›
›
›

Toán 9 - Tổng hợp các bài toán về rút gọn biểu thức chứa căn

pdf 62 trang hoaithuong97 4490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Toán 9 - Tổng hợp các bài toán về rút gọn biểu thức chứa căn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftoan_9_tong_hop_cac_bai_toan_ve_rut_gon_bieu_thuc_chua_can.pdf

Nội dung text: Toán 9 - Tổng hợp các bài toán về rút gọn biểu thức chứa căn

  1. 1 Bà i 1: Cho biểu thức 8 x 3 x 2 23 x 3 x 2 4 A : 2 3 x . ( x 8; x 8; x 0) 3 3 3 3 2 3 2 x 2 x x 2 x 2 x Chứng minh A không phụ thuộc biến số H•ớng dẫn Cho biểu thức ( Chứng minh A không phụ thuộc biến số (2 3 x)(4 23 x 3 x 2 ) 4 23 x 3 x 2 3 x 2 23 x 23 x (3 x 2)(3 x 2) A : . 3 3 3 3 3 2 x 2 x x 2 x( x 2) (2 3 x)(4 23 x 3 x 2 ) 2 3 x 3 x 2 23 x 23 x (3 x 2)(3 x 2) A . . 3 3 3 2 3 3 3 2 x 4 2 x x x 2 x( x 2) A 2 3 x 3 x 2 x Bà i 2 : Cho biểu thức 1 1 2 1 1 x3 y x x y y 3 A . : 3 3 x y x y x y xy x y 1) Rút gọn A 1 2) Tìm x ; y biết xy ; A 5 36 Hướng dẫn: 1) x y 2 x y x y x xy y xy ( x y) A . . : xy x y xy xy x y 2 x y xy x y x y A . xy x y x y xy 5 1 2) A 5 x y 5 xy x y theo GT xy 6 6 theo Viet đảo x; y là nghiệm dương của phương trỡnh bậc 2 5 1 1 1 t 2 t 0 6t 2 5t 1 0 1 t ;t 6 6 1 2 2 3 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  2. 2 1 1 1 1 vậy x; y ; ; ; 4 3 3 4 Bà i 3 : 1. Rút gọn biểu thức A 2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên H•ớng dẫn 1. ĐKXĐ : x -26;x -6;x -3;x 1;x 2; 3 x 6 x 4 x 4 1 x3 4x 2 x 4 x 2 3x 26x 78 A . : 2 6 2 2 x 1 x (x 6) (x 6) 3(x 2x 6x 12) 3 x 6 1 (x 4)(x 2 1) (x 3)(x 26) A . : 2 6 2 x 1 (x 6)(x 1) 3(x 2)(x 6) 3 x 4 3(x 2)(x 6) 3x 18 2x 8 3(x 2)(x 6) A . . 2 x 6 (x 3)(x 26) 2(x 6) (x 3)(x 26) 3x 18 2x 8 3(x 2)(x 6) x 26 3(x 2)(x 6) 3(x 2) A . . 2(x 6) (x 3)(x 26) 2(x 6) (x 3)(x 26) 2(x 3) 3(x 2) 2. A 2(x 3) Vì A Z nên 2A Z . 3(x 2) 3(x 3) 15 15 Xét 2A 3 Z x 3 U(15) x 3 x 3 x 3 x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -18 -8 -6 -4 -2 0 2(loại) 12 2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2 A 2 3 4 9 -6 ( loại) -1 0 1 Vậy x 18; 8;; 4; 2;0;12  thì A nguyên Bà i 4 : Cho biểu thức x y x2 y2 y 2 4x4 4x2 y y2 4 A : 2 2 2 2y x 2y xy x x y xy x Với x 0; y 0; x 2y; y 2 2x 2 1. Rút gọn biểu thức A 2 2. Cho y=1 hóy tỡm x để A 5 Hướng dẫn : Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  3. 3 x y x2 y 2 y 2 4x4 4x2 y y 2 4 1.A : 2 2 2 2y x 2y xy x x y xy x x y x2 y 2 y 2 (x y)(x 1) A . 2 2 2y x (x y)(2y x) (2x y 2)(2x y 2) 2x2 y 2 (x y)(x 1) x 1 A . (x y)(2y x) (2x2 y 2)(2x2 y 2) (2y x)(2x2 y 2) 2. với y= 1 ta cú x 1 2 3 2 A 2 4x 8x 11x 7 0 2 x 2x 3 5 (x 1)(4x2 4x 7) 0 x 1 a ba bab 22 Bài 5 : Cho biểu thức : Pa b ., ,0 2222 a ba b aba bab A, Rút gọn P=? B, Biết a-b=1 tìm GTNN 2 2 a) P= a b b (b 1)2 b2 2b2 2b 1 1 b) Vì a-b=1 => a=1+b => P= = = 2b+ +2 2 2 +2 b b b 2 2  GTNN P = 2 2 +2 2b = b= và a= +1 2 2 Bài 5 : abab ab2ab Cho biểu thức D = : 1 với a > 0 , b > 0 , ab 1 11 abab 1ab a) Rỳt gọn D. b) Tớnh giỏ trị của D với a = 2 2 3 Rỳt gọn D : Biểu thức D = : Với ĐK : a > 0 , b > 0 , ab 1 Biểu thức D cú nghĩa Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  4. 4 a b 11 ab a b ab 12 ab a b ab D : 11 ab ab 2a 2 b a 1 ab a b 2a 1 b 1 a 1 b :: 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 21ab 12 ab a . 1 ab 1 a 1 b 1 a 2 2 b) a = = 4 2 3 3 2 3 1 3 1 2 3 2 231 231 2312325232 3 31 632 => D (Vỡ 523523523 131313 31 >0) Bài 6 : Cho biểu thức a 1 2 a A = 1: 1- . 1 a a 1 (a 1)( a 1) a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) với giá trị nào của a thì A có giá trị nguyên. Giải : Ta có: A = 1 a a a 1 2 a A = 1: . 1 a (a 1)( a 1) 1 ( a 1) 2 A = 1: . 1 a (a 1)( a 1) a 0 a 0 a) Biểu thức A có nghĩa khi: 1 a 0 a 0 (*) a 1 0 a 1 a 1 a 1 0 b) Với điều kiện (*), ta có: A = (1 a)( a 1) 2 a 1 A = (a 1)( a 1) a 1 c) Ta có: Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  5. 5 A = = 1 - 2 a 1 Biểu thức A có giá trị nguyên khi: 2(a 1) hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3} Kết hợp với điều kiện (*) => a = 0 Bài 7: . Cho biểu thức: x x 3 2( x 3) x 3 P = x 2 x 3 x 1 3 x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5 c) Tìm GTNN của P. Giải Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x 0; x 9 a) Rút gọn: x x 3 2( x 3) x 3 P = ( x 1)( x 3) x 1 x 3 x x 3 2( x 3)2 ( x 3)( x 1) = ( x 3)( x 1) x x 3 2x 12 x 18 x 3 x x 3 = ( x 3)( x 1) x x 3x 8 x 24 x(x 8) 3(x 8) x 8 = = = ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) x 1 b) x = 14 - 6 5 = ( )2 - 2.3. + 9 = ( - 3)2 x = 3 - 14 6 5 8 22 6 5 58 2 5 Khi đó P = = = 3 5 1 4 5 11 Vậy với x = 14 - 6 thì P = c) x 8 x 1 9 9 9 P= x 1 x 1 2 2 9 2 4 x 1 x 1 x 1 x 1 9 ( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số d•ơng x 1; ) x 1 9 Dấu"=" xảy ra x 1 x = 4 (thỏa mãn điều kiện) x 1 Vậy minP = 4, đạt đ•ợc khi x = 4. x 2 5 1 Bài 8 : Cho A= x 3 x x 6 2 x a) Rút gọn A Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  6. 6 b) Tìm x để A có giá trị nguyên xxx 2253 x 4 . a) đk xx 0 ; 4 A= (2đ) xx 32 x 2 x 42 b) A= 1 nguyên khi 2 ( x -2) x = 0; 1; 9; 16 (2đ) xx 22 Bài 9 : Cho biểu thức sau: x 2 x 2x x 2 x 1 P x x 1 x x 1 1. Rút gọn P. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P. 2 x 3. Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị là số nguyên P Điều kiện: 0 x 1 x x 1 x x 1 P 2 x 1 2 x 1 x x 1 P x x 1 2 2 1 1 3 1 3 3 P x 2 x. x với mọi x thoả mãn điều kiện xác định 2 4 4 2 4 4 3 1 1 min P x 0 x 4 2 4 2 x 2 x 2 2 Q P 1 M x x 1 x 1 x 1 Với x 2 M 1 0 Q 2. vì Q nguyên x 2 x Q 1 1 x x 1 7 3 5 7 3 5 x 3 x 1 0 x ; x 2 2 7 3 5 Kết luận: với x thì Q Z 2 Bài 10 : Cho biểu thức x y x y x y 2xy A : 1 1 xy 1 xy 1 xy a, Rút gọn A Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  7. 7 2 b, Tính giá trị của A khi x 2 3 c, Tìm giá trị lớn nhất của A. Giải :a, Điều kiện để A có nghĩa là x 0; y 0;xy 1 x y x y x y 2xy Ta có : A : 1 1 xy 1 xy 1 xy x y . 1 xy x y . 1 xy 1 x y xy : 1 xy 1 xy x x y y y x x x y y y x 1 x y xy : 1 xy 1 xy 2 x 2y x 1 xy 2 x 1 y 2 x . 1 xy 1 x . 1 y 1 x 1 y 1 x 2 b, Ta có : x thoả mãn điều kiện x 0 2 3 2 2 3 2 x 4 2 3 3 1 2 3 2 3 Thay x vào A ta có: 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 2 3 A 4 2 3 1 5 2 3 5 2 3 5 2 3 2 5 3 6 5 2 3 2 3 3 1 2 3 3 1 2 52 2 3 25 12 13 2 c, Với mọi ta có x 1 0 x 2 x 1 0 x 1 2 x 2 x 2 x 1 ( vì x+1>0) 1 A 1 1 x 1 x Vậy giá trị lớn nhất của P = 1 khi x 1 0 x 1 Bài 11: xx 21x 1 Cho biểu thức: A= ( ) : x x 1 x x 1 1 x 2 Với x>0 và x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: 0< A < 2 a. Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  8. 8 x 2 x 1 x 1 A : 3 x 1 x x 1 x 1 2 x 2 x 1 A x 1 x x 1 x x 1 x 1 2 x 2 x x 1 x x 1 2 2 x 1 2 A . 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 b. Vì x 0 nên x x 1 1 2 Mà A A 0 (1) x x 1 2 Vì x 0 x x 1 1 2 tức A x = 3 - 14 6 5 8 22 6 5 58 2 5 Khi đó P = 3 5 1 4 5 11 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  9. 9 x 8 x 1 9 9 9 3) P = = x 1 x 1 + - 2 2 9 - 2 = 4 x 1 x 1 x 1 x 1 ( áp dụng BĐT Côsi cho hai số d•ơng ; ) Dấu " = " sảy ra = x = 4 thoả mãn đk Vậy min P = 4 khi x = 4 x 1 1 Bài 13: Cho biểu thức: A = x 4 x 2 x 2 a). Tìm điều kiện của x để biểu thức A xác định. b). Rút gọn gọn biểu thức A. c). Tính giá trị của A khi x = 25. 1 d). Tìm các giá trị của x để A = 3 Giải: a). (1 điểm) Biểu thức A đ•ợc xác định : x Xac dinh x 0 x 0 x 4 0 (0,5diem) x 4 x 4 x 2 0 x 4 b). : Rút gọn biểu thức A x 1 1 A = x 4 x 2 x 2 x x 2 x 2 = ( x 2) x 2 ( x 2)( x 2) x 2 x 2 x x 2 x 2 x ( x 2) x = = = ( x 2)( x 2) ( x 2)( x 2) x 2 25 5 c). : Khi x = 25 thì A = 25 2 3 d). : A = = 1 1 3 x x 2 4 x 2 x x= ( T/m điều kiện) 2 4 Vậy với x= 1 thì A = . 4 Bài 14: Cho biểu thức x x 1 x 1 x A = : x x 1 x 1 x 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  10. 10 a) Tìm ĐKXĐ của A. Rút gọn A b) Tìm giá trị của x để A = 3 Giải a) ĐKXĐ: x > 0 và x 1 x x 1 x 1 x Ta có: A = : x x 1 x 1 x 1 ( x 1)(x x 1) x 1 x( x 1) x = : ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x x x 1 x 1 x = : = : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x x 2 x 1 2 x = : =  = x 1 x 1 x 1 x x b) A = 3 => = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3 Bài 15: 1 3 2 Cho biểu thức P - x 1 x x 1 x - x 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của P Giải . a) Điều kiện x 0 1 3 2 P - x 1 ( x 1)(x - x 1) x - x 1 x - x 1 - 3 2 x 2 P x x 1 x( x 1) P x x 1 x P x - x 1 2 1 3 x - x 1 x - 0 x 0 b) Ta có 2 4 x 0 x 0 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  11. 11 x nên P 0 ,  x 0 x - x 1 P = 0 x = 0 . Vậy min P = 0 2 Ta có x - 1 0 ,  x 0 x - 2 x + 1 0 x - + 1 ,  x 0 x 1 ,  x 0 x - x 1 P 1  x 0 ; P = 1 x = 1 . Vậy MaxP = 1 khi x = 1 Tóm lại : minP = 0 khi x = 0 ; MaxP = 1 khi x = 1 Bài 16 : Cho biểu thức A = ( xx 1 - xx 1 ): x 2 xx xx x 2 a, Nêu điều kiện phải có của x và rút gọn biểu thức A b, Tìm những giá trị của x để A có giá trị nguyên Giải Câu a, Lập luận giải kết hợp để tìm điều kiện của A. ( x > 0, x 1, x 2) cho (0,5đ) 2 biến đổi biểu thức trong ngoặc: 22xx xx2 A =  x 2 = 24x x 2 x 2 Câu b, A = = 2(x 2) 8 = 2 - 8 x 2 x 2 Để A nguyên nguyên 8M (x+2) hay x+2 là Ư8 Vì x > 0 x+2 > 2 Do đó x+ 2 = 4; x+2 = 8 Tính x = 2 hoặc x = 6 vi x 2 nên x =6 . Thì A có giá trị nguyên. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 17: Cho biểu thức B = - - x 5 x 6 x 2 3 x a. Xác định x để B có nghĩa. b. Rút gọn B. c. Tìm x để B là số nguyên. Giải: a. Ta có: x - 5 x + 6 = ( x - 3)( - 2). Điều kiện: x 0 x 0 3 x 9 2 x 4 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  12. 12 2 x 9 b. B = - x 3 + 2 x 1 ( x 3)( x 2) x 2 x 3 = 2 x 9 ( x 3)( x 3) (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 2) 2 x 9 x 9 2x 4 x x 2 = ( x 3)( x 2) ( x 2)( x 1) = = x 1 ( x 3)( x 2) x 3 4 c/ Vì B = = 1+ Nên B z ( B nguyên) thì x - 3 phải là •ớc của 4 x -3 = x 3 1; 2; 4. Tìm đ•ợc các giá trị thích hợp của x là: 1;4;16;25;49 Bài 18 : Cho biểu thức: x 12x A= (1+ ) : ( ) x 1 xxxxx 11 a>Rút gọn biểu thức A b>Tìm x để A> 1 Giải :a> ĐKXĐ: xx 0;1 xxx 112 A= : x 1 x 1 x xx 11 xxx 112 :(0,5 ) d x 1 x 1 xx 11 xxxx 11 2 :(0,5 ) d x 1 xx 11 xx 1 xx 11  2 (0,5d ) x 1 x 1 xx 1 (0,5d ) x 1 xx 1 Vậy A= với x 1 xx 1 x x 1 x 1 x 2 b> A>1 >1 - 1 > 0 00 x 1 xx 11 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  13. 13 Do xxxx 020101. Kết hợp với ĐKXĐ 01 x thì A> 1 Bài 19 : Cho biếu thức 2x x x x x x x 1 x M = x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 a, Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M. b, Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất Giải : 1 a, Điều kiện để biểu thức có nghĩa là: x 0, x và x#1. 4 2x x x x x x x 1 x M = . x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 x 2x x 1 x x x 1 x x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 x x 1 x x 1 x x x 1 x x x x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 x x 1 x x 1 b, Do x 0 nên M 0. Đẳng thức xảy ra khi x = 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 khi x = 0 Bài 20 : Rút gọn biểu thức sau: xxx 333 a) Mx (2) với x 0, x 3. xx 33 3 x :a> ĐKXĐ: xx 0;1 xxx 112 A= : x 1 x 1 x xx 11 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  14. 14 xxx 112 :(0,5) d x 1 x 1 xx 11 xxxx 112 :(0,5) d x 1 xx 11 xx 1 xx 11  2 (0,5)d x 1 x 1 xx 1 (0,5)d x 1 xx 1 Vậy A= với xx 0 ; 1 x 1 xx 1 xxxx 112 c> A>1 >1 - 1 > 0 00 x 1 xx 11 Do xxxx 020101. Kết hợp với ĐKXĐ 01 x thì A> 1 Bài 16: Cho biểu thức 11xx3 A xxxxx 111 a, Rỳt gọn A b, Tỡm x để A > 0 53 c, Tớnh Giỏ trị của A khi x 9 2 7 Cõu a: a, Điều kiện: x > 1 Axx 21 b, A > 0 khi 12 x c, A = 7 Bài 21 : x 2 x 1 x 1 Cho biểu thức: P: với x > 0 và x 1 x x 1 x x 1 1 x 2 a, Rút gọn P. 2 b, Tìm x để P 7 c, So sánh P2 với 2P Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  15. 15 x2x1x1 P: với x > 0 và x 1 xx1xx11x 2 x2x1x1 : 3 x1 xx1x1 2 x2x1x1 : x1xx1 xx1x1 2 x2xx1xx1 x1x2xxxx12 :. x1xx1x1xx1 2 x1 2 Ta có P ( với x > 0; x 1) x x 1 Nên 222 Pxx17xx60 77xx1 x2x122 2 . P x1xx1 x1xx1 x x 1 x2x30 x20 ( vì x30 với mọi x > 0) x4( t/m đk). 2 Vậy với x = 4 thì P 7 c, So sánh P2 với 2P Ta có ( với x > 0; x 1) 2 13 Mà xx1x0 với mọi x > 0, 24 2 nên P0 với mọi x > 0 xx1 Ta lại có x x 0với mọi x > 0 12 xx 1 11 P2 xx 1xx 1 ì P > 0 và P < 2 nên P(P - 2) < 0 P2- 2P < 0 P2 < 2P. Vậy P2 < 2P Bài 22 : Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  16. 16 2 a 1 2 a Cho biểu thức: A = 1 : , với a ≥ 0 a 1 1 a a a a a 1 A ,ỳt gon biểu thức A. B,ớnh giỏ trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2 0 0 9 . A, điều kiện a ≥0. Ta cú: A = , a 2 a 1 1 2 a : a 1 1 a (a 1)(1 a) 2 a 1 a 1 2 a : a 1 (a 1)(1 a) 2 a 1 (a 1)(1 a) 1 a (a 1)( a 1)2 B, Khi a = 2010 -2 = ( -1)2 Thỡ A = 1 + ( 2009 1)2 2009 1 b. Đặt C = 241241xxxx với x> 4 ta có C2 = 2, mà C > 0 nên C = 2 1 1x2 2 Bà i 23: Cho biểu thức A= 2(1 xx ) 2(1 ) 1 x3 a. ĐKXĐ: x 0; x 1. 112 x2 A = = 2(1) 2(1)xxxx (1)(1)(1) x x 2 (1 x )( x2 x 1) (1 x )( x 2 x 1) 2( x 2 2) = 2(1 x )(1 x )( x2 x 1) 2xx 2 2( 1) = 2(1 x )(1 x )( x2 x 1) 2(1 x )( x2 x 1) x 11 = (x22 x 1)( x 1) x x 1 b. Vì x 0 x2 + x + 1 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  17. 17 Min (x2 + x + 1) =1 khi x=0 Max 1 =1 Khi x= 0 xx2 1 Do A = 1 nên A đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi đạt giá trị lớn nhất xx2 1 Vậy Min A = -1 khi x= 0 c. Để A Z thì x2 + x + 1 phải là Ư(-1) x2 + x + 1 = 1 x2 + x + 1 > 0 với mọi x x2 + x + 1 = 1 x 0 x2 + x = 0 x(x + 1) = 0 x lo a i1 ( ) Vậy với x = 0 thì A a22 Bài 24 : Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều cú : 2 . Khi nào cú đẳng thức a12 ? 2 2 a212 a11 Giải : Ta cú : a12 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a1a1a1222 11a22 a12a1.222 . Vậy 2 . Đẳng thức xảy ra khi a1a122 a12 1 a1a02 . a12 xx22 Bài 26 :. Cho biểu thức: P xxxxxxx 2(1)(2) a. Rỳt gọn P . b. Tớnh P khi x 322 . c. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để nhận giỏ trị nguyờn. Giải : a/ xx22 P x( x 1) x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x( x 2) 2( x 1) x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) x x 2 x 2 x x x ( x 1)( x 2) ( x 1) x( x 1)( x 2) x ( x 1)( x 2) ( x 1) b/ xx 322 2221 (21) 2 21 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  18. 18 (x 1) 2 1 1 2 2 P 12 (x 1) 2 1 1 2 c/ ĐK: xx 0; 1: (1)122xx P 1 x 4 hoặc x 9 (1)11xxx Bài 27 : a) Tính giá trị biểu thức : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004. Trong đó x 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y 3 17 12 2 3 17 2 2 H•ớng dẫn : x 3 3 2 2 3 3 2 2; x3 3x 6 y 3 17 12 2 3 17 2 2 y 3 3y 34 Do đó : P = x3 + y 3 - 3(x+y) + 2004= x3-3x + y 3-3y +2004=6+34+2004=2044 Bài 28 : Chứng tỏ x = 33945945 là nghiệm của ph•ơng trình x3 – 3x – 18 = 0 Tính x = ? HD: Từ x = 2 2 x3 = 9 + 4 5 + 9 - 4 + 3 3 945945 + 3 3 945945 x3 = 18 + 3 339453945 x3 – 3x – 18 = 0 *) Tính x nh• sau x3 – 3x – 18 = 0 x3 – 27 – 3x + 9 = 0 (x – 3)(x2 – 3x + 6) = 0 (x2 – 3x + 6 ≠ 0) x – 3 = 0 x = 3 Bài 29 : Chứng minh giá trị biểu thức D không phụ thuộc vào a: 2 a a 2 a a a a 1 D với a > 0 ; a # 1 a 2 a 1a1 a 2mn 2mn 1 Bài 30 : Cho biểu thức : A= m+2 m 2 1 2 với m # 0 ; n # 1 1+n 1 n n a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của A với m 56 24 5 . c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. x 2 x 1 1 Bài 31 : Cho biểu thức A= x x 1 x x 1 x 1 a. Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 0; x 1 x 2 x 1 x x 1 A= = ( x 1)(x x 1) Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  19. 19 x x x( x 1) x = ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1 b. Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8 2 2 Ta có x=33-8 2 = 4 2 1 x 4 2 1 4 2 1 4 2 1 A= 33 8 2 4 2 1 1 33 4 2 c. Chứng minh A< 1 3 1 x 1 3 x x x 1 (x 2 x 1) ( x 1) 2 Xét A- = = 3 x x 1 3 3(x x 1) 3(x x 1) 3(x x 1) ( x 1)2 0 ( x 1) 2 Do x 0; x 1 0 3(x x 1) 0 3(x x 1) 1 1 A- 0 A< 3 3 (52)17538 3 Bài 32 : Tớnh giỏ trị của biểu thức A(3x8x2) 322011 với x . 51465 ( 52) 1733 5  38( 52) 5 5 3 5 2 35 4 8 Ta cú : x 2 514 6 5 535 3 3 2 (52)52 521 2 535 33 322011 11 Vậy A   3823 2011 33 2 1 1 Bài 33 : a) 2n 1 n n 1 nn 1 2 21 nn Ta cú : 2nn 112 nnn 111 nnn 2 n 1 n 2  n 1 n 2  n 1 n = 21n 4n22 4 n 1 4 n 4 n 21 nn 21 nn nn 1 1 1 mà = = 44nn2 21nn n n 1 n  n 1 n n 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  20. 20 1 1 1 Bài 34: a) Chứng minh  nN*. Ta cú : n 1 n n n 1 n n 1 11 Từ nnnn 11 nnnn  11 nn 1 nn 1 nn 1 nnnnnn  111 n 1 n n 1 n n 1 n 11 . nn 1 b) Áp dụng : 11111 S  22322343345445201220112011 2012 1111111 120121 1  = 1 2233420112012 20122012 a) 75 48 300 25.3 16.3 100.3 5 3 4 3 10 3 = 3 222( 31)2( 31) b) 3131( 31)( 31)( 31)( 31) 2 322 324 2 ( 31)( 31) 2 caaaaaa)91649347 6 a x21 Bài 35 Cho biểu thức A(): x 1xxx 1 ( Đề thi lớp 10A1 tr•ờng THPT NLII năm học 2007-2008) a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài giải:a) ĐKXĐ x > 0; x 1. x 2 1 x 2 1 Rút gọn A():(): x 1 x x x 1 x 1x( x 1) x 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  21. 21 (x)2x1(x2)(x1)x22 A. x(x1)x(x1)x 1 b. Khi x= 3-2 2 = ( x 1)2 x 2 1 3 2 2 2 5 2 2 5 2 2 2 1 A 1 3 2 2 1 2 1 1 x 2 2 c) Ta có A= x 2 2 ( BĐT Côsi cho hai số d•ơng) xx 2 A22xx2 (TMĐK) min x Vậy Amin=2 2 x2. Bài 36: ( Đề thi tốt nghiệp năm 2002-2003) 113 Cho biểu thức A: x3x3x3 a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A 1 b) Với giá trị nào của xthì A > 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất Bài giải:a) ĐKXĐ x 0;x9 1 1 3 x 3 x 3 x3 6 x3 A: . = . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 x3x3 3 2 A = x3 121213x b) A > 00 333 x3x3 3x3 3 x 0 ( vì 3(( x 3) 0) x9x9 Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0x9 thì A > 1/3. 2 c) A đạt giá trị lớn nhất khi x3 đạt giá trị nhỏ nhất. x3 2 Mà x 3 3 x 3 3 x 0 x 0 lúc đó AMax= x0. min 3 Bài 37: ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2008-2009) 3 1 1 Cho biểu thức P: 1x x 1 x 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  22. 22 5 a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 4 x 1 2 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M . x1 P Bài giải:a) ĐKXĐ x 0 ;x 1 313x1x1 x2x1 x2 P = . = x1x1(x1)x1 x1 1 x1x1 x1 5 x 2 5 b) P 4x25x14x85x5. 44x1 x13x168 (TMĐK) x121x12x1x12x416 c) M x1x1x2x2x2 P 1616 16 = x2x24 ta có x22162.48 x2x2 x2 16 M844M4x2 min x2 2 x216x24x240 x6x20x20x4(TMDK) Vậy Mmin= 4 x4. 2xx3x32x2 Bài 38: Cho biểu thức: D1 x3x3x3 x9 a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức 1 b) Tìm x để D < - 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D Bài giải:a) ĐKXĐ: a 0;a1 a a 2 a a 1 a1 P 1 1 a 1 : a 1 a 2 a 1 a 1 a 1 2 b) P1 a 1 a 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  23. 23 2 để P nhận giá trị nguyên thì nhận giá trị nguyên d•ơng. a1thuộc •ớc d•ơng a1 của 2. a11a0 a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện) a12 a1 Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0 Bài 39: ( Đề thi vào lớp 10 A1 tr•ờng THPT NLII năm 2004-2005) 11 Cho biểu thức B 2x312x31 a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. Bài giải:a) ĐKXĐ x 3 ;x 2 1121 x 3 1x 3 1 B = 2x 3 12x 3 1 2 x 3 12 x 2x 2 1 b) B nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên. x2 x2 Ư(1) x21x1 thoả mãn điều kiện x21x3 Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên xx2xx2 2 x1 Bài 40 Cho biểu thức P xx1xx1 a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P 2x c) Tìm x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên. P Bài 41 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2006-2007) 1 1 x 1 Cho biểu thức: P: 2 x x 1 x 1x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0 Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x 1 2 1x 1 1 x 1 1 x 1 x P:. 2 x 1 x1 x x 1 x x 1 x 1x Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  24. 24 1x b) P > 0 0 1 x 0 ( vì x 0) x 1 x 1. x Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 1 thì P > 0 Bài 42: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2007-2008) x 1 1 Cho biểu thức A: x 1 x x x 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A 0; x 1 2 x11x11x1x1 x1 A::. x1xxx1x1x1x xx1x1x 1 x1 b) A 0 ta có ph•ơng trình ttm10*2 để ph•ơng trình (1) có nghiệm thì ph•ơng trình (*) phải có nghiệm d•ơng. 14m10 Để ph•ơng trình (*) có nghiệm d•ơng thì: m10 5 4m 5 0 m 4 m1 Vậy m>-1 và m 1 thì pt A x m x có m 1 0 m1 nghiệm. Bài 43 : (Đề thi vào lớp 10 năm học 2004-2005) 11 Cho biểu thức: P 1 . x 1 x x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm giá trị của P khi x = 25 2 c) Tìm x để P. 526. x1 x2005 2 3. Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  25. 25 Bài giải: 11x1 a) ĐKXĐ x > 0; x 1: P1. x1xxx1 xx1 1 P 2 x1 11 b) Khi x= 25 P 2 251 16 2 c) P.526.x1 1 22 x200523.23.x1x200523 2 x1 23x200523 x2005 TMĐK 2 Vậy x = 2005 thì P. 526x1x200523 Bài 44: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2003-2004) 111 Cho biểu thức A. 1 x1x1x a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. 1 b)Tính giá trị của A khi x= . 4 c)Tìm giá trị của x để A A . Bài giải:a) ĐKXĐ x > 0; x . 1 1 1 x 1 x 1 x 1 2 x x 1 2 A . 1 . = A x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x1 1 2 2 b) Khi x = A4 4 1 1 1 1 4 2 2 c) A 00 A 101. x1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  26. 26 2 0 x 1 0 x 1 1 x1 2 2 x 3 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 x 3 0 x9 Vậy x > 9 thì AA x 1 0 Bài 45: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002) x2x1 Cho biểu thức A x1 xx1 a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A c) Với giá trị nào của x thì AA Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. 22 x2 x 1x 1 x2 x 1x 1 A x 1x xx 1xx 1xx 1 3615 b) Khi x=36 A 36 6 x1 c) AAA00x10 (vì x0 ) x x1x1 Kết hợp với điều kiện xác định 0 0 Ta cú B2 4 10 25 4 10 25 2(4 10 25)(4 10 25) B2 82 16(102 5) 2 2 B2 8 2.5 16 2 5 B 5 1 5 1 , Vỡ B > 0 Vậy A 5 1 5 1 2 x y x3 y 3 x y xy Bài 46 : Cho P= : x y y x x y A, Rỳt gọn P =? Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  27. 27 B, Tớnh P khi x=5 2 6 , y=5 2 6 C, Chứng minh 0 P 1 x y x y x y x xy y x 2 xy y xy Giải : P=( ) : x y x y x y x y x xy y x xy y x 2 xy y x xy y x y x y : . x y x y x y x xy y xy x xy y 2 2 B, x 3 2 , y 3 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 P= 5 2 6 5 2 6 1 9 9 C, x, y 0, xy 0,(1) 2 x xy y x y xy ta cú x y 2 2 x y 0, xy >0 x y xy >0 (2) Từ (1) và (2) P 0 (*) xy xy x y xy 2 xy x y 1 Xột hiệu P-1 ta cú x xy y x xy y x xy y 2 x y ta cú x y 0 và x y (3) x xy y 2 x y Từ (2) và (3) <0 hay P-1 <0 suy ra P<1 x xy y Bài 47 : 15x11 3x 2 2x 3 Cho biểu thức A x 2 x 3 1 x x 3 a) Rút gọn biểu thức A . 21 b) Tính giá trị của A khi x = 3 2 2 2 c) Chứng minh rằng: A ≤ 3 Giải a) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  28. 28 15x113x22x3 A x3x1 x1x3 15x113x2x32x3x1 x1x3 15x113x9x2x62x2x3x3 x1x3 7x5x225x 25xx1 x3x1x3x1 x3 2 21 21 21 2 b) x = = 21x2121 3 2 2 21 21 25 x25 2575 22417 2 A x321322 2 225 x26 15 x2 x617 x c) Xét hiệu: A 33x3 3x33x3 Ta có: 17 x ≤ 0 và 3x3 > 0, x ≥ 0; x ≠ 1 17x22 0A0A 3x3 33 xxxx 322 Bài 48 : Cho biểu thức A : 1; xxxxx 23561 Với x0; x4; x9 (*) a) Rỳt gọn biểu thức A; b) Tỡm giỏ trị của A khi x 6 2 5 ; 1 c) Với giỏ trị nào của x thỡ đạt giỏ trị nhỏ nhất? tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú? A a) Với điều kiện * ta cú: x 3 x 2 x 2 x 1 x A : x 2 x 3xx 23 x 1 x 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  29. 29 x 9 x 4 x 2 1 x 31 : : xx 23 x 1 xx 23 x 1 1 1x 1 : x 2 x 1 x 2 2 B,Dờ̃ thấy : x 6 2 5 5 1 thoả mãn điều kiện. Khi đú: 2 c) x 5151 . 5 1 1 5 3 5 5 Do vậy, giỏ trị của biểu thức A là: 5 1 2 5 3 4 1 3 3 Viết lại, =1 . Để cú GTNN thỡ cú GTLN, hay x 1 A x 1 x 1 cú GTNN. Ta cú: x 11, dấu "=" xảy ra khi x = 0. 3 Giỏ trị nhỏ nhất của là 1132 , xảy ra khi x = 0. 01 Bài 49 : xxx 211 Cho biểu thức: A () : xxxxx 111 2 1- Rỳt gọn biểu thức A. 2- Tớnh giỏ trị của A khi x 726 . 3- Tỡm x để biểu thức A đạt giỏ trị lớn nhất. Giải : 1- Điều kiện xỏc định: 01 x x 2 x ( x 1) ( x x 1) 2 A . x x 11 x (21)22xx (1)xxxxx (1)1 2 22 2- A 2 1313 ()x 2 2444 Dấu “ =’’ xảy ra xx 00 Vậy giỏ trị lớn nhất của A là 2 khi x = 0. 3- Với x = 7 2 6 ( 6 1)2 x 61 22 Ta cú: A 7 2 6 6 1 1 7 6 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  30. 30 3 2x2 x y y y 33xy y Bài 50 : B x , x 0, y 0, x y x x y y xy 2. 3 2x2 xyyy ()33()2()()xxyxyyxy3333 x 33 Xột: xxyyxy ()() 22 3()33xxyxy3 3()()xxxyy 3 x ()()xyxy33 22 ()xyxxyy ()() 333()3xyyyxyy Xột: xy ()()xyxyxy 3 x 33()yxy B 3 xyxyxy Đỏp số : B = 3 1 x 1 x 1 Bài 51 : Cho biểu thức: P = x : x x x x a) Rỳt gọn P b) Tớnh giỏ trị của P khi x = 2 2 3 c) Tỡm giỏ trị của x thỏa mãn đẳng thức: P. x = 6 x - 3 - x 4 P = ĐKXĐ: x > 0 , x 1 x 1 x 1 x 1 P = : x x x( x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x( x 1) ( x 1)2 = : = : = . = x x( x 1) x x( x 1) x x( x 1) x 2 Với x = ĐKXĐ 2 3 x = 4 - 2 3 = ( 3 1)2 x 3 1 ( 3 1 1) 2 3 3 Nờn P = = = ( 3 1) 3 1 3 1 2 2 a b a b b a a b Bài 52 : Cho biểu thức P= : a b a b b ab ab a 2 Với a>0, b>0 ,a b Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  31. 31 A, Rỳt gọn biểu thức P =? B , Tỡm a và b sao cho b =(a+1)2 và P=-1 Giải : a b a b b a a b P : a b a b a b b a b a a b 2 a b a ab b ab ab b ab a ab ab a b : a b a b ab 2 a b 2 ab a b a b a b a b : a b a b ab 2 2 2 a b a b Nếu : a b 0 P 0 2 2 Nếu : a b 0 a b P a b B, a b 1 a a 1 2 1 Vỡ b =(a+1)2 a a 1 1 a 1 a 0 nà a >0 1 a 0 a 1 b 4 Vậy a=1 và b=4 thỡ P=-1 Bài 53 : Cho biểu thức 1 1 2 1 1 x3 y x x y y 3 A . : 3 3 x y x y x y xy x y 2) Rút gọn A 1 2) Tìm x ; y biết xy ; A 5 36 x y 2 x y x y x xy y xy x y Giải : A . : xy x y xy xy x y 2 x y x y x y xy xy 2 xy x y x y x y : : xy xy xy x y xy xy x y 2 2 x y x y x y xy x y : . xy xy xy x y xy 1 2, Tỡm x,y xy = , A=5 36 x y x y 1 5 5 5 5 x y x y 1 1 6 6 36 6 5 x y, 2 6 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  32. 32 1 1 1 Từ xy = xy xy , 1 36 36 6 5 1 Thay (2) vào (1) ta cú y y 5 y 6y 1 6y 5 y 1 0 6 6 Đặt y t 0 6t 2 5t 1 0 1 1 1 1 t ,t thay vào ta cú y y 2 3 2 4 1 1 y y 3 9 1 1 1 1 Với y= x x 4 4 36 9 1 1 1 1 Với y= x x 9 9 36 4 121 x Bài 54. Cho biểu thức A = : (với x >0 và x 1). xxxx 11 x 1 1) Rỳt gọn biểu thức A. 2) Chứng minh rằng A - 2 > 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện x >0 và . 11xx 211 x Tớnh được và x x x 1 xx 1 x 1 x 1 xx 11 x 1 Thực hiện phộp chia và tớnh được A x (1)x 2 + Ta cú A 2 x 2 + Vỡ với x >0 và nờn x 10 và x 0 . Do đú A - 2 > 0 112 x Bài 55 : Cho biểu thức A = . xxx 22 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A. 1 b) Tìm tất cả các giá trị của x để A 2 7 c) Tìm tất cả các giá trị của x để BA đạt giá trị nguyên. 3 c. 7 2 14 14 B . . Vỡ x > 0 nờn 0 B 3 xx 2 3 6 6 Mà B nguyờn nờn B 1;2 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  33. 33 64 - Nếu B 1 x ( TM ) 9 1 - Nếu B 2 x ( TM ) 9 Vậy 2a4112 Bai 56 :. Cho biểu thức: P = 1a 3 1a1a a) Tỡm điều kiện của a để P xỏc định: P xỏc định khi a 0 v àa 1 b) Rỳt gọn biểu thức P. c, Tỡm GTLN của P=? 2a41aaa11aaa1222 P = = 1aaa1 2 2a4aa1aaaaaa1aaaaa2222 = 1aaa1 2 22a 2 = = 1aaa1 2 aa12 Vậy với thỡ P = Bài 57 : Cho biểu thức: x 3 x x 3 x 2 9 x P 1 : x 9 2 x 3 x x x 6 a. Rút gọn biểu thức P b. Tìm giá trị của x để P = 1 đk x 0 x 0 x 9 0 x 9 2 x 0 x 4 x( x 3) ( x 3)(3 x) ( x 2)(2 x) 9 x Ta có: P 1 : ( x 3)( x 3 (2 x)(3 x) 3 4 x x 4 3 (2 x)(3 x) : = . 2 x 3 (2 x)(3 x x 3 (2 x) = 3 Vậy P = 3 x 2 x 2 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  34. 34 3 Ta thấy P = 1 1 x 2 3 x 5 x 25 x 2 Vậy với x = 25 thì P = 1 xxxxx2 324 Bà i 58 : Cho P= xxxx 12 A, Rút gọn P= ? B, Tìm GTNN của P=? Rút gọn P = xx 34 2 377 7 9 B, xxx 34 vậy GTNN của P= khi x= 444 4 16 Bài 59 : Cho biểu thức: x 6 1 10 x A = : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b, Rút gọn A. c, Tìm x để A 4 hoặc 0 ≤ x < thì A < 2. 4 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  35. 35 x x 3 3 x 3 Bai 60 : Chứng minh: 21x (với x 0 và x 3). xx 33 3 x Với giả thiết đã cho: và , ta có: 33 xx 33 x 3 223xxx 22 xx 33 xx 33 xx 331 + 3 x 33 xx 3 x x x 3 3 x 3 1 + Vậy: 2xx 3 . 1 x 3 x 3 3 x 3 x xxxx 32936 Bài 61 : Cho biểu thức P= xx 44x 16 A, Tìm Đk XĐ và rút gọn P =? B, Tính giá trị của P với x=3-2 2 C, Tìm giá trị của x để P> 1 3 Giải : a, ĐKXĐ xx 0, 16 xxxx 32936 xxxxxx 3424936 2 xx 44 x 42 xx 44 xxxxxxxxxx 4312428936816 P= xxxx 4444 2 x 4 x 4 xx 44 x 4 2 B, x 322222121 2 2 1 4 21425 2 5 3 2 3221552 2 2 2 1 4 2 3 2 Thay vào P ta đ•ợc P= 2 1 4 3 2 3 2 32 8 2 17 8 2 17 9 2 7 1x 4 1 3 x 4 x 4312 x x 43 x x 124 C, Tìm x để P= 33x 4 2x 16 x 8 x 64 Bài 62 : Cho biểu thức Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  36. 36 xxxx 1162 P xx 66x 36 A, Rút gọn P=? B, Tìm x để P nhận giá trị nguyên ? C, Tính P với x=4-2 3 Giải : ĐKXĐ xx 0 , 3 6 xxxx 1162 xxxxxx 16426 P 2 xx 66 x 62 xx 66 xxxxxxxxxx 6616621276 A, xxxx 6666 xx 16 x 1 xx 66 x 6 B, Để P nhận giá trị nguyên thì xx 67677 1 xxxx 6666 7 Vì 1 Z,6(7)1.7 nenzxu x 6 *61749xxx *61525xxx *6713169xxx *671,xxLoai 2 C, ã423323131x Thay vào ta có 2 3 1 1 3 1 1 33 3 7 3 7 3 3 7 7 P 2 3 1 6 3 7 3 49 46 3 1 6 3 7 3 7 x2 x x x x 4 Bài 63: Cho biểu thức P = x x 12 x x A, Rỳt gọn biểu thức P=? B, Tỡm giỏ trị của x để P =0 2009.2010.2011.2012 C, Tính : 2008.2012 2006 2008.2003 12.2009 Giải : a, Đ/k x>0 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  37. 37 xxxxx4 2 2 2 2 xx ( 3 1) xx ( 1) ( xx 2)( 2) P x x 1 x x 2 x x 1 x x 2 x( x 1)( x x 1) (x 1) x 2 x x x 1 x 2 xx 1 xx 1 B, Tỡm x để P = 0 xx 10 đặt xt 0 PT trở thành ( 1)2 4.( 1) 1 4 5 0 ( 1) 5 1 5 t2 – t-1 =0 t , nhan 1 22 ( 1) 5 1 5 t 0, loai 2 22 15 Thay vào x 2 C, Tính : x= 2009.2010.2011.2012 = 2009.2010.2011.2012 2008.201220062008.200312.2009 (40400962006)(40220242408) 2009.2010.2011.20122009.2010.2011.2012 1 4038090.40461322009.2010.2011.2012 Thay vào ta cú P =1- 1 -1= -1 Ba–i 64 ; (xyy)(xy)y(x + y) - 2xy 3 Cho biểu thức: A (x, y) = x - y x(x + 2y) + y 1/ Tỡm điều kiện của x, y để A(x, y) cú nghĩa. 2/ Chứng minh rằng biểu thức A(x, y) khụng phụ thuụ̣c vào x. A(x, y) cú nghĩa khi: x ≥ 0, y ≥ 0 và x ≠ y (x y y)( xy) y(x + y) - 2 xyy(x +22 y)( xy) xy + y - 2y xy A(x, y) = x - y x(x + 2 y) + y( x + y)( xy)x + 2x y + 2y y(x + y) ( xy - y)2 y(x + y) xy - yy =   y( x - y) y x - y (x + y)x2 - y x + x - y y Vậy A(x, y) khụng phụ thuụ̣c vào biến x Bà i 65 : . Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: 11 xx Px 11 1 x x 2 x 1 a. Rỳt gọn P . Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  38. 38 b. Tớnh giỏ trị của P khi x 7 4 3 . c. Chứng minh: P 1 111(21) xxxxxxx ĐK: xx 0 ; 1 Pxx 111 121(1)21 xxxxxx 2111xxxxx . xxx 21 xx 74323 743231623 P 3 2323 xx 111 PxxP 12.11 xxx Vậy P 1 1 Dấu “=” xẩy ra khi: xx 1; mà x 1khụng thuụ̣c TXĐ x Bà i 66: Cho xxxx 5123 23 x P xxxx 623 a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn P b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P x 12 Giải : Cõu rỳt gọn ta được P x 2 B, Tỡm GTNN của P xx 4 164161616 Pxx 224 xxxxx 22222 161616 Áp dụng bất đẳng thức cụ si ta cú xxx 22222.4 xxx 222 1616 xx 24 8 424 4 xx 22 Vậy GTNN của P=4 23a a a 3 a 3 a 8 Bài 67 : Rỳt gọn biểu thức B : a 2 a 3 a 1 3 a a 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  39. 39 Tớnh giỏ trị biểu thức của P với x= 7 4 3 với a 0; a 9, a 1 aaaaa 32(3)31 B . (1)(3)13aaaa a 8 aaaaaaa 32(3)(3)(3)(1)1 . aa 13 a 8 aaaaaaaa 321218331 . aa 13 a 8 aaaaaaaaa 38241(3)8(3)1 aaaa 1313 aa 88 (3)(8)(1)(1)aaaa (1)a aaa 13(8) Điều kiện: a 0, a 9, a 1 Bài 68 : 212xxx xxx xxx 1 Cho biểu thức M 1. 1 x 121 x xx a) Tìm các giá trị của x để biểu thức có nghĩa. Rút gọn M. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2010 - M ) khi x 4. c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số nguyên. Bà i 69 : Cho cỏc biểu thức: 8+ 15 8- 15 A = + 2 2 x2 + x 2x + x B = +1- ( với x > 0) x - x +1 x a) Rỳt gọn A; B. b) Tỡm x để B = 2. a)Rỳt gọn Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  40. 40 ( 15+1)2 ( 15-1)2 ( 15+1)+( 15-1) A = + = = 15 2 2 2 3 x+x2x+x2 xx+1 x2x+1 B = +1- ( với x > 0)= +1- x-x+1x x -x+1x = xx+112x+1 = x x12x-1 = x x b) Tỡm x để B = 2. B = 2 - 2 = 0 x 2 x x 2 = 0 x- 2x+x- 2 = 0 x -2 x 1 = 0 x -2 = 0 ( vỡ x 1 0 ) x = 4 Bài 70: xxxxxx 12(1)25 Cho biểu thức: Q : với x > 0; x 4 xxxxxxx 22112 a. Rỳt gọn Q b. Chứng minh rằng Q > 2. : Cho biểu thức 2 x y 4 xy x y y x P = x y xy a) Tỡm điều kiện để P cú nghĩa? b) Khi P cú nghĩa, chứng tỏ P khụng phụ thuụ̣c vào x P = a) Điều kiện để P cú nghĩa x 0 x 0 y 0 y 0 x y x y 0 b) Khi x 0; y 0; x y 2 x y xy x y P x y x y 2 y x y xy Khụng phụ thuụ̣c vào x Bài 71 : 1 3 4 1- So sỏnh: và 7 6 6 3 7 3 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  41. 41 1 3 4 1- So sỏnh: và 7 6 6 3 7 3 1 7 6 Ta cú: 7 6 7 6 7 6 3 4 3( 6 3) 4( 7 3) 6 3 7 3 7 6 6 3 7 3 6 3 7 3 Do đú: = 2 xy xy33 xyxy 1. Cho biểu thức A : ( x y x y0 ; 0 ; ) xyxy yx a, Rỳt gọn biểu thức A. b, So sỏnh A và A ( ) xyxyxy x yxy xxy 2 yxy : xyxy xyxy xyxyxxyy xyxyxyxy 2 xy xy xy : . xyxy xyxxyy xxyy Bài 72 : x 2 x 2x x 2 x 1 a) Rỳt gọn biểu thức: P(x) x x 1 x x 1 P x Tỡm x để đạt giỏ trị nhỏ nhất 2012 x x 0 x 0 3)a) x 1 0 x 1 2 1 1 3 1 3 3 x x 1 x 2. x x x 0; x 1 2 4 4 2 4 4 x 2 x 2x x 2 x 1 P(x) x x 1 x x 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  42. 42 x x3 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 2 x 1 2 x 1 x x 2 x 1 2 x 2 x x 1 P(x) x x 1 x 1 1 b) 2012 x 2012 x 2012 2012 2012 x Áp dụng bất đẳng thức Cụ si cho hai số khụng õm x và 1 , ta cú: 2 0 1 2 2012 x x 1 x 1 1 1 1 2 . 2 2. 2012 2012 x 2012 2012 x 2012 2 2012 1006 x 1 1 1 1 1 2012 2012 x 2012 1006 2012 2012 P(x) 1 GTNN của là 2012 x 2 0 1 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: xx1111 20121006100620122012xx 1006120121006201210060 xxxx 100610101 xxx x 1 1 2 Bài 73 : Cho biểu thức P = : x 1 x x x 1 x 1 a) Tỡm điều kiện của x để P xỏc định rụ̀i rỳt gọn P. b) Tớnh giỏ trị của P khi x = 6 2 5 c) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P < 0 ĐKXĐ: x 0;x 1. Với ĐK đú ta cú: x 1 1 2 P = : x 1x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 P = : x x 1 x 1 x 1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  43. 43 x1 x1x1 P =  xx1 x1 P = x1 x 2 Ta cú x = 62551 (TMĐK) x 5151 6251525(525)(51)355 Vậy P = 5151 514 x1 Với x 0 ;x 1 , ta cú: P < 0 0 x x10x1 Kết hợp ĐKXĐ ta cú với 0 < x < 1 thỡ P < 0. xy x xy y 1 b) Rút gọn biểu thưưc sau : :0;0; xyxy xyxy xy b) xy x xy y 1 : xyxy xy xyxyxyxxyy . xy xy xyxy xxyy xyxy xy xxyyxxyyxy 2 Bà i 74 : Rỳt gọn biểu thức: x 2 x 1 x 1 P x x 1 x x 1 x1 x 2x 1x 1 P x x 1 xx 1 x1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  44. 44 xx 211 xxx 11 xxx 11 xxxx 211 xxxxxxxxx 111111 xxx xxx 11 xx 1 2 xxx 111 Bài 75 : Cho biểu thức A xxx 112 2 a. Tỡm điều kiện của x để biểu thức A cú nghĩa. b. Rỳt gọn biểu thức A. . xx 0 , 1 b 2 2 xxxxxx 111(1)(1)1 22 A xxxx 1122 21x 4(1)1xxx 2 14 xx x 29321xxx Bà i 76 : Cho biểu thức: A = xxxx 5623 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A < 1. c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị t•ơng ứng của A cũng là số nguyên. 3 11 xxxx 1 x B i 77: Cho biểu thức: B = 1:x à xxxx 11 a) Rút gọn B 1 b) Với x = ? thì B = 2 x 3 x 2 x 2 x Bà i 78 :Cho biểu thức A : 1 ; x 2 3 x x 5 x 6 x 1 Với x0; x4; x9 (*) a) Rỳt gọn biểu thức A; b) Tỡm giỏ trị của A khi x 625 ; 1 c) Với giỏ trị nào của x thỡ đạt giỏ trị nhỏ nhất? tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú? A a) Với điều kiện * ta cú: Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  45. 45 x 3 x 2 x 2 x 1 x A : x 2 x 3xx 23 x 1 x 1 xxx 9421 x 31 : : xx 23 x 1 xx 23 x 1 111 x : xxx 212 2 2 B,Dờ̃ thấy : x 6 2 5 5 1 thoả mãn điều kiện. Khi đú: x 5151 . 5115 3 5 5 Do vậy, giỏ trị của biểu thức A là: 51253 4 1 3 3 c) Viết lại, =1 . Để cú GTNN thỡ cú GTLN, hay x 1 cú GTNN A x 1 x 1 Ta cú: x 11, dấu "=" xảy ra khi x = 0. 3 Giỏ trị nhỏ nhất của là 1132 , xảy ra khi x = 0. 01 Bài 79 : 1. Cho biểu thức: x 1 xy x xy x x 1 1 : 1 A = xy 1 1 xy xy 1 xy 1 a. Rút gọn biểu thức. Ta được A=1 1 1 b. Cho 6 Tìm Max A. x y Bà i 80: Rút gọn biểu thức: a A = ( 3 -1) 6 2 2. 3 2 12 18 128 x 1 x x x x Bà i 81 : Cho biểu thức : A =  2 2 x x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A > -6. Bài 82 : Cho biểu thức: x x 3 2( x 3) x 3 P = x 2 x 3 x 1 3 x x 4 A,Rút gọn biểu thức P. P x 1 B,Tính giá trị của P với x = 14 - 6 5 C,Tìm GTNN của P. Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  46. 46 x 4 x 1 5 x 1 5 5 Px 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 5 x 12 x 1 Ap dụng bất đẳng thức cụ-si ta cú 55 xx 121.25 trừ hai vế cho -2 ta cú xx 11 5 x 12252 Vậy GTNN của P= 2 5 2 dấu ‘’=’’ xảy ra khi x 1 5 2 xxx 11515 x 1 Bài 83 : Cho biểu rhức 2 x 2 x 2 1 x P= x 1 x 2 x 1 2 a, Rút gọn P. P = (1-x) x b, Chứng minh rằng nếu 0 0. c , Tìm giá trị lớn nhất của P. xxx 121 Bài 84 : Cho biểu thức P= x 1 xxxx 11 A,Rỳt gọn = ? 2 B,Với x>0 Tỡm GTLN của Qx P Giải : A, Với x> 0 rỳt gọn ta được x P xx 1 B, Với x>0 , x 1 2 2x 2 x 2 x 2 x 2 Q x x P xx 2 x 2 x 2 Áp dụng bất đẳng thức cụ-si với x và ta cú x 22 xx 2 . 2 2 nhõn hai vế với -1 ta cú xx 22 xx 2 2 2 2 2 2 xx Q 2 2 2 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  47. 47 2 Dấu ô = ô xảy khi xx 2 TMĐK x Vậy với x=2 thỡ biểu thức Q đạt GTLN là 2 2 2 Bài 85 : 112xx12xxxx 1 Cho biểu thức A: Với x0;x;x1 1xx1xx 1x 4 a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tớnh giỏ trị của A khi x 1 7 1 2 2 c) So sỏnh A với A . 112xx12xxxx1 A:x0;x;x1 1xx1xx 1x4 x1x2x2 xx1 x 2xx1 : x 1x1x 1x1x 1xx 2 x 1 x12x1 xx12x1 : xx1 1x1x 1x1xx 2 x11x :2 x1 xx1 1x1xx 2 x1 1xxx 1x : 2 x1 : xx11x1xx 1 1 1 x x : x x 1 1 x 1 x x x b) Tớnh giỏ trị của A khi x 17 12 2 . 22 Tớnh x17122 322 x 322 322322 1 322 17122532215 10 2 A5 3 2 23 2 23 2 2 c) So sỏnh A với A . 1 x x 1 Biến đổi A x 1 xx Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  48. 48 1 1 Chứng minh được x2 với mọi x 0;x ;x 1 x 4 1 Ax11A1A10AA10 x AA0AA Bài 86 : xxxxx 3932 Cho P 1: x 9 xxxx 623 3 A, Rỳt gọn P P x 2 B, Tỡm x để P > 0 C, Với x > 4, x 9. Tỡm giỏ trị lớn nhất của P. ( x + 1) 333312 93129 xxx .1 x xxxxx 22222 C, P(x+1) = 3(4)999x 3236 xx xxxx 2222 99 3xx 6 12 3 2 12 xx 22 Áp dụng bất đẳng thức cụ –si ta cú 99 322 xx 32 .6 3 cụ̣ng hai vế với 12 xx 22 9 32121263 x x 2 9 nhõn hai vế với -1 ta cú 32121263 x x 2 giỏ trị lớn nhất của P= -12- 6 3 dấu “=” xảy ra khi 9 22 3232923 xxx x 2 xx 233 2 Bà i 86 : Rỳt gọn biểu thức: A,Rút gọn P =? B, Tính P với x=3-2 2 C, Tìm GTNN của P Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  49. 49 x 2 x 1 x 1 P x x 1 x x 1 x1 x2x1x1 P xx1xx1 x1 xx 211 xxx 11 xxx 11 xxxx 211 xxxxxxxxx 111111 xx xxx 11 x xx 1 C, Tỡm GTNN của P xxx 1 Pxx 1 xxxx 1 x Áp dụng bỏt đẳng thức cụ –si ta cú 11 xx2.2 cụ̣ng hai vế với 1 ta cú xx 1 x 1213 Vậy GTNN của P=3 khi x 1 xx1 x Vậy x=1 thỡ P cú GTNN là 3 Bà i 87: 122 xx Cho M :1 xx 11 xx x x 1 1 a) Rỳt gọn M. P x 1 b) Tớnh M khi x 7 2 6 . Bà i 88 : Chứng minh rằng với mọi x 0 , giỏ trị biểu thức sau khụng phụ thuụ̣c vào x : 2x 5 x 1 x 10 A x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  50. 50 23512101xxxxxx xxx 123 2122212xxxx 26116 xxxx 2 xxxxxxxx 61166116 1 1 2x x 1 2x x x x Bà i 89 : Cho biểu thức P = : 1 x x 1 x 1 x x a, Rút gọn P. b, So sánh P với P . Bà i 90 : Cho biểu thức: x 1 xy x x 1 xy x A ( 1) :( 1) xy 1 xy 1 xy 1 xy 1 a) Rút gọn A 5 1 b) Tính giá trị của A nếu x 14 6 5 , y 5 1 a) Rút gọn đúng đến A xy Tìm điều kiện xác định : x -1; xy 1 3 5 Tính ra x 3 5 y (TM ĐKXĐ) 2 b) Thay vào A đ•ợc A 2 x y C,) áp dụng BĐT ( )2 xy với mọi x,y 2 1 Thay x y 2 và biến đổi dẫn đến A xy 2 1 2 1 Chỉ ra A xy khi x y Và KL : GTNN của A là A 2 2 min 2 Bài 91: Cho biểu thức: 3x2 x 3x3 x2 12x 4 B = : 3x 2 x 2(x 1) a/ Rút gọn B b/ Tìm GTNN và CTLN của B. Giải: a/ Rút gọn B 3x2 x 3x3 x2 12x 4 3x2 x x 2x 2 B = : =  3x 2 x 2(x 1) 3x 2 3x3 x2 12x 4 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  51. 51 x(3x 1) 3x 2 x(3x 1).(3x 2) =  = 3x 2 x 2 (3x 1) 4(3x 1) (3x 2).(3x 1)(x 2 4) x 1 2 = (với x ; x ) x2 4 3 3 b/ B = x x 2 4 * Có (x - 2)2 0 => x2 - 4x + 4 0 => x2 + 4 4x Chia 2 vế cho x2 + 4, ta đ•ợc: x 2 4 4x (x2 0, x 2 4 4 >0) x 2 4 x 2 4 4x 1 x 2 4 1 x 1 Chia 2 vế cho 4, ta đ•ợc: => B 4 x 4 4 Vậy, GTLN của B là 1 khi (x-2)2 = 0 hay x = 2 4 * Có (x + 2)2 0 => x2 + 4x + 4 0 => x2 + 4 -4x Chia 2 vế cho x2 + 4, ta đ•ợc: x 2 4 4x 4x 1 x 2 4 x 2 4 x 2 4 1 x 1 Chia 2 vế cho (-4), ta đ•ợc: B 4 x2 4 4 1 Vậy GTNN của B là khi (x + 2)2 = 0, hay x = -2 4 Bà i 93 : Giải các pt sau: 1410421 yyy22 a) yyyyyyyy32432 1111 3 11 b) yy 3 78 yy 2x 9 x 3 2 x 1 Bà i 94 : Cho biểu thức: A = x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A < 1. c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị t•ơng ứng của A cũng là số nguyên. x 1 Giải : a, với xxx 0,4,9 Rút gọn ta đ•ợc A= x 3 B, với xx 0 1 0 nên để A<1 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  52. 52 xxx 1134 4 1000 , vì 4>0 nên để 0 xxx 333 x 3 Thì xxx 3039 vậy với x 1 a. Điều kiện: aa 0;1 aaa 112 A = : a 1 a 1 aa 11 a a 11 aa 11 a a = . 2 a 1 a 1 a 1 a a 12 a b. A > 1 1  0  0 aa 11 Vỡ a + 2 > 0 nờn aaa   1 011 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy A > 1 khi a > 1 12xx 1322 x 1 Bài 97 : Cho biểu thức M= , xx 0, 16 x x 12 x 3 4 x A, Rỳt gọn M =? B, Tỡm cỏc giỏ trị của x để M>2 C, Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để M nhận giỏ trị nguyờn ? Giải : x 8 A, M= x 3 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  53. 53 B, Do x 0 nờn xx 3 0, 8 0 nờn M>2 x 8 2 x 3 x 2 x 4 kết hợp ta cú 04 x thỡ M>2 5 C, M 1, M là số nguyờn x 3 là ước dương của 5 vỡ x 30 x 3 Giải hai trường hợp ta được x=4 1111 xxx Bài 98: Rỳt gọn biểu thức P 2 2 11 xx11 xxxx Trong đú 01 x 1 x Rỳt gọn phõn thức thứ hai trong ngoặc thứ nhất ta được 11 xx 1111 xx P 1 Thay vào ta được 1111 xxxx xx 1.11 Bài 99 : Cho biểu thức xxxx 322 M 1: xxxxx 12356 A, Rỳt gọn M B, Tỡm giỏ trị của x để M>0 x 2 Giải: a, rỳt gọc ta được M x 1 B, Vỡ xx 0 1 0 vậy để M>0 thỡ xxxva 2024,,9 x Thỡ M>0 Bài 100: Cho biểu thức 1212 xxxxxx P : 11 xxx 1 x A, Rỳt gọn P=? B, Tớnh giỏ trị của P với x 7 4 3 C, Tỡm GTLN của a để P>a 1 xx Giải : Rỳt gọn ta được P= x B, Với x 7 4 3 thay vào ta tỡm được P =3 1 xx 1 1 C, P x 1 2 . x 1 2 1 1 x x x Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  54. 54 1 Vậy P 1 dấu “=” xảy ra khi xx1 x Nhưng x=1 khụng thỏa mãn ĐKXĐ nờn P>1 Suy ra GTLN của a để P>a là a=1 Bài 101: Cho biểu thức xxx 3323 x P xxxx 2313 A, Rỳt gọn P=? B, Tớnh giỏ trị của P với x 1 4 6 5 C, Tỡm GTNN của P =? x 8 Giải : a, Rỳt gọn ta được P x 1 58 2 5 B, Với x=1 4 6 5 khai triển đưa về hằng đẳng thức ta được P 11 xx 81 999 C, Pxx 112 2 9 2 4 xxxx 1111 9 Dấu “=” xảy ra khi xx 14 Vậy min P=4 khi và chỉ khi x=4 x 1 Bài 102 : Cho biểu thức xxxx 5123 23 x P xxxx 623 A, rỳt gọn P=? B, So sỏnh P và 4 3535 C, Tớnh giỏ trị của P khi x 2323 x 12 Giải : a, Rỳt gọn ta được P x 2 B, So sỏnh P và 4 xột hiệu P-4 ta cú 2 x 12 x 12 4 x 8 x 4 x 4 x 2 4 x 2 x 2 x 2 x 2 2 Vỡ xx 020 mà x 20 nờn PP 4 0 4 C, Tớnh giỏ trị của P khi Bỡnh phương hai vế Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  55. 55 2 3535 353523535 2 x 2 2323 232322323 6295642 111 xx2 4243 422 1 1 2 1 3 Thay vào P = 12 3 Bài 103: 643133xxx 3 Cho biểu thức: Ax 3 3 338x 323413xxx 1. Rỳt gọn biểu thức A . 2. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức nhận giỏ trị nguyờn. 2 Ta cú: 32xxxxx  343130;130,0 , nờn điều kiện để A cú nghĩa là 3 4 3832xxxxxxx 32 340,0320 3 3 6xx 4 3 13 x Ax 3 3 32x 3 3x 2 3 x 4 1 3 x 64323xxx Axxx 3313 3232xxx 34 3xx 4 2 3 A 3 x 2 3 x 1 3x 2 3 x 2 3 x 4 2 31x 4 A ( 0 x ) 32x 3 22 3xxx 13 2 2 3 2 1 1 Ax 3 3xxx 23 23 2 Với x là số nguyờn khụng õm, để A là số nguyờn thỡ 3xx 3 3 9 3xx 2 1 3 (vỡ x Z và x 0 ). 31x 31x Khi đú: A 4 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  56. 56 Bà i 104: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: a. A = 6 322.322. 6 322 . 20082014.200840163.200922 b. B = 2005.2007.2010.2011 A 322.(6)(322)322.6(322)22 A = (322)(322)9(22)1 2 20082014.200840163.200922 B = . Đặt x = 2008, khi đú 2005.2007.2010.2011 xx6x2x3x122 B = = x3x1x2x3 x2x3x3x1x1 = x + 1 = 2009 x3x1x2x3 Tớnh : A 45354810743 2 Ta cú : A 4535481023 A 45354810 23 A 453528103 2 A 4 5 3 5 5 3 A 4 5 3 5 5 3 = 4532553 = 4 5 3 Chứng minh rằng : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho 7 với mọi n Ta cú : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n = n3( n4 – 14n2 + 49 ) – 36n = n7 - 14n5 + 49n3 - 36n = (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n) = n5(n2-1) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n2-1) =( n2-1) .(n5-13n3 + 36n) = (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)} =(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9n (n2 - 4) } = (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n) = (n2 - 1) (n -2) (n +2) n (n2 - 9) Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  57. 57 = (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3) Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Vỡ n là số tự nhiờn nờn số A là tớch của 7 số tự nhiờn liờn tiếp. Rụ̀i chứng minh cho tớch của 7 số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 7 Kết luận: A chia hết cho 7 Bài 105 : a) Cho hàm số f(x)(x12x31) 32010 Tớnh f (a) tại a16851685 33 a 3316 8 5 16 8 5 a3 323(1685)(1685).(16851685)3 33 aa3 323.(4). aa3 3 2 1 2 aa3 1 2 3 2 0 aa3 1 2 3 1 1 fa( ) 1 1 2010 xx22 Bà i 106 : Cho biểu thức: P xxxxxxx 2(1)(2) d. Rút gọn P . e. Tính P khi x 3 2 2 . c, Tìm giá trị nguyờn của x để nhận giá trị nguyờn , Đk xx 0;1 xx22 P xxxxxxx(1)(2)(1)(2) xxxxx(2)2(1)22222 xxxx xxxxxx(1)(2)(1)(2) x xxxxxxxx 22(1)(2)(1) xxxxxxx(1)(2)(1)(2)(1) b, Với xx 32 222 21( 21)21 2 (x 1) 2 1 1 2 2 P 12 (x 1) 2 1 1 2 (xx 1) 1 2 2 c, Đ/ K: : P 1 (x 1) x 1 x 1 Để P nguyên thì 2 nguyên x 1 tìm ra x 4 hoặc x 9 x22 5 x 6 3 x 6 x 8 Bài 107 : Rỳt gọn biểu thức: A 3x 12 ( x 3) x2 6 x 8 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  58. 58 ĐKXĐ: x Ê 2 hoặc x > 4 xxxx 233(2)(4) A 34(3)(2)(4) xxxx Trường hợp 1: x 2, ta cú: 2 233(2)(4) xxxx 23324 xxxx A 2 34(3)(2)(4) xxxx 34(3)24 xxxx 23234 xxxx 2 x (vỡ x 2 nờn34(3)20 xxx ) 4 x 434(3)2 xxxx Trường hợp 2: x > 4, ta cú: 3x 4 ( x 3) x 2 0 nờn: 2 (1) xxxx 23324 xxxx 23234 x 2 A 2 x 4 34(3)24 xxxx xxxx 434(3)2 Bà i 108. 2 a 1 2 a Cho biểu thức: A = 1 : , với a ≥ 0 a 1 1 a a a a a 1 1. Rỳt gon biểu thức A. 2. Thớnh giỏ trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2 0 0 9 . 1. Với điều kiện a 0. Ta cú: A = , a 2 a 1 1 2 a : a 1 1 a (a 1)(1 a) 2 a 1 a 1 2 a : a 1 (a 1)(1 a) 2 a 1 (a 1)(1 a) 1 a (a 1)( a 1)2 Khi a = 2010 -2 = ( -1)2 Thỡ A = 1 + ( 2009 1)2 2009 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  59. 59 x 2 x 1 1 Bà i 109: Cho biểu thức A= x x 1 x x 1 x 1 d. Rút gọn biểu thức A ĐKXĐ: x 0; x 1 x 2 x 1 x x 1 A= = ( x 1)(x x 1) x x x( x 1) x = ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x x 1 e. Tính giá trị biểu thức A khi x=33-8 2 2 Ta có x=33-8 2 = 4 2 1 x 4 2 1 4 2 1 4 2 1 A= 33 8 2 4 2 1 1 33 4 2 f. Chứng minh A 2 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P Rút gọn P : Điều kiện x > 0 và x 1 xxx 22 x xxxx 121 2 P :: xx 1 xxx x 1 xxx 111 x xxx 2 xx 1 P . xx 11 xxx 21 b/ Tìm x để P > 2 2 x x x 22 x x 11 Px 2 2 2 0 0 0 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Kết hợp điều kiện, vậy với x > 1 thì P > 2 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  60. 60 x c/ Để có P thì Px 001 (Do điều kiện x > 0) x 1 Do P > 0 => min P min 2 1x 111 1111 1111 Ta có : P 4 P xx x x x4 4 x 2 4 4 Suy ra : P min = 4 (Dấu bằng xảy ra khi x = 4) => min = 2, khi x = 4 bababab Bà i 111 : Cho biểu thức: A = a : ababbabaab a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A biết: a 6 2 5 và b 5 xxxx 322 Bài 112 : Cho biểu thức A :1 xxxxx 23561 Với x0; x4; x9 a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm giỏ trị của A khi x 423 . 1 c) Với giỏ trị nào của x thỡ đạt giỏ trị nhỏ nhất ? Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. A Bài 113 : Cho biểu thức: x 6 1 10 x A = : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 a, Tìm điều kiện của x để A có nghĩa. b, Rút gọn A. c, Tìm x để A < 2. Điều kiện x 0; x 4 A = x 6 1 x 4 10 x = : x x 2 x 2 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 6 = : x 2 x 2 x 2 6 x 2 1 = . x 2 x 2 6 2 x 1 Ta có A < 2 2 và x 0; x 4 2 x Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  61. 61 1 2 x 3 2 0 0 2 x 2 x 9 2 x 3 0 x + Tr•ờng hợp 1: 4 x 4 2 x 0 x 4 9 2 x 3 0 x 9 + Tr•ờng hợp 2: 4 x 2 x 0 4 x 4 Kết hợp với điều kiện ta có x > 4 hoặc 0 ≤ x 0 , a 1) a 1 a 1 2 a a 2 1. Chứng minh rằng : P a 1 2. Tỡm giỏ trị của a để P = a 2. Tỡm giỏ trị của a để P = a. P = a 2 aaa 2 20 => a 1 . Ta cú 1 + 1 + (-2) = 0, nờn phương trỡnh cú 2 nghiệm a1 = -1 < 0 (khụng thoả mãn điều kiện) - Loại c 2 2 a2 = a 1 (Thoả mãn điều kiện) Vậy a = 2 thỡ P = a Bà i 116 : 5 a 3 3 a 1 a2 2 a 8 a) Rỳt gọn biểu thức A với a 0,a 4 a 2 a 2 a4 b) Tớnh giỏ trị của biểu thức B 4 2 3 7 4 3 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ
  62. 62 2 5 a 3 3 a 1 a2 2 a 8 5a3 a2 3a1 a2 a2a8 A a 2 a 2 a4 a 2 a 2 2 5a10a3a63a6a a2a22 2a8 a 8a16 a 8a 16 a2a2 a2a2 a2a2 a4 2 a 4 4 a a4 22 d) B423743 31 23 3123 31233 Bài 117: xxxxx 261923 Cho biểu thức: P xxxx 2313 a) Rỳt gọn P. b) Tỡm x để P đạt giỏ trị nhỏ nhất. a) ĐK: 01 x .Ta cú: x xxxx 261923 P (1)(3)13xxxx x xxxxxx 26192(3)(3)(1) (1)(3)xx x xxxxxx 26192643 (1)(3)xx x xxxxxx 1616(1)(16)16 (1)(3)(1)(3)3xxxxx b) x 16 25 25 P x 3 x 3 6 x 3 x 3 x 3 25 2 (x 3) 6 10 6 4 x 3 25 Vậy GTNN của P = 4 khi xx 34 x 3 Hoàng Chớ Hải _ TH&THCS Đụng Khờ