Bài tập Đại số Lớp 12 - Bài 5: Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 12 - Bài 5: Phương trình mũ. Phương trình Lôgarit

1. I. Phương trình mũ cơ bản 1. Định nghĩa: Phương trình abx = ( 0aa , 1) gọi là phương trình mũ cơ bản. x Nếu b > 0 phương trình có một nghiệm duy nhất abxb= = loga Nếu b 0 phương trình vô nghiệm ux() Chú ý: ab= =u x( ) b l o g a với ( (a 0, a 1, b 0) 2. Phương pháp giải phương trình mũ a. Đưa về cùng cơ số (dạng 1) aM = aN M = N u hoặc có thể giải nhanh abubb= = log;(a0,a1,0)a 2 1 Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 2xx+−32= 4 Giải: 221 Cách 1: 222xxxx+−+−−32322 = = 4 22 x = 0 +−=xxxx − += 32230 x =−3 Vậy phương trình có nghiệm: xx==−0,3 Cách 2: giải nhanh: xx2 −+31 1 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: = 3 3 Giải: xx2 −+31 1 −(3xx2 − 1)1 + Cách 1: =333 = 3 22 x =1 −(x − 3 x + 1) = 1 x − 3 x + 2 = 0 x = 2 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 1
2. Vậy phương trình có nghiệm: xx==1, 2 Cách 2: giải nhanh: Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2 2xx+− 312 6+= Giải: 2x Cách 1: 22362.236xxx+−12+= += 4 9 = = = =.236216224xxx4 x 4 Vậy phương trình có nghiệm: Cách 2: giải nhanh: Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 5.250xx21− = Giải: 4x 5xxxx .250521− = = = = .5020100log 100 x 2 20 Vậy phương trình có nghiệm: x = log20 100 Tương tự giải nhanh các phương trình sau: 35x+1 = 4723x− = GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 2
3. b. Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số (Dạng 2) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 34.3270285xx++−+= Giải: 38 .3 2xx− 4.3 5 .3 + 27 = 0 2 −+=6561.3972.3270( xx) (*) Đặt t = 30x 1 t = 9 Phương trình (*) −+= 6561972270tt2 1 t = 27 1 Với tx= = =332x − −2 9 1 Với tx= = =333x − −3 27 Vậy phương trình có nghiệm: xx= −=2,3 − Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 252.5150xx−−= Giải: 2 252.515052.5150xxxx−−= −−= ( ) (*) Đặt t = 50x 2 t = 5 Phương trình (*) −−= tt2150 t =−3 (loai) Với tx= = =5551 x Vậy phương trình có nghiệm: x =1 Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 3324xx+−22−= Giải: x+−22 x x9 x2 x 3− 3 = 24 9.3 −x − 24 = 0 9.( 3) − 24.3 − 9 = 0 (*) 3 Đặt t = 3 Pt (*) −−9t2492 =t 0 1 t =− ( loai) 3 Với tx=3 3x = 3 = 1 Vậy phương trình có nghiệm: GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 3
4. ma+na.b+pb=2x2x x 0 Dạng 2: ( tất cả mũ có ẩn ) ma+na.b+pb=2fx2fx fx 0 * Cách giải : Chia hai vế của pt cho a2x hoặc b2x ; (a2f(x) hoặc b2f(x)) Ví dụ: Giải các phương trình sau: 1) 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0 2) 2.22x - 9.14x + 7.72x = 0 3) 25x + 10x = 22x + 1 c. Lấy logarit hai vế (dạng 3) 2 1 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 8xx .5 −1 = 8 Giải: Lấy logarit hai vế với cơ số 8, ta được 2211 8x .5 x−−11= log (8 x .5 x ) = log ( ) 8888 xx2 −−1 1 2 log8 8 + log 8 5 = log 8 8 xx +( − 1) log 8 5 = − 1 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 4
5. 2 ++−= +++−=xxxxx11( log50111) log5088( ) ( )( ) x +=10 (xx +1) 1 +( − 1) log8 5 = 0 1+(x − 1) log8 5 = 0 xx= −=11 − xx.log5log511log8885 =−=− Vậy phương trình có nghiệm: xx=−=−1,1log8 5 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 3 .xx 2 1 = Giải: Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được xxxx 22 3.21log(3.2)log1= = 33 2 += +=xxxx log201log2033( ) x = 0 x = 0 x = 0 1 1log20+=x 3 x =− x =−log32 log23 Vậy phương trình có nghiệm: xx==0,log3 − 2 d. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ, nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) Ta thường sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng (hoặc giảm) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). (do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . (do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ: Giải các phương trình sau: 345xxx+= Giải: xx 34 += 1 (*) 55 22 34 Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình (*) vì +=1 55 Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. xx 34 xét fx()=+ 55 xx 3 3 4 4 Ta có fx'( )= ln + ln 0 ,  xR. Do đó fx() luôn nghịch biến trên R 5 5 5 5 Vậy phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 2 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 5
6. II. Phương trình logarit x 1. Định nghĩa: Phương trình l oga = b ( aa 0 , 1 ) được gọi là phương trình logarit có bản. Theo định nghĩa ta có: xb ub loga = =bxa mở rộng loga = =bua (u là hàm hợp) 2. Phương pháp giải phương trình logarit a. Đưa về cùng cơ số (dạng 1): b logaaMNMN= log = hoặc giải nhanh loga u= b u = a Ví dụ 1: Giải phương trình sau: loglog(3)log4222xx++= Giải: (1) xx 00 Điều kiện: x 0 xx+ 303 − Pt(1)log(3)log4(3)4 += +=22xxxx 2 x =1 +−= =xxx 3401 x =−4 (loai) Vậy phương trình có nghiệm: x =1 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: logloglog9222xxx+= Giải: (1) Điều kiện: x 0 Pt (1) log2x + 2log 2 x = log 2 9 + log 2 x 2log 2 x = log 2 9 1 = = =loglogxxx 9loglog 33 2222 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 3 b. Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số (dạng 2) 2 Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: log2log2022xx+−= Giải: Điều kiện: 2 Pt log22xx + log − 2 = 0 (1) Đặt tx= log2 2 Pt (1) log22xx+ log − 2 = 0 x = 2 t =1 logx = 1 t2 +t − 2 = 0 2 1 tx= −2 log2 = − 2 x = 4 1 Vậy phương trình có nghiệm xx==2, 4 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 6
7. Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 1log(1)log4+−= 21x x− Giải: xx− 101 Điều kiện: (*) xx− 112 log2 4 2 Pt 1 + log22 (xx − 1) = 1 + log ( − 1) = log22 (xx−− 1) log ( 1) 2 −+−−=log(1)log(1)2022xx (1) Đặt tx=−l o g (2 1 ) 2 t =1 Pt (1) +−= tt20 t =−2 xx−==123 log(1)1x −= 2 thỏa (*) 15 log(1)22 x −= − xx−==1 44 5 Vậy phương trình có nghiệm xx==3, 4 c. Mũ hóa hai vế (dạng 3) x Ví dụ: log(38)23 −=− x Giải: Điều kiện: 380x − Lấy mũ 3 hai vế ta được phương trình x xxxx log3 (3− 8) 22−− log3 (3− 8) = 2333 −x = 8 3 − = x 2 31(=− )loai −−38.3xxx = 9 03 = 32 = 2 x ( ) x 39= Vậy phương trình có nghiệm x = 2 (5− 2x ) Tương tự giải phương trình sau: logx2 =−2 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 7
8. “Tri thức là tài sản vô giá, hãy thắp sáng ước mơ bằng con đường giáo dục “ GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 8
9. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1). Giải phương trình 3x - 1 = 4. Ta có tập nghiệm bằng: A). 1 - l og 34 . B). 1 - l og 43 . C). 1 + . D). 1 + . 2 2). Giải phương trình 24xx−−26= . Ta có tổng các nghiệm của phương trình bằng: A).  B).  C).  D).  3). Giải phương trình 4x - 6.2x + 8 = 0. Ta có tích các nghiệm bằng: A). . B). . C). . D). . 4). Giải phương trình 3x + 6x = 2x. Ta có tập nghiệm bằng: A). 1. B). 2. C). . D). - 1. 5). Giải phương trình 363x +=x . Ta có tập nghiệm bằng: A). - 1, 1. B). 1. C). 0, - 1. D). 0, 1. 6). Giải phương trình 12.9x - 35.6x + 18.4x = 0. Ta có tập nghiệm bằng: A). 1, - 2. B). - 1, - 2. C). - 1, 2. D). 1, 2. GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 9
10. 7). Giải phương trình 8x - 7.4x + 7.2x + 1 - 8 = 0. Ta có tổng các nghiệm bằng: A).  B).  C).  D).  . 8). Giải phương trình 3x + 33 - x = 12. Ta có tập nghiệm bằng : A). 1, 2. B). - 1, 2. C). 1, - 2. D). - 1, - 2. . 9). Giải phương trình 125x + 50x = 23x + 1. Ta có tập nghiệm bằng : A). - 1. B). 1. C). 2. D). 0. . 10). Tìm m để phương trình 9x - 6.3x + 5 = m có đúng 1 nghiệm x 0; + ). A). m > 0 v m = 4. B). m 0 v m = - 4. C). m > 0 v m = - 4. D). m 1 v m = - 4. GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 10
11. . 22 11). Giải phương trình 225xxxx+−−+=2 . Ta có tập nghiệm bằng : A). 1, 2. B). 1, - 1. C). 0, - 1, 1, - 2. D). - 1, 2. . xx 12). Giải phương trình (7433.+−++= 2320) ( ) . Ta có tập nghiệm bằng : A). - 2, 2. B). 1, 0. C). 0. D). 1, 2 . 13). Phương trình log3 ( 3x −= 2) 3 có nghiệm là 25 29 11 A. B. C. D. 87 3 3 3 . GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 11
12. 2 14). Số nghiệm của phương trình: log6log2133( xx−=−+) ( ) A. 2 B.1 C. 3 D. 0 . 15). Tập nghiệm của phương trình: l og 13 2 x += A. −3;2 B. −10 ;2 C. −4 ;2 D. 3 . 16). Số nghiệm của phương trình: log.log212.log232xxx ( −=) là A.1 B. 3 C. 0 D.2 . 12 17). Phương trình: +=1 có tổng các nghiệm là: 5−+ log22xx 1 log 33 A. B. 12 C. 5 D. 66 64 . 18). Phương trình: log24( logx) = 1 có nghiệm là m khi đó m+ 4 là: GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 12
13. A. 2 B. 4 C. 20 D. 8 . 32 19). Cho phương trình log1log12log0222( xxxx+−−+−=) ( ) . Phát biểu nào sau đây đúng: A. x 0 B. x 0 C. x −1 D. x . 20). Phương trình: log22xx+ log( + 1) = 1 có tập nghiệm là:  −+15  − 15 A.  B. 1 C. 1 ; 2−  D.  2 2 . 21). Số nghiệm của phương trình: log4( log 2xx) += log 2( log 4 ) 2 là: A. 0 B.3 C.2 D. 1 . 2 22). Tập nghiệm phương trình: log31 (4−xx ) − 2log( 4 −) = 15 là: 3 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 13
14. 971 107 A. 5 ; 3−  B. 353 ;3 −  C. ; 2− 3 D. −2 3 9 ; 243 27 . . 23). Phương trình: log712log28( xxx2 −+=− ) ( ) có bao nhiêu nghiệm: A. 0 B.1 C. 2 D. 4 . x x 24). Tìm m để phương trình 4 - 2(m - 1).2 + 3m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 = 3. 5 7 A). m = . B). m = 4. C). m = . D). m = 2. 2 3 . 25). Giải phương trình 8 - x.2x + 23 - x - x = 0. Ta có tập nghiệm bằng: A). 0, -1. B). 0. C). 1. D). 2. GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 14
15. . 26). Tìm m để phương trình 4x - 2(m + 1).2x + 3m - 8 = 0 có hai nghiệm trái dấu. 8 A). - 1 3. D). 2 < m < 3. . 29). Giải phương trình 3x + 1 = 10 - x. Ta có tập nghiệm bằng: A). 1, 2. B). 1, - 1. C). 1. D). 2. . GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 15
16. 30). Giải phương trình (x + 4).9x - (x + 5).3x + 1 = 0. Ta có tập nghiệm bằng: A). 0, - 1. B). 0, 2. C). 1, 0. D). 1, - 1. . 54 31). Tìm m để phương trình 93x + + = m có nghiệm. 3x A). m 30. B). m 27. C). m 18. D). m 9. . 32). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 3 + 3 = m có đúng 1 nghiệm. A). m > - 13. B). m 3. C). m = - 13v m 3. D). m = - 13 v m > 3. . 33). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 1 = m có nghiệm. A). - 1 m 0. B). m 1. C). m 0. D). m - 1. . 34). Tìm m để phương trình 4x - 2x + 6 = m có đúng 1 nghiệm x 1; 2. 23 A). m 8. B). 8 m 18. C). 8 < m < 18. D). m = v 8 < m < 18. 4 GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 16
17. . 35). Giải phương trình 2x + 3 + 3x - 1 = 2x -1 + 3x. Ta có tập nghiệm bằng: 51 4 45 8 A). l o g . B). l o g . C). l o g . D). l o g . 2 8 2 45 2 4 2 51 3 3 3 3 . 22 36). Tìm m để phương trình 94.36xx−+= m có đúng 2 nghiệm. A). 2 3 v m = 2. D). 2 < m < 6. . 37). Phương trình: 4loglog5325 x +=x có nghiệm là: 1 1 1 A. xx==5;5 B. xx==1; C. xx==;5 D. xx==;5 2 5 5 . x 38). Phương trình log2 ( 9− 2) = 3 − x tương đương với phương trình nào dưới đây A. 923−=−x x B. xx2 −=30 C. xx2 +=30 D. 9− 2xx + 3 = 2− GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 17
18. . . 42 39). Tìm m để phương trình xxm−−=6log0 2 có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 3 nghiệm lớn hơn -1. 1 1 1 A. m 1 B. m 1 C. Đáp án khác D. m 1 29 29 25 . . 2 40). Số nghiệm phương trình log4log31(xxx++−= 1050) ( ) là: 3 A. 3 B. Vô nghiệm C. 1 D. 2 . GV: Đoàn Văn Tính - 0946 069 661 website: giasutrongtin.vn - LT+BT- bài 5: pt số mũ – pt logarit 18