Phân tích đa thức thành nhân tử

Nội dung text: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. I./ ĐẶT VẤN ĐỀ Ở trường phổ thông học sinh được học rất nhiều bộ môn khác nhau. Một trong những bộ môn được các em yêu thích đó là môn toán Bởi lẽ nó là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập. Việc học tốt môn toán là cơ sở để giúp các em học tốt những môn khác. Là một giáo viên dạy toán tôi thấy việc hướng dẫn các em biết cách giải đối với từng loại toán là rất cần thiết. Trong chương trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng, việc nắm vững phương pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán khác như giải phương trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức Qua năm năm giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình, học sinh yếu. Ngược lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập. Trong tôi lúc nào cũng đặt ra một câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tượng học sinh đều thích thú,say mê học đối dạng toán này". Trong phạm vi đề tài này tôi muốn đưa ra các phương pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năng thành thạo, phương pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này. Tôi chọn đề tài này bởi lẽ nó rất cần cho tất cả các đối tượng học sinh. Trong các năm gần đây bài toán phân tích đa thức thành nhân tử có mặt thường xuyên trong các các đề thi học sinh giỏi khối 8. Vì vậy việc tập hợp hệ thống các bài toán ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh giỏi. Qua đó giúp các em biết vận dụng dạng toán này để giải các bài toán khác. Trong chương trình đại số 8 sách giáo khoa có đưa ra bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: đó là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp các phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử. Trong thực tế có 1
2. những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng các phương pháp trên mà giải được. Gặp các bài như vậy thì các em lại lúng túng không biết làm thế nào và sử dụng phương pháp nào để giải. Qua thực tế giảng dạy đặc biệt là qua năm năm dạy lớp thay sách tôi thấy việc hệ thống các phương pháp giải đối với từng loại là rất cần thiết, giúp các em thấy được sự đa dạng và phong phú về nội dung của từng loại toán. Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dưới nhiều góc độ khác nhau. Từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú khi học bộ môn toán . II./GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1- Biện pháp thực hiện Có được kết quả cao trong việc dạy và học môn toán đặc biệt là dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử từ đó vận dụng bài toán này để giải các bài toán khác thì một trong các biện pháp thực hiện đó là xây dựng hệ thống bài tập về dạng phân tích đa thức thành nhân tử. Trong mỗi phương pháp giải tôi luôn đưa ra hệ thống bài tập từ dễ đến khó . Đối với bài dễ dùng cho đối tượng học sinh trung bình, yếu còn đối với bài tập khó nâng cao dùng cho học sinh khá giỏi để các đối tượng học sinh không cảm thấy chán. Tuy nhiên trong mỗi bài toán đưa ra cần lưu ý cho học sinh khong chỉ có một cách giải .Trong mỗi bài toán đưa ra tôi đều tìm tòi những lời giải khác nhau để tìm ra lời giải thích hợp nhất. Mỗi phương pháp giải tôi đều đưa ra các bài tập khác nhau nhằm mục đích phát triển bài toán . Với kinh nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế chắc chắn không thể tránh khỏi những khiếm khuyết trong quá trình vận dụng. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp và bạn đọc để xây dựng và hoàn thiện hơn nữa các phương pháp giải bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” 2- Nội dung 2
3. Trước hết cần nhắc lại một số kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử ”. a- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức khác. b- Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ a. (A+B) 2 = A2+2AB+B2 b. (A-B) 2 = A2-2AB+B2 c. A2-B2 = ( A-B)(A+B) d. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 e. (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3 f. A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2) g. A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2) c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường a. Đặt nhân tử chung b. Dùng hằng đẳng thức c. Nhóm các hạng tử d. Phối hợp các phương pháp trên d. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp khác a. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử b. Thêm, bớt cùng một hạng tử c. Đặt ẩn phụ d. Dùng phương pháp hệ số bất định e. Nhẩm nghiệm e. Đổi dấu một hạng tử A=-(-A) f. Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0 n n-1 h. Cho đa thức f(x) = anx + an -1x + + a2x + a Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của a. CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ 3
4. 1. Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. Đây là phương pháp được dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơn giản. Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bước mới xuất hiện nhân tử chung. Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. x2- 3x b. 12x3- 6x2+3x c. 2 x2 + 5x3 + x2y d. 14x2y-21xy2+28x2y2 5 Giải a. x2- 3x =x(x-3) b. 12x3- 6x2+3x =3x(4x2 -2x +3) c. 2 x2 + 5x3 + x2y = x2(2 + 5x + y) 5 5 d. 14x2y-21xy2+28x2y2 = 7xy(2x -3y +4xy) Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) b. x(x+ y) +4x+4y Giải a. 5x2 (x -2y) -15xy(x -2y) = (x -2y)(5x2-15xy) = (x -2y)5x(x-3y) b. x(x+ y) +4x+4y = x(x+ y)+(4x+4y) = x(x + y)+(x + y)4 = (x+ y)(x + 4) Ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thành nhân tử ở mức độ đơn giản. Học sinh nhận thấy ngay được nhân tử chung. Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức như ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 10x(x-y)-8y(y-x) 4
5. b. 5x(x-2000) - x + 2000 Giải a.10x(x-y)-8y(y-x) = 10x(x-y)+8y(x-y) = (x-y)(10x+8y) =2(x-y)(5x+4y) b. 5x(x-2000) -x+2000 =5x(x-2000) -(x-2000) =(x-2000)(5x -1) Việc phân tích đa thức thành nhân tử được ứng dụng trong các bài tập khác như tìm x chứng minh, tính giá trị của biểu thức. Ví dụ 4 Tính giá trị của biểu thức x(x-1)-y(1-x) tại x=2000, y=1999. Giải: Nếu theo cách làm thông thường ta sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả. Vì vậy giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay số tính giá trị biểu thức. Ta có x(x-1)-y(1-x) =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y) Thay x=2001, y=1999 ta được (2001-1) (2001+1999) = 2000.4000 = 8000000. Ví dụ 5: Chứng minh rằng 55n+1- 55n Ta sẽ biến đổi vế trái thành một tích trong đó có một thừa số chia hết cho 54 Ta có 55n+1-55n=55n.55 – 55n 5
6. =55n(55 -1) =55n.54 Ví dụ 6: Tìm x biết 5x(x-1) = x-1 5x(x-1) -(x-1) = 0 (x-1)(5x-1) = 0 x-1= 0 hoặc 5x-1= 0 x=1 hoặc x= 1 5 2. Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây là cách làm thông dụng nhất được áp dụng nhiều nhất. Để áp dụng phương pháp này yêu cầu học sinh phải nắm chắc bảy hằng đẳng thức đắng nhớ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. x2-6x +9 b. x2-6 c. 1- 27x3 d. x3+ 1 x3 e. -x3+9x2-27x +27 Giải a. x2-6x +9 =(x-3)2 b. x2-6 =(x- 6 ) (x+6 ) c. 1- 27x3 = (1-3x)(1+3x+9x2) d. x3+1 = (x+1 )(x2-1+ 1 ) x3 x x 2 e. -x3+9x2-27x +27 =-(x3-9x2+27x -27) =-(x-3)3 6
7. Ở ví dụ trên là các hằng đẳng thức đã được khai triển. Việc phân tích chỉ là cách viết theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức. Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a. 8x3+12x2y +6xy2+y3 b. (xy+1)2-(x-y)2 Giải a. 8x3+12x2y +6xy2+y3 =(2x)3 +3.(2x)2y +3.2x.y2 +y3 =(2x+y)3 b.(xy+1)2-(x-y)2 =[(xy+1)-(x-y)].[(xy+1) +(x-y)] =(xy-x-y+1)(xy+x-y+1) 3- Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử. Đối với phương pháp này cần lưy ý cho học sinh khi nhóm các hạng tử phải chú đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc. Ví dụ 1:Phân tích đa thức thành nhân tử. a. x2 - x - y2 - y b. x2 - 2xy + y2 - z2 c. x2 -3x + xy - 3y d. 2xy +3z + 6y + xz Giải a, x2 - x - y2 - y b, x2 - 2xy + y2 - z2 =( x2 - y2 ) - (x +y) =(x2 - 2xy + y2)- z2 = (x + y) (x - y)- (x +y) =(x-y)2-z2 =(x + y) (x- y -1) =(x-y-z)(x-y+z) c, x2 -3x + xy - 3y d, 2xy +3z + 6y + xz =(x2+xy) -(3x+3y) =(2xy+6y)+(3z+xz) =x(x+y)-3(x+y) =2y(x+3)+z(3+x) =(x+y)(x-3) =(x+3)(2y+z) 7
8. Ở ví dụ 1 khi phân tích đa thức thành nhân tử ta đã phối hợp các phương pháp như : Nhóm các hạng tử đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức. Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử. a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) b. a3(b2 -c 2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) Giải Phương pháp chung để làm loại toán này là khai triển hai trong số ba hạng tử còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng thử ba. Ví dụ a ta khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a+ a. bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =b2c+bc2+c2a-ca2-ab(a+b) =(b2c -ca2) +(bc2+c2a) -ab(a+b) =c(b2-a2) +c2(b+a)- ab(a+b) =c(b-a)(b+a)+c2(b+a) - ab(a+b) =(b+a)(cb-ca +c2)- ab(a+b) =(a+b)(cb-ca +c2- ab) =(a+b)[(cb+c2)-(ca+ba) =(a+b)[c(b+c)-a(c+b)] =(a+b)(b+c)(c-a) b.a3(b2 -c 2)+b3(c2-a2)+ c3(a2-b2) =a3b2- a3c2 + b3c2 - b3a2+c3(a2-b2) =(a3b2 -b3a2 ) –(a3c2 -b3c2 ) +c3(a2-b2) =a2b2 (a-b) – c2(a3-b3)+c3(a2-b2) =a2b2 (a-b) –c2(a-b)(a2+ab+b2)+c3(a-b)(a+b) = (a-b)(a2b2-c2a2-c2ab- c2b2 + c3a + c3b) 8
9. = (a-b)[( a2b2-c2b2)+ (c3b-c2ab) + (c3a -c2a2)] =(a-b)[b2(a-c)(a+c) + c2b(c-a) + c2a(c-a)] =(a-b)(a-c)(b2a+b2c -c2b –c2a) =(a-b)(a-c)[(b2a -c2a) + (b2c -c2b )] =(a-b)(a-c)[ a(b-c)(b+c) +bc(b-c)] =(a-b)(a-c) (b-c)(ab+ac +bc) Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm như thế nào cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng được hằng đẳng thức đáng nhớ 4- Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp này cho các đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân tử. Ta tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp đã biết. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử a. x2-7x+12 b. 4x2-3x-1 Giải a. x2-7x+12 Cách 1: Tách số hạng -7x thành - 4x-3x Ta có x2-7x+12 =x2-4x-3x +12 =(x2-4x)-(3x -12) = x(x-4)-3(x-4) =(x-4)(x-3) Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21- 9 x2-7x+12 =x2-7x +21-9 =(x2-9) –(7x-21) =(x-3) (x+3) -7(x-3) =(x-3) (x+3 -7) =(x-3) (x -4) 9
10. b. 4x2-3x-1 Cách 1: Tách số hạng 4x2 thành x2+3x2 Ta có 4x2-3x-1 =x2+3x2-3x-1 =(x2-1) + (3x2-3x) =(x-1)(x+1) +3x(x-1) =(x-1)(x+1+3x) =(x-1)( 4x +1) Cách 2: Tách số hạng -3x thành - 4x +x 4x2-3x-1 = 4x2-4x +x -1 = 4x(x-1)+ (x -1) = (x -1)(4x+1) Cách 3: Tách số hạng -1 thành - 4 +3 4x2-3x-1 =4x2-3x -4 +3 =4(x-1)(x+1) -3 (x-1) =(x-1)(4x+4-3) =(x-1)(4x+1) Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhan tử có ba lời giải tương ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách. Ví dụ 2: Phân tích đa thức trên thành nhân tử a. x3-2x -4 b. x3+8x2+17x +10 Giải a. x3-2x -4 =.x3-2x -8+4 =(x3-8)-(2x-4) =(x-2)(x2+2x +4)-2(x-2) b. x3+8x2+17x +10 10
11. =x3+x2+7x2 + 10x +7x + 10 =x2(x+1) +7x(x+1) +10(x+1) =(x+1)(x2 +7x +10) =(x+1)(x2 + 2x +5x+10) =(x+1) [x(x+2) +5(x+2)] =(x+1)(x+2)(x+5) Ví dụ 3: Phân tích đa thức trên thành nhân tử a. x3+3x2 +6x +4 b. x3-11x2+30x Giải a. x3+3x2 +6x +4 =x3+x2 +2x2 +2x +4x +4 =x2(x+1) +2x(x+1) +4(x+1) =x(x+1)(x2 +2x +4) b. x3-11x2+30x =x(x2-11x +30) =x(x2 -5x-6x +30) =x [x(x-5) -6(x-5)] = x(x-5)(x-6) Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân tích được nữa. Vậy làm thế nào để biết được một đa thức có phân tích được hay không ta dựa vào định lí sau: n x - 1 Một đa thức: ax + nn - 1x + + a1x + a Đa thức này có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do a. Ví dụ: Đa thức: x 2 + 2x + 4 không phân tích được bởi vì: Nếu phân tích được thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ước của 4. Ta thấy Ư (4) = {±1; ±2; ±4} thử 11
12. các gía trị đó đều không phải là nghiệm của đa thức x 2 + 2x + 4 nên đa thức này không phân tích được nữa. 5- Phương pháp 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm, bớt hạng tử: Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng. Do vậy ta phải biến đổi đa thức bằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng được phương pháp phân tích đã biết. Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 - (3a2b + 3ab2 + 3abc) = (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) 2 2 = (a + b + c) [(a+b) - (a + b)c + c - 3ab] = (a + b + c) (a2 +2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3ab) 2 2 2 = (a + b + c) (a + b + c - ab - ac - bc) Trong bài toán trên ta đã thêm và bớt các hạng tử 3a2b, 3ab2 để có thể nhóm vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết. Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x5 + x4 + 1 b) x5 + x + 1 c) x8 + x7 + 1 Giải: a) x5 + x4 + 1 Ta sẽ thêm bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức được: x5 + x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x - x + 1 = (x5 + x4 + x3) - (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x3 - x + 1) b) x5 + x + 1 12
13. Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x 4, x3, x2 vào đa thức giống cách làm như phần a để xuất hiện nhân tử chung x2 + x + 1 Có: x5 + x + 1 5 4 4 3 3 2 2 = x + x - x + x - x + x - x + x + 1 = (x5 + x4 + x3) - (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1 3 2 2 2 2 = x (x + x + 1) - x (x + x + 1) + (x + x + 1) 2 3 2 = (x + x + 1) (x - x + 1) 2 2 Cách 2: Ta thêm bớt x để làm xuất hiện nhân tử chung x + x + 1 Ta có: 5 5 2 2 x + x + 1 = x + x - x + x + 1 5 2 2 = (x - x ) + (x + x + 1) 2 3 2 = x (x - 1) + (x + x + 1) 2 2 2 = x (x - 1) (x + x + 1) + (x + x + 1) 2 3 2 = (x + x + 1)(x - x + 1) c) x8 + x7 + x = x8 + x7 + 1 + x2 - x2 + x - x = (x8 - x2) + (x7 - x) + (x2 + x + 1) = x2 (x6 - 1) + x(x6 - 1) + (x2 + x + 1) 3 3 2 2 = (x - 1)(x + 1)(x + x) + (x + x + 1) = (x - 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1)(x2 + x)+ (x2 + x + 1) 2 6 4 3 = (x + x + 1)(x - x + x - x + 1) Chú ý: Các đa thức trên đều có dạng: x3k + 1 + x3k+2 + 1 Những đa thức này khi phân tích thành nhân tử đều có chứa thừa số (x2 + x + 1) 6- Phương pháp 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Phương pháp này thường áp dụng với những đa thức có dạng A(x). B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ A(x) có thể viết dưới dạng của B(x) hoặc ngược lại. Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 b) 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y2z2 13
14. Giải: a) (x2 + x + 1)( (x2 + x + 2) - 12 Đặt x2 + x + 1 = y => x2 + x + 2 = y + 1 Ta có y(y+1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 - 9 + y - 3 = (y - 3)(y + 3) + (y - 3) = (y - 3)(y + 3 + 1) = (y - 3)(y + 4) Thay y = x2 + x + 1 ta được: (y - 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x - 2) (x2 + x + 5) = (x2 - 1 + x - 1)(x2 + x + 5) = [(x - 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5) Ở trong ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại phân tích đa thức chứa biến x thành nhân tử. b) 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 Nếu để nguyên đa thức trên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm: 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2 = 4(x2 + xy + xz) (x2 + xy + xz + yz) + y2z2 Đặt: x2 + xy + xz = m Ta có: 4m(m + xz) + y2z2 = 4m2 + 4mxz + y2z2 = (2m + yz)2 Thay m = x2 + xy + xz ta được: 14
15. (2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15 b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24 c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Giải: a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15 Đặt: x2 + x = y Ta có: y2 - 2y - 15 = y2 - 5y + 3y - 15 = y(y - 5) + 3(y - 5) = (y - 5)(y + 3) 2 Thay y = x + x ta được: (y - 5)(y + 3) = (x2 + x - 5)(x2 + x + 3) Hai đa thức x2 + x - 5 và x2 + x + 3 không phân tích được nữa. b) (x + 2)(x+3)(x+4)(x + 5) - 24 = (x + 2)(x+5)(x+3)(x + 4) - 24 = (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) - 24 Đặt x2 + 7x + 10 = y ta được x2 + 7x + 12 = y + 2 y(y + 2) = 24 = y2 + 2y - 24 2 = y - 16 + 2y - 8 = (y - 4)(y + 4) + 2(y - 4) = (y - 4)(y + 4 + 2) = (y - 4)(y + 6) Thay y = x2 + 7x + 10 ta được: (y - 4)(y + 6) = (x2 + 7x + 10 - 4)(x2 + 7x + 10 + 6) = (x2 + 7x + 6) (x2 + 7x + 16) = (x2 + x + 6x + 6) (x2 + 7x + 16) 15
16. = [x(x+1) + 6(x+1)] (x2 + 7x + 16) = (x+1)(x + 6) (x2 + 7x + 16) c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + 7 = y => x2 + 8x + 15 = y + 8 Ta có: y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 5y + 3y + 15 = y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) Thay y = x2 + 8x + 7 ta được: (y + 5)(y + 3) = (x2 + 8x + 7 + 5)( x2 + 8x + 7 + 3) = (x2 + 8x + 12)( x2 + 8x + 10) = (x2 + 2x + 6x +12)( x2 + 8x + 10) = [x(x + 2) + 6(x + 2)] (x2 + 8x + 10) = (x + 2)(x + 6)( x2 + 8x + 10) Ở hai ví dụ trên ta thấy cách làm giống nhau khi phân tích các đa thức đó thành nhân tử. Ta còn có cách đặt ẩn phụ khác trong ví dụ dưới đây. Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 6 5 4 3 2 3x - 4x + 2x - 8x - 4x + 3 + 2x Nếu theo cách làm như các ví dụ trước thì với ví dụ này ta không thể phân tích được. Dễ thấy đa thức không thể có nghiệm x = 0. Vậy ta có thể biến đổi đa thức như sau: 3 2 2 4 3 2 x (3x - 4x + 2x - 8 - ) x 2 x 3 x = x3[3(x3 + 1 ) - 4(x2 + 1 ) + 2(x + 1 ) - 8] x 3 x 2 x3 Đặt x + 1 = t => t2 = (x + 1 )2 = x2 + 2 + 1 x x x 2 16
17. => x2 + 1 = t2 - 2 x 2 t3 = (x + 1 )3 x = x3 + 3x + 3 + 1 x x 3 = x3 + 1 + 3(x + 1 ) x 3 x => x3 + 1 = t3 - 3t x 3 Thay x + 1 = t; x2 + 1 = t2 - 2; x3 +1 = t3 - 3t x x 2 x 3 Ta có: x3[3(t3 - 3t) - 4(t2 - 2) + 2t - 8] = x3(3t3 - 9t - 4t2 + 8 + 2t - 8) = x3(3t3 - 4t2 - 7t) = x3t (3t2 - 4t - 7) = x3t[(3t2 - 3) - (4t + 4)] = x3t[3(t - 1)(t + 1) - 4(t + 1)] = x3t(t + 1)(3t - 3 - 4) = x3t(t + 1)(3t - 7) Thay t = x + 1 ta được x x3(x +1 ) (3x + 3 - 7)(x + 1 + 1) x x x = x(x2 + 1)(3x2 + 3 - 7x)(x + 1 + 1) x = (x2 + 1)(3x2 - 7x + 3) (x2 + x + 1) Nói chung đây là một bài toán tương đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đa thức mới đặt được ẩn phụ. Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác hẳn với cách đặt ẩn phụ của các ví dụ trước. 17
18. 7- Phương pháp 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hệ số bất định: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức một đa thức bậc nhất, một đa thức bậc 2. x3 - 19x - 30 Giải: Cách 1: Với các phương pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích được đa thức trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài. Ta có: x3 - 19x - 30 = x3 + 8 - 19x - 38 = (x3 + 8) - 19(x + 2) = (x+ 2)(x2 - 2x + 4) - 19(x + 2) = (x + 2)( x2 - 2x + 4 - 19) = (x + 2) x2 - 2x - 15) Ta thấy x2 - 2x - 15 còn phân tích được nữa nhưng do đề bài yêu cầu là đa thức x3 - 19x - 20 viết dưới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một đa thức bậc 2. Vậy tích (x + 2)( x 2 - 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu của bài toán. Cách 2: Kết quả phải có dạng: x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c) = x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn: a + b = 0 c + ab = -19 ac = -30 Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c { 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} 18
19. Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thoả mãn hệ thức trên đo là bộ số phải tìm tức là: x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x - 15). Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giải: Nhận xét: Đa thức trên nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là 1. Dễ dàng kiểm tra được 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không có nghiệm nguyên mà chỉ có nghiệm hữu tỉ. Như vậy, nếu đa thức trên phân tích được thành thừa số thì phải có dạng: 4 3 2 2 2 x + 6x + 7x + 6x + 1 = (x + ax + b)(x + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn: a + c = 6 ac + b + d = 7 ad + bc = 6 bd = 1 Từ hệ này ta tìm được: a = b = d = 1; c = 5 4 3 2 2 2 Vậy: x + 6x + 7x + 6x + 1 = (x + x + 1)(x + 5x + 1) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 + 4x2 + 5x + 2 Giải: Cách 1: Đặt x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac Ta phải có: a + b = 4 ab + c = 5 ac = 2 Từ hệ này ta tìm được: a = 1; b = 2; c = 2 19
20. Vậy: x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + 1)(x3 + 3x + 2) 2 = (x+ 1)[(x + x) + (2x + 2)] =(x+ 1) (x+ 1)(x+ 2) = (x+ 1)2(x + 2) Cách 2: Dùng phương pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ước của hệ số tự do 2 có 1 là nghiệm. Vậy đa thức viết được dưới dạng: x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x+ 1)(x2 + ax + b) => x2 + ax + b = (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) Bằng cách chia hai đa thức ta tìm được: (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) = x2 + 3x + 2 Vậy x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + 1)( x2 + 3x + 2) = (x+ 1)2(x + 2) Cách 3: Dùng phương pháp phân tích đã biết là tích hạng tử Ta có: x2 + 4x2 + 5x + 2 = x3 + x2 + 3x2 + 3x + 2x + 2 = x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1) = (x +1)(x2 + 3x + 2) = (x + 1)(x + 1)(x + 2) = (x + 1)2(x + 2) Trên đây là Bẩy phương pháp phân tích thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử. Vậy khi làm dạng toán này không phải lúc nào cũng áp dụng một khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố định nào đó. Khi học song các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì tuỳ từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mình một phương pháp giải thích hợp để có một cách phân tích nhanh nhất và có hiệu quả nhất. III./ KẾT LUẬN: 1- Kết quả: 20
21. Tóm lại sau khi học sinh được học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tôi thấy các em có một kỹ năng phân tích rất nhanh đặc biệt là đối tượng bồi dưỡng học sinh giỏi tỏ ra thích thú khi học dạng toán này. Chất lượng học tập của học sinh được tăng lên rõ rệt. Các em đã nắm được phương pháp giải dạng toán này một cách thành thạo. Trong thực tế áp dụng vào bài giảng thực nghiệm hai lớp 8B và 8C tôi dạy trong trường. Lớp 8B áp dụng theo đề tài, còn lớp 8C không áp dụng theo đề tài là lớp đối chứng. Tôi đã tiến hành kiểm tra kết quả đạt được như sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 8B 38 25 64,5% 6 16,5% 6 16,5% 1 2,8% 8C 36 10 27,5% 6 16,5% 15 42,5% 5 13,5% Với kết quả trên rõ ràng việc áp dụng đề tài trên thì lớp 8B đạt kết quả cao hơn, số học sinh giỏi nhiều hơn. Điều đó chứng tỏ rằng áp dụng đề tài trên rất có hiệu quả trong giảng dạy, học sinh rất nhớ phương pháp làm, đồng thời kỹ năng tư duy tốt hơn, đặc biệt là rèn kỹ năng cho học sinh giải toán nhanh hơn. 2- Những hạn chế: Bên cạnh kết quả đáng mừng là đa số học sinh nắm được phương pháp giai toán về phân tích đa thức thành nhân tử vẫn còn một số học sinh kỹ năng phân loại các dạng toán vẫn còn lúng túng và kỹ năng giải toán chưa vững vàng. Một số em áp dụng máy móc, chưa sáng tạo dẫn đến chưa có phương pháp phân tích. Một số em chưa chịu khó trong học tập hơn nữa còn ý thức kém dẫn đến kết quả chưa cao. Ngược lại đối với giáo viên vẫn còn có những hạn chế như đã có phương pháp cải tiến vận dụng đổi mới phương pháp dạy học nhưng còn hạn chế. 3- Điều kiện áp dụng: Để kinh nghiệm này được áp dụng rộng rãi theo tôi cần có các điều kiện sau: 21
22. - Nhà trường cần thường xuyên mở các chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia hoặc trao đổi lẫn nhau. Phải có sự phối hợp chặt chẽ trao đổi, bàn bạc tập thể giữa các giáo viên giảng dạy của tổ, của khối lớp 8. Giáo viên phải kiên trì biết sử dụng các phương pháp dạy học một cách linh hoạt. Thường xuyên kiểm tra học sinh theo phương pháp mới. Giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài dạy để đạt được hiệu quả cao. Bên cạnh đó đối với học sinh phải có đầy đủ phương tiện học đặc biệt là sách giáo khoa. Cần chú ý theo dõi sự hướng dẫn của giáo viên và hăng hái tham gia nêu những ý kiến đánh gía của mình. Nắm chắc kiến thức từng phần có liên quan đến dạng toán "Phân tích đa thức thành nhân tử" như quy tắc dấu ngoặc, hằng đẳng thức, chia đa thức 4- Bài học kinh nghiệm: Trước hết giáo viên phải chuẩn bị chu đáo phục vụ cho bài dạy. Khi hướng dẫn học sinh giải loại toán: "Phân tích đa thức thành nhân tử" giáo viên phải đưa ra cho học sinh các phương pháp giải để từ đó học sinh có thể lựa chọn cách giải thích hợp nhất. Đầu tiên giáo viên đưa ra hệ thống bài tập có tính chất đơn giản sau đó mới nâng cao dần lên để học sinh tư duy một cách có hệ thống. Trong bất kỳ dạng toán nào học sinh phải tìm cho mình một cách giải thích hợp nhất phù hợp với khả năng của mình. Giáo viên phải năng động biết phối hợp các phương pháp vào từng phần từng bài cụ thể để học sinh chủ động giải toán có hiệu quả. Đối với học sinh thì học sinh là người chủ động tích cực làm việc. Biết phân tích bài toán để tìm hướng giải từ đó có thể kết luận được bài toán. Bên cạnh đó học sinh phải luôn có ý thức tự giác học tập trên lớp, làm bài tập ở nhà, phân tích, đánh gía, tìm tòi để đi đến kết quả đúng và chính xác. Phải có kiến thức cơ bản luôn tìm ra hướng giải quyết thích hợp. 5- Hướng đề xuất Trước hết nhà trường cần cung cấp đủ tài liệu tham khảo. Thường xuyên tổ chức chuyên đề để giáo viên có điều kiện trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. 6- Kết luận: 22
23. Qua nghiên cứu thực nghiệm chuyên đề bản thân tôi thấy kết quả học tập của các em được nâng lên rõ rệt cả về chất lượng lẫn kỹ năng giải toán. Tôi thấy đây là việc làm thiết thực và quan trọng để nâng cao chất lượng học tập toàn diện cho học sinh. Học sinh phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập. Hệ thống bài tập giáo viên đưa ra đảm bảo từ dễ đến khó để học sinh tư duy một cách hệ thống. Cuối cùng giáo viên phải hiểu được tâm lý học sinh để chuyển tải kiến thức cho hợp lý, vừa sức với học sinh, tránh sự gò bó, áp đặt với học sinh. Trên đây là những kinh nghiệm của tôi được trình bày trong cuốn này. Trong qúa trình thực hiện chắc không tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự góp ý của Ban giám khảo, các đồng nghiệp và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 23