Tài liệu học tập môn Toán Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng

Nội dung text: Tài liệu học tập môn Toán Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng

1. Tài liệu của TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
2. DẠNG 1: NGUYÊN HÀM ❖ Định nghĩa: f x dx F x C F ' x f x ❖ Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: f x dx f x và f ' x dx f x C Tính chất 2: kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx ❖ Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u u x dx x C du u C 1 1 x dx x 1 C 1 u du u 1 C 1 1 1 1 1 dx ln x C du ln u C x u exdx ex C eu du eu C a x au a xdx C a 0,a 1 au du C a 0,a 1 ln a ln a sin xdx cos x C sin udu cosu C cos xdx sin x C cosudu sin u C 1 1 dx tan x C du tan u C cos2 x cos2 u 1 1 dx cot x C du cot u C sin2 x sin2 u ❖ Phương pháp đổi biến số: f u x u ' x dx F u x C 1 Hệ quả: Nếu u ax b a 0 thì ta có f ax b dx F ax b C a ❖ Phương pháp nguyên hàm từng phần: udv uv vdu ❖ Một số cách đặt thường gặp: sin x sin x ✓ Dạng I cos x .P x dx . Đặt u P x , dv cos x dx , với P x là đa thức. x x x x e ,a e ,a ln x ln x ✓ Dạng I .P x dx . Đặt u dx ; dv P x dx , với P x là đa thức. loga x loga x
3. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x x3 3x 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x4 x2 x4 A. F x 2x C . B. F x 3x2 2x C . 4 2 3 x4 3x2 C F x 2x C D. F x 3x2 3x C . 4 2 Câu 2. Hàm số F x 5x3 4x2 7x 120 C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f x 5x2 4x 7 .B. f x 5x2 4x 7 . 5x2 4x3 7x2 C. f x .D. f x 15x2 8x 7 . 4 3 2 1 Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y x2 3x là x x3 3 x3 3 A. F x x2 ln x C .B. F x x2 ln x C . 3 2 3 2 x3 3 1 C. F x x2 ln x C . D. F x 2x 3 C . 3 2 x2 Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 1 x 2 x3 3 x3 2 A. F x x2 2x C .B. F x x2 2x C . 3 2 3 3 x3 2 C. F x 2x 3 C . D. F x x2 2x C . 3 3 2 2 3 Câu 5. Nguyên hàm F x của hàm số f x là hàm số 5 2x x x2 nào? 3 A. F x ln 5 2x 2ln x C . x 3 B. F x ln 5 2x 2ln x C . x 3 C. F x ln 5 2x 2ln x C . x 3 D. F x ln 5 2x 2ln x C . x Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin 2x 1 A. sin 2xdx cos 2x C . B. sin 2xdx cos 2x C . 2 1 C. sin 2xdx cos 2x C . D. sin 2xdx cos 2x C . 2 Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) cos 3x . 6 1 A. f (x)dx sin 3x C . B. f (x).dx sin 3x C . 3 6 6
4. 1 1 C. f (x)dx sin 3x C . D. f (x)dx sin 3x C . 3 6 6 6 Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2x.3 2x . x x 2 1 9 1 A. f x dx . C . B. f x dx . C . 9 ln 2 ln 9 2 ln 2 ln 9 x x 2 1 2 1 C. f x dx . C . D. f x dx . C . 3 ln 2 ln 9 9 ln 2 ln 9 Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) ex e x . A. f x dx ex e x C . B. f x dx ex e x C . C. f x dx ex e x C . D. f x dx ex e x C . Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ex (3 e x ) là 1 A. F(x) 3ex C . B. F(x) 3ex ex ln ex C . ex C. F(x) 3ex x C . D. F(x) 3ex x C . 1 Câu 11. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 2x 1 A. f x dx 2 2x 1 C . B. f x dx 2 2x 1 C . 2x 1 C. f x dx C . D. f x dx 2x 1 C . 2 1 Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 3 x A. f x dx 3 3 x C . B. f x dx 3 x C . C. f x dx 2 3 x C . D. f x dx 2 3 x C . Câu 13. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3 x 2 . 3 3 A. f x dx x 2 3 x 2 C . B. f x dx x 2 3 x 2 C . 4 4 2 2 1 C. f x dx x 2 x 2 . D. f x dx x 2 3 C . 3 3 1 Câu 14. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 1 là hàm số 1 3x 2 F x thỏa mãn F 1 . Khi đó F x là hàm số nào sau đây? 3 2 2 A. F x x 1 3x 3 B. F x x 1 3x 3 3 3 2 2 C. F x x 1 3x 1 D. F x 4 1 3x 3 3
5. 1 Câu 15. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) và x 1 F 2 1 thì F 3 bằng 3 1 A. ln 2 1. B. ln . C. ln 2 . D. . 2 2 1 Câu 16. Nguyên hàm F x của hàm số f x 2x thỏa mãn sin2 x F 1 là 4 2 2 A. cot x x2 .B. cot x x2 . 16 16 2 C. cot x x2 .D. cot x x2 . 16 Câu 17. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (e x ex )2 thỏa mãn điều kiện F(0) 1 là 1 1 A. F(x) e 2x e2x 2x 1. B. F(x) 2e 2x 2e2x 2x 1. 2 2 1 1 1 1 C. F(x) e 2x e2x 2x . D. F(x) e 2x e2x 2x 1. 2 2 2 2 Câu 18. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) a bcos 2x thỏa mãn F(0) , F , F là 2 2 6 12 3 2 7 2 7 A. F(x) x sin 2x . B. F(x) x sin 2x . 3 9 2 3 9 2 7 2 7 C. F(x) x sin 2x . D. F(x) x sin 2x . 3 9 2 3 9 2 Câu 19. Cho hàm số F(x) ax3 bx2 cx 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn f (1) 2, f (2) 3, f (3) 4 . Hàm số F(x) là 1 1 A. F(x) x2 x 1. B. F(x) x2 x 1. 2 2 1 1 C. F(x) x2 x 1. D. F(x) x2 x 1. 2 2 3 Câu 20. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 2sin 5x x thỏa 5 mãn đồ thị của hai hàm số F(x) và f (x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là 2 2 3 A. F(x) cos5x x x x 1. 5 3 5 2 2 3 B. F(x) cos5x x x x 1. 5 3 5 1 3 C. F(x) 10cos5x x 1. 2 x 5 2 2 3 D. F(x) cos5x x x x . 5 3 5
6. Câu 21. Hàm số F(x) (ax2 bx c)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x) x2ex thì a b c bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 2 . Câu 22. Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx. g x dx . B. 2 f x dx 2 f x dx . C. f x g x dx f x dx g x dx . D. f x g x dx f x dx g x dx . 1 Câu 23. Nếu f x dx ln x C thì f x là x 1 A. f x x ln x C .B. f x x ln x C . x 1 x 1 C. f x ln x C .D. f x . x2 x2 x2 x 1 Câu 24. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . x 1 1 1 A. x C .B. 1 C . x 1 x 1 2 x2 C. ln x 1 C .D. x2 ln x 1 C . 2 1 Câu 25. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x và x 1 F 2 1. Tính F 3 . A. F 3 ln 2 1.B. F 3 ln 2 1. 1 7 C. F 3 .D. F 3 . 2 4 Câu 26. Cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện f x x sin x và f 0 1. Tìm f x . x2 x2 A. f x cos x 2 . B. f x cos x 2 . 2 2 x2 x2 1 C. f x cos x . D. f x cos x . 2 2 2 Câu 27. Họ nguyên hàm của hàm số f x x 1 3 là 1 4 1 3 A. x 1 C . B. x 1 C . 4 4 C.3 x 1 C . D. 4 x 1 4 C .
7. Câu 28. Tính F(x) xsin xdx bằng A. F(x) xsin x cos x C . B. F(x) sin x x cos x C . C. F(x) sin x x cos x C . D. F(x) xsin x cos x C . Câu 29. Tính F(x) xsin x cos xdx . Chọn kết quả đúng: 1 x 1 x A. F(x) sin 2x cos 2x C . B. F(x) cos 2x sin 2x C . 8 4 4 2 1 x 1 x C. F(x) sin 2x cos 2x C . D. F(x) sin 2x cos 2x C . 4 8 4 8 Câu 30. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) cos2 x.sin x . sin2 x cos3 x A. f (x)dx C .B. f (x)dx C . 2 3 sin2 x cos3 x C. f (x)dx C .D. f (x)dx C . 2 3 sin 2x Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . cos 2x 1 A. f (x)dx ln sin x C .B. f (x)dx ln cos 2x 1 C . C. f (x)dx ln sin 2x C .D. f (x)dx ln sin x C . Câu 32. Tính x.2x dx bằng: x.2x 2x 2x x 1 A. C . B. C . ln 2 ln2 2 ln 2 C. 2x (x 1) C . D. 2x (x 1) C . Câu 33. Tính 2x ln(x 1)dx bằng: x2 x2 A. (x2 1)ln(x 1) x C . B. x2 ln(x 1) x C . 2 2 x2 x2 C. (x2 1)ln(x 1) x C . D. (x2 1)ln(x 1) x C . 2 2 5 Câu 34. Họ nguyên hàm của f x x2 x3 1 là 1 6 6 A. F x x3 1 C .B. F x 18 x3 1 C . 18 6 1 6 C. F x x3 1 C . D. F x x3 1 C . 9 x2 x x3 1 Câu 35. Họ nguyên hàm của hàm số f x là hàm số nào? x3 1 1 A. F x ln x x C . x 2x2 1 1 B. F x ln x x C . x 2x2 x3 3x2 C. F x ln x C . 3 2 x3 3x2 D. F x ln x C . 3 2
8. Câu 36. Xét tích phân I x x 2dx . Nếu đặt t x 2 thì ta được A. I t 4 2t 2 dt . B. I 2t 4 4t 2 dt . C. I 2t 4 t 2 dt . D. I 4t 4 2t 2 dt . ex Câu 37. Cho I dx , khi đặt t ex 1 ta có: x e 1 dt A. I 2t 2dt . B. I 2dt . C. I . D. I t 2dt . 2 1 Câu 38. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x) x(x 1) x A. f (x)dx ln x(x 1) C . B. f (x)dx ln C . x 1 x 1 x C. f (x)dx ln C . D. f (x)dx ln C x x 1 Câu 39. Cho hàm số f x xsin 2x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 A. f x dx 2x cos 2x sin 2x C . 4 1 B. f x dx 2x cos 2x sin 2x C . 4 1 C. f x dx 2x cos 2x sin 2x C . 4 1 D. f x dx 2x cos 2x sin 2x C . 4 Câu 40. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 1 A. 2exdx 2 ex C . B. dx ln x C . x x4 C C. x3dx . D. sin xdx C cos x . 4 1 Câu 41. Biết F x là nguyên hàm của f x và F 2 1. Tính x 1 F 3 . 3 1 A. ln 2 1. B. ln 2 . C. ln .D. . 2 2 Câu 42. F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x ex 2x thỏa mãn F 0 2 . Tìm F(x) .
9. A. F x ex x2 3 . B. F x 2ex x2 1. C. F x ex x2 2 . D. F x ex x2 1 Câu 43. Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x . Tìm I 2 f x 1 dx . A. I 2F x 1 C . B. I 2xF x 1 C . C. I 2xF x x C . D. I 2F x x C . 1 Câu 44. Tính I dx bằng cách đặt t ln x . Mệnh đề nào dưới x ln x đây đúng? 1 A. I dt . B. I dt . t 2 1 C. I tdt . D. I dt . t Câu 45. Tìm nguyên hàm của hàm số y x.ex . A. xexdx x.ex C . B. xexdx x.ex ex C . C. xexdx ex C . D. xexdx x.ex ex C . x x 2018e Câu 46. Tính nguyên hàm của hàm số f x e 2017 5 . x 2018 A. f x dx 2017ex C . x4 504,5 B. f x dx 2017ex C . x4 504,5 C. f x dx 2017ex C . x4 2018 D. f x dx 2017ex C . x4 Câu 47. Nguyên hàm F x của f x xe x thỏa mãn F 0 1 là: A. F x x 1 e x 1. B. F x x 1 e x 2 . C. F x x 1 e x 1. D. F x x 1 e x . Câu 48. Tính F(x) xsin 2xdx . Chọn kết quả đúng? 1 A. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C . 4 1 B. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C . 4 1 C. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C . 4 1 D. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C . 4
10. Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 x x2018 là x2019 x2019 A. x C B. 2 x3 C 673 2019 1 x2019 1 C. C D. 6054x2017 C x 673 2 x Câu 50. Cho hai hàm số f x , g x là hàm số liên tục, có F x , G x lần lượt là nguyên hàm của f x , g x . Xét các mệnh đề sau: I . F x G x là một nguyên hàm của f x g x . II . k.F x là một nguyên hàm của k. f x với k ¡ . III . F x .G x là một nguyên hàm của f x .g x . Các mệnh đề đúng là A. II và III . B. Cả 3 mệnh đề. C. I và III . D. I và II .
11. DẠNG 2: TÍCH PHÂN ❖ Định nghĩa: b f x dx F x b F b F a a a b Tên gọi:  f x dx đọc là: “Tích phân từ a đến b của f x dx ” a  a và b gọi là hai cận tích phân, trong đó a là cận dưới, b là cận trên. ❖ Tính chất: a a b (1) f x 0 (2) f x dx f x dx a b a b b c b c (3) kf x dx k f x dx k ¡ (4) f x dx f x dx f x dx a a a a b b b b b (5) f x g x dx f x dx g x dx (6) f x 0 trên a; b f x dx 0 a a a a b b (7) f x g x trên a; b f x dx g x dx a a a (8) m f x M trên a; b m b – a f x dx M b a b t (9) t biến thiên trên a; b G t f x dx là một nguyên hàm của f t và G a 0. a ❖ Phương pháp đổi biến số: b Phương pháp đổi biến dạng 1: Tính I g x dx a Bước 1:  Phân tích g x dx f u x .u x dx f u x d u x  Đặt t u x Bước 2: Đổi cận Với x a thì t u a  Với x b thì t u b b u b u b Bước 3: Khi đó I g x dx f t dt F t F u b F u a . u a a u a b Phương pháp đổi biến dạng 2: I f x dx (với f x liên tục trên a;b ) a Bước 1: Chọn x t , trong đó t là hàm số được lựa chọn một cách thích hợp. Bước 2: Lấy vi phân dx t dt , giả sử t liên tục. Bước 3: Ta chọn một trong hai hướng: Hướng 1: Nếu tính được các cận và  tương ứng theo a và b ( a và  b  ) thì ta được I f t . t dt b b ❖ Phương pháp nguyên hàm từng phần: udv uv b vdu a a a
12. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 2 Câu 1. Cho I f x dx 3. Khi đó J 4 f x 3 dx bằng: 0 0 A. 2 . B. 6 . C. 8 .D. 4 . b Câu 2. Biết 2x 1 dx 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? a A. b a 1.B. a2 b2 a b 1. C. b2 a2 b a 1.D. a b 1. Câu 3. Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;10 và 10 6 2 10 f x dx 7 và f x dx 3. Tính P f x dx f x dx . 0 2 0 6 A. P 7 . B. P 4 . C. P 4 .D. P 10. 2 5 5 Câu 4. Nếu f x dx 3, f x dx 1 thì f x dx bằng 1 2 1 A. 2 . B. 2 . C. 3 .D. 4 . Câu 5. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và F x là nguyên hàm 9 của f x , biết f x dx 9 và F 0 3. Tính F 9 . 0 A. F 9 6 . B. F 9 6 . C. F 9 12 . D. F 9 12 . Câu 6. Cho hàm số f x có f x liên tục trên đoạn  1;3 , 3 f 1 3 và f (x)dx 10 giá trị của f 3 bằng 1 A. 13 . B. 7 . C. 13.D. 7 . 1 2 2 Câu 7. Cho f x dx 2 , f x dx 4 , khi đó f x dx ? 0 1 0 A. 6 . B. 2 . C. 1.D. 3 . 2 2 Câu 8. Cho f x dx 2 và g x dx 1. Tính 1 1 2 I x 2 f x 3g x dx bằng 1 11 7 17 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 8 4 4 Câu 9. Biết f x dx 2 ; f x dx 3; g x dx 7 . Mệnh đề 1 1 1 nào sau đây sai?
13. 8 4 A. f x dx 1.B. f x g x dx 10 . 4 1 8 4 C. f x dx 5.D. 4 f x 2g x dx 2 . 4 1 8 4 4 Câu 10. Biết f x dx 2 ; f x dx 3; g x dx 7 . Mệnh đề 1 1 1 nào sau đây sai? 8 4 A. f x dx 1. B. f x g x dx 10 . 4 1 8 4 C. f x dx 5. D. 4 f x 2g x dx 2 . 4 1 1 Câu 11. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có f x dx 2 ; 0 3 3 f x dx 6 . Tính I f x dx . 1 0 A. I 8 . B. I 12 . C. I 36 .D. I 4 . 1 Câu 12. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có f x dx 2 ; 0 3 3 f x dx 6 . Tính I f x dx . 1 0 A. I 8 . B. I 12 . C. I 36 .D. I 4 . Câu 13. Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 và f 1 f 0 2 . 1 Tính tích phân f x dx . 0 A. I 1. B. I 1. C. I 2 . D. I 0 . b Câu 14. Giá trị nào của b để 2x 6 dx 0? 1 A. b 0 hoặc b 3 .B. b 0 hoặc b 1 C. b 5 hoặc b 0 .D. b 1 hoặc b 5 . 2 2 Câu 15. Cho f x dx 3. Tính f x 1 dx ? 0 0 A. 4 . B. 5 . C. 7 .D. 1. 2 Câu 16. Kết quả của tích phân 2x 1 sin x dx được viết ở dạng 0 1 1 a , b ¢ . Khẳng định nào sau đây là sai? a b A. a 2b 8 . B. a b 5 . C. 2a 3b 2 . D. a b 2.
14. 26 3 Câu 17. Cho f x dx k . Tính I 2 x2 . f x3 1 dx theo k ? 0 1 k 2k A. I . B. I 2k . C. I 6k . D. I . 3 3 m 10 Câu 18. Cho K 3x dx . Định m để K ? 0 ln 3 A. m log3 10 . B. m 2 . C. m 11.D. m log3 11 . 2 Câu 19. Cho M f (3x 2)dx . Đặt t 3x 2 ta có: 1 1 7 3 A. M f (t)dt . B. M 3 f (t)dt . 3 1 1 7 1 3 C. M 3 f (t)dt . D. M f (t)dt . 1 3 1 5 12 12 Câu 20. Cho f (x)dx 7; 3 f (x)dx 57 . Tính K f (x)dx . 2 2 5 50 64 A. 50 B. . C. 12 . D. . 3 3 2 x 1 a a Câu 21. Biết dx ln 5 với a,b ¥ và là phân số tối giản. 2 b b 2 x 9 Khi đó a b ? A. 4 . B. 8 . C. 10. D. 7 . 1 1 Câu 22. Cho f x dx 5 , g x dx 4 . 2 2 1 Thì I 3 f x 2g x dx 2 A. 23. B. 2 . C. 7 . D. 13. 3 2x 3 Câu 23. Tính I dx ta được I a bln 6 với a, b ¢ . 2 x 4 Lúc đó a b A. 15. B. 10. C. 7 . D. 17 . 2x 2 khi x 1 Câu 24. Cho hàm số f x ln x . Biết tích phân khi x 1 x 2 1 f x dx a ln2 2 trong đó a,b ¢ . Tính giá trị S a b . 0 b A. S 3. B. S 5. C. S 3.D. S 1.
15. 2 2 Câu 25. Biết f x x dx 6, 3 f x g x dx 10 . 0 0 2 Tính I 2 f x 3g x dx. 0 A. I 12. B. I 16 . C. I 10 .D. I 14. Câu 26. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn 1 2 f 2 16 , f 2x dx 6 .Tính I x. f x dx ta được kết quả 0 0 A. I 14. . B. I 20. C. I 10. D. I 4. 2 Câu 27. Tính tích phân I 2x x2 1 dx , bằng cách đặt t x2 1. 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2 1 2 A. I t dt . B. I t dt . 1 2 1 3 3 C. I 2 t dt . D. I t dt . 0 0 7 2 Câu 28. Cho f x dx 5. Tính I f 3x 1 dx . 1 0 1 7 5 A. I . B. I 2. C. I . D. I . 2 3 3 1 Câu 29. Cho tích phân I 2x 3 exdx ae b , với a,b ¤ . Mệnh đề 0 nào dưới đây là đúng. A. ab 3. B. a b 2. C. a 2b 1. D. a3 b3 28 . 5 2 Câu 30. Cho f x dx 10 . Kết quả 2 4 f x dx bằng: 2 5 A. 32 . B. 34 . C. 36 .D. 40 . 11 2 2 Câu 31. Biết f x dx 18. Tính I x 2 f 3x 1 dx. 1 0 A. I 10. B. I 5. C. I 7. D. I 8. Câu 32. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn  3;1 , f ( 3) 17 và 1 f (1) 1. Tính 3 f ' x 2 dx . 3 A. 58 . B. 44 . C. 48 . D. 56 . Câu 33. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x liên tục trên 1;4, 4 f 1 12 và f ' x dx 17 . Giá trị của f 4 bằng 1 A. 19 . B. 9 . C. 29 . D. 5.
16. 1 Câu 34. Kết quả của tích phân I 2x 3 exdx được viết dưới dạng 0 I ae b , với a,b là các số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau. 3 3 A. a b 2 B. a b 28 C. ab 3 D. a 2b 1 b b c Câu 35. Cho a b c, f x dx 5, f x dx 2 . Tính f x dx . a c a c c A. f x dx 3. B. f x dx 2 . a a c c C. f x dx 1. D. f x dx 7 . a a 11 2 2 Câu 36. Biết f x dx 18 . Tính I x 2 f 3x 1 dx . 1 0 A. I 5 . B. I 8 . C. I 7 . D. I 10 . Câu 37. Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên 3  1;3, f 1 3 và f x dx 10 . Giá trị của f 3 bằng 1 A. -13. B. 13. C. 7.D. -7. 5 3 Câu 38. Cho a, b Z thỏa mãn dx a ln 5 bln 2. Mệnh đề 1 x2 3x nào sau đây đúng? A. 2a b 0.B. a b 0. C. a b 0 .D. a 2b 0 . Câu 39. Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên 2 đoạn  1;2 . Biết f x dx 1 và F 1 1. Tính F 2 . 1 A. F 2 0 .B. F 2 3 . C. F 2 1.D. F 2 2. 4 1 0 1 Câu 40. Biết f x dx và f x dx . Tính tích phân 1 2 1 2 4 2x 4e 2 f x dx . 0 A. 4.e8 . B. 2.e8 . C. 2.e8 4 . D. 4.e8 2 .
17. Câu 41. Biết a là số thực dương thỏa mãn a x2 2x 2 a2 dx a ln 3. Giá trị của a là? 0 x 1 2 A. 3 . B. 5 . C. 2 . D. 4 . Câu 42. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và 1 1 f 0 2018, f x dx 1. Tính I x 1 . f ' x dx . 0 0 A. I 2018 . B. I 2018. C. I 2017 . D. I 2019 . 2 2 Câu 43. Biết f x x dx 6 và 3 f x g x dx 10 . Tính 0 0 2 I 2 f x +3g x dx . 0 A. I 12 . B. I 16 . C. I 10 . D. I 14. 3 3 2 Câu 44. Cho f (x)dx a , f (x)dx b . Khi đó f (x)dx bằng: 0 2 0 A. a b . B. b a . C. a b . D. a b . 3 3 3 Câu 45. Biết f x dx 1 và g x dx 3 . Khi đó f x g x dx 2 2 2 bằng A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 3 . m Câu 46. Cho 3x2 2x 1 dx 6. Giá trị của tham số m thuộc 0 khoảng nào sau đây? A. 1;2 . B. ;0 . C. 0;4 . D. 3;1 . Câu 47. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 5 5 và f 5 10 , xf x dx 30 . Tính f x dx . 0 0 A. 20 . B. 30 . C. 20 . D. 70 . Câu 48. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 và 2 f 0 f 2 2022. Tính f x dx . 0 A. 2022 . B. 2022 . C. 1011. D. 4044 . 2 khi 0 x 1 Câu 49. Cho hàm số y f x x 1 . 2x 1 khi1 x 3
18. 3 Tính tích phân f x dx. 0 A. 6 ln 2 . B. 4 ln 4. C. 6 ln 4 . D. 2 2ln 2 . 6 a Câu 50. Biết 2 x sin 3xdx . Biết a, b nguyên tố cùng nhau khi 0 b đó giá trị a bằng A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 .
19. DẠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ❖ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b : y y f (x) y f x y 0 b H : S f x dx x a a b x b O a c1 c2 c3 x  Chú ý: b b Nếu trên đoạn a;b , hàm số f x không đổi dấu thì: f x dx f x dx . a a ❖ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số C1 : y f1 x , C2 : y f2 x liên tục trên đoạn a;b và hai đường thẳng x a , x b : y C1 C1 : y f1 x b C C2 : y f2 x 2 H : S f x f x dx x a 1 2 a x b O a c1 c2 b x  Chú ý: • Nếu phương trình f x g x vô nghiệm trên a;b thì b b S f x g x dx f x g x dx a a • Nếu phương trình f x g x có nghiệm x c trên a;b thì b c b S f x g x dx f x g x dx f x g x dx a a c
20. THỂ TÍCH Bài toán 1: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng P và Q cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b ; S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , a x b . Giả sử S x là hàm số liên tục trên đoạn a;b . P Q S x b S x dx VB a O a x b x Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0 x a , x b ( a b ) quanh trục Ox : y y f x y f x b y 0 2 V f x dx O x x a a x b x a x b Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y1 f x , y2 g x , x a , x b (với a b và 0 y2 y1 ,x a;b) quanh trục Ox : y y f x 1 y1 f x b y g x 2 2 2 V f x g x dx y2 g x x a a O a b x x b BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ❖ Mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và gia tốc: Cho một chất điểm chuyển động với quãng đường là một hàm số theo biến số thời gian t là s t . Khi đó: ✓ Vận tốc của chất điểm là v t s t s t v t dt . ✓ Gia tốc của chất điểm là a t v t v t a t dt .
21. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hai hàm số y f x , y g x liên tục trên a;b và có đồ thị C1 và C2 tương ứng thì công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C1 , C2 và hai đường thẳng x a, x b là b b A. S g x f x dx . B. S f x g x dx . a a b b b C. S g x f x dx . D. S f x dx g x dx . a a a Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục trên a;b . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, đường thẳng x a , đường thẳng x b b a và trục hoành là b b A. S f x dx . B. S f x dx . a a b b C. S f 2 x dx . D. S f x dx . a a Câu 3. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C : y f x , trục hoành, hai đường thẳng x a, x b (như hình vẽ bên dưới). Giả sử SD là diện tích của hình phẳng D. Chọn công thức đúng trong các phương án A, B, C, D dưới đây? 0 b A. S f x dx f x dx . D y a 0 y f x 0 b B. S f x dx f x dx . D a 0 a O x 0 b C. S f x dx f x dx . b D a 0 0 b D. S f x dx f x dx . D a 0 Câu 4. Hình phẳng giới hạn bởi các đường x 1, x 2 , y 0, y x2 2x có diện tích được tính theo công thức: 2 0 2 A. S x2 2x dx . B. S x2 2x dx x2 2x dx . 1 1 0 0 2 2 C. S x2 2x dx x2 2x dx . D. S x2 2x dx . 1 0 0 Câu 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm sốy x3 x2 2x trên đoạn  1; 2 và trục hoành.
22. 37 28 8 9 A. . B. . C. . D. . 12 3 3 4 Câu 6. Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x3 3x2 và trục hoành. 13 29 27 27 A. S . B. S . C. S . D. S . 2 4 4 4 Câu 7. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2x và các đường thẳng y 0, x 1, x 1 là 2 4 8 A. . B. 2 . C. . D. . 3 3 3 Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x3 x; y 2x và các đường x 1; x 1 được xác định bởi công thức. 1 1 A. S 3x x3 dx . B. S 3x x3 dx. 1 1 0 1 0 1 C. S x3 3x dx 3x x3 dx. D. S 3x x3 dx x3 3x dx. 1 0 1 0 Câu 9. Tính diện tích của hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x , y 6 x và trục hoành. 20 25 16 22 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x , y 4 x và trục Ox được tính bởi công thức: 4 4 2 4 A. 2xdx 4 x dx . B. 2xdx 4 x dx . 0 0 0 2 4 2 C. 2x 4 x dx . D. 4 x 2x dx . 0 0 Câu 11. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 và y 2 – x2 là: 1 1 1 1 A. 1 x2 dx . B. 1 x2 dx . C. x2 1 dx . D. x2 1 dx . 1 0 1 0 Câu 12. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol P : y 2x2 và đường thẳng d : y x quay xung quanh trục Ox được tính bởi công thức nào dưới đây? 1 1 1 2 2 2 A. V x2dx 4 x4dx . B. V x 2x2 dx . 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 C. V 2x2 x dx . D. V x2dx  x4dx . 0 0 0
23. Câu 13. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y x quay xung quanh trục Ox bằng: 1 1 1 1 A. x2dx x4dx . B. x2dx x4dx . 0 0 0 0 1 1 2 C. x2 x dx . D. x x2 dx . 0 0 Câu 14. Thể tích V của khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và các đường thẳng y 0, x 1, x 2 xung quanh trục hoành là 7 31 7 31 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 5 3 5 Câu 15. Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x2 2x và y x2 quay quanh trục Ox . 4 4 1 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 16. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi Parabol P : y x2 và đường thẳng d : y 2x quay xung quanh trục Ox bằng 2 2 2 A. x2 2x dx . B. 2x x2 dx . 0 0 2 2 2 2 C. 4x2dx x4dx . D. 4x2dx x4dx . 0 0 0 0 Câu 17. Cho đồ thị hàm số y f x . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là y 8 6 4 2 x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 2 0 2 A. f x dx . B. f x dx f x dx . 2 2 0 0 2 0 2 C. f x dx f x dx . D. f x dx f x dx . 2 0 2 0 Câu 18. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng x a , x b (như hình bên dưới). Hỏi cách tính S nào dưới đây đúng?
24. c b A. S f x dx f x dx . y a c c b B. S f x dx f x dx. O a c b x a c c b y f x C. S f x dx f x dx . a c b D. S f x dx. a Câu 19. Tính diện tích S của phần hình phẳng gạch sọc (bên dưới) giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d và trục hoành 31 A. S . 5 27 B. S . 4 19 C. . 3 31 D. . 5 Câu 20. Diện tích hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau bằng 3 3 A. S x2 2x 3 dx . B. S x2 2x 3 dx . 1 1 3 3 C. S x2 2x 3 dx . D. S x2 4x 3 dx . 1 1 Câu 21. Phần hình phẳng H được gạch chéo trong hình vẽ dưới đây được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , y x2 4x và hai đường thẳng x 2, x 0 .
25. 0 4 Biết f x dx , diện tích hình phẳng H là 2 3 7 16 4 20 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 22. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Diện tích phần tô đậm bằng 1 1 2 0 A. f x dx . B. f x dx . C. f x dx . D. f x dx . 2 0 0 1 Câu 23. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x2 , y x và các đường thẳng x 0 , x 1 bằng 0 1 0 1 A. x2 x dx . B. x2 x dx . C. x2 x dx . D. x2 x dx . 1 0 1 0 Câu 24. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 5x , y x x2 , x 1 và x 2 bằng 13 7 14 A. S . B. S 9 . C. S . D. S . 3 3 3 Câu 25. Cho hình phẳng giới hạn các đường y 5x , y 0, x 2 và x 2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng D quay quanh trục hoành được tính theo công thức nào dưới đây? 2 2 2 2 A. V 52x dx . B. V 25x dx . C. V 5x dx . D. V 5x dx . 2 2 2 2
26. Câu 26. Hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 1 x2 và Ox khi quay quanh Oy tạo thành vật thể có thể tích là 16 16 1 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 15 15 2 Câu 27. Thể tích của khối tròn xoay do đồ thị giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f (x) liên tục và không âm trên đoạn 1;3, trục Ox và hai đường thẳng x 1, x 3 quay quanh trục Ox được tính theo công thức: 3 3 2 A. V f (x)dx. B. V  f (x) dx. 1 1 3 3 2 C. V f (x)dx. D. V  f (x) dx. 1 1 Câu 28. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 4 (như hình vẽ bên dưới). Mệnh đề nào dưới đây đúng. 1 4 1 4 A. S f x dx f x dx. B. S f x dx f x dx. 1 1 1 1 1 4 1 4 C. S f x dx f x dx. D. S f x dx f x dx. 1 1 1 1 Câu 29. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x x , y g x x 2 và trục hoành (như hình vẽ bên dưới). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành.
27. 8 16 A. V . B. V . C. V 8 .D. V 10 . 3 3 Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x 0 và x 3. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 0 x 3 là một hình vuông cạnh là 9 x2 . Tính thể tích V của vật thể. A. V 18 . B. V 171. C. V 171 .D. V 18. Câu 31. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 2 và x 1 (phần tô đậm trong hình bên) được tính bởi công thức nào dưới đây? 1 1 1 1 A. S f x dx f x dx . B. S f x dx f x dx. 2 1 2 1 1 1 1 1 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx. 2 1 2 1 Câu 32. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y 3x2 6x, trục hoành và hai đường thẳng x 2; x 0 bằng A. 4 . B. 20 . C. 20 . D. 4 . Câu 33. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y x2 , y x và các đường thẳng x 0, x 1 bằng 1 0 1 0 A. x2 x dx . B. x2 x dx . C. x2 x dx . D. x2 x dx . 0 1 0 1 Câu 34. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y 6x và các đường thẳng y 0, x 1, x 2 . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng 2 2 2 1 A. 6xdx . B. 6x2dx . C. 6x2dx . D. 6x2dx . 1 1 0 0 Câu 35. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. Diện tích phần tô đậm bằng
28. y O 1 2 x -2 1 1 2 0 A. f x dx . B. f x dx . C. f x dx . D. f x dx . 2 0 0 2 Câu 36. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x 1, y 0, x 0, x 3 quanh trục hoành bằng A. 21. B. 6 . C. 6. D. 21 . Câu 37. Diện tích S của hình phẳng được tô đậm trong hình bên dưới bằng 1 4 1 4 A. S f x dx f x dx. B. S f x dx f x dx. 1 1 1 1 1 4 1 4 C. S f x dx f x dx. D. S f x dx f x dx. 1 1 1 1 Câu 38.Cho hàm số f x liên tục trên ¡ . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1, x 2 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 2 1 2 A. S f x dx f x dx . B. f x dx f x dx . 1 1 1 1 2 2 C. f x dx . D. f x dx . 1 1
29. Câu 39. Cho đồ thị hàm số y f x như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục Ox ( phần in đậm) được tính bởi công thức 1 3 1 3 A. S f x dx f x dx . B. S f x dx f x dx . 3 1 3 1 3 3 C. S f x dx . D. S f x dx . 3 3 Câu 40. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn  3;3. Hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng 0 3 x 3, x 3 được cho như hình vẽ dưới. Biết f x dx a , f x dx b . 3 0 Diện tích của hình phẳng H bằng A. a b . B. b a . C. a b . D. a b . Câu 41. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x2 , y2 4x quay xung quanh trục Ox . Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng 6 9 4 88 A. V . B. V . C. V .D. V . 5 70 3 5
30. Câu 42. Diện tích phần gạch chéo trong hình bên dưới được tính theo công thức 0 b 0 b A. f x dx f x dx . B. f x dx f x dx . a 0 a 0 0 b 0 b C. f x dx f x dx . D. f x dx f x dx . a 0 a 0 Câu 43. Một chất điểm chuyển động trên trục Ox với vận tốc thay đổi theo thời gian v t 3t 2 6t (m/s). Tính quãng đường chất điểm đó đi được từ thời điểm t1 0 (s), t2 4 (s). A. 16. B. 24. C. 8. D. 12. Câu 44. Bạn An ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới vận tốc chuyển động của máy bay là v t 3t 2 5 m/s . Quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là A. 996 m . B. 876 m . C. 966 m . D. 1086 m . Câu 45. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t 5t 1, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là: A. 15 m . B. 620 m . C. 51m . D. 260 m . Câu 46. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v1 t 7t m/s . Đi được 5 s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc a 70 m/s2 . Tính quãng đường S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn. A. S 95,70 m . B. S 96,25 m . C. S 87,50 m . D. S 94,00 m .
31. Câu 47. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t 10 5t m/s với t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường đi được của ô tô từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. A. 10 m . B. 20 m . C. 2 m . D. 0,2 m . Câu 48. Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi t 0 s chuyển động thẳng với vận tốc v t t 5 t m/s . Tìm quảng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại. A. 20,8 m . B. 20,83 m . 125 C. m . D. 20,83333 m . 6 Câu 49. Một vật chuyển động theo quy luật s t3 6t 2 , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vận tốc đạt giá trị lớn nhất thì quãng đường vật đi được là bao nhiêu? A. 12 m . B. 16 m . C. 20 m . D. 24 m . Câu 50. Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t 3t 2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Biết tại thời điểm t 2s thì vật đi được quãng đường là10m. Hỏi tại thời điểm t 30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu? A . 240m. B. 1140m. C. 300m. D. 1410m.