Trắc nghiệm và tự luận Giải tích Lớp 12 - Các dạng bài tập số phức - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

48 trang binhdn2 09/01/2023 4731

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm và tự luận Giải tích Lớp 12 - Các dạng bài tập số phức - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

trac_nghiem_va_tu_luan_giai_tich_lop_12_cac_dang_bai_tap_so.docx

Nội dung text: Trắc nghiệm và tự luận Giải tích Lớp 12 - Các dạng bài tập số phức - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TỰ LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM I – LÝ THUYẾT CHUNG 1. Khái niệm số phức • Tập hợp số phức: C • Số phức (dạng đại số) : z a bi (a, b R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) • z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0) z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0) Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. a a ' • Hai số phức bằng nhau: a bi a’ b’i (a,b,a ',b' R) b b' Chú ý: i4k 1; i4k 1 i; i4k 2 -1; i4k 3 -i 2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi u (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức) y b .M(a;b) x O a 3. Cộng và trừ số phức: • a bi a’ b’i a a’ b b’ i • a bi a’ b’i a a’ b b’ i • Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi • u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u u ' biểu diễn z + z’ và u u ' biểu diễn z – z’. 4. Nhân hai số phức : • a bi a ' b'i aa’ – bb’ ab’ ba’ i • k(a bi) ka kbi (k R) 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi z1 z1 2 2 • z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z '; ; z.z a b z2 z2 • z là số thực z z ; z là số ảo z z 6. Mơđun của số phức : z = a + bi  • z a 2 b2 zz OM • z 0, z C , z 0 z 0 z z • z.z ' z . z ' • • z z ' z z ' z z ' z ' z ' 7. Chia hai số phức: a+bi aa'-bb' ab' a 'b • Chia hai số phức: i . a'+b'i a '2 b'2 a '2 b'2 1 z ' z '.z z '.z z ' • z 1 z (z 0)• z 'z 1 • w z ' wz z 2 z z 2 z.z z 8. Căn bậc hai của số phức:
2 2 2 x y a • z x yi là căn bậc hai của số phức w a bi z w 2xy b • w = 0 cĩ đúng 1 căn bậc hai là z = 0 • w 0 cĩ đúng hai căn bậc hai đối nhau • Hai căn bậc hai của a > 0 là a • Hai căn bậc hai của a 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (a, b R) (z ≠ 0) r a 2 b2 a cos ( là acgumen của z, = (Ox, OM). r b sin r c) Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác : Nếu z = r(cos + isin ), z’ = r’(cos ’ + isin ’) thì: z.z’ = rr’[cos( + ’) + isin( + ’)] z r cos( ') isin( '). z' r ' d) Cơng thức Moa-vrơ : Với n là số nguyên, n 1 thì : r(cos isin )n rn (cos n isin n ) Khi r = 1, ta được : (cos isin )n (cos n isin n ) e) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác : Các căn bậc hai của số phức z = r(cos + isin ) (r > 0) là : r cos isin và 2 2 r cos isin r cos isin . 2 2 2 2
II – CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ 3 1 Ví dụ 1: Cho số phức z = i . Tính các số phức sau: z ; z2; ( z )3; 1 + z + z2 2 2 Giải: 3 1 3 1 a) Vì z = i z = i 2 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 2 i2 i i b) Ta cĩ z = i = = 2 2 4 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 1 3 ( z ) = i i i i 2 2 4 4 2 2 2 3 2 1 3 3 1 3 1 3 3 ( z ) =( z ) . z = i i i i i 2 2 2 2 4 2 4 4 3 1 1 3 3 3 1 3 Ta cĩ: 1 + z + z2 = 1 i i i 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 2: Tìm các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i 1 x 3x y 2y 1 7 Giải hệ này ta được: 5x x y 4 y 7 Ví dụ 3: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính tốn bài này, ta chú ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ đĩ suy ra luỹ thừa của đơn vị ảo như sau: Ta cĩ: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1 Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i;  n N* Vậy in {-1;1;-i;i},  n N. n 1 n Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n = i . i Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + 1 + 1 = 2 16 8 1 i 1 i Ví dụ 4: Tính số phức sau: z = 1 i 1 i 1 i (1 i)(1 i) 2i Giải: Ta cĩ: i 1 i 2 2 16 8 1 i 1 i 1 i i . Vậy =i16 +(-i)8 = 2 1 i 1 i 1 i Ví dụ 5: Tìm phần ảo của z biết: z 3z 2 i 3 2 i (1) Giải: Giả sử z=a+bi
(1) a bi 3a 3bi 8 12i 6i2 i3 2 i 2 11i . 2 i 15 4a 2bi 4 2i 22i 11i2 20i 15 a ;b 10 . 4 Vậy phần ảo của z bằng -10 Ví dụ 6: Cho z1 3 i,z2 2 i Tính z1 z1z2 Giải: 2 2 z1 z1z2 3 i 3 i 2 i 10 10 0i z1 z1z2 10 0 10 z1 z2 3 Ví dụ 7: Cho z1 2 3i, z2 1 i . Tính z1 3z2 ; ; z1 3z2 z2 Giải: 2 2 +) z1 3z2 2 3i 3 3i 5 6i z1 3z2 5 6 61 z1 z2 3 4i 3 4i 1 i 7 i z1 z2 49 1 5 2 +) 2 z2 1 i 1 i 2 z2 4 4 2 3 2 3 3 +) z1 3z2 8 36i 54i 27i 3 3i 49 6i z1 3z2 2437 Ví dụ 8: Tìm các căn bậc hai của số phức z 5 12i Giải: Giả sử m+ni (m; n R) là căn bậc hai của z Ta cĩ: (m ni)2 5 12i m2 2mni n2i2 5 12i m2 2mni n2 5 12i m2 n2 5(1) m2 n2 5 6 2mn 12 m (2) n 2 6 2 4 2 Thay (2) vào (1) ta cĩ: n 5 36 n 5n n n4 5n2 36 0 n2 4;n2 9(loai) n 2 m 3 n 2 m 3 Vậy z cĩ hai căn bậc hai là 3+2i và -3-2i Ví dụ 9: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta cĩ: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Biết rằng số phức z x iy thỏa z2 8 6i . Mệnh đề nào sau đây sai? x4 8x2 9 0 x2 y2 8 A. B. 3 xy 3 y x x 1 x 1 2 2 C. hay D. x y 2xy 8 6i y 3 y 3 Câu 2: Cho số phức z m 1 m 2 i, m R . Giá trị nào của m để z 5 m 6 A. 2 m 6 B. 6 m 2 C. 0 m 3 D. m 2
2 i 2 1 2i 3 Câu 3: Viết số phức dưới dạng đại số: 3 i 11 7 13 7 11 7 11 7 A. i B. i C. i D. i 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: a 0 A. Số phức z a bi 0 khi và chỉ khi b 0 B. Số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy. C. Số phức z a bi cĩ mơđun là a 2 b2 D. Số phức z a bi cĩ số phức đối z ' a bi 1 Câu 5: Cho số phức z a bi,a,b R và các mệnh đề. Khi đĩ số z z là: 2 1) Điểm biểu diễn số phức z là M a;b . 1 2) Phần thực của số phức z z là a; 2 3) Mơdul của số phức 2z z là 9a 2 b2 4) z z A. Số mệnh đề đúng là 2 B. Số mệnh đề đúng là 1 C. Số mệnh đề sai là 1 D. Cả 4 đều đúng Câu 6: Mệnh đề nào sau đây sai. A. z1 z2 z1 z2 B. z 0 z 0 C. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 1là đường trịn tâm O, bán kính R = 1 D. Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau Câu 7: Cho hai số phức z1 4 3i, z2 4 3i, z3 z1.z2 . Lựa chọn phương án đúng: 2 A. z3 25 B. z3 z1 C. z1 z2 z1 z2 D. z1 z2 3 i 3 i Câu 8: Cho các số phức z , z ' . Trong các kết luận sau: 5 7i 5 7i (I). z z ' là số thực, (II). z z ' là số thuần ảo, (III). z z ' là số thực, Kết luận nào đúng? A. Cả I, II, III. B. Chỉ II. III. C. Chỉ III, I. D. Chỉ I, II. 2009 3 i i 2 z z 2 Câu 9: Cho số phức z 1. Xét các số phức z2 z và  z z . Khi đĩ z 1 z 1 A. , R B. , đều là số ảo C.  R, là số ảo D. R, là số ảo 1 3 Câu 10: Cho số phức z = i . Số phức 1 + z + z2 bằng: 2 2 1 3 A. i B. 2 - 3i C. 1 D. 0 2 2 Câu 11: Giá trị biểu thức 1 i i2 i3 i2017 là: A. 1 i B. i C. i D. 1 i Câu 12: Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau: A. (1 i)2018 21009 i B. (1 i)2018 21009 i C. (1 i)2018 21009 D. (1 i)2018 21009 Câu 13: Cho z1,z2 £ và các đẳng thức:
z1 z1 z1 . z2 z1.z2 ; ; z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 . z2 z2 Số đẳng thức đúng trong các đẳng thức trên là: A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 Câu 14: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? A. (1 i)8 16 B. (1 i)8 16 C. (1 i)8 16i D. (1 i)8 16i Câu 15: Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng? A. i2006 i B. i2345 i C. i1997 1 D. i2005 1 Câu 16: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ? A. 2 2i 2 B. 2 3i 2 3i 3 2i C. 2 3i . 2 3i D. 2 3i Câu 17: Giá trị của 1 i2 i4 i4k với k N* là A. 2ki B. 2k C. 0 D. 1 Câu 18: Các số x; y R thỏa mãn đẳng thức (1 i)(x yi) (2y x)i 3 2i . Khi đĩ tổng x 3y là: A. - 7 B. - 1 C. 13 D. - 13 Câu 19: Cho số phức z = x + yi ; x, y ¢ thỏa mãn z3 = 18 + 26i. Giá trị của T (z 2)2012 (4 z)2012 là: A. 21007 B. 31007 C. 21007 D. 21006 n 13 3 9i Câu 20: Các số nguyên dương n để số phức là số thực ? số ảo ? là: 12 3 i A. n = 2 + 6k, k ¢ B. n = 2 + 4k, k ¢ C. n = 2k, k ¢ D. n = 3k, k ¢ z Câu 21: Cho số phức z 2i 3 khi đĩ bằng: z 5 12i 5 6i 5 12i 5 6i A. B. C. D. 13 11 13 11 3 1 i 3 Câu 22: Tính số phức z : 1 i A. 1 + i B. 2 + 2i C. 2 – 2i D. 1 – i 5 1 i 5 6 7 8 Câu 23: Cho z , tính z z z z . 1 i A. 4 B. 0 C. 3 D. 1 Câu 24: Tính giá trị P i i2 i3 i11 là A. −1 B. 0 C. 1 + i D. 1 – i 2007 Câu 25: Tính P 1 5i 1 3i kết quả là A. 22007 i B. 2007i C. 22007 D. 22007 i Câu 26: Giá trị của biểu thức A i105 i23 i20 – i34 là: A. 2i B. 2 C. 2i D. 2 z2 1 Câu 27: Nếu z 1 thì z A. Là số ảo B. Bằng 0 C. Lấy mọi giá trị phức D. Lấy mọi giá trị thực 16 8 1 i 1 i Câu 28: Số phức z bằng: 1 i 1 i A. i B. 2 C. i D. 2
a b iz 1 3i z 2 Câu 29: Biết số phức z i ( với a, b, c là những số tự nhiên) thỏa mãn z . Khi c c 1 i đĩ giá trị của a là: A. - 45 B. 45 C. - 9 D. 9 x 1 y 1 Câu 30: Cho x, y là 2 số thực thỏa điều kiện: là: x 1 1 i A. x 1; y 1 B. x 1; y 2 C. x 1; y 3 D. x 1; y 3 3 z1 z2 Câu 31: Cho z1 2 3i;z2 1 i . Tính : (z1 z2 ) 61 85 A. 85 B. C. 85 D. 5 25 Câu 32: Cho hai số phức z1 ax b, z2 cx d và các mệnh đề sau: 1 z (I) 2 2 ; (II) z1 z2 z1 z2 ; (III) z1 z2 z1 z2 . z1 a b Mệnh đề đúng là: A. Chỉ (I) và (III) B. Cả (I), (II) và (III) C. Chỉ (I) và (II) D. Chỉ (II) và (III) Câu 33: Tìm căn bậc hai của số phức z 7 24i A. z 4 3i và z 4 3i B. z 4 3i và z 4 3i C. z 4 3i và z 4 3i D. z 4 3i và z 4 3i 1 Câu 34: Cho z 5 3i . Tính z z ta được kết quả là: 2i A. 3i B. 0 C. 3 D. 6i Câu 35: Cho số phức z a bi, a,b ¡ . Nhận xét nào sau đây luơn đúng? A. z 2 a b B. z 2 a b C. z 2 a b D. z 2 a b 1 9i Câu 36: Tìm các căn bậc 2 của số phức z 5i 1 i A. 4i B. 2i C. 2 D. 4 Câu 37: Tính 1 i 6 ta được kết quả là: A. 4 4i B. 4 4i C. 8i D. 4 4i 2024 i Câu 38: Giá trị của là 1 i 1 1 1 1 A. B. C. D. 22024 21012 22024 21012 7 3 i Câu 39: Tính z ta được kết quả viết dưới dạng đại số là: 2 2 3 i 1 3 3 i 1 3 A. B. i C. D. i 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 40: Tìm các căn bậc hai của - 9 A. - 3 B. 3 C. 3i D. 3i 1 3 Câu 41: Cho z i . Tính 1 z z2 2 2 A. 2 B. - 2 C. 0 D. 3 Câu 42: Tìm số phức  z1 2z2 , biết rằng: z1 1 2i, z1 2 3i. A.  3 4i. B.  3 8i. C.  3 i. D.  5 8i. Câu 43: Tích 2 số phức z1 1 2i và zi 3 i
A. 5 B. 3 - 2i C. 5 - 5i D. 5 5i Câu 44: Tổng của hai số phức 3 i;5 7i là A. 8 8i B. 8 8i C. 8 6i D. 5 6i Câu 45: Các số thực x và y thỏa (2x + 3y + 1) + ( - x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i là 9 9 9 x x x 11 11 11 A. Kết quả khác B. C. D. 4 4 4 y y y 11 11 11 25i Câu 46: Biết số phức z 3 4i . Số phức là: z A. 4 3i B. 4 3i C. 4 3i D. 4 3i Câu 47: Cho biết: 1 i3 i 2 i4 i 3 i 1 3 2 i Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai A. Chỉ (3) sai B. Chỉ (2) sai C. Chỉ (1) và (2) sai D. Cả (1), (2), (3) sai Câu 48: Tổng 2 số phức 1 i và 3 i A. 1 3 B. 2i C. 1 3 i D. 1 3 2i Câu 49: Cho 2 số phức z1 2 i, z2 1 i . Hiệu z1 z2 A. 1 + i B. 1 C. 2i D. 1 + 2i Câu 50: Tính 3 4i (2 3i) ta được kết quả: A. 3 i B. 5 7i C. 1 7i D. 1 i Câu 51: Đẳng thức nào đúng A. (1 i)4 4 B. (1 i)4 4i C. (1 i)8 16 D. (1 i)8 16 z Câu 52: Cho số phức z = 2i + 3 khi đĩ bằng: z 5 12i 5 12i 5 6i 5 6i A. z B. z C. z D. z 13 13 11 11 Câu 53: Số 12 5i bằng: A. - 12.5 B. 7 C. 13 D. ` 119 Câu 54: Giá trị biểu thức (1 - i 3 ) 6 bằng: A. 64 B. 25 C. 24 D. Kết quả khác z1 Câu 55: Tính , với `z1 1 2i và z2 2 i z2 A. 1 - i B. - i C. 1 + i D. I Câu 56: Giá trị `i2008 bằng A. i B. - 1 C. - i D. 1 Câu 57: Nghịch đảo của số phức 5 2i là: 5 2 5 2 5 2 A. ` i B. ` i C. ` i D. 29 29 29 29 29 29 Câu 58: Tìm cặp số thực x, y thỏa mãn: ` x 2y 2x y i 2x y x 2y i 1 1 2 1 2 A. x y B. x ; y C. x y 0 D. x ; y 2 3 3 3 3 Câu 59: Giá trị biểu thức (1 + i)10 bằng A. i B. Kết quả khác C. – 32i D. 32i Câu 60: Dạng đơn giản của biểu thức (4 3i) (2 5i) là: A. 1 + 7i B. 6 + 2i C. 6 – 8i D. 1 – 7i Câu 61: Các căn bậc hai của 8 + 6i là
1 3 i 1 3 i 1 3 i A. Kết quả khác B. C. D. 2 3 i 2 3 i 2 3 i Câu 62: Số nào sau đây bằng số 2 i 3 4i A. 5 4i B. 6 11i C. 10 5i D. 6 i 2 i 1 2i 2 i 1 2i Câu 63: Cho z . Trong các két luận sau, kết luận nào đúng? 2 i 2 i 22 A. z.z B. z là số thuần ảo C. z ¡ D. z z 22 5 Câu 64: Thu gọn z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i) ta được: A. z = 5 + 3i B. z = - 1 – 2i C. z = 1 + 2i D. z = - 1 – i Câu 65: Thu gọn z = i(2 – i)(3 + i) ta được: A. z 2 5i B. z 5i C. z 6 D. z 1 7i Câu 66: Kết quả của phép tính (2 3i)(4 i) là: A. 6 - 14i B. - 5 - 14i C. 5 - 14i D. 5 + 14i Câu 67: Số phức z = 1 i 3 bằng: A. 4 3i B. 3 2i C. 4 4i D. 2 2i Câu 68: Số phức z thỏa mãn: 1 i z 2 3i 1 2i 7 3i . là: 3 1 1 1 3 1 3 A. z 1 i B. z i C. z i D. z i . 2 2 2 2 2 2 2 3 4i Câu 69: Số phức z bằng: 4 i 16 11 16 13 9 4 9 23 A. z i B. z i C. z i D. z i 15 15 17 17 5 5 25 25 4 i Câu 70: Thực hiện các phép tính sau: A = (2 3i)(1 2i) ;. 3 2i 114 2i 114 2i 114 2i 114 2i A. B. C. D. 13 13 13 13 Câu 71: Rút gọn biểu thức z i (2 4i) (3 2i) ta được: A. z 1 2i B. z –1– i C. z –1– i D. z 5 3i Câu 72: Rút gọn biểu thức z i(2 i)(3 i) ta được: A. z 6 B. z 1 7i C. z 2 5i D. z 5i 3 4i Câu 73: Thực hiện các phép tính sau: B = . (1 4i)(2 3i) 3 4i 62 41i 62 41i 62 41i A. B. C. D. 14 5i 221 221 221 Câu 74: Kết quả của phép tính (a bi)(1 i) (a, b là số thực) là: A. a b (b a)i B. a b (b a)i C. a b (b a)i D. a b (b a)i Câu 75: Cặp số (x; y) thõa mãn điều kiện (2x 3y 1) ( x 2y)i (3x 2y 2) (4x y 3)i là: 9 4 9 4 4 9 4 9 A. ; B. ; C. ; D. ; 11 11 11 11 11 11 11 11 Câu 76: Các số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i là 1 4 2 4 1 4 1 4 A. (x; y) ; B. (x; y) ; C. (x; y) ; D. (x; y) ; 7 7 7 7 7 7 7 7 Câu 77: Các số thực x, y thoả mãn: x2 -y-(2y 4)i 2i là: A. (x; y) ( 3; 3);(x; y) ( 3;3) B. (x; y) ( 3;3);(x; y) ( 3; 3) C. (x; y) ( 3; 3);(x; y) ( 3; 3) D. (x; y) ( 3;3);(x; y) ( 3; 3)
2 2 3i Câu 78: Thu gọn z = ta được: A. z 11 6i B. z = - 1 - i C. z 4 3i D. z = - 7 + 6 2i Câu 79: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 – 3i) ta được: A. z 4 B. z 9i C. z 4 9i D. z 13 Câu 80: Cho hai số phức z1 1 2i;z2 2 3i . Tổng của hai số phức là A. 3 – 5i B. 3 – i C. 3 + i D. 3 + 5i Câu 81: Tìm các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức: x 3 5i y 1 2i 3 35 23i A. (x; y) = ( - 3; - 4) B. (x; y) = ( - 3; 4) C. (x; y) = (3; - 4) D. (x; y) = (3; 4) Câu 82: Tìm các căn bậc hai của số phức sau: 4 + 65 i A. z1 = 3 - 5 i và z2 = - 3 - 5 i B. Đáp án khác C. z1 = - 3 + 5 i và z2 = 3 + 5 i D. z1 = 3 + 5 i và z2 = - 3 - 5 i Câu 83: Các căn bậc hai của số phức 117 44i là: A. 2 11i B. 2 11i C. 7 4i D. 7 4i Câu 84: Cho 2 số thực x, y thỏa phương trình: 2x 3 (1 2y)i 2(2 i) 3yi x . Khi đĩ: x2 3xy y 49 47 43 A. B. C. D. - 1 45 45 45 Câu 85: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z (2 i)2 4 i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là: A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 Câu 86: Cho các mệnh đề i2 1, i12 1, i112 1, i1122 1. Số mệnh đề đúng là: A. 3 B. 0 C. 1 D. 4 Câu 87: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z x yi thỏa mãn z3 18 26i x 3 x 3 x 3 x 1 A. B. C. D. y 1 y 1 y 1 y 3 1 m Câu 88: Xét số phức z (m R) . Tìm m để z.z 1 1 m(m 2i) . A. m 0,m 1 B. m 1 C. m 1 D. m 1 z w Câu 89: Cho hai số phức z và w thoả mãn z w 1 và 1 z.w 0. Số phức là: 1 z.w A. Số thực B. Số âm C. Số thuần ảo D. Số dương 2017 1 i Câu 90: Cho số phức z . Khi đĩ z.z7 .z15 1 i A. i B. 1 C. i D. 1 Câu 91: Phần ảo của số phức z = 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 + + (1 + i)20 bằng: A. 210 B. 210 + 1 C. 210 – 1 D. - 210 Câu 92: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai? A. z z là một số thực B. z z là một số ảo C. z.z là một số thực D. z2 z 2 là một số ảo Câu 93: Tổng ik + ik + 1 + ik + 2 + ik + 3 bằng: A. i B. - i C. 1 D. 0 C - ĐÁP ÁN 1D, 2C, 3D, 4D, 5A, 6A, 7A, 8D, 9C, 10D, 11D, 12A, 13D, 14B, 15B, 16A, 17D, 18D, 19A, 20D, 21C, 22B, 23B, 24A, 25A, 26B, 27C, 28B, 29B, 30A, 31A, 32D, 33D, 34C, 35B, 36B, 37C, 38D, 39C,
4DC, 41C, 42B, 43D, 44C, 45D, 46A, 47D, 48D, 49D, 50C, 51D, 52A, 53C, 54A, 55D, 56D, 57C, 58C, 59D, 60B, 61D, 62C, 63C, 64D, 65D, 66C, 67D, 68D, 69B, 70B, 71C, 72B, 73B, 74B, 75B, 76C, 77C, 78D, 79D, 80B, 81D, 82D, 83A, 84A, 85C, 86A, 87C, 88B, 89D, 90A, 91B, 92D, 93D.
DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC TÍNH CHẤT A – CÁC VÍ DỤ (1 i)(2 i) Ví dụ 1: Tìm mơ đun của số phức z 1 2i 5 i 1 Giải: Ta cĩ : z 1 i 5 5 2 1 26 Vậy, mơ đun của z bằng: z 1 5 5 (1 i 2) 1 i 2 Ví dụ 2: Tìm mơđun của z biết z 2z (1) 2 i 2 (1 i 2) 1 2i i 2i 2 2i2 Giải: (1) a bi 2a 2bi 2 i 2 i (2i 2 2) 2 i i(4 2 2) 4 2 2 3a bi 4 i2 5 4 2 2 4 2 2 a ;b 15 5 32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2 z 225 15 5(z i) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn 2 i (1) . Tính mơđun của số phức  1 z z2 . z 1 Giải: Giả sử z=a+bi 5(a bi i) (1) 2 i a bi 1 5a 5i(b 1) 2a 2bi 2 ai bi2 i 3a 2 b i(5b 5 2b a 1) 0 3a 2 b 0 a 1 z 1 i 3b a 4 0 b 1  1 1 i 1 2i 1 2 3i  4 9 13 2(1 2i) Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn: (2 i)z 7 8i (1) . Tìm mơđun của số phức  z 1 i 1 i Giải: Giả sử z a bi 2(1 2i) (1) (2 i)(a bi) 7 8i 1 i 2(1 2i)(1 i) 2a 2bi ai bi2 7 8i 1 i2 2a b 3 7 a 3 2a 2bi ai bi 1 i 2i 2i2 7 8i 2b a 1 8 b 2 Do đĩ  3 2i 1 i 4 3i  16 9 5 . Ví dụ 5: Tính mơđun của số phức z biết: (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i (1) Giải: (1) (2a 2bi 1))(1 i) (a bi 1)(1 i) 2 2i 2a 2ai 2bi 2bi2 1 i a ai bi bi2 1 i 2 2i 3a 3ba ai bi 2i 2 2i
1 a 3a 3b 2 3 1 1 2 Suy ra z . a b 2 2 1 9 9 3 b 3 n Ví dụ 6: Tìm n là số nguyên dương và n 1,10 sao cho số phức z 1 i 3 là số thực n n Giải: Ta cĩ: 1 + i 3 = 2 cos isin z = 2n cos isin 3 3 3 3 n n Để z R 2n.sin = 0 sin = 0 n chia hết cho 3, mà n nguyên dương [1;10] n 3 3 [3;6;9] B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 i Câu 1: Mơ đun của số phức  z z2 , với (2 i).z 5 i bằng: 1 i A. 2 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 3 2 Câu 2: Số nào trong các số sau là số thuần ảo ? 2 3i A. ( 2 3i) ( 2 3i) B. (2 2i)2 C. D. ( 2 3i).( 2 3i) 2 3i Câu 3: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nĩ, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ? A. | z | 1 B. z là một số ảo C. z ¡ D. | z | 1 Câu 4: Cho số phức z thỏa | z 1 2i | | z |. Khi đĩ giá trị nhỏ nhất của | z | là: 5 A. 1 B. 5 C. 2 D. 2 a b 2 Câu 5: Tìm các số phức a và b biết biết phần ảo của a là số dương. a.b 9 A. a 2 8i,b 2 8i B. a 1 3i,b 1 3i C. a 1 5i,b 1 5i D. a 1 8i,b 1 8i Câu 6: Khi số phức z thay đổi tùy ý thì tập hợp các số 2z 2z là A. Tập hợp các số thực dương B. Tập hợp tất cả các số thực C. Tập hợp tất cả các số phức khơng phải là số ảo D. Tập hợp các số thực khơng âm 1 Câu 7: Cho z là số phức khác 0 thỏa mãn z . Mệnh đề nào dưới đây là đúng z A. z là số thực B. z cĩ mơ đun bằng -1 C. z là số thuần ảo D. z cĩ điểm biểu diễn nằm trên đường trịn x2 y2 1 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn: 3(z 1 i) 2i(z 2) . Khi đĩ giá trị của | z(1 i) 5 | là: A. 4 B. 29 C. 5 D. 6 Câu 9: Cho z = m + 3i, z’ = 2 – (m +1)i. Giá trị nào của m sau đây để z.z’ là số thực ? A. m = -2 hoặc m = 3 B. m = -1 hoặc m = 6 C. m = 2 hoặc m = -3 D. m = 1 hoặc m = 6 (2 i)3 (2 i)3 Câu 10: Số phức liên hợp của số phức z là: (2 i)3 (2 i)3 2 2 A. i B. 2 i C. 2 i D. i 11 11 z 2z 1 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z 2i . Mơ đun của số phức w là: z2 A. 2 2 B. 5 C. 10 D. 2 5
(1 3i)3 Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z . Mơ đun của số phức w = z iz 1 i A. 16 B. 8 C. 8 3 D. 8 2 Câu 13: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện (3 2i)z (2 i)2 4 i . Phần ảo của số phức w (1 z)z là: A. 2 B. 2 C. 1 D. 0 Câu 14: Phần ảo của số phức z thỏa mãn z 3z 1 2i 2 là: A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 Câu 15: Số phức z thỏa mãn 1 i 2 2 i z 8 i 1 2i z cĩ mơ đun là A. 1 B. 5 C. 17 D. 13 Câu 16: Cho số phức z thỏa 1 i 2 (2 i)z 8 i 1 2i z . Phần thực của số phức z là: A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 Câu 17: Mơ đun của số phưc z 1 4i 1 i 3 là: A. 5 B. 1 C. 2 D. 3 2(1 2i) Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 7 8i . Mơ đun của số phức w z i 1 1 i A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 19: Tìm mơ đun của số phức z thỏa mãn: (1 2i)(z i) 4i(i 1) 7 21i A. z 5 B. z 3 7 C. z 2 3 D. z 9 Câu 20: Cho số phức z thõa mãn điều kiện: 2 3i z 4 i z 1 3i 2 . Phần ảo của z là: A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 1 Câu 21: Số phức liên hợp của z (1 i)(3 2i) là: 3 i 53 9 53 9 53 9 53 9 A. z i B. z i C. z i D. z i 10 10 10 10 10 10 10 10 (1 3i)3 Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn z . Mơ đun của số phức w = z iz 1 i A. 8 B. 16 C. D. 8 3 Câu 23: Cho số phưc z thỏa điều z z 1 i z z 2 3i 4 i . Phần ảo của là: 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 2 3 4 3i 2 Câu 24: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn: 1 z z 3 i 8 13i 2i 1 A. 2 B. 3 C. 1 D. 7 2 Câu 25: Cho z . Số phức liên hợp của z là: 1 i 3 1 3 1 3 A. 1 i 3 B. i C. i D. 1 i 3 2 2 2 2 (4 3i)(2 i) Câu 26: Cho w z2 z 1 tìm phần thực của số phức nghịch đảo của w biết: z 5 4i 63 3715 3715 34 A. B. C. D. 41 27389 1681 41 Câu 27: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều cĩ nghĩa): 1) Số phức và số phức liên hợp của nĩ cĩ mơ đun bằng nhau
z 2 3i z 2 3i 2) Với thì mơ đun của z là: 3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z z 4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 1 2 là một đường trịn. 3 5) Phương trình: z 3zi 1 0 cĩ tối đa 3 nghiệm. Số nhận định đúng là: A. 4 B. 2 C. 3 D. 5 Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn (3 i)z (2i 1) z 4i 3. Khi đĩ phần thực của số phức z bằng: A. 5i B. -2 C. 2 D. -5 Câu 29: Số phức z 1 i i2 i3 i20 cĩ phần thực và phần ảo là A. 2 và 0 B. 1 và 0 C. 0 và 2 D. 0 và 1 Câu 30: Nhận xét nào sau đây là sai ? A. Mọi phương trình bậc hai đếu giải được trên tập số phức B. Cho số phức z a bi . Nếu a, b càng nhỏ thì mơ đun của z càng nhỏ. C. Mọi biểu thức cĩ dạng A2 B2 đều phân tích được ra thừa số phức. 1 ti D. Mọi số phức z 1 và cĩ mơ đun bằng 1, cĩ thể đặt dưới dạng: z , với t ¡ . 1 ti Câu 31: Phát biểu nào sau đây là đúng: A. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ bình phương bằng nhau. B. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ căn bậc hai bằng nhau. C. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ phần ảo bằng nhau. D. Mọi số phức z và số phức liên hợp z của nĩ cĩ mơ đun bằng nhau. Câu 32: Mơ đun của 2iz bằng A. 2 z B. 2 z C. 2z D. 2 Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn: z 2i 1 z 10 và cĩ phần thực bằng 2 lần phần ảo của nĩ. Tìm mơđun của z ? 5 5 5 5 A. z B. z C. z D. z 2 2 3 2 Câu 34: Cho số phức z a bi và số phức z ' a ' b'i . Số phức z.z ' cĩ phần ảo là: A. aa ' bb' B. 2 aa ' bb' C. ab' a 'b D. ab a 'b' Câu 35: Số nào trong các số sau là số thực ? A. 2 2i 2 B. 2 3i 2 3i 2 3i C. 2 3i 2 3i D. 2 3i 5 z i Câu 36: Cho số phức z thỏa 2 i . Tính mơ đun của số phức w 1 z z2 : z 1 3 13 A. B. 13 C. 2 D. 2 8 Câu 37: Số nào trong cách số sau là số thực ? A. 2 i 5 2 i 5 B. 3 2i 3 2i 2 2 i C. 1 i 3 D. 2 i Câu 38: Với mọi số ảo z, số z2 z 2 là A. Số 0 B. Số thực âm C. Số thực dương D. Số ảo khác 0
Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn (2 3i).z (4 i).z (1 3i)2 0 . Gọi a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z . Khi đĩ 2a 3b A. 11 B. 1 C. 19 D. 4 Câu 40: Cho số phức z thỏa mãn z i 3 2z . Mơ đun của số phức 2i 1 iz bằng: A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 Câu 41: Cho z m 3i,z ' 1 m 1 i. Giá trị nào của m đây để z.z ' là số thực ? A. m 1 hay m 6 B. m 2 hay m 3 C. m 2 hay m 3 D. Đáp án khác Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn 3iz 2 3i z 2 4i . Mơ đun của số phức 2iz bằng: A. 1 B. 2 2 C. 2 D. 2 x2 y2 i 2xy z Câu 43: Mơ đun của số phức x y 2i xy bằng: 2 2 2 2 A. x 8y xy B. Kết quả khác. C. 1 D. 2x 2y 3xy Câu 44: Cho số phức z 3 i . Số n N* để zn là số thực là A. n 4k 2, k N* B. n 6k, k N* . C. n 5k 1, k N* D. n 3k 3, k N* Câu 45: Số nào trong các số sau là số cĩ phần ảo âm: A. 2 3i 2 3i B. 2 2i 2 2 3i C. 2 3i 2 3i D. 2 3i 7 17i Câu 46: Số phức z cĩ phần thực là 5 i A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Câu 47: Số phức z thỏa mãn iz 2 i 0 cĩ phần thực bằng: A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 48: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo ? A. 7 i 7 i B. 10 i 10 i C. 5 i 7 5 i 7 D. 3 i 3 i Câu 49: Phần thực và phần ảo của số (2 – i). i. (3 + i) lần lượt là: A. 1 và 7 B. 1 và 0 C. 0 và 1 D. 1 và 3 Câu 50: Xét các câu sau: 1) Nếu z z thì z là một số thực 2) Mơ đun của một số phức z bằng khoảng cách OM, với M là điểm biểu diễn z. 3) Mơ đun của một số phức z bằng số z.z Trong 3 câu trên: A. Cả ba câu đều đúng B. Chỉ cĩ 1 câu đúng C. Cả ba câu đều sai D. Chỉ cĩ 2 câu đúng Câu 51: Mơ đun của số phức z thỏa mãn phương trình (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i là: 2 2 2 A. 2 B. C. D. Đáp án khác 3 3 3 1 3i Câu 52: Cho số phức z thỏa: z . Khi đĩ mơ đun của số phức z iz bằng: 1 i A. 8 B. 8 2 C. 8 D. 16 Câu 53: Mệnh đề nào sau đây là sai A. Trong tập hợp số phức, mọi số đều cĩ số nghịch đảo B. Căn bậc hai của mọi số thực âm là số phức
C. Phần thực và phần ảo của số phức z bằng nhau thì điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường phân giác gĩc phần tư thứ nhất và gĩc phần tư thứ ba D. Hiệu hai số phức liên hợp là một số thuần ảo Câu 54: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là khơng đúng A. Tập hợp số thực là tập con của số phức B. Nếu tổng của hai số phức là số thực thì cả hai số ấy đều là số thực C. Hai số phức đối nhau cĩ hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O D. Hai số phức liên hợp cĩ hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua Ox 1 9i Câu 55: Ta cĩ số phức z thỏa mãn z 5i . Phần ảo của số phức z là: 1 i A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 56: Những số vừa là số thuần ảo, vừa là số thực là: A. Chỉ cĩ số 0 B. Chỉ cĩ số 1 C. 0 và 1 D. Khơng cĩ số nào Câu 57: Cho hai số phức z1 2 5i;z2 3 4i . Phần thực của số phức z1.z2 là: A. 26 B. 27 C. 25 D. 28 Câu 58: Phần ảo của số phức z (1 2i).(2 i)2. là: A. -2 B. 2 C. 1 D. -1 Câu 59: Cho số phức z thỏa (1 2i)2.z z 4i 20 . Mơ đun số z là: A. 10 B. 5 C. 4 D. 6 Câu 60: Phần thực của số phức z (3 2i)2 (2 i)3. là: A. 7 B. 5 C. 8 D. 6 Câu 61: Số phức z thỏa mãn: z 2 z z 2 6i cĩ phần thực là: 3 2 A. B. 1 C. D. 6 4 5 Câu 62: Cho số phức z i 3 . Giá trị phần thực của A. 0 B. 512 C. Giá trị khác D. 512 Câu 63: Phần ảo của số phức z bằng bao nhiêu ? biết z ( 2 i)2 (1 2i) A. 2 B. -2 C. 2. D. 2. Câu 64: Biết hai số phức cĩ tổng bằng 3 và tích bằng 4. Tổng mơ đun của chúng bằng A. 5 B. 10 C. 8 D. 4 Câu 65: Mơ đun của số phức z (1 2i)(2 i)2 là: A. 5 5 B. 16 2 C. 5 2 D. 4 5 Câu 66: Phần ảo của số phức z ( 2 i)2 (1 2i) bằng: A. 2 B. 2 C. 2 D. 3 Câu 67: Cho số phức z 3 2 3i 4 2i 1 . Nhận xét nào sau đây về số phức liên hợp của z là đúng: A. z 10 i B. z 10 i C. z 3 2 3i 4 2i 1 D. z i 10 Câu 68: Cho số phức z 5 12i . Mệnh đề nào sau đây là sai: A. Số phức liên hợp của z là z 5 12i B. w 2 3i là một căn bậc hai của z 5 12 C. Mơđun của z là 13 D. z 1 i 169 169 2 i Câu 69: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i 3)z (2 i)z . Mơ đun của số phức w z i là: i 26 6 2 5 16 A. B. C. D. 5 5 5 5 Câu 70: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai ? A. Mơ đun của số phức z là một số thực B. Mơ đun của số phức z là một số thực dương
C. Mơ đun của số phức z là một số phức D. Mơ đun của số phức z là một số thực khơng âm Câu 71: Mơ đun của số phức z 5 2i 1 i 3 là: A. 7 B. 3 C. 5 D. 2 Câu 72: Cho số phức z 1 i 3 . Hãy xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 2 A. z cĩ một acgumen là B. z 2 3 C. A và B đều đúng D. z cĩ dạng lượng giác là 5 5 z 2 cos isin 3 3 Câu 73: Cho số phức z, thỏa mãn điều kiện (3 2i)z (2 i)2 4 i . Phần ảo của số phức w (1 z)z là: A. 0 B. 2 C. -1 D. - 2 Câu 74: Cho số phức z 12 5i . Mơ đun của số phức z bằng A. 7 B. 17 C. 119 D. 13 Câu 75: Tìm mơ đun của số phức z thỏa mãn: (1 2i)(z i) 4i(i 1) 7 21i A. z 5 B. z 2 3 C. z 9 D. z 3 7 2(1 2i) Câu 76: Cho số phức z thỏa mãn (2 i)z 7 8i . Mơ đun của số phức w z i 1 1 i A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 77: Số phức liên hợp của số phức z (1 i)15 là: A. z 128 128i B. z i C. z 128 128i D. z 128 128i Câu 78: Phần thực của số phức 1 i 30 bằng: A. 0 B. 1 C. 215 D. 215 Câu 79: Cho hai số phức z1 1 2i;z2 2 3i . Xác định phần ảo của số phức 3z1 2z2 A. 11 B. 12 C. 10 D. 13 Câu 80: Cho số phức z thỏa 1 i 2 (2 i)z 8 i 1 2i z . Phần thực của số phức z là: A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 81: Tìm phần phần ảo của số phức sau: 1 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 200 A. 210 1 B. 210 1 C. 2100 1 D. 210 1 Câu 82: Cho số phức z 4 3i . Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là A. -4 và -3 B. -4 và 3 C. 4 và -3 D. 4 và 3 Câu 83: Cho các số phức z1 1 i, z2 3 4i, z3 1 i . Xét các phát biểu sau 1) Mơ đun của số phức z1 bằng 2 . 2) Số phức z3 cĩ phần ảo bằng 1. 3) Mơ đun của số phức z2 bằng 5 . 4) Mơ đun của số phức z1 bằng mơ đun của số phức z3 . 5) Trong mặt phẳng Oxy , số phức z3 được biểu diễn bởi điểm M(1;1) 6) 3z1 z2 z3 là một số thực. Trong các phát biểu trên, cĩ bao nhiêu phát biểu đúng ? A. 2 B. 5 C. 3 D. 4 Câu 84: Cho số phức z a bi;(a,b ¡ ) . Trong 4 mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 2 1) z2 z 2(a 2 b2 ) 2) z.z a 2 b2
3) Phần ảo của z3 là a3 3a 2b 4) Phần thực của z3 là 3a 2b b3 A. (3) B. (4) C. (1) D. (2) 1 i Câu 85: Cho số phức z . Phần thực và phần ảo của z2010 là: 1 i A. a 1,b 0 B. a 0,b 1 C. a 1,b 0 D. a 0,b 1 Câu 86: Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai ? A. Mơ đun của số phức z là một số thực âm. B. Mơ đun của số phức z là một số phức. C. Mơ đun của số phức z là một số thực. D. Mơ đun của số phức z là một số thực dương. Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn: (3 2i)z (2 i)2 4 i . Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là: A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 (1 3i)2 Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn z . Mơ đun của số phức w = z iz 1 i A. 8 B. 8 3 C. 2 6 D. 16 (1 i)(2 i) Câu 89: Mơ đun số phức z là: 1 2i 6 26 26 A. | z | B. | z | C. | z | D. | z | 2 26 5 5 Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 1 i 2 . Mơ đun của số phức w iz z là: A. 2 2 . B. 2 C. 1 D. 2 . z 1 Câu 91: Cho số phức z x yi 1 (x, y ¡ ) . Phần ảo của số phức là: z 1 x y 2x xy 2y A. B. C. D. x 1 2 y2 x 1 2 y2 x 1 2 y2 x 1 2 y2 Câu 92: Mơ đun của số phức z 1 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 19 bằng: A. z 20 B. z 210 1 C. z 1 D. z 210 1 Câu 93: Cho số phức z a bi. Để z3 là một số thực, điều kiện của a và b là: A. b 0 và a bất kì hoặc b2 3a 2 B. b 3a C. b2 5a 2 D. a 0 và b bất kì hoặc b2 a 2 C - ĐÁP ÁN 1C, 2B, 3A, 4D, 5D, 6B, 7D, 8C, 9C, 10D, 11C, 12D, 13C, 14B, 15D, 16D, 17A, 18C, 19D, 20A, 21B, 22C, 23A, 24A, 25C, 26B, 27A, 28C, 29B, 30B, 31D, 32A, 33A, 34C, 35A, 36B, 37A, 38A, 39A, 40D, 41D, 42B, 43C, 44A, 45D, 46A, 47B, 48C, 49A, 50A, 51B, 52B, 53A, 54B, 55A, 56A, 57A, 58A, 59C, 60B, 61C, 62C, 63C, 64D, 65A, 66A, 67A, 68A, 69D, 70B, 71A, 72B, 73C, 74D, 75C, 76C, 77C, 78A, 79B, 80C, 81C, 82D, 83D, 84A, 85C, 86A, 87C, 88C, 89D, 90A, 91D, 92B, 93A.
DẠNG 3: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z x iy thỏa mãn z3 18 26i x3 3xy2 18 Giải: Ta cĩ (x iy)3 18 26i 18(3x2 y y3 ) 26(x3 3xy2 ) 2 3 3x y y 26 1 Giải phương trình bằng cách đặt y=tx ta được t x 3, y 1. Vậy z=3+i. 3 Ví dụ 2: Tìm tất cả các số phức z, biết z2 z 2 z (1) Giải : (1) a bi2 a 2 b2 a bi a 2 b2i2 2abi a 2 b2 a bi 1 1 a ;b 2 2 2 2 2b a 0 2b a bi 2abi 0 b 0;a 0 b 2ab 0 1 1 a ;b 2 2 1 1 1 1 Vậy z 0; z i; z i 2 2 2 2 Ví dụ 3: Tìm phần ảo của z biết: z 3z 2 i 3 2 i (1) Giải: Giả sử z=a+bi (1) a bi 3a 3bi 8 12i 6i2 i3 2 i 2 11i . 2 i 15 4a 2bi 4 2i 22i 11i2 20i 15 a ;b 10 . 4 Vậy phần ảo của z bằng -10 Ví dụ 4: Tìm số phức z biết: z 3z 3 2i 2 2 i (1) Giải: Giả sử z=a+bi, ta cĩ: (1) a bi 3a 3bi 9 12i 4i2 2 i 5 12i . 2 i 11 19 11 19 4a 2bi 10 24i 5i 12i2 22 19i a ;b . Vậy z i 12 2 2 2 Ví dụ 5: Tìm số phức z biết z 2z 2 i 3 1 i (1) Giải: Giả sử z a bi z a bi (1) a bi 2(a bi) (23 3.22 i 3.2i2 i3 )(1 i) a bi 2a 2bi (8 12i 6 i)(1 i) (11i 2)(1 i) B – BÀI TẬP Câu 1: Tìm số phức z biết 2z 3i z 5z 4z 3 3 3 3 A. z i B. z i C. z D. z i 2 2 2 2 z 3i Câu 2: Tìm một số phức z thỏa điều kiện là số thuần ảo với z i A. z 2 i B. z 2 i C. Cả A và B đều đúng. D. Cả A và B đều sai. Câu 3: Cho các nhận định sau (giả sử các biểu thức đều cĩ nghĩa): 1) Số phức và số phức liên hợp của nĩ cĩ mơđun bằng nhau z 2 3i z 2 3i 2) Với thì mơđun của z là: 3) Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi z z
4) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z z 1 2 là một đường trịn. 3 5) Phương trình: z 3zi 1 0 cĩ tối đa 3 nghiệm. Số nhận định sai là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 5 i 3 Câu 4: Tìm một số phức z thỏa z 1 0 z A. z 1 3i B. z 2 3i C. -2 D. z 2 3i 5iz Câu 5: Tìm số phức z thỏa mãn z (1 i)(3 2i) . Số phức z là: 2 i 1 1 A. 2i B. 1 2i C. 1 2i D. 2i 2 2 1 Câu 6: Trong các số phức sau, số nào thỏa điều kiện z z 1 ? z 1 3 1 3 A. z 2 i 3 B. z i C. z 2 i 3 D. z i 2 2 2 2 Câu 7: Tìm số phức z cĩ phần ảo gấp 3 lần phần thực đồng thời z 10 z z A. 0 và 2 B. z 1 3i C. z 2 6i D. z 3 12i Câu 8: Số phức z thỏa mãn z 2z 3 2i là: A. 1 2i . B. 1 2i . C. 2 i . D. 2 i . Câu 9: Số phức z thỏa điều kiện z 2 i 10 và z.z 25 là: A. z 5;z 3 4i B. z 5;z 3 4i C. z 5;z 3 4i D. z 5;z 3 4i Câu 10: Tìm số phức z biết (1 2i)2 z z 4i 22 A. z 3 4i B. z 3 4i C. z 3 4i D. z 3 4i 2 4i 2(1 i)3 Câu 11: Tìm số phức  2.z .z , biết z 4 3i (1 i)3; z  1 2 1 2 1 i A.  18 75.i. B.  18 74.i. C.  18 75.i. D.  18 74.i. 2 Câu 12: Với mọi số ảo z, số z z 2 là A. Số 0 B. Số thực âm C. Số ảo khác D. Số thực dương Câu 13: Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z 2z 19 4i A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Câu 14: Để z z z2 ta được kết quả: A. z 0 hay z i B. z = 2 hay z 1 C. z 0,z 1 i hay z 1 i D. z 1 hay z i Câu 15: Tìm số phức z biết: z 3z (3 2i)2 (1 i) 5 17 14i 17 7 17 7 A. z B. z C. z i D. z i 3 4 4 4 4 2 Câu 16: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 i z iz2 2i 1 i 33 5i A. z 3 5i B. z 3 5i C. aa ' bb' D. z 3 5i Câu 17: Cĩ bao nhiêu số phức thỏa mãn z2 z 0: A. 1 B. 4. C. 3 D. 2 Câu 18: Số phức z thỏa mãn z 2z 9 2i và 2z z 3 6i là: A. z 3 2i B. z 3 2i C. z 3 2i D. 2 3i 2 3i Câu 19: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình z2 z 2 0 là:
2 3i A. Tập hợp số ảo B. C. 0 D. i;0 2 3i Câu 20: Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa mãn z (2 i) 10 và z.z 25 : A. 1 B. 3 C. 2 D. 4. Câu 21: Số phức z thỏa mãn: 3 i z (1 2i)z 3 4i là: A. z 2 3i B. z 2 5i C. z 1 5i D. z 2 3i Câu 22: Tìm số phức z biết: z 2z 2 4i 2 2 2 2 A. z 4i B. z 4i C. z 4i D. z 4i 3 3 3 3 Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z z 6, z.z 25 . Số giá trị của z thỏa mãn là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 24: Nghiệm của phương trình 2ix + 3 = 5x + 4 trên tập số phức là: 23 14 23 14 23 14 5 2 A. i B. i C. i D. i 29 29 29 29 29 29 29 29 Câu 25: Số phức z thỏa z 2z 3 i cĩ phần ảo bằng: 1 1 A. B. C. 1 D. 1 3 3 Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i)(z – i) + 2z = 2i. khi đĩ mơđun của số phức z 2z 1 w là z2 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Câu 27: Cho số phức z thỏa: 2z z 4i 9 . Khi đĩ, modun của z2 là A. 25 B. 4 C. 16 D. 9 2 i Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức (i 3)z (2 i)z . Mơđun của số phức w z i là: i 2 5 26 26 6 A. B. C. D. 5 25 5 5 Câu 29: Số phức z thỏa mãn: 1 i z 2 3i 1 2i 7 3i . là: 1 3 1 1 3 1 3 A. z i . B. z i C. z 1 i D. z i 2 2 2 2 2 2 2 Câu 30: Phương trình z3 8 cĩ bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 31: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nĩ, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ? A. z ¡ B. z 1 C. z 1 D. z là một số thuần ảo Câu 32: số phức z thỏa mãn: 3 2i z 4 1 i 2 i z . Mơđun của z là: 3 A. 10 B. 5 C. 3 D. 4 Câu 33: Số phức z thỏa z (2 3i)z 1 9i là: A. z 3 i B. z 2 i C. z 2 i D. z 2 i Câu 34: Phần thực của số phức z thỏa mãn 1 i 2 2 i z 8 i 1 2i z là A. -6 B. -3 C. 2 D. -1 5 i 3 Câu 35: Số phức z thõa mãn điều kiện z 1 0 là: z A. 1 3i và 2 - 3i B. Đáp án khác C. 1 3i và 2 - 3i D. 1 3i và 2 - 3i Câu 36: Nghiệm của phương trình 3x (2 3i)(1 2i) 5 4i trên tập số phức là:
5 5 5 5 A. 1 i B. 1 i C. 1 i D. 1 i 3 3 3 3 Câu 37: Số các số phức z thỏa hệ thức: z2 z 2 và z 2 là: A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 38: Gọi z là nghiệm phức cĩ phần thực dương của phương trình: z2 1 2i z 17 19i 0 . Khi đĩ, giả sử z2 a bi thì tích của a và b là: A. 168 B. 12 C. 240 D. 5 | z |2 2(z i) a Câu 39: Số phức z thỏa mãn 2iz 6 4i 0 cĩ dạng a+bi khi đĩ bằng: z 1 i b 1 3 A. B. -5 D. - 5 C. 5 7 4 a Câu 40: Cho số phức z thoả mãn z i . Số phức w z2 i(z 1) cĩ dạng a+bi khi đĩ là: z 1 b 4 4 1 4 A. B. C. D. 3 3 3 3 2z z 3i Câu 41: Cho số phức z thỏa mãn: (1 2i)(z i) 3z 3i 0 . Mơđun của số phức w là z2 m 106 . Giá trị m là: 26 A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Câu 42: Tìm số phức z biết z 2 3i z 1 9i A. z = 2 + i B. z = - 2 - i C. z = - 2 + i D. z = 2 – i n Câu 43: Cho số phức z 1 i , biết n N và thỏa mãn log4 (n 3) log4 (n 9) 3. Tìm phần thực của số phức z. A. a 7 B. a 0 C. a 8 D. a 8 Câu 44: Cho số phức z thỏa (1 2i)2.z z 4i 20 . Mơđun số z là:: A. 4 B. 5 C. 10 D. 6 Câu 45: Tìm số phức z thỏa mãn | z (2 i) | 10 và z.z 25 . A. z = 3 + 4i; z = -5 B. z = 3 + 4i; z = 5 C. z = 3 - 4i; z = 5 D. z = -3 + 4i; z = 5 Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn phương (1 2i).z 1 2i. Phần ảo của số phức  2iz (1 2i).z là: 3 4 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 z Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn z 2 . Phần thực của số phức w = z2 – z là: 1 2i A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 1 Câu 48: Tìm số phức liên hợp của: z (1 i)(3 2i) 3 i 53 9 53 9 53 9 53 9 A. z i B. z i C. z i z i 10 10 10 10 10 10 D. 10 10 5(z i) Câu 49: Cho số phức z thỏa 2 i . Tính mơđun của số phức w = 1 + z + z2. z 1 A. 1 B. 2 C. 13 D. 4 z 2z 1 Câu 50: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z 2i . Mơđun của số phức w là: z2 A. 5 B. 2 2 C. 10 D. 2 5
i 2z Câu 51: Cho phương trình 1 i z (2 i)z 3. Mơđun của số phức w là ? 1 i 122 122 122 3 10 A. B. C. D. 4 2 5 2 Câu 52: Tính mơđun của số phức z biết rằng: 2z 1 1 i z 1 1 i 2 2i 3 5 2 A. B. Đáp án khác C. D. 3 3 3 Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z (2 i)z 13 3i . Phần ảo của số phức z bằng A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 1 z z2 Câu 54: Cho số phức z thỏa (1 i)(z i) 2z 2i . Mơđun của số phức w là 1 z 2 A. 5 B. 10 C. D. 5 2 Câu 55: Mơđun của số phức z thỏa mãn phương trình (2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2i là: 2 2 2 4 2 A. z B. z C. z 2 D. z 3 3 3 Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn (3 4i)z (1 3i) 12 5i . Phần thực của số phức z2 bằng A. 5 B. -4 C. 4 D. -3 C - ĐÁP ÁN 1B, 2C, 3A, 4B, 5D, 6D, 7C, 8B, 9A, 10D, 11D, 12C, 13B, 14C, 15D, 16A, 17C, 18B, 19A, 20C, 21B, 22C, 23B, 24D, 25D, 26B, 27A, 28C, 29A, 30A, 31D, 32A, 33C, 34C, 35B, 36B, 37A, 38A, 39D, 40A, 41B, 42D, 43C, 44B, 45B, 46B, 47B, 48D, 49C, 50C, 51D, 52D, 53D, 54C, 55B, 56D.
DẠNG 4: SỐ PHỨC CĨ MƠĐUN NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn u (z 3 i)(z 1 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|. Giải: Giả sử z a ib , ta cĩ u (a 3 (b 1)i)(a 1 (b 3)i) a 2 b2 4a 4b 6 2(a b 4)i u R a b 4 0 a b 4 | z |min | z |2 min | z |2 a 2 b2 (b 4)2 b2 2b2 8b 16 2(b 2)2 8 8 Dấu = xảy ra khi b 2 a 2 Vậy | z |min z 2 2i Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: z i 1 z 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Giải: a bi i 1 a bi 2i a 1 2 b 1 2 a 2 b 2 2 a 2 2a 1 b2 2b 1 a 2 b2 4b 4 2a 2b 2 0 a b 1 a 1 b 2 1 a 2 b2 b 1 b2 2b2 2b 1 2 1 1 1 1 z a ; b . Vậy Min z 2 2 2 2 Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn: z 3 4i 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . Giải: Giả sử z=a+bi, ta cĩ: a bi 3 4i 4 a 3 2 b 4 2 16 a 3 4sin a 3 4sin Đặt b 4 4cos b 4cos 4 z 2 a 2 b2 9 16sin2 24sin 16cos2 16 32cos 3 4 41 24sin 32cos 41 40( sin cos ) 5 5 3 4 2 Đặt cos ,sin z a 2 b2 41 40sin( ) 1. 5 5 Dấu = xảy ra khi k2 k2 . Do đĩ Min z 1 2 2 Ngồi ra để tìm GTNN, GTLN của z ta cĩ thể sử dụng phương pháp hình học. Ví dụ 4: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 5 5, z2 1 3i z2 3 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z1 z2 . Giải: Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z1 a bi , N(c;d) là điểm biểu diễn của số phức z2 c di 2 2 Ta cĩ z1 5 5 (a 5) b 25 . Vậy M thuộc đường trịn (C) :(x 5)2 y2 25 z2 1 3i z2 3 6i 8c 6d 35 . Vậy N thuộc đường thẳng : 8x 6y 35. Dễ thấy đường thẳng khơng cắt (C) và z1 z2 MN .
Bài tốn trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) :(x 5)2 y2 25 và đường thẳng : 8x 6y 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng . L 0 M d H Gọi d là đường thẳng qua I và vuơng gĩc với . PT đường thẳng d là 6x-8y=-30. Gọi H là giao điểm của d và . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ x 1 8x 6y 35 9 9 H(1; ) 6x 8y 30 y 2 2 Gọi K, L là giao điểm của d với đường trịn (C) . Tọa độ K, L là nghiệm của hệ (x 5)2 y2 25 x 1; y 3 . Vậy K(-1;3), L(-9;-3) 6x 8y 30 x 9; y 3 5 5 Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra MinMN M  K, N  H . Khi đĩ Min z z 2 1 2 2 3 Ví dụ 5: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = . Tìm số phức z cĩ mơđun nhỏ nhất. 2 3 3 Giải: Giả sử z = x + yi, khi đĩ : |z – 2+3i| = |(x-2) +(y+3)i|= 2 2 9 (x-2)2 + (y+3)2 = Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường trịn tâm I(2;-3) và bán 4 kính 3/2. Mơđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường trịn và gần O nhất M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường trịn. Ta cĩ: OI = 4 9 13 Kẻ M1H  Ox. Theo định lý Talet ta cĩ: 3 13 M H OM 9 6 13 9 1 1 2 13M H 3 13 3 OI 13 1 2 2 6 13 9 78 9 13 M1H = 2 13 26 3 13 OH 26 3 13 Lại cĩ: 2 OH 2 13 13 26 3 13 78 9 13 Vậy số phức cần tìm là: z 13 26
B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Trong các số phức z thỏa mãn z z 3 4i , số phức cĩ mơđun nhỏ nhất là: 3 3 A. z 3 4i B. z 3 4i C. z 2i D. z 2i 2 2 (1 i) Câu 2: Trong các số phức z thỏa mãn z 2 1, z là số phức cĩ mơđun lớn nhất. Mơdun của 1 i 0 z0 bằng: A. 1 B. 4 C. 10 D. 9 Câu 3: Cho số phức z thỏa z i 1 z 2i . Giá trị nhỏ nhất của z là 1 1 A. B. 1 C. 2 D. 2 4 Câu 4: Tìm số phức z thoả mãn (z – 1)( z + 2i) là số thực và mơđun của z nhỏ nhất ? 4 2 3 4 1 A. z = 2i B. z i C. z i D. z 1 i 5 5 5 5 2 Câu 5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z 2i . Tìm số phức z cĩ mơđun bé nhất. A. z =2 + i B. z =3 + i C. z =2 + 2i D. z =1 +3 i Câu 6: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 3i z 2 i , số phức z cĩ mơđun bé nhất là: 1 2 1 2 A. z 1 2i B. z 1 2i C. z i D. z i 5 5 5 5 3 Câu 7: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 2i , số phức z cĩ mơđun nhỏ nhất là: 2 3 78 9 13 A. z 2 i B. z 2 3i 13 26 3 78 9 13 C. z 2 i D. z 2 3i 13 26 Câu 8: Số phức z cĩ modun nhỏ nhất thỏa mãn | z 2 4i | | z 2i | là số phức cĩ mơđun A. 3 2 B. 4 2 C. 5 2 D. 2 2 Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn: z 4 3i 3. Số phức z cĩ mơđun nhỏ nhất là: 8 6 5 A. z i B. z 3 i C. z 1 4i D. z 2 3i 5 5 2 Câu 10: Số phức z thay đổi sao cho | z | 1 thì giá trị bé nhất m và giá trị lớn nhất M của | z i | là A. m 0,M 2 B. m 0,M 2 C. m 0,M 1 D. m 1,M 2 C - ĐÁP ÁN -1D, 2A, 3A, 4B, 5C, 6D, 7C, 8D, 9A, 10B
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau : a) iz + 2 – i = 0 b) (2 + 3i)z = z – 1 c) (2 – i) z - 4 = 0 d) (iz – 1)(z + 3i)( z - 2 + 3i) = 0 e) z2 + 4 = 0. Giải: i 2 1 1 3 a) z = 1 2i b) z = i i 1 3i 10 10 4 8 4 8 4 c) z = i z = i d) z = −i, z = −3i, z = 2 + 3i 2 i 5 5 5 5 e) z = 2i. Ví dụ 2: Giải phương trình: z2 (3i 8)z 11i 13 0 Giải: (3i 8)2 4(11i 13) 4i 3 Giả sử m+ni (m; n R) là căn bậc hai của Ta cĩ: (m ni)2 5 12i m2 2mni n2i2 3 4i m2 2mni n2 3 4i m2 n2 3(1) m2 n2 3 2 2mn 4 n (2) m 2 2 2 m 4 Thay (2) vào (1) ta cĩ: m2 3 m4 3m2 4 0 2 m m 1(loai) m 2 n 1 m 2 n 1 Vậy cĩ hai căn bậc hai là 2+i và -2-i 3i 8 i 2 z 2i 5 2 Do đĩ nghiệm của phương trình là 3i 8 i 2 z i 3 2 Ví dụ 3: Giải phương trình: z2 4z 7 0 Giải: ' 22 7 3 3i2 các căn bậc hai của ' là i 3 Vậy nghiệm của phương trình là: z 2 3i, z 2 3i Ví dụ 4: giải phương trình: z3 4z2 (4 i)z 3 3i 0 (1) Giải: Dễ thấy z=-i là nghiệm của (1) nên (1) (z i)(z2 (4 i)z 3 3i) 0 z i 0 2 z (4 i)z 3 3i 0(2) Giải (2) (4 i)2 12 12i 16 1 8i 12 12i 3 4i 4 2.2.i i2 (2 i)2 Vậy cĩ hai căn bậc hai là: 2+i và -2-i 4 i 2 i z 1 i 2 Do đĩ nghiệm của (2) là 4 i 2 i 2 z 3 2 Vậy (1) cĩ 3 nghiệm là –i, -3, -1+i.
Ví dụ 5: a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z) : z2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm một nghiệm. b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) : z 3 + az2 + bz + c = 0 nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 làm nghiệm. Giải: a) Theo H2 trang 195, với z = 1 + i là nghiệm thì: (1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0 b + c + (2 + b)i = 0 b + c = 0 và 2 + b = 0, suy ra : b = −2, c = 2 b) Với 1 + i là nghiệm ta được : (1 + i)3 + a(1 + i)2 + b(1 + i) + c = 0 (b + c – 2) + (2 + 2a + b)i = 0 b + c – 2 = 0 (1) và 2a + b + 2 = 0 (2). Với 2 là nghiệm ta được : 8 + 4a + 2b + c = 0 (3). Từ (2) và (3) cho c = −4, (1) b = 6 (2) a = −4. Vậy a = c = −4, b = 6. 2 Ví dụ 6: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: 2 1 i z 4 2 i z 5 3i 0 . 2 2 Tính z1 z2 . Giải: Ta cĩ ' 4 2 i 2 2 1 i 5 3i 16 . Vậy phương trình cĩ hai nghiệm phức 3 5 1 1 2 2 z i, z i . Do đĩ z z 9 . 1 2 2 2 2 2 1 2 4 3 2 Ví dụ 7: Gọi z1,z2 ,z3 ,z4 là bốn nghiệm của phương trình z z 2z 6z 4 0 trên tập 1 1 1 1 số phức tính tổng: S 2 2 2 2 . z1 z2 z3 z4 Giải: PT: z4 z3 2z2 6z 4 0 z 1 z 2 z2 2z 2 0 (1) z1 1 z 2 Khơng mất tính tổng quát ta gọi 4 nghiệm của(1)là 2 z 1 i 3 z4 1 i 1 1 1 1 1 1 1 5 Thay và biểu thức ta cĩ: S 2 2 2 2 1 2 2 z1 z2 z3 z4 4 1 i 1 i 4 z2 Ví dụ 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức C: z4 z3 z 1 0 (1) 2 Giải: Nhận xét z=0 khơng là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0 1 1 1 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được : ( z2 ) (z ) 0 (2) z2 z 2 1 1 1 Đặt t= z Khi đĩ t2 z2 2 z2 t2 2 z z2 z2 5 Phương trình (2) cĩ dạng : t2-t+ 0 (3) 2 5 1 4. 9 9i2 2 1 3i 1 3i Vậy PT (3) cĩ 2 nghiệm t= , t= 2 2 1 3i 1 1 3i Với t= ta cĩ z 2z2 (1 3i)z 2 0 (4) 2 z 2 Cĩ (1 3i)2 16 8 6i 9 6i i2 (3 i)2 (1 3i) (3 i) (1 3i) (3 i) i 1 Vậy PT(4) cĩ 2 nghiệm : z= 1 i , z= 4 4 2
i 1 i 1 Do đĩ PT đã cho cĩ 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 2 Ví dụ 9: Giải các phương trình: 1) z3 – 27 = 0 2) z3 = 18 + 26i, trong đĩ z = x + yi ; x,y Z Giải: z 1 z 1 3 2 1) z – 27 = 0 (z – 1) (z + 3z + 9) = 0 2 3 3 3i z 3z 9 0 z 2,3 2 Vậy phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm. 2) Ta cĩ: (x + yi)3 = x3 – 3xy2 + (3x2y – y3)i = 18 + 26i x3 3xy2 18 Theo định nghĩa hai số phức bằng nhau, ta được: 2 3 3x y y 26 Từ hệ trên, rõ ràng x 0 và y 0. Đặt y = tx , hệ 18(3x2y – y3) = 26(x3 – 3xy2 ) 18(3t-t3 ) = 26(1-3t2) 18t3 – 78t2 – 54t+26 = 0 ( 3t- 1)(3t2 – 12t – 13) = 0. Vì x, y Z t Q t = 1/3 x = 3 và y = 1 z = 3 + i. Ví dụ 10: Giải phương trình: z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 0 (1) Giải: Do tổng tất cả các hệ số của phương trình (1) bằng 0 nên (1) cĩ nghiệm z = 1. (1) (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = 0 z 1 z 1 z 3 (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 0 z 3 z 2i 2 z 4 0 z 2i Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm. Ví dụ 11: Giải phương trình: (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = 0 Giải: Đặt t = z2 + z, khi đĩ phương trình đã cho cĩ dạng: 1 23i z 2 2 t 6 z z 6 0 1 23i t2 + 4t – 12 = 0 2 z t 2 z z 2 0 2 z 1 z 2 Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm. 2 2 2 2 Ví dụ 12: Giải phương trình: (z + 3z +6) + 2z(z + 3z +6) – 3z = 0 Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình đã cho cĩ dang: t z 2 2 t +2zt – 3z = 0 (t – z)(t+3z) = 0 t 3z z 1 5i + Với t = z z2 + 3z +6 –z = 0 z2 + 2z + 6 = 0 z 1 5i z 3 3 + Với t = -3z z2 + 3z +6 +3z = 0 z2 + 6z + 6 = 0 z 3 3 Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm.
B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 3 Câu 1: Tổng tất cả các nghiệm phức của phương trình z2 z 0 và z 0,z 1,z i 2 2 A. - 1 B. 1 C. 3 D. 0 2 Câu 2: Gọi z1, z2 là hai nghiệm phương trình z 2z 8 0; trong đĩ z1 cĩ phần ảo dương. số phức w 2z1 z2 z1 là: A. z 12 6i B. z 10 2 7i C. z 9 6i D. z 12 6i Câu 3: Tập hợp các nghiệm của phương trình z2 2 z 35 0 trên tập số phức là A. 2 i,2 i B. 2 3i,2 3i C. 5,5 D. 5i,5i 2 Câu 4: Gọi z1;z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 6 0. Trong đĩ z1 cĩ phần ảo âm. Giá trị biểu thức M z1 3z1 z2 là. A. M 6 2 21 . B. M 6 21 . C. M 2 6 21 . D. M 2 21 6 Câu 5: Trong tập số phức £ , phương trình z4 3z2 2 0 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 6: Tập nghiệm trong C của phương trình z3 z2 z 1 0 là: A. 1;1;i B. i;i; 1 C. 1 D. i;i;1 2 2 2 Câu 7: Tính z1 2 z2 biết z1,z2 là nghiệm của phương trình z 2z 17 0 A. 68 B. 51 C. 17 D. 34 Câu 8: Cho phương trình z2 mz 2m 1 0 trong đĩ m là tham số phức; giá trị m để phương trình cĩ 2 2 hai nghiệm z1;z2 thỏa mãn z1 z2 10 . A. m 2 3i;m 2 3i. B. m 2 2 2i;m 2 2 2i C. m 1 3i;m 2 3i. D. m 1 3i;m 1 3i. Câu 9: Cho phương trình z2 mz m 2 0 1 , trên trường phức và m là tham số thực. Giá trị m để 1 (1) cĩ hai nghiệm ảo z ;z trong đĩ z1 cĩ phần ảo âm và phần thực của số phức  z iz bằng . 1 2 1 2 2 A. Khơng cĩ m B. m 2 C. m 1 D. m 5 z1 1 Câu 10: Cho hệ phương trình z2 1 . Tính z1 z2 z1 z2 3 A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 11: Trong tập số phức £ , phương trình z3 1 0 cĩ bao nhiêu nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 2 2 2 z1 z2 Câu 12: Phương trình z 2z 6 0 cĩ các nghiệm z1;z2 . Khi đĩ giá trị của biểu thức F 2 2 là: z1 z2 2 2 A. 8 B. C. 5 D. 3 9 4 z 1 Câu 13: Gọi z1, z2, z3, z4 là các nghiệm phức của phương trình 1.Giá trị của 2z i 2 2 2 2 P (z1 1)(z2 1)(z3 1)(z4 1) là: 17 9 17 8 A. B. C. D. 9 17 8 17 Câu 14: Với mọi số phức z , ta cĩ | z 1|2 bằng
A. z z 1 B. z.z z z 1 C. z.z 1 D. | z |2 2 | z | 1 Câu 15: Trên tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai z 2 + mz + i = 0 cĩ tổng bình phương hai nghiệm bằng - 4i là: A. m = 1 - i hoặc m = - 1 + i B. m = 1 + i C. m = 1 - i D. m = - 1 + i Câu 16: Các giá trị thực của m để phương trình sau cĩ ít nhất một nghiệm thực z 3 + (3 + i)z2 - 3z - (m + i) = 0 là: A. m = 1 hoặc m = 5 B. m = 1 C. m = 5 D. m = 4 | z2 z | 2 Câu 17: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hệ: là: | z | 2 A. z 1;z 1 3i B. z 1;z 1 2i C. z 1;z 1 2i D. z 1;z 1 3i z2 1 Câu 18: Nếu z 1 thì z A. Bằng 0 B. Là số ảo C. Lấy mọi giá trị phức D. Lấy mọi giá trị thực z Câu 19: Tập hợp các nghiệm của phương trình z là z i A. {0;1 i} B. {0} C. {1 i} D. {0;1} Câu 20: Tập hợp các nghiệm phức của phương trình z2 z 2 0 là A. i;0 B. Tập hợp mọi số ảo C. i;0;i D. 0 Câu 21: Giá trị của các số thực b, c để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm 1 nghiệm là: b 2 b 2 b 1 b 4 A. B. C. D. c 2 c 2 c 3 c 2 2 Câu 22: Trên tập hợp số phức, phương trình z 7z 15 0 cĩ hai nghiệm z1 ; z2. Giá trị biểu thức z1 z2 z1z2 là: A. 22 B. 15 C. 7 D. 8 Câu 23: Trên tập hợp số phức, phương trình x4 16 0 nhận giá trị nào dưới đây là nghiệm? 1 1 1 1 1 A. i B. i C. 2 i D. 2 2i 2 2 2 2 2 Câu 24: Giải phương trình z z 2 4i cĩ nghiệm là A. −3 + 4i B. −4 + 4i C. −2 + 4i D. −5 + 4i z 1 1 z i Câu 25: Số phức z thoả mãn hệ là: z 3i 1 z i A. z 1 i B. z 1 i C. z 1 i D. z 1 i Câu 26: Phương trình bậc hai z2 (1 3i)z 2(1 i) 0 cĩ nghiệm là: A. z1 2i, z2 1 i B. z1 2i, z2 1 i C. z1 2i, z2 1 i D. z1 2i, z2 1 i Câu 27: Số phức z thỏa mãn z 2 i 10 và z.z 25 là: A. z 3 4i hoặc z 5 B. z 3 4i hoặc z 5 C. z 3 4i hoặc z 5 D. z 3 4i hoặc z 5 Câu 28: Cĩ bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện: 2 z 1 z 1 1 i z 2 ? A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Câu 29: Trong trường số phức phương trình z3 1 0 cĩ mấy nghiệm? A. 3 B. 2 C. 1 D. 4
Câu 30: Tập hợp các nghiệm của pt z2 z 2 0 A. Tập hợp mọi số ảo B. i;0 C. 0 D. i;0 Câu 31: Nghiệm của pt z3 8 0 là A. 2; 1 3i; 1 3i B. 2; 1 3i; 1 3i C. 2;1 3i;1 3i D. 2;1 3i;1 3i Câu 32: Phương trình z6 9z3 8 0 trên tập số phức C cĩ bao nhiêu nghiệm. A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 Câu 33: Cho phương trình z3 (2i 1)z2 (3 2i)z 3 0.Trong số các nhận xét 1. Phương trình chỉ cĩ một nghiệm thuộc tập hợp số thực 2. Phương trình chỉ cĩ 2 nghiệm thuộc tập hợp số phức 3. Phương trình cĩ hai nghiệm cĩ phần thực bằng 0 4. Phương trình cĩ hai nghiệm là số thuần ảo 5. Phương trình cĩ ba nghiệm, trong đĩ cĩ hai nghiệm là hai số phức liên hợp Số nhận xét sai là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 34: Cho phương trình sau z i 4 4z2 0 Cĩ bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau: 1. Phương trình vơ nghiệm trên trường số thực R 2. Phương trình vơ nghiệm trên trường số phức 3. Phương trình khơng cĩ nghiệm thuộc tập hợp số thực 4. Phương trình cĩ bốn nghiệm thuộc tập hợp số phức 5. Phương trình chỉ cĩ hai nghiệm là số phức 6. Phương trình cĩ hai nghiệm là số thực A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Câu 35: Phương trình z6 9z3 8 0 trên tập số phức cĩ bao nhiêu nghiệm. A. 4 B. 2 C. 8 D. 6 Câu 36: Giải phương trình sau: z2 1 i z 18 13i 0 A. z 4 i , z 5 2i B. z 4 i , z 5 2i C. z 4 i , z 5 2i D. z 4 i , z 5 2i Câu 37: Phương trình 8z2 4z 1 0 cĩ nghiệm là 1 1 5 1 1 1 1 3 A. z i và z i B. z i và z i 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1 C. z i và z i D. z i và z i 1 4 4 2 4 4 1 4 4 2 4 4 2 2 2 Câu 38: Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2z 3z 3 0 . Khi đĩ, giá trị của z1 z2 là: 9 9 A. B. C. 9 D. 4 4 4 2 2 2 Câu 39: Gọi z1,z2 là nghiệm phức của phương trình z 2z 4 0. A z1 z2 bằng A. 2 B. 7 C. 8 D. 4 2 Câu 40: Gọi z1,z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z 4z 3 0 . Giá trị của biểu thức z1 z2 bằng A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 6 Câu 41: Hai số phức 4 i và 2 3i là nghiệm của phương trình: A. x2 6 2i x 11 10i 0 B. x2 11 10i x 6 2i 0 C. x2 6 2i x 11 10i 0 D. x2 11 10i x 6 2i 0 Câu 42: Giải phương trình 8z2 4z 1 0 trên tập số phức.
1 1 1 1 1 1 1 1 A. z i hay z i B. z i hay z i 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 C. z i hay z i D. z i hay z i 4 4 4 4 4 4 4 4 2 Câu 43: Gọi z1,z2 là 2 nghiệm của phương trình z 2iz 4 0 . Khi đĩ mơđun của số phức w (z1 2)(z2 2) là A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Câu 44: Phương trình z2 az b 0 cĩ một nghiệm phức là z 1 2i . Tổng 2 số a và b bằng A. 0 B. 4 C. 3 D. 3 4 z i Câu 45: Nghiệm phương trình 1 là: z i A. z 0;z 1 B. z 0;z 1 C. z 0;z 1 D. Đáp án khác. Câu 46: Bộ số thực a;b;c để phương trình z3 az2 bz c 0 nhận z 1 i và z 2 là nghiệm. A. 4;6; 4 B. 4; 6;4 C. 4; 6; 4 D. 4;6;4 4z 3 7i Câu 47: Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: z 2i z i A. z 1 2i và z 3 i. B. z 1 2i và z 3 i. C. z 1 2i và z 3 i. D. Đáp án khác Câu 48: Mơđun của số phức z – 2i bằng bao nhiêu? Biết z thỏa mãn phương trình (z 2i)(z 2i) 4iz 0 A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 2 3 Câu 49: Tìm tất cả các nghiệm của z4 4z3 14z2 36z 45 0 biết z 2 i là một nghiệm A. z 2 i ;z 3i ;z 3i B. z 2 i ;z 2 3i ;z 3i ;z 3i C. z 2 i ;z 2 i ;z 3i ;z 3i D. z 2 i ;z 2 i ;z 3i . Câu 50: Phương trình (2 i)z2 az b 0; (a,b £ ) cĩ 2 nghiệm là 3 i và 1 2i . Khi đĩ a ? A. 9 2i B. 15 5i C. 9 2i D. 15 5i Câu 51: Số nghiệm phức z của phương trình z2 z 0 là: A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 2 Câu 52: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z + (1 – 3i)z - 2(1 + i) = 0. Khi đĩ 2 2 w z 1 z 2 3z1z2 là số phức cĩ mơđun là: A. 2 13 B. 20 C. 5 D. 13 2 4 4 Câu 53: Gọi z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình z 3z 7 0 Khi đĩ A z 1 z2 cĩ giá trị là: A. 23 B. 23 C. 13 D. 13 Câu 54: Phương trình: x4 2x2 24x 72 0 trên tập số phức cĩ các nghiệm là: A. 2hoặc i 2 2 2i 2 B. hoặc 2 i 2 1 2i 2 C. 2 i 2 D. 1 2i 2 2 Câu 55: Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z : 4z2 8 z 3 0 là: A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6 Câu 56: Cho số phức z thỏa mãn z2 6z 13 0 . Tính z z i A. 4 B. 5 C. 6 D. Đáp án khác 2 Câu 57: Cĩ bao nhiêu số phức thỏa mãn phương trình z2 z z : A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 .
Câu 58: Tìm hai số phức biết rằng tổng của chúng bằng 4 - i và tích của chúng bằng 5(1 - i). Đáp số của bài tốn là: z 3 i z 3 2i z 3 i z 1 i A. B. C. D. z 1 2i z 5 2i z 1 2i z 2 3i Câu 59: Trong C, phương trình z2 i z2 2iz 1 0 cĩ nghiệm là: 2 1 i 2 A. , 1 i , i B. 1 - i ; - 1 + i ; 2i 2 2 3 3 C. 1 2i ; 2 i ; 4i D. 1 - 2i ; - 15i ; 3i 2 2 Câu 60: Cho phương trình z3 + az + bz + c = 0. Nếu z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm của phương trình thì a, b, c bằng: a 4 a 2 a 4 a 0 A. b 6 B. b 1 C. b 5 D. b 1 c 4 c 4 c 1 c 2 C - ĐÁP ÁN 1D, 2B, 3C, 4A, 5A, 6B, 7B, 8B, 9A, 10C, 11C, 12A, 13A, 14B, 15A, 16B, 17A, 18A, 19A, 20B, 21A, 22D, 23D, 24A, 25B, 26B, 27B, 28A, 29A, 30A, 31A, 32D, 33C, 34B, 35D, 36A, 37C, 38B, 39C, 40D, 41A, 42C, 43A, 44D, 45A, 46A, 47D, 48B, 49C, 50A, 51D, 52C, 53B, 54A, 55C, 56D, 57C, 58A, 59A, 60A.
DẠNG 6: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC, TẬP HỢP ĐIỂM A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i. Hãy: a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức. b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức. Giải:   a) Vecto OM biểu diễn số phức z = 1 + 3i, vecto OM 'biểu diễn số phức z’ = 2 + i b)  z + z’ = (2 + 1) + (1 + 3)I = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto . OP  z’ – z = (2 – 1) + (1 – 3)i = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi vecto OQ . Ví dụ 2: Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều cĩ tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i. Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i A biểu diễn số −i. 3 1 Dễ thấy điểm E cĩ tọa độ cos ;sin ; nên E biểu diễn số phức 6 6 2 2 3 1 3 1 i ; C đối xứng với E qua Oy nên C biểu diễn số phức i ; 2 2 2 2 3 1 3 1 F biểu diễn số phức i ; B biểu diễn số phức i . 2 2 2 2 Ví dụ 3: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z i a) z – i = 1 b) 1 c) z z 3 4i z i Giải: Gọi z = a + bi a) z - i = a + bi - i = 1 a + (b – 1)i = 1 a 2 + (b – 1)2 = 1, Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trịn cĩ tâm I(0 ; 1) và bán kính bằng 1. z i a (b 1)i b) 1 a (b 1)i a (b 1)i a 2 (b 1)2 a 2 (b 1)2 b 0 z i a (b 1)i Vậy z là số thực. c) Ta cĩ : z z 3 4i a + bi = a – bi – 3 + 4i a + bi = (a – 3) + (4 – b)i a2 + b2 = (a – 3)2 + (4 – b)2 6a + 8b – 25 = 0. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng. Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) z2 là số thực âm b) z2 là số ảo 1 c) z2 = (z )2 d) là số ảo. z i Giải: a) z2 là số thực âm z là số ảo. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên trục ảo (Oy), trừ điểm O b) Gọi z = a + bi z2 = a2 – b2 + 2abi là số ảo a2 – b2 = 0 b = a. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên hai đường phân giác của các gốc tọa độ.
c) z2 = (z )2 (z + z )(z − z ) = 0 z + z = 0 (trục thực) . Vậy tập hợp các điểm là các trục tọa độ. z -z = 0 (trục ảo) 1 d) là số ảo z – i là số ảo x + (y – 1)i là số ảo x = 0 và y ≠ 1. Vậy tập hợp các điểm biểu z i diễn nằm trên trục Oy (trừ điểm cĩ tung độ bằng 1). z 2 3i Ví dụ 5: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho u là một số thuần ảo. z i a 2 bi 3i (a 2 (b 3)i)(a (b 1)i) Giải: Giả sử z a ib (a,b R) , khi đĩ u a (b 1)i a 2 (b 1)2 Tử số bằng a 2 b2 2a 2b 3 2(2a b 1)i a 2 b2 2a 2b 3 0 (a 1)2 (b 1)2 5 u là số thuần ảo khi và chỉ khi: 2a b 1 0 (a;b) (0;1), ( 2; 3) Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I( 1; 1) , bán kính bằng 5 , khuyết 2 điểm (0;1) và (-2;-3). z 2 3i Ví dụ 6. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: 1(*) z 4 i Giải: Giả sử z a bi (a 2)2 (b 3)2 (a 4)2 (b 1)2 3a b 1 0 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng cĩ phương trình 3x-y-1=0. Ví dụ 7: Tìm quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức  (1 i 3)z 2 biết số phức z thỏa mãn: z 1 2 (1) . Giải: Giả sử  a bi a 2 bi a 3 (b 3i) Ta cĩ a bi (1 i 3)z 2 z z 1 1 i 3 1 i 3 a 3 (b 3)i a 3 (b 3)i (a 3)2 (b 3)2 (1) 2 2 2 1 i 3 1 i 3 2 (a 3)2 (b 3)2 16 Vậy quĩ tích các điểm M biểu diễn số phức là hình trịn (x 3)2 (y 3)2 16 (kể cả những điểm nằm trên biên). Ví dụ 8: Cho z1 = 1 + i; z2 = -1 - i. Tìm z3 C sao cho các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 tạo thành tam giác đều. Giải: Giả sử z3 = x+yi Để các điểm biểu diễn của z1, z2 , z3 tạo thành một tam giác đều thì 2 2 4 4 x 1 y 1 2 2 z1 z2 z1 z3 x 1 y 1 8 2 2 z1 z2 z2 z3 x y 0 4 4 x 1 y 1 2y2 = 6 y = x3 =  3 Vậy cĩ hai số phức thoả mãn là: z3 = 3 (1+i) và z3 = -3 (1-i) Ví dụ 9: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện 1 sau: z 2 z
1 Giải: Giả sử z = x + yi z 2 z2 1 2 z z x2 y2 1 2y (x2 – y2 +1)2 +4x2y2 = 4(x2 + y2) (x2 + y2 -1)2 = 4y2 2 2 x y 1 2y Tập hợp các điểm M(x;y) biểu thị số phức z là hợp của hai đường trịn: x2 + y2-2y – 1 = 0 và x2 + y2 +2y – 1 = 0 B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho (làz số1 )thực(z i.) A. Đường thẳng x y 1 0 B. Đường trịn x2 y2 x y 0 C. Đường trịn x2 y2 x y 0 D. Đường thẳng x y 1 0 Câu 2: Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1 (1 i)(2 i), z2 1 3i, z3 1 3i . Tam giác ABC là: A. Một tam giác đều. B. Một tam giác vuơng (khơng cân). C. Một tam giác vuơng cân. D. Một tam giác cân (khơng đều). Câu 3: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 – i, 5 + 4i , 3 + i. Tìm số phức z biểu diễn bởi điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành A. 6i – 7 B. 7 + 6i C. 6 – 7i D. 6 + 7i 1 Câu 4: Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức sao cho z i là số thuần ảo. A. Trục hồnh, bỏ điểm (-1; 0) B. Đường thẳng x = -1, bỏ điểm (-1; 0) C. Đường thẳng y = 1, bỏ điểm (0; 1). D. Trục tung, bỏ điểm (0; 1) Câu 5: Trong mặt phẳng phức Oxy , cho ba điểm A,B,C biểu diễn cho 3 số phức z1 3 i,z2 2 3i,z3 1 2i . Xác định độ lớn của số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC A. 1 B. 5 C. 2 D. 3 Câu 6: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 1 + i , 2 + 3i , 1 – 2i. Số phức z biểu diễn bởi điểm Q sao cho MN 3MQ 0 là: 2 1 2 1 2 1 2 1 A. i B. i C. i D. i 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 7: Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 1 i 1 là A. Đường trịn tâm I 1,1 , bán kính R 1 B. Đường trịn tâm I 1, 1 , bán kính R 1 C. Hình trịn tâm I 1,1 , bán kính R 1 D. Hình trịn tâm I 1, 1 , bán kính R 1 Câu 8: Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuơng tại C; Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số phức: z1 -2 4i,z2 2 -2i . Khi đĩ, C biểu diễn số phức: A. z 2 4i B. z 2 7i C. z 2 2i D. z 2 4i Câu 9: Cho các số phức: z 1 3i;z 2 +2i;z 1 i được biểu diễn lần lượt bởi các điểm A, B, C 1 2  3  trên mặt phẳng. Gọi M là điểm thỏa mãn: AM AB AC . Khi đĩ điểm M biểu diễn số phức: A. z 6i B. z 6i C. z 2 D. z 2    Câu 10: Tromg mặt phẳng phức cho hai điểm A(4; 0), B(0; - 3). Điểm C thỏa mãn: OC OA OB . Khi đĩ điểm C biểu diễn số phức: A. z 3 4i B. z 4 3i C. z 3 4i D. z 4 3i Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1 1 2i , B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. B biểu diễn số phức nào sau đây: A. z 1 2i B. z 1 2i C. z 2 i D. z 3 2i
Câu 12: Cho 3 số phức i, 2 – 3i, 3 4 i cĩ điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là A, B, C; Tìm số phức biểu diễn trọng tâm G của tam giác ABC. 1 2 1 2 1 2 1 2 A. i B. i C. i D. i 3 3 3 3 3 3 3 3 Câu 13: Cho số phức z 6 7i . Số phức liên hợp của z cĩ điểm biểu diễn là: A. (6;7) B. (6; 7) C. ( 6; 7) D. ( 6;7) Câu 14: Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức - 4, 4i, x + 3i. Với giá trị thực nào của thì A, B, M thẳng hàng? A. x = - 2 B. x = 1 C. x = - 1 D. x = 2 Câu 15: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng Oxy biết (1 i)z là số thực là: A. Trục Ox B. Trục Oy C. Đường thẳng y x D. Đường thẳng y x Câu 16: Tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn z 4 là A. Đường trịn B. Đường thẳng C. Phần bên trong đường trịn cĩ tâm là O và cĩ bán kính R = 4 D. Đường hypebol Câu 17: Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là đường Δ y thẳng như hình vẽ. Giá trị z nhỏ nhất là: A. 2 B. 1 1 1 O 1 C. 2 D. x 2 Câu 18: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – 3i, z3 = 5 + 4i. Chu vi của tam giác ABC là: A. 26 2 2 58 B. 26 2 58 C. 22 2 2 56 D. 22 2 58 4i 2 6i Câu 19: Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diển các số phức z , z 1 i 1 2i , z . 1 1 i 2 3 3 i Khi đĩ, mệnh đề nào dưới đây là đúng. A. A, B, C thẳng hàng B. Tam giác ABC là tam giác tù C. Tam giác ABC là tam giác đều D. Tam giác ABC là tam giác vuơng cân Câu 20: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 z 2 5 cĩ dạng là: 2 2 2 2 x y 2 2 x y 2 2 A. 1 B. x y 9 C. 1 D. x y 16 25 9 9 25 9 4 4 9 Câu 21: Cho số phức  iz 1 với | z 1 2i | 2 . Khi đĩ tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức  trên mặt phẳng Oxy là: 2 2 2 2 A. (x 1) (y 2) 2 B. (x 1) (y 3) 2 2 2 2 2 C. (x 3) (y 1) 2 D. (x 3) (y 1) 2 Câu 22: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z 2 z 2 10 là: A. Parabol B. Hình trịn C. Đường thẳng D. Elip Câu 23: Cho biết cĩ hai số phức z thỏa mãn | z | 5 và cĩ phần thực bằng hai lần phần ảo. Hai điểm biểu diễn của hai số phức đĩ: A. Đối xứng nhau qua trục thực. B. Cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuơng
C. Đối xứng nhau qua trục ảo. D. Đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Câu 24: Tập hợp các số phức w 1 i z 1 với z là số phức thỏa mãn | z 1| 1 là hình trịn cĩ diện tích là A. B. 3 C. 4 D. 2 Câu 25: Cho số phức z = a + a2i với a R. Khi đĩ điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: A. Đường thẳng y = - x + 1 B. Parabol y = - x2 C. Đường thẳng y = 2x D. Parabol y = x2 Câu 26: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z 2 i z A. 4x 2y 3 0 B. 4x 2y 3 0 C. 4x 2y 3 0 D. 4x 2y 3 0 Câu 27: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãnz 1 i 2 là A. Đường trịn tâm (1; 2), bán kính R = 1. B. Đường trịn tâm ( - 1; 1), bán kính R = 2. C. Đường trịn tâm (1; - 1), bán kính R = 2. D. Đường thẳng x y 2 Câu 28: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp tất các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện: z 3 4i 2 cĩ dạng 2 2 A. x 3 y 4 4 B. 2x 3y 4 0 2 2 C. x 4 y 3 4 D. 2x 3y 4 0 Câu 29: Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn | z i | | 1 i z | là đường trịn cĩ phương trình A. x2 y2 2x 1 0 B. x2 y2 2y 1 0 C. x2 y2 2x 1 0 D. x2 y2 2y 1 0 Câu 30: Số phức z thỏa mãn z 2 i z 3 5i cĩ điểm biểu diễn M, thì A. M nằm trong gĩc phần tư thứ nhất B. M nằm trong gĩc phần tư thứ hai. C. M nằm trong gĩc phần tư thứ ba. D. M nằm trong gĩc phần tư thứ tư. 4i Câu 31: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức , (1 – i)(2i i 1 2 6i + 1), . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 3 i A. Tam giác ABC cĩ diện tích bằng 2 B. Tam giác ABC đều C. Tam giác ABC vuơng cân D. Tam giác ABC cĩ chu vi bằng 4 Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiệnz 3 2i 5 là: A. Đường trịn tâm I( - 3;2) bán kính bằng 5 B. Đường trịn tâm I(3; - 2) bán kính bằng 5 C. Đường trịn tâm I( - 3; - 2) bán kính bằng 5 D. Đường trịn tâm I(3;2) bán kính bằng 5 2 Câu 33: Giả sử z1,z2 là hai nghiệm của phương trình z 2z 5 0 và A, B là các điểm biểu diễn của z1,z2 . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là: A. 0,1 B. 0, 1 C. 1,1 D. 1,0 Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là: A. Đường trịn tâm I(3; 4) bán kính R = 2 B. Đường trịn tâm I(3; - 4) bán kính R = 2 C. Hình trịn tâm I(3; - 4) bán kính R = 2 D. Hình trịn tâm I(3; 4) bán kính R = 2 Câu 35: Cho A, B, M lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 4;4i;x 3i. Với giá trị thực nào của x thì A, B, M thẳng hàng: A. x 1 B. x 1 C. x 2 D. x 2 Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn z2 là số ảo. Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là: A. Đường thẳng B. Parabơn C. Elip D. Đường trịn
Câu 37: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Giả sử điểm M biểu diễn số phức z , điểm N biểu diễn số phức z . Khi đĩ: A. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục Oy B. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục Ox. C. Hai điểm M, N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. D. Tất cả đều sai. Câu 38: Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C biểu diễn các số phức z 1 4i , z 2 i , z 4 i . Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác A, B, C biểu diễn số phức nào? A. z 2 3i B. z 3 3i C. z 2 3i D. z 4 i Câu 39: Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 2 3i . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là: A. Đường trịn tâm I(1; 2) bán kính R = 1 B. Đường thẳng cĩ phương trình x - 5y - 6 = 0 C. Đường thẳng cĩ phương trình 2x - 6y + 12 = 0 D. Đường thẳng cĩ phương trình x - 3y - 6 = 0 z 2 3i Câu 40: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z biết z thỏa mãn: 1 là: z 4 i A. Đường trịn tâm I( - 2;3) bán kính r = 1 B. Đường thẳng: 3x - y - 1 = 0 C. Đường thẳng: 3x + y - 1 = 0 D. Đường trịn tâm I( - 4;1) bán kính R = 1 Câu 41: Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 2i z 1 3i là: A. Một Hyperbol B. Một đường trịn. C. Một parabol D. Một đường thẳng Câu 42: Trong mặt phẳng phức tập hợp các điểm biểu diễn số phức z x yi thỏa mãn z i z 3i 2 là A. Đường trịn C tâm I 0;1 , bán kinh R 3 . B. Đường thẳng D: x 2y 3 0 C. Đường trịn C tâm I 2; 3 , bán kinh R 3 . D. Đường thẳng D: y 0 . Câu 43: Cho các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự được biểu diễn bởi các số: 1 i, 2 4i, 6 5i . Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành: A. 3 B. 7 8i C. 3 8i D. 5 2i z Câu 44: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2 là: z i 4 A. bán kính I 0; bán kính 2 B. bán kính bán kính 1 r I 1;0 r 3 3 3 I 0;1 2 4 1 C. Đường trịn bán kính r D. bán kính I 0; bán kính r 3 3 3 Câu 45: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn các điều kiện sau đây, tập hợp nào là hình trịn: A. 3 i z z 2 B. z 1 i z C. z 2i 3 i D. z 1 i 2 Câu 46: Điểm M( 1;3) là điểm biểu diễn của số phức: A. z 1 3i B. z 1 3i C. z 2i D. z 2 Câu 47: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn lần lượt các số phức 4i 2 6i z ,z 1 i 1 2i ,z 1 i 1 2 3 3 i Nhận xét nào sau đây là đúng nhất A. Ba điểm A, B, C thẳng hàng B. Tam giác ABC là tam giác vuơng C. Tam giác ABC là tam giác cân D. Tam giác ABC là tam giác vuơng cân
Câu 48: Cho số phức z = 1 + bi , khi b thay đổi tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là A. Đường thẳng y - b = 0 B. Đường thẳng x - 1 = 0 C. Đường thẳng bx + y - 1 = 0 D. Đường thẳng x - y - b = 0 Câu 49: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 3i, 2 2i, 4 2i,1 7i, 3 4i,1 3i, 3 2i Nhận xét nào sau đây là sai A. Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp B. Hai tam giác ABC và MNP là hai tam giác đồng dạng C. Hai tam giác ABC và MNP cĩ cùng trọng tâm D. A và N là hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox Câu 50: Cho A, B, C lần lượt là ba điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa z1 z2 z3 Mệnh đề nào sau đây là đúng A. O là trọng tâm tam giác ABC B. O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC C. Tam giác ABC là tam giác đều D. Trọng tâm tam giác ABC là điểm biểu diễn số phức z1 + z2 + z3 Câu 51: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi trong mặt phẳng phức. Khi đĩ khoảng cách OM bằng: A. Mơđun của a + bi B. a 2 b2 C. a b D. a 2 b2 Câu 52: Cho số phức z 6 7i . Số phức liên hợp của z cĩ điểm biểu diễn là: A. (6; 7) B. (6; –7) C. (–6; 7) D. (–6; –7) Câu 53: Cho số phức z = 5 – 4i. Số phức đối của z cĩ điểm biểu diễn là: A. ( - 5; - 4) B. (5; - 4) C. (5;4) D. ( - 5;4) Câu 54: Số phức z = 2 – 3i cĩ điểm biểu diễn là: A. ( - 2;3) B. (2;3) C. ( - 2; - 3) D. (2; - 3) Câu 55: Tọa độ điểm M biểu diễn cho số phức z 3 i A. M( 3;i) B. M( 3;0) C. M(0; 3) D. M( 3;1) 1 Câu 56: Điểm biểu diễn của số phức z là: 2 3i 2 3 A. (3; –2) B. ; C. (2; –3) D. (4; –1) 13 13 Câu 57: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = 2 + 3i. Tìm mệnh đề đúng của các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hồnh D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x Câu 58: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i 2 i 2 là: 2 2 A. x 1 y 2 4 B. x 2y 1 0 2 2 C. 3x 4y 2 0 D. x 1 y 2 9 Câu 59: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i z i 4 là một: A. Đường trịn B. Đường Hypebol C. Đường elip D. Hình trịn Câu 60: Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = - 2 + 5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hồnh C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O
D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung Câu 61: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z2 là số ảo là: A. Trục ảo B. 2 đường phân giác y = x và y = - x của các trục tọa độ C. Đường phân giác của gĩc phần tư thứ nhất D. Trục hồnh Câu 62: Phương trình z2 2z b 0 cĩ 2 nghiệm phức được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi hai điểm A và B . Tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) đều thì số thực b bằng: A. B, C, D đều sai B. 3 C. 2 D. 4 Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 và w 2z 1-i . Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường trịn tâm I , bán kính R là A. I(3; 4),R 2 B. I(4; 5),R 4 C. I(5; 7),R 4 D. I(7; 9),R 4 Câu 64: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện phần thực bằng 3 lần phần ảo của nĩ là một A. Parabol B. Đường trịn C. Đường thẳng D. Elip Câu 65: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z (4 3i) 2 là đường trịn tâm I , bán kính R A. I(4;3),R 2 B. I(4; 3),R 4 C. I( 4;3),R 4 D. I(4; 3),R 2 Câu 66: Trong mặt phẳng Oxy, gọi A, B, C, D lần lượt là bốn điểm biểu diễn các số phức z1 2 i, z2 5i, z3 3 2i, z4 1 2i . Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Tam giác ABC vuơng tại A B. Điểm M(1;2) là trung điểm của đoạn thẳng CD. C. Tam giác ABC cân tại B . D. Bốn điểm A, B, C, D nội tiếp được đường trịn. Câu 67: Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1 7 3i, z2 8 4i, z3 1 5i, z4 2i . Chọn kết luận đúng nhất: A. ABCD là hình bình hành. B. ABCD là hình vuơng. C. ABCD là hình chữ nhật. D. ABCD là hình thoi. Câu 68: Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1 1 5i, z2 3 i, z3 6 . M, N, P là 3 đỉnh của tam giác cĩ tính chất: A. Vuơng B. Vuơng cân C. Cân D. Đều Câu 69: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp các điểm M(z) thỏa mãn điều kiện: z 1 i = 2 A. Đáp án khác B. (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4 C. (x - 1)2 + (y - 1)2 = 4 D. (x - 1)2 + (y + 1)2 = 4 Câu 70: Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn z 5i z 5i 10 là: A. Đường trịn B. Đường elip C. Đường thẳng D. Đường parabol Câu 71: Trong mặt phẳng phức, cho 3 điểm A, B, C lần lượt biểu diễn cho 3 số phức 2 z1 1 i, z2 (1 i) , z3 a i, a R . Để tam giác ABC vuơng tại B thì a A. - 3 B. - 2 C. 3 D. - 4 Câu 72: Tập hợp điểm biễu diễn số phức z thoả z 2i 3 là đường trịn tâm I. Tất cả giá trị m thoả 1 khoảng cách từ I đến d: 3x + 4y – m = 0 bằng là? 5 A. m 10;m 14 B. m 10;m 12 C. m 10;m 11 D. m 7;m 9 Câu 73: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thỏa z 3 2i 4 là A. Đường trịn tâm I( - 3;2), bán kính R = 4. B. Đường trịn tâm I(3; - 2), bán kính R = 16. C. Đường trịn tâm I(3; - 2), bán kính R = 4. D. Đường trịn tâm I( - 3;2), bán kính R = 16.
Câu 74: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z (3 4i) 2 trong mặt phẳng Oxy là: A. Đường thẳng 2x y 1 0 B. Đường trịn (x 3)2 (y 4)2 4 2 2 C. B và C đều đúng. D. Đường trịn x y 6x 8y 21 0 Câu 75: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả điều kiện: z 1 i z 3 2i là: A. Đường thẳng B. Elip C. Đoạn thẳng D. Đường trịn Câu 76: Cho phương trình x2 – 2x + 2 = 0. Gọi A và B lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm của pt. Khi đĩ diện tích tam giác OAB là: A. 1đvdt B. 2đvdt C. đvdt D. đvdt Câu 77: Trong mặt phức cho tam giác ABC vuơng tại C; Biết rằng A, B lần lượt biểu diễn các số phức: z1 = - 2 – 4i; z2 = 2 – 2i. Khi đĩ cĩ một điểm C biểu diễn số phức: A. z = 2 – 4i B. z = - 2 + 2i C. z = 2 + 2i D. z = -2 – 2i, z = 2 -4i Câu 78: Trong mặt phẳng phức cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu diễn các số phức z1 = 2; z2 = 4 + i ; z3 = - 4i. M là điểm sao cho: OA OB OC 3OM 0 . Khi đĩ M biểu diễn số phức: A. z = 18 –i B. z = - 9 + 18i C. z = 2 – i D. z = - 1 + 2i Câu 79: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A biểu diễn số phức z1 = 1 + 2i. B là điểm thuộc đường thẳng y = 2 sao cho tam giác OAB cân tại O. B biểu diễn số phức nào sau đây: A. z = - 1 + 2i B. z = 1 – 2i C. z = - 1 – 2i D. z = 1 + 2i Câu 80: Gọi M và M’ theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z 0 và z i z(z 1) . Tam giác OMM’ là tam giác gì? A. Tam giác vuơng B. Tam giác cân C. Tam giác vuơng cân D. Tam giác đều Câu 81: Điểm biểu diễn của các số phức z = a + ai với a R, nằm trên đường thẳng cĩ phương trình là: A. y = x B. y = 2x C. y = 3x D. y = 4x Câu 82: Cho số phức z = a - ai với a R, điểm biểu diễn của số phức đối của z nằm trên đường thẳng cĩ phương trình là: A. y = 2x B. y = - 2x C. y = x D. y = - x Câu 83: Cho số phức z = a + a2i với a R. Khi đĩ điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: y y y 3i x x x - O 2 O O 2 - 2 2 - (Hình 3) (Hình 1) (Hình3i 2) A. Đường thẳng y = 2x B. Đường thẳng y = - x + 1 2 2 C. Parabol y = x D. Parabol y = - x  Câu 84: Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức z 1, z2. Khi đĩ đọ dài của véctơ AB bằng: A. z1 z2 B. z1 z2 C. z2 z1 D. z2 z1 Câu 85: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z i 1 là: A. Một đường thẳng B. Một đường trịn C. Một đoạn thẳng D. Một hình vuơng Câu 86: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z 2 là một số thực âm là: A. Trục hồnh (trừ gốc toạ độ O) B. Trục tung (trừ gốc toạ độ O) C. Đường thẳng y = x (trừ gốc toạ độ O) D. Đường thẳng y = - x (trừ gốc toạ độ O)
Câu 87: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z2 là một số ảo là: A. Trục hồnh (trừ gốc toạ độ O) B. Trục tung (trừ gốc toạ độ O) C. Hai đường thẳng y = ±x (trừ gốc toạ độ O) D. Đường trịn x2 + y2 = 1 Câu 88: Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện z2 = (z )2 là: A. Trục hồnh B. Trục tung C. Gồm cả trục hồnh và trục tung D. Đường thẳng y = x z i Câu 89: Cho số phức z = x + yi. (x, y R). Tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho là một số z i thực âm là: A. Các điểm trên trục hồnh với - 1 < x < 1B. Các điểm trên trục tung với - 1 < y < 1 x 1 y 1 C. Các điểm trên trục hồnh với D. Các điểm trên trục tung với x 1 y 1 C - ĐÁP ÁN 1D, 2C, 3B, 4D, 5C, 6B, 7C, 8A, 9A, 10B, 11A, 12B, 13B, 14C, 15C, 16C, 17D, 18A, 19D, 20A, 21A, 22B, 23D, 24C, 25B, 26C, 27B, 28A, 29D, 30D, 31C, 32D, 33D, 34D, 35B, 36A, 37, 38B, 39C, 40B, 41D, 42D, 43D, 44A, 45C, 46D, 47B, 48D, 49B, 50B, 51A, 52B, 53C, 54D, 55D, 56B, 57D, 58A, 59C, 60D, 61B, 62A, 63D, 64C, 65D, 66D, 67B, 68A, 69D, 70B, 71A, 72D, 73A, 74B, 75A, 76A, 77D, 78C, 79A, 80B, 81A, 82C, 83D, 84C, 85D, 86A, 87C, 88C, 89B.
DẠNG 7: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC A – CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Viết số phức sau dạng lương giác: z 3 i 3 i Giải: z 2 2 cos sin .i 2 cos isin 2 2 6 6 6 6 Ví dụ 2: Tìm acgumen của số phức: z 2 sin icos 5 5 3 3 3 3 Giải: z 2 cos( ) isin( ) 2 cos isin 2 cos( ) isin( ) 2 5 2 5 10 10 10 10 3 acgumen của z là k2 10 Ví dụ 3: Viết số phức sau cĩ dạng lượng giác: z = 2-2i 1 1 Giải: z 2 2 i 2 2 cos isin 2 2 cos( ) isin( ) 2 2 4 4 4 4 Ví dụ 4: Tìm acgumen của z 2 3 2i . 3 1 Giải: z 2 3 2i 4 i 4 cos isin 4 cos( ) isin( ) 2 2 6 6 6 6 Vậy acgumen của z là k2 6 Ví dụ 5: Biết z 1 i 3 . Tìm dạng đại số của z2012 1 3 z 1 i 3 Giải: =2 i 2 cos isin 2 cos( ) isin( ) 2 2 3 3 3 3 2012 2012 z2012 (2 2)2012.(cos isin ) (2 2)2012.( 1 i.0) (2 2)2012 4 4 20 15 Ví dụ 6: Cho z1 1 i ; z2 2 3 2i . Tìm dạng đại số của z .z 1 1 Giải: z1 1 i 2 i 2 cos isin 2 cos( ) isin( ) 2 2 4 4 4 4 20 20 20 20 10 10 z1 ( 2) . cos( ) isin( ) 2 .( 1 i.0) 2 4 4 3 1 z 2 3 2i 4 i 4 cos isin 2 2 2 6 6 15 15 15 15 15 15 z2 4 . cos isin 4 .(0 i1) 4 i 6 6 Suy ra z20.z15 240 i 2 Ví dụ 7: Gọi z1 ; z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z 2 3iz 4 0 , viết dạng lượng giác của z1 ; z2 . Giải: z2 2 3i.z 4 0 , 3i2 4 4 3 1 z1 3i 1;z2 3i 1
1 3 2 2 z 2 i 2 cos isin 1 2 2 3 3 1 3 z 2 i 2 cos isin 2 2 2 3 3 Ví dụ 8: Tính : a) (1 + i)5 b) (1 + 3 i)9 Giải: 5 5 5 5 5 2 2 a) (1 + i) = 2 cos isin ( 2) cos isin 4 2 i 4(1 i) . 4 4 4 4 2 2 b) Ta tìm dạng lượng giác của 1 3i . r 1 3 2 1 Ta cĩ : cos suy ra r = 2 và = /3 2 3 sin 2 Dạng lượng giác của 1 3i là : 2(cos /3 + isin /3) 1 Ví dụ 9: Cho số phức w = (1 i 3) . Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi cĩ chăng một 2 số nguyên dương m để wm là số ảo ? 1 4 4 4n 4n Giải: Ta cĩ : w = w(1 i 3) cos isin n =cos isin (n guyên dương). Số này 2 3 3 3 3 4n là số thực khi và chỉ khi sin 0 4n/3 phải là số nguyên, tức là n phải là một bội nguyên dương 3 của 3. 4m Số wm (m nguyên dương) là số ảo khi và chỉ khi cos 0 , tức là khi và chỉ khi cĩ số nguyên k để 3 4m 1 k 8m – 6k = 3, ta thấy VT chia hết cho 2, VP khơng chia hết cho 2. Vậy khơng cĩ số 3 2 nguyên dương m để wm là số ảo. 0 2 4 6 2010 2012 Ví dụ 10:Tính tổng S C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 2012 0 1 2 2 3 3 2011 2011 2012 2012 Giải: Ta cĩ (1 i) C2012 C2012i C2012i C2012i C2012i C2012i 2012 0 1 2 2 3 3 2011 2011 2012 2012 (1 i) C2012 C2012i C2012i C2012i C2012i C2012i 2012 2012 0 2 6 2010 2012 Suy ra (1 i) (1 i) 2(C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 2S Mặt khác (1 i)2012 [ 2(cos isin )]2012 21006 (cos503 isin 503 ) 21006 4 4 (1 i)2012 [ 2(cos isin )]2012 21006 (cos 503 isin 503 ) 21006 4 4 Từ đĩ S 21006 Ví dụ 11: Dùng cơng thức khi triển nhị thức Niu-tơn (1 + i)19 và cơng thức Moa-vro để tính : 0 2 4 16 18 C19 C19 C19 C19 C19 Giải: 19 0 2 2 4 4 16 16 18 18 1 3 3 19 19 Ta cĩ : (1 + i) = (C19 C19i C19i C19i C19i ) (C19i C19i C19i )
0 2 4 16 18 1 3 5 17 19 = C19 C19 C19 C19 C19 (C19 C19 C19 C19 C19 ).i 0 2 4 16 18 phần thực là C19 C19 C19 C19 C19 19 19 19 19 19 Theo Moa-vro, ta cĩ : (1 + i) = 2 cos isin ( 2) cos isin 4 4 4 4 19 2 2 9 9 = ( 2) i 2 2 .i 2 2 9 0 2 4 16 18 9 phần thực là : −2 . Vậy : C19 C19 C19 C19 C19 = −2 = −512. Cách khác: (1 + i)2 = 2i (1 + i)19 = (2i)9(1 + i) = 29.i(1 + i) = 29(−1 + i), từ đĩ suy ra số cần tìm. B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Số phức z = 8i viết dưới dạng lượng giác là: 3 3 A. z = 8 cos isin B. z = 8 cos isin 2 2 2 2 C. z = 8 cos0 isin 0 D. z = 8 cos isin Câu 2: Dạng lượng giác của số phức z = 2 cos isin là: 6 6 11 11 7 7 A. z = 2 cos isin B. z = 2 cos isin 6 6 6 6 5 5 13 13 C. z = 2 cos isin D. 2 cos isin 6 6 6 6 3 3 Câu 3: Số phức nào dưới đây được viết dưới dạng lượng giác của số phức z i 2 2 2 2 A. 2 sin icos B. 3 cos isin 5 5 3 3 1 C. 2 2 cos isin D. cos isin 5 5 2 7 7 Câu 4: Cho số phức z = - 1 - i. Argumen của z (sai khác k2 ) bằng: 3 5 7 A. B. C. D. 4 4 4 4 Câu 5: Cho số phức z = cos + isin . kết luận nào sau đây là đúng: A. zn zn n cos B. zn zn 2cos n C. zn zn 2n cos D. zn zn 2cos 0 0 0 0 Câu 6: Cho z1 3 cos 20 isin 20 , z2 2 cos110 isin110 . Tích z1. z2 bằng: A. 6(1 - 2i) B. 4i C. 6i D. 6(1 - i) 0 0 0 0 z1 Câu 7: Cho z1 8 cos100 isin100 , z2 4 cos 40 isin 40 . Thương bằng: z2 A. 1 + i 3 B. 2 1 i 3 C. 1 - i 3 D. 2(1 + i) C – ĐÁP ÁN 1B, 2A, 3B, 4B, 5B, 6C, 7A.