Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Dự bị 1 khối D - 2006

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán - Dự bị 1 khối D - 2006

1. ĐỀà DỰ BỊ 1 – KHỐI D – 2006 Phần Chung Cho Tất Cả Các Thí Sinh Câu I (2 đ) x3 11 Cho hàm số y = −++−xx2 3 33 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho 2) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. Câu II (2 đ) 1) Giải phương trình: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1 22 ⎪⎧xxyy−+=3() xy − 2) Giải hệ phương trình: (,x yR∈ ) ⎨ 22 3 ⎩⎪xxyy++=7() xy − Câu III (2 đ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, Cho mp (P): x yz−31+ xyz−−43 4x – 3y + 11z – 26 = 0 và hai đường thẳng d1: ==, d2: == −12 3 112 1) Chứng minh rằng: d1 và d2 chéo nhau 2) Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trên (P), đồng thời Δ cắt cả d1, d2 Câu IV (2 đ) π 2 1) Tính tích phân: I = ∫ ()sinx +12xdx 0 2) Giải phương trình: 42xx−++1 221()sin() x − 2 x +−+=y 120 Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu Va hoặc câu Vb Câu Va (2đ) Theo chương trình THPT không phân ban (2 đ) 1) Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – y + 1 – 2 = 0 và điểm A(-1, 1). Viết phương trình đường tròn (C) đi qua A, O và tiếp xúc với d 2) Một lớp học có 33 học sinh, trong đó 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy ? Câu Vb (2 đ) Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 đ) xx+1 1) Giải phương trình: log33 (31−− )log ( 3 36 ) = 2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mp bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài giải
2. Câu I 1/ Dành cho độc giả 2/ Gọi M(x1,y1),N (x2,y2) ∈(C) đối xứng qua oy.Ta có ⎧xx21=− ≠0 ⎧xx21=− ≠0 ⎪ ⎨⎨⇔ xx3311 11 yy= 1122 ⎩ 21 ⎪ +−xx1133 −=−++xx11 − ⎩ 3333 ⎧ ⎧⎧ ⎪xx=− ≠0 ⎪⎪ x==33 x− ⎪ 21⎪⎪ 1 2 ⇔ ⎨⎨⎨⇔⇔ ⎪⎪⎪3 16 16 yy== ⎪⎪⎪2x1 −=60x 12 ⎩ 3 1 ⎩⎩33 ⎛⎞16 ⎛16 ⎞ ⎛⎞16 ⎛⎞16 ⇒ M ⎜⎟3, ; N ⎜−3, ⎟ hoặc M ⎜⎟−3, ; N ⎜⎟3, ⎝⎠3 ⎝⎠3 ⎝⎠3 ⎝⎠3 Câu II 1/ Giải pt: cos3x+sin3x+2sin2x=1 (1) (1) ⇔ (sinx+cosx)(1-cosxsinx)-cos2x=0 ⇔ ()cosx+sinx⎣⎦⎡−10 sinxcosx- () cosx-sinx ⎤= ⇔−cosx+sinx=0hay()()10 cosx sinx+1 = ⇔ tgx=-1vcosx=1vsinx=-1 ππ ⇔+x = - kπ hay x = k2ππ hay x= - + k2 42 ⎧ x-x22y+ y =3(x-y) ⎪ 2/ Giải hệ pt: ⎨ (I) ⎪ 22 2 ⎩⎪x+xy+ y =7(x-y) ⎧x-y=u ⎪ Đặt ⎨ Hệ thành ⎪ ⎩⎪ xy=v ⎧⎧uu22-3u+v=03 -3u=0⎧ u=0⎧ u=1 ⎪⎪⎪ ⎪ ⇔ ⎨⎨⎨⇔⇔hay ⎨ ⎪⎪⎪22⎪ ⎩⎩v= 2u v= 2u⎩ v=0⎩ v=2 ⎧u=x-y=0 ⎪ * ⎨ ⇔ x ==y 0 ⎪ ⎩⎪ v=xy=0 ⎧⎧⎧u=x-y=1 x=2 x=-1 ⎪⎪⎪ * ⎨⎨⎨⇔ hay ⎪⎪⎪ ⎩⎩⎩⎪⎪⎪xy=2 y=1 y=-2 Câu III
3. r Ta có d1 qua M(0,3,-1) VTCP a =(-1,2,3) r d2 qua N(4,0,3) VTCP b =(1,1,2) ⎡⎤r r uuuur ⎡⎤r ruuuur ⎣⎦ab,(,,),(,,=−15 3 MN =− 4 3 4) ; ⎣⎦ab, MN= 41512230−−=−≠⇒ d1,d2 chéo nhau. 2/ Đường thẳng Δ nằm trong mp (P) và cắt cả d1,d2 nên Δ đi qua các giao điểm của d1,d2 với (P). ⎧ xy−+31 z ⎪ == ⎪ −12 3 AA⎨ ⇒−(,,275) ⎪4xy−+ 3 11 z −= 26 0 ⎩⎪ ⎧ xyz−−43 == ⎪ 112 uuur BB⎨ ⇒−⇒(,311 ,)AB (, 584 −− , ) ⎪ ⎩4xy−+ 3 11 z −= 26 0 xy+−−27z 5 pt đường thẳng Δ qua A,B là == 58− −4 Câu IV π ⎧ 2 ⎪ u=+⇒ x1 du = dx 1/ Tính I= ()sinx+12xdx Đặt ⎪ ∫ ⎨ 0 1 ⎪dv==sin22 xdx ,chọn v− cos x ⎩⎪ 2 π 2 ∫ ()sinxxdx+12 0 π π x+1 2 1 2 π =− cos22 x+∫ cos xdx = +1 240 2 0 2/ Giải pt 4x-2x+1+2(2x-1)sin(2x+y-1)+2=0 Đây là pt bậc 2 theo t = 2x có Δ≤0 nên 2 pt ⇔−++−+⎡⎤21xxsin( 2y 1 ) cos2 ( 2x +−= y 1 ) 0 ⎣⎦⎢⎥ ⎧ xx ⎪21−+sin( 2 +y − 101 ) = ( ) ⇔ ⎨ x ⎩⎪cos()(2102+−= y )
4. (2) ⇔ sin(2x+y-1)= ± 1 • Với sin(2x+y-1)=1 thay vào (1) ta có 2x = 0 (loại) • Với sin(2x+y-1)=-1 (3) thế vào (1) ta có 2x = 21 ⇔ x=1 π Thế x=1 vào (3) ta có sin(1+y)= -1 ⇔ yk=− −12 + π 2 Câu Va 1/ Viết pt đường tròn (C) Vì (C) qua gốc O nên pt (C):x2+ y2+2ax+2by=0 A(-1,1)∈(C)=>2-2a+2b=0 =>b = a-1 ⇒ pt(C): x2+ y2+2ax+2(a-1)y=0 2 ⇒ (C) có tâm I(-a,1-a) và bán kính R= 22aa− +1 Do (C) tiếp xúc đt (d): x - y + 1 - 2 = 0 nên −−−aa()112 +− 2 R=d(I,d) 221aa2−+= = =1 22 220aa2 −=⇔= aha 0y a =1. Vậy có 2 đường tròn (C) 2 2 2 2 (C1):x + y -2y=0 (C2):x + y + 2 x=0 2/ Số cách lớp học thành 3 tổ, có 3 trường hợp. *TH1: 37 Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam ⇒ CC726 29 Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam ⇒ CC419 210 Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam ⇒ CC210 = 1 37 29 Vậy ta có CC726419 CC *TH2: 28 Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam ⇒ CC726 38 Tổ 2 có 3 nữ, 8 nam ⇒ CC518 210 Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam ⇒ CC210 28 38 Vậy ta có CC726518 CC *TH3: 28 Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam ⇒ CC726 29 Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam ⇒ CC518 39 Tổ 3 có 3 nữ, 9 nam ⇒ CC39 28 29 Vậy ta có CC726518 CC Theo quy tắc cộng ta có : 37 29 28 38 28 29 CC726419 CC + CC726518CC +CC726518CC Câu Vb 1/ Giải pt: : ()(xx−−+1 )= (1) log333331 log 6 x đặt t=log3(3 -1) thì
5. (1) ⇔ t(t+1)=6 ⇔ t2+t-6=0 ⇔ t = 2 hay t = -3 x x 2 * t=2 ⇒ log3(3 -1) =2 3 -1=3 =9 ⇔ x=log310 x x 1 28 * t=-3 ⇒ log3(3 -1)=-3 ⇔ 3 -1= ⇔ log3 27 27 2/ Tính VSABCD Vì S.ABCD là hình chóp đều ⇒ H là tâm của ABCD. Gọi M là trung điểm của BC, K là hình chiếu vuông góc của H lên SM. Ta có BC⊥ SH ⎪⎫ ⎬ ⇒ BCSHM⊥() BC⊥ HM ⎭⎪ ⇒ (SBC) ⊥ (SHM) mà HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ (SBC) => HK= 2I J =2 b Trong tam giác vuông SHM ta có 111 114 =+ ⇔=+ HK22 SH HM 24 b 22 SH a 2 2ab 12ab3 =>SH = . VSSABCD ==HdtABCD.( ) ab22−16 33ab22−16 Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh - Lưu Nam Phát (Trung Tâm Luyện Thi Vĩnh Viễn)