (*) có nghiệm 2 x arcsin 4m 1 k2 Ví dụ 5. Tìm m để phương trình 2 sin x m có nghiệm x 0; 4 2 Giải 3 2 Ta có: 0 x x sin x 1 2 4 4 4 2 4 2 m Phương trình đã cho có nghiệm x 0; khi 1 1 m 2 2 2 2 Ví dụ 6. Giải phương trình a) sin 2x sin 2x cos x 0 1 ; b) sin x cos2x sin 2x cos3x 2 . Giải a) Ta có sin2x 0 2x k k 1 sin2x 1 cosx 0 x ,k ¢ cosx 1 x k2 2 k Vậy nghiệm của phương trình là x ,k ¢ . 2 Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiệm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu cho sin2x , dẫn đến thiếu nghiệm b) Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng. 1 Ta nhắc lại: sinacosb sin a b sin a b 2 Ta có 1 1 2 sin3x sinx sin5x sinx sin5x sin3x 2 2 x k 5x 3x k2 k ,k ¢ 5x 3x k2 x 8 4 k Vậy nghiệm của phương trình (*) là x k ;x ,k ¢ 8 4 C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM x 1 Câu 1. Nghiệm của phương trình sin là 5 2 Trang 52
7. 7 A. x 2k , k ¢ và x 2k , k ¢ . 6 6 5 35 B. x 2k , k ¢ và x 2k , k ¢ . 6 6 5 35 C. x 10k , k ¢ và x 10k , k ¢ . 6 6 5 35 D. x k1800o , k ¢ và x k1800o , k ¢ . 6 6 Hướng dẫn giải CHỌN C. x 5 2k x 10k x 5 6 6 sin sin k ¢ k ¢ 5 6 x 35 2k x 10k 5 6 6 Câu 2. Nghiệm của phương trình sin x 1 là C. x k2 , k ¢ A. x k k ¢ B. x k ¢ D. x k2 , k ¢ 2 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN D. sin x 1 x k2 , k ¢ . 2 Câu 3. Nghiệm của phương trình sin x 1 là B. x k2 , k ¢ 3 A. x k2 , k ¢ C. x k2 , k ¢ D. x k , k ¢ 2 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN C. 3 sin x 1 x k2 , k ¢ . 2 Câu 4. Nghiệm của phương trình sin x 0 là C. x k , k ¢ D. B và C đúng A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN C. Trang 53
8. sin x 0 x k2 , k ¢ . Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx 1 là A. x k2 , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ D. x k2 , k ¢ 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN A. cosx 1 x k2 , k ¢ . Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx 1 là A. x k , k ¢ B. x k2 , k ¢ D. x k , k ¢ C. x k2 , k ¢ 2 Hướng dẫn giải CHỌN B. cosx 1 x k2 , k ¢ . Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx 0 là A. x 180o k360o , k ¢ B. x 90o k180o , k ¢ C. x 90o k360o , k ¢ D. x k90o , k ¢ Hướng dẫn giải CHỌN B. cosx 0 x 90o k180o , k ¢ . Câu 7. Nghiệm của phương trình tan x 1 là 3 A. x k2 , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ D. x k , k ¢ 4 4 4 4 Hướng dẫn giải CHỌN B. tan x 1 x k , k ¢ . 4 Câu 8. Nghiệm của phương trình tan x 1 là A. x k2 , k ¢ B. x k2 , k ¢ 4 4 Trang 54
9. 2k 1 D. B và C đúng C. x 1 k , k ¢ 4 Hướng dẫn giải CHỌN C. 2k 1 tan x 1 x k 1 . k . 4 4 Câu 9. Phương trình tan x 0 có nghiệm là B. x k , k ¢ C. x k2 , k ¢ 3 A. x k , k ¢ D. x k , k ¢ 2 2 Hướng dẫn giải CHỌN B. tan x 0 x k , k ¢ . Câu 10. Phương trình cot x 1 có nghiệm là A. x k2 , k ¢ B. x k2 , k ¢ C. x k2 , k ¢ D. x k , k ¢ 4 4 6 4 Hướng dẫn giải CHỌN D. cot x 1 x k , k ¢ . 4 Câu 11. Phương trình cot x 1 có nghiệm là 2k 1 A. x 1 k , k ¢ B. x k2 , k ¢ 4 4 3 D. tất cả đều đúng C. x k2 , k ¢ 4 Hướng dẫn giải CHỌN A. 2k 1 cot x 1 x k , k ¢ 1 . k , k ¢ . 4 4 Câu 12. Phương trình cot x 0 có nghiệm là 3 D. tất cả đều đúng A. x k , k ¢ B. x k2 , k ¢ C. x k2 , k ¢ 2 2 2 Trang 55
10. Hướng dẫn giải CHỌN A. cot x 0 x k , k ¢ . 2 1 Câu 13. Nghiệm của phương trình cot x là 2 A. x k2 , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ D. x k2 , k ¢ 3 6 3 4 Hướng dẫn giải CHỌN A. 1 cosx cosx cos x k2 , k ¢ . 2 3 3 3 Câu 14. Nghiệm của phương trình cos2x là 2 5 5 5 A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ D. x k , k ¢ 6 12 8 6 Hướng dẫn giải CHỌN B. 3 5 5 5 Ta có: cos2x cos 2x k2 x k , k ¢ . 2 6 6 12 Câu 15. Nghiệm của phương trình tan 2x 3 là k A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ D. x , k ¢ 6 6 12 2 12 2 Hướng dẫn giải CHỌN D. k Ta có: tan 2x 3 tan 2x k x , k ¢ . 6 6 12 2 Câu 16. Nghiệm của phương trình cot x 3 là 4 A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ D. x k2 , k ¢ 6 6 3 3 Hướng dẫn giải Trang 56
11. CHỌN B. Ta có: cot x 3 cot x k , k ¢ . 6 6 Câu 17. Nghiệm của phương trình tan x tan 25o là A. x 25o k360o và x 155o k360o , k ¢ . B. x 25o k180o và x 155o k180o , k ¢ C. x 25o k360o và x 25o k360o , k ¢ D. x 25o k180o , k ¢ Hướng dẫn giải CHỌN D. Câu 18. Nghiệm của phương trình tan x 5 là 12 A. x 20o k180o , k ¢ B. x 15o 5 k180o , k ¢ o o C. x 15 arctan 5 k180 , k ¢ D. x arctan 5 k , k ¢ 12 Hướng dẫn giải CHỌN D. o tan x 15 5 tan x arctan 5 12 x arctan 5 k x arctan 5 k , k ¢ 12 12 æ2x pö Câu 19: Giải phương trình sinç - ÷= 0 . èç 3 3ø÷ 2p k3p A. x = kp (k Î ¢ ). B. x = + (k Î ¢ ). 3 2 p p k3p C. x = + kp (k Î ¢ ). D. x = + (k Î ¢ ). 3 2 2 Lời giải. Chọn D æ2x pö 2x p Phương trình sinç - ÷= 0 Û - = kp èç 3 3ø÷ 3 3 2x p p k3p Û = + kp Û x = + (k Î ¢ ). 3 3 2 2 3 Câu 20: Số nghiệm của phương trình sin(2x - 400 )= với - 1800 £ x £ 1800 là? 2 Trang 57
12. A. 2. B. 4. C. 6. D. 7. Lời giải Chọn B 3 Phương trình sin(2x - 400 )= Û sin(2x - 400 )= sin 600 2 é2x - 400 = 600 + k3600 é2x = 1000 + k3600 éx = 500 + k1800 Û ê Û ê Û ê . ê 0 0 0 0 ê 0 0 ê 0 0 ëê2x - 40 = 180 - 60 + k360 ëê2x = 160 + k360 ëêx = 80 + k180 Xét nghiệm x = 500 + k1800. Vì - 1800 £ x £ 1800 ¾ ¾® - 1800 £ 500 + k1800 £ 1800 23 13 ék = - 1 ® x = - 1300 Û - £ k £ ¾ k¾Î ¢¾® ê . ê 0 18 18 ëêk = 0 ® x = 50 Xét nghiệm x = 800 + k1800. Vì - 1800 £ x £ 1800 ¾ ¾® - 1800 £ 800 + k1800 £ 1800 13 5 ék = - 1 ® x = - 1000 Û - £ k £ ¾ k¾Î ¢¾® ê . ê 0 9 9 ëêk = 0 ® x = 80 Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Cách 2 (CASIO). Ta có - 1800 £ x £ 1800 ¾ ¾® - 3600 £ 2x £ 3600. Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm 3 f (X )= sin(2X - 40)- với các thiết lập Start = - 360, End = 360, Step = 40 . Quan sát 2 bảng giá trị của f (X ) ta suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm. æ pö 1 Câu 21: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sinç2x + ÷= trên đường tròn lượng giác èç 3÷ø 2 là? A. 1. B. 2. C. 4. D. 6. Lời giải Chọn C é p p é p ê2x + = + k2p êx = - + kp æ pö p ê 3 6 ê 12 Phương trình Û sinç2x + ÷= sin Û ê Û ê (k Î ¢ ). èç 3ø÷ 6 ê p p ê p ê2x + = p - + k2p êx = + kp ëê 3 6 ëê 4 p Biểu diễn nghiệm x = - + kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). 12 p Biểu diễn nghiệm x = + kp trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). 4 Trang 58
13. sin sin p 4 cos O cos O p - 12 Hình 1 Hình 2 Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. 2p Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng x = a + k ¾ ¾® số vị trí biểu diễn trên đường tròn n lượng giác là n . p p 2p Xét x = - + kp Û x = - + k ¾ ¾® có 2 vị trí biểu diễn. 12 12 2 p p 2p Xét x = + kp Û x = + k ¾ ¾® có 2 vị trí biểu diễn. 4 4 2 Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau. Câu 22: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau? éx = k2p éx = kp ê ê A. ê p (k Î ¢ ). B. ê p p (k Î ¢ ). êx = + k2p êx = + k ëê 4 ëê 4 2 p p C. x = k (k Î ¢ ). D. x = k (k Î ¢ ). 4 2 Lời giải Chọn B Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sin x éx = kp é3x = x + k2p ê Û ê Û ê k Î ¢ . ê p p ( ) ë3x = p - x + k2p êx = + k ëê 4 2 2 cos 2x Câu 23: Gọi x là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình = 0 . Mệnh đề nào sau đây là 0 1- sin 2x đúng? æ pö ép p ù æp 3pö é3p ù Î ç ÷ Î ê ú Î ç ÷ Î ê pú A. x0 ç0; ÷. B. x0 ; . C. x0 ç ; ÷. D. x0 ; . èç 4ø ëê4 2 ûú èç2 4 ø ëê4 ûú Lời giải Chọn D Điều kiện: 1- sin 2x ¹ 0 Û sin 2x ¹ 1. Trang 59
14. é 2 2 sin 2x = 1(loaïi) 2 cos 2x sin 2x + cos 2x= 1 ê Phương trình = 0 Û cos 2x = 0 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® ê 1- sin 2x ëêsin 2x = - 1(thoûa maõn) p p Û sin 2x = - 1 Û 2x = - + k2p Û x = - + kp (k Î ¢ ). 2 4 p 1 Cho - + kp > 0 ¾ ¾® k > . 4 4 3p é3p ù Do đó nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k = 1 ® x = Î ê ;pú. 4 ëê4 ûú Câu 24: Hỏi trên đoạn [- 2017;2017], phương trình (sin x + 1)(sin x - 2)= 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Lời giải. Chọn D ésin x = - 1 ê p Phương trình Û ê Û sin x = - 1 Û x = - + k2p (k Î ¢ ). ëêsin x = 2 (vo nghiem) 2 p p - 2017 + 2017 + p Theo giả thiết - 2017 £ - + k2p £ 2017 Û 2 £ k £ 2 2 2p 2p ¾ x¾ap x¾i® - 320,765 £ k £ 321,265 ¾ k¾Î ¢¾® k Î {- 320;- 319; ;321}. Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Tài liệu toán 10-11-12 được biên soạn bởi nhóm giáo viên Miền Bắc nhiều kinh nghiệm giảng dạy, tài liệu có bản học sinh và bản giáo viên riêng biệt, giúp việc dạy của giáo viên trở nên thuận tiện và dễ dàng hơn, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 60