Sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc

1. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết toán học hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, vì thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại. Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hố hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. Trong chương trình toán 6 phấn số học có bài toán tính tổng S = 1 1 1 1 , đây là một bài toán tính tổng có thể xem là bài toán tổng 1.2 2.3 3.4 9.10 quát, qua quá trình dạy học tôi nhận thấy việc học sinh làm được dạng bài tập này rất ít và hết sức khiêm tốn, vậy tôi chọn bài toán này là bài toán gốc nó không những giúp học sinh giải bài tập dạng tính tổng này mà còn vận dụng nó để giải một số bài tập khi cần thiết đê sử dụng nó như là công cụ để giải toán. Vì vậy tôi chọn đề tài “Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc” là cơ sở để tôi trao đổi với đọc giả và để giải quyết qua đề tài này. Thông qua đó nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng bộ môn toán ở bậc học 2. Đối tượng nghiên cứu: Rèn kỷ năng vận dụng bài toán tính tổng quen thuộc. 3. Phạm vi nghiên cứu: 1
2. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh khá và giỏi K6 của trường THCS Quang Thọ, năm học 2014 - 2015. Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản thân chỉ nghiên cứu qua một số bài tập mong bạn đọc tìm tòi thêm để nhằm đi sâu hơn về bài toán này. 4. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 6, tài liệu có liên quan. Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh. Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra. Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh. B. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn tốn là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hóa vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán tính tổng theo quy luật 2
3. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học này trong SGK và sách tham khảo rất nhiều và một số bài toán khác khi sử dụng nó để làm công cụ không ít nên có thể coi nó là bài toán gốc quan trọng, đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn, so sánh, quy đồng mẫu số nhiều phân số và việc giải phương trình, Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình không đề cập đến một phương pháp cơ bản của quá tính tổn thông qua các ví dụ cụ thể, vì vậy việc làm đó là quá phức tạp và không học sinh khó giải quyết. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán tính tổng một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn. 2. Cơ sở thực tiễn Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 6, do chay lười trong học tập, ỷ lại, trong nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém. Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất. Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ. 3
4. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà. 3. Nội dung vấn đề Xuất phát từ bài toán tính tổng sau: 1 1 1 1 * Bài toán Cho S = , Tính tổng S 1.2 2.3 3.4 19.20 Thông thường khi giải bài toán này đa số các em thường nghỉ ngay đến việc quy đông mẫu số của các phân số rồi tính. Nhưng học sinh chưa biết làm quen với bài toán tính tổng theo quy luật, vì vậy giáo viên cầu lưu ý và hướng dẫn cho học sinh một cách tỷ mỷ và cần phân tính thấy được các số hạng tuân theo một quy luật nhất định và ta đi xét từng số hạng của nó và xây dựng cho học sinh một công thức tổng quát 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chắng hạn: 1 , , , , 1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 19.20 19 20 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó S 1 2 2 3 3 4 19 20 Hướng dẫn học sinh dùng phương phát khử liên tiếp các số đối nhau 1 19 Cuối cùng S 1 10 20 Xét tường số hạng của tống ta có công thức tổng quát sau: 1 1 1 Công thức: ( n là khoảng cách ) a(a n) a a n Từ công thức đó học sinh sẽ áp dụng và phân tích từng số hạng của tống và làm các bài toán tính tổng khó hơn sau: 1 1 1 1 a, n N 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 4 4 4 b, M = 5.7 7.9 2013.2015 5 5 5 5 c, N = 11.16 16.21 21.26 61.66 Từ bài toán tổng quát trên nếu ta xét các mẫu của chúng Ta thấy: 1.2 = 2, 2.3 = 6, 3.4 = 12, 19.20 = 380 ta có bài toán sau: 1 1 1 1 Bài toán 1 Cho S = , 2 6 12 380 a, Tính tổng S 4
5. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học b, So sánh S với 1 Gv gợi ý cách giải tương tự như bài toán gốc Hơn nữa ta lại có bài toán 1 1 1 1 1999 Bài toán 2 Tìm x N Biết 1.2 2.3 3.4 x(x 1) 2000 ( Đề thi học sinh giỏi tĩnh lớp 7 năm học 1999 - 2000) Vận dụng bài toán gốc và dễ dàng giải ngay tương tự như bài toán gốc ta tìm được x = 1999 1 1 1 1 1 1 1 1 * Khi ta so sánh được  ,và  ,và  , ,  (*) 22 1.2 32 2.3 42 3.4 202 19.20 Ta lại có bài toán sau: 1 1 1 1 Bài toán 3 Cho S Chứng minh S  1 22 32 42 202 Việc giải bài toán này không mấy phức tạp khi ta sử dụng kết quả của bài toán 19 gốc S rồi ta lập luận dựa vào cách ta so sách ở (*) ta sẻ chứng minh được ngay, 20 ta con nhắc nhở thêm học sinh thậm chí ta còn chứng minh được nếu đề bài yêu 19 cầu S nữa, 20 1 1 1 1 * Lại có thêm điều 0  22 32 42 202 * Do đó ta có bài toán tưởng như khó sau: 1 1 1 1 Bài toán 4 Chứng tỏ rằng: không thuộc Z 22 32 42 202 Giáo viên cần hướng dẫn, dẫn dắc cho học sinh cụ thể 1 1 1 1 Giả sử ta gọi =S1 22 32 42 202 Ta dựa vào kết quả bài toán gốc S =19/20 không thuộc Z rồi, sử dụng t/c bắc cầu Và lại có 0  S1  S.Vậy S1 Không thuộc Z là điều hiên nhiên Chúng ta đã nhận ra rằng nếu a1;a2 ;a3; ;a19 ;a20 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác 1 1 1 1 1 1 1 1 nhau thì 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a2 a3 a19 2 3 4 20 Ta lại có bài toán sau: Bài toán 5 Tìm các số tự nhiên khác nhau a1;a2 ;a3; ;a19 ;a20 1 1 1 1 1 sao cho 2 2 2 2 2 1 a1 a2 a3 a19 a20 Giáo viên hướng dẫn cách lập luận như bài toán 3 để khi đó ta đi giải bài toán này không mấy phức tạp 5
6. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học Vận dụng lời giải bài toán 4 ta lại có bài toán sau: 1 1 1 1 1 Bài toán 6: Cho 19 số tự nhiên thõa mãn 2 2 2 2 2 1 a1 a2 a3 a19 a20 Chứng minh rằng trong 19 số này tồn tại 2 số bằng nhau Bài toán 7 Tìm các số tự nhiên a1;a2 ;a3; ;a19 ;a20 thỏa mãn a1a2 a3  a19 a20 1 1 1 1 1 19 Là a1.a2 a2.a3 a3.a4 a18.a19 a19.a20 20 Trên đây là một số bài toán mà trong quá trình giảng dạy tôi đã vận dụng kết quả của bài toán gốc theo sgk để đưa ra, các đọc giả tham khảo và đóng góp ý kiến bổ sung đặc biệt là thêm các bài toán khác vào cho được phong phú hơn mong được sự cộng tác của bạn đọc và chân thành cảm ơn mọi sự đóng góp của bạn đọc. Trong quá trình viết và thực hiện đề tài này để giảng dạy và đặc biệt là phát hiện bồi dưởng học sinh giỏi mũi nhọn, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép biến đổi, sau mỗi bước giải phải có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất định, từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp lập luận cho phù hợp. Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác. Kết quả Kết quả áp dụng kĩ năng này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của bộ môn đối với học sinh khá giỏi. Cụ thể kết quả kiểm tra về dạnh bài tập này được thông kê qua đối tượng HS khá giỏi như sau a) Chưa áp dụng giải pháp Kiểm tra khảo sát chất lượng Thời gian TS Trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) 6
7. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học Chưa áp dụng giải pháp 16 2 12,5% * Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng phân tích bài toán, hầu hết các em chỉ áp dụng cách quên thuộc là quy đồng rồi thực hiện phép tính, một số em con đoán và ghi kết quả vào, cách trình bày bài giải còn lúng túng. b) Áp dụng giải pháp Thời gian TS Trung bình trở lên HS Số lượng Tỉ lệ (%) Kết quả áp dụng giải pháp 16 12 75% * Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về cách làm biết phân tích tổng hợp từng số hạng của tông, biết sử dụng phương pháp khử liên tiếp các số đối vận dụng khá tốt các phương pháp trong giải toán, biết nhận xét đánh giá bài toán trong các trường hợp, trình bày khá hợp lý.  Tóm lại: Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh nghiệm này đã giúp học có kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán. C. KẾT LUẬN  Bài học kinh nghiệm Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau: 7
8. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hóa vấn đề, tương tự hóa vấn đề để việc giải bài toán tính tổng theo quy luật tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách tồn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em. Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình mà tôi đã đề cập ở trên. Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng tốn và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ năng vận dụng các phương pháp một cách đa dạng hơn trong giải toán. Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự suy mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và trong học toán. Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tuyển chọn được nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh,  Hướng phổ biến áp dụng Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình số học lớp 6, cho các năm học sau, cho những trường cùng loại hình.  Hướng nghiên cứu phát triển 8
9. Xuất phát từ bài toán tính tổng quen thuộc trong SGK Toán 6 phần số học Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp tính tổng khác lập luân khác dễ hiểu hơn (nâng cao) hơn Đề tài nghiên cứu cho vận dụng nó để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, đi sâu vào việc nghiên cứu các tổng quát đặc biệt. Vũ Quang, tháng 10 năm 2015 Người làm: Lê Trọng Liệu 9