Toán 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Toán 8 - Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. 23 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 (Tổng 1991 Trang) 300 ĐỀ THI THỬ GIẢI CHI TIẾT ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN TRONG GIẢI TOÁN (15 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG SỐ HỌC (27 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VÀ LIÊN QUAN (80 Trang) HSG8-ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.QUAN HỆ CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ (105 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.SỐ CHÍNH PHƯƠNG (77 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN (19 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (49 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC ( 79 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (69 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .PHƯƠNG TRÌNH (255 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ. BẤT ĐẲNG THỨC (115 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN (35 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ. ỨNG DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC TRONG GIẢI TOÁN SỐ HỌC (36 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.NGHIỆM NGUYÊN (51 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.PHÉP CHIA VÀ LIÊN QUAN (91 Trang) ĐS8-CHUYÊN ĐỀ.SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ (103 Trang) HH8-CHUYÊN ĐỀ . QUỸ TÍCH (TÌM TẬP HỢP ĐIỂM) ( 34 Trang) HH8-CHUYÊN ĐỀ .CỰC TRỊ-ĐẲNG THỨC HÌNH (183 Trang) HH8-CHUYÊN ĐỀ .ĐỒNG DẠNG , TA-LÉT VÀ LIÊN QUAN (128 Trang) HH8-CHUYÊN ĐỀ .TỨ GIÁC và LIÊN QUAN (134 Trang) HH8-CHUYÊN ĐỀ.ĐA GIÁC – DIỆN TÍCH ĐA GIÁC (70 Trang) HH8-CHUYÊN ĐỀ.HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU (31 Trang) HH8-CHUYÊN ĐỀ.TỔNG HỢP NHỮNG BÀI HÌNH QUA ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN (205 Trang) 1. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
2. CHUYÊN ĐỀ.PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Chủ đề 1. PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé A.Kiến thức cần nhớ 1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. A. B C AB AC 2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. A B C D AC AD BC BD B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực hiện phép tính : 2x a)A 15x 6y b)B 5x2 3y 4x2 2y 3 Giải 2x 2x 4 2 2 2 a)A .15x 6y b)B 20x 10x y 12x y 6y 3 3 A 10x2 4xy B 20x4 2x2 y 6y2 Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau: 1 a)A 5x 7 2x 3 7x 2 tại x 2 b)B x 2 y 2x x 2y y 2x tại x 2; y 2 Giải Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta được số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khó khăn, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối cùng mới thay số. Trình bày lời giải a) Ta có: A 5x 7 2x 3 7x 2 x 4 10x2 15x 14x 21 7x2 28x 2x 8 2. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
3. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 10x2 15x 14x 21 7x2 28x 2x 8 3x2 27x 13 2 1 1 1 5 Thay x vào biểu thức, ta có: A 3. 27. 13 2 2 2 4 1 5 Vậy với x thì giá trị biểu thức A 2 4 b) Ta có: B x 2y y 2x x 2y y 2x xy 2x2 2y2 4xy xy 2x2 2y2 4xy 10xy Thay x 2; y 2 vào biểu thức ta có: B 10.2. 2 40 Vậy với x 2; y 2 thì giá trị biểu thức B 40 Ví dụ 3: Tìm x, biết: a)4x x 5 x 1 4x 3 23 b) x 5 x 4 x 1 x 2 7 Giải Tìm cách giải. Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức .Vì vậy ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x. Trình bày lời giải a)4x x 5 x 1 4x 3 23 4x2 20x 4x2 3x 4x 3 23 13x 3 23 13x 23 3 x 2 b) x 5 x 4 x 1 x 2 7 x2 4x 5x 20 x2 2x x 2 7 8x 22 7 8x 15 15 x 8 3. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
4. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Ví dụ 4: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a)A x 2x 1 x2 x 2 x3 x 5 b)B x 3x2 x 5 2x3 3x 16 x x2 x 2 Giải Tìm cách giải. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết quả thì biểu thức không chứa biến x. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải chứng minh. Trình bày lời giải a) Biến đổi biểu thức A, ta có : A x 2x 1 x2 x 2 x3 x 5 A 2x2 x x3 2x2 x3 x 5 A 6 Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x b) Biến đổi biểu thức B, ta có : B x 3x2 x 5 2x3 3x 16 x x2 x 2 B 3x3 x2 5x 2x3 3x 16 x3 x2 2x B 3x3 3x3 x2 x2 5x 5x 16 B 16 Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x. Ví dụ 5: Tính nhanh 7 1 4 2 1 1 a)A 4 . .1. 5741 3759 3741 5741 3759 3759.5741 1 3 1 6516 4 6 b)B 2 . 3 3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517 Giải Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tính bài toán dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi biểu thức chứa chữ đó. Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số Trình bày lời giải 4. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
5. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 1 1 a) Đặt x ; y khi đó biểu thức có dạng: 5741 3749 A 4 7x y 4y 1 2x y xy A 4y 7xy 4y 8xy y xy A y 1 A 3759 1 1 b) Đặt x ; y khi đó biểu thức có dạng: 3150 6517 B 2 x 3y 3x 4 y 12x 6xy B 6y 3xy 12x 2xy 12x 6xy B 6y 1 6 B 6. 6517 6517 C. Bài tập vận dụng 1. Rút gọn các biểu thức sau: a)A 4x 1 3x 1 5x x 3 x 4 x 3 b)B 5x 2 x 1 3x x2 x 3 2x x 5 x 4 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A 12x2 4x 3x 1 5x2 15x x2 3x 4x 12 6x2 23x 13 b) Ta có: B 5x 2 x 1 3x x2 x 3 2x x 5 x 4 5x2 5x 2x 2 3x3 3x2 9x 2x x2 5x 4x 20 3x3 8x2 12x 2 2x3 18x2 40x 5x3 26x2 28x 2 2. Viết kết quả phép nhân sau dưới dạng lũy thừa giảm dần của biến x: 5. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
6. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé a) x2 x 1 x 3 b) x2 3x 1 2 4x c) x2 3x 2 3 x 2x Hướng dẫn giải – đáp số a) x2 x 1 x 3 x3 x2 x 3x2 3x 3 x3 2x2 2x 3 b) x2 3x 1 2 4x 2x2 6x 2 4x3 12x2 4x 4x3 14x2 10x 2 c) x2 3x 2 3 x 2x x2 3x 2 3 x 3x2 9x 6 x3 3x2 2x 3x2 9x 6 x3 3x2 2x x3 11x 6 3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x: a)C 5x 2 x 1 x 3 5x 1 17 x 3 b)D 6x 5 x 8 3x 1 2x 3 9 4x 3 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có : C 5x2 5x 2x 2 5x2 x 15x 3 17x 51 C 50 Vậy biểu thức C 50 không phụ thuộc vào x. b)D 6x2 48x 5x 40 6x2 9x 2x 3 36x 27 D 13 Vậy giá trị biểu thức D 13 không phụ thuộc vào giá trị của biến x. 4. Tìm x, biết : a)5 x 3 x 7 5x 1 x 2 25 b)3 x 7 x 5 x 1 3x 2 13 Hướng dẫn giải – đáp số a)5x2 35x 15x 105 5x2 10x x 2 25 41x 107 25 6. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
7. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé 41x 82 x 2 b)3x2 15x 21x 105 3x2 3x 2 13 5x 103 13 5x 90 x 18 5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức: a)A 4 5x 3x 2 3 2x x 2 tại x 2 1 1 b)B 5x x 4y 4y y 5x tại x ; y 5 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có : A 12x 8 15x2 10x 3x 6 2x2 4x 17x2 29x 14 Với x 2 , thay vào biểu thức ta có : A 17 2 2 29 2 14 68 58 14 140 b) Ta có : B 5x x 4y 4y y 5x 5x2 20xy 4y2 20xy 5x2 4y2 1 1 Thay x ; y vào biểu thức ta có ; 5 2 2 2 1 1 1 1 6 B 5 4. 5. 4. 5 2 25 4 5 6. Tính giá trị biểu thức: a)A x6 2021x5 2021x4 2021x3 2021x2 2021x 2021 tại x 2020 7. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
8. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé b)B x10 20x9 20x8 20x2 20x 20 với x 19 Hướng dẫn giải – đáp số a) Với x 2020 nên ta thay 2021 x 1 vào biểu thức , ta có : A x6 x 1 x5 x 1 x4 x 1 x3 x 1 x2 x 1 x x 1 x6 x6 x5 x5 x4 x4 x3 x3 x2 x2 x x 1 1 b) Với x 19 nên ta thay 20 x 1 vào biểu thức, ta có : B x10 x 1 x9 x 1 x8 x 1 x2 x 1 x x 1 x10 x10 x9 x9 x8 x8 x2 x2 x x 1 1 7. Tìm các hệ số a, b, c biết: a)2x2 ax2 2bx 4c 6x4 20x3 8x2 đúng với mọi x; b) ax b x2 cx 2 x3 x2 2 đúng với mọi x. Hướng dẫn giải – đáp số a)2x2 ax2 2bx 4c 6x4 20x3 8x2 2ax4 4bx3 8cx2 6x4 20x3 8x2 1 (1) đúng với mọi x 2a 6 a 3 4b 20 b 5 8c 8 c 1 b) ax b x2 cx 2 x3 x2 2 ax3 bx2 acx2 bcx 2b 2ax x3 x2 2 ax3 b ac x2 2a bc x 2b x3 x2 2 2 (2) đúng với mọi x a 1 a 1 a 1 2b 2 b 1 b 1 b ac 1 1 1.c 1 c 2 2a bc 0 2 1 c 0 8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: 8. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
9. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé A 2 n n2 3n 1 n n2 12 8 chia hết cho 5 Hướng dẫn giải – đáp số Biến đổi đa thức, ta có : A 2 n n2 3n 1 n. n2 12 8 2n2 n3 6n 3n2 n 2 n3 12n 8 5n2 5n 105 9. Đặt 2x a b c . Chứng minh rằng: x a x b x b x c x c x a ab bc ca x2 Hướng dẫn giải – đáp số Xét vế trái: x a x b x b x c x c x a x2 ax bx ab x2 bx cx bc x2 ax cx ca ab bc ca 3x2 2x a b c ab bc ca 3x2 2x.2x ab bc ca x2 Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh. 10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc ca abc và a b c 1 Chứng minh rằng : a 1 b 1 c 1 0 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có a 1 b 1 c 1 a 1 bc b c 1 abc ab ac a bc b c 1 abc ab bc ca a b c 1 abc ab bc ca a b c 1 abc abc 1 1 0 9. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
10. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Chủ đề 2. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A. Kiến thức cần nhớ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức khác. 2. Các phương pháp thường dùng: - Đặt nhân tử chung - Dùng hằng đẳng thức - Nhóm các hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp. Có khi ta phải dùng những phương pháp đặt biệt khác (xem chuyên đề 6) B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a)12x3 y 6x2 y 3x2 y2 b)5x2 y x 7 5xy 7 x Giải Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy các đa thức trên đều có nhân tử chung Bước 1. Chọn hệ số là ƯCLN của các hệ số. Bước 2. Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. Nếu trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trước nó. Trình bày lời giải. a)12x3 y 6x2 y 3x2 y2 3x2 y2 4x 2 y b)5x2 y x 7 5xy 7 x 5x2 y x 7 5xy x 7 5xy x 7 x 1 Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)100x2 9y2 b)9 a b 2 4 a 2b 2 c)8x3 27y3 d)125 75x 9x2 x3 Giải Tìm cách giải. Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử. Trình bày lời giải a)100x2 9y2 10x 3y 10x 3y b)9 a b 2 4 a 2b 2 3 a b 2 a 2b 3 a b 2 a 2b a 7b 5a b 10. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
11. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé c)8x3 27y3 2x 3y 4x2 6xy 9y2 d)125 75x 15x2 x3 5 x 3 Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)x a b a b b)3a2 x 3a2 y abx aby c)ax bx cx 2a 2b 2c Giải Tìm cách giải. Mỗi đa thức trên không có nhân tử chung, không xuất hiện hằng đẳng thức. Quan sát kỹ nhận thấy nếu nhóm các hạng tử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung. Trình bày lời giải a)x a b a b a b x 1 b)3a2 x 3a2 y abx aby 3a2 x y ab x y a x y 3a b c)ax bx cx 2a 2b 2c x a b c 2 a b c x 2 a b c Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)a2 b2 4a 4b b) xy 4 2 2x 2y 2 2 c) a2 b2 ab a2b2 b2c2 c2 a2 Giải Tìm cách giải. Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức. Vậy chúng ta có thể nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức Trình bày lời giải a) a b a b 4 a b a b a b 4 b) xy 4 2x 2y xy 4 2x 2y x y 2 2 y 2 x y 2 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 c) a2 b2 ab ab a2 b2 ab ab c2 a2 b2 a2 b2 a b 2 c2 a2 b2 a2 b2 a b 2 c2 a2 b2 a b c a b c Ví dụ 5: Cho các số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn 11. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
12. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé a2 b c b2 c a 2012 .Tính giá trị biểu thức M c2 a b Giải Tìm cách giải. Từ giả thiết chúng ta không thể tính giá trị cụ thể của a, b, c. Do vậy bằng việc quan sát và nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa a, b và c. Từ đó tìm được giá trị biểu thức M. Trình bày lời giải Ta có : a2 b c b2 c a a2b a2c b2c b2 a 0 ab a b c a2 b2 0 a b ab bc ca 0 Vì a b nên: ab bc ca 0 b c ab bc ca 0 b2 a b2c bc2 ac2 b2 a b2c bc2 ac2 c2 a b b2 a c Vậy M 2012 C. Bài tập vận dụng 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)ab x 2 a2 x 2 b)4x3 y2 8x2 y3 12x3 y Hướng dẫn giải – đáp số a)ab x 2 a2 x 2 a x 2 a b b)4x3 y2 8x2 y3 12x3 y 4x2 y xy 2y2 3x 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) xy 1 2 x y 2 b) a b c 2 a b c 2 4c2 2 c) a2 9 36a2 Hướng dẫn giải – đáp số a) xy 1 2 x y 2 xy 1 x y xy 1 x y x y 1 1 y x y 1 y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 12. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
13. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé b) a b c 2 a b c 2c a b c 2c a b c 2 a b c a b 3c a b c a b c a b 3c a b c 2a 2b 2c 2 a b c a b c 2 c) a2 9 36a2 a2 9 6a a2 9 6a a 3 2 a 3 2 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a)3a 3b a2 2ab b2 b)a2 2ab b2 2a 2b 1 2 c)4b2c2 b2 c2 a2 Hướng dẫn giải – đáp số a)3 a b a b 2 a b 3 a b b) a b 2 2 a b 1 a b 1 2 c) 2bc b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 b c 2 a2 a2 b c 2 b c a b c a a b c a b c 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a)x2 4xy 4y2 9a2 b)xy a2 b2 ab x2 y2 c)x2 a b 2xy a b ay2 by2 d)8xy3 x x y 3 Hướng dẫn giải – đáp số a)x2 4xy 4y2 9a2 x 2 2 3a 2 x 2 3a x 2 3a b)xy a2 b2 ab x2 y2 xya2 xyb2 abx2 aby2 xya2 abx2 xyb2 aby2 ax ay bx by bx ay ay bx ax by c)x2 a b 2xy a b ay2 by2 x2 a b 2xy a b y2 a b a b x2 2xy y2 a b x y 2 d)8xy3 x x y 3 x 2y 3 x y 3 13. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
14. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé x 2y x y 4y2 2y x y x y 2 x 3y x x2 3y2 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a)A x2 4x2 y2 y2 2xy b)B x6 y6 c)C 4xy x2 y2 6 x3 y3 x2 y xy2 9 x2 y2 d)D 25 a2 2ab b2 Hướng dẫn giải – đáp số a)A x2 2xy y2 4x2 y2 x y 2 4x2 y2 x y 2xy x y 2xy b)B x3 y3 x3 y3 x y x2 xy y2 x y x2 xy y2 c)C 4xy x2 y2 6 x2 y2 x y 9 x2 y2 x2 y2 4xy 6x 6y 9 2 2 x y 2x 2y 3 3 2y 3 x2 y2 2x 3 2y 3 d)D 25 a2 2ab b2 25 a b 2 5 a b 5 a b 6. Phân tích đa thức thành nhân tử : a)x3 3x2 y 4xy2 12y3 b)x3 4y2 2xy x2 8y3 c)3x2 a b c 36xy a b c 108y2 a b c d)a x2 1 x a2 1 Hướng dẫn giải – đáp số a)x3 3x2 y 4xy2 12y3 x2 x 3y 4y2 x 3y x 2y x 2y x 3y b)x3 8y3 x2 2xy 4y2 x 2y x2 2xy 4y2 x2 2xy 4y2 x 2y 1 x2 2xy 4y2 14. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
15. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé c)3 a b c x2 12xy 36y2 3 a b c x 6y 2 d)ax2 a xa2 x ax x a x a x a ax 1 7. Phân tích đa thức thành nhân tử : a)x3 1 5x2 5 3x 3 b)a5 a4 a3 a2 a 1 c)x3 3x2 3x 1y3 d)5x3 3x2 y 45xy2 27y3 Hướng dẫn giải – đáp số a) x 1 x2 x 1 5 x 1 x 1 3 x 1 x 1 x2 x 1 5x 5 3 x 1 x2 6x 9 x 1 x 3 2 b)a3 a2 a 1 a2 a 1 a2 a 1 a3 1 a2 a 1 a 1 a2 a 1 c) x 1 3 y3 x 1 y x 1 2 x 1 y y2 x y 1 x2 2x 1 xy y y2 d)x2 5x 3y 9y2 5x 3y 5x 3y x2 9y2 5x 3y x 3y x 3y 8. Phân tích đa thức thành nhân tử : 2 a)x3 x2 x 1 b)x4 x2 2x 1 c)4a2b2 a2 b2 1 Hướng dẫn giải – đáp số a)x2 x 1 x 1 x 1 x2 1 x 1 2 x 1 15. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
16. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé b)x4 x 1 2 x2 x 1 x2 x 1 c) 2ab a2 b2 1 2ab a2 b2 1 a b 2 1 1 a b 2 a b 1 a b 1 1 a b 1 a b 9. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác 2 Đặt A 4x2 y2 x2 y2 z2 .Chứng minh rằng A 0 Hướng dẫn giải – đáp số Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích A thành nhân tử, ta được : A 2xy x2 y2 z2 2xy x2 y2 z2 x y 2 z2 z2 x y 2 x y z x y z z x y y z x Do x, y, z là 3 cạnh của 1 tam giác, suy ra : x y z 0, x y z 0, z x y 0, y z z 0 A 0 a3 3a2 5a 17 0 10. Cho các số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức : 3 2 b 3b 5b 11 0 Tính a b Hướng dẫn giải – đáp số Cộng vế theo vế của hai hẳng đẳng thức ta được : a3 3a2 5a 17 b3 3b2 5b 11 0 a3 3a2 3a 1 b3 3b2 3b 1 2 a b 2 0 a 1 3 b 1 3 2 a 1 b 1 0 a b 2 a2 a 1 b2 b 1 2 0 2 2 2 2 1 1 1 Vì a a 1 b b 1 2 a b 3 0 a b 2 2 2 2 11. Cho a, b, c thỏa mãn a b c abc . Chứng minh rằng: a b2 1 c2 1 b a2 1 c2 1 c a2 1 b2 1 4abc Hướng dẫn giải – đáp số Xét vế trái, ta có : a b2 1 c2 1 b a2 1 c2 1 c a2 1 b2 1 16. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
17. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé a b2c2 b2 c2 1 b a2c2 a2 c2 1 c a2b2 a2 b2 1 ab2c2 ab2 ac2 a a2bc2 a2b bc2 b a2b2c a2c b2c a a b c a2b ab2 a2b2c ac2 a2c a2bc2 bc2 b2c ab2c2 abc ab a b abc ac c a abc bc c b abc abc abc abc abc 4abc Chủ đề 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC A. Kiến thức cần nhớ 1. Chúng ta đã biết ba phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đó. Tuy nhiên có những đa thức mặc dù rất đơn giản, nếu chỉ biết dùng ba phương pháp đó thôi thì không thể phân tích thành nhân tử được. Do đó trong chuyên đề này chúng ta sẽ xét thêm một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử Phương pháp đổi biến Phương pháp đồng nhất hệ số Phương pháp xét giá trị riêng của các biến. B. Một số ví dụ 1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x 2x2 3x 1 . Giải Cách 1: Tách hạng tử thứ hai: 3x 2x x Ta có: f x 2x2 2x x 1 2x x 1 x 1 x 1 2x 1 Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai:2x2 x2 x2 . Ta có: 2 2 2 f x x 2x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 2x 1 Nhận xét. Để phân tích tam thức bậc hai f x ax2 bx c ra nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1x b2 x sao cho b1b2 ac và b1 b2 b . Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x x3 x2 4 Giải 17. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
18. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Tìm cách giải. Ta lần lượt kiểm tra với x 1; x 2; x 4 , ta thấy f 2 0 . Đa thức f x có nghiệm x 2 , do đó khi phân tích thành nhân tử, f x chứa nhân tử x 2 . Trình bày lời giải Ta có: f x x3 x2 4 x3 2x2 x2 2x 2x 4 x2 x 2 x x 2 2 x 2 x 2 x2 x 2 n n 1 Nhận xét. Nếu đa thức f x an x an 1x a1x a0 có nghiệm nguyên là x x0 thì x0 là một ước của hệ số tự do a0 khi phân tích f x ra nhân tử thì f x có chứa nhân tử x x0 . Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên nhẩm lấy một nghiệm của nó để định hướng việc phân tích thành nhân tử. 2. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 324 Giải x4 324 x4 36x2 324 36x2 2 x2 18 6x 2 x2 18 6x x2 18 6x Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x5 x4 1 Giải x5 x4 1 x5 x4 x3 x3 1 x3 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 x3 x 1 Nhận xét. Với kỹ thuật trên chúng ta phân tích thành nhân tử được: x3k 2 x3n 1 1 3. Phương pháp đổi biến Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích thành nhân tử, sau khi phân tích thành nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ. Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x x x 4 x 6 x 10 128 Giải Ta có: f x x2 10x x2 10x 24 128 18. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
19. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Đặt x2 10x 12 y , đa thức trở thành: f y y 12 y 12 128 y2 16 y 4 y 4 Suy ra: f x x2 10x 8 x2 10x 16 x 2 x 8 x2 10x 8 Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 1 x 2 x 3 x 4 15 Giải Tìm cách giải. Bài toán có dạng x a x b x c x d m với a d b c . Ta có thể đặt y x a x d hoặc y x b x c hoặc y x2 a d x . Khi đó ta phân tích với đa thức biến y. Trình bày lời giải Ta có: x 1 x 4 x 2 x 3 15 x2 5x 4 x2 5x 6 15 Đặt y x2 5x 9 . Khi đó đa thức có dạng: y y 2 15 y2 2y 15 y 5 y 3 Từ đó suy ra: x 1 x 2 x 3 x 4 15 x2 5x 9 x2 5x 1 Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A 3x 2 3x 5 x 1 9x 10 24x2 Giải Tìm cách giải. Nếu khai triển ngoặc thì bài toán trở lên khá phức tạp và có thể dẫn đển sai lầm. Quan sát kĩ đề bài chúng ta nhận thấy hệ số của bốn ngoặc có đặc điểm: 3.3 1.9 và 2. 5 1 .10 , do vậy chúng ta nghĩ đển việc nhóm hai ngoặc lại và đặt biến phụ nhằm đưa về bài toán đơn giản hơn. Trình bày lời giải Ta có: A 3x 2 3x 5 x 1 9x 10 24x2 9x2 9x 10 9x2 x 10 24x2 Đặt y 9x2 9x 10 . Đa thức có dạng: A y y 10x 24x2 y2 10xy 24y2 y2 4xy 6xy 24y2 y 4x y 6x Từ đó suy ra: A 9x2 3x 10 9x2 5x 10 19. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
20. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Nhận xét. Cách giải trên có thể dùng cho các đa thức có dạng: 2 P x a1x b1 a2 x b2 a3 x b3 a4 x b4 mx trong đó a1a2 a3a4 ;b1 b2 b3b4 Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B 2x4 3x3 9x2 3x 2 Giải Tìm cách giải. Những bài toán có dạng: ax4 bx3 cx2 kax k 2b2 với k 1 hoặc k 1 . Ta đặt y x2 k , rồi biến đổi biểu thức về dạng ax2 bxy my2 Trình bày lời giải Đặt y x2 1 y2 x4 2x2 1 . Biến đổi biểu thức, ta có: 2 B 2 x4 2x2 1 3x3 3x 5x2 2 x2 1 3x x2 1 5x2 Từ đó, biểu thức có dạng: B 2y2 3xy 5x2 2y2 2xy 5xy 5x2 y x 2y 5x Từ đó suy ra: B x2 x 1 2x2 5x 2 . 4. Phương pháp đồng nhất hệ số Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x x4 6x3 12x2 14x 3 Giải Tìm cách giải. Các số 1; 3 không phải là nghiệm của đa thức f x nên f x không có nghiệm nguyên, f x cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy nếu f x phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: x2 ax b x2 cx d , với a,b,c,d ¢ . Khai triển dạng này ra, ta được đa thức: x4 a c x3 ac b d x2 ad bc x bd . Đồng nhất đa a c 6 ac b d 12 thức này với f x ta được hệ điều kiện: . ad bc 14 bd 3 Xét bd 3 , với b,d ¢ ,b 1; 3 . a c 6 Với b 3 thì d 1 , hệ điều kiện trở thành: ac 8 a 3c 14 20. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
21. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Từ đó tìm được: a 2;c 4 . Vậy f x x2 2x 3 x2 4x 1 . Trình bày lời giải f x x4 6x3 12x2 14x 3 x4 4x3 x2 2x3 8x2 2x 3x2 12x 3 x2 x2 4x 1 2x x2 4x 1 3 x2 4x 1 x2 4x 1 x2 2x 3 5. Phương pháp xét giá trị riêng của các biến Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P x2 y z y2 z x z2 x y Giải Nhận xét. Nếu thay x bởi y thì P 0 , nên P chia hết cho x y . Hon nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi (ta nói đa thức P có dạng hoán vị vòng quanh). Do đó: P chia hết cho x y thì P cũng chia hết cho y z, z x . Từ đó: P a x y y z z x ; trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích x y y z z x cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến. Ta có: P x2 y z y2 z x z2 x y a x y y z z x (*) đúng với mọi x, y, z ¡ nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong. Chú ý. Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tùy ý, chỉ cần chúng đôi một khác nhau để tránh P 0 là được. Chẳng hạn, chọn x 2; y 1; z 0 thay vào đắng thức (*),ta tìm được a 1 Vậy: P x2 y z y2 z x z2 x y x y y z z x x y y z x z Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q a b c a 2 b c a b 2 c a b c 2 a b c b c a c a b Giải Nhận xét. Với a 0 thì Q 0 , cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên Q k.abc . Chọn a b c 1 được k 4 . Vậy Q 4abc . C. Bài tập vận dụng 21. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
22. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 4x2 4x 3 ; b) 2x2 5x 3 ; c) 3x2 5x 2 ; Hướng dẫn giải – đáp số a) 4x2 4x 3 4x2 4x 1 4 2x 1 2 4 2x 1 2 2x 1 2 2x 3 2x 1 b) 2x2 5x 3 2x2 x 6x 3 x 2x 1 3 2x 1 2x 1 x 3 c) 3x2 5x 2 3x2 x 6x 2 x 3x 1 2 3x 1 3x 1 x 2 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3 2x 3 ; b) x3 7x 6 ; c) x3 5x2 8x 4 ; Hướng dẫn giải – đáp số a) x3 2x 3 x3 1 2x 2 x 1 x2 x 1 2 x 1 x 1 x2 x 1 2 x 1 x2 x 3 b) x3 7x 6 x3 1 7x 7 x 1 x2 x 1 7 x 1 x 1 x2 x 1 7 x 1 x2 x 6 x 1 x2 2x 3x 6 x 1 x 2 x 3 c) x3 5x2 8x 4 x3 x2 4x2 4x 4x 4 x 1 x2 4x 4 x 1 x 2 2 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) P x2 x 2 x 2 2 ; 22. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm
23. Nhóm đã biên soạn được bộ tài liệu luyện HSG 6789, cần file word liên hệ Zalo nhóm 0988166193 nhé b) Q 6x5 15x4 20x3 15x2 6x 1 ; c) C x4 9x3 28x2 36x 16 ; Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: 2 P x2 x 2 x 2 2 x4 x2 4 2x3 4x2 4x x2 4x 4 x4 2x3 6x2 8x 8 x4 2x3 2x2 4x2 8x 8 x2 x2 2x 2 4 x2 2x 2 x2 2x 2 x2 4 23. FB: Toán Học Sơ Đồ-Link nhóm