Khảo sát học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 7

Nội dung text: Khảo sát học sinh giỏi cấp huyện - Môn: Toán 7

1. UBND HUYỆN THÁI THỤY KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3 điểm ) 2012 1- Tìm x và y thoả mãn : 2x 2011 3y 2012 0 2- Có tìm được hai chữ số a và b để 2011ab là bình phương của một số tự nhiên không? Vì sao ? Bài 2 (3 điểm ) x y y z 2x 3y 4z 1. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z 2- Cho các số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac và c2 = bd a3 b3 c3 a Chứng minh rằng: b3 c3 d 3 d Bài 3 (4 điểm ) 1 1 1 1 1 . Tính : P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 2012) 2 3 4 2012 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 6 6 6 6 6 6 x 2- Tìm x thoả mãn : . 2 35 35 35 25 25 Bài 4 (2 điểm ) Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau. Bài 5 (8 điểm) Cho tam giác ABC có Bµ < 900 và Bµ = 2Cµ . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. 1- Chứng minh: B· EH ·ACB 2- So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA. 3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ? 4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2 Họ và tên : Số báo danh : HƯỚNG DẪN CHẤM HSG MÔN TOÁN 7
2. NĂM HỌC 2011-2012 Bài Nội dung Điểm 1- Tìm x và y thoả mãn : 2x 2011 3y 2012 2012 0 2x 2011 0 x Nhận xét: 2012 3y 2012 0 y Đẳng thức xảy ra khi 2x – 2011 = 0 và 3y + 2012 = 0 0.75đ 2011 2012 Tìm được x = và y = Bài 1 2 3 0.75đ (3đ) 2- Có tìm được hai chữ số a và b để 2011ab là bình phương của một số tự nhiên không? Vì sao ? 0.75đ Ta có: 0 ab 99 201100 2011ab 201199 4482 2011ab 4492 0.25đ 448 và 449 là hai số tự nhiên liên tiếp nên 2không011ab là bình phương của một 0.5đ số tự nhiên x y y z 2x 3y 4z 1. Cho và . Tính M = 3 4 5 6 3x 4y 5z x y x y y z y z x y z ; (1) 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 0.5đ 2x 3y 4z 2x 3y 4z 3x 4y 5z 3x 4y 5z Từ (1) và 30 60 96 30 60 96 45 80 120 45 80 120 0.25đ 0.25đ 2x 3y 4z :3x 4y 5z =2x :3x = 1 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 3x 4y 5z : = 1 0.25đ Bài 2 30 60 96 45 80 120 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 (3đ) . 1 M 0.25đ 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 2- Cho các số a; b ; c ; d thỏa mãn : b2 = ac và c2 = bd a3 b3 c3 a Chứng minh rằng: b3 c3 d 3 d a b c a3 b3 c3 a3 b3 c3 Từ b2 = ac và c2 = bd ta có : = (2) b c d b3 c3 d 3 b3 c3 d 3 0.75đ a3 a.a.a a a a a b c a Mà . . . . (3) b3 b.b.b b b b b c d d 0.5đ Từ (2) và (3) có điều cần chứng minh 0.25đ 1 . Tính : 1 1 1 1 P = 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 2012) 2 3 4 2012 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 2012.2013 = 1 . . . . 0.75đ Bài 3 2 2 3 2 4 2 2012 2 (4đ) 2 3 4 5 2013 1 0.5đ . 2 3 2013 2 2 2 2 2 2 1 1 2012.2013 2025077 1 2 3 2013 1 1 2 2 2 2 0.75đ
3. 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 2- Tìm x thoả mãn : . 2x 35 35 35 25 25 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 4.45 6.65 46 66 . . = . 35 35 35 25 25 3.35 2.25 36 26 6 6 1.0đ 6 4 12 x 12 = . 2 2 2 x = 12 3 2 1.0đ Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau. * Với x = 0 ta có - 2012 . f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức có 1 nghiệm x = 0 Bài 4 0.5đ * Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) 0.5đ (2đ) Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0 0.5đ Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011 0.25đ Từ đây suy ra điều cần chứng minh 0.25đ Cho tam giác ABC có Bµ < 900 và Bµ = 2Cµ . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. A 1 D B 2 1 H B’ C E Bài 5 · · (8đ) 1- Chứng minh: BEH ACB µ ¶ Tam giác BEH cân tại B nên E H1 0.5đ µ · µ ¶ µ · · 1.0đ Mà 2C ABC E H1 2E . Vậy BEH ACB 2-.So sánh độ dài của ba đoạn thẳng : DH ;DC và DA. 0.5đ Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC = DH. (1) D· AH 900 Cµ 0.5đ Chứng minh được · 0 ¶ 0.5đ DAH 90 H2 · · Suy ra DAH AHD DAH cân tại D nên DA = DH. (2) 0.5đ Từ (1) và (2) ta có : DC = DH = DA 0.5đ 3- Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Tam giác AB’C là tam giác gì ? Vì sao ? · ' · ' µ · ' µ µ ABB’ cân tại A nên AB B ABB 2C , mà AB B A1 C 1.0đ µ µ µ µ µ Vậy 2C A1 C A1 C . Kết luận : Tam giác AB’C cân tại B’
4. 1.0đ 4- Chứng minh : Nếu tam giác ABC vuông tại A thì: DE2 = BC2 – AB2 Chứng minh được: Khi tam giác ABC vuông tại A thì ·ABC 600 ; ·ACB 300 Chứng minh được: Tam giác AHD đều nên DA= AH 0.5đ 0.5đ Chứng minh được : AHC DAE suy ra : DE = AC 0.5đ Do AC2 = BC2 – AB2 từ đó DE2 = BC2 – AB2 0.5đ Lưu ý: - Trên đậy là hướng dẫn chấm, đề nghị trước khi chấm tổ nghiên cứu kỹ và thống nhất - Điểm bài thi tính đến 0,25 điểm - Không cho điểm hình vẽ, song nếu không có hình thì không chấm phần chứng minh hình - Học sinh có các cách giải khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa
5. Bài 1: (2,0 điểm) =28 7x 28 4y 0,25 x y x y 0,25 4 7 4 7 x y 22 2 x 8; y 14 0,25 4 7 11 x y x y y z y z x y z ; (1) 0,25 3 4 15 20 5 6 20 24 15 20 24 2x 3y 4z 2x 3y 4z (1) 0,25 30 60 96 30 60 96 3x 4y 5z 3x 4y 5z (1) 0,25 45 80 120 45 80 120 2x 3y 4z 3x 4y 5z 2x 3x : =: 0,25 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186 . 1 M 0,25 186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245 Bài 2: ( 2,0 điểm) Thực hiện tính: 2S = 22011 22010 22009 22 2 0,25 2S-S = 22011 22010 22010. 22009 22009 22 22 2 2 1 0,25 S = 22011 2.22010 1 0,25 S 22011 22011 1 1 0,25 1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 16.17 P = 1 . . 0,25 2 2 3 2 4 2 16 2 2 3 4 5 17 . 0,25 2 2 2 2 2 1 1 2 3 17 1 0,25 2 1 17.18 1 76 0,25 2 2 Bài 3: ( 2,0 điểm) 1 2 3 4 5 30 31 . . . . . 2 x 0,25 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 26 1.2.3.4 30.31 2 x 0,25 1.2.3.4 30.31.230.26 1 2 x 0,25 236
6. x 36 0,25 4.45 6.65 . 2 x 0,25 3.35 2.25 46 66 . 2 x 0,25 36 26 6 6 6 4 . 2 x 0,25 3 2 212 2 x x 12 0,25 Bài 5: Cho tam giác ABC có Bµ < 900 và Bµ = 2Cµ . Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D. a. Chứng minh BEH = ACB. b. Chứng minh DH = DC = DA. c. Lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh tam giác AB’C cân. d. Chứng minh AE = HC. Câu a: 0,75 điểm Hình vẽ: 0,25 BEH cân tại B nên E = H1 0,25 ABC = E + H1 = 2 E A 0,25 ABC = 2 C BEH = ACB 1 Câu b: 1,25 điểm D Chứng tỏ được DHC cân tại D nên DC = DH. DAH có: 2 0,50 B DAH = 900 – C 1 H B’ C 0 0 DHA = 90 - H2 =90 – C DAH cân tại D nên DA = DH. E DAH có: 0,25 DAH = 900 - C 0 0 0,25 DHA = 90 - H2 =90 - C DAH cân tại D nên DA = DH. 0,25 Câu c: 1,0 điểm ABB’ cân tại A nên B’ = B = 2C 0,25 B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C C = A1 AB’C cân tại B’ 0,50 B’ = A1 + C nên 2C = A1 + C 0,25 C = A1 AB’C cân tại B’ Câu d: 1,0 điểm
7. AB = AB’ = CB’ BE = BH = B’H Có: AE = AB + BE 0,25 HC = CB’ + B’H AE = HC BE = BH = B’H 0,25 Có: AE = AB + BE HC = CB’ + B’H 0,50 AE = HC Bài 4 (2,5 điểm) Cho đa thức f(x) thoả mãn : x. f(x - 2011) = (x - 2012) . f(x) . Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm khác nhau. * Với x = 0 ta có - 2012 . f(0) = 0.f(- 2011) = 0 hay f(0) = 0 , vậy đa thức có 1 nghiệm x = 0 * Với x = 2011 ta có 2011 f(2011- 20111) = (2011-2012) f(2011) Như vậy -1 f(2011) = 2011.f(0) = 0 , nên f(2011) = 0 Vậy đa thức có 1 nghiệm x = 2011 Từ đây suy ra điều cần chứng minh