Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

Nội dung text: Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục

1. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ ĐẠI SỐ VÀ CÁCH KHẮC PHỤC ĐẶT VẤN ĐỀ: Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giải tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau: 1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị. 2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức. 3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại. 4. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán. 5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có. 6. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa. Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhưng rất thú vị. Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 1
2. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế, chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài “Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình” . Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ chức, dưới sự chỉ đạo trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí và qua tạp chí Toán tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những kinh nghiệm mà trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìm cực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 2
3. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn. Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán. Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh có rất n ều n ưng nội dung thì trùng nhau. Các sách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã c ọn đề tài “Sai lầm thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu và thực hiện. NỘI DUNG CHÍNH I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần Phần 1: Lý thuyết Phần 2: Các bài tập minh họa Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng. 1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai. 2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng. 3) Các bài tập áp dụng. II) Nội dung cụ thể. PHẦN I: LÍ THUYẾT a) Một số tính chất của bất đẳng thức Cho a, b, c là các số thực Tính chất 1 a b b a Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 3
4. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục ab Tính chất 2 a = b ba Tính chất 3 Tính chất bắc cầu ab a c. bc Tính chất 4 a b a++ c b c ab Tính chất 5 a+ c b+ d cd Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau. ac bc Tính chất 6 ab c0 ac bc Tính chất 7 ab c0 Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm a b 0 ac bd c d 0 a11 b 0 a22 b 0 * a1 a 2 a n b 1 b 2 b n 0, n N Tổng quát: ann b 0 Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau. Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức n n * * a b 0 a b ,  n N n n * *a b a b (n N,n2)M nn * Tính chất 10 ab0 a b,nN,n2  Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 4
5. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số m n 0 mn m n 0 mn * a a * aa a1 0 a 1 ba 11 Tính chất 12 ab 0 ab b) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối  a 0,  a R  a = a nếu a0  a = -a nếu a0  - a a a  a+ b a + b . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 . c) Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị. +) Bất đẳng thức Côsi Dạng cơ bản: Cho a, b 0, khi đó ta có bất đẳng thức a+ b 2 ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Dạng tổng quát: Cho các số không âm a1 ,a 2 ,a 3 , ,a n . n Ta có bất đẳng thức a+a1 2 +a+ +a 3 n n. aaa 1 2 3 a n với n N,n 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 =a 2 =a 3 = =a n . +) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng cơ bản: Với a,b,c,d là các số thực tuỳ ý ta luôn có 2 ac+bd a+b2 2 c+d 2 2 . Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 5
6. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục ab Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . cd Dạng tổng quát: Cho hai bộ số a,a1 2 ,a 3 , ,a n , b,b 1 2 ,b, ,b 3 n , khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab+ab+ab+ +ab112233 nn a+a+a+ +a 123 n123 b+b+b+ +b n a1 a 2a3 a n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = = = b1 b 2 b 3 b n (Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa). PHẦN II: CÁC BÀI TẬP MINH HOẠ A. Dạng sai lầm thứ nhất: Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhưng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) 1 Bài 1. Cho x, y là a số dương t oả mãn x+ 1. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu y xy t ức M = 32. + 2007. . yx Lời giải “có vấn đề”. xy Từ x, y > 0 áp dụng bất đẳng t ức C s ta có +2 . yx 2 1 1 1 y Từ x, y > 0 và x+ 1 ta có 1 x+ 4x. 4. y y y x x y x y y Do vậy M = 32. + 2007. = 32. + +1975. 32.2 1975.4 7964 . y x y x x Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 6
7. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Dấu “=” xảy ra x = y . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y. Nhưng với x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? xy Phân tích sai lầm: Lờ g ả sa ở c ỗ vớ x y > 0 t ì +2 . yx y Dấu “=” xảy ra x = y, còn 4, Dấu “=” xảy ra y = 4x. x 1 Mặt k ác có t ể t ấy x = y t ì mâu t uẫn vớ g ả t ết x+ 1. y N ư vậy nguyên n ân của sa lầm trong lờ g ả trên là trong một bà toán mà sử dụng n ều bất đẳng t ức để tìm cực trị n ưng các dấu “=” k ng đồng t ờ xảy ra . 2 1 1 y Lời giải đúng Từ g ả t ết ta có 1 x+ 4x. 4. y y x p dụng bất đẳng t ức C s c o a số k ng âm ta có x y x y y x y M = 32. + 2007. = 32. + 2. + 2005. 2. 32. .2. 2005.4 8036 y x y x x y x 1 Dấu “=” xảy ra x = ; y = 2 . 2 1 Vậy g á trị n ỏ n ất của M là 8036 g á trị này đạt được k x = ; y = 2 . 2 Bài 2. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = 2x+3y b ết 2x22 +3y 5 Lời giải sai: Gọi B = 2x22 +3y , ta có B 5. Xét A+B=2x+3y+2x22 +3y = 2 x22 + x +3 y + y 22 1 1 5 5 = 2 x+ +3 y+ - (1) 2 2 4 4 Ta lại có B5 nên -B 5 (2) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 7
8. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 25 25 1 Cộng (1) với (2) ta được A Min A x = y . 4 42 15 Nhưng với x = y A , vậy sai lầm ở đâu? 22 Phân tích sai lầm: 1 Sa lầm ở c ỗ vớ x = y = - c ỉ xảy ra dấu “=” ở (1) còn dấu “=” ở (2) k ng 2 1 5 xảy ra. T ật vậy vớ x = y = - thì B5 . Do đó -B 5. 2 4 Lời giải đúng: p dụng BĐT Bun acốpxk ta có: 2 A=2 2.2x+ 3.3x 2 3 2x+3y 2 2 5.5 25 x 2 y 3 A2 25 = x = y . Do A2 25nên 5A5 . 23 x = y Min A 5 x = y 1. 2x+3y 5 x = y Max A 5 x = y 1. 2x+3y = 5 Bài 3. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức 2 2 2 Fx,y = x+y +x+1 +y-x . 2 2 2 “Lời giải đẹp”: Ta thấy x+y ; x+1 ; y-x không đồng thời bằng 0 nên 2 F x, y 0 F x, y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = x+1 22 và b = x+ y + y- x đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất. 2 Có a = x+1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = -1. Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 8
9. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 22 Khi đó b= x+y + y-x =2y+2,2 nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0. x = -1 Vậy giá trị nhỏ nhất của F x, y là 2 khi . y=0 Phải chăng lời giải trên là đúng? Phân tích sai lầm: Lờ g ả mắc sa lầm ở bước lập luận: F x, y đạt g á trị n ỏ n ất k và c ỉ k 22 a = x+1 2 và b = x+ y + y- x đồng t ờ đạt g á trị n ỏ n ất. Lập luận này c ỉ đúng k các g á trị n ỏ n ất đó đạt được tạ cùng một g á trị của các b ến. Rõ ràng ở đây a đạt g á trị n ỏ n ất k x = -1, còn b đạt g á trị n ỏ n ất k x + y = x – y = 0 tức là k x = y = 0. Lời giải đúng: 2 2 2 1 2 2 2 B ến đổ Fx,y =3x+2x+1+2y =3 x+ +2y+  x,y 3 3 3 1 Đẳng t ức xảy ra x = - , y = 0. Vậy g á trị n ỏ n ất của F x, y 3 2 1 là g á trị này đạt được k x = - , y = 0. 3 3 Bài 4. Tìm g á trị lớn n ất của b ểu t ức D = -5x22 -2xy-2y +14x+10y-1. Lời giải “băn khoăn”: Ta có D = -5x22 -2xy-2y +14x+10y-1 =- x2 +2xy+y 2 - 4x 2 -14x - y-10y 2 -1 2 22 7 145 =-x+y -2x- -y-5 + 24 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 9
10. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x+ y = 0 x = - y 145 77 Suy ra D . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x- = 0 x = 4 24 y-5 = 0 y = 5 Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất. Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục chưa? Phân tích sai lầm: 2 22 7 145 Từ biến đổi đến D=-x+y -2x- -y-5 + thì mới chỉ suy ra 24 145 D , còn việc kết luận giá trị lớn nhất của D không tồn tại là chưa chính xác, 4 không có căn cứ xác đáng. Lời giải đúng: Cách 1: Ta có D=- x2 +y 2 -6x-6y+2xy+9 - 4x 2 -8x+4 - y 2 -4y+4 16 2 2 2 -x+y-3 -4x-1 - y-2 16 x+ y-3 = 0 x = 1 Suy ra D 16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x-1 = 0 y = 2 y- 2 = 0 Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2. Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên” cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn. Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng P(x, y) = ax22 + bxy+cy +dx+ey+ h (a,b,c 0) Cách giải: Biến đổi P(,) x y về một trong hai dạng sau: Dạng 1: P(x, y) = m.F22 (x, y) + n.H (x) +g (1) Dạng 2: P(x, y) = m.F22 (x, y) + n.K (y) +g (2) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 10
11. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F(x, y) là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y. Nếu m 0, n 0 thì ta có min P(x, y) = g . F(x, y) = 0 F(x, y) = 0 Giá trị này đạt được khi và chỉ khi hoặc . H(x) = 0 K(y) = 0  Nếu m 0, n 0 thì ta có max P(x, y) = g . F(x, y) = 0 F(x, y) = 0 Giá trị này đạt được khi và chỉ khi hoặc . H(x) = 0 K(y) = 0 Để biến đổi được như vậy, ta coi một biến là biến chính rồi tìm cách biến đổi để áp 22 dụng các hằng đẳng thức a2 +2ab+b 2 = a+b ;a 2 -2ab+b 2 = a-b ở đây ta chọn biến y là biến chính. Cụ thể: Ta có D = -5x22 -2xy-2y +14x+10y-1 x-5 22 x-5 =-2.y+x-5y+ 22 + -5x+14x-1 42 2 2 x-5 9 x-1 2 y+ - 16 16 22 x-5 y+ = 0 x = 1 Suy ra D 16 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 y = 2 x-1 = 0 Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2. B. Dạng sai lầm thứ hai Không xác định điều kiện xảy ra dấu bằng trong BĐT fm (hay fm ), hoặc điều kiện xảy ra dấu bằng không thoả mãn giả thiết. Bài 1. Cho x, y, z t oả mãn x2 + y 2 + z 2 27 . Tìm g á trị lớn n ất của b ểu t ức P = x+ y+ z+ xy+ yz+ zx. 2 2 2 Lời giải sai Với mọi x, y, z ta có: x- y 0; y- z 0; z- x 0 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 11
12. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x+y2 2 2xy; y+z 2 2 2yz; z+x 2 2 2zx 2 x2 + y 2 + z 2 2 xy+ yz+ zx 27 xy+ yz+ zx (1) +) x-1 2 0; y-1 2 0; z-1 2 0 x+12 2x;y+1 2 2y;z+1 2 2z 2 2 2 x+y+z 3 2x+y+z 15 x+y+z (2) Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 42. Vậy giá trị lớn nhất của P là 42. Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục như thế nào? Phân tích sai lầm Lờ g ả này đã quên một bước v cùng quan trọng của một bà toán cực trị k sử dụng BĐT đó là xác địn đ ều k ện xảy ra đẳng t ức. Ta t ấy P = 42 (1) và (2) đồng t ờ trở t àn đẳng t ức x = y = z 3 2 2 2 x + y + z = 27 x = y = z = 1 Hệ trên v ng ệm nên bất đẳng t ức P ≤ 42 k ng t ể trở t àn đẳng t ức. 2 Lời giải đúng: Xét ệu 3x+y+z 2 2 2 - x+y+z 2 2 2 =2 x2 +y 2 +z 2 -2 xy+yz+zx = x- y + y- z + z- x 0 (*) . 2 Từ (*) x+ y+ z 3 x2 + y 2 + z 2 3.27 x+ y+ z 9 (1) (đẳng t ức xảy ra x = y = z = 3). Từ (*) 2(xy+ yz+ zx) 2(x2 + y 2 + z 2 ) xy+ yz+ zx x2 + y 2 + z 2 27 (2) Từ (1) và (2) x+ y+ z+ xy+ yz+ zx 36 . Đẳng t ức xảy ra x = y = z = 3. Vậy P đạt g á trị lớn n ất là 36 g á trị này đạt được x = y = z = 3. Bài 2. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = x+ x. Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 12
13. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2 1 1 1 1 1 Lời giải sai: Ta có A=x+ x=x+ x+ - = x+ 4 4 2 4 4 1 Vậy min A . 4 Lời giải rất “hồn nhiên” và “ngắn gọn” nhưng lập luận đã chặt chẽ chưa? Kết quả có chính xác không? Theo bạn “kẽ hở” ở chỗ nào? 1 Phân tích sai lầm: Sau k c ứng m n A, c ưa c ỉ ra trường ợp xảy ra 4 1 1 A, . Xảy ra dấu đẳng t ức x = - , vô lí. 4 2 Lời giải đúng: Để tồn tạ x p ả có x0 . Do đó A = x+ x 0 . Min A 0 x 0. x+ a x+ b Bài 3. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A= vớ x0 , a và b là x các ằng số dương c o trước. Lời giải sai: Ta có x+a 2 ax (1) và x+ b 2 bx (2) x+ a x+ b 2 ax.2 bx Do đó A = = 4 ab xx MinA=4 ab x=a=b. Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lại không? Phân tích sai lầm: C ỉ xảy ra A = 4 ab k ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng t ức tức là x = a và x = b. N ư vậy đò ỏ p ả có a = b. Nếu a b t ì k ng có được A = 4 ab . Lời giải đúng: Ta t ực ện p ép n ân và tác ra các ằng số: Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 13
14. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x+ a x+ b x2 + ax+ bx+ ab ab A= = =x++a+b. x x x ab 2 Ta có x+ 2 ab (BĐT C s ) nên A 2 ab+a+b= a+ b x ab 2 x= Min A = a + b x x = ab. x0 Bài 4. C o a b c là các số dương ãy tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức a b c P = 1+ 1+ 1+ . 5b 5c 5a Một bạn học sinh đã giải như sau: Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a a b b c c 1+ 2 (1); 1+ 2 (2); 1+ 2 (3) 5b 5b 5c 5c 5a 5a Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được a b c 8 5 85 P 8 . . = . Do đó P nhỏ nhất bằng . 5b 5c 5a 25 25 Các bạn có đồng tình với cách giải này không? 85 Phân tích sai lầm: Để ý k ng tồn tạ a b c để P= . Đây là sa lầm 25 t ường mắc k dùng bất đẳng t ức để tìm g á trị lớn n ất g á trị n ỏ n ất của một b ểu t ức. Một nguyên n ân sâu xa ơn n ều là bạn đọc k ng ểu đúng ng ĩa của dấu “≥” và dấu “≤”. K ng p ả k nào v ết “≥” cũng có t ể xảy ra dấu “=”. Ví dụ ta v ết 10 ≥ 2 là đúng n ưng k ng t ể có 10 = 2. Lời giải đúng: B ến đổ a b c 1abc1abc1 P=1+ 1+ 1+ =1+ ++ + ++ + (1) 5b 5c 5a 5bca 25cab 125 Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng t ức C s ta có Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 14
15. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục a b c a b c a b c a b c + + 3.3 . . 3 (2) và + + 3.3 . . 3 (3) b c a b c a c a b c a b 1 1 1 216 Từ (1) (2) (3) ta có P 1 .3 .3 . Dấu đẳng t ức xảy ra k 5 25 125 125 và c ỉ k các dấu đẳng t ức ở (2) và (3) đồng t ờ xảy ra tức là a = b = c. Vậy 216 Min P a = b = c > 0. 125 Bài 5. C o a b là a số dương và x y z là các số dương tuỳ ý. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức: x2 y 2 z 2 M = + + . ay+ bz az+ by az+ bx ax+ bz ax+ by ay+ bx Lời giải của một học sinh: p dụng bất đẳng t ức Bun a có 2 2 ay+bz a+b2 2 y+z 2 2 và az+by a+b2 2 z+y 2 2 xx22 Vậy . Tương tự ta có ay+ bz az+ by a2 + b 2 y 2 + z 2 yx22 zz22 và . az+ bx ax+ bz a2 + b 2 z 2 + x 2 ax+ by ay+ bx a2 + b 2 x 2 + y 2 1 x2 y 2 z 2 Do đó M 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 . a+b y+z z+x x+y x2 y 2 z 2 3 Mặt khác chứng minh được ++ y2 + z 2 z 2 + x 2 x 2 + y 2 2 3 Suy ra M. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. 2 a22 + b 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là , giá trị này đạt được khi và chỉ khi 2 a22 + b Cách giải trên phải chăng là đúng! Bạn giải bài toán này như thế nào? Phân tích sai lầm: Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 15
16. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Lờ g ả đã sử dụng k á n ều bất đẳng t ức n ưng bạn ọc s n này c ỉ xét dấu x2 y 2 z 2 3 đẳng t ức xảy ra ở bất đẳng t ức ++ mà k ng xét dấu y2 + z 2 z 2 + x 2 x 2 + y 2 2 đẳng t ức xảy ra ở các bất đẳng t ức còn lạ . 3 T eo đó đẳng t ức M= xảy ra k và c ỉ k x = y = z và a = b. N ưng 2 a22 + b 3 t eo g ả t ết a b là a số dương tùy ý nên vớ ab thì M . 2 a22 + b Lời giải đúng: p dụng bất đẳng t ức (m + n)2 ≥ 4mn 2 ay+ bz+ az+ by 2 a+ b 2 y+ z 2 a+ b y22 + z Ta có ay+ bz az+ by = 4 4 2 x22 2x Suy ra . Tương tự ta cũng có ay+ bz az+ by a+ b 2 y22 + z y22 2 y z22 2z và . az+ bx ax+ bz a+ b 2 x22 + z ax+ by ay+ bx a+ b 2 y22 + x 2 x2 y 2 z 2 Do đó M 2 2 2 + 2 2 + 2 2 . a+ b y + z z + x x + y x2 y 2 z 2 3 Mặt k ác t eo bất đẳng t ức Net-bit thì ++ , y2 + z 2 z 2 + x 2 x 2 + y 2 2 3 suy ra M. 2 Đẳng t ức xảy ra k và c ỉ k x = y = z . a+ b 3 Vậy min M k và c ỉ k x = y = z . a+ b 2 Bài 6: Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P=2x22 +5y +4xy-4x-8y+6 Lời giải đẹp” Ta có P= x2 +4y 2 +1+4xy-2x-4y + x 2 -2x+1 + y 2 -4y+4 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 16
17. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2 2 2 P= x+2y-1 + x-1 + y-2 2 2 2 Do x+ 2 y-1 0, x-1 0, y- 2 0 nên 2 2 2 P= x+2y-1 +x-1 + y-2 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không? Phân tích sai lầm: Khẳng định P0 là đúng nhưng c ẳng được gì, bởi vì không có giá trị nào của x, y để dấu “=” xảy ra. Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ việc người giải đã không thực hiện bước 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức ta phải trả lời câu hỏ “dấu bằng xảy ra khi nào?” Lời giải đúng: Coi x là biến chính để biến đổi như sau: P 2x2 5y+4xy-4x-8y+6 2 2 x+2x 2 y-1+ y-122 -2 y-1 +5y-8y+ 2 6 2222 2 4 4 P= x+y-1 +3y-4y+4= x+y-1 +3 y-2y. + - +4 3 9 3 2 2 2 28 2 2 P= x+y-1 +3 y- + . Vì x+y-1 0, 3 y- 0 33 3 2 2 2 8 8 nên P=x+y-1 +3y- +  x,y . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ 3 3 3 2 1 xy 10 xy 10 x 2 3 khi 2 2 30y y 0 2 3 y 3 3 8 12 Vậy Min P = . Giá trị này đạt được khi x, y = , 3 33 C. Dạng sai lầm thứ ba Bất đẳng thức f x a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị x = x0 nào đó (x0 thoả mãn điều kiện của bài toán) đã kết luận biểu thức fx đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất. Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 17
18. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Bài 1. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P= 28+3x-x22 + 5+4x-x . Lời giải sai: Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là 28+3x-x02 4 + x 7 - x 0 4x7 1 x 5. 2 5+ 4x- x 0 1+ x 5- x 0 1 x 5 Nhận xét: Với 1 x 5 ta có 5+4x-x2 =1+x 5-x 0 , suy ra 5+ 4x- x2 0. 28+3x-x2 = 4+x 7-x 0 , suy ra 28+3x- x2 0. Do đó, với 1 x 5 thì P= 28+3x-x22 + 5+4x-x 0, nên P không có giá trị nhỏ nhất. Phân tích sai lầm Lờ g ả sa về mặt l g c tương tự n ư trường ợp Q = x2 +1 0 vớ mọ x n ưng Q vẫn đạt g á trị n ỏ n ất bằng 1 k x = 0. Lời giải đúng: Đ ều k ện của x để P có ng ĩa là 1 x 5. K đó ta có P 23-x+1+x 5-x+ 1+x 5-x 23-x 23-5 32 . Đẳng t ức xảy ra k và c ỉ k x = 5. Vậy min P 3 2 k và c ỉ k x 5. Bài 2. Tìm m để p ương trìn x2 + m+1 x+1= 0 có tổng bìn p ương các ng ệm đạt g á trị n ỏ n ất. Lời giải của một học sinh: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2 m1 0 m+1-40 m+3m-1 0 (*) . m3 Khi đó tổng bình phương các nghiệm là: 22 22 x+x1 2 = x+x 1 2 -2xx 1 2 =m+1 -2 (Theo định lí Viét). Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 18
19. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2 Ta có m+1 2 2 nên tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi và chỉ khi m+1= 0 m 1. Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất. Phân tích sai lầm: Mấu chốt của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh chưa nắm vững khái niệm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng thức f x a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị xx 0 nào đó (x0 thoả mãn điều kiện của bài toán) thì không thể kết luận được biểu thức fx đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải đúng: Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 2 m1 0 m+1-40 m+3m-1 0 (*) . m3 Khi đó tổng bình phương các nghiệm là x+x22 =x+x2 -2xx =m+1 2 -2= m+1 2 -4 2 2. 1 2 1 2 1 2 2 m 1 Đẳng thức xảy ra m+1 4 0 (thoả mãn (*)). m3 22 Vậy x12 + x đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi m = 1 hoặc m = -3. D. Dạng sai lầm thứ tư Lập luận sai khi khẳng định “A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” (hoặc ngược lại) mà chưa đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương. 1 Bài 1. Tìm g á trị lớn n ất của b ểu t ức A = . x2 -6x+10 Lời giải sai: Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 19
20. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 1 Phân thức có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. x2 -6 x+10 2 Ta có: x2 -6x+10= x-3 +1 1 min x2 -6x+10 1 x 3. Vậy max A 1 x 3. Lời giải có vẻ khá “trơn”, nhưng nếu đi thi mà làm vậy thì “trượt”. Tại sao vậy? Phân tích sai lầm Tuy đáp số k ng sa n ưng lập luận lạ sa k k ẳng địn “A có tử số k ng đổ nên A có g á trị lớn n ất k mẫu n ỏ n ất” mà c ưa đưa ra n ận xét tử và mẫu là các số dương. 1 1 Ví dụ n ư: Xét b ểu t ức B= . Vớ lập luận n ư trên “P ân t ức có x2 -10 x2 -10 tử k ng đổ nên có g á trị lớn n ất k mẫu n ỏ n ất” do mẫu n ỏ n ất bằng -10 1 1 khi x = 0 ta sẽ đ đến kết luận max B x 0. Đ ều này k ng đúng vì 10 10 11 k ng p ả là g á trị lớn n ất của B c ẳng ạn vớ x = 5 t ì B= . 15 10 Mắc sa lầm trên là do ngườ làm k ng nắm vững tín c ất của bất đẳng t ức đã máy móc áp dụng quy tắc so sán a p ân số có tử và mẫu là các số tự n ên sang a p ân số có tử và mẫu là các bất kì. 2 Lời giải đúng: Bổ sung t êm n ận xét x-6x+10=2 x-3 1 0 nên p ân t ức 1 1 có tử và mẫu đều là số dương do đó A lớn n ất k và c ỉ k n ỏ x2 -6 x+10 A n ất x2 -6x+10 n ỏ n ất. Làm t ếp n ư trên ra kết quả. 1 Bài 2. Tìm x để b ểu t ức P= đạt g á trị lớn n ất. x2 + 2x-3 Trong một lần kiểm tra có một học sinh đã giải bài toán này như sau: 1 Điều kiện x1 ; x3 . Ta có = . x+1 2 - 4 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 20
21. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì x+1 2 4 đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này 2 1 xảy ra khi x+1 0 hay x1 . Khi đó giá trị lớn nhất của P 4 1 1 Nhưng có thể thấy khi x2 thì P , do đó không phải là giá trị lớn nhất 5 4 của P. Vậy sai lầm của lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó như thế nào? Phân tích sai lầm Sai lầm của lời giải mà bạn học sinh này đưa ra chính là ở bước lập luận “để 2 biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì x+1 4 đạt giá trị nhỏ nhất”. Điều này chỉ đúng khi tử và mẫu của P cùng dương mà tử phải là hằng số. ở đây mẫu chưa biết dương hay âm nên không thể lập luận như vậy được. Lời giải đúng: Điều kiện x1 ; x3 . Với x3 hoặc x1 thì P0 , còn với 3 x 1 thì P0 . 1 Ta thấy khi x =1+a với a > 0 thì P= nên a càng nhỏ thì P càng lớn và lớn a2 + 4a 1 bao nhiêu cũng được, do đó biểu thức P= không có giá trị lớn nhất. x2 + 2x-3 E. Dạng sai lầm thứ năm Nhầm tưởng vai trò của các biến trong bài như nhau nên sắp thứ tự các ẩn. x y z Bài 1. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = + + vớ x, y,z 0. y z x Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x y z x thì biểu thức A không đổi nên không mất tính tổng quát, giả sử x y z 0 , suy ra xz 0 y x-z z x-z xy- yz+ z2 xz. (1) y y z Chia cả hai vế của (1) cho số dương xz ta được - + 1. (2) z x x xy Mặt khác ta có + 2 (3). yx Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (2) và (3) ta được Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 21
22. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x y z + + 3. Từ đó suy ra minA=3 x=y=z. y z x Tuy kết quả đúng, nhưng xem ra lời giải bất ổn. Tại sao vậy? Phân tích sai lầm: K oán vị vòng quan x y z x t ì b ểu t ức A trở y z x thành + + , tức là b ểu t ức k ng đổ . Đ ều đó c o p ép ta được g ả sử một z x y trong ba số x; y; z là số lớn n ất ( oặc số n ỏ n ất) n ưng k ng c o p ép g ả sử x y z rồ sử dụng nó làm g ả t ết bà toán k đ c ứng m n mà k ng xét các trường ợp còn lạ . T ật vậy sau k c ọn x là số lớn n ất ( x ≥ y x ≥ z) t ì va trò của y và z lạ k ng bìn đẳng: g ữ nguyên x t ay y bở z và ngược lạ ta được x z y ++ b ểu t ức này k ng bằng b ểu t ức A. z y x Khắc phục sai lầm Vớ lờ g ả đã đưa ra t ay c o v ệc sắp t ứ tự ta c ỉ cần g ả sử z là số n ỏ n ất trong ba số x y z kết ợp vớ p ần còn lạ của lờ g ả đã trìn bày đó ta được lờ g ả đúng. Ngoà ra ta còn có t ể g ả bà toán này t eo các các sau: Cách giải đúng: Cách 1: Sử dụng bất đẳng t ức C s c o ba số dương ta có x y z x y z A = + + 33 . . 3.(P ả c ứng m n BĐT C s c o ba số k ng âm) y z y y z y x y z x y z Do đó min + + 3 k và c ỉ k == tức là x = y = z. y z x y z x Cách 2: G ả sử z là số n ỏ n ất trong 3 số x y z. Có: x y z x y y z y xy A= + + = + + + - . Ta có +2 (do x, y > 0) nên để c ứng y z x y x z x x yx x y z y z y minh + + 3 c ỉ cần c ứng m n + - 1 (1). y z x z x x Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 22
23. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục T ật vậy (1) xy+ z2 - yz x z(dox,z 0) x- z y- z 0 (2) . Do z là số n ỏ n ất trong 3 số x y z nên (2) lu n đúng. Từ đó tìm được g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = 3 k x = y = z. Bài 2. C o x y z là các số t ực lớn ơn - 1. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức 1+ x2 1+ y 2 1+ z 2 P = + + . 1+y+z2 1+z+x 2 1+x+y 2 Có một lời giải như sau: Nếu x0 , ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử t ứ ba giảm. Từ đó không mất tính tổng quát giả sử x y z 0 . 2 Từ x-1 0 x+12 2x 3x+1 2 2x+x+1. 2 1+ x22 1+ x 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó . 1+y+z22 1+x+x 3 1+ y22 2 1+ z 2 Tương tự ta cũng có ;. 1+z+x22 3 1+x+y 3 Từ đó suy ra P2 . Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 1. Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn chưa? Lời giải của bạn như thế nào? Phân tích sai lầm: Các biến x, y, z trong biểu thức P có dạng hoán vị vòng quanh mà không có vai trò như nhau nên chỉ được xem biến bất kì nào là lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà thôi. Do đó đoạn lập luận: Không mất tính tổng quát giả sử x y z 0 . 2 Từ x-1 0, suy ra 3x+1 22 2x+x+1. 1+ x22 1+ x 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.Do đó (1) 1+y+z22 1+x+x 3 1+ y2 2 1+ z2 2 Tương tự ta cũng có ; (2) và (3) 1+ z+ x2 3 1+ x+ y2 3 là không đúng. Không thể từ (1) suy ra (2) và (3) bằng phép tương tự vì vai trò của các biến x; y; z trong P không như nhau. Lời giải đúng: 1+x2 2(1+x) 2 2(1+x) 2 Có 1 + y2 ≥ 2y vớ mọ y nên 1+y+z2 2+2y+2z 2 2(1+z)+(1 2 y) 2 1+y2 (1+y) 2 1+z 2 2(1+z) 2 Tương tự ; 1+z+x2 2(1+x 2 )+(1 z) 2 1+x+y 2 2(1+y)+(1 2 x 2 ) Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 23
24. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 1+ x2 1+ y 2 1+ z 2 P = + + 1+y+z2 1+z+x 2 1+x+y 2 21+x 2 21+y 2 21+z 2 + + = M 21+z 2 +1+y 2 21+x 2 +1+z 2 21+y 2 +1+x 2 Đặt 1+x222 =a;1+y =b;1+z =c(a,b,c 0) . 2a 2b 2c c a b Lúc đó M = + + . Đặt N = + + và 2c+b 2a+c 2b+a 2c+b 2a+c 2b+a b c a H = + + Khi đó 2N+ H = 3 . 2c+b 2a+c 2b+a 2a+c 2b+a 2c+b Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có M+ N = + + 3 2c+b 2a+c 2b+a suy ra 2M+ 2N 6 (4) M 2b+a 2c+b 2a+c M3 Lại có 2H+ = + + 3, suy ra H+ (5) 2 2c+b 2a+c 2b+a 42 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4) và (5) ta có 9M 15 + 2 N+ H . Mà 2N+ H = 3 nên M2 . 42 Từ đó suy ra P2 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1. F/ Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải Bài 1. Cho a, b, c là độ dà ba cạn của một tam g ác. C ứng m n rằng 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a+b+c 2ab+bc+ca . Lời giải sai. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên b - c < a b2 -2bc + c 2 < a 2 b 2 +c 2 - a 2 < 2bc 2 b222 + c - a < 2bc2 b 444 + c + a + 2b 222222 c - 2b a - 2c a < 4b 22 c a4 + b 4 + c 4 < 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 Lời giải trên đã đúng chưa? Nếu chưa, giải thế nào thì đúng? Phân tích sai lầm: Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn ở hai vế của BĐT mà không có điều kiện hai vế cùng không âm Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 24
25. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2 2 Lờ g ả c ưa đúng vì từ b+c-a2 2 2 2bc b+c-a 2 2 2 2bc là sa c ẳng ạn 2 1 2 2 12 (sa ). Lưu ý c ỉ được bìn p ương a vế của BĐT k cả a vế đều k ông âm. Lời giải đúng Vì a b c là độ dà ba cạn của một tam g ác nên b-c a b+c b-c 22 a2 b+c b-2bc+c2 2 a 2 b+2bc+c 2 2 2bc a-b-c 2 2 2 2bc 2 2 a-b-c2 2 2 2bc a-b-c 2 2 2 2bc a+b+c-2ab-2ca+2bc444 22 22 22 4bc 22 a+b+c4 4 4 2ab+ca+bc 2 2 2 2 2 2 Bài 2. C o a số x; y t oả mãn x > y và xy = 1. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu x22 + y t ức A= . x - y Lời giải sai. 2 x+y2 2 x-2xy+y+2xy 2 2 x- y + 2xy Ta có A = = = x- y x- y x- y 2 x- y 2xy 2 Do x > y và xy = 1 nên A = + = x- y+ x- y x- y x- y 1 Biết rằng nếu a > 0 thì a+ 2 (BĐT Côsi). a x- y 2 x- y x- y Do đó A = + + 2 + . 2 x- y 2 2 x- y 2 Vậy A có giá trị nhỏ nhất khi + = 2 2 x- y 22 x-y +4=4x-y x-y -4x-y+4=0 . Giải phương trình này được nghiệm x – y = 2. Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 25
26. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x- y = 2 Do đó ta có hệ phương trình sau , nghiệm của hệ phương trình là xy = 1 x;y =1+ 2;-1+ 2 ; x;y =1- 2;-1- 2 (Thoả mãn điều kiện bài ra). x- y 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A = + 2 = + 2 = 3. 22 6 + 2 6 - 2 6- 2 Nhưng với x = ; y = thì có x > y; xy = =1 và A = 2 2 3. 22 4 Tại sao lại như thế? Phân tích sai lầm: Chứng minh fm (hay fm ), khẳng định giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của f bằng m mà không chỉ ra m là hằng số x- y x- y Rõ ràng lờ g ải sai: Vì A 2 + mà c ưa là ằng số. Sa lầm ở đây là sa 2 2 lầm ở bước 1 đán g á fm n ưng m k ng là ằng số. Lời giải đúng 2 x+yx-2xy+y+2xy2 2 2 2 x- y + 2xy 2 2 A = = = = (x- y) + 2 (x- y). 2 2 x- y x- y x- y x- y x- y 2 ( p dụng BĐT C s c o a số dương x – y và ). x- y 2 x - y = Dấu “=” xảy ra x-y . xy =1 6 + 2 6 2 G ả ệ này tìm ra x = ; y = t oả mãn đề bà . 22 22 Bài 3. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A= x -x+3+x -x-2. Một học sinh lên bảng làm như sau: 22 2 2 21 1 11 2 1 1 9 Ta có A=x-x+3+x-x-2=x-2. x+ + +x-2. x+ - 2 2 4 2 2 4 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 26
27. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 22 1 11 1 9 11 9 11 9 = x- + + x- - A 5. 2 4 2 4 4 4 4 4 2 1 1 1 Đẳng thức xảy ra x - = 0 x - = 0 x . 2 2 2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi x. 2 Bình luận: Trong lớp có hai nhóm đưa ra các nhận xét khác nhau, nhóm thứ nhất cho là lời giải của bạn học sinh trên “có vấn đề”, nhóm thứ hai hoàn toàn nhất trí với lời giải trên. Còn bạn, bạn sẽ đứng ở nhóm nào? Tại sao? 2 Phân tích sai lầm: Hiểu sai nhiều loại BĐT như A +m m Bạn ọc s n đã có bước g ả sa lầm 22 1 11 1 9 11 9 x - + + x - - 5. 2 4 2 4 4 4 2 2 1 9 9 1 9 9 Ta t ấy x- - vớ mọ x n ưng k ng t ể suy ra x- - 2 4 4 2 4 4 22 1 9 1 9 1 9 9 C ẳng ạn nếu x = 0 t ì x- - =0- - = - =-2 2 4 2 4 4 4 4 Lưu ý từ ab chỉ suy ra được ab khi a b 0. Lời giải đúng: 2 2 2 2 1 11 1 9 1 11 9 1 A=x- + +x- - =x- + +-x- 2 4 2 4 2 4 4 2 22 1 11 9 1 11 9 x- + + - x- 5 . 2 4 4 2 4 4 Do đó A đạt g á trị n ỏ n ất là 5 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 27
28. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2 2 2 2 1 11 9 1 9 1 1 11 x- +.-x- 0 x- 0 (vì x- 0  x 2 4 4 2 4 2 24 1 x 2. Bài 4. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P = x22 -1 x +1 . “Lời giải hay” Ta có x02 với mọi x, suy ra x2 -1 1 và x2 +1 1 Suy ra P=x-1x+1 22 1.1 1 P 1. x2 -1 = -1 x 0. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 x +1 =1 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = 0. Sai lầm ở đâu? Phân tích sai lầm: Vận dụng sai các tính chất của BĐT như nhân hai BĐT cùng chiều mà không có điều kiện hai vế cùng không âm. C ỗ sa của lờ g ả trên là đã n ân a vế của bất đẳng t ức cùng c ều trong k có n ững vế n ận g á trị âm c ẳng ạn 5 > 3 và -2 > -3 n ưng 5.(-2) < 3.(-3) Lời giải đúng: Lờ g ả đúng k á đơn g ản: P=x-1x+1=x 2 2 4 1 1 P 1. Dấu “=” xảy ra k và c ỉ k x4 0 x 0. Vậy g á trị n ỏ n ất của P là -1 g á trị này đạt được k và c ỉ k x = 0. Bài 5. Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P=x-2 xy+3y-2 x+1 “Lời giải dễ hiểu” Điều kiện x 0; y 0. Ta có 2 P=x-2 xy+3y-2 x+1 = x- y +1-2 x- y-2 y+2y 2 11 2211 = x- y-1 +2y-2 y+ - = x- y-1 + 2y-1 - 22 22 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 28
29. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 1 1 9 Từ đó đánh giá được minP=- y= ;x= . 2 4 4 Lời giải rất „logic”, liệu các bạn có chấp nhận không? Phân tích sai lầm: Xác định sai điều kiện của biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết quả sai. Bà toán sa ngay từ đ ều k ện đ ều k ện đúng là x 0; xy 0. T ật vậy nếu x = 0 t ì y tùy ý k đó P = 3y + 1 k ng đạt g á trị n ỏ n ất vì y n ỏ tùy ý nên P n ỏ tùy ý. Do sa ngay từ đ ều k ện nên lờ g ả trên đã bà toán t ếu 1 trường ợp. Lời giải đúng: Đ ều k ện Xét ha trường ợp: *Trường ợp 1: x 0; y 0. Đ ều k ện Ta có 2 P=x-2 xy+3y-2 x+1 = x- y +1-2 x- y-2 y+2y 2 11 2211 = x- y-1 +2y-2 y x - y -1 + 2 y -1 22 22 1 1 9 Từ đó đán g á được min P y = ; x . 2 4 4 *Trường ợp 2: x = 0, y tùy ý k đó P = 3y + 1 k ng đạt g á trị n ỏ n ất vì y n ỏ tùy ý nên P n ỏ tùy ý. KL c ung: B ểu t ức P k ng đạt g á trị n ỏ n ất. x+ y = m Bài 6. Cho xy, là ng ệm của ệ p ương trìn 2 2 2 (I) x + y = -m + 6 Tìm g á trị lớn n ất và g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức F = xy+ 2 x+ y x+ y = m x+ y = m “Lời giải hay”: Từ hệ (I) ta có 2 2 2 x+y -2xy=-m +6 xy = m -3 2 Khi đó F=m2 -3+2m= m+1 -4 2 Ta thấy m+1 - 4 4 , dấu “=” xảy ra m = -1 nên minF = - 4 m = -1. Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 29
30. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2 Mặt khác dễ thấy m càng lớn thì F = m+1 - 4 càng lớn, do đó biểu thức F không đạt giá trị lớn nhất. Bài toán có lỗ hổng không? Nếu có thì nó nằm ở đâu? Phân tích sai lầm: x + y = S Ngườ làm toán đã k ng để ý đ ều k ện để ệ p ương trìn có ng ệm xy = P là S2 4P do vậy đã k ng xác địn đ ều k ện của m để ệ có ng ệm. Tìn uống min F 4 m = -1 c ỉ là may mắn n ưng cũng k ng được c ấp n ận còn kết luận b ểu t ức F k ng đạt g á trị lớn n ất là sa lầm. Lời giải đúng: x+ y = m Trước ết ta tìm đ ều k ện của m để ệ (I) có ng ệm (I) 2 xy = m -3 Đ ều k ện để ệ (I) có ng ệm là m2 4m-3 2 -3m+12 2 0 2 m 2 2 K đó F=m2 -3+2m= m+1 -4 . Ta t ấy m + 1 2 4 4 dấu “=” xảy ra k và c ỉ k m = - 1 (T oả mãn 2 m 2) nên min F = 4 k và c ỉ k m = - 1. Mặt k ác đặt f m = m2 + 2m - 3 + C ỉ ra m  2; 1 t ì àm số fm ng ịc b ến nên max F = f(-2)= 3 (1) + C ỉ ra m  1;2 t ì àm số fm đồng b ến nên max F = f(2) 5 (2) Từ (1) và (2) suy ra max F = f(2) 5 Kết luận: Vậy minF = - 4 m = -1; max F 5 m 2 . Bài 7. Tìm g á trị n ỏ n ất của àm số f x = x-x+1+22 x- 3x+1 vớ xR Cách giải hay? Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 30
31. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục 2222 1 3 3 1 Đưa hàm số trên về dạng f x = x- + + x- + 2 2 2 2 1 3 3 1 Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét các điểm A,,B, và C x,0 . 2 2 2 2 Khi đó f x = CA+CB. Vì CA+CB AB. Trong đó 22 3 1 1 3 2 3 1 2 3 -1 AB = - + - . Suy ra min f x = . 2 2 2 2 2 2 Bài toán này giải bằng phương pháp đại số rất khó khăn nhưng nếu giải bằng phương pháp hình học như thế này thì “khá đơn giản” phải không các bạn? Còn bạn sẽ giải bài toán này như thế nào? Phân tích sai lầm: Sử dụng mặt phẳng toạ độ nhưng việc chọn điểm chưa phù hợp. Trước ết ta n ớ lạ một kết quả đúng sau: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) đi qua điểm C. Khi đó: a) Nếu A, B cùng phía so với (d) thì CA + CB đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) khi C là giao điểm của AB’ với (d) (trong đó B’ là điểm đối xứng của B qua (d)), lúc đó CA + CB = AB’. b) Nếu Nếu A, B khác phía so với (d) thì CA + CB đạt GTNN khi C là giao điểm của AB với (d), lúc đó CA + CB = AB. 1 3 3 1 Trong lờ g ả trên đã c ọn A,,B, là a đ ểm cùng p ía so vớ 2 2 2 2 trục oành. Đoạn AB k ng cắt trục Ox do đó dấu “=” ở bất đẳng t ức CA+CB AB k ng xảy ra (k ng tồn tạ đ ểm C’ trên Ox sao cho 2 3 1 C’A + C’B = AB ng ĩa là CA+CB AB nên v ệc kết luận min f x 2 là sa lầm. Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 31
32. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục Khắc phục sai lầm: 1 3 3 1 Xét ệ trục tọa Oxy trên đó c ọn A , , B' , và C x,0 . 2 2 2 2 22 3 1 1 3 Ta có f x = CA+CB' AB' (trong đó AB' = 2 ) 2 2 2 2 nên fx 2  x R . Đẳng t ức xảy ra k x = 3 1. Do đó GTNN của àm số đã c o là 2 g á trị này đạt được k và c ỉ k x 3 1. Bài 8. Cho a là số cố địn còn x, y là n ững số b ến t ên. Tìm g á trị n ỏ n ất 22 của b ểu t ức P = x- 2 y+1 + 2x+ay+5 Lời giải sai: 22 Do x- 2 y+1 0, 2x+ay+5 0 nên P0 . Do đó min P 0. Giá trị này x- 2 y+1= 0 đạt được khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm. 2x+ ay+5 = 0 x- 2 y+1= 0 x=2y-1 x=2y-1 Ta có 2x+ ay+5 = 0 2 2 y-1 + ay+5 = 0 a+ 4 y = -3 (*) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi a + 4 0 hay a - 4 . Vậy Min P = 0khi a 4 Nhưng đầu bài có cho a4 không? Phân tích sai lầm: Không xét hết các trường hợp trong mỗi bài toán mà đã kết luận Bài toán cần xét hai trường hợp, lời giải trên chỉ đúng trong trường hợp a4 , ta cần xét thêm trường hợp a = - 4. Lời giải đúng: 22 Do x - 2y + 1 0, 2x + ay + 5 0 nên P0 . Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 32
33. Sai lầm thường gặp khi giải bài toán cưc trị đại số và cách khắc phục x- 2 y+1= 0 a) MinP 0 khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm. 2x+ ay+5 = 0 x- 2 y+1= 0 x=2y-1 x=2y-1 Ta có 2x+ ay+5 = 0 2 2 y-1 + ay+5 = 0 a+ 4 y = -3 (*) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi a+ 4 0hay a - 4 22 b) Với a = - 4 , khi đó P= x-2y+1 + 2x-4y+5 . Đặt t = x-2y+1. 2 222 6 9 9 Ta có P=t + 2t+3 =5t +12t+9=5 t+ 5 5 5 9 6 11 Suy ra min P = khi t = - hay x- 2y . 5 5 5 Vậy: + Nếu a4 thì MinP 0 9 + Nếu a = - 4 thì MinP 5 Trần Hải Yến – Trường THCS Trọng Điểm – TP Hạ Long 33