›
›
›

Tự ôn luyện thi đại học môn Toán

pdf 24 trang mainguyen 4250
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tự ôn luyện thi đại học môn Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftu_on_luyen_thi_dai_hoc_mon_toan.pdf

Nội dung text: Tự ôn luyện thi đại học môn Toán

  1. NGUY N ð C TU N T ƠN LUY N THI MƠN TỐN Hà n i, 1 - 2005
  2. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ch ươ ng 1: Ph ươ ng trình và b t ph ươ ng trình Bài 1: PH ƯƠ NG TRÌNH B C NH T VÀ B C HAI I. Cách gi i 1) Ph ươ ng trình b c nh t: ax + b = 0, a,b ∈IR. b • Nu a ≠ 0 thì ph ươ ng trình cĩ nghi m duy nh t x = - . a • Nu a = 0, b ≠ 0 thì ph ươ ng trình vơ nghi m. • Nu a = b = 0 thì ph ươ ng trình nghi m đúng v i m i x ∈IR. 2) Ph ươ ng trình b c hai : ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. • Nu ∆= b 2 – 4ac 0 ph ươ ng trình cĩ hai nghi m phân bi t x = . 2,1 2a II. ðnh lí Viét và h qu v d u các nghi m 2 ≠ 1) ðnh lí Viét : Nu ph ươ ng trình ax + bx + c = 0, a 0 cĩ hai nghi m x1 x, 2 thì b c S = x + x = - và P = x x. = . 1 2 a 1 2 a 2) H qu : Ph ươ ng trình b c hai ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 cĩ hai nghi m: ∆ ≥ 0 c  Trái d u ⇔ 0 a   ∆ ≥ 0 ∆ ≥ 0   c c Cùng d ươ ng ⇔  > 0 Cùng âm ⇔  > 0 a a  b  b − > 0 − 0 v i ∀ x. b • Nu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 v i ∀ x ≠ - . 2a • Nu ∆ > 0 khi đĩ f(x) cĩ hai nghi m phân bi t x 1 0 v i x ngồi x[ 1 x; 2 ] . < < a.f(x) < 0 v i x1 x x 2 . 2. ðnh lí đ o: N u t n t i s α sao cho a.f( α ) < 0 thì tam th c cĩ hai nghi m phân bi t α < α < và s n m trong kho ng hai nghi m đĩ: x1 x 2 . Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 1
  3. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn IV. ng d ng 1. ðiu ki n đ f(x) = ax 2 + bx + c khơng đi d u v i m i x a = b = 0 a = b = 0   c > 0 c ≥ 0 f(x) > 0 v i ∀ x ⇔ f(x) ≥ 0 v i ∀ x ⇔ a > 0 a > 0   ∆ 0 nghi m:   (f.a α) > 0  ∆ > 0  α - N u n m bên ph i hai nghi m: x1 x 2 ⇒  (f.a ) 0  S b  = − 0  α α - N u n m bên trái hai nghi m: x1 x 2 ⇒  (f.a ) 0  S b  = − > a 2 a2 • ðiu ki n đ f(x) cĩ hai nghi m phân bi t và m t nghi m n m trong, m t nghi m nm ngồi đon [ α;β ] là: f( α ).f( β ) α : • Tr ưng h p 2: f(x) cĩ nghi m x1 x 2  (f.a ) 0  α < S  2  (f α) = 0 • α = < ⇔  Tr ưng h p 3: f(x) cĩ nghi m x1 x 2  S α <  2 ( Làm t ươ ng t v i tr ưng h p x < α và khi x y ra d u b ng) Ngồi ra ta chú ý thêm đnh lí sau: Gi s hàm s y = f(x) liên t c. Khi đĩ điu ki n đ ph ươ ng trình f(x) = m cĩ nghi m là minf(x) ≤ m ≤ maxf(x). Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 2
  4. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bng tĩm t t đ nh lý thu n v d u c a tam th c b c hai Nu ∆ 0 a.f(x) > 0 v i x ngồi x[ x; ] a.f(x) > 0 v i ∀ x ∀ ≠ b 1 2 a.f(x) > 0 v i x - 0   (f.a α) > 0 0 ∆ > 0    (f.a α) > 0  (f.a α) > 0   S b S b  = − a 2 a2 2 a2 Ví d 1 . Tìm m đ ph ươ ng trình x 2 − (2 m + x)4 + m2 + 8 = 0 cĩ 2 nghi m d ươ ng. Ví d 2 . Xác đnh a đ bi u th c a( + x)1 2 − a(2 − x)1 + a3 − 3 luơn d ươ ng Ví d 3. Tìm m đ b t ph ươ ng trình x 2 + x − 2 ≥ m nghi m đúng v i m i x. 2 + + Ví d 4 . Tìm m đ ph ươ ng trình x mx 2m = 0 cĩ hai nghi m x1 x, 2 th a mãn < -1< x1 x 2 Ví d 5 . Tìm m đ ph ươ ng trình x 2 − 2mx + 2m2 −1 = 0 cĩ nghi m th a mãn − ≤ ≤ ≤ 2 x1 x 2 4 Ví d 6 . Cho ph ươ ng trình x 2 + (m + x)2 + 3m − 2 =0 Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ hai nghi m phân bi t nh h ơn 2 Ví d 7 . Tìm m đ ph ươ ng trình x 2 − 2mx + m + 2 = 0 cĩ nghi m l n h ơn 1 2 − + 2 − + = ≤ ≤ Ví d 8. Tìm m đ ph ươ ng trình x 6mx 9m 2m 2 0 cĩ nghi m x1 x 2 3 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 3
  5. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 2: PH ƯƠNG TRÌNH TRÙNG PH ƯƠ NG VÀ PH ƯƠ NG TRÌNH CH A GIÁ TR TUY T ð I I. Ph ươ ng trình trùng ph ươ ng ax 4 + bx 2 + c = a,0 ≠ 0 (1) ðt t = x 2 ≥ 0 ph ươ ng trình (1) tr thành: at 2 + bt + c = 0 (2) • PT (1) cĩ nghi m khi và ch khi (2) cĩ ít nh t m t nghi m khơng âm. • PT (1) cĩ đúng hai nghi m phân bi t khi và ch khi (2) cĩ đúng m t nghi m d ươ ng. • PT (1) cĩ đúng 3 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) cĩ m t nghi m b ng 0 và m t nghi m d ươ ng. • PT (1) cĩ đúng 4 nghi m phân bi t khi và ch khi (2) cĩ hai nghi m d ươ ng phân bi t. Ví d 1 . Cho ph ươ ng trình: x4 + (1-2m)x2 + m 2 – 1 = 0. a)Tìm các giá tr c a m đ ph ươ ng trình vơ nghi m. b)Tìm các giá tr c a m đ ph ươ ng trrình cĩ 4 nghi m phân bi t. Ví d 2. Tìm m sao cho đ th hàm s y = x 4 -2(m+4)x 2 + m 2 + 8 ct tr c hồnh l n l ưt t i 4 đim phân bi t A, B, C, D v i AB = BC = CD. II. Ph ươ ng trình ch a giá tr tuy t đ i 1) Các d ng c ơ b n: b ≥ 0 | a | = b ⇔  | a | = | b | ⇔ a = ±b a = ±b b < 0 b ≥ 0  | a | ≤ b ⇔  | a | ≥ b ⇔ b ≥ 0 2 ≤ 2  a b  2 2 a ≥ b | a | ≥ | b | ⇔ a 2 ≥ b2 Ví d 1 . Gi i ph ươ ng trình | x 2 – 3x + 2 | - 2x = 1. Ví d 2 . Gi i b t ph ươ ng trình x2 - | 4x – 5 | < 0. Ví d 3. Gi i và bi n lu n ph ươ ng trình | 2x – m | = x. Ví d 4. Gi i ph ươ ng trình 4|sinx| + 2cos2x = 3. Ví d 5 . Gi i và bi n lu n b t ph ươ ng trình | 3x 2 -3x – m | ≤ | x 2 – 4x + m |. 2) Ph ươ ng pháp đ th : a) Cách v đ th hàm s y = | f(x) | khi đã bi t đ th hàm s y = f(x). - Chia đ th hàm s f(x) ra 2 ph n: ph n đ th n m phía trên tr c hồnh (1) và ph n đ th n m phía d ưi tr c hồnh (2). - V ph n đ th đ i x ng v i ph n đ th (2) qua tr c hồnh đưc ph n đ th (3). - ð th hàm s y = | f(x) | là đ th g m ph n đ th (1) và ph n đ th (3) v a v. b) ðnh lí: S nghi m c a ph ươ ng trình g(x) = h(m) là s giao đim c a đưng th ng nm ngang y = h(m) v i đ th hàm s y = g(x). Khi g p ph ươ ng trình cĩ tham s ta tách riêng chúng v m t v c a ph ươ ng trình r i v đ th hàm s y = g(x) và đưng th ng y = h(m) r i áp dng đ nh lí trên đ bi n lu n. Ví d 6 . Tìm m đ ph ươ ng trình | x 2 – 1 | = m 4 – m 2 +1 cĩ 4 nghi m phân bi t. Ví d 7 . Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ươ ng trình | x – 1 | + | x + 2 | = m. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 4
  6. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 3: PH ƯƠ NG TRÌNH VÀ B T PH ƯƠ NG TRÌNH VƠ T I.Các d ng c ơ b n Dng 1: 2n+1 )x(f = ϕ )x( , n ∈ N * ⇔ f(x) = [ ϕ )x( ]2n+1 ϕ )x( ≥ 0 Dng 2: 2n )x(f = ϕ )x( , n ∈ N * ⇔   )x(f = [ϕ(x)]2n Dng 3:  )x(f ≥ 0  )x(f ≥ 0   )x(f 0 , )x(f ≤ ϕ )x( ⇔ ϕ )x( ≥ 0    )x(f ϕ )x( ⇔ , )x(f ≥ ϕ )x( ⇔ ϕ )x( ≥ 0 ϕ )x( ≥ 0    2  2  )x(f > [ϕ(x)]  )x(f ≥ [ϕ(x)] Ví d 1 . Gi i ph ươ ng trình x 2 − 2x + 3 = 2x +1 Ví d 2. Gi i b t ph ươ ng trình x 2 − x −12 2 − x Ví d 4 . Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ nghi m x − m = 2x 2 + mx − 3 II. Các ph ươ ng pháp gi i ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình vơ t khơng c ơ b n 1) Ph ươ ng pháp l ũy th a hai v : - ðt điu ki n tr ưc khi bi n đ i - Ch đưc bình ph ươ ng hai v c a m t ph ươ ng trình đ đưc ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng (hay bình ph ươ ng hai v c a m t b t ph ươ ng trình và gi nguyên chi u) nu hai v c a chúng khơng âm. - Chú ý các phép bi n đ i c ăn th c A2 = A . Ví d 5 . Gi i ph ươ ng trình x +1 = 3− x + 4 Ví d 6 . Gi i b t ph ươ ng trình x + 3 ≥ 2x −8 + 7 − x Ví d 7 . Gi i b t ph ươ ng trình 3 x − 5x + 5 > 1 Ví d 8. Gi i b t ph ươ ng trình x + 2 − x +1 ≤ x Ví d 9 .Gi i ph ươ ng trình 2x 2 + 8x + 6 + x 2 −1 = 2x + 2 Ví d 10 .Gi i b t ph ươ ng trình x 2 − 4x + 3 − 2x 2 − 3x +1 ≥ x −1 2)Ph ươ ng pháp đt n ph : - Nh ng bài tốn cĩ tham s khi đ t n ph ph i tìm t p xác đ nh c a n m i. - Chú ý các hng đ ng th c a( ± )b 2 = a 2 ± 2ab + b2 , a 2 − b2 = a( + b)(a − )b , Ví d 11 .Gi i b t ph ươ ng trình 5x 2 +10 x +1 ≥ 7 − x 2 − 2x Ví d 12. ii ph ươ ng trình x + 8 + 2 x + 7 + x +1− x + 7 = 4 Ví d 13 .Gi i ph ươ ng trình x + 2 + x − 2 = 4x −15 + 4 x 2 − 4 4 3x 2 + 2x − 2 Ví d 14 .Gi i ph ươ ng trình 9x 2 + = x 2 x 5 1 Ví d 15 .Gi i b t ph ươ ng trình 5 x + < 2x + + 4 2 x 2x Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 5
  7. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 4: H PH ƯƠ NG TRÌNH ðI X NG I. H ph ươ ng trình đi x ng lo i 1 1)Khái ni m: Là h mà m i ph ươ ng trình khơng đi khi ta thay x b i y và thay y b i x. 2)Tính ch t: Nu (x o, y o) là m t nghi m c a h thì (y o, x o) c ũng là nghi m c a h . 3)Cách gi i: x + y = S Bi n đi h ph ươ ng trình v d ng: H đã cho ⇔  (1)  y.x = P Khi đĩ x, y là nghi m c a ph ươ ng trình: t 2 −St + P = 0 (2) 2 Nu ∆ = S – 4P > 0 thì ph ươ ng trình (2) cĩ hai nghi m t 1 ≠ t 2 nên h ph ươ ng trình (1) cĩ hai nghi m phân bi t (t 1, t 2), (t 2, t 1). Nu ∆ = 0 thì ph ươ ng trình (2) cĩ nghi m kép t 1 = t 2 nên h (1) cĩ nghi m duy nh t (t 1, t 2). ðiu ki n đ h (1) cĩ ít nh t m t c p nghi m (x, y) th a mãn x ≥ 0, y ≥ 0 ∆ = S2 − 4P ≥ 0  S ≥ 0  P ≥ 0 x + y = 2 x y + y x = 30 x − y − xy = 3 Ví d 1 .Gi i h ph ươ ng trình    3 + 3 = 2 + 2 + = x y 26 x x + y y = 35 x y xy 1  x +1 + y −1 = m xy x( + 2)(y + )2 = 5m − 6 Ví d 2.Tìm m đ h sau cĩ nghi m   2 2 x + y = m2 − 4m + 6 x + y + x(2 + )y = 2m II. H ph ươ ng trình đi x ng lo i 2 1)Khái ni m: Là h ph ươ ng trình mà trong h ph ươ ng trình ta đi vai trị x, y cho nhau thì ph ươ ng trình n tr thành ph ươ ng trình kia. 2)Tính ch t: N u (x o, y o) là m t nghi m c a h thì (y o, x o) c ũng là nghi m c a h . 3)Cách gi i: Tr v v i v hai ph ươ ng trình c a h ta đưc ph ươ ng trình cĩ d ng: (x – y).f(x,y) = 0 ⇔ x – y = 0 ho c f(x,y) = 0.  2 = + 1 3 2 2 2 2x y x + xy = 40 y x y − 4 = y  y Ví d 3.Gi i các h ph ươ ng trình    3 + 2 = 2 − = 2 y x y 40 x xy 4 x  2 1 2y = x +  x 2x + y −1 = m x = y2 − y + m Ví d 4.Tìm m đ h sau cĩ nghi m:   2 2y + x −1 = m y = x − x + m Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 6
  8. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 5: MT S H PH ƯƠ NG TRÌNH D NG KHÁC I. H vơ t  x 2 + y2 + 2xy = 8 2 Ví d 1. Gi i h ph ươ ng trình   x + y = 4 x + y + xy = a Ví d 2. Gi i và bi n lu n  x − y = a   x + y + x − y = 2 Ví d 3 . Gi i h ph ươ ng trình   y + x − y − x =1  x − 2 − y = 2 Ví d 4. Gi i h ph ươ ng trình   2 − x + y = 2  x +1 + y = m Ví d 5. Tìm m đ h cĩ nghi m   y +1 + x =1 II. H h u t  3 + 2y =  2 2 1 x + y −1 x Ví d 6 . Gi i h ph ươ ng trình  4x x 2 + y2 + = 22  y x3 − y3 = 7 Ví d 7 . Gi i h ph ươ ng trình  xy x( − )y = 2 x3 + 4y = y3 +16 x Ví d 8. Gi i h ph ươ ng trình  1+ y2 = 1(5 + x 2 ) x − y = 1(a + xy ) Ví d 9 . Tìm a đ h cĩ nghi m  xy + x + y + 2 = 0 2 x(y 2 − y2 ) = 3x Ví d 10 . Gi i h ph ươ ng trình   x(x 2 + y2 ) =10 y x + y = m Ví d 11 .Tìm m đ h cĩ hai nghi m phân bi t:  x 2 − y2 + 2x = 2 x 2 − xy − y2 = −11 Ví d 12. Gi i h ph ươ ng trình   x( 2 − y2 )xy =180 x3 − y3 =19 x( − )y Ví d 13 . Gi i h ph ươ ng trình  x3 + y3 = x(7 + )y === Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 7
  9. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ch ươ ng 2: Ph ươ ng trình l ưng giác, m ũ, logarit Bài 1: PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯNG GIÁC I. Ph ươ ng trình l ưng giác c ơ b n Khi gi i các ph ươ ng trình l ưng giác cu i cùng d n đ n phép gi i các ph ươ ng trình lưng giác c ơ b n. Ta c n ghi nh b ng sau đây: Ph ươ ng trình ðiu ki n cĩ nghi m ðư a v d ng Nghi m sinx = m −1 ≤ m ≤1 sinx = sin α x = α + k2π  x = π − α + k2π cosx = m −1 ≤ m ≤1 cosx = cos α ± α + k2 π tgx = m mi m tgx = tg α α + k π cotgx = m mi m cotgx = cotg α α + k π b ng trên k nh n m i giá tr nguyên ( k ∈ Z ) . ðơ n v gĩc th ưng dùng là radian. ð thu n l i cho vi c ch n α ta c n nh giá tr c a hàm l ưng giác t i các gĩc đ c bi t. ðưng trịn l ưng giác s giúp ta nh m t cách rõ ràng h ơn. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 8
  10. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ví d 1. Gi i ph ươ ng trình: 2 π a) sin3x = ; b) sin(2x - ) = 1; c) sin( xπ) = 0. 2 5 Ví d 2 . Gi i ph ươ ng trình: π π π π a) cos2x = cos ; b) cos(3x - ) = cos(x + ); c) cosx = sin(2x + ). 5 3 2 4 π 8π Ví d 3 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 ( cos x − ) = 0 . 3 3 Ví d 4. Gi i ph ươ ng trình: cos( πsin )x = cos( 3πsin )x Ví d 5 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 x − sin 2 ( 2 )x =1 II . Ph ươ ng trình b c nh t đ i v i sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a 2 + b2 ≠ 0 Chia hai v c a ph ươ ng trình (1) cho a 2 + b2 , ta đưc: a b c (1) ⇔ sin x + cos x = (2) a 2 + b2 a 2 + b2 a 2 + b2 a b ðt = sin ϕ ; = cos ϕ . a 2 + b2 a 2 + b2 c Khi đĩ ph ươ ng trình l ưng giác cĩ d ng: cos(x - ϕ ) = (3) a 2 + b2 c Ph ươ ng trình cĩ nghi m khi và ch khi: ≤1 ⇔ a 2 +b2 ≥ c2 a 2 + b2 c Khi đĩ t n t i α ∈[ ;0 π] sao cho cos α = nên ta cĩ: a 2 + b2 (1) ⇔ cos( x − ϕ) = cos α ⇔ x = ϕ ± α + k2π ; k ∈ Z Ví d 6 . Gi i ph ươ ng trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví d 7 . Cho ph ươ ng trình: sinx + mcosx = 1 a) Gi i ph ươ ng trình v i m = - 3 . b) Tìm m đ ph ươ ng trình vơ nghi m. Ví d 8 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 x + 2 3 sin x cos x + 3sin 2 x = 1 Ví d 9 . Tìm α đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m x ∈ IR: 3 cos x + sin( x + α) = 2 Ví d 10 . Gi i ph ươ ng trình: sin 8x − cos 6x = 3(sin 6x + cos 8x).  π Ví d 11 . Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m x ∈  ;0  :  2  cos2x – msin2x = 2m – 1 Ví d 12 . Gi i ph ươ ng trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). 1 Ví d 13 . Gi i ph ươ ng trình: cos 2 4x − cos .x cos 4x − sin 2 x + = 0 4 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 9
  11. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn III. Ph ươ ng trình đng c p, ph ươ ng trình đi x ng đ i v i sinx và cosx 1) Ph ươ ng trình đng c p b c cao đ i v i sinx và cosx: Khái ni m: M t ph ươ ng trình sau khi bi n đ i v cosx, sinx mà t t c các s hng cĩ t ng s m ũ c a cosx và c a sinx ho c đ u là s t nhiên ch n ho c đ u là s t nhiên l thì ph ươ ng trình đĩ đưc g i là “ đng c p” đ i v i cosx và sinx. G i k là s l n nh t trong các t ng s m ũ nĩi trên đưc g i là b c c a ph ươ ng trình. Cách gi i: - Xét tr ưng h p cosx = 0 th vào ph ươ ng trình - Khi cos x ≠ 0 chia hai v ph ươ ng trình cho cos kx sau đĩ đt n ph t = tgx. Ví d 14. Gi i ph ươ ng trình: 2sin 3x = cosx π Ví d 15 . Gi i ph ươ ng trình: sin 3 x( + ) = 2 sin x 4 Ví d 16 . Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ nghi m: msin2x + cos2x + sin 2x +m = 0.  π π  Ví d 17: Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ đúng hai nghi m x n m trong kho ng − ;  :  2 2  3sin 4x – 2(m+2)sin 2x.cos 2x + (1 – m 2 )cos4x = 0. 2) Ph ươ ng trình đi x ng sinx và cosx: Khái ni m: Mt ph ươ ng trình sau khi bi n đ i v cosx, sinx mà các s h ng cĩ ch a t ng (cosx ± sinx ) ho c ch a tích cosx.sinx đưc g i là ph ươ ng trình đi x ng đ i vi cosx và sinx. Ví d ph ươ ng trình: a(cos x ± sin )x + b cos x.sin x + c = 0 . t 2 −1 Cách gi i: ðt t = sinx + cosx, ta cĩ t ≤ 2 . Khi đĩ: sinx.cosx = 2 1 − t 2 N u đ t t = sinx - cosx, ta cĩ t ≤ 2 . Khi đĩ: sinx.cosx = 2 Ví d 18 . Cho ph ươ ng trình: sinx.cosx = 6 ( sinx + cosx + m). a) Gi i h ph ươ ng trình v i m = - 1. b) Tìm m đ ph ươ ng trình cĩ nghi m. 3 Ví d 19 . Gi i ph ươ ng trình: 1+ sin 3 x + cos 3 x = sin 2x 2 3 Ví d 20. Gi i ph ươ ng trình: 1+ sin 3 2x + cos 3 2x = sin 4x 2 π 3π Ví d 21 . Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ nghi m x ∈  ,  : 4 4  cos 3 x + sin 3 x = m. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 10
  12. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn IV. Ph ươ ng trình đư a v d ng tích Các ph ươ ng trình l ưng giác khơng cĩ d ng nh ư nh ng ph ươ ng trình đã trình bày các mc tr ưc, ng ưi ta th ưng ngh ĩ t i phân tích chúng thành nh ng ph ươ ng trình c ơ b n. Vi c phân tích thành tích th c ch t là đi tìm th a s chung c a các s h ng cĩ trong ph ươ ng trình. ð làm đưc điu đĩ, chúng ta c n ph i thành th o các cơng th c l ưng giác, các hng đ ng th c đ i s đáng nh và c ũng c n ph i cĩ kinh nghi m nhìn nh n m i quan h gi a các s h ng cĩ trong ph ươ ng trình. 1 1 • Th các nghi m đ c bi t nh ư sin x = ±1, sin x = ± , cos x = ±1, cos x = ± 2 2 và ph ươ ng trình cĩ ch a th a s (cosx ± sinx). S d ng đ ng th c sin 2x + cos 2x = 1. • Dùng các cơng th c bi n đ i nh ư h b c, bi n đ i t ng thành tích , bi n đ i tích thành t ng, hàm s l ưng giác c a hai gĩc cĩ liên quan đc bi t. Chú thêm m t s bi n đ i sau đây: 2 1 cot gx + tgx = , cot gx − tgx = 2cot g2x , cot gx − cot g2x = sin 2x sin 2x • ðt các nhân t chung (nhân t chung suy ra t nghi m đã th đưc). Tham kh o thêm b ng h các bi u th c cĩ nhân t chung. f(x) Bi u th c ch a th a s f(x) sinx sin2x, tgx, tg2x, cosx sin2x, tg2x, cotgx, 1+cosx x x cos 2 , cot g2 , sin 2x, tg 2x 2 2 1-cosx x x sin 2 , tg 2 , sin 2x, tg 2x 2 2 1+sinx π x π x cos 2x, cotg 2x, cos 2 ( − ) , sin 2 ( + ) 4 2 4 2 1-sinx π x π x cos 2x, cotg 2x, cos 2 ( + ), sin 2 ( − ) 4 2 4 2 sinx+cosx cos2x, cotg2x, 1+ sin2x, 1+ tgx, 1+ cotgx, tgx - cotgx sinx-cosx cos2x, cotg2x, 1 - sin2x, 1 - tgx, 1 - cotgx, tgx - cotgx Ví d 1 .Gi i ph ươ ng trình: cos3x – 2cos2x + cosx = 0 . 3 Ví d 2 .Gi i ph ươ ng trình: sin 2x + sin 22x + sin 23x = 2 1 Ví d 3. Gi i ph ươ ng trình: cos3x.cos4x + sin2x.sin5x = ( cos2x + cos4x). 2 Ví d 4 .Gi i ph ươ ng trình: 2sin 3x + cos2x + cosx = 0 Ví d 5 .Gi i ph ươ ng trình: sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx) 1+ tgx Ví d 6. Gi i ph ươ ng trình: =1+ sin 2x 1− tgx  π x  Ví d 7 .Gi i ph ươ ng trình sin .x cos 4x − sin 2 2x = 4sin 2  −  .  4 2  Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 11
  13. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Bài 2: PH ƯƠ NG TRÌNH, H PH ƯƠ NG TRÌNH M Ũ, LOGARIT I. Các k t qu c ơ b n 1) Hàm s m ũ: y = a x, 0 1 hàm s đ ng bi n. Khi 0 0 ). • Tp giá tr: IR • Khi a > 1 hàm s đ ng bi n. Khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • Dng đ th : Chú ý: Trong các b t ph ươ ng trình m ũ, logarit, c ơ s a l n h ơn hay bé hơn 1 quy t đ nh chi u c a b t ph ươ ng trình. Vì v y ph i chú ý đ n chi u c a b t ph ươ ng trình trong quá trình bi n đ i. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 12
  14. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn b)Các cơng th c chú ý: b > 0 • log b cĩ ngh ĩa ⇔  a 0 0 và 0 a 1) a n a • 2k = ∈ log a b 2 .k log a |b| vi k Z . II. Các ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình cĩ d ng c ơ b n 1) Ph ươ ng trình m ũ: Cho 0 0 Dng 1: a )x(f = b ⇔  =  )x(f log a b a >1   0) ⇔ 0  )x(f log a b Dng 3: a )x(f > b - Nu b ≤ 0 b t ph ươ ng trình nghi m đúng v i m i x thu c t p xác đ nh ca b t ph ươ ng trình. a >1   >  )x(f log a b - Nu b > 0, khi đĩ b t ph ươ ng trình t ươ ng đươ ng v i: 0 1   )x(f )x(g Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 13
  15. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 2)Ph ươ ng trình logarit = ⇔ = b Dng 1: log a )x(f b )x(f a . a >1  0 a a >1   )x(f > a b Dng 3: log )x(f > b ⇔ a  1  0 Ví d 2 . Gi i b t ph ươ ng trình: log x 5( x 8x )3 2 x + 3 = Ví d 3. Tìm m đ ph ươ ng trình sau cĩ hai nghi m phân bi t: log 2 9( 9m ) x Ví d 4 . Gi i ph ươ ng trình: − + + = log x (cos x sin )x log 1 (cos x cos 2 )x 0 x [ x − ]≤ Ví d 5. Gi i b t ph ươ ng trình: log x log 3 9( 72 ) 1 − < − Ví d 6. Gi i b t ph ươ ng trình: log 1 ( 5 )x log 1 3( )x 3 3 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 14
  16. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn III. Các ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình khơng c ơ b n • Ph i đ t điu ki n. • Nh ng bài tốn cĩ tham s , đ t n ph ph i tìm t p xác đ nh c a n m i. • Nh ng bài tốn ph ươ ng trình, b t ph ươ ng trình m ũ, logarit mà n x v a s mũ c a l ũy th a, v a h s , th ưng chuy n v vi c phân tích thành th a s , nh m nghi m và ch ng minh nghi m duy nh t đ i v i ph ươ ng trình; xét d u ca tích đi v i b t ph ươ ng trình. • Khi bài tốn ph c t p, cĩ nh ng ph n t gi ng nhau hay nhân t gi ng nhau ta cĩ th đ t n ph đ đưa bài tốn tr lên đơ n gi n h ơn. 1 + + 1 + Ví d 7 . Gi i ph ươ ng trình: 4.3 x + 9x 2 = 4.6 x 1 − 9x 1 3 4 Ví d 8. Gi i ph ươ ng trình: 3.8 x + 2.3 x = 24 + 6x log (35 − x3 ) Ví d 9. Gi i b t ph ươ ng trình: a > 3 (v i 0 1 + Ví d 13. Gi i b t ph ươ ng trình: log 3 x 5x 6 log 1 x 2 log 1 x( )3 3 2 3 − + + − − = Ví d 14. Gi i ph ươ ng trình: log 1 x( )1 log 1 x( )1 log 1 7( )x 1 2 2 2 Ví d 15 . Gi i ph ươ ng trình: lg 4 x( − )1 2 + lg 2 x( − )1 3 = 25 + + 2 + 2 + + = Ví d 16. Gi i ph ươ ng trình: log 3x+7 9( 12 x 4x ) log 2x+3 6( x 23 x 21 ) 4 Ví d 17 . Tìm m đ ph ươ ng trình sau đây cĩ hai nghi m trái d u: (m + 3)16x + 2( m − 4)4 x + m +1 = 0 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 15
  17. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ch ươ ng 3: Kh o sát hàm s và các bài tốn liên quan Bài 1: KH O SÁT HÀM S Sơ đ kh o sát hàm s 1) Tìm t p xác đ nh c a hàm s (Xét tính ch n l , tính tu n hồn (n u cĩ)). 2) Kh o sát s bi n thiên hàm s a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s • Tính đo hàm • Tìm các đim t i h n (ðim t i h n thu c TX ð và t i đĩ f ′ )x( khơng xác đnh ho c b ng 0) • Xét d u c a đ o hàm trong các kho ng xác đ nh b i các đim t i h n. (Gi a hai đim t i h n k nhau thì f ′ )x( gi nguyên m t d u) • Suy ra chi u bi n thiên hàm s trong m i kho ng (ðng bi n n u f ′ )x( >0, ngh ch bi n n u f ′ )x( <0). b) Tính các c c tr (suy ra ngay t phn xét chi u bi n thiên) c) Tìm các gi i h n c a hàm s • Khi x d n t i vơ c c ( x → +∞ và x → −∞ ) • Khi x d n t i bên trái và bên ph i, các giá tr c a x t i đĩ hàm s khơng → + → − xác đnh ( x x o , x x o ) • Tìm ti m c n (n u là hàm s phân th c) - N u lim )x(f = ∞ thì x = x o là mt ti m c n đ ng c a hàm s x→∞ )x(f - Ti m c n xiên: y = ax + b . Trong đĩ a = lim ; b = lim )x(f[ − ax ] x→∞ x x→∞ → +∞ → −∞ → + → − (khi x ( x ), x x o ( x x o ) thì đĩ là ti m c n bên ph i (trái)) d) Xét tính l i, lõm và tìm đim u n c a đ th hàm s (n u là hàm s đa th c) • Tính đo hàm c p 2 • Xét d u c a đ o hàm c p 2 • Suy ra tính l i, lõm và đim u n c a đ th (l p b ng l i lõm) ( n u f ′′ )x( < 0vi ∀x ∈ )b;a( thì đ th hàm s l i trên kho ng đĩ) e) L p b ng bi n thiên (ghi t t c các k t qu tìm đưc vào b ng bi n thiên) 3)V đ th • Chính xác hĩa đ th (tìm giao đim c a đ th v i các tr c t a đ và nên ly thêm m t s đim c a đ th , nên v ti p tuy n m t s đim đ c bi t) • V đ th ( đc l i các ví d m u SGK t trang 80 đ n trang 97). Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 16
  18. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn BÀI 2: CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ðN KH O SÁT HÀM S I. Tìm giao đim c a hai đưng = = Gi s hàm s y )x(f cĩ đ th là (C) và hàm s y )x(g cĩ đ th là (C1) . Rõ ràng Mo x( o y; o ) là giao đim c a (C) và (C1) khi và ch khi x( o y; o ) là nghi m c a h ph ươ ng trình y = )x(f  y = x(g = Do đĩ đ tìm hồnh đ các giao đim c a (C) và (C1) ta gi i ph ươ ng trình: )x(f )x(g (1) S nghi m c a ph ươ ng trình chính là s giao đim c a hai đ th (C) và (C1) . Nu x o x, 1, là các nghi m c a (1) thì các đim Mo x( o x(f; o )), M1 x( 1 x(f; 1)) là các giao đim c a (C) và (C1) . Bài tốn: Tìm m đ đ th hàm s c t đưng th ng t i m t s đim th a mãn yêu c u bài tốn. Ví d 1 . Bi n lu n theo m s giao đim c a đ th các hàm s x 2 − 6x + 3 y = và y = x − m x + 2 Ví d 2. Bi n lu n s nghi m c a ph ươ ng trình x3 + 3x 2 − 2 = m x 2 + x −1 Ví d 3 . V i giá tr nào c a k thì đưng th ng y = kx − k + 2 c t đ th hàm s y = x −1 ti hai đim phân bi t. x 2 + 4x + 3 Ví d 4 . Tìm k đ đưng th ng y = kx + 1 c t đ th y = t i hai đim phân bi t x + 2 x 2 + x −1 Ví d 5 . Tìm m đ đưng th ng y = −x + m c t đ th y = t i hai đim phân bi t x −1 mx 2 + x + m Ví d 6 . Tìm m đ đ th hàm s y = c t tr c hồnh t i 2 đim phân bi t cĩ hồnh x −1 đ d ươ ng. − x 2 + 3x − 3 Ví d 7 . Tìm m đ đưng th ng y = m c t đ th hàm s y = t i hai đim A và B x(2 − )1 sao cho đ dài đon AB = 1. Ví d 8 . Tìm m đ đ th y = x3 + 3x 2 + mx + 1 c t đưng th ng y = 1 t i 3 đim phân bi t. 1 2 Ví d 9 . Tìm m đ đ th y = x 3 − mx 2 − x + m + c t tr c hồnh t i 3 đim phân bi t. 3 3 1 Ví d 10. Tìm a đ đưng th ng y = x(a + )1 +1 c t đ th hàm s y = x +1+ t i hai đim x + 2 cĩ hồnh đ trái d u. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 17
  19. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn II. Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n Cho hàm s y = f(x) cĩ đ th (C) a) Ph ươ ng trình ti p tuy n c a đưng cong (C) t i đim Mo x( o x(f; o )) − = ′ − y yo f x( o )( x x o ) b) Ph ươ ng trình đưng th ng đi qua đim M1 x( 1 y; 1 ) và ti p xúc v i (C) − = − ⇔ = − + ðưng th ng d đi qua M1 x( 1 y; 1) cĩ d ng y y1 x(k x1) y x(k x1) y1 ð cho đưng th ng d ti p xúc v i (C), h ph ươ ng trình sau ph i cĩ nghim: y = x(k − x ) + y  1 1 f ′ )x( = k = ′ H ph ươ ng trình này cho phép xác đnh hồnh đ xo ca ti p đim và h s gĩc k f )x( Chú ý : Hai đ th hàm s y = )x(f và y = )x(g ti p xúc v i nhau n u và ch n u h ph ươ ng trình sau đây cĩ nghi m:  )x(f = )x(g  f ′ )x( = g′ )x( c) Ph ươ ng trình đưng th ng cĩ h s gĩc k và ti p xúc (C). Ph ươ ng trình đưng th ng cĩ h s gĩc k cĩ d ng y = kx + b ti p xúc v i đ th (C), ta gi i ′ = ph ươ ng trình f )x( k tìm đưc hồnh đ các ti p đim x o x, 1 x, 2 , T đĩ suy ra ph ươ ng trình các ti p tuy n ph i tìm: − = − y yi x(k x i ) ( i = 0, 1, ) Bài tốn : Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a hàm s khi bi t ph ươ ng c a ti p tuy n ho c đi qua mt đim cho tr ưc nào đĩ. Ví d 1 . Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th (C) c a hàm s y = 2( − x 2 )2 bi t ti p tuy n đĩ đi qua đim A(0 ; 4) 1 Ví d 2 . Vi t ph ươ ng trình các đưng th ng vuơng gĩc v i đưng th ng y = x + 3 và tip xúc 4 vi đ th hàm s y = )x(f = −x 3 + 3x 2 − 4x + 2 Ví d 3. Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th (C) c a hàm s y = −x 3 + 3x + 1 bi t ti p tuy n đĩ song song v i đưng th ng y = −9x +1 Ví d 4. T g c t a đ cĩ th k đưc bao nhiêu tip tuy n c a đ th hàm s y = x 3 + 3x 2 +1 Vi t ph ươ ng trình các ti p tuy n đĩ. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 18
  20. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn 1 3 Ví d 5 . Cho hàm s y = − x 4 − 3x 2 + cĩ đ th là (C) 2 2 a) Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i các đim u n. 3 b) Tìm ti p tuy n c a (C) đi qua đim A ;0( ) 2 Ví d 6. Cho hàm s 3x + 2 y = cĩ đ th là (C). x + 2 Ch ng minh r ng, khơng cĩ ti p tuy n nào c a đ th (C) đi qua giao đim c a hai ti m c n c a đ th đĩ. Ví d 7 . Cho hàm s 1 y = x − cĩ đ th là (C) x +1 Ch ng minh r ng trên (C) t n t i nh ng c p đim mà ti p tuy n t i đĩ song song v i nhau. Ví d 8 . Cho hàm s x 2 + mx − 2m − 4 y = cĩ đ th (C) x + 2 Gi s ti p tuy n t i M ∈(C) ct hai ti m c n t i P và Q. Ch ng minh r ng MP=MQ x 2 − 4x + 5 Ví d 9 . Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n v i đ th hàm s y = bi t r ng ti p tuy n đi x − 2 qua đim A(1;1). x 2 − x −1 Ví d 10. Vi t ph ươ ng trình ti p tuy n c a đ th y = bi t ti p tuy n song song v i x +1 đưng th ng y = − x . x 2 − x −1 Ví d 11. Cho hàm s y = cĩ đ th là (C) x +1 Tìm t t c các đim trên tr c tung mà t đĩ cĩ th k đưc 2 ti p tuy n v i đ th (C) x 2 + 3x + a Ví d 12. Tìm a đ đ th y = cĩ ti p tuy n vơng gĩc v i đưng th ng y = x. x +1 Ví d 13. Tìm m đ đ th y = 2mx 3 − 4( m2 + x)1 2 + 4m2 ti p xúc v i tr c hồnh. mx 2 + 3mx + 2m +1 Ví d 14. Tìm m đ đ th y = ti p xúc v i đưng th ng y = m. x + 2 Ví d 15. Tìm a đ ti m c n xiên c a đ th 2x 2 + a( + x)1 − 3 y = x + a ti p xúc v i parabơn y = x 2 + 5. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 19
  21. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn III. S đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s Cho hàm s y = f(x) cĩ đ o hàm trên kho ng (a;b) a) Hàm s f(x) đ ng bi n trên (a;b) ⇔ f ′ )x( ≥ 0 v i ∀x ∈ )b;a( b) Hàm s f(x) ngh ch bi n trên (a;b) ⇔ f ′ )x( ≤ 0 v i ∀x ∈ )b;a( Bài tốn : Yêu c u tìm m đ cho hàm s đ ng bi n, ngh ch bi n trong m t kho ng nào đĩ Chú ý: Cn n m v ng các đnh lý v d u c a tam th c b c hai Ví d 1. Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 2(3 m − x)1 + 1 Xác đnh m sao cho hàm s đ ng bi n trên t p xác đnh. Ví d 2. Cho hàm s y = 2x 2 + 2mx + m −1 Xác đnh m sao cho hàm s đ ng bi n trong kho ng (− ;1 +∞ ) Ví d 3. Cho hàm s y = x3 + 3x 2 + (m + x)1 + 4m Tìm m đ hàm s ngh ch bi n trên (-1,1) x 2 + (2 m + x)1 + 2 Ví d 4. Cho hàm s y = x +1 Tìm m đ hàm s đ ng bi n trong kho ng ;0( +∞ ) 1 Ví d 5. Cho hàm s y = x3 − mx 2 + 2( m − x)1 − m + 2 3 Tìm m đ hàm s ngh ch bi n trên (-2;0). 2x 2 − 3x + m Ví d 6. Cho hàm s y = x −1 Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên ,3( +∞ ) Ví d 7. Cho hàm s y = x 3 − (3 m − x)1 2 + 3m(m − x)2 + 1 Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên t p h p các giá tr c a x sao cho 1≤ x ≤ 2 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 20
  22. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn IV.Cc đ i và c c ti u Cho hàm s y = f(x) , x o thu c t p xác đ nh c a hàm s . N u khi x đi qua x o đo hàm đi du thì xo là m t đim c c tr c a hàm s . o Nu đ i d u t + sang – thì x o là đim c c đ i c a hàm s . o Nu đ i d u t - sang + thì x o là đim c c ti u c a hàm s . ð tìm các đim c c tr c a hàm s ta cĩ hai quy t c: o Tìm các đim t i h n sau đĩ xét d u c a đ o hàm f ′ )x( ′ ′′ o Gi i ph ươ ng trình f )x( = 0. G i xi là các nghi m. Xét d u c a f )x( Bài tốn : Tìm m đ hàm s y = f(x) cĩ c c tr và các đim c c tr th a mãn điu ki n nào đĩ. - Tìm điu ki n m đ cho đ o hàm c a hàm s cĩ đ i d u (s l n đ i d u b ng s c c tr ) - Tìm t a đ c a các đim c c tr r i đ t ti p điu ki n c a m đ th a mãn điu ki n mà bài tốn yêu c u. x 2 + mx +1 Ví d 1. Tìm m đ hàm s y = đt c c đ i t i x = 2. x + m Ví d 2. Cho hàm s y = (m + x)2 3 + 3x 2 + mx + m Vi giá tr nào c a m, hàm s cĩ c c đ i và c c ti u. x 2 + 2x + m Ví d 3. Ch ng minh r ng hàm s y = luơn cĩ m t c c đ i và m t c c ti u. x 2 + 2 Ví d 4. Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + 2(3 m − x)1 + 1 Xác đnh m sao cho hàm s cĩ m t c c đ i và m t c c ti u. Tính t a đ c a đim c c ti u. Ví d 5. Cho hàm s y = −x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 Bi n luân theo m s c c tr c a hàm s . x 2 + mx + 2m +1 Ví d 6. Cho hàm s y = mx +1 Xác đnh m sao cho hàm s cĩ c c tr và ti m c n xiên c a đ th đi qua g c t a đ . x 2 + mx − 2m − 4 Ví d 7. Cho hàm s y = x + 2 Xác đnh m đ hàm s cĩ hai c c tr . Ví d 8. Tìm a và b đ các c c tr c a hàm s 5 y = a 2x3 + 2ax2 − 9x + b 3 5 đu là nh ng s d ươ ng và x = − là đim c c đ i. o 9 Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 21
  23. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Ví d 9. Cho hàm s y = 2x 2 + 2mx + m −1 Xác đnh m sao cho hàm s cĩ c c tr trong kho ng (− ,1 +∞ ) Ví d 10. Xác đnh m sao cho hàm s mx 2 + 2( − 4m x) + 4m −1 y = x −1 Cĩ c c tr trong mi n x > 0. mx 2 + x + m Ví d 11. Cho hàm s y = . x + m Tìm m đ hàm s khơng cĩ c c tr . Ví d 12. Cho hàm s y = x3 − 3mx 2 + (m2 + 2m − x)3 + 4 . Tìm m đ đ th hàm s cĩ c c đ i, c c ti u n m hai phía tr c tung. x 2 + x + m Ví d 13. Cho hàm s y = . x + 1 Tìm m đ đ th hàm s cĩ c c đ i, c c ti u n m hai phía tr c tung x 2 + 2( m + x)3 +m2 +4m Ví d 14. Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ hàm s y = cĩ hai x + m cc tr và giá tr c a đim c c tr t ươ ng ng trái d u nhau. x 2 + (m + x)1 − m +1 Ví d 15. Cho hàm s y = cĩ hai c c tr và giá tr c a đim c c tr tươ ng x − m ng cùng d u nhau. Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 22
  24. T ơn luy n thi đ i h c mơn tốn Nguy n ð c Tu n l p 44C1 ð i h c Th y l i Hà n i 23