Ôn tập hè lớp 7 lên 8 môn Toán

Nội dung text: Ôn tập hè lớp 7 lên 8 môn Toán

1. ¤n tËp hÌ Líp 7 lªn 8 Chuyªn ®Ò 1 : C¸c phÐp tÝnh trªn tËp hîp sè h÷u tØ. I. Những kiến thức cần nhớ a 1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng với a, b Z; b 0. b Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q. 2. Các phép toán trong Q. a) Cộng, trừ số hữu tỉ: a b Nếu x ; y (a,b,m Z,m 0) m m a b a b a b a b Thì x y ; x y x ( y) ( ) m m m m m m b) Nhân, chia số hữu tỉ: a c a c a.c * Nếu x ; y thì x. y . b d b d b.d a c 1 a d a.d * Nếu x ; y ( y 0) thì x: y x . . b d y b c b.c x Thương x : y còn gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu ( hay x: y) y Chú ý: +) Phép cộng và phép nhân trong Q cũng có các tính chất cơ bản như phép cộng và phép nhân trong Z +) Với x Q thì x nêu x 0 x x nêu x 0 Bổ sung: * Với m > 0 thì x m m x m x m x m x m x 0 * x . y 0 y 0 *x y xz yz voi z 0 x y xz yz voi z 0 II. Bài tập Bài 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí 11 17 5 4 17 a) 125 18 7 9 14 1
2. 1 2 3 1 1 1 b) 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 4 3 2 Bài làm. 11 17 5 17 4 11 1 1 11 a) 125 14 7 18 9 125 2 2 125 1 1 2 1 3 1 b) ( 1 1) ( 2 2) ( 3 3) 4 4 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 Bµi 2 TÝnh: 3 : (0,2 0,1) (34,06 33,81) 4 2 4 A = 26 : + : 2,5 (0,8 1,2) 6,84 : (28,57 25,15) 3 21 Bài làm 3 : 0,1 0,25 4 7 A 26 : 2,5 2 6,84 : 3,42 2 30 1 7 13 7 2 7 1 26 : 26 : 26 7 5 2 2 2 2 13 2 2 *Bµi tËp luþªn Bài 1: Thực hiện phép tính : 1 1 6 12 2 3 5 5 1 5 1 a) ; b) ; c) ; d) 0,75 ; e)  12  5 39 52 9 16 5 11 12 7 2 7 2 Bµi 2 : Thực hiện phép tính 1 1 2 7 3 5 15 1 a) b) c) d) 3 4 5 21 8 6 12 4 16 5 1 5 4 7 e) f ) 1 g) 0,4 2 h) 4,75 1 42 8 9 12 5 12 9 35 1 1 1 1 i) k) 0,75 2 m) 1 2,25 n) 3 2 12 42 3 4 2 4 2 1 2 5 3 4 7 3 17 o) p) q) 2 r) 21 28 33 55 26 69 2 4 12 1 5 1 1 1 5 3 1 s) 2 t) 1,75 2 u) 12 8 3 9 18 6 8 10 2 4 1 3 6 3 v) x) 5 3 2 12 15 10 Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 9 17 20 4 6 21 a) 1,25. 3 b) . c) . d) . 8 34 4 41 5 7 2 1 11 4 1 4 3 10 e) 2 .2 f) . 3 g) . 6 h) 3,25 .2 7 12 21 9 17 8 13 9 8 1 2 3 1 1 i) 3,8 2 k) .1 m) 2 . n) 1 . 2 28 15 4 5 4 17 8 Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 2
3. 5 3 1 4 3 17 4 12 34 a) : b) 4 : 2 c) 1,8 : d) : e) : f) 2 4 5 5 4 15 3 21 43 1 6 2 3 3 5 3 3 : 1 g) 2 : 3 h) 1 : 5 i) 3,5 : 2 7 49 3 4 5 7 5 1 4 1 1 6 7 18 5 3 2 4 5 k) 1 . . 11 m) 3 . . n) . 1 : 6 o) p) : 5 .2 8 51 3 7 55 12 39 8 4 15 5 12 1 15 38 2 9 3 3 . . q) 2 . . : 6 19 45 15 17 32 17 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( tÝnh nhanh nÕu cã thÓ ) 1 1 1 7 5 7 1 2 1 a) b) 24 4 2 8 7 5 2 7 10 1 3 1 1 2 4 7 1 2 1 6 7 3 c) d) 3 5 6 2 5 9 71 7 35 18 4 3 3 5 4 2 1 2 1 3 5 2 1 1 3 3 1 2 1 1 e) 5 2 2 8 f) 5 9 23 35 6 7 18 3 4 5 64 9 36 15 5 5 13 1 5 3 2 3 1 1 3 1 1 g) 1 1 h) : : 1 7 67 30 2 6 14 5 5 15 6 5 3 15 3 5 2 1 8 2 1 13 5 2 1 5 i) : 2 : k) : : 4 13 7 4 13 7 2 14 7 21 7 7 2 8 1 2 5 1 3 3 3 1 5 1 m) 12. : 3 . .3 n) 13 4 8 p)11 2 5 7 9 2 7 18 2 5 4 5 4 7 4 5 5 5 1 9 2 4 1 5 1 q) 8 3 3 u) .13 0,25.6 v) : 6 : 11 8 11 4 11 11 9 7 9 7 5.Thùc hiÖn phÐp tÝnh 2 1 3 1 5 a) 4. b) .11 7 3 2 4 3 6 5 3 13 3 2 3 16 3 c) . . d) . . 9 11 18 11 3 11 9 11 1 2 7 2 1 3 5 3 1 3 2 4 4 2 e) . . f) . . g) : : 4 13 24 13 27 7 9 7 5 7 11 5 7 11 *N©ng cao Bài 1: Rút gọn biểu thức: 7 3 3 2 3 4 4 4 3 3 2 2 2 .9 6 3.6 3 5 .20 (5 5 ) 2 3 39 a) 5 2 ; b) ; c) 5 5 ; d) 4 ; e) (2,5 0,7) ; f ) 1 6 .8 13 25 .4 125 72 912 Bµi 2 . Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 1 1 2 1 2 2 a. 1 .2 1 . b. . 4 . 2 3 3 2 9 145 3 145 145 7 1 1 1 2 1 c. 2 : 2 : 2 2 : 2 12 7 18 7 9 7 2 7 3 2 8 5 10 8 d. : 1 : 8 . 2 80 4 9 3 24 3 15 3
4. Bµi 3 . Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 1 1 1 a, B 3 32 33 34 32004 32005 b, A=1+5+52 +53+54+ +549+550 1 1 1 1 c, A=( 1).( 1).( 1) ( 1) 22 32 42 1002 d, A=2100 -299 +298 -297 + +22 -2 Chuyªn ®Ò2:C¸c bµi to¸n t×m x ë líp 7 A.Lý thuyÕt: D¹ng 1: A(x) = m (m Q) hoÆc A(x) = B(x) C¸ch gi¶i: Quy t¾c : Muèn t×m x d¹ng: A(x) = B(x) -Ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh ë tõng vÕ (nÕu cã). 4
5. -ChuyÓn c¸c sè h¹ng chøa x sang mét vÕ,c¸c sè h¹ng kh«ng chøa x( sè h¹ng ®· biÕt ) chuyÓn sang vÕ ng­îc l¹i. -TiÕp tôc thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh ë tõng vÕ (nÕu cã).§­a ®¼ng thøc cuèi cïng vÒ mét trong c¸c d¹ng sau: 1. x cã mét gi¸ trÞ kiÓu: ax = b ( a≠ 0) x= 2. x kh«ng cã gi¸ trÞ nµo kiÓu: ax = b ( a = 0) 3. x cã v« sè gi¸ trÞ kiÓu: ax = b ( a = 0, b = 0) Sau ®©y lµ c¸c vÝ dô minh ho¹: D¹ng 2: |A(x)| = B ; ( B ≥ 0) C¸ch gi¶i: C«ng thøc gi¶i nh­ sau: |A(x)| = B ; ( B ≥ 0) [ D¹ng 3 :|A(x)| = B(x) C¸ch gi¶i: C«ng thøc gi¶i nh­ sau: 1. |A(x)| = B(x) ; (B(x) 0) [ 2. |A(x)| = B(x) ; (B(x) n x1 > x2 ; ta cã c¸c kho¶ng sau ®­îc xÐt theo thø tù tr­íc sau: x< x2 ; x2 x < x1 ; x1 x . + Víi x< x2 ta lÊy 1 gi¸ trÞ x = t (t kho¶ng x< x2;t nguyªn còng ®­îc) thay vµo tõng biÓu thøc d­íi dÊu GTT§ xem biÓu thøc ®ã d­¬ng hay ©m ®Ó lµm c¨n cø khö d©ó GTT§ ®Ó gi¶i tiÕp. +Víi:x2 x < x1 hoÆc x1 x ta còng lµm nh­ trªn. TH2 : NÕu m < n x1 < x2 ; ta cã c¸c kho¶ng sau ®­îc xÐt theo thø tù tr­íc sau: x< x1 ; x1 x < x2 ; x2 x . + Víi x< x1 ta lÊy 1 gi¸ trÞ x = t (t kho¶ng x< x1;t nguyªn còng ®­îc) thay vµo tõng biÓu thøc d­íi dÊu GTT§ xem biÓu thøc ®ã d­¬ng hay ©m ®Ó lµm c¨n cø khö d©ó GTT§ ®Ó gi¶i tiÕp. +Víi:x1 x < x2 hoÆc x2 x ta còng lµm nh­ trªn 5
6. Chó ý: 1. NÕu TH1 x¶y ra th× kh«ng xÐt TH2 vµ ng­îc l¹i ;v× kh«ng thÓ cïng mét lóc x¶y ra 2 TH 2. Sau khi t×m ®­îc gi¸ trÞ x trong mçi kho¶ng cÇn ®èi chiÕu víi kho¶ng ®ang xÐt xem x cã thuéc kho¶ng ®ã kh«ng nÕu x kh«ng thuéc th× gi¸ trÞ x ®ã bÞ lo¹i. 3. NÕu cã 3;4;5 BiÓu thøccã dÊu GTT§ chøa x th× cÇn s¾p xÕp c¸c x1;x2;x3;x4;x5; Theo thø tù råi chia kho¶ng nh­ trªn ®Ó xÐt vµ gi¶i.Sè kho¶ng b»ng sè biÓu thøc cã dÊu GTT§+1 D¹ng 7:(biÓu thøc t×m x cã sè mò) D¹ng [ ] n = m hoÆc A(x) = mn B. Bµi tËp: DẠNG 1 : Bài 1. Tìm x, biết: 11 5 15 11 x ; 13 42 28 13 11 5 15 11 a) x 13 42 28 13 11 5 15 11 x 13 42 28 13 15 5 x 28 42 5 x 12 Bài 2. T×m x, biÕt: 1 2 1 3 1 3 a.x b. x 3 5 3 7 4 5 2 59 KQ: a) x = ; b) - 5 140 *Bµi tËp luyÖn Bài 1: T×m x biÕt 3 2 5 2 2 13 3 5 x ; b) x ; c) x 10 15 6 5 3 20 5 8 Bài 2:T×m x biÕt 3 31 2 3 4 11 5 a) x : 1 ; b) 1  x ; c)  x 0,25 8 33 5 7 5 12 6 * N©ng cao Tìm x, biết a) x+ (x+ 1) +( x+ 2)+ +(x+2003) = 2004 6
7. 1 3 3 b) 2 x 3 .x 3 2 2 3 2 2 5 7 2 4 6 c) : x 1 5 2 d) 2x :3 1 7 2 3 3 3 2 5 5 5 D¹ng 2 Bài 1: ×m x biÕt a)|x–1,7|=2,3; 4 b)x 3,75 2,15 15 Gi¶i 4 4 4 x 3,75 2,15 x 3,75 2,15 x 2,15 3,75 15 15 15 4 4 x 1,6 x 4 5 3 x 1,6 15 4 28 x 1,6 x 5 15 a) x – 1,7 = 2,3 x- 1,7 = -2,3 x= 2,3 + 1,7 x = -2,3 + 1,7 x = 4 x = -0,6 Bµi 2 : T×m x 3 1 1 7 a) x 0; c) x 3 ; d) x 5 4 3 2 3 3 1 b)x 1,5 2 e) x 0 4 2 Bµi 3 T×m x 1 a. x 5,6 b. x 0 c. x 3 5 3 1 d. x 2,1 d. x 3,5 5 e. x 0 4 2 1 5 1 f. 4x 13,5 2 g. 2 x 4 6 3 2 1 3 2 1 h. x i. 5 3x 5 2 4 3 6 1 1 1 k. 2,5 3x 5 1,5 m. x 5 5 5 * Bµi tËp n©ng cao: Bài 1:T×m x 7
8. a) 3x 4 3y 5 0 19 1890 b) x + + y + + z - 2004 = 0 5 1975 9 4 7 c) x + + y + + z + £ 0 2 3 2 3 1 d) x + + y - + x + y + z = 0 4 5 3 2 1 e) x + + y - + z + £ 0 4 5 2 Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: 3 1 a) A = x - ; b) B = 1,5 + 2 - x ;c) A = 2x - + 107 ; M=5 |1 - 4x| -1 4 3 1 1 1 d)B = x + + x + + x + ; e) D = |x - 1| + |x - 4| ; B = |1993 - x| + |1994 - x| ; 2 3 4 g) C= x2+ |y - 2| -5 h) A =3,7 + | | ; i) B = | | -14,2 ; k) C = |4x - 3| + | | +17,5 n) M = |x - 2002| + |x - 2001| *D¹ng 3 Bài 1:T×m x 16 a) (x – 2)2 = 1 ; b) ( 2x – 1)3 = -27; c) 1 2n Bài 2: Tính x2 nếu biết: x 3 ; x 8 * Bµi tËp n©ng cao: Bµi 1:T×m x biÕt a) ( x - ) 3 = b) ( x + ) 2 = c) (x - 1)x+2 = (x - 1)x+6 vµ x Z Bµi 2 : Tìm x, biết : a) x 4; (x 1)2 1; x 1 5 Bµi 3 : Tìm x, biết a) x 2 2 y 3 2 0 b) 5(x-2).(x+3)=1 b) -(x-y)2=(yz-3)2 Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau: a; A = (x4 + 5)2 ; B = (x - 1)2+ (y + 2)2 C= x2+ |y - 2| -5 DẠNG 4: TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU. Bài 1: Tìm hai số x, y biết : x y a) và x + y = 16 b) 7x = 3y và x – y = – 16. 3 5 8
9. a b c a b b c c) và a + 2b – 3c = -20 d) , và a – b + c = – 49.: 2 3 4 2 3 5 4 x 2 x 9 Bài 2: a) ; b) 27 36 4 x *N©ng cao x 1 60 2x 1 3y 2 2x 3y 1 1, a . b. 15 x 1 5 7 6x x 1 x 2 x 3 x 4 2) T×m x biÕt : 2009 2008 2007 2006 a1 1 a2 2 a9 9 3, T×m c¸c sè a1, a2, ,a9 biÕt:  vµ a1 + a2 + + a9 = 90 9 8 1 x 2 x 4 2 3 3 4 , 5, 3 x 2 : 1 2 : 2 x 1 x 7 5 7 5 3 1 2 x 9 x 3 2 6 , 7 , x 2 3 4 8 x 3 1, 6 4 x 3 x 2 3 x 1 8, 9 , 8, 5 1 3,1 1 5 x 7 5 x 3 2 x 1 1 8 1 0 , 1 5 2 Chuyªn ®Ò 3 : tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau I Toùm taét lyù thuyeát: a c + Tæ leä thöùc laø moät ñaúng thöùc giöõa hai tæ soá: = hoaëc a:b = c:d. b d - a, d goïi laø Ngoaïi tæ. b, c goïi laø trung tæ. + Neáu coù ñaúng thöùc ad = bc thì ta coù theå laäp ñöôïc 4 tæ leä thöùc : a c a b b d c d = ; = ; = ; = b d c d a c a b a c e a + c+ e a- c- e c- a + Tính chaát: = = = = = = b d f b + d + f b- d - f d - b a b c + Neáu coù = = thì ta noùi a, b, c tæ leä vôùi ba soá 3; 4; 5. 3 4 5 + Muoán tìm moät thaønh phaàn chöa bieát cuûa tæ leä thöùc, ta laäp tích theo ñöôøng cheùo roài chia cho thaønh phaàn coøn laïi: x a m.a Töø tæ leä thöùc = Þ x = m b b 9
10. 2/ Baøi taäp: Bµi tËp Baøi 1: Tìm x trong caùc tæ leä thöùc sau: 41 x 0,15 - 2,6 - 12 11 6,32 x a) = ; b) = ; c) = ; d) 10 = ; 3,15 7,2 x 42 10,5 x 9 7,3 4 e) 2,5:x = 4,7:12,1 Baøi 2: Tìm x trong tæ leä thöùc: x- 1 6 x2 24 x- 2 x + 4 a) = ; b) = ; c) = x + 5 7 6 25 x- 1 x + 7 x y Baøi 3: Tìm hai soá x, y bieát: = vaø x +y = 40. 7 13 a c a a + c Baøi 4 : Chöùng minh raèng töø tæ leä thöùc = (Vôùi b,d 0) ta suy ra ñöôïc : = . b d b b + d Baøi 5 : Tìm x, y bieát : x 17 x y x2 y2 a) = vaø x+y = -60 ; b) = vaø 2x-y = 34 ; c) = vaø x2+ y2 =100 y 3 19 21 9 16 Baøi 6 : Ba voøi nöôùc cuøng chaûy vaøo moät caùi hoà coù dung tích 15,8 m3 töø luùc khoâng coù nöôùc cho tôùi khi ñaày hoà. Bieát raèng thôøi gian chaûy ñöôïc 1m3 nöôùc cuûa voøi thöù nhaát laø 3 phuùt, voøi thöù hai laø 5 phuùt vaø voøi thöù ba laø 8 phuùt. Hoûi moãi voøi chaûy ñöôïc bao nhieâu nöôùc ñaày hoà. HD : Goïi x,y,z laàn löôït laø soá nöôùc chaûy ñöôïc cuûa moãi voøi. Thôøi gian maø caùc voøi ñaõ chaûy vaøo hoà laø 3x, 5y, 8z. Vì thôøi giaûn chaûy laø nhö nhau neân : 3x=5y=8z Baøi 7 : Ba hoïc sinh A, B, C coù soá ñieåm möôøi tæ leä vôùi caùc soá 2 ; 3 ; 4. Bieát raèng toång soá ñieåm 10 cuûa A vaø C hôn B laø 6 ñieåm 10. Hoûi moãi em coù bao nhieâu ñieåm 10 ? Bµi tËp n©ng cao 5a 7b 29 Bµi;1T×m c¸c sè tù nhiªn a vµ b ®Ó tho¶ m·n vµ (a, b) = 1 6a 5b 28 Bµi:2: T×m c¸c sè tù nhiªn a, b, c, d nhá nhÊt sao cho: a 3 b 12 c 6 ; ; b 5 c 21 d 11 a c 5a 3b 5c 3d Bµi;3:Chøng minh r»ng nÕu th× (gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã b d 5a 3b 5c 3d nghÜa). bz cy cx az ay bx Bµi;5: BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z 10
11. a c Bµi:6:Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a2 b2 a b a2 b2 vµ cd c2 d 2 c d c2 d 2 Bµi:7:T×m x, y, z biÕt: x y y z ; vµ x2 y2 16 2 3 4 5 3x 3y 3z Bµi; 8:T×m x, y, z biÕt vµ 2x2 2y2 z 2 1 8 64 216 a c 7a2 5ac 7b2 5bd Bµi;9: CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). b d 7a2 5ac 7b2 5bd a c ab (a b)2 Bµi:10: Cho . Chøng minh r»ng: b d cd (c d)2 bz cy cx az ay bx Bµi:11:BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z 2 2 Bµi:12:Cho a, b, c, d kh¸c 0 tho¶ m·n: b = ac ; c = bd. a3 b3 c3 a Chøng minh r»ng: b3 c3 d 3 d ab bc ca Bµi;13: Cho a, b, c kh¸c 0 tho¶ m·n: a b b c c a ab bc ca TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M a2 b2 c2 Bµi:14: T×m tØ lÖ ba ®­êng cao cña tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l­ît ®é dµi tõng cÆp hai c¹nh cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5 : 7 : 8. Bµi:15: T×m x, y, z biÕt r»ng: 4x = 3y ; 5y = 3z vµ 2x - 3y + z =6 a c Bµi:16: Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng ta cã: b d 2002a 2003b 2002c 2003d 2002a 2003b 2002c 2003d Bµi:17: T×m x, y biÕt r»ng 10x = 6y vµ 2x2 y2 28 a c 2004a 2005b 2004c 2005d Bµi:18:Cho biÕt . Chøng minh: b d 2004a 2005b 2004c 2005d 2 2 2 a c c Bµi:19: Cho a, b, c lµ ba sè kh¸c 0 vµ a = bc. Chøng minh r»ng: b2 a2 b Chuyªn ®Ò 4:: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 11
12. I/ HÖ thèng lý thuyÕt 1/ Nêu quy tắc cộng hai số nguyên ( cùng dấu ; khác dấu ) 2/ Nêu quy tắc nhân dấu , chia dấu ( cùng dấu , khác dấu ) 3/ Nêu quy tắc chuyển vế ; quy tắc bỏ dấu ngoặc 4/ Đơn thức là gì ? Hai đơn thức đồng dạng? Nêu quy tắc cộng hai đơn thức đồng dạng ? 5/ Nêu quy tắc nhân hai đơn thức ? 6/ Đa thức là gì ? Nêu quy tắc cộng trừ hai đa thức ? Các dạng toán : Nêu các bước làm từng dạng toán sau Dạng 1: Tính hay thu gọn biểu thức ; cộng trừ đa thức một biến Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức Dạng 3:Tìm nghiệm của đa thức f (x ) Dạng 4: Tìm bậc của đa thức , hệ số cao nhất , hệ số tự do của đa thức một biến Dạng 5 : Kiểm tra xem x =a có là nghiệm của đa thức P (x ) hay không ? Dạng 6: Chứng minh đa thức không có nghiệm ? II/ BAØI TAÄP CÔ BAÛN Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức sau tại x = 1; y = -1; z = 3 2x2y a) (x2y – 2x – 2z)xy b) xyz y2 1 Bài 2: Thu gọn các đơn thức: 2 1 2 2 2 1 2 3 a) xy .(3x yz ) b) -54y2 . bx ( b là hằng số) c) 2x y x(y z) 3 2 1 Bài 3: Cho hai đa thức : f (x) x5 3x2 7x4 9x3 x 4 1 g(x) 5x4 x5 x2 3x2 4 a) Hãy thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên. b) Tính f(x) + g(x) và f(x) - g(x) Bài 4: Cho đa thức f(x) = -15x3 + 5x4 – 4x2 +8x2 – 9x3 – x4 + 15 – 7x3 a) Thu gọn đa thức trên. b) Tính f(1) ; f(-1) đơn thức: Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số. 3 5 2 2 3 4 3 5 4 2 8 2 5 A = x . x y . x y ; B= x y . xy . x y 4 5 4 9 đa thức : Bài tập áp dụng : Thu gọn đa thức, tìm bậc, hệ số cao nhất. A 15x2 y3 7x2 8x3 y2 12x2 11x3 y2 12x2 y3 1 3 1 B 3x5 y xy4 x2 y3 x5 y 2xy4 x2 y3 3 4 2 giá trị của đa thức ( biểu thức): Bài tập áp dụng : Bài 1 : Tính giá trị biểu thức 1 1 a. A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 tại x ; y 2 3 12
13. b. B = x2 y2 + xy + x3 + y3 tại x = –1; y = 3 Bài 2 : Cho đa thức P(x) = x4 + 2x2 + 1; Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1; 1 Tính : P(–1); P( ); Q(–2); Q(1); 2 Cộng, trừ đa thức nhiều biến: Bài tập áp dụng: Bài 1 : Cho đa thức : A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2 Tính A + B; A – B Bài 2 : Tìm đa thức M,N biết : a. M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 b. (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2 Cộng trừ đa thức một biến: Bài tập áp dụng : Bài 1: Cho đa thức A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3 B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5 Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); Bài 2: Cho các đa thức P(x) = x – 2x2 + 3x5 + x4 + x Q(x) = 3 – 2x – 2x2 + x4 – 3x5 – x4 + 4x2 a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến. b) Tính P(x) + Q(x) và P(x) – Q(x). c) Chứng minh rằng x = 0 là nghiệm của P(x) nhưng không là nghiệm của Q(x) nghiệm của đa thức 1 biến : Bài tập áp dụng : Bài 1 : Tìm nghiệm của đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x - x4+2x2-x3 +8x-x3-2 Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau. f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x) Bài 3 : Cho đa thức P(x) = mx – 3. Xác định m biết rằng P(–1) = 2 Bài 4 : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3. Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1. *Bµi tËp luyÖn BAØI 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: A = 4x2 - 3 x -2 taïi x = 2 ; x = -3 ; B = x2 +2xy- 3x3+2y3+3x-y3 taïi x = 2 ; y = -1 x2+2xy+y2 taïi x= 2; y = 3; C= 3x2 -2x- 5 taïi x= 5/3 5 3 BAØI 2: Tính: a) A 4x 2 y 0,5x 2 y x 2 y b)B x 2 y3 2x 2 y3 1,5xy 4xy 2 4 BAØI 3: Trong caùc ñôn thöùc sau: a, b laø caùc haèng soá, x, y laø caùc bieán: 1 4 3 1 3 4 A ax. x 2 y ;B (bx)3 2ay3 ;C ax( xy)3 . ( by)3 ; D= xy 2 z 3 .( xy) 3 5 4 4 8 15 13
14. 1 12 E = x 6 .y 2 . x 2 .y 4 4 5 a) Thu goïn caùc ñôn thöùc treân b) Xaùc ñònh heä soá cuûa moãi ñôn thöùc c) Xaùc ñònh baäc cuûa moãi ñôn thöùc ñoái vôùi töøng bieán vaø baäc cuûa moãi ña thöùc BAØI 4: Cho A = x3y B = x2y2 C = xy3 Chöùng minh raèng: A.C + B2 – 2x4y4 = 0 BAØI 5: Cho hai ña thöùc: A = 15x2y – 7xy2 –6y3 B = 2x3 –12x2y +7xy2 a) Tính A + B vaø A - B b) Tính giaù trò cuûa ña thöùc A + B , A – B vôùi x = 1, y = 3 Baøi 6: Cho ña thöùc A = x2-2y+xy+1; B = x2+ y- x2y2 –1 Tìm ña thöùc C sao cho : a. C = A + B b. C+A = B 1 BAØI 7: Cho hai ña thöùc: f(x) = 2x 5 4x x 3 x 2 1 3 g(x) = x 6 x 2 3x x 3 2x 4 a) Tính f(x) + g(x) sau khi saép xeáp caùc ña thöùc theo luõy thöøa giaûm daàn cuûa bieán b) Tính f(x) - g(x) BAØI 8: Cho ña thöùc f(x) = 2x3+ x2- 3x – 1 g(x) = -x3+3x2+ 5x-1 h(x) = -3x3 + 2x2 – x – 3 a) Tính P(x) = f(x)- g(x); R(x) = P(x) + h(x) b) Tìm nghieäm cuûa ña thöùc R(x) BAØI 9: Cho ña thöùc f(x) = x3-2 x2+7x – 1 g(x) = x3-2x2- x -1 Tính f(x) - g(x); f(x) + g(x); BAØI 10: Tính GT cuûa A = xy+x2y2+x3y3 + + x10y10 taïi x = -1; y = 1 BAØI 11: Cho caùc ña thöùc A = -3x2 + 4x2 –5x +6 B = 3x2 - 6x2 + 5x – 4 a) Tính C = A + B; D = A – B; E = D – C b) Tính giaù trò cuûa caùc ña thöùc A, B, C, D, E taïi x = 1 BAØI 12: Tìm nghieäm cuûa caùc ña thöùc 1 2 2 a) -3x + 12 b) 2x c) 6x d) x 3 e) (x – 3)(x + 2) 3 3 3 f) (x – 1)(x2 + 1) g) ( 5x+5)(3x-6) h) x2 + x g) x2 – 1 i) x2 + 2x + 1 k) 2x2 + 3x – 5 l) x2 - 4x + 3 m) x2 + 6x + 5 n) 3x(12x - 4) - 9x(4x -3) = 30 p) 2x(x - 1) + x(5 - 2x) = 15 BAØI 13: Chöùng toû raèng hai ña thöùc sau khoâng coù nghieäm a) P(x) = x2 + 1 b) Q(x) = 2y4 + 5 c) H(x) = x2 +2x+2 d) D(x) = (x-5)2 +1 BAØI 14: Cho ña thöùc: f(x) = x3 + 2x2 + ax + 1 Tìm a bieát raèng ña thöùc f(x) coù moät nghieäm x = -2 Baøi 15: Thu goïn caùc ñôn thöùc sau : 14
15. 2 3 2 1 2 1 2 2 2 a./ 3x y z . xy b./ axy . 2x yz 3 6 2 1 3 1 2 4 2 2 1 3 c./ x y .5 x y d./ 2x y . xy ( 3xy) 2 2 4 Baøi 16: Cho caùc ña thöùc sau : P(x) = x2 + 5x4- 3x3+ x2+ 4x4+ 3x3- x+ 5 Q(x) = x- 5x3 - x2- x4+ 4x3- x2+ 3x – 1 a) Thu goïn vaø saép xeáp caùc ña thöùc treân theo luyõ thöøa giaûm cuûa bieán. b) Tính P(x) +Q(x) vaø P(x) - Q(x) Bài 17: Cho các đa thức : P(x) = 3x5+ 5x- 4x4 - 2x3 + 6 + 4x2 Q(x) = 2x4 - x + 3x2 - 2x3 +1 - x5 4 a) Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm của biến. b) Tính P(x) + Q(x) ; P(x) - Q(x) c)Chứng tỏ rằng x = -1 là nghiệm của P(x) nhưng không phải là nghiệm của Q(x) Bài 18: Tìm nghiệm của đa thức: a) 4x - 1 ; b) (x-1)(x+1) c) x2 - 3x + 2. 2 Bài 19: Cho các đa thức : A(x) = 5x - 2x4 + x3 -5 + x2 B(x) = - x4 + 4x2 - 3x3 + 7 - 6x C(x) = x + x3 -2 a)Tính A(x) + B(x) ; b) A(x) - B(x) + C(x) c)Chứng tỏ rằng x = 1 là nghiệm của A(x) và C(x) nhưng không phải là nghiệm của B(x). Bµi 20: Thu gän c¸c ®a thøc sau a, x(4x3 - 5xy + 2x) g, (x2 - xy + y2)2x + 3y(x2 - xy + y2) b, - 2y(x2 - xy + 1) h, 5x(4x2- 2x+1) – 2x(10x2 - 5x - 2) c, (x - 2)(x + 2) i, 5x(x-4y) - 4y(y -5x) d, x2(x + y) + 2x(x2 + y) e, x2(x + y) - y(x2 - y2) *BAØI TAÄP NAÂNG CAO Câu 1: Tìm nghiệm của đa thức sau: a/ x2 -4 b/ x2+ 9 c/ ( x- 3) ( 2x + 7 ) d/ |x| +x e/ |x| - x Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a/ (x – 3,5)2+ 1 b/( 2x – 3)4 – 2 Câu 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: a/ 2 - x2 : b/ -( x - 3 )2 + 1 Câu 4: Cho P(x) = 100x100 +99x99 + 98x98 + + 2x2 + x . Tính P(1) Câu 5: Cho P(x) = x99 – 100x98 +100x97 – 100x96 + +100x – 1 Tính P(99) HÌNH HỌC LÝ THUYẾT: 1/ Thế nào là hai đường thẳng song song? Phát biểu định lý của hai đường thẳng song song 15
16. 2/ Nêu dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song? 3/ Phát biểu định lý về tổng ba góc trong một tam giác , Tính chất góc ngoài của tam giác 4/ Phát biểu các trường hợp bằng nhau của hai tam giác , của hai tam giác vuông? 5/ Phát biểu định lý quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ? Các bất đẳng thức tam giác 6 Phát biểu định lý quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu 7/ Phát biểu định lý quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác 8/ Nêu định, nghĩa tính chất các đường đồng quy của tam giác 9/ Nêu định nghĩa, tính chất , dấu hiệu nhận biết tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông 10/ Phát biểu định lý pitago ( thuận , đảo) 11/ Phát biểu tính chất tia phân giác của một góc. 12/ Phát biểu tính chất đường trung trực của đoạn thẳng BÀI TẬP BAØI TAÄP CÔ BAÛN Bài 1 : Cho hình vẽ sau biết Aµ 1400 ,Bµ 700 ,Cµ 1500 . Chứng minh rằng Ax // Cy A Bài 2 : Với hình vẽ sau. x 0 Biết Aµ Bµ Cµ 360 . B a 0 Chứng minh rằng Ax // Cy y 35 C x Bài 3 : Tính số đo x của góc O ở hình sau : 0 b 140 A D I B C E Baøi 4 : Cho tam giaùc nhoïn ABC, Keû AH vuoâng goùc BC. Tính chu vi cuûa tam giaùc ABC bieát AC = 20cm, AH = 12cm, BH = 5cm Baøi 5 : Tính ñoä daøi caùc caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng caân coù caïnh huyeàn baèng: A a) 2cm b) 2 cm 4 5 B E C 16 9
17. Baøi 6: Cho hình veõ sau trong ñoù AE  BC . Tính AB bieát AE = 4m, AC = 5m, BC = 9m. Baøi 6: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AC =AD . Trêntia đối của tia BA lấy điểm M bất kỳ . Chứng minh rằng : a/ BA là tia phân giác của góc CBD. b/ MBD = MBC Baøi 7:Cho tam giác ABC có Bˆ Cˆ , Đường cao AH a/ Chứng minh AH < 1 ( AB + AC ) 2 b/ Hai đường trung tuyến BM , CN cắt nhau tại G Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME =MG . Trên tia đối của tia NC lấy điểm F sao cho NF = NG . Chứng minh : EF= BC c/Đường thẳng AG cắt BC tại K Chứng minh AKˆB AKˆC Baøi 8: Cho tam giaùc ABC coù AB = AC. Laáy ñieåm D treân caïnh AB, ñieåm treân caïnh AC sao cho AD = AE. a) Chöùng minh raèng BE = CD. b) Goïi O laø giao ñieåm cuûa BE vaø CD. Chöùng minh raèng BOD COD. Baøi 9 : Cho tam giaùc ABC, D laø trung ñieåm cuûa AB. Ñöôøng thaúng qua D vaø song song vôùi BC caét AC ôû E, ñöôøng thaúng qua E vaø song song vôùi AB caét BC ôû F. Chöùng minh raèng : a) AD = EF. b) ADE EFC. c) AE = EC. Baøi 10: Cho góc x0y , M là điểm nằm trên tia phân giác0z của góc x0y. Trên các tia 0x và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Chứng minh rằng: a/ MA =MB b/ Đường thẳng chứa tia phân giác Oz là đường trung trực của đoạn thẳng AB c/ Gọi I là giao điểm của AB và 0z . Tính OI biết AB = 6cm OA = 5cm. Baøi 11: Cho góc nhọn x0y. Trên hai cạnh 0x và 0y lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB . Tia phân giác của góc x0y cắt AB tại I. a/ Chứng minh OI  AB. b/ Gọi D là hình chiếu của điểm A trên 0y. C là giao điểm của AD với OI .Chứng minh:BC 0x c/Giả sử x0ˆ y = 600 , OA = OB = 6cm . Tính độ dài đoạn thẳng OC Baøi 12: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH . Biết AB = 5cm BC =6cm a/ Tính độ dài các đoạn thẳng BH , AH. b/ Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàng c/ Chứng minh : ABˆG ACˆG 17
18. Baøi 13: Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi G là trọng tâm , I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh : a/ Ba điểm A ,G ,I thẳng hàng b/ BG < BI < BA c/ IBˆG ICˆG d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho tổng các độ dài BM + MC có giá trị nhỏ nhất Baøi 14: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . Chứng minh rằng tổng MA +MB +MC lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tam giác ABC Lưu ý : Ôn cả phần đề cương hình học ở học kỳ I BAØI 15: Cho hai ñoaïn thaúng AB & AC caét nhau taïi trung ñieåm cuûa moãi ñoaïn. ch/m raèng: a) ∆AOC= ∆BOD b) AD=BC & AD//BC BAØI 16: Cho goùc xOy. Goïi Oz laø tia phaân giaùc cuûa noù. Treân tia Ox laáy ñieåm A, treân Oy laáy ñieåm B sao cho OA =OB. M laø moät ñieåm baát kyø treân Oz (M O). Chöùng minh: tia OM laø phaân giaùc cuûa AMB vaø ñöôøng thaúng OM laø trung tröïc cuûa ñoaïn AB BAØI 17: Cho goùc xOy. Treân tia phaân giaùc Oz cuûa goùc xOy laáy ñieån M (M O). Qua M veõ MH  Ox (H Ox) vaø MK  Oy (K Oy). Chöùng minh: MH = MK BAØI 18: Cho ABC vuoâng taïi A.Ñöôøng phaân giaùc BE. Keû EH  BC ( H BC) Goïi K laø giao ñieåm cuûa AB vaø HE. Chöùng minh : a) ABE = HBE b) BE laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AH. c) EK = EC d) AE < EC Bµi tËp n©ng cao BAØI 19: Cho tam giaùc caân ABC (AB = AC). Caùc tia phaân giaùc cuûa goùc B, C Caét AB vaø AC taïi E, F a) Chöùng minh: BE = CF b) Goïi T laø giao ñieåm cuûa BE vaø CF. Chöùng minh AI laø phaân giaùc cuûa goùc A BAØI20: Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Treân tia ñoái cuûa tia BC laáy ñieåm M, treân tia ñoái cuûa tia CB laáy ñieåm, N sao cho BM = CN a) Chöùng minh raèng tam giaùc AMN laø tam giaùc caân b) Keû BH  AM (H AM). Keû CK  AN (K AN). Chöùng minh raèng BH = CK c) Chöùng minh raèng AH = AK d) Goïi O laø giao ñieåm cuûa BH vaø CK. Tam giaùc OBC laø tam giaùc gì? Vì sao? e) Khi BAÂC = 600 vaø BM = CN = BC, haõy tính soá ño caùc goùc cuûa ∆AMN vaø xaùc ñònh daïng cuûa ∆OBC. BAØI 21: Cho tam giaùc ABC coù caùc caïnh AB = 20 cm, AC = 15 cm, BC = 25 cm, AH laø ñöôøng cao a) Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng b) Tính ñoä daøi ñoaïn thaúng BH, CH, bieát AH = 12 cm BAØI 22: Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Coù ñöôøng cao AD. Töø D keû DE  AB, DF AC. Treân tia ñoái cuûa tia DE laáy ñieåm M sao cho DE = DM. 18
19. Chöùng minh : a) BE = CF b) AD laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng EF c) Tam giaùc EFM laø tam giaùc vuoâng d) BE // CM Baøi 23: Cho ABC vuoâng taïi A. Treân caïnh BC ta laáy ñieåm E sao cho BE = BA. Tia phaân giaùc cuûa goùc B caét AC ôû D. a) So saùnh ñoä daøi DA vaø DE b) Tính soá ño BEÂD Baøi 24: ABC vuoâng taïi A. trung tuyeán AM. Treân tia ñoái cuûa tia MA laáy ñieåm D sao cho MD = MA. a) Chöùng minh : AMC = BMD b) C/ m Goùc ABD = 900 1 c) Chöùng minh : AM = BC 2 Baøi 25: ABC vuoâng taïi C coù AÂ = 600. Tia phaân giaùc cuûa goùc BAC caét BC ôû E. Keû EK vuoâng goùc vôùi AB ( ( D AB ), Keû BD vuoâng goùc tai AE ( D AE ). Chöùng minh a) AC = AK vaø AE vuoâng goùc CK b) KA =KB c) EB > AC d) Ba ñöôøng thaúng AC, BD, KE cuøng ñi qua moät ñieåm. BAØI 26: Cho tam giaùc ABC coù BÂ= 600. veõ phaân giaùc BD. Töø A keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BD, caét BD taïi H vaø caét BC taïi E. a) Tính soá ño goùc BAH. Chöùng minh Tam giaùc ABE laø tam giaùc ñeàu b) Chöùng minh: DBA = DBE c) Töø A keû ñöôøng thaúng song song vôùi BD caét ñöôøng thaúng BC taïi F. Chöùng minh : ABF laø tam giaùc caân BAØI 27: Cho tam giaùc DEF caân taïi D vôùi ñöôøng trung tuyeán DI. a) Chöùng minh DEI = DFI b) Caùc goùc DIE vaø goùc DIF laø nhöõng goùc gì? c) Bieát DE = DF = 13 cm, EF = 10 cm haõy tính ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán DI Baøi 28: Cho ABC caân taïi A ( AÂ< 900). Ba ñöôøng cao AH, BD, CE. a) Chöùng minh: ABD = ACE b) Chöùng minh : HDC caân taïi H c) Keû HM vuoâng goùc vôùi AC ( M thuoäc AC). Chöùng minh : DM = MC d) Goïi I laø trung ñieåm cuûa HD. Chöùng minh : AH vuoâng goùc vôùi MI BAØI 29: Cho ABC vuoâng taïi A. bieát AC = 5 cm, trung tuyeán AM = 3,5 cm 19
20. a) Tính caùc caïnh AB vaø BC cuûa tam giaùc ABC b) Tính caùc ñöôøng trung tuyeán BN vaø CP cuûa ABC BAØI 30 : Cho Cho ABC coù ( AB < AC), phaân giaùc AD. Treân caïnh AC laáy ñieåm E sao cho AE = AB. a) Chöùng minh : BD = DE b) Goïi F laø giao ñieåm cuûa caùc ñöôøng thaúng AB vaø DE. Chöùng minh DF = DC c) Chöùng minh AFC caân d) Chöùng minh : AD vuoâng goùc FC. Baøi 31 Cho ABC caân taïi A, ñöôøng cao AH. Goïi E laø hình chieáu cuûa H xuoáng AB, F laø hình chieáu cuûa H xuoáng AC. Chöùng minh a) AEH = AFH b) AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa EF c) Treân tia ñoái cuûa tia EH laáy ñieåm M sao cho EH = EM. Treân tai ñoái cuûa tia FH laáy ñieåm N sao cho FH = FN. Chöùng minh AMN caân Bài 32: Cho tam giác ABC có Aµ 900 , trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. a) So sánh các độ dài DA và DE. A b) Tính số đo góc BED. c) Gọi I là giao điểm của AE và BD. D Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AE K B C Bài 33: Cho tam giác ABC có Bµ 2Cµ . Tia phân giác củaE góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối của tia CB lấy diểm K sao cho CK = AB. E a) Chứng minh : E· BA A· CK D b) Chứng minh rằng EK = AK. A Bài 34: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB ( D khác phía C đối với AB), vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC ( E khác phía B đối với AC). Chứng minh rằng B C a) DC = BE b) DC  BE. Bài 35: Cho tam giác ABC. Gọi K, D lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm M N B M sao cho DM = DA. Trên tia đối của tia KM lấy điểm N sao K cho KN = KM. Chứng minh D a) ADC MDB b) AKN BKM A C c) A là trung điểm của đoạn thẳng NC E y Baøi 36 : Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = AC. A Qua A keû ñöôøng thaúng xy ( B, C naèm cung phía ñoái vôùi xy). D Keû BD vaø CE vuoâng goùc vôùi xy. Chöùng minh raèng: x a) BAD ACD B C 20
21. b) DE = BD + CE. Baøi 37 : Cho tam giaùc ABC, D laø trung ñieåm cuûa AB, A E laø trung ñieåm cuûa AC, veõ ñieåm F sao cho E laø trung ñieåm cuûa DF. Chöùng minh raèng: D E F a) DB = CF b) BDC FCD 1 B y c) DE // BC vaø DE BC C 2 D Bài 38: Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lần lượt lấy hai điểm B và C, trên tia Oy lần lượt lấy hai điểmA và D sao cho OA = AB, OD = OC. Gọi I là giao điểm của AC và BD. A I Chứng minh a) OBD OAC x O b) AI = IB B C c) OI là tia phân giác của góc xOy N E Bài 39: Cho tam giác ABC. vẽ phía ngoài các tam giác ABC O các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. D M Kẽ AH  BC, DM  AH, EN  AH. Chứng minh rằng: a) DM = AH A b) EN = AH. Có nhận xét gì về DM và EN c) Gọi O là giao điểm của AN và DE. Chứng minh rằng O là trung điểm của DE B H C 21