Giải phương trình chứa căn như thế nào?

Nội dung text: Giải phương trình chứa căn như thế nào?

1. Chuẩn bị thi vào đại học Giải Phương Trình chứa căn như thế nào? Khi các bạn giải phương trình (PT) dạng ax b cx d , chúng ta đều biết bình phương 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PTax b cx 2 dx e có giải được bằng phương pháp đó được nữa không? Xin trả lời trừ một số trường hợp đặc biệt. Vậy thì có phương pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc chưa trả lời được, Ví dụ khi giải PT sau: 1 9x 5 3x 2 2x 3,ta đặt9x 5 3y 1, y , rồi khi giải PT: 3 1 x 2 x 2004 1 16032x 2004 , ta đặt 1 16032x 2t 1,t . 2 Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có được phép đặt như vậy( Đã có một chuyên đề được đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phương pháp giải). Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phương pháp sau sẽ giải quyết bước chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phương pháp cụ thể: 1 a 2c c Dạng 1:ax b x 2 cx d,(a 0) và thỏa mãn b ad 1 (*). Xét hàm a 2 2 1 2 ac số y x 2 cx d =>f '(x) x c 0 x , khi đó bằng phép đặt a a 2 ac ax b y , ta sẽ đưa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc. 2 Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn. Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó. 29 12x 61 Ví dụ: Giải PT sau: 3x 2 x 6 36 29 1 Làm nháp:f (x) 3x 2 x =>f '(x) 6x 1 0 x . 6 6 12x 61 1 1 12x 61 1 1 Giải: Đặt y ,y y 2 y 36 6 6 36 3 36 12x+61 = 36y2 +12y +1 3y2 + y = x +5 (1) 29 1 Mà theo cách đặt ta có: 3x 2 x y 3x2 + x = y +5 (2) 6 6 3y 2 y x 5 Từ (1) và (2) ta có hệ: => 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y 2 3x x y 5 3x 2 (x-y)(3y + 3x +2) = 0 y = x hoặc y . 3
2. 5 1 * Với y = x => 3y2 = 5 =>y = x = ,(y ). 3 6 3x 2 3x 2 * Với y => 3x2 + x = +5 9x2 +6x - 13 = 0 3 3 3 126 => x . Từ đây ta tìm được y và kết luận được nghiệm của PT đã cho. 1,2 9 2 1 Dạng 2: ax b cx dx e,(a 0,c 0,a ) c d Xét f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => x , khi đó bằng phép đặt 2c ax b 2cy d . Ví dụ1: Giải PT sau: 9x 5 3x 2 2x 3 Làm nháp: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3. 1 Giải: Đặt 9x 5 3y 1, y 3 => 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 9y2 + 6y = 9x – 6 3y2 + 2y = 3x – 2 (1) Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 3x2 + 2x = 3y – 2 (2) 3y 2 2y 3x 2 Từ (1) và (2) ta có hệ đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải như 2 3x 2x 3y 2 ví dụ trên. Ví dụ 2: Giải PT sau: x 2 x 2004 1 16032x 2004 (Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004). 1 Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 x = 2 1 Do a , nên ta sử dụng phương pháp đặt: c 1 Giải: Đặt 1 16032x 2t 1,t => t2 – t = 4008x, (1) 2 Mặt khác do từ PT ta có: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2) t 2 t 4008x Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau: 2 x x 4008t => (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t) (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0 t = x hoặc t = - x – 4007. * Với t = x ta có: x2 – 4009x = 0 x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa mãn. * Với t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) x2 +4007x – 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm.
3. KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009. 3 2 1 Dạng 3: 3 ax b cx dx ex m,(a 0,c 0,a ) c Xét hàm số f(x) = cx3 dx2 ex m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e d => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x , Khi đó bằng phép đặt: 3c d 3 ax b y 3c 63 x3 3 9 Ví dụ: Giải PT sau: 3 3x x 2 x 8 3 2 4 x3 3 9 Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x2 x => f’(x) = x2 - 3x +9/4 => 3 2 4 3 f’’(x) = 2x – 3 = 0 x . 2 63 3 63 9 27 27 Giải: Đặt 3 3x y => 3x y 3 y 2 y 8 2 8 2 4 8 9 9 27 3x y 3 y 2 y 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1). 2 2 4 3 x 3 3 9 Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có: y x 2 x 2 3 2 4 12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2). 12x 18 4y 3 18y 2 27y Từ (1) và (2) ta có hệ: ( việc giải hệ này xin dành cho 3 2 12y 18 4x 18x 27x độc giả) 3 2 1 Dạng 4: 3 ax b cx dx ex m,(a 0,c 0,a ) c Xét hàm số f(x) = cx3 dx2 ex m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e d => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x , Khi đó bằng phép đặt: 3c 3 ax b 3cy d Ví dụ: ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau: 4 3 81x 8 x3 2x 2 x 2 3 4 Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x3 2x2 x 2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 3 2 1 => f’’(x) = 6x – 4 = 0 x do a . 3 c
4. 4 Giải: Đặt 3 81x 8 3y 2 => 3x = y3 – 2y2 +y ,( Biến đổi tương tự ta có hệ) 3 4 3y x 3 2x 2 x 3 13 => (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + ) = 0(*), 4 3 3x y 3 2y 2 y 3 13 1 1 1 1 Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + = (x y) 2 (x 2) 2 (y 2) 2 0 , nên từ 3 2 2 2 3 3 2 4 3 2 6 (*) ta có x = y => 3x = x – 2x +x => x1= 0 ; x2,3 = 3 3 Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua một số ví dụ dưới đây. Hy vọng rằng phương pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phương trình chứa căn. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập ! Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau: 1) x 2 2 x 2 2) x 2 4x 3 x 5 3) x 3 2 33 3x 2 4) 3x 1 4x 2 13x 5 5) x 1 x 2 4x 5 4x 9 6) 7x 2 7x 28 Phan Hoàng Ninh GV Trường THPT Lục Ngạn số 1 – Bắc Giang