Phiếu ôn tập giữa kì I - Môn Toán 8

Nội dung text: Phiếu ôn tập giữa kì I - Môn Toán 8

1. PHIẾU ÔN TẬP GIỮA HỌC KÌ I MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2017 – 2018 Họ và tên . .lớp : I. ĐẠI SỐ Bài 1. Thực hiện phép tính: a) xxx2 1 x b) 2xx 6 1 3 xx 4 1 2 2 c) x 1 xxx3 2 1 d) 2 x 1 4 x 3 2 xx 5 Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) 5x 4 49 x2 b) x3 2 x 2 y xy 2 c) 4x2 9 y 2 4 xy 6 d) x2 y 2 xy e) x25 x 2 xy 5 y y 2 f) y2 x 2 y zx 2 zy g) x2 4 x 12 h) 5x x2 14 i) x3 8 6 x x 2 j) 15x2 7 xy 2 y 2 k) xx2 6 5 x 2 10 x 21 15 Bài 3. Tính nhanh giá trị biểu thức: a) Ax 33 xy 2 9 yxy 3 2 2 tại x 1,95 và y 0,05 1 17 b) B x2 x tại x 9,75 2 16 Bài 4. Thực hiện phép tính a. 2xxx3 5 2 1 : 2 x 1 d. x2 2 x 1 : x 1 3 4 5 2 2 2 2 b. 4xxxx 2 3 1 : xx 2 3 e. x4 x 2 : x 2 c. 3xxx3 7 2 17 10 : 3 x 1 f. 125x3 1 : 5 x 1 Bài 5. Tìm x a. xx 3 3 x 2 x 5 6 b. 2x2 3 x 1 x 1 5 xx 1 2 c. 4x2 9 0 d. 4 5 2x 16 0 e. 2x x 3 5 x 3 0 f. x 2 x 9 4 x 18 0 g. 3x3 4 x 2 12 x 16 0 h. xxxxx5 4 3 2 1 0 Bài 6. Tìm GTNN của biểu thức sau:
2. 2 2 a) A 4 x2 4 x 9. b) B 2 x 1 x 2 . c) Cxy 2 2 4 xy 5 7 . d) D 4 x2 y 2 2 xy 6 x 5 . Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) A 5 x x2 10 . b) B 4 x2 2 x . c) C 4 x x2 . Bài 8. Cho a b c d 0 . Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 d 3 3 d c ab cd . Bài 9. Cho x y 2 và x2 y 2 10. Tính giá trị của biểu thức: x3 y 3 . II. HÌNH HỌC Bài 1. Cho hình thang ABCD(AB/ / CD) . Gọi MNPQ,,, theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, CD, BD a. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành ? b. Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ giác MNPQ là hình gì? Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 600. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. a) Chứng minh AE vuông góc với BF. b) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao? c) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao? d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật. e) Chứng minh M, E, D thẳng hàng. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 600, kẻ tia Ax song song với BC. Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = DC. a) Tính góc BAD và góc DAC. b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh ADEB là hình thoi. Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. a. Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành. b. BE cắt CF tại G. Vẽ các điểm M, N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật, AMGN là hình thoi. c. Chứng minh AMBN là hình thang. Giả sử AMBN là hình thang cân thì ABC là tam giác gì? Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và DH. a. Chứng minh MN // AD.
3. b. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành. c. Tính góc ANI. Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM , đường cao AH. N là điểm đối xứng của A qua tâm M . a) Chứng minh ACNB là hình chữ nhật; b) Trên đường thẳng qua A song song với BC lấy điểm D ( D thuộc nửa mặt phẳng bờ AN không chứa B ) sao cho AD BC . Chứng minh C là trung điểm DN . c) Vẽ BK AM tại K , BK cắt AH tại I và cắt AC tại E . Chứng minh I là trung điểm BE . Bài 7. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, qua C vẽ đường thẳng song song với BD, chúng cắt nhau tại I. a) Chứng minh OBIC là hình chữ nhật; b) Chứng minh AB = OI.
4. HƯỚNG DẪN GIẢI I. ĐẠI SỐ * Lý thuyết : 1. Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức 2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 3. Phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức một biến đã sắp xếp. * Bài tập : Bài 1 : Thực hiện phép tính : a) xxx2 1 x b) 2xx 6 1 3 xx 4 1 2 2 c) x 1 xxx3 2 1 d) 2 x 1 4 x 3 2 xx 5 Lời giải a) xxx2 1 x xxx2. 2 .1 xxx . .1 x x3 x 2 x 2 xx x3 b) 2xx 6 1 3 xx 4 1 2xx .6 2 x .1 3 xx .4 3 x .1 12x2 2 x 12 x 2 3 x x c) x 1 xxx3 2 1 xx.3 xx . 2 xxx . .11. x 3 1. x 2 1. x 1.1 xxxxxxx4 3 2 3 2 1 x4 1 2 2 d) 2 x 1 4 x 3 2 xx 5 2 xx2 2 1 4 xx 2 6 9 2 xx 5 2.x2 2.2 x 2.1 4. x 2 4.6 x 4.9 2 xxx . 2 .5 2xx2 4 24 xx 2 24 362 xx 2 10 38x 34 Bài 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 2 a) 5x 4 49 x2 b) x3 2 x 2 y xy 2 c) 4x2 9 y 2 4 xy 6 d) x2 y 2 xy e) x25 x 2 xy 5 y y 2 f) y2 x 2 y zx 2 zy g) x2 4 x 12 h) 5x x2 14 i) x3 8 6 x x 2 j) 15x2 7 xy 2 y 2 k) xx2 6 5 x 2 10 x 21 15 Lời giải 2 2 2 a) 5x 4 49 x2 5x 4 7 x 5x 4 7 xx 5 4 7 x 2x 4 12 x 4 8. x 2 . 3 x 1 2 b) x3 2 x 2 y xy 2 x x2 2 xy y 2 x. x y
5. c) 4x2 9 y 2 4 xy 6 4x2 9 y 2 4 xy 6 2xyxy 3 2 3 2 2 xy 3 2xy 3 . 2 xy 3 2 d) x2 y 2 xy xy2 2 xy xyxy xy xy . xy 1 2 e) x25 x 2 xy 5 yy 2 x2 2 xy y 2 5 x 5 y xy 5 xy xy xy 5 xy . xy 5 f) y2 x 2 y zx 2 zy yx2 2 y zx 2 zy yx2 2 y zx 2 y x2 y . y 2 z g) x2 4 x 12 x2 6 x 2 x 12 x2 6 x 2 x 12 x x 6 2 x 6 x 6 . x 2 h) 5x x2 14 2x 7 x x2 14 2x 14 x2 7 x 2 x 7 x x 7 x 7 . 2 x i) x3 8 6 x x 2 x3 8 6 x x 2 x2 xx2 2 4 6 xx 2 x2 xx2 2 4 6 x x2 x2 8 x 4 j) 15x2 7 xy 2 y 2 15x2 10 xy 3 xy 2 y 2 15x2 10 xy 3 xy 2 y 2 5xx 3 2 y yx 3 2 y 3x 2 y 5 xy k) xx2 6 5 x 2 10 x 21 15 x1 x 5 x 3 x 7 15 2 2 xx1 . 7 x 5 . x 3 15 xx8 7 xx 8 15 15 Đặt : x2 8 x t . Khi đó : xx2 8 7 xx 2 8 15 15 t7 t 15 15 t2 15 t 7 t 105 15 t2 22 t 120 t2 12 t 10 t 120 t2 12 t 10 t 120 t t12 10 t 12 t 12 t 10 xx28 12 xx 2 8 10 x2 x 6 xx2 8 10 Bài 3 : Tính nhanh giá trị biểu thức : a) Ax 33 xy 2 9 yxy 3 2 2 tại x 1,95 và y 0,05 1 17 b) B x2 x tại x 9,75 2 16 Lời giải a) Ax 33 xy 2 9 yxy 3 2 2 x33 xy 2 9 3 x 2 y y 3 x33 x 2 y 3 xy 2 y 3 9 3 x y 9 3 Với x 1,95 và y 0,05 thì A 1,95 0,05 9 1
6. 2 2 1 17 2 1 1 1 b) B x x x2. x 1 x 1 2 16 4 16 4 2 1 Với x 9,75 thì B 9,75 1 101 4 Bài 4: Thực hiện phép tính a. 2xxx3 5 2 1 : 2 x 1 d. x2 2 x 1 : x 1 3 4 5 2 2 2 2 b. 4xxxx 2 3 1 : xx 2 3 e. x4 x 2 : x 2 c. 3xxx3 7 2 17 10 : 3 x 1 f. 125x3 1 : 5 x 1 Lời giải a. 25xxx3 2 1:212 x xxxxx 3 2 6321:21 2 x 2 2 2xxx 1 3 1 : 2 x 1 xx 3 1. b. 4xxxx3 2 4 5 3 2 1 xx 2 2 3 . xx 3 1 5 x 4 c. 3xxx3 7 2 17 10 3 x 1 . xx 2 2 5 5 2 d. xxx2 2 1 : 1 x 1 : xx 1 1 2 2 e. x4 x 2 : x 2 xxxx 2 2 2 : 2 2 x f. 125x3 1 : 5 x 1 5 x 1 25 xx 2 5 1 : 5 x 1 25 xx 2 5 1 Bài 5: Tìm x a. xx 3 3 x 2 x 5 6 b. 2x2 3 x 1 x 1 5 xx 1 2 c. 4x2 9 0 d. 4 5 2x 16 0 e. 2x x 3 5 x 3 0 f. x 2 x 9 4 x 18 0 g. 3x3 4 x 2 12 x 16 0 h. xxxxx5 4 3 2 1 0 Lời giải 5 a. xxxx 33 256 xxx2 9 2 310635 xx 3 3 b. 23115xxx2 xx 123355 xx 2 2 xxx 2 5 3 x 2 2 c. 4x 9 0 2 x 3 2 x 3 0 3 x 2
7. 3 x 2 2 5 2x 2 2 d. 4 5 2x 16 0 5 2 x 4 5 2x 2 7 x 2 x 3 e. 2xx 3 5 x 3 0 xx 3 2 5 0 5 x 2 9 x f. xx 2 9 4 x 18 0 2 xx 9 2 0 2 x 2 g. 3xxx3 412160 2 xx 2 344340 x 34 xxx 2 20 4 x 3 x 2 x 2 2 h. xxxxx5 4 3 21 0 xxx 3 2 1 xx 2 1 xx 2 1 x 1 0 2 2 1 3 x x 1 0 x 0 voly 2 4 x 1 x 1 0 x 1 Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức sau: a) A 4 x2 4 x 9. 2 2 b) B 2 x 1 x 2 . c) Cxy 2 2 4 xy 5 7 . d) D 4 x2 y 2 2 xy 6 x 5 . Lời giải 2 1 a) Axx 42 4 9 2 x 1 8 8 GTNN của A bằng 8 khi x . 2 2 2 b) Bx 2 1 x 2 5 x2 5 5 GTNN của B bằng 5 khi x 0 . 2 2 2 2 5 13 13 c) Cxyxy 4 5 7 x 2 y 2 4 4 13 5 GTNN của C bằng khi x 2; y . 4 2 2 2 d) Dxy 42 2 2 xyx 6 5 xy 3 x 1 2 2.
8. GTNN của D bằng 2 khi x y 1. Bài 7: Tìm GTLN của các biểu thức sau: a) A 5 x x2 10 . b) B 4 x2 2 x . c) C 4 x x2 . Lời giải 2 2 5 5 15 15 5 15 2 2 a) Axx5 10 xx 2. x . 2 2 4 4 2 4 15 5 GTLN của A bằng khi x . 4 2 2 b) B 4 xx2 2 5 x 1 5 GTLN của B bằng 5 khi x 1. 2 c) Cxx 4 2 4 x 2 4 GTLN của C bằng 4 khi x 2 . Bài 8: Cho a b c d 0 . Chứng minh rằng: a3 b 3 c 3 d 3 3 d c ab cd . Lời giải 3 3 Ta có: abcd 0 ab cd ab cd ab3 33 abab c 3 d 3 3 cdcd ab3 3 c 3 d 3 3 abab 3 cdcd a3 b 3 c 3 d 3 3 abcd 3 cdcd , (do a b c d ) a3 b 3 c 3 d 3 3 d c ab cd , (đpcm). Bài 9: Cho x y 2 và x2 y 2 10. Tính giá trị của biểu thức: x3 y 3 . Lời giải Ta có: x3 y 3 xyx 2 xyy 2 , * . 2 x y2 x y 4 x2 y 2 2 xy 4 xy 3 Từ giả thiết: . 2 22 2 2 2 2 2 xy 10 x y 10 x y 10 xy 10 Thay vào * ta được: x3 y 3 xyx 2 xyy 2 2. 10 3 26 . II.HÌNH HỌC 1.Đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang a.Đường trung bình tam giác - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
9. - Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác - Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy. b.Đường trung bình hình thang - Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai - Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang - Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 2.Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết 2.1. Hình thang cân a) Định nghĩa: hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau b) Tính chất: Trong hình thang cân: - hai cạnh bên bằng nhau - hai đường chéo bằng nhau. c) Dấu hiệu nhận biết - hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân - hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân 2.2. Hình bình hành a) Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song. b) Tính chất: Trong hình bình hành - Các cạnh đối bằng nhau - Các góc đối bằng nhau -Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường c) Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có các cạnh đối song song - Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau -Tứ giác có các góc dối bằng nhau - Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau - Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 2.3. Hình chữ nhật a) Định nghĩa Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông b) Tính chất Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, hình thang cân - Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường c.Dấu hiệu nhận biết
10. - Tứ giác có ba góc vuông - Hình thang cân có một góc vuông - Hình bình hành có một góc vuông - Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau 2.4. Hình thoi a) Định nghĩa Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau b) Tính chất - Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành - Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau - Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc hình thoi. c) Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. - Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. - Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc. 2.5. Hình vuông a) Định nghĩa Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau. b) Tính chất Hình vuông có tất cả tính chất của hình thoi và hình chữ nhật. c) Dấu hiệu nhận biết - Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau - Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc - Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc - Hình thoi có một góc vuông - Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau 3. Đối xứng trục, đối xứng tâm a) Đối xứng trục - Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó - Hai hình gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại b) Đối xứng tâm
11. - Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó - hai hình gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia và ngược lại. 4. Định lý trong tam giác vuông - Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền - Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. II.Bài tập Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB/ / CD) . Gọi MNPQ,,, lần lượt là trung điểm của AB,,, AC CD DB a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành ? b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ giác MNPQ là hình gì? Giải A M B Q N D C P a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành ABD có MQ; lần lượt là trung điểm của AB; BD (gt) MQ là đường trung bình (đ/n đường TB của tam giác) 1 MQ/ / AD ; MQ AD (1) (t/c đường TB của tam giác) 2 Chứng minh tương tự NP là đường trung bình của ADC 1 NP/ / AD ; NP AD (2) 2 Từ (1)(2) MQ NP ; MQ / / NP tứ giác MNPQ là hình bình hành. (dhnb hbh) Nếu ABCD là hình thang cân AD BC (t/c hình thang cân) 1 Chứng minh tương tự câu a MN là đường trung bình của ABC MN BC 2 1 Mà AD BC MN AD MQ 2 Lại có tứ giác MNPQ là hình bình hành hình bình hành MNPQ là hình thoi. (dhnb hình thoi)
12. Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 600. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. f) Chứng minh AE vuông góc với BF. g) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao? h) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao? i) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật. j) Chứng minh M, E, D thẳng hàng. M B E C A F D GIẢI a)Ta có : E là trung điểm của BC; F là trung điểm AD (gt) AD =BC; AB = CD; BC // AD ( ABCD là hình bình hành) ; BC = 2AB(gt)  BE = EC = AF = FD= AB = CD. Xét tứ giác ABEF có BE // AF ( BC // AD); BE = AF (cmt) = > ABEF là hình bình hành. Mà AB =BE (cmt) = >Tứ giác ABEF là hình thoi = >AE BF b) Xét tứ giác ECDF có EC // FD ( BC⊥ // AD); CE = DF (cmt) = > ECDF là hình bình hành. Mà EC = CD (cmt) = >Tứ giác ECDF là hình thoi . c) Xét ABF có AB = AF (cmt) và = 600 = > ABF đều. = > = 600 Ta có퐹 BE // FD và BE = FD (cmt) = > BEDF là hình bình hành = > = = 600= > = Xét tứ퐹 giác ABED có BE // AD và = = > ABED là hình thang cân. D ,e) Có M đối xứng A qua B ( gt) = > AB = BM = CD và BM // CD ( AB // CD)
13. = > BMCD là hình bình hành. Xét ABD có BF = AF = FD (cmt) = > ABD vuông tại B = > = > BMCD là hình chữ nhật ⊥ Mà E là trung điểm BC (gt) = > E là trung điểm MD = > M, E, D thẳng hàng. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 600, kẻ tia Ax song song với BC. Trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD = DC. d) Tính góc BAD và góc DAC. e) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân. f) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh ADEB là hình thoi. B E A C D x GIẢI a) Ta có: AD // BC (gt)  = 1800 (hai góc trong cùng phía) 0 0 0  + = 180 - 60 = 120 0 0 0  = 120 - 90 = 30 0 b) Xét tứ giác ABCD có AD // BC và = > ABCD là hình thang cân = = 60 c) Xét ABC vuông tại A có E là trung điểm của BC BC AE BE EC 2 Ta có : AE = EC (cmt) và AD = CD (gt) = > ED là đường trung trực của AC = > Mà ⊥ (gt) = > AB ⊥// DE (quan hệ từ góc vuông đến song song)
14. Lại có BE // AD (gt) = > ABED là hình bình hành (1) Xét ABE có AE = EB (cmt) và = 600 => ABE đều = > AB =BE (2) Từ (1;2) = > ABED là hình thoi. Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. a.Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành. b.BE cắt CF tại G. Vẽ các điểm M, N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật, AMGN là hình thoi. c.Chứng minh AMBN là hình thang. Giả sử AMBN là hình thang cân thì ABC là tam giác gì? Lời giải: a. Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành. Chứng minh BCEF là hình thang cân Xét ABC ta có: - E là trung điểm của AC (gt) - F là trung điểm của AB (gt) EF là đường trung bình của ABC EF/ / BC (định lí) BCEF là hình thang Mà ABC ACB ( ABC cân tại A) BCEF là hình thang cân. Chứng minh BDEF là hình bình hành 1 EF BC (EF là đường trung bình của ABC ) 2 1 BD BC (D là trung điểm BC) 2 EF BD (1) EF//BD (cmt), D BC EF//BD (2) Từ (1), (2) suy ra BDEF là hình bình hành. b. BE cắt CF tại G. Vẽ các điểm M, N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật, AMGN là hình thoi.
15. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật Xét GMN ta có: - E là trung điểm của GN (gt) - F là trung điểm của GM (gt) EF là đường trung bình của GMN 1 EF/ / MN và EF MN (định lí) 2 1 1 Ta có: MN/ / BC (cùng // EF) và MN BC ( MN EF BC ) 2 2 BCNM là hình bình hành. G là giao điểm của BN và CM G là trung điểm của BN, G là trung điểm của CM Xét FBC và ECB ta có: - FB = EC (tính chất hình thang cân) - FC = EB (tính chất hình thang cân) - BC chung FBC = ECB (ccc) FCB EBC GBC cân tại G GB GC (3) Ta có BN 2 GB (G là trung điểm BN) (4) CM 2 GC (G là trung điểm CM) (5) Từ (3), (4), (5) BN CM Hình bình hành BCNM có BN = CM BCNM là hình chữ nhật. Chứng minh AMGN là hình thoi. Xét tứ giác AMBG có: - F là trung điểm của AB (gt) - F là trung điểm của MG (gt) AMBG là hình bình hành AM//, GB AM GB Ta có AM/ / GN ( AM//, GB G BN ) AM GB ( GN ) AMGN là hình bình hành
16. Mà GM GN (tính chất hình chữ nhật) AMGN là hình thoi. c. Chứng minh AMBN là hình thang. Giả sử AMBN là hình thang cân thì ABC là tam giác gì? Chứng minh AMBN là hình thang. AM / / BG (cmt), G BN AM/ / BN AMBN là hình thang. Giả sử AMBN là hình thang cân thì ABC là tam giác gì? AMBN là hình thang cân AB MN (tính chất hình thang cân) Mà MN BC (tính chất hình chữ nhật) AB BC BC AB AC ( ABC cân tại A) ABC đều. Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AH và DH. a.Chứng minh MN//AD. b.Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành. c.Tính góc ANI. Lời giải: a. Chứng minh MN//AD. Xét HAD ta có: - M là trung điểm của AH (gt) - N là trung điểm của DH (gt) MN là đường trung bình của HAD . MN/ / AD (định lí) b. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành. Chứng minh MN BI 1 Ta có: I là trung điểm của BC (gt) BI BC 2 Mà BC AD ( ABCD là hình chữ nhật) 1 BI AD (1) 2 Ta có: MN là đường trung bình của HAD (cmt)
17. 1 MN AD (2) 2 Từ (1); (2) BI MN . Chứng minh MN/ / BI Ta có: MN/ / AD (cmt) Mà AD/ / BC (ABCD là hình chữ nhật) MN/ / BC MN/ / BI Chứng minh MNIB là hình bình hành Ta có: MN/ / BI (cmt) và MN BI (cmt) MNIB là hình bình hành. c. Tính góc ANI. Ta có: AH BD (gt) AH  BN AH là đường cao của ABN . Gọi E là giao điểm của BM và AN, F là giao điểm của NM và AB. Ta có: NM/ / CB (cmt) và BC AB (ABCD là hình chữ nhật) NM  AB NF  AB NF là đường cao của ABN Lại có: NF cắt AF tại M và AH là đường cao của ABN (cmt) M là trực tâm của ABN . BE là đường cao của ABN . BE  AN Mà BM/ / NI (MNIB là hình bình hành) IN  NA INA 900 Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM , đường cao AH . N là điểm đối xứng của A qua tâm M . a) Chứng minh ACNB là hình chữ nhật; b) Trên đường thẳng qua A song song với BC lấy điểm D ( D thuộc nửa mặt phẳng bờ AN không chứa B ) sao cho AD BC . Chứng minh C là trung điểm DN . c) Vẽ BK AM tại K , BK cắt AH tại I và cắt AC tại E . Chứng minh I là trung điểm BE . Lời giải
18. A D E J I K C B H M N a) Chứng minh ACNB là hình chữ nhật; N là điểm đối xứng của A qua tâm M nên M là trung điểm của AN Tứ giác ACNB có hai đường chéo BC và AN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên tứ giác ACNB là hình bình hành. Hình bình hành ACNB có BAC 90 nên tứ giác ACNB là hình chữ nhật đpcm. b) Trên đường thẳng qua A song song với BC lấy điểm D ( D thuộc nửa mặt phẳng bờ AN không chứa B ) sao cho AD BC . Chứng minh C là trung điểm DN . Tứ giác ABCD có AD=BC và AD/ /BC tứ giác ABCD là hình bình hành. AB CD và AB / /CD, 1 Mà ACNB là hình chữ nhật AB CN và AB / /CN 2 Từ (1) và (2) C,D, N thẳng hàng và C là trung điểm của DN. c) Vẽ BK AM tại K , BK cắt AH tại I và cắt AC tại E . Chứng minh I là trung điểm BE . Tam giác ABM có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác ABM. MI  AB mà AC AB MI//AC Mà M là trung điểm của BC MI là đường trung bình của tam giác BCE I là trung điểm của BE. Bài 7. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, qua C vẽ đường thẳng song song với BD, chúng cắt nhau tại I. a) Chứng minh OBIC là hình chữ nhật; b) Chứng minh AB=OI. Lời giải
19. a) Chứng minh OBIC là hình chữ nhật; Xét tứ giác OBIC có OB//CI và OC//BI Suy ra tứ giác OBIC là hình bình hành. Lại có OB OC (tính chất hình thoi) tứ giác OBIC là hình chữ nhật. b) Chứng minh AB=OI. OBIC là hình chữ nhật nên OI=BC Lại có BC=AB (tính chất hình thoi) AB=OI.