22 Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT chuyên các tỉnh cả nước - Năm học 2018 – 2019

Nội dung text: 22 Bộ đề Toán 9 thi vào 10 THPT chuyên các tỉnh cả nước - Năm học 2018 – 2019

1. “Biển học” Kiến thức Rỗng lớn Mênh mông, chỉ lấy “Siêng năng” làm “Bờ bến”. 22 Bộ Toán 9 vào 10 THPT Chuyên các Tỉnh Cả Nước Năm học: 2018 – 2019 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH Năm học: 2018 – 2019 Môn: TOÁN (Chuyên Toán) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gián: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Đề 1 Bài 1: 2 ( a−+ b) ab a−− b a33 b 1/ Cho biếu thức : T:=− , với a b,a 0,b 0 a+− b a b ab− a/ Rút gọn biểu thức T b/ Chứng tỏ T > 1 2/ Cho n là sô tự nhiên chẵn, chứng minh rằng số 20n− 3 n + 16 n − 1chia hết cho số 323 Bài 2 1/ Giải bất phương trình: 3x+ 2 7x + 8 44 x+ y − − = 3 xy 2/ Giải hệ phương trình: 6 x+ y + = − 5 xy+ Bài 3 Cho phương trình: (m− 1)x2 − 2(2m − 3)x − 5m + 25 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị m là số nguyên sao cho phương trình có nghiệm là số hữu tỉ. Bài 4 1/ Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và AB BC; BC CA. Xác định vị trí điểm M thuộc miền tam giác ABC (gồm các cạnh và miền trong tam giác) sao cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh nhỏ nhất. 2/ Cho tam giác ABC (AB < AC) có các goc đều nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC và AD lần lượt tại K và I. Qua F kẻ đường thẳng song song với AC cắt AK, AD lần lượt tại M và N. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh: a / DA là phân giác của FDE b / F là trung điểm của MN c/ OD= OK OE2 và BD DC = OD  DK Bài 5 22 1 1 1 25 Cho hai số dương a, b thỏa mãn a1+=. Chứng minh rằng: ab+ + + b a b 2 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
2. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Đề 2 Câu 1 Cho biểu thức T = a − 3 3 a + 6 a với a 0,a 4, a 9  + a −9 a − 4 a − 2 a/ Rút gọn T b/ Xác định các giá trị của a để T > 0 Câu 2 a/ Cho phương trình x2 – 2( m – 1)x + m2 – 3m +2 = 0 , (m là tham số). Tìm m để 2 2 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 + x2 – x1.x2 = 5 2018 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 + 2x − x 2 + 7 Câu 3 Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120km bằng xe máy với vận tốc không đổi để đến B vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng thời điểm đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/h so với vận tốc ban đầu trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của người đó. Câu 4 Cho tam giác ABC ( AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O . AD là đường kính của đường tròn (O), H là trung điểm BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F . a/ Chứng minh : MD2 = MB.MC b/ Qua B kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh bốn điểm B, H, D, P cùng nằm trên một đường tròn. c/ Chứng minh O là trung điểm của EF. Câu 5 Cho ba số thực a , b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 3 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
3. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi: Toán – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề 3 Câu 1. 1/ Giải phương trình: x4 - 22x2 + 25 = 0 æ ö ç a a + a ÷ 4- a 2/ Cho biểu thức P = ç + ÷. (với a là số thực dương) ç ÷ è a + 2 a + 3 a + 2ø a a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm các số thực dương a sao cho P đạt giá trị lớn nhất Câu 2. x2 − xy = 6 Giải hệ phương trình (với x,y ) 2 2 3x + 2xy − 3y = 30 Câu 3 2 Tìm các số thực m để phương trình x − (m +1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 x1 + x2 −1 sao cho biểu thức P = 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 + x2 ) − 3x1x2 + 3 Câu 4. 1/ Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2x2 − 4y2 − 2xy −3x −3 = 0 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 1 1 1 2/ Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh: + + + + ab(a2 + b2 ) bc(b2 + c2 ) ca(c2 + a2 ) a b c Câu 5. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M(50; 100) và N(100; 0).Tìm số các điểm nguyên nằm bên trong tam giác OMN (Một điểm được gọi là điểm nguyên nếu hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên) Câu 6. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Biết điểm C thuộc đường tròn (O), với C khác A và B. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt hai đường thẳng AC và AD lần lượt tại hai điểm E và F 1/ Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp đường tròn 2/ Gọi H là trung điểm của đoạn BF.Chứng minh OE vuông góc với AH 3/ Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OE và AH.Chứng minh điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF 4/ Gọi I là tâm của đường tròn (I) ngoại tiếp tứ giác ECDF .Chứng minh điểm I luôn thuộc một đường thẳng cố định và đường tròn (I) luôn đi qua hai điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn (O) thỏa điều kiện đã cho. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
4. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán - Chung Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề. Đề 4 Câu 1 1/ Giải phương trình 23xx+=. 3 2/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng y= − x − 2 ( d ) và y=+ x3 ( d ) . 1 2 2 Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d1), (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d1) với (d2). Tính diện tích tam giác ABC. 3/ Cho tam giác ABC có AB=8( cm ), BC = 17( cm ), CA = 15( cm ) . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 4/ Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6 (cm ) , độ dài đường sinh là 5(cm ). Tính thể tích hình nón đó. 1 xx−− 1 1 Câu 2 Cho biểu thức (với x 0 và x 1). Px= −: + x x x+ x 1/ Rút gọn biểu thức P. 2/ Chứng minh rằng với mọi và thì P 4. Câu 3 1/ Cho phương trình x22− mx − m + m −40 = (với m là tham số). a/ Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. b/ Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình đã cho ()xx12 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để xx21−=2 . 2/ Giải phương trình 6x+ 2 + 3 3 − x = 3 x + 1 + 4 − x2 + x + 6 . Câu 4 Cho tam giác ABC (với AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O; R). Đường tròn (O; R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O; R). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. 1/ Chứng minh tam giác BOE vuông và EI BD== FI CD R2 . 2 Gọi P, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD; Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh AQ= 2 KP . 3/ Gọi A1 là giao điểm của AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC, C1 là giao điểm của CO với cạnh AB và (O1; R1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 1 1 1 2 Chứng minh: + + . AA1 BB 1 CC 1 R 1− OO 1 Câu 5 (2x+ 4 y − 1)2 x − y − 1(4 = x − 2 y − 3) x + 2 y (1) 1/ Giải hệ phương trình 22(2) x+8 x + 52(3 − y + 2)4 x − 3 y = 22 x + 5 x + 2 2/ Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+2 bc + 2 ca = 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 11a++ 11 b 12 c thức: Q = . 8a2+ 56 + 8 b 2 + 56 + 4 c 2 + 7 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
5. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 5 Câu 1 x2 y 2 x 2 y 2 a) Rút gọn biểu thức: P.= - - (x+ y)(1 - y) (x + y)(1 + x) (1 + x)(1 - y) b) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1+ + + 1 + + + + 1 + + < 2018. 12 2 2 2 2 3 2 2017 2 2018 2 Câu 2 22 a) Giải phương trình: 21xx(( -) + 2x1x - +) = x - 1. ì ï x- 3y - 2 + y(x - y - 1) + x = 0 ï b) Giải hệ phương trình: í 4y ï 3 8- x - = x2 - 14y - 8. ï îï y++ 1 1 Câu 3 Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC (MBMC ; ). Kẻ MH vuông góc với BC (H BC ), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai đường thẳng AK và CM giao nhau tại E. a) Chứng minh BEBCAB2 = b) Từ C kẻ CN⊥ AB (N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), gọi P là giao điểm của NK và CE. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BNE và PNE cùng nằm trên đường thẳng BP. c) Cho BC= 2 R . Gọi OO12, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MCH và MBH . Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác O12 HO lớn nhất. Câu 4 a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn 2x22+ 5 y = 41 + 2 xy . b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n 3 + 2019 chia hết cho 6. Câu 5 a) Cho các số thực dương ab, thỏa mãn ab+=1. 2 1 Chứng minh rằng 3a+ b − a + b + 4 ab a + 3 b b + 3 a . ( ) ( ) 2 ( ) ( ) b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bất kỳ bốn điểm nào cũng có ít nhất ba điểm thẳng hàng. Chứng minh rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
6. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH DƯƠNG Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 6 Câu 1 a/ Giải phương trình: 7+ 2x − x =( 2 + x) 7 − x . b/ Cho các số thực xy, thỏa mãn ( x+2018 + x22)( y + 2018 + y ) = 2018. Tính giá trị của biểu thức: Q= x2019 + y 2019 +2018( x + y) + 2020. Câu 2 2 Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình x−2( m − 1) x + 2 m − 6 = 0. Tìm tất cả các giá trị 22 xx m nguyên dương để A =+ 12 có giá trị nguyên. xx21 Câu 3 a/ Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 P = + + + + . 2 1+ 1 2 3 2 + 2 3 4 3 + 3 4 2025 2024 + 2024 2025 b/ Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn: x22+ y =3( x + y) . Câu 4 Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A và C khác B). Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MA, MC. Đường thẳng KA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D. a/ Chứng minh rằng: KO2 – KM2 = R2. b/ Chứng minh rằng tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp. c/ Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MD với đường tròn (O) và N là trung điểm của KE. Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng bốn điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
7. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Nămhọc 2018 – 2019 Môn: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phútkhông kể thời gian giao đề Đề 7 Câu1 Rút gọn các biểu thức sau: 1/ A =4 2 − 3 8 + 18. xx− 2 2 4 2/ B = −: 1 − , (với xx 0, 4 ). x − 4 xx++22 Câu2 1/ Giải phương trình: 3xx2 − 2 − 1 = 0. 2xy+= 3 13 2 Giải hệ phương trình: . 21xy−= Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol P có phương trình yx= 2 và đường thẳng d có ( ) ( ) phương trình y=21( m +) x − m2 (vớim là tham số). 1/ Tìm điều kiện của m để đường thẳng (d ) cắt parabol( P) tại hai điểm phân biệt A và B. 2/ Gọi xx12, lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để (2xx12+ 1)( 2 + 1) = 13. Câu 4 Cho đường tròn(O) , đường kính AB. Lấy điểm H thuộc đoạn AB (H khác A và B), đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt đường tròn tại hai điểm C và D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi N là giao điểm của AM và CD. 1/ Chứng minh tứ giác BMNH nội tiếp đường tròn. 2/ Chứng minh MA là tia phân giác củaCMD. 3/ Chứng minh AD2 = AM AN 4/ GọiI là giao điểm của BC và AM; P là giao điểm của AB và DM. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CMP. Câu 5 2 2 2 Cho các số thực abc, , 0thỏa mãn abc+ + = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 + + 1. 4−ab 4 − bc 4 − ca Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
8. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HÀ NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 8 Bài 1. 1+−aa 1 1 1 Cho biểu thức: Q= + −1 − a2 − 2 a + 1 với 0 a 1. 2 2 11+aa − − 11−aa − + a a a/ Rút gọn Q. b/ So sánh Q và Q 3 Bài 2. 1/ Giải phương trình: ( x+ 9 − 3)( 9 − x + 3) = 2x. 2/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (P) : y= x2 ; hai đường thẳng y== m(d);y m2 (d) với 12 0 m 1. Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt C;D. Với hoành độ hai điểm A; D là số âm. Tìm m sao cho diện tích tứ giác ABCD gấp 9 lần diện tích tam giác OCD. Bài 3. Tìm các số nguyên dương x;y thỏa mãn: 7xy=+ 3.2 1. Bài 4. Cho đường tròn ()O và đường thẳng ()d cố định; ()O và không có điểm chung. Điểm P di động trên đưởng thẳng ()d . Từ điểm P vẽ hai tiếp tuyến PA; PB (AB; thuộc đường tròn). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC, điểm E là giao điểm của hai đường thẳng CP;. AH Gọi điểm F là giao điểm của hai đường thẳng CP và đường tròn (O ). 1/ Chứng minh E là trung điểm của đoạn AH. 2/ Vẽ dây cung CN của đường tròn ()O sao cho CN song song với AB. Gọi I là giao IF A F điểm của hai đường thẳng NF và AB. Chứng minh ==;.IA IB IB A C 3/ Chứng minh I luôn thuộc đường thẳng cố định khi P di động trên ().d Bài 5. Một học sinh chấm tùy ý 6 điểm phân biệt vào trong hình tròn bán kính bẳng 1. Chứng minh luôn tồn tại hai điểm AB, trong 6 điểm đã cho thỏa mãn AB 1. Bài 6. Cho các số thực dương x;; y z thỏa mãn xy+ yz + zx x + y + z. x2 y 2 z 2 Chứng minh rằng: + + 1. x3+8 y 3 + 8 z 3 + 8 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
9. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN (Chung) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề 9 x − 41 1 Câu 1 Cho biểu thức: P =+ 1: với x 0; x ; x 1; x 4 . x−3 x + 2 2 x − 3 x + 1 4 a/ Rút gọn biểu thức P. b/ Tìm x sao cho P = 2019 . 10 c/ Với x 5, tìm giá trị nhỏ nhất của TP=+ . x Câu 2 11 Cho hai đường thẳng (d1): y=+ mx m và (d2): yx= − + (với m tham số, m 0). Gọi I( mm xy00; ) tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) với (d2). 22 Tính T=+ x00 y . 2 Câu 3: Gọi xx12; là hai nghiệm phương trình: x+(2 − m ) x − 1 − m = 0 (m tham số). a/ Tìm m để xx12−=22. 11 b/ Tìm m sao cho T =+22 đạt giá trị nhỏ nhất. (xx12++ 1) ( 1) Câu 4: a/ Giải phương trình: 4xx+ 8072 + 9 + 18162 = 5. x3− y 3 +3 x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0 b/ Giải hệ phương trình: 22 x+ y −31 x = Câu 5: Cho đường tròn tâm O bán kính a và điểm J có JO = 2a. Các đường thẳng JM, JN theo thứ tự là các tiếp tuyến tại M, tại N của đường tròn (O). Gọi K là trực tâm của tam giác JMN, H là giao điểm của MN với JO. a/ Chứng minh rằng: H là trung điểm của OK. b/ Chứng minh rằng: K thuộc đường tròn tâm O bán kính a. c/ JO là tiếp tuyến của đường tròn tâm M bán kính r. Tính r. d/ Tìm tập hợp điểm I sao cho từ điểm I kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (O) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Câu 6: Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa mãn: 12x+ 10 y + 15 z 60 . Tìm giá trị lớn nhất của T= x2 + y 2 + z 2 −44 x − y − z . Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
10. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán, Tin) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề 10 Câu 1. 1/ Cho phương trình: x22−2 mx + m − 2 m + 4 = 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm không âm xx12, . Tính theo m giá trị biểu thức P=+ x12 x và tìm giá trị nhỏ nhất của P. x2 + 2 2/ Cho hàm số y = . Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên. x + 2 Câu 2. 1/ Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a+2 b + 5 c = 0. Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm. 3 2/ Giải phương trình: (4x3− x + 3) 3 = x 3 : 2 Câu 3. Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với tốc độ đều trong 3 giờ, cây nến thứ hai cháy hết với tốc độ đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều để đến 4 giờ chiều, phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất? Câu 4. Cho các số x, y dương thỏa mãn điều kiện (x+ 1 + x22 )( y + 1 + y ) = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=+ x y . Câu 5. 1/ Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E, F. a/ Tính diện tích của nửa hình tròn đường kính BH. b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH. 2/ Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc nửa đường tròn, hai đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho diện tích MNPQ lớn nhất. Câu 6. 1 1 1 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện + + =1. Tìm giá trị lớn nhất abc2 2 2 1 1 1 biểu thức: P = + + . 5a2+ 2ab + 2b 2 5b 2 + 2bc + 2c 2 5c 2 + 2ca + 2a 2 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
11. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. Hà Nội Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 11 Bài I. 1/ Giải phương trình: x22+3 x + 8 = ( x + 5) x + x + 2. 22 y−2 xy = 8 x − 6 x + 1 2/ Giải hệ phương trình: y2= x 3 +81 x 2 − x + Bài II. 1/ Cho pq; là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh pq44+ 2019 chia hết cho 20. 2/ Cho các số nguyên dương a;;; b c d thỏa mãn a b c d;ad = bc;d − a 1. a/ Chứng minh a+ d b + c b/ Chứng minh a là số chính phương. Bài III 1/ Với các số thực xyz;; thay đổi và thỏa mãn xyz = 1, Chứng minh rằng: 1 1 1 + + = 1. xy+ x + 1 yz + y + 1 zx + z1 + 1 1 1 2/ Cho các số thực dương thay đổi và thỏa mãn + + = 3. Tìm giá trị lớn nhất của xyz 1 1 1 biểu thức P = + + . 2x2+ y 2 + 3 2 y 2 + z 2 + 3 2 z 2 + x 2 + 3 Bài IV Cho tứ giác ABCD (không có hai cạnh nào song song) nội tiếp đường (O ). Các tia BA; CD cắt nhau tại điểm F. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo ACBD;. Vẽ hình bình hành AEDK. 1/ Chứng minh tam giác FKD đồng dạng với tam giác FEB. 2/ Gọi MN; tương ứng là trung điểm của các cạnh ADBC;. Chứng minh đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF. 3/ Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác EMN. Bài V Cho tập hợp S={ x Î Z / 1 £ x £ 50} . Xét A một tập con bất kì của tập hợp S có tính chất: Không có ba phần tử nào của tập hợp là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. 1/ Tìm tập hợp có đúng 40 phần tử và thỏa mãn điều kiện đề bài. 2/ Có hay không có một tập hợp có đúng 41 phần tử và thỏa mãn điều kiện đề bài? Hãy giải thích câu trả lời. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
12. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN TP. Hà Nội Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Tin ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 12 Bài I. 1/ Giải phương trình: x22+2 x + 7 = ( x + 3) x + 5. 22 (x− y )( x − y ) = 1 2/ Giải hệ phương trình: (x+ y )( x22 + y ) = 1 Bài II. 1/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn: 4x22+ 8 xy + 3 y + 2 x + y + 2 = 0. 2/ Cho hai số nguyên dương ab; thỏa mãn 3a22+ a = 4 b − b . Chứng minh ab+ là một số chính phương. Bài III 1/ Với các số thực xyz;; thay đổi và thỏa mãn xyz = 1, Chứng minh rằng: 1 1 1 + + = 1. xy+ x +1 yz + y + 1 zx + z + 1 2/ Cho các số thực dương thay đổi và thỏa mãn xyz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 1 1 thức P.= + + xyx1+ + yzy1 + + xzz1 + + Bài IV 1/ Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, đường cao BE và nội tiếp đường tròn (OR ; ). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O ). Đường thẳng BE cắt các đường thẳng ADAO; lần lượt tại các điểm IH;. Chứng minh BHBIR.= 22 . R 2/ Gọi M là trung điểm của AB. Lấy điểm N thuộc tia đối của tia OA sao cho ON = . 2 Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp. 3/ Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh đường thẳng KE đi qua trung điểm của đoạn OI. Bài V. Trên một đường tròn cho 2018 điểm phân biệt. An và Bình cùng chơi như sau: Mỗi lượt chơi, một bạn sẽ nối 2 điểm trong 2018 điểm đã cho để được một dây cung sao cho mỗi dây cung vừa được vẽ không có điểm chung với bất kì dây cung nào đã vẽ trước đó. Hai bạn luân phiên thực hiện chơi của mình. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người đi trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để An luôn là người chiến thắng. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
13. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN HÀ NỘI Năm học 2018 – 2019 Chuyên Sư Phạm (Vòng 1) Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề 13 Bài 1. Các số thực xy; không âm thỏa mãn (xy+ 1)( + 1) = 2. Tính giá trị của biểu thức: P= x2 + y 2 - 2(x 2 + 1)(y 2 + 1) + 2 + xy. Bài 2. Các số thực xyz;; không âm thỏa mãn x2+ y 2 + z 2 + x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = 6.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Q= x + y + z. Bài 3. ()ab+ 2 1/ Cho biểu thức: M = với ab; là hai số nguyên dương phân biệt. Chứng a3+ ab 2 − a 2 b − b 3 minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên. 2/ Cho ab; là hai số nguyên dương đặt: A=( a + b )2 − 2 a 2 ; B = ( a + b ) 2 − 2 b 2 Chứng minh AB; không đồng thời là số chính phương. Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, ABAC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt đường thẳng ABAC; theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác lấy điểm P sao cho AP⊥ PC. Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q.Chứng minh rằng: 1 / PB= PQ. 2/ O là trực tâm của tam giác ADE. · · 3/ PAO= QAC. Bài 5. Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: Nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong một cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp) 1/ Xây dựng ví dụ để S = 870. 2/ Chứng minh S 870. HẾT Đề 14 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
14. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Nghệ An Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Phan Bội Châu ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Câu I. a/ Giải phương trình: x−2 + 4 − x = 2 x2 − 5 x − 1. 2 xy−=34 y x b/ Giải hệ phương trình: y22+2 y + 7 = 7 x + 8 x Câu II. a/ Tìm các số nguyên xyz;; sao cho x2+ y 2 + z 2 +6 xy + 3 y + 4 z b/ Cho hai số nguyên dương mn; thỏa mãn mn++1 là một ước nguyên tố của 2(mn22+− ) 1. Chứng minh rằng mn. là số chính phương. Câu III. Cho a;; b c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 + + 3 aaab4− 3 + +2 bbbc 4 − 3 + + 2 ccac 4 − 3 + + 2 Câu IV. Cho tam giác ABC vuông tại AABAC() nội tiếp đường tròn (O ), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I. Đường thẳng BI cắt đường tròn ()O tại NNB(). a/ Chứng minh AN BI= DH BK b/ Tiếp tuyến của ()O tại D cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP c/ Tiếp tuyến của ()O tại C cắt DP tại M. Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M cắt OD tại QQD( ). Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn (O ). Câu V. Để phục vụ cho lễ khai mạc Word Cup 2018, ban tổ chức giải chuẩn bị 25 000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25 000. Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả bóng được sơn một màu). Chứng minh rằng trong 25 000 quả bóng nói trên tồn tại 3 quả bóng cùng màu được đánh số là a;; b c mà a chia hết cho bb; chia hết cho c và abc 17. Đề 15 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
15. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Vĩnh Phúc Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1. xx++1 3 10 Cho biểuthức: P = −:3 + vớixx 0; 4. x − 4 x−4 x + 4 x − 2 a/ Rút gọnP. b/ Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thứcP nhận giá trị nguyên. Bài 2. 2(1− m ) 1 Trong mặt phẳng tọa độOxy , cho đường thẳng():d y=+ x (m ¹ 2). Giả sử mm−−22 ()d cắt các trụcOx;O y lần lượt tạiAB;. a/ Khim = 3, tìm tọa độ các điểm Tính diện tích tam giácOAB. b/ Tìm tất cả các giá trị củam sao cho tam giác cân. Bài 3. 2 x+6 x + y + 5 = 0 a/ Giải hệ phương trình: (xy+ 3)4 + 5 = 16. xx3 b/ Giải phương trình: +=1. x22− x −2 x + 3 x − 2 Bài 4. Cho tam giácABC nhọn, nội tiếp đường tròn(OABAC );( ). Các tiếp tuyến tạiB vàC của ()O cắt nhau ở EAE; cắt tạiDA .Kẻ đường thẳng()d đi qua E và song song với tiếp tuyến tạiA của(O ), cắt các đường thẳngABAC; lần lượt tạiPQ;.GọiM là trung điểm củaBC. Đường thẳngAM cắt()O tạiNA . a/ Chứng minh tứ giácOBEC nội tiếp đường tròn, EB2 = ED EA b/ Chứng minh ABAPACAQ,.= và điểmE cách đều các đỉnh của tứ giácBCQP. c/ Chứng minh tứ giácBCND là hình thang cân. Bài 5. Cho a;; b c là các số thực dương thỏa mãn().a+− b c ab Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: c22 c ab P = + + . ()a+ b − c2 a 2 + b 2 ab+ Đề 16 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
16. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NINH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài I. 2 Cho biểu thức: A = 11 − 6+ 1 − 1 6 + 1 + 1 a/ Rút gọn A b/ Tìm một phương trình bậc hai ẩn x với hệ số nguyên nhận A −1 làm nghiệm. Bài II. 1/ Giải phương trình: 2x− 1 + x + 3 − 10 − x = 0 x22−5 + y + 4 x = 6 2/ Giải hệ phương trình: (xy+ 2)22 + = 29 Bài III. Chứng minh 4n −− 2019n 1 chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n. Bài IV. Cho đường tròn tâm O đường kính ABR= 2. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (C là tiếp điểm). Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với đường thẳng MC tại D và cắt đường thẳng AC tại E. a/ Chứng minh CE= CA b/ Gọi G là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác COB với đường thẳng MC. Tia CO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Chứng minh ba đường thẳng CB, EF, GO đồng quy. c/ Chứng minh BF+ OG2 2 R . Bài V. 0 a b c 1/ Cho các số thực a;; b c thỏa mãn điều kiện a+ b + c = 6. Chứng minh ac 1; 4. ab+ bc + ca = 9 2/ Cho lục giác đều có cạnh bằng 2.cm Bên trong lục giác lấy 13 điểm phân biệt sao cho 3 điểm bất kì không thẳng hàng. Chứng minh tồn tại một tam giác có diện tích không lớn hơn 3 cm 2 mà 3 đỉnh là 3 điểm trong 13 điểm nói trên. Đề 17 Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
17. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUÃNG NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chung ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài I. a/ Rút gọn biểu thức: 3 11 10 x y− y x xy− A = − − và B =− với xy;0 5+− 2 4 5 5 xy x+ y 4 b/ Giải phương trình: x −=5 x − 2 Bài II. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y= (2 k − 1) x + 3 (k là tham số) và parabol ():.P y= x 2 a/ Vẽ parabol ()P b/ Chứng minh với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng ()d luôn cắt tại hai điểm phân biệt. Bài III. m 2 a/ Tìm để phương trình: 2x+ (2 m − 1) x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt xx12; thỏa mãn điều kiện 3xx12−= 4 11 b/ Giải phương trình: x+3 + 6 − x − ( x + 3)(6 − x ) = 3. Bài IV. Cho hình vuông ABCD, lấy điểm K thuộc cạnh AD (K khác A và D). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CK, đường thẳng này cắt các đường thẳng CK, CD theo thứ tự tại I và H. a/ Chứng minh các tứ giác ABCI, AIDC nội tiếp đường tròn b/ Tính số đo HID. c/ Chứng minh HI HA= HD HC 1 1 1 d/ Đường thẳng BK cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh =+ BCBKBN2 2 2 Bài V. Cho a;; b c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2+ b 2 − c 2 c 2 + b 2 − a 2 a 2 + c 2 − b 2 + + 1. 2ab 2 bc 2 ac Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
18. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 18 Câu I. a+1 ab + a 2 a b + 2 ab a) Cho biểu thức: A = + + 1: với a; b 0; ab 1 Rút ab+−11 ab 1 −ab gọn biểu thức A, tìm GTLN của A khi a+= b ab. b) Tìm các cặp số nguyên (;)xy thỏa mãn đẳng thức x2 y 2− x 2 −6 y 2 = 2 xy . Câu II. a) Giải phương trình: 3x2++−43232322493 x 3 x 2 −−= x 3 x 2 −+− x 3 x 2 −− x 3 27 8x += 18 y 3 b) Giải hệ phương trình: 46xx2 +=1 2 y y Câu III. Cho hàm số yx= 2 2 và y= mx . Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt và ba đỉnh của tam giác đều. Câu IV. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM= 3MD. Kẻ tia Bx cắt CD tại I sao cho ABM= MBI. Kẻ tia phân giác của CBI, tia này cắt CD tại N. a) So sánh MN với AM+ NC b) Tính diện tích tam giác BMN theo a. Câu V. Cho đường tròn tâm O, dây cung AB không đi qua O. Điểm M nằm trên cung lớn AB. Các đường cao AE; BF của tam giác ABM cắt nhau ở H. a) Chứng minh OM vuông góc với EF. b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt MA; MB lần lượt tại C; D. Chứng minh khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định. Câu VI. a2+ b 2 c 2 + b 2 a 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 Cho ba số thực dương a;; b c . Chứng minh + + 3 a+ b c + b a + c a + b + c Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
19. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN KHÁNH HÒA Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 19 Bài I. a/ Giải phương trình: x2 +2 x + 2 = 3 x x + 1 b/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho a;; b c là độ dài ba cạnh của một tam giác cân. Bài II. a/ Chứng minh với mọi số thực a;; b c ta luôn có(abc+ + )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2( abbcac + + ) 1 1 1 1 b/ Cho ba số x; y ; z 0 đồng thời thỏa mãn x+ y + z =2; + + + = 4 và x2 y 2 z 2 xyz 1 1 1 + + 0. Tính giá trị của biểu thức Q=( y2017 + z 2017 )( x 2017 + z 2017 )( x 2017 + y 2017 ). x y z Bài III. Cho đường tròn (O) đường kính BC và H là một điểm nằm trên đoạn thẳng BO (H không trùng với hai điểm B và O). Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường tròn (O) tại A và D. Gọi M là giao điểm của AC và BD, qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại N. a/ Chứng minh tứ giác MNBA nội tiếp 2 BO OH b/ Tính giá trị của P =−2 ABBH c/ Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn(O), cắt hai đường thẳng AC, AN lần lượt tại K và E. Chứng minh đường thẳng EC luôn đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AH khi điểm H di động trên đoạn thẳng BO. 1+a2 1 + b 2 1 + c 2 Bài IV. Với a; b ; c 0 thỏa mãn a+ b + c = abc. Chứng minh + + 1 a b c Bài V. Để tiết kiệm chi phí vận hành đồng thời đưa du khách du lịch tham quan hết 18 danh lam thắng cảnh trong tỉnh K. Công ty Du lịch lữ hành KH đã thiết lập các tuyến một chiều như sau: nếu có tuyến đi từ A đến B và từ B đến C thì sẽ không có tuyến đi từ A đến C. Hỏi có bao nhiêu cách thiết lập để có thể đi hết 18 địa điểm trên? Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
20. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC NINH Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 20 Bài 1. a+ a2 − b 2 a − a 2 − b 24 a 4 − a 2 b 2 1/ Rút gọn biểu thức: P =− : với ab 0. 2 2 2 2 2 a− a − b a + a − b b 2/ Cho phương trình x2 + ax + b = 0 (1) với x là ẩn; ab; là tham số. Tìm biết phương xx12−=5 trình (1) có hai nghiệm xx; thỏa mãn 12 xx33−=35. 12 Bài 2. a/ Giải phương trình x+3 + 3 x + 1 = x + 3. b/ Cho các số thực a;; b c thỏa mãn điều kiện 0 a ; b ; c 2; a + b + c = 3.Tìm giá trị lớn a2++ b 2 c 2 nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ab++ bc ca Bài 3. a/ Tìm cặp số nguyên tố (;)xy thỏa mãn phương trình xy22−=2 1. b/ Chứng minh nếu hiệu các lập phương của hai số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n là tổng của hai số chính phương liên tiếp. Bài 4. 1/ Từ điểm A nằm ngoài đường tròn ()O kẻ hai tiếp tuyến ABAC; của đường tròn với BC; là các tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của AOBC;. Đường tròn đường kính CH cắt đường tròn tại DC . Gọi T là trung điểm của BD. a/ Chứng minh tứ giác ABHD nội tiếp. b/ Gọi E là giao điểm của đường tròn đường kính AB và ACEA( );Slà giao điểm của AO và BE. Chứng minh TS song song với HD. 2/ Cho hai đường tròn (OO12 );( ) cắt nhau tại hai điểm AB;. Gọi MN là tiếp tuyến chung của hai đường tròn với MONO (12 ); ( ).Qua A kẻ đường thẳng d song song với MN, cắt , BMBN, lần lượt tịa CDFGCDA; ; ; ( ; ). Gọi E là giao điểm củaCM;. DN Chứng minh EF= EG. Bài 5. Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số trong 20 số đã cho mà tích của hai số đó là số chính phương. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
21. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẾN TRE Năm học: 2018 - 2019 Môn: TOÁN – Chuyên Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Đề 21 Câu 1: a b+ a - b a - b Cho biểu thức P = với ab, là hai số thực dương. 1+ ab 1 a/ Rút gọn biểu thức P: . ( a++ b)(a b) b/ Tính giá trị của biểu thức P khi a =+2019 2 2018 và b =+2020 2 2019 . Câu 2: a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rẳng p2 −1 chia hết cho 24. b/ Cho phương trình x2 −2 mx − m − 4 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m đề phương 1 trình đã cho có hai nghiệm phân biệt xx12, thỏa 22 đạt giá trị lớn nhất. xx12+ Câu 3: a/ Giải phương trình: x32+1 = x − 3 x − 1. xy22+=42 b/ Giải hệ phương trình: . (x− 2 y )(1 − 2 xy ) = 4 Câu 4: a/ Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 − xy +2 = x + y . 41 b/ Cho hai số thực ab, thỏa ab+=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T =+. ab Câu 5: Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB. Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D. a/ Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp. b/ Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD. Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và NE. AD = 2R . ND c/ Chứng minh rằng CACN = COCD d/ Xác định vị trí của điểm M để 2AM+ AN đạt giá trị nhỏ nhất. Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh
22. SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VŨNG TÀU NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (Chung) Thời gian: 120 phút không kể thời gian giao đề. Đề 22 Câu 1 3 14 2 a) Rút gọn biểu thức: A= - +( 7 - 2) . 7- 2 7 b) Giải phương trình: 5xx2 + 2 5 + 1 = 0 . 3xy−= 2 16 c) Giải hệ phương trình: . xy+5 = − 23 Câu 2 a) Tìm tất cả giá trị của hệ số a để hàm số y=+ ax 2 đồng biến và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;3) . b) Cho đường thẳng (d ) : y= (3 − 2 m ) x − m2 và parabol ():P y= x2 . Tìm tất cả giá trị của tham số m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ xx12, và x1( x 2−1) + 2( x 1 − x 2) = 2 x 1 − x 2 . Câu 3 a) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 174m. Nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 2m thì diện tích mảnh vườn đó tăng thêm 215m2. Tính chiều rộng và chiều dài ban đầu của mảnh vườn. b) Giải phương trình: 5x4− 2 x 2 − 3 x 2 x 2 + 2 = 4 . Câu 4 Cho đường tròn (O) có AB là dây cung không đi qua tâm và I là trung điểm của dây AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M khác điểm A. Vẽ hai tiếp tuyến MC và MD đến (O) (tiếp điểm C thuộc cung nhỏ AB, tiếp điểm D thuộc cung lớn AB). a) Chứng minh tứ giác OIMD nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh MD2 = MA.MB. c) Đường thẳng OI cắt cung nhỏ AB của (O) tại điểm N, giao điểm của hai đường thẳng DN và MB là E. Chứng minh MCE cân tại M. 1 1 4 d) Đường thẳng ON cắt đường thẳng CD tại điểm F. Chứng minh: +=. OI.OF ME22 CD Câu 5 ab1 Cho ab 0, 0 và ab+ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức S = + + . 11+b + a a + b HẾT Xứ Nghệ - Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh