45 chủ đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán - Năm học 2022

Nội dung text: 45 chủ đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán - Năm học 2022

1. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 x x0 a 1 t x 1 2 t 1 y y0 a 2 t y 2 4 t 2 Xét hệ phương trình: * z z a t Xét hệ phương trình: . 0 3 z 3 t 3 Ax By Cz D 0 x y 2z 5 0 * + * có nghiệm duy nhất d cắt . Thay 1 , 2 và 3 vào * ta được + * có vô nghiệm d // . 1 2t 2 4 t 2 3 t 5 0 . Phương trình này có vô số + * vô số nghiệm d  . nghiệm. Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng . Nhận xét: Đường thẳng d đi qua M có vectơ chỉ phương u , Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n . Khi đó: x 1 y z 5 d : và mặt phẳng P : 3 x 3 y 2 z 6 0 . + d P u cùng phương với n . 1 3 1 u n Mệnh đề nào dưới đây đúng? + d// P . A. d cắt và không vuông góc với P . MP C. d song song với P . u n + d P . B. d vuông góc với P . MP D. d nằm trong P . II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Lời giải Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng Chọn A vuông góc với mặt phẳng :x 2 z 3 0 . Một vectơ chỉ Đường thẳng d nhận u 1; 3; 1 làm một vectơ chỉ phương. phương của là Mặt phẳng P nhận n 3; 3;2 làm một vectơ pháp tuyến. A. b 2; 1;0 . B. v 1;2;3 . Do u. n 0 và hai vectơ này không cùng phương nên đường thẳng C. a 1;0;2 . D. u 2;0; 1 . d cắt và không vuông góc với P . Lời giải Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường Chọn C x 2 y 1 z 1 Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng :x 2 z 3 0 thẳng có phương trình d : . Xét mặt phẳng 1 1 1 Một vectơ chỉ phương của là a n 1;0;2 . 2 P : x my m 1 z 7 0 , với m là tham số thực. Tìm m Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , tìm tọa độ điểm M là giao sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng P . x 1 t m 1 điểm của đường thẳng d: y 2 t với mặt phẳng A. m 1 . B. m 1. C. . D. m 2 . m 2 z t Lời giải P : x y z 4 0 . Chọn B A. M 1; 2;0 . B. M 4;0;0 . Đường thẳng d đi qua M 2;1;1 có vectơ chỉ phương là C. M 3;0; 1 . D. M 2; 1; 1 . u 1;1; 1 và mặt phẳng P có vectơ chỉ pháp tuyến là Lời giải n 1; m ; m2 1 . Chọn D u n 1 m m2 1 0 Gọi M t 1; 2 t ; t d . d // P MP 2 m m2 1 7 0 Ta có: M P t 1 2 t t 4 0 m 1 t 1 M 2; 1; 1 m2 m 2 0 m 2 Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng m 1 . 2 x 1 y 2 z 3 m m 6 0 m 2 d : và mặt phẳng :x y 2 z 5 0 , 2 4 1 m 3 mệnh đề nào dưới đây là đúng? III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN A. d // . Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng B. d  . P : x 2 y 3 z 6 0 . Giao điểm của mặt phẳng P và trục C. d cắt và d không vuông góc với . Ox có tọa độ là A. 0;3;2 . B. 6;0;0 . C. 2;0;0 . D. 1; 2;3 . D. d  . Câu 2. Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là Lời giải Chọn B phương trình mặt phẳng song song với trục Oz ? A. 2y 3 z 2 0 . B. 2x 3 y 2 0 . x 1 2 t C. 2x 3 y 3 z 0 . D. 2x 3 y 0 . Ta có d: y 2 4 t t . z 3 t Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 132
2. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Câu 3. Tọa độ giao điểm M của đường thẳng Câu 10. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng x 12 y 9 z 1 d : và mặt phẳng P : 3 x 5 y z 2 0 x 1 4 3 1 d: y 1 t t và hai mặt phẳng P : x y z 1 0 , là z 1 t A. 1;0;1 . B. 0;0; 2 . C. 1;1;6 . D. 12;9;1 . Câu 4. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi Q :2 x y z 4 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? qua M 3; 1;1 và vuông góc với đường thẳng A. d// P . B. d// Q . x 1 y 2 z 3 C. P  Q d . D. d P . :? 3 2 1 Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng A. 3x 2 y z 12 0 . B. 3x 2 y z 8 0 . x 1 y 2 z 3 d : và mặt phẳng P : x 3 y 2 z 1 0 . C. 3x 2 y z 12 0 . D. x 2 y 3 z 3 0 . m2 m 1 2 x 1 y z 5 Với giá trị nào của m thì đường thẳng d vuông góc mặt phẳng Câu 5. Cho đường thẳng d : và mặt phẳng 1 3 1 P . P : 3 x 3 y 2 z 6 0 . Mệnh đề nào đúng? A. m 2 . B. m 1. C. m 1 . D. m 0 . A. d cắt và không vuông góc với P . Câu 12. Với giá trị nào của m , n thì đường thẳng x 3 4 t B. d vuông góc với P . d : y 1 4 t nằm trong mặt phẳng C. d song song với P . z t 3 D. d nằm trong P . P : m 1 x 2 y 4 z n 9 0 ? Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 2; 1;0 , A. m 4 , n 14 . B. m 4 , n 10 . B 1;2;1 , C 3; 2;0 và D 1;1; 3 . Đường thẳng đi qua D và C. m 3 , n 11. D. m 4 , n 14 . vuông góc với mặt phẳng ABC có phương trình là Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;0;1 và x 1 t x 1 t B 1;1;0 . Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng OAB tại A. y 1 t . B. y 1 t . O có phương trình là x y z x y z z 3 2 t z 2 2 t A. . B. . 1 1 1 1 1 1 x 1 t x t x y z x y z C. y 1 t . D. y t . C. . D. . 1 1 1 1 1 1 z 2 3 t z 1 2 t x 1 y 1 z 2 Câu 14. Cho đường thẳng : nằm trong mặt Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A 1; 1;2 và 2 1 2 phẳng mx ny 3 z 3 0 . Tổng m n bằng x 1 t A. 1. B. 2. C. 2 . D. 1 . đường thẳng d: y 1 t . Phương trình mặt phẳng qua A và Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho điểm A 2;1;1; và mặt z 1 2 t phẳng P: x y 2 z 3 0 . Mặt phẳng đi qua điểm A , vuông vuông góc với d là A. x y 2 z 6 0 . B. x y 2 z 6 0 . góc với mặt phẳng P và song song với trục Oz có phương trình C. x y z 2 0 . D. x y z 2 0 . là Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng A. x y 2 z 1 0 . B. z 1 0 . x 1 y 1 z 3 C. x y 1 0 . D. x y 3 0 . :x 2 y 3 z 6 0 và đường thẳng : . 1 1 1 x 1 3 t Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 16. Cho hai đường thẳng d1 : y 2 t , A.  . z 2 B. cắt và không vuông góc với . x 1 y 2 z d : và mặt phẳng P : 2 x 2 y 3 z 0 . C.  . 2 2 1 2 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao D. // . điểm của d1 và P đồng thời vuông góc với d2 ? Câu 9. Trong không gian tọa độ Oxyz , mặt phẳng nào dưới A. 2x y 2 z 22 0 . B. 2x y 2 z 13 0 . x y 1 z 4 đây song song với đường thẳng : ? C. 2x y 2 z 13 0 . D. 2x y 2 z 22 0 . 2 1 2 x 1 t A. :x 2 y 1 0 . B. :x z 4 0 . Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d: y 1 t C. :4x 2 y 3 z 2 0 . D. :3x y z 3 0 . z 1 t và mặt phẳng :x y z 3 0 . Phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng biết vuông góc và cắt đường thẳng d là Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 133
3. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 x 1 x 1 x 1 x 1 độ giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng là nghiệm A. y 1 t . B. y 1 2 t . C. y 1 t . D. y 1 t . x 1 t x 1 z 1 t z 1 t z 1 2 t z 1 t y 1 t hệ phương trình y 1. Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm z 1 t z 1 A 3;2;1 , M 3;0;0 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . x y z 3 0 Đường thẳng đi qua điểm M , nằm trong mặt phẳng P sao x 1 cho khoảng cách từ điểm A đến là nhỏ nhất. Gọi vectơ Vậy phương trình đường thẳng : y 1 t . u a;; b c là một vectơ chỉ phương của ( a , b , c là các số z 1 t nguyên có ước chung lớn nhất là 1). Tính P a b c Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A. 1 . B. 1. C. 2. D. 0. A 3;2;1 , M 3;0;0 và mặt phẳng P : x y z 3 0 . Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Đường thẳng đi qua điểm M , nằm trong mặt phẳng P sao x 3 y 1 z 1 x y 2 z 1 : và : . Mặt phẳng chứa cho khoảng cách từ điểm A đến là nhỏ nhất. Gọi vectơ 1 2 3 2 4 6 cả hai đường thẳng trên có phương trình là 3x by cz d 0 . u a;; b c là một vectơ chỉ phương của ( a , b , c là các số Tính S b c d . nguyên có ước chung lớn nhất là 1). Tính P a b c . A. S 5 . B. S 19 . C. S 3. D. S 1. A. 1 . B. 1. C. 2. D. 0. Lời giải Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 1;2;3 , A N 3;4;5 và mặt phẳng P : x 2 y 3 z 14 0 . Gọi là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng P , các điểm H , K H M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N trên . Biết rằng khi P MH NK thì trung điểm của HK luôn thuộc đường thẳng d cố Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng P . Khi định, phương trình của d là x 1 x t đó AH là khoảng cách từ A đến P . Suy ra đường thẳng A. y 13 2 t . B. y 13 2 t . cần tìm chính là đường thẳng nằm trong P đi qua M và z 4 t z 4 t x 3 t x t x t Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với P là y 2 t ( C. y 13 2 t . D. y 13 2 t . z 1 t z 4 t z 4 t t là tham số). BẢNG ĐÁP ÁN Ta có H P  d thay phương trình tham số d vào phương 1B 2B 3B 4C 5A 6D 7B 8C 9A 10C trình mặt phẳng ta được 3 t 2 t 1 t 3 0 t 1 11B 12D 13D 14D 15D 16B 17A 18D 19D 20B Vậy H 2;1;0 là hình chiếu vuông góc của A trên P .  Đường thẳng nhận MH làm vectơ chỉ phương HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CÂU 17, 18, 19, 20.  MH 1;1;0 a b c 0 . x 1 t Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d: y 1 t x 3 y 1 z 1 x y 2 z 1 z 1 t : và : . Mặt phẳng chứa 1 2 3 2 4 6 và mặt phẳng :x y z 3 0 . Phương trình đường thẳng cả hai đường thẳng trên có phương trình là 3x by cz d 0 . nằm trong mặt phẳng biết vuông góc và cắt đường thẳng Tính S b c d . d là A. S 5 . B. S 19 . C. S 3. D. S 1. x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải Đường thẳng đi qua M 3;1; 1 và có vectơ chỉ phương A. y 1 t . B. y 1 2 t . C. y 1 t . D. y 1 t . z 1 t z 1 t z 1 2 t z 1 t u 1; 2;3 . Lời giải Đường thẳng đi qua M 0;2; 1 và có vectơ chỉ phương  Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u 1; 1; 1 , mặt u 2; 4;6 . phẳng có một vectơ pháp tuyến n 1;1;1 . Ta có  u 2 u u; n 0; 2;2 . Ta có // . MM , Vì đường thẳng nằm trong mặt phẳng và vuông góc Mặt phẳng P chứa cả hai đường thẳng và nên P đi với đường thẳng d nên nhận vectơ u 0; 1;1 làm vectơ chỉ  qua M 3;1; 1 và nhận n u; MM làm vectơ pháp tuyến, P phương.  Đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt đường thẳng d với MM 3;1;0 n 3; 9; 5 3;9;5 . nên đi qua giao điểm giữa đường thẳng d và mặt phẳng . Tọa Suy ra phương trình mặt phẳng P là: Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 134
4. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 3x 9 y 5 z 3.3 9. 1 5.1 0 3 x 9 y 5 z 13 0 +) Nếu IH R : Mặt phẳng Vậy S b c d 9 5 13 1 nên đáp án D đúng. P cắt mặt cầu theo thiết Câu 20. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 1;2;3 , diện là đường tròn có tâm N 3;4;5 và mặt phẳng P : x 2 y 3 z 14 0 . Gọi là IIH  và bán kính 2 2 2 2 đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng P , các điểm H , K r R IH R I I . lần lượt là hình chiếu vuông góc của M , N trên . Biết rằng khi MH NK thì trung điểm của HK luôn thuộc đường thẳng d cố Lưu ý: Khi mặt phẳng P định, phương trình của d là đi qua tâm I thì mặt phẳng x 1 x t P được gọi là mặt phẳng A. y 13 2 t . B. y 13 2 t . kính và thiết diện lúc đó z 4 t z 4 t được gọi là đường tròn lớn. x t x t II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng C. y 13 2 t . D. y 13 2 t . (P ) : 2 x 3 y z 11 0 và mặt cầu z 4 t z 4 t Lời giải (S ) : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 2 z 8 0 tiếp xúc nhau tại điểm Gọi I x;; y z là trung điểm của HK . Khi đó theo giả thiết của H . Tọa độ của tiếp điểm H là IP x 2 y 3 z 14 A. H 3;1;2 . B. H 3; 1;2 . đề bài ta có: IM IN do IMH INK x y z 9 C. H 3;1;2 . D. H 3;1; 2 . Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng P : x 2 y 3 z 14 0 Lời giải Chọn C và Q : x y z 9 . Ta có I thuộc đường thẳng d cố định. d có một vectơ chỉ phương là u  n1; n 2  1; 2;1 (với n1 1;2;3 , n2 1;1;1 ) và đi qua điểm A 0;13; 4 . x t Vậy d: y 13 2 t . z 4 t Mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 và bán kính 2 2 2 CHUYÊN ĐỀ 39: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG R 1 ( 2) 1 ( 8) 14 . VÀ MẶT CẦU Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với P . Giáo viên soạn: Văn Hoàng Minh Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm – Cư Jut – Suy ra đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u 2;3;1 . Đăk Nông x 1 y 2 z 1 Phương trình đường thẳng d : . Địa chỉ mail: Hoangminhcj@gmail.com 2 3 1 Giáo viên phản biện: Vì ()P và ()S tiếp xúc nhau tại điểm H nên I. KIẾN THÚC TRỌNG TÂM Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu H d H 2 t 1;3 t 2; t 1 và HP nên Cho mặt cầu SIR ; và mặt 2 2t 1 3 3 t 2 t 1 11 0 t 1 H 3;1;2 . phẳng P . Gọi H là hình Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu tâm O , bán kính chiếu vuông góc của I lên R 3. Mặt phẳng P nằm cách tâm O một khoảng bằng 1 và P hay d I; P IH . cắt mặt cầu theo một đường tròn có chu vi bằng Nếu: A. 4 2 . B. 6 2 . +) IH R : Mặt cầu SIR ; C. 3 2 . D. 8 2 . Lời giải và mặt phẳng P không có Chọn A điểm chung. +) Nếu IH R : Mặt phẳng P tiếp xúc mặt cầu SIR ; . Lúc này ta nói mặt phẳng P là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H là Mặt phẳng ()P cắt mặt cầu tâm O theo một đường tròn tâm H tiếp điểm. và bán kính r HA . Lưu ý: IH P Ta có OH d( O ,( P )) 1; OA R 3 . Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 135
5. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông HOA ta có (P ) : 4 x 3 y m 0 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m r HA OA2 OH 2 9 1 2 2 . để mặt phẳng ()P và mặt cầu ()S có đúng 1 điểm chung. Vậy chu vi đường tròn thiết diện là: 2 r 4 2 . A. m 1 . B. m 1 hoặc m 21. Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng C. m 1 hoặc m 21. D. m 9 hoặc m 31. x 1 y 3 z Lời giải : và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 0 . Phương Chọn B 2 4 1 Mặt cầu S có tâm I 2; 1; 2 và bán kính R 2 . Mặt phẳng trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng P là P và mặt cầu S có đúng 1 điểm chung khi và chỉ khi P A. x 5 2 y 11 2 z 2 2 1 và tiếp xúc S từ đó suy ra d I, P R . Ta có 2 2 2 4 2 3  1 m x 1 y 1 z 1 1 . d I, P R 2 2 2 2 2 2 2 4 3 0 B. x 5 y 11 z 2 1 và m 1 x 1 2 y 1 2 z 1 2 1. 11 m 10 m 21 2 2 2 C. x 5 y 11 z 2 1 và Vậy m 1 hoặc m 21. 2 2 2 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN x 1 y 1 z 1 1 . Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 D. x 5 y 11 z 2 1 và S : x2 y 2 z 2 4 x 2 y 2 z 10 0 và mặt phẳng 2 2 2 x 1 y 1 z 1 1. P : x 2 y 2 z 10 0 , mệnh đề nào dưới đây đúng? Lời giải A. P tiếp xúc với S . Chọn D B. P cắt S theo giao tuyến đường tròn khác đường tròn Gọi I a;; b c là tâm của mặt cầu. Do I I 1 2 t ;3 4 t ; t lớn. Do mặt cầu có bán kính bằng 1 và tiếp xúc với P nên ta có C. P và S không có điểm chung. D. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn lớn. 2 1 2t 3 4 t 2 t d I; P 1 2 t 1 3 Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho điểm I 2;2;1 và mặt 22 1 2 2 2 . phẳng P : x 2 y 2 z 1 0 . Mặt cầu tâm I và tiếp xúc với 2t 1 3 t 2 mặt phẳng P có phương trình là 2t 1 3 t 1 2 2 2 A. x 2 y 2 z 1 1 . Với t 2 I 5;11;2 nên phương trình mặt cầu là 2 2 2 x 5 2 y 11 2 z 2 2 1 . B. x 2 y 2 z 1 1. 2 2 2 Với t 1 I 1; 1; 1 nên phương trình mặt cầu là C. x 2 y 2 z 1 1 . 2 2 2 2 2 2 x 1 y 1 z 1 1 . D. x 2 y 2 z 1 1 . Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 và mặt phẳng S : x 1 2 y 2 2 z 2 2 9 và mặt phẳng :2x y 2 z 15 0 . Mặt phẳng P song song với và P : 2 x y 2 z 1 0 . Biết P cắt S theo giao tuyến là tiếp xúc S có phương trình là đường tròn có bán kính r . Tính r . A. 2x y 2 z 15 0 . B. 2x y 2 z 15 0 . A. r 3. B. r 2 2 . C. 2x y z 3 0 . D. 2x y 2 z 3 0 . C. r 3 . D. r 2 . Lời giải Câu 4. Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là Chọn C phương trình mặt cầu có tâm I 1;2; 1 và tiếp xúc với mặt S có tâm I 1;2; 3 , bán kính R 3. phẳng P : x 2 y 2 z 8 0 ? P song song với P : 2 x y 2 z m 0 , với A. x 1 2 y 2 2 z 1 2 9 . m 15 . 2 2 2 Do mặt phẳng P tiếp xúc với S B. x 1 y 2 z 1 9 . 2 2 2 m 15 C. x 1 y 2 z 1 3 . d I, P R , so với điều kiện ta nhận m 3 . m 3 D. x 1 2 y 2 2 z 1 2 3 . Vậy P :2 x y 2 z 3 0 . Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 0 và điểm A 1;1;0 thuộc S . (S ) : ( x 2)2 ( y 1) 2 ( z 2) 2 4 và mặt phẳng Mặt phẳng tiếp xúc với S tại A có phương trình là A. x y 1 0 . B. x 1 0 . Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 136
6. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 C. x y 2 0 . D. x 1 0 . Câu 14. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng tiếp Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng xúc với mặt cầu S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 2 0 và song P :2 x 2 y z 2 0 và mặt cầu S tâm I 2;1; 1 , bán song với mặt phẳng :4x 3 y 12 z 10 0 là kính R 2 . Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng P 4x 3 y 12 z 26 0 4x 3 y 12 z 26 0 A. . B. và mặt cầu S là 4x 3 y 12 z 78 0 4x 3 y 12 z 78 0 A. r 3 . B. r 2 . 4x 3 y 12 z 26 0 4x 3 y 12 z 26 0 C. r 2 . D. r 1 . C. . D. . Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có đường 4x 3 y 12 z 78 0 4x 3 y 12 z 78 0 Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt kính AB , với A 6;2; 5 , B 4;0;7 . Phương trình mặt phẳng phẳng P : 2 x 2 y z m2 3 m 0 và mặt cầu tiếp xúc với mặt cầu S tại A là 2 2 2 A. 5x y 6 z 62 0 .B. 5x y 6 z 62 0 . S : x 1 y 1 z 1 9 . Tìm tất cả các giá trị của m C. 5x y 6 z 62 0 .D. 5x y 6 z 62 0 . để P tiếp xúc với mặt cầu S . Câu 8. Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu có tâm là m 2 m 2 A. . B. . điểm I 1;2;4 và tiếp xúc với mặt phẳng m 5 m 5 P : 2 x 2 y z 1 0 là C. m 2 . D. m 5 . Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng A. x 1 2 y 2 2 z 4 2 4 . x 1 y 2 z 2 2 2 d : và mặt phẳng P : 2 x y 2 z 2 0 . B. x 1 y 2 z 4 4 . 3 1 1 C. x 1 2 y 2 2 z 4 2 9 . Phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d , tiếp xúc với 2 2 2 P và có bán kính bằng 1 là D. x 1 y 2 z 4 4. 2 2 2 8 9 1 Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho A 1;2;3 , B 4;2;3 , A. x y z 1 và 5 5 5 C 4;5;3 . Diện tích mặt cầu nhận đường tròn ngoại tiếp tam 2 2 2 x 2 y 3 z 1 1 giác ABC làm đường tròn lớn là 2 2 2 A. 9 . B. 18 . 8 9 1 B. x y z 1 và C. 73 . D. 36 . 5 5 5 Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng x 2 2 y 3 2 z 1 2 1 . 2 2 2 P : x 2 y z 3 0 cắt mặt cầu S : x y z 5 theo 2 2 2 8 9 1 giao tuyến là đường tròn có diện tích là C. x y z 1 và 5 5 5 11π 9π A. . B. . x 22 y 3 2 z 1 2 1 4 4 . 2 2 2 15π 7π 8 9 1 C. . D. . D. x y z 1 và 4 4 5 5 5 Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 x 2 y 3 z 1 1. S : x2 y 2 z 2 4 x 2 y 6 z 11 0 và mặt phẳng Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu P : x 2 y 2 z 1 0. Gọi C là đường tròn giao tuyến của 2 2 2 và mặt phẳng S : x y z 4 x 2 y 2 z 19 0 P và S . Chu vi đường tròn C là P: 2 x y 2 z m 3 0, T với m là tham số. Gọi là tập hợp A. 6 . B. 8 . tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng P cắt mặt C. 10 . D. 4 . cầu S theo một đường tròn có chu vi Tổng giá trị của tất Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 6 . 2 2 2 S : x y z 2 x 2 y 4 z 1 0 và mặt phẳng cả các phần tử thuộc T bằng A. 4. B. 24. P : x y z m 0 . Tìm tất cả m để P cắt S theo giao C. 20. D. 16. tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất. Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng A. m 4 . B. m 0 . ABC. A B C với ABCB0; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 , 4;0;4 C. m 4 . D. m 7 . 1 1 1 1 Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng Câu 13. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp 2 2 2 BCC B là xúc với mặt cầu S : x 1 y 2 z 3 81 tại điểm 1 1 2 576 H ( 5; 4;6) là A. x 1 ( y 3)2 z 2 . A. 7x 8 y 67 0 . B. 4x 2 y 9 z 82 0 25 2 576 . B. x2 y 5 z 2 . C. x 4 z 29 0 . D. 2x 2 y z 24 0 . 25 Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 137
7. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 2 2 576 2 576 C. x 1 y2 z 3 . A. x 1 ( y 3)2 z 2 . 25 25 2 576 2 576 D. x2 y 3 z 2 . B. x2 y 5 z 2 . 25 25 Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho d là giao tuyến của hai 2 2 576 C. x 1 y2 z 3 . mặt phẳng P : x 2 y z 9 0, Q : 2 y z 5 0 . Phương 25 2 576 trình mặt cầu tâm I 1;1;1 , cắt d tại hai điểm phân biệt AB, D. x2 y 3 z 2 . 25 sao cho AB 16 là Lời giải 2 2 2 A. x 1 y 1 z 1 81. Chọn C B. x 1 2 y 1 2 z 1 2 81.   Ta có BB1 0;0;4 và AC 0;6;0 C. x 1 2 y 1 2 z 1 2 81.   các mặt bên của lăng trụ là hình bình hành nên AA1 BB 1 và D. x 1 2 y 1 2 z 1 2 81.   AC AC1 1 A 1 0; 3;4 và C1 0;3;4 . Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai mặt Ta lại có ,     phẳng P : x y z 3 0 , Q : x 2 y 2 z 5 0 và mặt cầu BC 4;3;0 , BB 0;0;4 BC , BB 12;16;0 . 1 1 S : x2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 11 0 . Gọi M là điểm di Mặt phẳng BCC1 B 1 nhận vectơ pháp tuyến động trên S và N là điểm di động trên P sao cho MN 1   n BC, BB (3;4;0) nên phương trình mặt phẳng luôn vuông góc với Q . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng 4 1 MN bằng? BCC1 B 1 là 3(x 4)4 y 0 3 x 4 y 120 . A. 9 5 3 . B. 18 . Mặt cầu S đi qua A, tiếp xúc với BCC1 B 1 nên có bán kính C. 14 . D. 3 5 3 . | 12 12 | 24 R d A, BCC B . 1 1 32 4 2 5 BẢNG ĐÁP ÁN 1A 2B 3B 4B 5D 6A 7C 8C 9B 10A Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho d là giao tuyến của hai 11B 12C 13D 14C 15B 16D 17D 18C 19A 20A mặt phẳng P : x 2 y z 9 0, Q : 2 y z 5 0 . Phương trình mặt cầu tâm I 1;1;1 , cắt d tại hai điểm phân biệt AB, Hướng dẫn giải chi tiết câu 17, 18, 19, 20 sao cho AB 16 là 2 2 2 Câu 17. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu A. x 1 y 1 z 1 81. 2 2 2 và mặt phẳng 2 2 2 S : x y z 4 x 2 y 2 z 19 0 B. x 1 y 1 z 1 81. 2 2 2 P : 2 x y 2 z m 3 0, với m là tham số. Gọi T là tập hợp C. x 1 y 1 z 1 81. tất cả các giá trị thực của tham số m để mặt phẳng P cắt mặt 2 2 2 D. x 1 y 1 z 1 81. cầu S theo một đường tròn có chu vi 6 . Tổng giá trị của tất Lời giải cả các phần tử thuộc bằng Chọn A T  A. 4. B. 24. Mặt phẳng P có véc tơ pháp tuyến n1 1; 2;1 , Q có C. 20. D. 16.  véctơ n2 0;2;1 nên d có véctơ chỉ phương Lời giải   u n; n 4; 1;2 . Chọn D 1 2 2 2 2 Mặt cầu S : x 2 y 1 z 1 25 có tâm Đường thẳng d đi qua điểm   I 2;1; 1 và bán kính R 5. N 14;0; 5 IN 13; 1; 6 IN , u 8;2;17 . Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo đường tròn có chu vi 6 Khoảng cách từ I đến d là  nên bán kính đường tròn bằng r 3. 2 2 2 IN, u 8 2 17 Do đó khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng là h 17 . u 2 2 2 2 2 4 1 2 d I, P R r 4 Gọi M là hình chiếu của I trên d M là trung điểm của | 4 1 2 m 3 | m 4 AB và IM h, AM 8 . 4 |m 8 | 12 3 m 20. Bán kính mặt cầu R IA h2 AM 2 17 8 2 9 Vậy tổng giá trị của các phần tử thuộc T bằng 16. . 2 2 2 Câu 18. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng Phương trình mặt cầu cần tìm là x 1 y 1 z 1 81 Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai mặt ABC. A1 B 1 C 1 với ABCB 0; 3;0 , 4;0;0 , 0;3;0 ,1 4;0;4 Phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng phẳng P : x y z 3 0 , Q : x 2 y 2 z 5 0 và mặt cầu 2 2 2 BCC1 B 1 là S : x y z 2 x 4 y 6 z 11 0 . Gọi M là điểm di Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 138
8. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 động trên S và N là điểm di động trên P sao cho MN C. 20 . D. 20 . luôn vuông góc với Q . Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng Lời giải Chọn B MN bằng? Cách 1: Tìm d và áp dụng công thức số hạng tổng quát. A. 9 5 3 . B. 18 . Ta có: d u2 u 1 5 . Do đó u5 u 1 4 d 1 4. 5 19 . C. 14 . D. 3 5 3 . Cách 2: Tìm d và tính lần lượt u3;; u 4 u 5 . Lời giải Ta có: d u u 5 . Do đó u u d 9 ; Chọn A 2 1 3 2 u u d 14 ; u u d 19 . Mặt cầu S có tâm I (1; 2;3), bán kính R 5; d I , P 3 3 . 4 3 5 4 Ví dụ 2: Cho cấp số nhân un có u1 2 và công bội q 3 . Đường thẳng MN có vectơ chỉ phương u 1;2; 2 , mặt phẳng Giá trị u bằng ? 3 P có vectơ pháp tuyến n 1; 1;1 . A. 6 . B. 6 . Gọi là góc giữa MN và mặt phẳng P C. 1. D. 18 . |u n | 1 Lời giải sin . |u | | n | 3 Chọn D Cách 1: Áp dụng công thức số hạng tổng quát. Ta có Ta có: u u. q2 2 .3 2 18 d M, P 3 1 MN 3. d M , P 3 d I , P R 9 5 3 Cách 2: Dùng định nghĩa cấp số nhân tính lần lượt u; u . sin 2 3 Ta có: u2 u 1. q 2.3 6 ; u3 u 2 . q 6.3 18 . Ví dụ 3: Cho cấp số cộng un , biết u2 3 và u4 7 . Giá trị của S bằng 15 A. 223 . B. 230 . C. 225 . D. 252 . CHUYÊN ĐỀ 40: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Lời giải Giáo viên soạn: NGUYỄN ANH TUẤN Chọn C Đơn vị công tác: Trường THPT Mai Sơn – Sơn La n Địa chỉ mail: tuansl86@gmail.com Cách 1: Tìm u1;; d u 15 và áp dụng công thức Sn u1 u n Giáo viên phản biện: NGUYỄN DƯƠNG LONG 2 Từ giả thiết u 3 và u 7 suy ra ta có hệ phương trình: I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 2 4 1. Cấp số cộng u d 3 u 1 1 1 . a) Định nghĩa: Dãy số u hữu hạn hoặc vô hạn được xác định n u1 3 d 7 d 2 bởi u u d,  n * gọi là cấp số cộng; d gọi là công sai n 1 n Ta có: u15 u 1 14 d 1 14.2 29 . của cấp số cộng. 15 b) Các tính chất: Do đó S15 1 29 225 . 2 Công thức số hạng tổng quát: un u1 ( n 1) d . Cách 2: Tìm u1; d và áp dụng công thức Ba số hạng u,, u u là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng k 1 k k 1 n u u Sn 2 u1 n 1 d k 1 k 1 2 khi và chỉ khi uk với k 2; k . 2 15 Tổng n số hạng đầu tiên S được xác định bởi công thức : Ta có: S15 . 2.1 14.2 225 . n 2 n n Ví dụ 4: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân un Sn u1 u 2 u n u 1 u n 2 u 1 n 1 d . 2 2 có u u 54 và u u 108 . 2. Cấp số nhân 4 2 5 3 A. u1 3 và q 2 . B. u1 9 và q 2 . a) Định nghĩa: Dãy số un hữu hạn hoặc vô hạn được xác định C. u 9 và q –2 . D. u 3 và q –2 . bởi u u. q ,  n * gọi là cấp số nhân; q gọi là công bội 1 1 n 1 n Lời giải của cấp số nhân. Chọn B b) Các tính chất: Gọi số hạng đầu của cấp số nhân là u1 và công bội là q . Công thức số hạng tổng quát: u u qn 1 . n 1 Theo giả thiết, ta có Ba số hạng uk 1,, u k u k 1 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng 3 2 u4 u 2 54 u1. q u 1 . q 54 q q 1 54 1 2 khi và chỉ khi với k 2; k . 4 2 2 2 uk u k 1. u k 1 u u 108 108 2 5 3 u1. q u 1 . q 108 q q 1 Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức : q 2 . Với q 2 , ta có 8u1 2 u 1 54 6u1 54 u1 9 1 qn S u u u u ; q 1 Ví dụ 5: Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi n1 2 n 1 1 q biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64000 con hỏi sau II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI (những ví dụ đặc trung nhất)-gồm 5 ví dụ cho một chuyên đề bao nhiêu phút thì có được 2048000 con. A. 10 . B. 11. Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un có u1 1; u 2 4 . Giá trị u5 bằng? C. 26 . D. 50 . A. 19 . B. 19 . Lời giải Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 139
9. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Chọn A n A. un 7 3 n . B. un 7 3 . Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân u với công bội n 7 C. u . D. u 7.3n . q 2 . n 3n n 5 Ta có: u6 64000 u1. q 64000 u1 2000 . Câu 11. Xác định x dương để 2x 3; x ; 2x 3 lập thành cấp số Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là un 1 . nhân? n n A. x 3 . B. x 3 . un 1 2048000 u1. q 2048000 2000.2 2048000 n 10 . C. x 3 . D. x 3 . Câu 12. Cho cấp số nhân u có u 2 và công bội q 3 . Số Vậy sau 10 phút thì có được 2048000 con. n 1 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN hạng u5 là? Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. u5 48 . B. u5 162 . A. 1; 2; 4; 6; 8 B. 1; 3; 6; 9; 12. C. u5 162 . D. u5 48 C. 1; 3; 7; 11; 15. D. 1; 3; 5; 7; 9 Câu 13. Một cấp số nhân có 6 số hạng, số hạng đầu bằng 2 và số 1 hạng thứ sáu bằng 486. Tìm công bội q của cấp số nhân đã cho. Câu 2. Cho một cấp số cộng un có u1 , u8 26. Tìm công 3 A. q 3 . B. q 3 . sai d C. q 2 . D. q 2 . 11 10 A. B. 1 1 1 1 1 d d Câu 14. Cho cấp số nhân ; ; ;  ; . Hỏi số là 3 3 2 4 8 4096 4096 3 3 C. d D. số hạng thứ mấy trong cấp số nhân đã cho? d 10 11 A. 11. B. 12 . Câu 3. Cho dãy số un là một cấp số cộng có u1 3 và công sai C. 10 . D. 13. d 4 . Biết tổng n số hạng đầu của dãy số un là Sn 253 . Câu 15.Cho cấp số nhân un có u1 2 và u2 8 . Mệnh đề Tìm n . nào sau đây đúng? A. S 130 . B. u 256 . A. 9 B. 11 6 5 C. D. 10 C. S5 256 . D. q 4 . 12 Câu 16. Cho cấp số nhân u có u 3 và q 2. Tính tổng u4 10 n 1 Câu 4. Cho cấp số cộng un thỏa mãn có công sai u4 u 6 26 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho. là A. S 511 . B. S 1025 . A. d 3 B. d 3 10 10 C. . D. . C. D. S10 1025 S10 1023 d 5 d 6 Câu 17. Chu vi một đa giác là 158cm , độ dài các cạnh của nó lập Câu 5. Cho cấp số cộng un có u4 12 , u14 18 . Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này? thành một cấp số cộng với công sai d 3 cm . Biết cạnh lớn nhất là 44cm . Số cạnh của đa giác đó là? A. S16 24 B. S16 26 A. 3 B. 4 C. S16 25 D. S16 24 C. 5 D. 6 Câu 6. Cho cấp số cộng u , n * có số hạng tổng quát n Câu 18. Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm u 1 3 n . Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng? n 2018 . Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng A. 59048 B. 59049 để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống C. D. 155 310 heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các Câu 7. Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. có 5 số hạng? Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến A. 6;12;18 B. 8;13;18 ngày 30 tháng 4 năm 2018 )? C. D. A. 409500 đồng. B. 3489000 đồng 7;12;17 6;10;14 C. 4005000 đồng D. 4039600 đồng Câu 8. Cho u là cấp số cộng biết u u 80 . Tổng 15 số n 3 13 Câu 19. Giá trị của tổng 4 44 444 44 4 (tổng đó có hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 2018 số hạng) bằng A. 800 . B. 600 . 2019 40 2018 4 10 10 C. 570 . D. 630 . A. 10 1 2018 . B. 2018 . Câu 9. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số nhân? 9 9 9 A. 128; 64; 32; 16; 8; . 2019 4 10 10 4 2018 C. 2018 . D. 10 1 . B. 2; 2; 4; 4 2; . 9 9 9 C. 5; 6; 7; 8; . Câu 20. Trên một bàn cờ vua kích thước 8x8 người ta đặt số hạt 1 thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất để một hạt thóc, ô thứ hai để D. 15; 5; 1; ; 5 hai hạt thóc, các ô tiếp theo để số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề trước nó. Hỏi phải để tối thiểu từ ô thứ bao nhiêu để tổng số hạt Câu 10. Trong các dãy số u cho bởi số hạng tổng quát u sau, n n thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn 20172018 hạt thóc. dãy số nào là một cấp số nhân A. 26 B. 23 Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 140
10. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 C. 24 D. 25 2019 4 10 10 4 2018 BẢNG ĐÁP ÁN C. 2018 . D. 10 1 . 9 9 9 1C 2A 3B 4B 5D 6C 7C 8B 9A 10D Lời giải 11B 12C 13A 14B 15D 16D 17B 18C 19B 20D Chọn B Đặt S 4 44 444 44 4 (tổng đó có 2018 số hạng). Ta Hướng dẫn giải chi tiết câu 17,18,19,20 9 Câu 17. Chu vi một đa giác là 158cm , độ dài các cạnh của nó lập có: S 9 99 999 99 9 4 thành một cấp số cộng với công sai d 3 cm . Biết cạnh lớn nhất 10 1 102 1 10 3 1 10 2018 1 là 44cm . Số cạnh của đa giác đó là? 9 A. 3 B. 4 Suy ra: S 10 102 10 3 10 2018 2018 A 2018 . C. 5 D. 6 4 2 3 2018 Lời giải Với A 10 10 10 10 là tổng 2018 số hạng của một Chọn B cấp số nhân có số hạng đầu u1 10 , công bội q 10 nên ta có Cách 1: Giả sử đã giác đã cho có n cạnh thì chu vi của đa giác 1 q2018 1 102018 102019 10 A u 10 . u u n 1 là: S 1 n với u là cạnh nhỏ nhất. Suy ra: 1 q 9 9 n 2 1 9 102019 10 4 102019 10 u1 44 n 2 Do đó S 2018 S 2018 . 158 316 u1 44 n 2 .79 u1 44 n 4 9 9 9 2 Câu 20. Trên một bàn cờ vua kích thước 8x8 người ta đặt số hạt Do đó u 44 là ước nguyên dương của 316 22 .79 và đa giác 1 thóc theo cách như sau. Ô thứ nhất để một hạt thóc, ô thứ hai để có ít nhất ba cạnh nên hai hạt thóc, các ô tiếp theo để số hạt thóc gấp đôi ô đứng liền kề 316 trước nó. Hỏi phải để tối thiểu từ ô thứ bao nhiêu để tổng số hạt u 44 44 . Suy ra: u 44 79 u 35. 3 1 1 1 thóc từ ô đầu tiên đến ô đó lớn hơn 20172018 hạt thóc. 44 35 A. 26 B. 23 Số cạnh của đa giác đã cho là: 1 4 ( cạnh ). 3 C. 24 D. 25 Cách 2: Do độ dài các cạnh của đa giác lập thành cấp số cộng có Lời giải công sai d 3 cm và cạnh lớn nhất là 44cm . Ta đặt cạnh lớn Chọn D Số thóc ở ô sau gấp đôi ở ô trước, đặt un là số thóc ở ô thứ n thì nhất là u1 44 ta có u2 41; u3 38; u4 35 . Sử dụng giả thiết chu vi đa giác là158cm ta suy ra đa giác chỉ có u 1 20 số thóc ở mỗi ô sẽ lập thành một cấp số nhân: 1 . 4 cạnh do 44 41 38 35 158 . n un 1 2 u n 2 Câu 18. Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm Khi đó tổng số thóc từ ô đầu tới ô thứ k là 2018 . Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng 1k 1 S u u  u 1 2  2 để làm quà sinh nhật cho chính mình nên An quyết định bỏ ống k1 2 k k heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 . Trong các 2 1 k Vậy Sk 2 1 ngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng. 2 1 Hỏi đến ngày sinh nhật của mình, An có bao nhiêu tiền (tính đến Theo đề ta có: 2k 1 20172018 2 k 20172019 k log 20172019 ngày 30 tháng 4 năm 2018 )? 2 A. 409500 đồng. B. 3489000 đồng Vậy phải để thóc tối thiểu từ ô thứ 25 C. 4005000 đồng D. 4039600 đồng Lời giải Chọn C CHUYÊN ĐỀ 41: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ * Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có Giáo viên soạn: PhanThị Lam Đơn vị công tác: Trường THCS-THPT Tri Thức-Đồng Nai số hạng đầu u 1000 công sai d 1000 . 1 Địa chỉ mail: lamphan.98.hatinh@gmail.com * Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là: Giáo viên phản biện: Trần Nguyễn Vĩnh Nghi I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN n u u n 2 u1 n 1 d 1. Quy tắc đếm : S u u u 1 n n1 2 n 2 2  Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành * Tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018 (tính đến ngày thứ 89) động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của tổng số tiền bỏ heo là: hành động thứ nhất thì công việc đó có m n cách thực hiện. 89 2.1000 89 1 .1000  Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: S 45.89.1000 4005000 89 2 n A B n A n B . đồng.  Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và Câu 19. Giá trị của tổng 4 44 444 44 4 (tổng đó có ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì 2018 số hạng) bằng m. n 2019 có cách hoàn thành công việc. 40 2018 4 10 10 2. Hoán vị, Chính hợp, tổ hợp. A. 10 1 2018 . B. 2018 . 9 9 9  Hoán vị : Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 141
11. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 + Định nghĩa : Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Mỗi kết Chọn C 4 4 quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một Chọn 4 người trong 13 người hát tốp ca có C13 . Nên n() C13 hoán vị của n phần tử đó. Gọi A là biến cố chọn được 4 người đều là nam và n() A C 4 + Số các hoán vị 5 4 Kí hiệu P là số các hoán vị của n phần tử. Ta có: P n! n 1 C 5 n n PA() Nên xác suất của biến cố A là 4 .  Chỉnh hợp : C13 (n 1) + Định nghĩa : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Kết quả Ví dụ 2: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh ABCDE,,,, ngồi vào một của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã dãy 5 ghế thẳng hàng (mỗi bạn ngồi một ghế). Tính xác suất để cho. hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau. +Số các chỉnh hợp 1 3 2 4 A. . B. . C. . D. . k (1 k n ) Kí hiệu An là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử 5 5 5 5 Lời giải n ! Ak 1 k n Chọn B . Ta có: n n k ! Số phần tử của không gian mẫu: n  5! 120 .  Tổ hợp : Gọi X là biến cố “Hai bạn A và B không ngồi cạnh nhau”. + Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) . Mỗi tập “Hai bạn A và B ngồi cạnh nhau” hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của X n phần tử đã cho. Có 4 vị trí để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau, hai bạn đổi chỗ + Số các tổ hợp: được một cách xếp mới. k (0 k n ) Nên số cách xếp để hai bạn A và B ngồi cạnh nhau là Kí hiệu Cn là số các tổ hợp chập k của n phần tử . 4.2 !.3 ! 48 k n ! Ta có: Cn (0 k n ) . n X k!( n k )! 48 2 Xác suất của biến cố X là: PX 3. Tính xác xuất : n  120 5  Tính xác suất bằng định nghĩa : Công thức tính xác suất của 3 n A Vây xác suất của biến cố X là: PXPX 1 biến cố A : PA . 5 n  Ví dụ 3: Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh n(): A Trong đó: số kết quả thuận lợi cho biến cố A đó đi lao động. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít n(): số kết quả có thể xảy ra nhất 1 học sinh nữ. Chú ý: 4 17 17 2 A. . B. . C. . D. . 0 PA ( ) 1 . 9 24 48 3 PP( ) 1, (  ) 0 . Lời giải  Tính xác suất bằng công thức : Chọn B + Quy tắc cộng xác suất : 3 Ta có n  C10 120. * Nếu hai biến cố AB, xung khắc nhau thì Đặt A ”3 học sinh được chọn có ít nhất 1 nữ” PABPAPB A ”3 học sinh được chọn không có nữ” * Nếu các biến cố AAAA, , , , xung khắc nhau thì 1 2 3 k n A 3 7 Khi đó n A C 35 PAAAPAPAPA    7 p A 1 2k 1 2 k n  24 + Công thức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A 17 Vậy p A 1 p A . của biến cố A là: PAPA 1 24 + Quy tắc nhân xác suất : Ví dụ 4 : Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy song song. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 90%, xác * Nếu và B là hai biến cố độc lập thì P AB P A. P B A suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 80%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ * Một cách tổng quát, nếu k biến cố AAAA1, 2 , 3 , , k là độc lập thống máy hoạt động tốt. Xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn P AAAAA,,,, PAPPA thì 1 2 3k 1 2 k là A. 98%. B. 2%. C. 80%. D. 72%. II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Lời giải Chọn A Ví dụ 1: Từ một đội văn nghệ gồm 5 nam và 8 nữ cần lập một Goi A là biến cố : « Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt » nhóm gồm 4 người hát tốp ca. Xác suất để trong 4 người được B là biến cố : « Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt » chọn đều là nam bằng C là biến cố : « Công ty hoàn thành đúng hạn » C 4 A4 C 4 C 4 8 5 5 8 Ta có A là biến cố : « Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không A. 4 . B. 4 . C. 4 . D. 4 . C13 C 8 C13 A13 tốt » B là biến cố : « Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt » Lời giải Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 142
12. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 PA( ) 0,9 ; PB( ) 0,8 ; PA( ) 0,1 ; PB( ) 0,2 . ngữ và tin học. Học sinh nào giỏi ít nhất một trong hai môn sẽ được thêm điểm trong kết quả học tập của học kì. Chọn ngẫu nhiên PCPABPAPB( ) ( . ) ( ). ( ) 0, 02 một trong các học sinh trong lớp, xác suất để học sinh đó được tăng điểm là PCPC( ) 1 ( ) 0,98 . 3 1 2 3 Ví dụ 5: Gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Tính A. . B. . C. D. . xác suất sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo là số chẵn. 10 2 5 5 1 1 3 1 Câu 5: Cho A là biến cố liên quan đến phép thử có tập không A. . B. . C. . D. . 2 4 4 3 gian mẫu là . Khẳng định nào dưới đây sai? Lời giải A. PAPA( ) 1. B. P( ) 1. Chọn A. Đặt A là biến cố “Lần gieo đầu tiên xuất hiện mặt chấm chẵn”; C. P  0. D. 0 PA ( ) 1. B là biến cố “Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt chấm chẵn”; Câu 6: Một hộp có 5 bi đen, 4 bi trắng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. C là biến cố “Tổng số chấm trong hai lần gieo là số chẵn”. Xác suất 2 bi được chọn có cùng màu là Ta có CABAB    . 1 1 4 5 A. . B. . C. . D. . 4 9 9 4 Ta thấy AB và AB là hai biến cố xung khắc nên Câu 7: Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Gọi X là biến cố “ Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là một số lẻ”. PABABPABPAB      Tính xác suất của X. 1 3 7 1 PABABPABPAB      A. PA() .B. PA() .C. PA() .D. . 2 8 8 4 Vì A và B là hai biến cố độc lập nên Câu 8: Hai khẩu pháo cao xạ cùng bắn độc lập với nhau vào một 1 1 1 1 1 PABPAPB  mục tiêu. Xác suất bắn trúng mục tiêu lần lượt là và . Tính 2 2 4 4 3 1 1 1 xác suất để mục tiêu bị trúng đạn. PABPAPB A. 10 . B. 3 . C. A . D. 3 . 2 2 4 Câu 9: Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lần thứ 1 1 1 Vậy PC . nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 4 4 2 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại. Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu Ở đây CABAB    vì tổng hai chấm xuất hiện ở hai 14 48 47 81 A. . B. . C. . D. . lần gieo là chẵn có nghĩa là có 2 trường hợp: 95 95 95 95 *TH1: Hai lần gieo đều được số chẵn AB . Câu 10: Một hộp có 10 phiếu, trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. *TH2: Hai lần gieo đều được số lẻ AB . Có 10 người lần lượt lấy ngẫu nhiên mỗi người 1 phiếu. Tính xác 1 suất người thứ ba lấy được phiếu trúng thưởng. Ta có PAPB bởi xúc sắc có số mặt chẵn và số mặt 4 3 1 2 2 A. B. C. D. 1 5 5 5 5 lẻ bằng nhau, do vây ta dễ dàng có xác suất là . Câu 11: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 9 đội bóng tham dự, 2 trong đó có đội nước ngoài và đội của Việt Nam. Ban tổ III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN 6 3 Câu 1: Một đội gồm 5 nam và 8 nữ. Lập một nhóm gồm 4 người chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng ABC, , và hát tốp ca, tính xác suất để trong 4 người được chọn có ít nhất 3 mỗi bảng có 3 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở nữ? 3 bảng khác nhau. 70 73 56 87 3 19 9 53 A. . B. . C. . D. . A. . B. . C. . D. . 143 143 143 143 56 28 28 56 Câu 12: Một bộ đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà mỗi đề gồm Câu 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác 5 câu được chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và 5 câu khó. suất để biến cố có tổng hai mặt bằng 8? Một đề thi được gọi là Tốt nếu trong đề thi có cả ba câu dễ, 1 5 1 1 '' '' A. . B. . C. . D. . trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít hơn . Lấy ngẫu 6 36 9 2 2 Câu 2: Gieo ba con súc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là ba con súc sắc như nhau là? một đề thi '' Tốt '' 12 1 6 3 941 2 4 625 A. . B. . C. . D. . A. . B. . C. . D. . 216 216 216 216 1556 5 5 1556 Câu 3: Một hộp có 5 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Câu 13: Đội tuyển học sinh giỏi của một trường THPT có 8 học Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi sinh nam và 4 học sinh nữ. Trong buổi lễ trao phần thưởng, các được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng? học sinh trên được xếp thành một hàng ngang. Tính xác suất để 313 95 5 25 A. . B. . C. . D. . khi xếp sao cho 2 học sinh nữ không đứng cạnh nhau 408 408 102 136 653 7 41 14 Câu 4: Một lớp học có 100 học sinh, trong đó có 40 học sinh giỏi A. . B. . C. . D. . ngoại ngữ; 30 học sinh giỏi tin học và 20 học sinh giỏi cả ngoại 660 660 55 55 Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 143
13. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Câu 14: Một lớp học có 30 học sinh gồm có cả nam và nữ. Chọn Gọi A là biến cố '' 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động của Đoàn trường. '' . 12 Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh nữ ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 16 19 cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ. Tiếp của lớp. tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên A. 16. B. 14. C. 13. D. 17. có 4 cách lấy bi xanh). Câu 15: Có 8 người khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 12 có 3 quầy. Tính xác suất để 3 người cùng đến quầy thứ nhất . cách. 10 3 4769 1792 ● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 9 A. . B. . C. . D. . 13 13 6561 6561 cách. Câu 16: Trong dịp nghỉ lễ 30-4 và 1-5 thì một nhóm các em thiếu Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A ) 16 12 9 37 niên tham gia trò chơi “Ném vòng cổ chai lấy thưởng”. Mỗi em n() A 37 Vậy xác suất cần tính PA() . được ném 3 vòng. Xác suất ném vào cổ trai lần đầu là 0,75. Nếu n( ) 66 ném trượt lần đầu thì xác suất ném vào cổ chai lần thứ hai là 0,6. Nếu ném trượt cả hai lần ném đầu tiên thì xác suất ném vào cổ Câu 18: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn chai ở lần thứ ba (lần cuối) là 0,3. Chọn ngẫu nhiên một em trong ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S . Tính xác suất để hai số nhóm chơi. Xác suất để em đó ném vào đúng cổ chai là được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau A. 0,18 . B. 0,03 . C. 0,75 D. 0,81 . 8 81 36 86 A. B. C. D. Câu 17: Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó 89 89 89 89 có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu Lời giải đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số Chọn A từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên Số phần tử của tập S là 9.10 90 . bi được lấy vừa khác màu vừa khác số Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập S . 8 14 29 29 2 A. . B. . C. . D. . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n( ) C90 4005 . 33 33 66 66 Gọi X là biến cố '' Số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống Câu 18: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số. Chọn nhau '' . Ta mô tả không gian của biến cố X như sau: ngẫu nhiên đồng thời hai số từ tập hợp S . Tính xác suất để hai số ● Có cách chọn chữ số hàng đơn vị (chọn từ các chữ số được chọn có chữ số hàng đơn vị giống nhau 10 8 81 36 53 0;1;2;3; ;9 ). A. . B. . C. . D. . 89 89 89 89 2 ● Có C9 cách chọn hai chữ số hàng chục (chọn từ các chữ số Câu 19: Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán 1;2;3; ;9 ). giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và 2 3 quyển Sinh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp thành một dãy Suy ra số phần tử của biến cố X là n( X ) 10. C9 360 . sao cho 3 quyển sách thuộc cùng môn không được xếp liền n() X 360 8 1 Vậy xác suất cần tính PX() . nhau? n( ) 4005 89 A. 16800. B. 1680. C. 140. D. 4200. Câu 19: Trong thư viện có 12 quyển sách gồm 3 quyển Toán Câu 20: Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một giống nhau, 3 quyển Lý giống nhau, 3 quyển Hóa giống nhau và khác nhau được lập thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu 3 quyển Sinh giống nhau. Có bao nhiêu cách xếp thành một dãy nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3. sao cho 3 quyển sách thuộc cùng 1 môn không được xếp liền 1 3 2 1 nhau? A. . B. . C. . D. . 10 5 5 15 A. 16800. B. 1680. C. 140. D. 4200. BẢNG ĐÁP ÁN Lời giải 1C 2C 3B 4B 5D 6C 7B 8C 9C 10C Chọn A Xếp 3 cuốn sách Toán kề nhau. Xem 3 cuốn sách Toán là 3 vách 11C 12D 13D 14B 15D 16D 17D 18A 19A 20C ngăn, giữa 3 cuốn sách Toán có 2 vị trí trống và thêm hai vị trí hai đầu, tổng cộng có 4 vị trí trống. Hướng dẫn giải chi tiết câu 17,18,19,20 3 Bước 1. Chọn 3 vị trí trống trong 4 vị trí để xếp 3 cuốn Lý, có C Lời giải chi tiết câu hỏi vận dụng thấp 4 Câu 17: Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó cách. có 5 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu Bước 2. Giữa 6 cuốn Lý và Toán có 5 vị trí trống và thêm 2 vị trí đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3 viên bi màu vàng được đánh số hai đầu, tổng cộng có 7 vị trí trống. Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí 3 từ 1 đến 3. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên trống để xếp 3 cuốn Hóa, có C7 cách. bi được lấy vừa khác màu vừa khác số Bước 3. Giữa 9 cuốn sách Toán, Lý và Hóa đã xếp có 8 vị trí trống 8 14 29 37 và thêm 2 vị trí hai đầu, tổng cộng có 10 vị trí trống. Chọn 3 vị trí A. B. C. D. 3 33 33 66 66 trong 10 vị trí trống để xếp 3 cuốn Sinh, có C10 cách. Vậy theo Lời giải 3 3 3 quy tắc nhân có CCC4. 7 . 10 16800 cách. Chọn D Câu 20: Gọi là tập hợp các số tự nhiên có chữ số đôi một Không gian mẫu là số sách lấy tùy ý 2 viên từ hộp chứa 12 viên S 3 bi. khác nhau được lập thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 6 . Chọn ngẫu 2 nhiên một số từ S , tính xác xuất để số được chọn chia hết cho 3. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n( ) C12 66 . Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 144
14. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 1 3 2 1 x A. . B. . C. . D. . khix 2 10 5 5 15 Ví dụ 1: Cho hàm số y f x x 2 . Lời giải 1 khix 2 Chọn C Mệnh đề nào dưới đây sai? A3 60. Số phần tử của S là 5 A. Hàm số liên tục tại x0 0 . Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên số từ tập . 1 S B. Hàm số liên tục tại x0 1. n( ) C1 60 Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 60 . C. Hàm số liên tục tại x0 2 . Gọi là biến cố Số được chọn chia hết cho . Từ chữ số A '' 3 '' 5 D. Hàm số liên tục tại x0 3 . đã cho ta có 4 bộ gồm ba chữ số có tổng chia hết cho 3 là 1;2;3 Lời giải Chọn C. , 1;2;6 , 2;3;4 , 2;4;6 . Mỗi bộ ba chữ số này ta lập được Hàm số liên tục tại các điểm x 0; x 1; x 3 3! 6 số thuộc tập hợp S . 0 0 o x x Suy ra số phần tử của biến cố A là n( A ) 6.4 24 Với x 2 ta có lim ; lim . o n() A 24 2 x 2x 2 x 2 x 2 Vậy xác suất cần tính PA() Không tồn tại giới hạn của hàm số khi x 2 . n( ) 60 5 Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x 2 . o CHUYÊN ĐỀ 42: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ĐƯỢC Ví dụ 2: Hàm số nào dưới đây liên tục trên ? CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC x 1 2 khi x 2 x 2 x khi x 0 Giáo viên soạn: Đinh Hà Phương A. y x 2 . B. y . x2 1 khi x 0 Đơn vị công tác: THPT Marie Curie - Hà Nội 1 khix 2 Địa chỉ mail: phuongdinhha3590@gmail.com Giáo viên phản biện: Đỗ Trung Hiếu 1 3 2 khi x 4 thức Trong chuyên đề này, ta xét đến tính liên tục của những hàm số được cho bởi hai hay nhiều công thức. Tính liên tục của hàm số Định nghĩa 1: Cho hàm số y f() x xác định trên khoảng K và x K . Hàm số o Hàm số đã cho không liên tục tại những điểm nào? y f() x được gọi là liên tục tại xo nếu limf ( x ) f ( xo ) . x xo A. xo 1và x o 2 . B. xo 0 và x o 1. Hàm số y f() x không liên tục tại xo được gọi là gián đoạn tại C. xo 0 và x o 2 . D. xo 0; x o 1và x o 2 . điểm đó. Lời giải Định nghĩa 2: Chọn B Hàm số y f() x được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó Quan sát đồ thị ta thấy hàm số đã cho không liên tục tại điểm liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. xo 0 và x o 1. Hàm số y f() x được gọi là liên tục trên đoạn a; b nếu nó Ví dụ 4: 2 liên tục trên khoảng a; b và limf ( x ) f ( a ), lim f ( x ) f ( b ). x x 1, x 0 x a x b x II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Cho hàm số f x 0 x 0 . Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng/ đoạn Dạng 3: Dựa vào đồ thị của hàm số chỉ ra điểm gián đoạn x x 1 Dạng 4: Tìm m/a để hàm số liên tục tại một điểm Dạng 5: Tìm m/a để hàm số liên tục trên một khoảng/ đoạn Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn 0;1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc . Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 145
15. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 C. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 0 . x 1 khix 1 D. Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x 1. Câu 5. Cho hàm số y 2 x 1 . Tìm giá trị của mkhi x 1 Lời giải Chọn B m để hàm số đã cho liên tục trên . Ta có A. m 1 B. m 2 f 0 0 lim f ( x ) C. m 1 D. m 2 x 0 3 x 7 f(1) 1 lim f ( x ) lim f ( x ) khi x 2 x 1 x 1 2 x 4 Nên hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm thuộc . 1 3x 1khi x 1 Câu 6. Cho hàm số y khi x 2 . Hàm số đã cho Ví dụ 5: Cho hàm số y . Tìm a để hàm số đã 24 x akhi x 1 1 khix 2 cho liên tục trên . 24 A. a 1 B. a 2 C. a 1 D. a 2 có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng 7; ? Lời giải A. 0 B. 1 Chọn C C. 2 D. Vô số Ta có x 3 2 limf ( x ) 3.( 1) 1 2 khix 1 x 8 3 x 1 Câu 7. Cho hàm số y . Mệnh đề nào dưới limf ( x ) 1 a 4 x 1 khi x=1 Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại x 1 9 đây đúng? f( 1) lim f ( x ) 1 a 2 a 1. x 1 A. Hàm số liên tục trên khoảng 1; Vậy hàm số liên tục trên khi và chỉ khi a 1 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN B. Hàm số liên tục trên khoảng 3;3 x2 3 x 2 C. Hàm số liên tục trên nửa khoảng 1; khi x 1 Câu 1. Cho hàm số y x 1 . D. Hàm số liên tục trên đoạn  1;1 . 1 khix 1 Câu 8. Cho hàm số y f() x có đồ thị là đường cong trong Khẳng định nào sau đây là đúng? hình bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. f() x liên tục trên B. f() x liên tục trên ;1 C. không liên tục trên 1; f() x D. f() x không liên tục trên  1;1 | 2x 6 | Câu 2. Cho hàm số y . Mệnh đề nào đúng? x 3 0;6 A. Hàm số liên tục trên khoảng B. Hàm số liên tục trên khoảng 2; A. Hàm số liên tục trên khoảng ( ;2) . B. Hàm số liên tục trên khoảng (0;2) . C. Hàm số liên tục trên khoảng 0;2 C. Hàm số liên tục trên khoảng ( 2;2) . D. Hàm số liên tục trên khoảng ;6 D. Hàm số không liên tục trên . 2x 5 Câu 3. Cho hàm số y . Mệnh đề nào đúng? Câu 9. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã |x 3| cho liên tục trên khoảng nào? A. Hàm số liên tục trên khoảng ( ;0) và khoảng (0; ) . B. Hàm số liên tục trên khoảng (;) . 5 C. Hàm số liên tục trên khoảng ; . 2 D. Hàm số liên tục trên khoảng ( ; 3) và khoảng ( 3; ) . x 3 khi x 0 Câu 4. Hàm số y 1 gián đoạn tại điểm nào ? 2 khix 0 100x A. 1;1 . B. ;0 . A. x 3 B. x 100 x 0 C. 1; . D. ;1 . C. D. Không tồn tại giá trị nào. Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 146
16. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 2 x 3 2 x khi x 0 khix 1 Câu 16. Cho hàm số y . Để hàm số 3 x 1 -x ax b khi x 0 Câu 10. Cho hàm số y akhi x 1 . liên tục tại x 0 thì điều kiện nào của hệ số a, b là đúng? 2 A. a , b 0;1 . B. a , b 1. x 1 khix 1 2 C. a , b 0 . D. a 0,  b . x 6 x 7 1 3 Để hàm số liên tục tại điểm x 1 thì giá trị của a là: khix 1 3 1 1 Câu 17. Cho hàm số y x 1 x 1 A. . B. . 4 4 m2 x 2 3 mx 3 khi x 1 C. 0 . D. 1. Tìm m để hàm số đã cho liên tục trên sin x khi | x | 1 A. m 2; 1 B. m 2; 1 Câu 11. Cho hàm số f() x . x 1 khi | x | 1 C. m 1;2 D. m 1;2 Mệnh đề nào sau đây sai? 4x 3 1 khix 1 A. Hàm số liên tục tại điểm x 1. x 7 2 x 1 B. Hàm số liên tục tại điểm x 1. Câu 18. Cho hàm số y . 8a 2 2 C. Hàm số liên tục trên khoảng 1;1 . x 2 x 2 khi x 1 D. Hàm số liên tục trên khoảng 0;1 . 3 Tìm a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x 1 x 4 A. a 0 . B. a 1 . khix 4 Câu 12. Cho hàm số y 3 x 2 C. a 1. D. a 0;1 1 cos x mxkhi x 4 ;x 0 Hàm số đã cho liên tục tại điểm x 4 khi mthuộc khoảng nào Câu 19. Cho hàm số y x trong các khoảng dưới đây? a; x 0 A. 3;0 . B. 3; . C. 0;3 . D. ; 3 Mệnh đề nào dưới đây sai? x 2 8 2 x khix 2 A. Với a 4 hàm số liên tục trên khoảng 2;0 . Câu 13. Cho hàm số y x2 x 6 liên B. Với a 2 hàm số liên tục trên khoảng ;0 . ax bkhi x 2 C. Với a 0 hàm số liên tục trên khoảng 2;2 . tục trên  2;4 . Khi đó tổng S 2 a b nhận giá trị bằng? D. Với a 2 hàm số liên tục trên khoảng ;2 . 1 3 A. . B. . 6 10 x| x 2 | khix 2 3 3 2 C. . D. . x 3 x 15 20 16 Câu 20. Cho hàm số y ax 1 khi x 2 3 x 1 khix 1 b x 7 3 Câu 14. Cho hàm số y x 1 . Khẳng định nào sau khix 2 2 2x 3 1 m 1 khi x 1 Để hàm số liên tục tại x 2 thì tích ab bằng đây là đúng? A. 0 . B. 2 . A. Khi m 1thì hàm số liên tục trên khoảng 0; . 10 9 C. . D. . 4 B. Khi m thì hàm số liên tục trên khoảng 0; . 9 10 9 BẢNG ĐÁP ÁN 5 1A 2C 3D 4C 5D 6B 7A 8D 9B 10A C. Khi m thì hàm số liên tục trên nửa khoảng 1; . 3 11B 12C 13D 14D 15A 16C 17D 18B 19D 20D 15 Hướng dẫn giải chi tiết câu 17,18,19,20 D. Khi m thì hàm số liên tục trên nửa khoảng 1; .  1 3 3 khix 1 3 ax2 khi x 1 Câu 17. Cho hàm số y x 1 x 1 Câu 15. Cho hàm số y và a b c 2 . 2 2 m x 3 mx 3 khi x 1 bx ckhi x 1 Tìm để hàm số đã cho liên tục trên Khẳng định nào sau đây là đúng? m A. a 1; b c 1. B. a 1; b c 3 . A. m 2; 1 B. m 2; 1 C. a 2; b c 0 . D. a 1; b c 1 . C. m 1;2 D. m 1;2 Lời giải Chọn D. Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 147
17. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Xét tại điểm x 1 ta có: x| x 2 | 1 3x2 x 1 3 khix 2 2 limf ( x ) lim lim x 3 x 15 3 2 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 Câu 20. Cho hàm số y ax 1 khi x 2 x2 x 2 x 2 lim lim 1 b x 7 3 2 2 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 khix 2 2x 3 1 limf x m2 3 m 3; f 1 m 2 3 m 3. Để hàm số liên tục tại x 2 thì tích ab bằng x 1 Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại A. 0 . B. 2 . 10 10 x 1 m2 3m 3 1 m 1  m 2 C. . D. . 9 3 4x 3 1 Lời giải khix 1 x 7 2 x 1 Chọn D. Câu 18. Cho hàm số y . x( x 2) x 2 8a 2 2 limf ( x ) lim lim x 2 x 2 khi x 1 x 2 x 2 (x 2)( x 5) x 2 x 5 3 3 Tìm a để hàm số đã cho liên tục tại điểm x 1 2x 3 1 x 7 9 b limf ( x ) lim b . . A. a 0 . B. a 1 . x 2 x 2 x 7 3 2x 3 1 6 C. a 1. D. a 0;1 Để hàm số liên tục tại x 2 thì Lời giải 2b 5 Chọn B. 2a 1 a  b 4 Ta có : 3 6 6 (4x 3 1) x 7 2 x 1 limf x lim CHUYÊN ĐÈ 43: x 1 x 1 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 4x 3 1 x 7 2 x 1 Giáo viên soạn: Phạm Thị Thanh Hoa Đơn vị công tác: Trung học Vinschool The Harmony – Long Biên 4 x 1 x 7 2 x 1 8 2 lim – Hà Nội x 1 3 1 x x 7 2 x 1 3 Địa chỉ mail: thanhhoaphamtb@gmail.com Giáo viên phản biện: Tâm Vì vậy suy ra để hàm số liên tục tại x 1 thì a=1. I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN 1 cos x  Cho đường thẳng d và mặt phẳng . ;x 0 Câu 19. Cho hàm số y x a; x 0 + Nếu đường thẳng d vuông góc với thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng bằng 90 . Mệnh đề nào dưới đây sai? + Nếu đường thẳng d không vuông góc với thì góc giữa A. Với a 4 hàm số liên tục trên khoảng 2;0 . đường thẳng d và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng d B. Với a 2 hàm số liên tục trên khoảng ;0 . và hình chiếu d của nó trên . C. Với a 0 hàm số liên tục trên khoảng 2;2 . Chú ý: 0 90  . D. Với a 2 hàm số liên tục trên khoảng ;2 .  Xác định hình chiếu của đường thẳng d trên . Lời giải Chọn D + Tìm giao điểm O của đường thẳng d và . x x 2sin2 sin 2 1 cos x + Chọn điểm A thuộc d và tìm hình chiếu A của A trên d . lim lim2 lim 2 x 0x x 0 x x 0 x Đường thẳng đi qua O và A là hình chiếu của đường thẳng d 2 trên . x 2 sin 2 x lim . 0 x 0 x 2 2 Từ đó suy ra với a 0 thì hàm số liên tục tại x 0 Đáp án A, B, C đúng. Đáp án D sai. Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 148
18. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 3 5 Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A. . B. . 5 3 A , BC a 2 . SA a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc 2 5 giữa SB và mặt phẳng ABC bằng C. . D. . 5 2 A. 45 . B. 30 . Lời giải C. 60 . D. 90 . Chọn A Lời giải Chọn A S A C B SB ABC B 2 2 2 2 Ta có SB BC SC 2 a suy ra SBC vuông tại B . Ta có nên hình chiếu của SB trên ABC là SA ABC BC  SB mà BC AB AB . BC  SAB BC  SH mà Suy ra SB,, ABC SB AB SBA . SH AB SH  ABCD Kẻ CE HD mà CE SH CE  SHD Tam giác ABC vuông cân tại A , BC a 2 AB a . Tam giác SAB vuông cân tại A nên S BA 45  . SC,, SHD SC SE CSE Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với đáy. 1 1 1 ABC là tam giác vuông cân tại B . Cho độ dài các cạnh Ta có S CDH S ABCD CE. HD S ABCD 2 2 2 SA a2; AB a . Góc giữa SC và SAB bằng a2 CE. HD a2 CE A. 45 . B. 30 . HD C. 60 . D. 90 . a 5 2 5a Lời giải Mà HD AD2 AH 2 CE Chọn B 2 5 a30 SE 3 S SE SC2 CE 2 cos CSE . 5SC 5 Ví dụ 4: Cho hình chóp đều S. ABCD có tất cả các cạnh bằng 2a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của hình chóp bằng A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn A A C S B Ta có BC AB ; BC SA (do SA ABC ). BC  SAB . A B B là hình chiếu vuông góc của C lên SBA . O là hình chiếu vuông góc của lên . D SB SC SBA C SC ,, SBA SC SB CSB . Trong mặt phẳng ABCD gọi O AC  BD SO  ABCD OB là hình chiếu của SB trên ABCD Tam giác SAB vuông tại A nên SB SA2 AB 2 a 3 . Tam giác SBC vuông tại B : SB,, ABCD SB BO SBO . BC 1 tanCBCB S S 30  . ABCD là hình vuông cạnh 2a OB 2 a . SB 3 OB 2 Tam giác SBO vuông tại O : cos SBO SC, SBA SC , SB CSB 30  . SB 2 Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình SB, ABCD SB , BO SBO 45  . vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D cạnh a . SC a 2 . Gọi H là trung điểm của các cạnh AB Gọi M là trung điểm AB . Tính cosin của góc tạo bởi .Tính Côsin của góc giữa SC và mặt phẳng SHD là. đường thẳng DM' và mặt phẳng ACC'' A . Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 149
19. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 6 6 D. Góc giữa AC và ABD là CBA A. . B. . . 4 3 Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a. 7 7 C. . D. . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Góc giữa đường thẳng SA 4 3 với mặt phẳng ABC là Lời giải Chọn B A. SAG . B. SAB . C. SAC . D. SGA . Câu 4. Cho hình chóp S. ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a 6 bằng a và SA ABCD . Biết SA . Tính góc giữa SC 3 và ABCD . A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 75 . Gọi O AC  BD , OACBD  và I là hình chiếu Câu 5. Cho hình hộp ABCD. A B C D . Hình chiếu của điểm A vuông góc của M trên đường thẳng AC , N là trung trên mặt phẳng ABCD là giao điểm O của AC và BD . Góc điểm OB . giữa cạnh bên và mặt đáy của hình hộp là Do DO , MI cùng vuông góc với ACC'' A nên OI là A. A AD . B. A AO . hình chiếu của DM trên ACC A . C. D DO . D. A OA . Ta có D M,, ACC A D M O I . Câu 6. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC a . Trên Mặt khác, IM// O N // BO // B O và đường thẳng qua A vuông góc với ABC lấy điểm S sao cho 1 1 IM O N BO B O nên IMNO ' là hình bình a 6 2 2 SA . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và ABC . hành, suy ra O I// MN . Do đó, 2 A. 75 . B. 30 . D M,, ACC A D M O I D MN . C. 45 . D. 60 . 2 2 2 a 3 a Câu 7. Cho hình lập phương ABCD. A1 B 1 C 1 D 1 . Gọi là góc giữa D M a a ; 2 2 AC1 và mp ABCD . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định 2 sau? a2 a 6 MN O I a2 . 1 2 2 A. 45 . B. tan . 2 MN 6 2 cos D MN . C. tan . D. 30 . DM 3 3 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN Câu 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Câu 1. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Góc A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB là , khi đó tan thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho. nhận giá trị nào trong các giá trị sau? B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa A. tan 2 . B. tan 3 . đường thẳng b và mặt phẳng P khi a và b song song (hoặc 1 a trùng với ). C. tan . D. tan 1. b 2 C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vuông tại đường thẳng a và mặt phẳng Q thì mặt phẳng P song song A và . Biết AB 2 AD 2 CD 2 a , SA a 3 và vuông góc với với mặt phẳng Q . mặt phẳng đáy. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Góc giữa D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng P bằng góc giữa SD và SAC là góc đường thẳng b và mặt phẳng P thì a song song với b . A. DSO . B. SDA . Câu 2. Cho tứ diện ABCD , có AB vuông góc với mặt phẳng C. DSO . D. SDB . BCD , tam giác BCD vuông tại B . Khẳng định nào đúng? Câu 10. Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a . A. Góc giữa CD và ABD là CBD . Trên đường thẳng qua O vuông góc với ABCD lấy điểm S . B. Góc giữa AC và BCD là ACB . Biết góc giữa SA và ABCD có số đo bằng 45 . Tính độ dài C. Góc giữa AD và ABC là ADB . SO . Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 150
20. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 A. SO a 3 . B. SO a 2 . 3 3 A. . B. . a 3 a 2 2 2 C. SO . D. SO . 2 2 6 C. . D. 2 . Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC. A B C có mặt đáy là tam giác 6 đều cạnh AB 2 a . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . Gọi là góc ABC trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa cạnh giữa AC ' và mp A''. BCD Chọn khẳng định đúng trong các bên và mặt đáy bằng 60 . Góc giữa đường thẳng AC và ABC khẳng định sau? là 2 A. 75 . B. 30 A. 30  . B. tan . . 3 C. 45 . D. 60 . Câu 12. Cho hình lăng trụ đứng ABC.''' A B C có đáy là tam giác C. 45  . D. tan 2 . vuông tại B có AB a3, BC a . Biết A' C 3 a . Cosin góc tạo Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB a , bởi đường thẳng AB' và mặt đáy ABC là: SA a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường 10 10 thẳng BG với mặt phẳng ABCD bằng A. . B. . 4 6 85 10 A. arctan . B. arctan . 6 15 17 17 C. D. . 4 5 85 85 C. arcsin . D. arccos . Câu 13. Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A B C D . ABCD là hình 17 17 BẢNG ĐÁP ÁN thoi cạnh a và ABC 60  . Biết góc giữa và mặt phẳng đáy AD 1B 2B 3A 4A 5B 6D 7B 8C 9C 10B bằng 60 . Góc giữa AC và mặt phẳng ABC bằng 11C 12C 13C 14C 15A 16A 17C 18D 19D 20A A. 30 . B. 45 . C. 60 . D. 75 . Hướng dẫn giải chi tiết câu 17,18,19,20 Câu 14. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông Câu 17. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh cạnh huyền BC a . Tam giác SBC đều và nằm trong mặt phẳng a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm vuông góc với đáy. Góc giữa SA và mặt phẳng đáy bằng A. 30 . B. 45 . H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo C. 60 . D. 75 . của góc giữa SA và ABC . Câu 15. Cho hình lăng trụ ABCD. A B C D . Biết ABCD là hình A. 60 . B. 75 . chữ nhật với AB a; AD 2 a ; A A A B A C 3 a . Gọi C. 45 . D. 30 . góc giữa AA và mặt phẳng ABCD . Khi đó Lời giải Chọn C 5 1 S A. cos . B. cos . 6 6 1 C. cos 1 . D. cos . 3 Câu 16. Cho hình hộp có đáy là hình ABCD.'''' A B C D ABCD H C thoi cạnh a , BAD 60  . Chân đường vuông góc hạ từ B ' xuống B mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của hai đường chéo của đáy ABCD . Cho BB' a . Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. A A. 60 B. 75 . . Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC nên C. 45 . D. 30 . SH ABC Câu 17. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp ABC a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm SA;; ABC SA AH SAH H của cạnh BC . Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và ABC . Ta có: SH ABC SH  AH A. 60 . B. 75 . Mà: ABC SBC SH AH . Vậy tam giác SAH vuông C. 45 . D. 30 . cân tại H SAH 45  Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O . M là trung điểm CD . Biết SA SC SB SD a 2 , tâm O . M là trung điểm CD . Biết SA SC SB SD a 2 , đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a . Gọi là đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a . Gọi là góc giữa SM và mặt đáy. Khi đó tan bằng góc giữa SM và mặt đáy. Khi đó tan bằng Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 151
21. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 3 3 85 10 A. . B. . A. arctan . B. arctan . 2 2 17 17 6 85 85 C. . D. 2 . C. arcsin . D. arccos . 6 17 17 Lời giải Lời giải Chọn D S S G A D A D O O M K M B B C C Vì các tam giác SAC cân tại S nên SO AC . Tương tự Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và SO BD cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD), SO  ABCD OM là hình chiếu của SM lên ABCD suy ra BG ,() ABCD GBK . SM;; ABCD SM OM SMO a 2 a 10 1a 10 Ta có: AO , SO , GK SO , a 2 2 2 3 6 Xét tam giác SMO vuông tại O ,có OM ; SO a 2 2 a a 34 SO a vì OK OM nên OK , suy ra BK . tan 2 . 3 3 6 OM a 2 GK 85 2 tan GBK . BK 17 Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D . Gọi là góc giữa AC ' và mp A''. BCD Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 2 CHUYÊN ĐỀ 44: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG A. 30  . B. tan . THẲNG CHÉO NHAU 3 Giáo viên soạn: Lý Văn Tuấn C. 45  . D. tan 2 . Đơn vị công tác: Trung tâm GDNN-GDTX Lộc Ninh Địa chỉ mail: lyvantuanlocninh@gmail.com Lời giải Giáo viên phản biện:Thái Thị Kim Liên Chọn D I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN A' D' 1.Phương pháp 1: Tính độ dài đoạn vuông góc chung B' Định nghĩa đường vuông góc chung C' Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại AB, và I H cùng vuông góc với mỗi đường ấy gọi là “đường vuông góc chung” của a và b. Đoạn thẳng AB gọi là đoạn vuông góc chung A D của a và b. Khi đó, độ dài đoạn vuông góc chung AB là khoảng cách của hai B C đường thẳng chéo nhau a,. b Kí hiệu: d a, b AB A'' C AC I Gọi C'' D CD H c a A C'' D CD mà C''' D  A BCD IH là hình chiếu CDAD''' vuông góc của AC ' lên A''' BCD C IH là góc giữa AC ' và b CH' 1 B A''. BCD Mà tanC ' IH .2 2. IH 2 Các cách xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b : Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB a ,  *Trường hợp a b : SA a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường - Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B . thẳng BG với mặt phẳng ABCD bằng - Trong dựng BA a tại A . Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 152
22. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 AB là đoạn vuông góc chung của a và b . a 2 a C. h . D. h . 3 2  *Trường hợp a b Lời giải và b không vuông góc Chọn D với nhau: B a - Dựng mp chứa a và α A song song với b . - Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM  tại M - Từ M dựng b // b cắt a tại A. - Từ A dựng AB// MM cắt b tại B. AB là đoạn vuông góc chung của a và b . b B M Do S. ABCD là hình chóp đều có H là giao điểm của AC và BD nên SH ABCD . Do SH CD nên kẻ HM CD() M CD , khi đó a b' HM SH AD a A M' d SH,. CD HM α HM CD 2 2 2.Phương pháp 2: Tính khoảng cách bằng cách quy về tìm Ví dụ 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật với khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng AD 2 AB 2 a , SA vuông góc với mặt đáy ABCD và SB tạo Các cách xác định khoảng cách của hai đường thẳng chéo 0 với mặt đáy ABCD một góc 60 . Khoảng cách h giữa hai nhau a, b : đường thẳng AB và SC bằng: Cách làm: a 21 a 21 +) Dựng (tìm) mặt phẳng chứa b và song song với a. A. h . B. h . 7 14 2a 21 3a 21 +) Khi đó: d a,,, b d a d A AH với A a, H C. h . D. h . 7 14 là hình chiếu của A lên mặt phẳng . Lời giải Chọn C A a H b α a 3.Phương pháp 3: Tính khoảng cách bằng cách quy về tìm M khoảng cách 2 mặt phẳng song song α Ta có: Các cách xác định khoảng S cách của hai đường thẳng chéo b H β H nhau a, b : SB, ABCD SB , AB SBA 600 . Cách làm: +) Dựng hai mặt phẳng ,  A D Do AB//// CD AB SCD sao cho a //   b . d AB,,, SC d AB SCD d A SCD 1 B C +) Khi đó: CD SA  Ta có:  CD  SAD d a,,, b d  d M  MH với MH , là CD AD hình chiếu của M lên mặt phẳng . Trong SAD dựng AH SD H SD a AH SAD AH  CD b II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Từ a, b AH  SCD d A, SCD AH 2 Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a . Gọi H là giao điểm của AC và BD . Tính theo a khoảng Xét SAB vuông tại A có cách h giữa hai đường thẳng SH và CD. SA AB. tan SBA a .tan 600 a 3 . a 3 Xét SAD vuông tại A có AH là đường cao nên ta có: A. h a . B. h . 3 Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 153
23. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Ví dụ 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ACBD là hình vuông S a 17 cạnh a, SD , hình chiếu vuông góc H của S trên mặt 2 phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung H điểm của đoạn AD . Tính theo a khoảng cách h giữa hai đường thẳng HK và SD . E D a 3 2a 3 A A. h . B. h . 5 5 45° I a 3 a 3 C. . D. h . a h B C 4 3 1 1 1 1 1 7 2a 21 Lời giải AH 3 Chọn A S AH2 SA 2 AD 23 a 2 4 a 2 12 a 2 7 2a 21 Từ 1 , 2 , 3 suy ra: h d AB, SC . 7 F Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC. A B C có các mặt bên đều là B C E hình vuông cạnh a. Gọi D lần lượt là trung điểm của BC . Tính H khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB'. A K D 2a 21 a 21 A. . B. . 7 7 Ta có SH ABCD SH  HD. a 21 a 21 C. . D. . SH SD2 HD 2 SD 2 HA 2 DA 2 14 21 Lời giải 2 2 17a a 2 Chọn B a a 3. 4 4 Do HK//// BD HK SBD d HK, SD d HK , SBD d H , SBD 1 Kẻ HE BD E BD , suy ra: SHE  SBD và SHE  SBD SE Kẻ HF SE F SE , khi đó: HF SBD Suy ra: d H, SBD HF 2 Xét tam giác HEB, ta có: a a HE HBsin HBE .sin 450 . 2 2 2 Do lăng trụ ABC. A B C có các mặt bên đều là hình vuông cạnh Xét tam giác SHE, ta có : a nên ABC. A B C là lăng trụ đứng với hai đáy là tam giác đều 1 1 1 1 8 25a 3 cạnh a. HF 3 HF2 SH 2 HE 23 a 2 a 2 3 a 2 5 Ta có B C //// BC B C A BC a 3 Từ 1 , 2 , 3 suy ra: d HK,. SD dBCAB ,,, dBC ABC dB ABC 1 5 Gọi A B AB I Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông BI' dB,,, ABC dAABC dAABC 2 cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường AI thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45o . Tính theo a khoảng Do ABC là tam giác đều cạnh a có AD là đường trung tuyến cách h giữa hai đường thẳng SB, AC . a 3 AD . 2a 10 a 10 2 A. h . B. h . Kẻ AH A D .Dễ dàng chứng minh được AH A BC 5 10 a 5 a 10 d A, A BC AH 3 C. h . D. h . 2 5 Xét tam giác A AD ta có: Lời giải 1 1 1 1 4 7a 21 Chọn D 2 2 2 2 2 AH . AHAA 2 AD a3 a 3 a 7  o a 21 Ta có: SA ABCD SC, ABCD SC , AC SCA 45 . Từ 1 , 2 , 3 suy ra d B' C ', A ' B AH . 7 Suy ra SAC vuông cân tại A SA AC a 2. Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 154
24. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Dựng điểm E sao cho ACBE là hình bình hành. Câu 6. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A B C có tất các cạnh Khi đó: AC//// EB AC SBE . bằng a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC . d AC,,, SB d AC SBE d A SBE 1 a 15 Kẻ AI EB I EB , kẻ AH SI H SI A. . B. a 2 . 2 Dễ dàng chứng minh được: AH SEB a 3 C. . D. a . d A, SEB AH 2 2 Câu 7. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông *Tính AI : a 2 Cách 1: Tam giác ABE vuông cân tại A với AC . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với 1 1 a 2 AI EB AC . 0 2 2 2 đáy góc 60 . Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng 2 AD và SC . 2S AEB SABCD a a Cách 2: Tacó AI . a 3 a 2 EB AC a 2 2 A. d . B. d . Xét SAI , ta có: 4 2 a a 3 1 1 1 1 2 5a 10 C. d . D. d . AH 3 2 2 AH2 SA 2 AI 22 a 2 a 2 2 a 2 5 Câu 8. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông a 10 tâm O , cạnh bằng 2 . Đường thẳng SO vuông góc với mặt Từ 1 , 2 , 3 suy ra h d AC,. SB 5 phẳng đáy ABCD và SO 3 . Tính khoảng cách d giữa hai III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN đường thẳng SA và BD . Câu 1. Cho hình lập phương ABCD.'''' A B C D có cạnh . Tính a 30 theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD'' và AC . A. d 2 . B. d . 5 a 2 A. a . B. . C. d 2 2 . D. d 2 . 2 Câu 9. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D có a 3 a C. . D. . AB a, AD 2 a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường 2 2 thẳng BB ' và AC . Câu 2. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông a 5 tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính theo a A. a 5 . B. . khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC . 2 a a 5 2a 5 A. d . B. d a . C. . D. . 2 5 5 a 2 Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng C. d . D. d a 2 . 2 a và cạnh bên bằng a 2 . Tính theo a khoảng cách giữa hai Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có SA ABC và SA a 5 , đường thẳng BD và SC . a 6 2a 6 đáy là tam giác đều cạnh 2a . Tính khoảng cách giữa hai đường A. . B. . thẳng SA và BC ? 2 3 a 6 a 3 a 10 a 10 C. . D. . A. . B. . 4 2 4 2 Câu 11. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông a 3 C. a 3 . D. . tâm O , cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc 2 0 Câu 4. Cho hình chóp S. ABC có SA ABC , SBD 60 . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SO . SA a, SC a 5 , ABC vuông tại A , AB a . Tính khoảng 2a 5 a 6 cách giữa hai đường thẳng SA và BC ? A. d . B. d . 5 4 a 10 a 5 A. . B. . a 2 a 5 3 5 C. d . D. d . 2 5 2a 5 2a 5 C. . D. . Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD cạnh đáy bằng a , 29 5 mặt bên tạo với mặt đáy góc 45 . Tính theo a khoảng cách giữa Câu 5. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh hai đường thẳng AB và SC .  0 4a và ADC 60 .Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính theo a 2 a 2 A. . B. . a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DC . 4 2 a a A. a . B. a 3 . C. . D. . a 3 2 4 C. . D. 2a 3 . 2 Câu 13. Cho hình chóp S. ABCD có SA ABCD , SA 3 a , ABCD là hình vuông cạnh 4a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD ? Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 155
25. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 a 6 6a A. a 6 . B. . A. . B. 5a . 3 5 a 6 a 6 12a C. . D. . C. . D. 4a . 6 2 5 BẢNG ĐÁP ÁN Câu 14. Cho hình chóp S. ABCD có SA ABCD , 1A 2B 3C 4D 5D 6C 7A 8B 9D 10C 10D 10B SA AB a3, AD a , ABCD là hình chữ nhật. Tính khoảng 11D 12B 13C 14D 15A 16A 17C 18B 19D 20B 19 20 cách giữa SB và AC ? a 3 a 6 Hướng dẫn giải chi tiết câu 17,18,19,20: A. . B. . 2 2 Câu 17.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D có đáy a 15 a 15 ABCD là hình vuông cạnh a 2 , AA' 2 a . Tính khoảng cách C. . D. . 3 5 d giữa hai đường thẳng BD và CD'. Câu 15. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông A. d a 2 . B. d 2 a . cạnh a . Mặt bên SAB tam giác đều và nằm trong mặt phẳng 2a 5 a 5 vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB C. d . D. d . 5 5 và SD . Lời giải a 21 a 3 A. . B. . Chọn C 7 7 D' a 21 a 7 A' C. . D. . 3 3 B' C' Câu 16. Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . Tính khoảng cách giữa hai đường K D thẳng AB và SC . A I 2a 3 a 3 E A. . B. . B C 14 14 Gọi I là điểm đối xứng của A qua D , suy ra BCID là hình bình a 14 2a 14 C. . D. . hành nên BD CI. 7 7 Do đó d BD,',','. CD d BD CD I d D CD I Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.'''' A B C D có đáy ABCD Kẻ DE CI tại E , kẻ DK D' E . Khi đó là hình vuông cạnh a 2 , AA' 2 a . Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng BD và CD'. d D,'. CD I DK Xét tam giác IAC , ta có DE AC (do cùng vuông góc với CI ) A. d a 2 . B. d 2 a . và có D là trung điểm của AI nên suy ra DE là đường trung 2a 5 a 5 C. d . D. d . 1 5 5 bình của tam giác. Suy ra DE AC a. 2 Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông D' D . DE 2 a 5 cạnh bằng 10 . Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng Tam giác vuông D' DE , có DK . 2 2 ABCD và SC 10 5 . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của D' D DE 5 Câu 18. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA và CD . Tính khoảng cách d giữa BD và MN . cạnh bằng 10 . Cạnh bện SA vuông góc với mặt phẳng A. d 3 5 . B. d 5 . ABCD và SC 10 5 . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của C. d 5 . D. d 10 . Câu 19. Cho hình hộp đứng ABCD. A B C D có đáy là hình SA và CD . Tính khoảng cách d giữa BD và MN . A. d 3 5 . B. d 5 . bình hành, AB 2 a , BC a , BAD 60  , góc giữa đường C. d 5 . D. d 10 . thẳng BC và mặt phẳng ACC A bằng 30. Gọi M là trung Lời giải điểm của CC . Khoảng các giữa hai đường thẳng AM và DD Chọn B bằng S a 19 a 21 A. . B. . 7 5 M a 19 a 21 C. . D. . 5 7 K Câu 20. Cho hình hộp ABCD. A B C D có AB AD a , A D AA BD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt O N phẳng ABCD là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD sao E B P C cho BDBH 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 156
26. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Gọi P là trung điểm BC và E NP  AC , suy ra PN BD Lời giải nên BD MNP . Chọn B Do đó 1 d BD,,,, MN d BD MNP d O MNP d A MNP 3 Kẻ AK ME, K ME . Khi đó d A,. MNP AK Tính được SA SC2 AC 2 10 3 MA 5 3 ; 3 15 2 AE AC . 4 2 Ta có BC' // AD ' BC '// AA ' D ' MA. AE Tam giác vuông MAE , có AK 3 5. MA2 AE 2 d BC',' AA d BC ', AA '' D d C ', AA '' D . 1 Vậy d BD, MN AK 5 . CHBH 1 CK 3   Kẻ CHDAK   , ta có . 3 HK HD 2 HK 2 Câu 19. Cho hình hộp đứng ABCD. A B C D có đáy là hình 3 bình hành, AB 2 a , BC a , BAD 60  , góc giữa đường Suy ra d C', AA ' D ' d H , AA ' D ' . 2 thẳng BC và mặt phẳng ACC A bằng 30. Gọi M là trung điểm của CC . Khoảng các giữa hai đường thẳng AM và DD Kẻ MH A' D ' ( M A ' D ') , HN AM() N AM . Ta có bằng A D  MH A D  AHM . a 19 a 21 a 19 a 21 A D  AH A. . B. . C. . D. . 7 5 5 7 A D  HN Lời giải Suy ra HN  AA D . Suy ra Chọn D AM HN B' C' d H,'' AA D HN . A' H 2 2 2 2 2 D' BDADAB 3a a a 3 Ta có cos BDA M 2.BDAD . 2.a . a 3 2 BDA 30  . B C K 2 Suy ra HM HD .sin HD M B D .sin HD M 3 A D 2a 3 a 3.sin 30  . Kẻ BHACHAC  , B H CC B H  ACC A 3 3 Hay HC là hình chiếu vuông góc của BC trên ACC A . Do 4a2 a 2 D M HD 2 MH 2 a MA  . 3 3 đó: B' C , ACC ' A ' B ' CH 30  a2 2 a 6 Xét tam giác ABC có: Ta có AH A' A2 A ' H 2 3 a 2 . 3 3 1 1 3a2 3 SABC A B . B C .sin120  .2 a . a . 2a 6 a 3 2 2 2 2 . AH. A H3 3 2 a 6 2 2 2 2 1 Suy ra HN AC ABBC 2. ABBC . .cos120  4 aa 2.2 aa . . a 7 AA a 3 9 2 3 3 2a 6 a 6 2SABC a 21 d C', AA ' D ' HN . . BH 2 2 9 3 AC 7 a 6 DD // CM DD // ACC A Vậy d BC', AA ' . 3 a 21 d DD', AM d D ', ACC '' A d B ', ACC '' A B ' H . 7 Câu 20. Cho hình hộp ABCD. A B C D có AB AD a , HUYÊN ĐỀ 45: HÌNH TRỤ, KHỐI TRỤ AA BD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt Giáo viên soạn: Phan Minh Hậu phẳng ABCD là điểm H nằm trên đoạn thẳng BD sao Đơn vị công tác: Trường THPT Chi Lăng – Gia Lai. Địa chỉ mail: phanhau.gl08@gmail.com cho BDBH 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và Giáo viên phản biện: Nguyễn Thanh Hải BC bằng Đơn vị công tác: SV Trường ĐH Sài Gòn a 6 a 6 a 6 Địa chỉ mail: nguyenthanhhai.maths@gmail.com A. a 6 . B. . C. . D. . I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 3 6 2 Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 157
27. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 1. Mặt trụ tròn xoay A. 4a3 . B. 2a3 . C. 4 a3 . D. 2 a3 . Lời giải Chọn D 2 2 3 Thể tích khối trụ là: VT = πr h = π.a .2a = 2πa . Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz , cho hình chữ nhật ABCD có AB 1, AD 2 . Gọi MN, lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ đó là A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. . Trong mặt phẳng ()P cho hai đường thẳng và l song song Lời giải nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mặt phẳng ()P Chọn A D M quanh trục cố định thì đường thẳng l sinh ra 1 mặt tròn A xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay (gọi tắt là mặt trụ) 2. Hình trụ tròn xoay C Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa N một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo B AD thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi Ta có: r 1 ; l AB 1 . tắt là hình trụ. 2 Vậy diện tích toàn phần của hình trụ:  Đường thẳng AB được gọi là trục của hình trụ. S 2 rl 2 r 2 2 .1.1 2. .1 2 4 .  Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh của hình trụ. Ví dụ 3: Cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  Đoạn thẳng CD h được gọi là chiều cao của hình trụ. đáy, ta thu được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng 16.  Hình tròn tâm A, bán kính r AD bằng với hình tròn tâm Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy của hình trụ đến mặt phẳng B, bán kính r BC được gọi là hai đáy của hình trụ. bằng 3. Thể tích khối trụ bằng: 52 3. Khối trụ tròn xoay A. 2 3 . B. . C. 52 . D. 13 . Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ là phần không gian 3 giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ. Lời giải 4. Công thức diện tích hình trụ và thể tích của khối trụ Chọn C 2 ABCD là hình vuông SABCD AB 16 AB AD 4 . Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi Gọi H là trung điểm AB OH  AB tại H . đó: ABCD vuông góc với mặt đáy OH  AD OH  ABCD d O; ABCD OH 3  Diện tích xung quanh: Sxq 2 rh . OAH vuông tại H nên: OA AH2 OH 2 2 2 3 2 13 . 2 2 2  Diện tích toàn phần: Stp S xq 2 Sđ áy 2 rh 2 r . Thể tích của hình trụ đã cho:V R h . OA . AD .13.4 52 . Ví dụ 4: Cho hình hình trụ có hai đáy là O và O . Thiết diện 2 đi qua trục là hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 36 3a2 .  Thể tích của khối trụ: Vtru Sđ áy h r h Góc tạo bởi đường chéo AC và mặt phẳng đáy bằng 60 . Thể tích của hình trụ là: II. CÁC VÍ DỤ VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI. 3 3 3 3 Ví dụ 1: Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50π và độ A. 27 3 a . B. 18 3 a . C. 54 a . D. 54 3 a . dài đường sinh bằng đường kính của đường tròn đáy. Tính bán Lời giải kính r của đường tròn đáy. Chọn D 5 2 5 2 A. r . B. r 5 . C. r 5 2 . D. r . 2 4 Lời giải Chọn A Diện tích xung quang hình trụ: 5 2 Sxq = 2πrl 2πrl = 50π 2πr.2r = 50π r = . 2 Thiết diện đi qua trục là hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng Ví dụ 2: Thể tích khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao 36 3a2 AD . CD 36 3 a 2 1 và h = 2a bằng Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 158
28. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 AD OO AD O D là hình chiếu của A lên mặt A. 3a . B. 8a . phẳng đáy. C. 6a . D. 4a . Suy ra góc tạo bởi đường chéo AC và mặt phẳng đáy là Câu 5. Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB với AB 5 , BC 2 . ACD 60 A. 20 . B. 50 AD Ta có: tan 60 AD 3 CD 2 C. 10 D. 5 . CD Câu 6. Biết thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật Từ 1), (2 3CD2 363 a 2 CD 6 a có diện tích bằng 10 . Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng A. 5 B. 10 R 3 a AD h 6 a 3 C. 5 D. 10 2 Vậy V R2 h . 3 a .6 3 a 54 3 a 3 . Câu 7. Cho hình trụ có chiều cao bằng 4a , diện tích xung quanh Ví dụ 5: Cho một hình trụ và hình vuông ABCD cạnh a có hai bằng 2 a2 . Bán kính của hình trụ bằng đỉnh liên tiếp AB, nằm trên một đường tròn đáy của hình trụ, hai a a A. . B. . đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy còn lại của hình trụ. Mặt 4 2 phẳng ABCD tạo với đáy hình trụ một góc 45 . Tính diện tích C. a . D. 2a . xung quanh của hình trụ. Câu 8. Cắt hình trụ T bởi một mặt phẳng qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng 10. Diện tích xung quanh của 2 3 3 A. S a2 . B. S a2 . T là xq 5 xq 3 A. 100 . B. 150 . 3 3 C. S a2 . D. S a2 . C. 50 . D. 200 . xq 4 xq 2 Câu 9. Một khối trụ có đường cao bằng 2 , chu vi của thiết diện Lời giải qua trục gấp 3 lần đường kính đáy. Thể tích của khối trụ bằng Chọn D A. 2 . B. 32 . 8 C. . D. 8 . 3 Câu 10. Cắt khối trụ bởi mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có cạnh AB, CD thuộc hai đáy của hình trụ, AB 4 a ; AC 5 a . Tính thể tích khối trụ. A. V 4 a3 . B. V 8 a3 . Kí hiệu r, l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của C. V 16 a3 . D. V 12 a3 . hình trụ. Câu 11. Cho một hình trụ và hình vuông ABCD cạnh a có hai Gọi PQE,, lần lượt là trung điểm của AB,, CD OO Khi đó, E đỉnh liên tiếp AB, nằm trên một đường tròn đáy của hình trụ, hai là trung điểm của PQ . đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy còn lại của hình trụ. Mặt Ta có góc giữa ABCD và mặt đáy hình trụ là O QE 45  . phẳng ABCD tạo với đáy hình trụ một góc 45 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ. 1 a Lại có: EQ BC . 2 3 3 2 2 A. S a2 . B. S a2 . xq 5 xq 3 a 2 Xét tam giác O EQ vuông cân tại O có OQOE . 3 3 4 C. S a2 . D. S a2 . xq 4 xq 2 a 2 a 6 l OO 2 O E và r O C O Q2 QC 2 . Câu 12. Cho khối trụ có bán kính đáy r 1. Hai điểm AB, lần 2 4 lượt thuộc hai đường tròn đáy sao cho AB 6 , khoảng cách 3 Diện tích xung quanh của hình trụ: S 2 rl a2 . 1 xq 2 giữa đường thẳng AB và trục của khối trụ bằng . Thể tích của 2 III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN khối trụ đó bằng Câu 1. Cho hình trụ có bán kính đáy là R , chiều cao là h . Diện tích xung quanh của hình trụ là: A. 6 B. 6 . C. 3 . D. 3 . Câu 13. Cắt hình trụ T bằng một mặt phẳng đi qua trục được A. Sxq Rh. B. Sxq 2 Rh . 2 C. Sxq 2 Rh . D. Sxq 4 Rh thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 20cm và chu vi Câu 2. Cho khối trụ có bán kính đáy r 4 và chiều cao h 9 . bằng 18cm . Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính Tính thể tích khối trụ đó. mặt đáy của hình trụ T . Diện tích toàn phần của hình trụ là A. 144 . B. 36 . 2 2 C. 18 . D. 48 . A. 24 cm . B. 26 cm . Câu 3. Cho khối trụ có thể tích bằng 54 a3 , chiều cao bằng 6a . C. 28 cm2 . D. 30 cm2 . Tìm bán kính đáy r của khối trụ đó. Câu 14. Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4 và có thiết diện A. 3 3a B. 3a . cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ. C. 3a . D. 6a . 4 4 6 6 6 Câu 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 6 a , AD 8 a . Gọi A. . B. . C. . D. 9 9 9 12 MN, lần lượt là trung điểm AD và BC. Quay hình chữ nhật xung quanh cạnh MN ta được một khối trụ có bán kính bằng: Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 159
29. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 Câu 15. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và a3 2 A. V . B. V a3 2 . cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được là hình vuông 6 có diện tích bằng 16 . Tính thể tích khối trụ a3 2 a3 2 A. 24 . B. 4 6 . C. V . D. V . 2 3 C. 12 . D. 8 . Lời giải:Chọn B Câu 16. Cho hình trụ có OO, là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật ABCD có AB, cùng thuộc O và CD, cùng thuộc O sao cho AB a 3 , BC 2 a đồng thời ABCD tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60 . Tính thể tích của khối trụ đã cho. A. a3 . B. 3 a3 . 3 a3 a3 C. . D. . 3 3 Gọi C là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng chứa đường Câu 17. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn O và O . Trên tròn đáy tâm O . Gọi H là trung điểm của AC . Khi đó hai đường tròn O và O lần lượt lấy hai điểm A , B sao cho OH ABC và góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng chứa góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy đường tròn đáy là góc BAC 45  . o bằng 45 , khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO bằng Vì OO // BC nên OO // ABC . a 2 . Biết bán kính đáy bằng a , tính thể tích của khối trụ theo a 2 2 Ta có d AB,, OO d OO ABC OH . 2 a . Xét tam giác vuông OHC ta có 3 a 2 3 2 A. V B. V a 2 6 2 2 2 a2 a 2 HC OC OH a AC a 2 . a3 2 a3 2 2 2 C. V D. V 2 3 Xét tam giác ABC vuông tại C ta có BC AC.tan 45  a 2 , Câu 18. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD hay chiều cao h a 2 . cạnh 2 3cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O . Thể tích khối trụ là V . a2 . a 2 a 3 2 . Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao cho Vậy thể tích khối trụ là V a3 2 . ABM 60  . Thể tích của khối tứ diện ACDM là Câu 19. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD A. V 3 cm3 . B. V 7 cm3 . cạnh 2 3cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O . C. V 4 cm3 . D. V 6 cm3 . Gọi M là điểm thuộc cung AB của đường tròn đáy sao cho ABM 60  . Thể tích của khối tứ diện ACDM là Câu 19. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O , A. V 3 cm3 . B. V 7 cm3 . chiều cao 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng đi qua C. V 4 cm3 . D. V 6 cm3 trung điểm của OO và tạo với OO một góc 30. Hỏi cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? Lời giải 2R 2R 2 4R 2R A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 3 Câu 20. Trong tất cả các khối trụ có cùng thể tích là 330 , khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất có bán kính là r . Giá trị của r gần nhất với số nào sau đây? A. 5,5 . B. 6,9 . Chọn A C. 12,8 . D. 5 1 1 2 Ta có: SS . 2 3 6 BẢNG ĐÁP ÁN ACD2 ABCD 2 1C 2A 3C 4D 5D 6D 7A 8A 9D 10D Kẻ MH AB MH  ABCD d M, ACD MH 11D 12C 13C 14B 15A 16B 17B 18A 19B 20A HƯỚNG DẪN GIẢI MAB vuông tại M có MB AB cos60  3 3 Câu 17. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn O và O . Trên MH MB sin 60  2 hai đường tròn O và O lần lượt lấy hai điểm A , B sao cho 1 1 3 V V S. MH .6. 3 . góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy ACDM M. ACD3 ACD 3 2 bằng 45o , khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục OO bằng Câu 19. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và O , a 2 . Biết bán kính đáy bằng a , tính thể tích của khối trụ theo chiều cao 2R và bán kính đáy R . Một mặt phẳng đi qua 2 a . trung điểm của OO và tạo với OO một góc 30. Hỏi cắt Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 160
30. DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA 2020 – 2021 2R 2R 2 4R 2R TT TÊN CHUYÊN ĐỀ TRANG A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 3 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1 Lời giải:Chọn B 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 5 C 3 9 O' GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT D 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN 13 5 ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3 13 M 6 ĐỒ THỊ HÀM BẬC 4 17 B K 7 ĐỒ THỊ HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT 22 H O 8 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 28 A Gọi M là trung điểm của OO . Gọi A , B là giao điểm của mặt 9 HÀM SỐ MŨ 32 phẳng và đường tròn O và H là hình chiếu của O trên 10 HÀM SỐ LŨY THỪA 35 AB AB  MHO . 11 HÀM SỐ LÔGARIT 38 12 42 Trong mặt phẳng MHO kẻ OK MH , K MH khi đó góc PHƯƠNG TRÌNH MŨ 13 PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 43 giữa OO và mặt phẳng là góc OMK 30  . 14 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 48 Xét tam giác vuông MHO ta có HO OM tan30  R tan30  15 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 52 R 3 . 16 NGUYÊN HÀM 54 3 17 TÍCH PHÂN 58 Xét tam giác vuông AHO ta có: 18 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN 60 R2 R 2 AH OA2 OH 2 R2 . 19 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 63 3 3 20 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH 66 2R 2 Do H là trung điểm của AB nên AB . 21 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH 71 3 22 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 73 Câu 20. Trong tất cả các khối trụ có cùng thể tích là 330 , khối 23 76 trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất có bán kính là r . Giá trị của CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC r gần nhất với số nào sau đây? 24 PHÉP CHIA SỐ PHỨC 79 A. 5,5 . B. 6,9 . C. 12,8 . D. 5 25 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HỆ SỐ THỰC 81 Lời giải 26 KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN 84 Chọn A 27 ĐA DIỆN LỒI-ĐA DIỆN ĐỀU 88 Giả sử r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. 28 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP ĐỀU 92 Ta có: 29 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP KHÔNG ĐỀU 96 660 V r2 h 330 S S 2 rh 2 r2 2 r 2 . tp r 30 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 101 660 31 BÀI TOÁN TỶ SỐ THỂ TÍCH 104 Do đó: S 4 r . 2 32 MẶT NÓN-KHỐI NÓN 109 r 660 660 4 r 3 33 MẶT CẦU-KHỐI CẦU 113 S 0 4 r 0 0 r2 r 2 34 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 117 r3 165 r 3 165 . 35 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 120 Ta có BBT: 36 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 123 37 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG OXYZ 128 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG 38 131 VÀ MẶT PHẲNG VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG Dựa vào BBT, khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ nhất khi 39 135 VÀ MẶT CẦU r 3 165 5,5 . 40 CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 139 41 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 141 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ CHO BỞI 42 145 NHIỀU CÔNG THỨC 43 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 148 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG 44 152 THẲNG CHÉO NHAU 45 HÌNH TRỤ-KHỐI TRỤ 158 Sưu tầm và biên soạn: Trần Trọng Nghiệp Trang 161