24 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần 6

24 trang dichphong 3780

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "24 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần 6", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

24_bo_de_hoc_sinh_gioi_toan_9_cac_tinh_thanh_pho_ho_chi_minh.pdf

Nội dung text: 24 Bộ đề học sinh giỏi Toán 9 các tỉnh, thành phố Hồ Chí Minh – Hà Nội - Phần 6

“Sách”vở là người “Thầy” tốt “Nhất” 24 Bộ đề HSG Toán 9 các Tỉnh, TP HCM – Hà Nội. Phần 6 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH ĐỊNH Năm học: 2009 – 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 1 Bài 1: (3,0 điểm) 1. Giải phương trình: xx33+2 81 − 7 = 18 2. Chứng minh tồn tại một số chia hết cho 2009 và tổng các chữ số của nó bằng 2010 Bài 2: (3,0 điểm) Cho phương trình x22−2 mx + 2 m − 1 = 0 (1) (m tham số). 1. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt. 2. Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3 3 2 2 hệ thức: x1 + x2 - x1 - x2 = -2 Bài 3: (4,0 điểm) 1. Tìm x,y để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất P=3 x22 + 11 y − 2 xy − 2 x + 6 y − 1. 2. Cho đa thức P(x) bậc 5 có các hệ số nguyên. Biết rằng P(x) nhận giá trị 2003 với 4 giá trị nguyên khác nhau của x. Chứng minh rằng: Với mọi x Z thì P(x) không thể có trị số bằng 2010. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm M ở trong tam giác, các đường thẳng AM, BM, CM, lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại P,R,Q. Kí hiệu SABC là diện tích tam giác ABC. a. Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB 4SABC b. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác PQR lớn nhất. Bài 5: (4,0 điểm) 1. Cho a,b,c các số thực dương thỏa mãn hệ thức a + b + c = 6abc. Chứng minh rằng: bc ca ab + +  a3( c+ 2 b ) b 3 ( a + 2 c ) c 3 ( b + 2 a ) 2. Cho ba số thực α, β, γ > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x  y  z M = ++. Với mọi x, y, z > 0 y+ z z + x x + y “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NGHỆ AN Năm học: 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN – Bảng A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 2 Câu 1 (4,0 điểm). 3 3 3 a. Cho số nguyên a1, a2, a3, , an. Đặt S = + a + + a ;P = a1 + a2 + + an . a1 2 n Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. b. Cho A = n6 – n4 + 2n3 + 2n2 ( với n N, n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương Câu 2 (4,5 điểm). a. Giải phương trình: 10 x32+ 1 = 3x + 6 1 x3+= y b. Giải hệ phương trinh: 1 y3+= z 1 z3+= x Câu 3 (4,5 điểm). 1 1 1 a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và + + = 4. x y z 111 Chứng minh rằng: + + 1 2x+ yz + x2yz + + x + y2z + b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x2011+ y 2011 + z 2011 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x2 + y2 + z2. Câu 4 (4,5 điểm). Cho tam giác ABC ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác . Gọi M một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng B và C). Gọi N là P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. a) Chứng minh N, H, P thẳng hàng 11 b) Khi BOC= 1200 , xác định vị trí của điểm M để + đạt giá trị nhỏ nhất. MB MC Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BẮC GIANG Năm học: 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 3 Câu 1(5,0 điểm ): 1+− 4xx 1 4 2 1. Tính giá trị của biểu thức sau : A =+,biết x = . 1+ 1 + 4xx 1 − 1 − 4 9 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (m+1)x 2 – (2m+1)x + m - 1 = 0 có 2 2 hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 + x2 - 2009x1x2 = 2012 Câu 2(4,0 điểm ): 1. Giải phương trình : (2x+ 2 − 4 x + 1)(2 x + 3 + 4 x2 + 9 x + 2) = 7 . x+ y −2 = 4 z − 2 2. Giải hệ phương trình sau : y+ z −2 = 4 x − 2 z+ x −2 = 4 y − 2 Câu 3(4,0 điểm): 1. Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của x biết x và y là hai số thỏa mãn đẳng thức y2 = 3(xy + y – x - x2). 2. Tìm các số nguyên k để biểu thức k4 - 8k3 + 23k2 - 26k + 10 là số chính phương. Câu 4 (6,0 điểm ): Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng AO lấy điểm H bất kì không trùng với A và O,kẻ đường thẳng d vuông góc với AB tại H,trên d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn, từ C kẻ hai tiếp tuyến CM và CN với đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm ,(M thuộc nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A). Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của CM,CN với đường thẳng AB. 1. Chứng minh HC là tia phân giác của góc MHN 2. Đường thẳng đi qua O vuông góc với AB cắt MN tại K và đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại I.Chứng ninh rằng : I là trung điểm của PQ. 3. Chứng minh rằng ba đường thẳng PN,QM và CH đồng quy. Câu 5(1,0 điểm ): Cho ba số dương x,y và z thỏa mãn x + y + z = 6. Chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 – xy – yz - xz + xyz ≥ 8. Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Năm học: 2009 - 2010 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 4 : Bài 1 (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy a32 a a b) Cho biểu thức A = + + với a là số tự nhiên chẵn. 24 8 12 Hãy chứng tỏ A có giá trị nguyên. Bài 2 : (4,0 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x3 – 9x2 + 13x – 6 b) Tính giá trị của biểu thức M = x3 – 6x với x = 33 20 + 14 2 + 20 - 14 2 Bài 3 : (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x - 2 + 6 - x = x2 - 8x + 24 1 1 9 x + y + + = x y 2 b) Giải hệ phương trình: 15 xy + = xy 2 Bài 4 ( 5,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC; Â < 900), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy một điểm M (M B;C) . Gọi I; H; K lần lượt là hình chiếu của M trên BC; CA; AB và P là giao điểm của MB với IK, Q là giao điểm của MC với IH. a) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK. b) Chứng minh PQ // BC. c) Gọi (O1) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp MPK và MQH. Chứng minh rằng PQ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O1) và (O2 ). d) Gọi D là trung điểm của BC; N là giao điểm thứ hai của (O1),(O2 ). Chứng minh rằng M,N,D thẳng hàng. Bài 5 ( 2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P. AM BN CP Chứng minh rằng: ++ 9 OM ON OP HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG NGÃI Năm học: 2010 - 2011 Môn : TOÁN Đ Ề CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 5 Bài 1. (2,0 điểm) a+ 1 a a − 1 a2 − a a + a − 1 Cho biểu thức: M = + + với a > 0, a 1. a a−− a a a a a) Chứng minh rằng M 4. 6 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N = nhận giá trị nguyên? M Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho các hàm số bậc nhất: y=+ 0,5x 3, y=− 6 x và y= mx có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1; 2) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá trị nhỏ 11 nhất của biểu thức Q =+. OM22 ON Bài 3. (2,0 điểm) 17x+= 2 y 2011 xy a) Giải hệ phương trình: x−=2 y 3 xy . 1 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x+ y − z + z − x = (y + 3). 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (C ) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C ) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tích AMAN không đổi. c) Chứng minh A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUẢNG BÌNH Năm học: 2015 - 2016 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề số 6 Câu 1 (2.0 điểm) x2 − x2 x + x 2( x − 1) Cho biểu thức: P = − + với 01 x . x+ x +11 x x − a. Rút gọn biểu thức P. b. Tìm x để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 2 (3.0 điểm) a. Cho phương trình: 2x22+ 2 mx + m − 2 = 0 (tham số m). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x12 , x thỏa mãn | 2x1 x 2+ x 1 + x 2 − 4 | = 6. x3−22 x 2 y + x = y 3 − xy 2 + y b. Giải hệ phương trình: x−2 + 4 − x = y2 − 6 x + 11 Câu 3 (2.5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I), AI cắt (O) tại M (khác A), J là điểm đối xứng với I qua M . Gọi N là điểm chính giữa của cung ABM , NI và NJ lần lượt cắt (O) tại E và F. 11 a. Chứng minh MI= MB. Từ đó suy ra x− = 0 x = và CIJ là các tam 24 giác vuông. b. Chứng minh I, J, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Câu 4 (1.5 điểm) Cho a, b 0 thỏa mãn a+ b 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 11 M =+ a++ b22 b a Câu 5 (1.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương m và n thỏa mãn điều kiện: n2+ n + 1 =( m 2 + m − 3)( m 2 − m + 5) Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 BÌNH PHƯỚC Năm học: 2015 - 2016 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍN H THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 7 Câu 1 (5,0 điểm) 8 x + 4 2 − x x − 2 1. Cho biểu thức: P = + + . x + 2 x − 3 1− x x + 3 a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa. Rút gọn biểu thức P. b. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 3 + 2 2 . 2. Cho x 0, y 0 và x + y =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 Q = + + 4xy + 2016 . x2 + y2 xy Câu 2 (5,0 điểm) 1. Giải phương trình: 3 2 − x + x −1 =1. xy + x + y = x2 − 2y2 2. Giải hệ phương trình: 2 2 x − y − 3x + 2y −10 = 0 . 3. Tìm m để đường thẳng (d): y = −2(m −1)x + 2m + 5 cắt parabol (P): y = x2 tại 2 2 hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho biểu thức: T =12 −10x1x2 − x1 − x2 đạt giá trị lớn nhất. Câu 3 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, I là điểm đối xứng của O qua cạnh BC. 1. Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 2. Chứng minh tứ giác AHIO là hình bình hành. 3. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại B, C cắt nhau tại Q, gọi P là giao điểm của AQ và EF. Chứng minh rằng P là trung điểm của EF. Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Gọi L, H, K lần lượt là chân đường vuông góc của M trên các cạnh AB, BC, CA. Tìm vị trí của điểm M để AL2 + BH2 + CK2 đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (3,0 điểm) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 − 5xy − 2y 2 − 4x + 8y + 3 = 0. 2. Chứng minh rằng nếu a,b,c và a +b + c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 chia hết cho 6. - - - HẾT - - - “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 BÌNH ĐỊNH Năm học: 2011 - 2012 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 8 Bài 1: ( 4,0 điểm ) 8+− 15 8 15 a) Rút gọn biểu thức sau: A = + 22 x3 b) Giải phương trình : +x2 −16 = 0 16 − x2 Bài 2: ( 4, 0 điểm) a) Chứng minh rằng n3 – n chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ. b) Cho a, b, c là các số thực dương thõa điều kiện : a2 + b2 + c2 = (a –b)2 + (b- c)2 + ( c – a)2 Chứng minh rằng nếu c a và c b thì c a + b Bài 3: ( 3, 0 điểm ) Cho phương trình x2 +(m – 1)x – 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2 2 biệt x1 và x2 sao cho biểu thức A = (x1 – 9)(x2 – 4) đạt giá trị lớn nhất. Bài 4: (6, 0 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân tại A có BAC= 200 ; AB = AC = b và BC = a . Chứng minh rằng : a3 + b3 = 3ab2 . 2) Cho hai điểm A, B thuộc đường tròn (O) (AB không đi qua O) và có hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD song song BC ( C, D khác A, B và AD > BC ). Gọi M là giao điểm của BD và AC . Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại điểm I. a) Chứng minh ba điểm I, O, M thẳng hàng. b) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD không đổi. Bài 5: ( 3,0 điểm ) Cho x, y là các số thực dương thõa mãn xy = 1 .Chứng minh rằng : 4 (x + y + 1)(x2 + y2) + 8 xy+ “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NGHỆ AN Năm học: 2008 - 2009 Môn thi: Toán – Bảng A ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 9 Câu 1 (4,5 điểm). a) Cho A= k4+2 k 3 − 16 k 2 − 2 k + 15 với kZ . Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16. b) Cho 2 số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng nếu tích a.b là số chẵn thì luôn luôn tìm được số nguyên c sao cho abc2++ 2 2 là số chính phương. Câu 2 (5,5 điểm). a) Giải phương trình: x2 − x −2 1 + 16 x = 2 x32+2 y − 4 y + 3 = 0 b) Cho xy, thoả mãn: 2 2 2 x+ x y −20 y = Tính Q = xy22+ Câu 3 (3,0 điểm). 1 1 1 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3+ + 3 + + 3 + + a b b c c a 3 Trong đó các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc+ + 2 Câu 4 (5,5 điểm). Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là một điểm trên cung nhỏ AD (E không trùng với A và D). Nối EC cắt OA tại M; nối EB cắt OD tại N. a. Chứng minh rằng: AM.ED = 2 OM.EA. OM ON b. Xác định vị trí điểm E để tổng + đạt giá trị nhỏ nhất. AM DN Câu 5 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC, lấy điểm C1 thuộc cạnh AB, A1 thuộc cạnh BC, B1 thuộc cạnh CA. Biết rằng độ dài đoạn thẳng AA1 ,BB 1 , CC 1 không lớn hơn 1. 1 Chứng minh rằng: S ( S là diện tích tam giác ABC). ABC 3 ABC - - - -Hết- - - - - “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. ĐÀ NẴNG Năm học: 2009 - 2010 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 10 Bài 1: (2,5 điểm) 11+ xx a) Rút gọn biểu thức P = +11 − . x −1 x Tính giá trị của biểu thức P khi x =−4 2 3 . y+8 3 x − 2 y + 4 b) Cho 4xy−= 8, hãy tính giá trị của biểu thức A = + xy−8 Bài 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình (2x+ 1) x = x2 + 2 . x y z − − =1 4 3 12 b) Giả sử hệ phương trình có nghiệm (x;; y z) . x y z + + = 1 3 10 5 Chứng tỏ x++ y z không đổi. Bài 3: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số yx= có đồ thị là (G). Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là −1 và 3. a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B. b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d). Bài 4: (3,0 điểm) a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP. b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. ĐÀ NẴNG Năm học: 2008 - 2009 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 11 1− x x 1 Bài 1 : a) Rút gọn biểu thức P = ( + x) : 1− x (1− x)2 1 Tính giá trị biểu thức P khi x = 2 −1 64 b) Đặt a = 3 2 − 3 + 3 2 + 3 . Chứng minh rằng − 3a là số nguyên. (a 2 − 3)3 Bài 2: a) Giải phương trình: 2 + 5 − x = x −5 xy + 6 = 3x + 2y b) Giải hệ phương trình: 2 2 x + y = 2x + 4y − 3 Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, Parabol (P): y = - x2; đường thẳng (d) : y = -x – 2 a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) : y = mx – m +1 cắt đường thẳng (d) tại các điểm nằm trên Parabol (P) Bài 4 a) Cho x,y,z thoả mãn: x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz 21x−− m x b) Cho Phương trình: +=3 . Tìm m để phương trình có nghiệm dương. xx−+22 1 1 1 c) Cho a,b,c có tổng bằng 1 (a,b,c > 0). Chứng minh rằng : + + 9 a b c Bài 5: Cho nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB . Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn ( C ) và D là điểm chính giữa cung AC . Gọi E là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường thẳng BC và F là giao điểm của AE với nửa đường tròn ( C ). Tia BF cắt DE tại M. Chứng minh rằng : a. Hai tam giác MDF và MBD đồng dạng . b. M là trung điểm của đoạn DE . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TP TP. HCM Năm học: 2002 - 2003 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 12 Bài 1 : (4 điểm) Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + 1 = 0. a) Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0) 2 2 b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x1 - x2 | = 1. Bài 2 : (5 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây : Bài 3 : (3 điểm) a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh : b) Cho x ≥ 1 , y ≥ 1. Chứng minh : Bài 4 : (3 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn. Bài 5 : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6 : (3 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở hai điểm A và B. Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’), đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D, đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUÃNG NGÃI Năm học: 2015 - 2016 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 13 Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố đôi một khác nhau, biết rằng tích của ba số đó bằng năm lần tổng của chúng. b) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức 22 x+2 y − 3 xy + 2 x − 4 y + 3 = 0 2b2 2c2 2a2 c) Tìm các số a, b, c biết a = ;b = ;c = 1+ b2 1+ c2 1+ a2 Bài 2: (4,0 điểm) a. Giải phương trình: 3 xx−2 + + 1 = 3 11 +=1 22 b. Giải hệ phương trình: xy 22 x−1 + y − 1 = xy + 2 Bài 3: (4,0 điểm) a. Cho x, y, zx, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng: x2+ y 2 + z 2 3 b. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng nếu b là số trung bình cộng 1 1 2 của a và c thì += a+ b b + c c + a Bài 4: (5,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Vẽ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì trên cung nhỏ AD. Nối E với C cắt OA tại M; nối E với B cắt OD tại N. a) Tính CM. CE+ BD2 theo RR. OM OD b) Chứng minh rằng tích . là một hằng số AM DN OM OD c) Tìm vị trí của điểm E để tổng + đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị đó. AM DN Bài 5: (3,0 điểm) a) Cho tam giác ABCABC có độ dài ba cạnh là ba số nguyên liên tiếp (cùng đơn vị đo). Tìm độ dài các cạnh của tam giác đó, biết 3A+= 2B 1800 b) Cho tam giác nhọn ABCABC có BAC= 600 , BC= 2 3 . Bên trong tam giác này cho 2017 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 2017điểm ấy luôn tìm được 169 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH QUÃNG NGÃI Năm học: 2014 - 2015 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 14 Bài 1: (4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: 6x +5 y +18 = 2 xy a5 a 4 7a 3 5a 2 a b) Chứng minh với mọi a N thì biểu thức A = + + + + có giá trị là 120 12 24 12 5 số tự nhiên. Bài 2: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: 4x+ 1 = x2 − 5 x + 14 y = x2 b) Giải hệ phương trình: z = xy với x, y, z 0 1 1 6 =+ x y z Bài 3: (4,0 điểm) 12- a) Cho a = . Tính giá trị của biểu thức: 16aa8 - 51 2 b) Cho a và b là các số thực dương. 2 ab+ Chứng minh rằng: (a+ b) + 22 a b + b a 2 Bài 4: (5,0 điểm) Trên đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm M (M khác A và B). Từ điểm C trên đoạn OB (C khác B) kẻ CN vuông góc với AM tại N. Đường phân giác của MAB cắt CN tại I và cắt đường tròn (O) tại P; đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là Q. a) Chứng minh ba điểm P; C; Q thẳng hàng. b) Khi BC = AM, hãy chứng minh tia MI đi qua trung điểm của đoạn AC. Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Trên các đoạn AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho EDC = FDB = 900 (E khác B). Chứng minh rằng EF // BC. HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH THANH HÓA Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 15 Bài 1. (4,0 điểm) x y xy Cho biểu thức: P = − − (x+ y )(1 − y ) ( x + y )( x + 1) ( x + 1)(1 − y ) 1. Rút gọn biểu thức P. 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thỏa mãn P = 2. Bài 2. (4,0 điểm) 1. Tìm m để phương trình (x2 − 1)( x + 3)( x + 5) = m có 4 nghiệm phân biệt 1 1 1 1 + + + = −1 x1,,, x 2 x 3 x 4 thỏa mãn x1 x 2 x 3 x 4 x22=+2 xy 2. Giải hệ phương trình : 22 y=+2 x y Bài 3. (4 điểm) 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60. 2. Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và x3++ y 3 z 3 chia hết cho 2 2 2 3 3 3 2 2 2 x y z . Tìm thương của phép chia x++ y z: x y z Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại D. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC và AC lần lượt tại M, N. 1. Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân. 2. Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K. Chứng minh K là trung điểm của DM. 3. Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q. Gọi G là trung điểm của DK. Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng. Bài 5. (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0 x , y , z 2 và x + y + z = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= x + y + z . HẾT “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN CẨM XUYÊN Năm học: 2012 - 2013 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số16 Bài 1 (5 điểm). 2 a 1 2 a Cho biểu thức: A = 1− : − , với a ≥ 0 a +1 1+ a a a + a + a +1 1. Rút gon biểu thức A. 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 . Bài 2 (4 điểm). 1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x3 − y3 = 3(x − y) 2. Giải hệ phương trình: x + y = −1 Bài 3 (4 điểm). 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD. Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN. 1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL. 2. Chứng minh ∆LMN vuông cân 3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP. Bài 5 (2 điểm). a 2 + b 2 Cho a b và ab = 6. Chứng minh: 4 3 a − b Hết “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN BÙ ĐĂNG Năm học: 2015 - 2016 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 17 Bài 1(5,0 điểm): x++1 2 x 2 5 x 1. Cho biểu thức: A = + + . xx−+224 − x a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A; b) Tính giá trị của A, biết x =−16 8 3 . 2. Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình: x22= y + y +1 Bài 2(5,0 điểm): 22 1. Giải hệ phương trình: y− y + x =2 xy − x 22 2x+ x − y + y − 3 = 0 2. Cho phương trình x22+2 mx + m − 1 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) có nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm. Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H ( K BC,,) E AC D AB . 1. Chứng minh tứ giác BDEC; BDHK nội tiếp. 2. Chứng minh AD AB= AE AC 3. Chứng minh KA là phân giác của góc DKE 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//MN. Bài 4(2,0 điểm): Cho tứ giác lồi ABCDcó AB và CD không song song với nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD . Chứng minh rằng: AB+ CD2 MN Bài 5(3,0 điểm): 1. Cho a, b, c các số nguyên dương. Chứng minh ()()a3+ b 3 + c 3 − a + b + c chia hết cho 6. 12 2. Cho xy,0 và xy+ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= + + 4 xy. xy22+ xy - - - Hết - - - “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN VĨNH TƯỜNG Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 18 Câu 1. a) Tính: 5− 2 2 + 9 + 4 2 b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ b + c + abc = 4. Tính giá trị của biểu thức: Aab=(4 − )(4 − c ) + bc (4 − )(4 − a ) + ca (4 − )(4 − b ) − abc Câu 2. Giải các phương trình sau: a) x− x +1 − x + 4 + x + 9 = 0 b) 2(x2 + 2) = 5 x3 +1 xy+ 2013 Câu 3: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( x;; y z) thỏa mãn là số hữu tỉ, đồng yz+ 2013 thời x2++ y 2 z 2 là số nguyên tố. Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn (O) tại D. a. Chứng minh các điểm B, C, E, F thuộc một đường tròn. b. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. c. Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu 5. a) Cho a, b, c là các số thực; x, y, z là các số thực dương. a2 b 2 c 2() a++ b c 2 Chứng minh rằng: + + x y z x++ y z b) Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. 1+xyz2 1 + 2 1 + 2 Chứng minh : + + 2 1+y + z2 1 + z + x 2 1 + x + y 2 Câu 6. Cho bảng vuông 13x13. Người ta tô màu đỏ ở S ô vuông của bảng sao cho không có 4 ô đỏ nào nằm ở 4 góc của một hình chữ nhật. Hỏi giá trị lớn nhất của S có thể là bao nhiêu? “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THCS CAO VIÊN Năm học: 2014 - 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 19 Bài 1: (6 điểm) x y xy 1) Cho P = − − ( x+ y)(1 − y) ( x + y)( x + 1) ( x + 1)( 1 − y ) a. Tìm điều kiện của x,y để biểu thức P xác định và rút gọn P b. Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình: P = 2 2 2) Chứng minh rằng: Với mọi n N thì n + n +1 không chia hết cho 9 Bài 2: (4 điểm) 2 a. Giải phương trình : 17−xx2 =( 3 − ) 100 100 101 101 102 102 b. Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: a + b = a + b = a + b . 2015 2015 Tính giá trị biểu thức: P = a + b Bài 3: (3 điểm) a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x22+ 3 y + 4 x = 19 3 ab++ bc ca (abc++) b/ Cho a,b,c > 0. Chứng minh : + 28 a2++ b 2 c 2 abc Bài 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường tròn tâm O khác A,B.Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc với AB(P AB), vẽ MQ vuông góc với AE ( Q AE) 1.Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,M,O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác APMQ là hình chữ nhật. 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O,I,E thẳng hàng 3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh EAO đồng dạng với MPB suy ra K là trung điểm của MP 4. Đặt AP = x. Tính MP theo x và R.Tìm vị trí của điểm M trên đường tròn (O) để hình chữ nhật APMQ có diện tích lớn nhất. Bài 5: (1 điểm) Tìm nghiệm nguyên, dương của phương trình: xy + yz + zx = xyz + 2. “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THCS Dân Hòa Năm học: 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 20 x + y x − y x + y + 2xy Câu 1: Cho P = + : 1+ 1− xy 1+ xy 1− xy a, Rút gọn P 2 b, Tính giá trị của P với x= 2 + 3 c, Tìm giá trị lớn nhất của P Câu2: a) Giải phương trình: 3 + x + 6 − x - (3 + x)(6 − x) =3 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + y2 = xy + x + y. Câu 3: x y z a b c x2 y 2 z 2 a) Cho + + =1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : + + =1. a b c x y z a2 b 2 c 2 b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 a + b + c P = + + a 2 + bc b2 + ac c 2 + ab 2abc Câu 4: Cho đường tròn tâm (O) đường kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đường thẳng ED cắt (O’) tại P . 1. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. 2. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 3. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO’ lớn nhất. Câu 5: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn : 1 1 1 1 6 (x − ) = 3(y − ) = 2(z − ) = xyz − . y z x xyz “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN TP. ĐÀ NẴNG Năm học: 2008 - 2009 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 21 Bài 1 : 1− x x 1 a) Rút gọn biểu thức P = ( + x) : 1− x (1− x)2 1 Tính giá trị biểu thức P khi x = 2 −1 64 b) Đặt a = 3 2 − 3 + 3 2 + 3 .Chứng minh rằng − 3a là số nguyên. (a 2 − 3)3 Bài 2 a) Giải phương trình 2 + 5 − x = x −5 xy + 6 = 3x + 2y b) Giải hệ phương trình 2 2 x + y = 2x + 4y − 3 Bài 3 Trên mp toạ độ Oxy, Parabol (P): y = - x2 đường thẳng (d) : y = -x – 2 a) Vẽ Parabol (P) và đường thẳng (d) b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng ( ) : y = mx – m +1 cắt đường thẳng (d) tại các điểm nằm trên Parabol (P) Bài 4 a) Tìm số dư của phép chia đa thức (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 2013 cho đa thức x2 + 10x + 21 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 2017 Bài 5: Cho nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB . Gọi C là 1 điểm trên nửa đường tròn ( C ) và D là điểm chính giữa cung AC . Gọi E là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường thẳng BC và F là giao điểm của AE với nửa đường tròn ( C ) . Tia BF cắt DE tại M. Chứng minh rằng: a. Hai tam giác MDF và MBD đồng dạng . b. M là trung điểm của đoạn DE . “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN LÂM THAO Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 22 Câu 1: Cho biểu thức x+3 x + 2 x + 2 x với x 0; x 4; x 9. A = + + : 1 − ; x−2 3 − x x − 5 x + 6 x + 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A khi x =−6 2 5 . 1 c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó? A Câu 2: a) Chứng minh rằng : Với mọi số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. x - 2012−− 1y - 2013− 1 z - 2014 1 3 b) Giải phương trình: + + = x - 2012 y - 2013 z - 2014 4 Câu 3 a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2. b) Tìm các số a, b sao cho a56b chia hết cho 45 Câu 4: 1. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC=2R. Điểm A di động trện nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a. Chứng minh rằng: AB . EB + AC . EH = AB2 b. Xác định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R. 2. Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: +=. AM2 AI 2 a 2 Câu 5: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz = 1. 1 1 1 Chứng minh rằng: + + 1 x+ y +1 y + z + 1 z + x + 1 “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN THANH OAI Năm học: 2014 - 2015 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 23 Bài 1 3 3 x 3 1) Cho biểu thức: Q = + + +1 23 x+ x3 + 3 x − 27 3 x a/ Tìm điều kiện của Q và rút gọn Q b/ Tính giá trị của Q khi x =4 + 7 − 4 − 7 2) Chứng minh rằng: A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + + 100 Bài 2: 1) Giải phương trình: a) x2 + 5x + 1 = (x + 5) x2 +1 b) xx−2013 + 4 − 8052 = 3 1 1 1 2) Cho abc = 1. Tính S = ++ 1+a + ab 1 + b + bc 1 + c + ac Bài 3: 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – 4 = 0 ab22+ 2. a) Biết rằng a, b các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1. Chứng minh: 22 ab− a b c b) Chứng minh rằng: + + 2 , với a, b, c>0 b+ c a + c b + a Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R, tâm O cố định. Điểm A di động trên nửa đường tròn. Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB. a) Chứng minh tam giác ABC vuông b)Chứng minh: AB . EB + AC . EH = AB2 c) Xác định tam giác ABC sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính dện tích lớn nhất đó theo R. Bài 5: Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + + + abcbcacababc+ − + − + − “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN PHÙ NINH Năm học: 2013 - 2014 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 24 Câu 1. (4,0 điểm): a. Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương b. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19. Câu 2. (4,0 điểm): xzy 2 a. Cho A = + + . xy+ x +2 yz + y + 1 zx + 2 z + 2 Biết xyz = 4, tính A . x y z a b c x2 y 2 z 2 b. Cho + + =1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : + + =1. a b c x y z a2 b 2 c 2 x2 Câu 3. (3,0 điểm): Giải phương trình : x2 + = 3 (x + 1)2 Câu 4. (7,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. HA' HB' HC' a) Tính tổng + + AA' BB' CC' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. (AB+ BC + CA ) 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ AA'2 + BB'2 + CC '2 nhất? 2. Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: BC 2 a) BD.CE = 4 b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Câu 5. (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng: a b c 3 T = + + 3abc++ 3bac++ 3c++ b a 5 ___ Hết ___ “Hố rác” Khí hậu Miền Trung – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.