Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2022 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Năm học 2022 (Có đáp án)

1. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 ĐỀ THI THỬ THPT QG 2022 MÔN: TOÁN ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ 1 Thời gian: 90 phút Họ và tên: SBD: 2x 3 x2 5x 7 1 Câu 1. Số nghiệm nguyên của bất phương trình : 7 là: 7 A. 8. B. 3. C. 6. D. 2. Lời giải Ta có : 2x 3 x2 5x 7 1 x2 5x 7 2x 3 2 7 7 7 x 5x 7 2x 3 7 loi x2 3x 10 0 5 x 2. Câu 2. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình bên dưới. Số nghiệm của phương trình f x 5 là: A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Lời giải Từ bảng biến thiên trên ta thấy đường thẳng y 5 cắt đồ thị hàm y f x tại một điểm duy nhất. 1 2x Câu 3. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y là x 2 A. x 2 . B. y 1. C. x 2 . D. y 2. Lời giải 1 1 2 2 1 2x 1 2x Ta có: lim y lim lim x 2 và lim y lim lim x 2 x x x 2 x x x 2 x 2 1 x 2 1 x x Suy ra: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y 2 làm tiệm cận ngang. Câu 4. Với a là số thực dương tùy ý, log a6 bằng a4
2. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 2 3 A. . B. . C. 24 . D. 10. 3 2 Lời giải 6 6 3 Ta có: log 4 a loga a . a 4 2 Câu 5. Hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1;3 . B. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1;1 . C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1; 1 . D. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là 1; 1 . Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là 1; 1 . Câu 6. Cho hàm số y f (x) liên tục trên đoạn  3;3 và có đồ thị như hình vẽ. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn  3;3 bằng A. 9 . B. 4 . C. 0 . D. 3 . Lời giải
3. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Chọn C Từ đồ thị hàm số ta thấy trên đoạn  3;3 Giá trị lớn nhất max f x 3 khi x 2.  3;3 x 3 Giá trị nhỏ nhất min f x 3 khi x 1  3;3 x 3 max f x min f x 3 3 0  3;3  3;3 4 3 Câu 7. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ và f x x 2 x 3 1 2x . Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị? A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải x 2 4 3 Ta có f x 0 x 2 x 3 1 2x 0 x 3 1 x 2 Ta thấy nghiệm x 3 là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên Vậy hàm số y f x có 2 điểm cực trị. Câu 8. Nghiệm của phương trình log3 2x 1 2 là A. x 4 . B. x 3.C. x 1.D. x 2 . Lời giải 1 2x 1 0 x Ta có log3 2x 1 2 2 2 x 4. 2x 1 3 x 4 Câu 9. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ. x 1 2 y ' 0 0 1 y 3 Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại A. x 1.B. x 2 . C. x 3. D. x 1.
4. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Lời giải Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số liên tục trên tập ¡ và y ' đổi dấu từ sang khi x đi qua điểm 1 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x 1. Câu 10. Cho hàm số y x4 2x2 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng 2; . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 . Lời giải  TXĐ: D ¡  Ta có y ' 4x3 4x x 0 y ' 0 x 1  Bảng biến thiên  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 2; . Câu 11. Cho khối chóp S.ABC có diện tích mặt đáy và thể tích lần lượt là a2 3 và 6a3 . Độ dài chiều cao của khối chóp S.ABC là 2a 3 A. a 3 . B. . C. 6a 3 . D. 2a 3 . 3 Lời giải 1 3V 3.6a3 Theo công thức thể tích khối chóp ta có V hS h 6a 3 . 3 S a2 3 x b Câu 12. Cho hàm số y b,d ¡ có đồ thị như hình vẽ. x d
5. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Khẳng định nào sau đây đúng ? A. b 0, d 0. B. b 0, d 0. C. b 0, d 0. D. b 0, d 0 . Lời giải Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x d . Dựa vào đồ thị d 0 d 0 . Đồ thị giao với Ox tại điểm có hoành độ b . Dựa vào đồ thị b 0 b 0 . Câu 13. Tập nghiệm của bất phương trình log 1 2x 1 1 là 2 1 1 1 1 1 1 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 2 2 2 2 2 2 Lời giải 2x 1 0 1 x 1 2 Ta có log 1 2x 1 1 1 . 2 2x 1 1 2 x 2 1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ; . 2 2 Câu 14. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 3a . Diện tích toàn phần của hình nón đó bằng. 27 a2 9 a2 A. .B. 9 a2 . C. 4 a2 .D. . 4 4 Lời giải S A 60 O B Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh 3a nên bán kính đường tròn đáy của 3a hình nón bằng r OB . Khi đó đường sinh của hình nón bằng l SB 3a . 2 Vậy diện tích toàn phần của hình nón bằng: 2 2 2 3a 3a 27 a Stp Sđ Sxq r rl . .3a . 2 2 4 3 Câu 15. Hàm số y ln x 1 đồng biến trên khoảng nào? x 1
6. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 1 1 A. 1;2 . B. ;1 .C. ; .D. 2; . 2 2 Lời giải Chọn D Điều kiện xác định của hàm số x 1. 1 3 x 2 Ta có y 0 x 2 . x 1 x 1 2 x 1 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu 16. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y f x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? A. 5. B. 3 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn A Ta có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ: Từ đồ thị ta có số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x là 5. Câu 17. Cho hàm số y ax3 bx2 cx d có đồ thị như hình dưới. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. a 0,b 0,c 0,d 0 .B. a 0,b 0,c 0,d 0 . C. a 0,b 0,c 0,d 0.D. a 0,b 0,c 0,d 0.
7. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Lời giải - Dựa vào hình dáng của đồ thị suy ra hệ số a 0 . - Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên d 0 . - Ta thấy đồ thị như hình vẽ có hai điểm cực trị, hoành độ các điểm cực trị trái dấu suy ra 2 phương trình y 3ax 2bx c 0 có 2 nghiệm x1, x2 trái dấu kéo theo 3a.c 0 c 0 . 2b - Mặt khác x x 0 b 0 . 1 2 3a Câu 18. Cho a log12 6 và b log12 7 . Khi đó log2 7 tính theo a và b bằng: a a b a A. . B. . C. . D. . b 1 a 1 1 a b 1 Lời giải log12 7 log12 7 b Ta có: log2 7 . log12 2 log12 12 log12 6 1 a Vậy chọn đáp án C. 2 Câu 19. Với a,b là các số thực dương tuỳ ý, log3 (ab ) bằng 1 A. 2log3 a.log3 b . B. log3 a log3 b . C. 2(log3 a log3 b) . D. log3 a 2log3 b . 2 Lời giải 2 2 Do a 0,b 0 ta có: log3 (ab ) log3 a log3 b = log3 a 2log3 b . Câu 20. T là tập nghiệm của phương trình log2 x log2 x 1 1: A. T 2 .B. T 1;2 . C. T 1;2 . D. T 1;1;2 . Lời giải x 0 Điều kiện: x 1 x 1 0 PT : log2 x log2 x 1 1 log2 x x 1 1 x 1 l x x 1 2 x2 x 2 0 x 2 tm Vậy phương trình có tập nghiệm là T 2 . x 1 Câu 21. Giá trị lớn nhất của hàm số y trên đoạn0;2 là: x 2 1 1 A. 2. B. 0. C. . D. . 4 2 Lời giải 3 Ta có y ' 0 x 0;2 nên hàm số đồng biến trên 0;2 . x 2 2 1 Vậy max y(2) . [0;2] 4
8. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 3x 1 x 3 Câu 22. Tìm tất cả đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y x2 2x 3 A. x 1 và x 3. B. x 1 và x 3. C. x 3 . D. x 3. Lời giải x 3 Điều kiện : x 3;1 3x 1 x 3 lim y lim 2 x 3 là tiệm cận đứng . x 3 x 3 x 2x 3 11 lim y lim y Suy ra không có tiệm cận đứng x 1. x 1 x 1 16 Câu 23. Hình trụ có bán kính đáy a và chu vi thiết diện qua trục là 10a . Tính thể tích V của khối trụ đã cho. V 4 a3 A. V a3 . B. V 3 a3 . C. V 4 a3 . D. . 3 Lời giải Theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ r a . Chu vi thiết diện qua trục là 10a , nên ta có 2(h 2a) 10a h 2a 5a h 3a . Ta có chiều cao của khối trụ: h 3a . Thể tích khối trụ: V r 2h .a2.3a 3 a3 . mx 3 Câu 24. Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y đi qua điểm x 4m A 2;4 ? 1 A. m 1. B. m 2 . C. m 4 . D. m . 2 Lời giải Chọn C mx 3 Xét hàm số y . x 4m
9. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Tập xác định D ¡ \ 4m. Ta có lim y lim y m . x x Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng d : y m . A 2;4 d nên m 4 . Câu 25. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên: Giá trị m để đồ thị hàm sô y f x cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt là A. 3 m 7 . B. 1 m 7 . C. m 7 . D. m 1 . Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y f x cắt đường thẳng y m tại ba điểm phân biệt khi 1 m 7 . Vậy ta chọn B. Câu 26. Cho khối nón có chiều cao h 3và đường kính đáy d 6 . Thể tích của khối nón đã cho bằng A. 9 . B. 36 . C. 6 . D. 12 . Lời giải 1 Ta có bán kính đáy của khối nón là r d 3. 2 Thể tích khối nón đã cho bằng 1 1 V r 2h .32.3 9 . 3 3 Câu 27. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có góc giữa hai mặt phẳng (A¢BC) và (ABC) bằng 60°, cạnh AB = 2a. Thể tích V của khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ bằng A. 6a3. B. 3a3 3. C. a3 3. D. 2a3. Lời giải A' C' B' A C M B Lấy M trung điểm BC Þ A¢M ^ BC và AM ^ BC
10. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Khi đó ((A¢BC);(ABC))= ·A¢MA = 60°. 2 Theo đề bài VABC đều cạnh 2a Þ SV ABC = a 3; AM = a 3. Xét VA¢MA vuông tại A ta có AA¢= AM.tan ·A¢MA = 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ V = a2 3.3a = 3a3 3 Câu 28. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực tiểu trên khoảng a;b ? A. 4 . B. 2 . C. 7 .D. 3 . Lời giải Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số y f x có 3 điểm cực tiểu trên khoảng a;b . 2 Câu 29. Tập xác định của hàm số y x2 5x 6 3 là A. D ¡ . B. D ¡ \{2;3}. C. D ;2  3; . D. D 2;3 . Lời giải Ta có hàm số xác định khi x 2 5x 6 0 2 x 3 . Vậy tập xác định của hàm số là D 2;3 . Câu 30. Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B 8 và chiều cao h 6 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho. A. 24 . B. 16. C. 48 . D. 14. Lời giải Ta có V B.h 8.6 48. · 0 Câu 31. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Biết AA' 2a, AB a, AC a 3, BAC 135 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' ? a3. 6 a3. 6 3.a3 a3. 6 A. B. C. D. 3 6 2 2 Lời giải
11. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 A C B A' C' B' AB.AC.sin B· AC a.a 3.sin1350 a2 6 Ta có : S . ABC 2 2 4 6a2 a3 6 Thể tích lăng trụ ABC.A'B'C' là V AA'.S 2a. ABC.A'B'C ' ABC 4 2 2 Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA , SB , SC đôi một vuông góc. Biết diện tích các tam giác S SAB a , 2 2 S SBC 2a , S SCA 2a . Tính thể tích V của khối chóp SABC theo a . 4a3 2a3 A. V . B. V 2a3 . C. V . D. V 4a3 . 3 3 Lời giải Chọn C A S B C Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các cạnh SA, SB, SC . Ta có: 1 S xy a2 xy 2.a2. SAB 2 1 S yz 2.a2 yz 2 2.a2. SBC 2 1 S xz 2.a2 xz 2 2.a2. SCA 2
12. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Do đó yz xz x y. Nên x2 2a2 x a 2 và y a 2 . Khi đó z 2a . 1 1 2 2 V xyz a 2 .2a a3 . SABC 6 6 3 2x 1 Câu 33. Biết đường thẳng y x 2 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B có hoành x 1 độ lần lượt xA , xB . Khi đó xA xB là: A. xA xB 1.B. xA xB 5. C. xA xB 2 . D. xA xB 3. Lời giải Chọn B + Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 1 x 1 x 2 2 * x 1 x 5x 1 0 2x 1 + Đường thẳng y x 2 cắt đồ thị hàm số y tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x 1 lần lượt xA , xB . Do vậy xA , xB là các nghiệm của phương trình * xA xB 5 . Câu 34. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB 4a , BD 5a . Thể tích của khối trụ nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quang trục AD là A. V 48 a3 . B. V 45 a3 . C. V 36 a3 . D. V 80 a3 . Lời giải 4a A B 5a D C Chiều cao của khối trụ là h AD BD2 AB2 25a2 16a2 3a . Bán kính đáy của khối trụ là r AB 4a . Vậy thể tích của khối trụ là V r 2h 4a 2 3a 48 a3 . 1 Câu 35. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x3 mx2 m2 4 x 3 đạt cực đại tại x 3 3 A. m 1. B. m 1. C. m 5. D. m 7. Lời giải
13. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Tập xác định D ¡ . y x2 2mx m2 4 . 2 m 1 Hàm số đạt cực đại tại x 3 suy ra y 3 0 9 6m m 4 0 . m 5 y 3 0 2 Với m 1 ta có y x 2x 3, y 2x 2 , có suy ra hàm số đạt cực tiểu y 3 2.3 2 0 tại x 3. Vậy loại m 1. y 3 0 2 Với m 5 ta có y x 10x 21, y 2x 10 , có suy ra hàm số đạt cực y 3 2.3 10 0 đại tại x 3. Vậy m 5 là giá trị cần tìm. x Câu 36. Cho a,b,c là ba số thực dương và khác 1. Đồ thị các hàm số y a , y logb x, y logc x được cho trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. a b c . B. c b a . C. b c a . D. b a c . Lời giải Đường thẳng x 1 cắt đồ thị hàm số y a x tại điểm M (1;a) . Khi đó, gọi A(0;a) là hình chiếu của điểm M trên trục Oy . Đường thẳng y 1 cắt các đồ thj hàm số y logb x và y logc x lần lượt tại N(b;1) và P(c;1) . Khi đó, gọi B(b;0) và C(c;0) lần lượt là hình chiếu của N và P trên trục Ox . Nhận thấy OB OA OC nên b a c .
14. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Tam giác SAB cân tại S và a3 SAB vuông góc với ABCD . Giả sử thể tích của khối chóp S.ABCD là . Gọi là góc 3 tạo bởi SC và ABCD . Tính cos 5 5 21 2 A. cos . B. cos . C. cos . D. cos . 3 21 5 5 Lời giải Gọi H là trung điểm của AB SH  AB Tam giác SAB cân tại S và SAB vuông góc với ABCD nên SH  ABCD . a 5 Ta có CH BC 2 BH 2 . 2 Mặt khác CH là hình chiếu của SC lên mặt phẳng ABCD nên S· CH 0 90 . a 5 Ta có SH HC.tan tan . 2 1 a 5 1 a 5 a3 2 Vậy V a2. .tan a2. .tan tan . S.ABCD 3 2 3 2 3 5 1 4 1 5 Ta lại có tan2 1 1 cos 0 90 . cos2 5 cos2 3 Câu 38. Biết rằng phương trình log3 x +a 2 +log x +a 2 = 0 có 2 nghiệm thực x , x . Mệnh đề nào 2 ( ) 2a2+2 ( ) 1 2 sau đây là đúng? 2 2 2 2 A. ( x1 +x2) = 4 . B. x1.x2 = a . C. ( x1 - x2) = 4 .D. x1.x2 =16a - 1. Lời giải log3 x +a 2 +log x +a 2 = 0 (điều kiện : x ¹ - a ) 2 ( ) 2a2+2 ( ) 2 æ ö 3 2 log2 ( x +a) 2 ç 2 2 1 ÷ Û log2 ( x +a) + = 0Û log2 ( x +a) çlog2 ( x +a) + ÷= 0 log 2a2 +2 ç log 2a2 +2 ÷ 2 ( ) è 2 ( ) ø
15. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 2 2 log2 x a 0 x a 1 x a 1 (thỏa mãn). 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa ( x1 - x2) = 4 . Câu 39. Khi cắt khối trụ T bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục của trụ T một khoảng bằng a 3 ta được thiết diện là hình vuông có diện tích bằng 4a2 . Tính thể tích V của khối trụ T . 7 7 8 A. V 7 7 a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V 8 a3 . 3 3 Lời giải Chọn D Thiết diện là hình vuông ABCD . 2 SABCD 4a AD CD 2a . Gọi H là trung điểm CD . Ta có: OH  CD OH  ABCD OH a 3 OD DH 2 OH 2 a2 3a2 2a . h AD 2a,r OD 2a V r 2h 8 a3 . Câu 40. Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x như hình vẽ y 2 x - O 1 -1
16. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 1 Đặt g x x3 x f x 2020 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3 g x hàm số trên đoạn 3; 3 . Hãy tính M m. A. f 3 f 3 . B. f 3 f 3 . C. 2020 f 3 . D. 4040 f 3 f 3 . Lời giải Chọn D 1 Xét g x x3 x f x 2020 , với x 3; 3 . 3 Ta có g x x2 1 f x . 2 x 0 g x 0 f x x 1 . x 3 Bảng biến thiên của hàm số g x Do đó M max g x g 3 f 3 2020 , 3; 3 m min g x g 3 f 3 2020 . 3; 3 Vậy M m f 3 f 3 4040. Câu 41. Có 2 học sinh khối 10, 2 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 12 cùng xếp một hàng ngang. Tính xác suất để không có học sinh nào cùng khối đứng cạnh nhau.
17. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 1 1 2 1 A. .B. .C. .D. . 140 840 35 35 Lời giải Gọi A là biến cố xếp được 8 học sinh thành một hàng thỏa yêu cầu. Số phần tử của không gian mẫu là n  8!. Công đoạn 1: Xếp 4 học sinh khối 12 vào 4 vị trí. Có 4! cách. Công đoạn 2: Xếp 4 học sinh khối 10 và 11. Có các trường hợp sau -Trường hợp 1: Có đúng một học sinh khối 12 chỉ đứng đầu hàng hoặc cuối hàng. Trường hợp này chỉ xảy ra một trong hai khả năng như một trong hai hình H1, H2 bên dưới. 12 12 12 12 12 12 12 12 H1 H2 Xếp 4 học sinh khối 10 và 11 vào 4 vị trí giữa hai học sinh khối 12 sao cho không có hai học sinh khối 10 và 11 đứng cạnh nhau. Có 2 4! cách. (1) -Trường hợp 2: Hai học sinh khối 12 đứng đầu hàng và cuối hàng(hình H3) . 12 12 12 12 H3 Bước 1: Chọn một cặp học sinh gồm 1 học sinh khối 10 và 1 học sinh khối 11. Có 4 cách. Bước 2: Xếp cặp học sinh vừa chọn và 2 học sinh còn lại của khối 10 và khối 11 vào 3 vị trí giữa hai học sinh khối 12. Có 4 3! 2! . (2) Từ (1) và (2) ta có n A 4! 2 4! 4 3! 2! 2304 . n(A) 2304 2 Vậy P A . n  8! 35 Câu 42. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 2 e f sin x 3m e m 3 f sin x f 2 sin x m 3 f sin x 3m 0 có 5 nghiệm thuộc0;2  A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 3 . Lời giải Xét phương trình:
18. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 2 e f sin x 3m e m 3 f sin x f 2 sin x m 3 f sin x 3m 0 2 e f sin x 3m f 2 sin x 3m e m 3 f sin x m 3 f sin x * Xét hàm số: g t et t có: g t et 1 0 với t ¡ hàm số đồng biến trên ¡ . Từ phương trình * ta có : g f 2 sin x 3m g m 3 f sin x f 2 sin x 3m m 3 f sin x f 2 sin x m 3 f sin x 3m 0 . f sin x 3 f sin x m Đặt: sin x t , với x 0;2  t  1;1 Từ đồ thị của hàm số y sin x ta thấy: t 1 thì phương trình sin x t có 1 nghiệm. t 0 thì phương trình sin x t có 3 nghiệm. t 1;1 \ 0 thì phương trình sin x t có 2 nghiệm. f t 3 f t m Từ đồ thị ta thấy: f t 3 t 1 Phương trình ban đầu có 1 nghiệm thuộc 0;2  . Để phương trình ban đầu có 5 nghiệm thuộc 0;2  thì phương trình:
19. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 f t m có 2 nghiệm phân biệt t 1;1 \ 0 . Từ đồ thị ta có: 1 m 1. Do m là số nguyên nên m 0 có 1 giá trị nguyên của m . 2 Câu 43. Tìm m để phương trình log3 x m 3 log3 x 3m 1 0 có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1.x2 27. 4 28 A. m 1. B. m . C. m 25. D. m . 3 3 Lời giải Đặt t log3 x Phương trình trở thành : t 2 m 2 t 3m 1 0 m 2 2 4 3m 1 0 Phương trình có hai nghiệm 0 m2 8m 8 0 m 4 2 2 m 4 2 2 x1.x2 27 3t1.3t2 27 3t1 t2 27 3m 2 27 (Vi et) m 2 log3 27 m 1(nhận). a 6 Câu 44. Cho hình chóp S.ABC có SA , các cạnh còn lại cùng bằng a. Bán kính R của mặt cầu 2 ngoại tiếp hình chóp S.ABC là: a 13 a a 15 a 15 A. R B. R C. R D. R 6 3 3 6 Lời giải Chọn D
20. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Gọi M là trung điểm đoạn BC . Tam giác ABC và tam giác SBC đều cạnh a . a 3 a 6 Ta có SM AM , SA , do đó tam giác SAM vuông tại M . 2 2 AM  SM  Có  AM  SBC . AM  BC  Ta có SAM là mặt phẳng trung trực đoạn BC . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC . đi qua G và song song với AM . Gọi E là trung điểm SA , ta có I  EM , khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC . 1 a 3 a 3 a 3 2 a 3 Có IG GM.tan 45 GM , SG . . 3 2 6 2 3 3 3a2 3a2 a 15 Do đó R SI IG2 GS 2 . 36 9 6 Câu 45. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình f 2cos x 1 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0;5 A. 8 . B. 12. C. 10. D. 15. Lời giải Cách 1: Đặt t 2cos x 2 t 2
21. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Phương trình f 2cos x 1trở thành phương trình f t 1. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy t t1 2 t1 1 phương trình này có 3 nghiệm t t2 1 t2 0 t t3 0 t3 2 t t1 1 cos x 1 1 1 2 2 2 2cos x t1 t2 1 t2 Từ đó 2cos x t2 cos x 2 0 2 2 2 2cos x t 3 t cos x 3 t3 3 0 1 2 2 Kết hợp với đồ thị hàm số y cos x trên khoảng 0;5 ta thấy mỗi phương trình đều có năm nghiệm. y x O 5π Vậy phương trình f 2cos x 1 có 15 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0;5 Cách 2: (phương pháp ghép trục) Vậy phương trình f 2cos x 1 có 15 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng 0;5
22. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Câu 46. Một cái thùng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng bốn 4 lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều 3 cao của thùng nước và đo được thể tích của nước tràn ra ngoài là 16 3 . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng nửa khối cầu đã chìm trong nước ( hình vẽ).Tính thể tích nước còn lại? 16 3 25 3 A. 5 3 . B. 4 3 . C. . D. . 3 4 Lời giải Hình 1 Hình 2 Gọi bán kính đường tròn đáy của thùng là: r . Chiều cao của thùng nước là h . Bán kính đường tròn miệng của thùng là: 4r h 2 2 2 2 Thể tích nước trong thùng khi đựng đầy: V1 . r 16r 4r 7h. .r 3 3 4 3 4 2 32 3 Thể tích khối cầu là: V2 .R h .h 3 3 3 81 V 16 2 Thể tích nước tràn ra ngoài là V 2 .h3 16 3 h 3 3 R h 2 3 2 81 3 Do khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng nên ta có ( Theo hình 2) h' r 1 h h' 3 . h h' 4r 4 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 r 1 R h h' 4r 16r 2 3 4 3 16 2 Thể tích nước còn lại trong thùng là: V ' V1 V V1 16 3 7.3. 3.1 16 3 5 3. Câu 47. Cho hàm số y f x x2 4x 3 mx . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y f x có ba điểm cực trị. A. 2. B. 3 . C. 4. D. 6.
23. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Lời giải Chọn B 2 x m 4 x 3 khi x 1 hay x 3 *Ta có f x 2 x m 4 x 3 khi 1 x 3 Vì hàm số không có đạo hàm tại các điểm x 1; x 3 nên ta có 2x m 4 khi x 1 hay x 3 f x . 2x m 4 khi 1 x 3 *Ta xét 3 trường hợp sau đây: m 4 m 2 3 2 2 Trường hợp 1: m 2 . m 4 m 2 1 2 2 Ta có bảng biến thiên Vậy với m 2 thì hàm số y f x chỉ có 1 điểm cực trị. m 2 1 2 Trường hợp 2: m 2 . m 2 3 2 Ta có bảng biến thiên Vậy với m 2 thì hàm số y f x chỉ có 1 điểm cực trị. m 1 2 3 2 Trường hợp 3: 2 m 2 m 1 2 3 2
24. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 Ta có bảng biến thiên Vậy với 2 m 2 thì hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Kết luận: Với m 2;2 thì hàm số y f x có 3 điểm cực trị. Mà m ¢ nên m 1;0;1. Câu 48. Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OC 2a, OA OB a . Gọi M là trung điểm của AB . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngOM và AC a 2 a 2 2 5a 2a A. .B. .C. . D. . 3 2 5 3 Lời giải C N O B H M A Gọi N là trung điểm của BC .Khi đó AC / / OMN d(OM , AC) d(AC,(OMN)) d(A,(OMN)) h Tứ diện OABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau nên OC  OAB Gọi H là trung điểm OB nên NH  OAB 1 1 a2 a3 V .NH.S .a. AONM 3 OAM 3 4 12 a 2 a 5 a 5 OM ;ON ; NM . 2 2 2 Dùng công thức Hê-rông tính được diện tích tam giác OMN , với p là nửa chu vi của tam giác.
25. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 3a2 S p(p ON)(p OM)(p NM) . ONM 8 3 3.VAONM a 8 2a Do đó h 3. . 2 . SONM 12 3a 3 Câu 49. Cho hàm số y f x có đồ thị C như hình vẽ. y 2 O 1 2 x 2 Phương trình f x4 2m2 x2 3 x có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực? A. 12. B. 10. C. 9 . D. 11. Lời giải Xét phương trình: f (x4 2m2 x2 3) x * Đặt y g x x4 2m2 x2 3. Xét hàm số g x x4 2m2 x2 3. Ta có: g x 4x3 4m2 x 4x x2 m2 . Trường hợp 1: m 0 Khi đó g x x4 3 g x 4x3 . Cho g x 0 x 0 . Ta có bảng biến thiên của y g x . x 0 g x g x 3 Trường hợp 2: m 0 x 0 x 0 g (x) 0 2 2 x m (m 0) x m Ta có bảng biến thiên của hàm số y g x x m 0 m g (x) - 0 + 0 - 0 +
26. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 3 g(x) 3 m4 3 m4 Khi đó phương trình : f (x4 2m2 x2 3) x f y x . Giả sử M x , y là giao điểm của đồ thị x f y với đồ thị y g x x4 2m2 x2 3 1 1 4 2 2 y1 x1 2m x1 3 Khi đó tọa độ điểm M x , y thỏa mãn f x 4 2m2 x 2 3 x ,tức 1 1 1 1 1 x1 f y1 là x1 là một nghiệm của phương trình * . Để phương trình * có nhiều nghiệm nhất khi đồ thị x f y cắt đồ thị y x4 2m2 x2 3 tại nhiều giao điểm nhất,tức là hàm số y g x x4 2m2 x2 3 cần phải có ba điểm cực trị . Ta có đồ thị hàm số x f y đối xứng với đồ thị y f x qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trong hệ trục tọa độ. Dựa vào đồ thị của hàm số x f y và đồ thị y g x x4 2m2 x2 3 ta thấy: 3 m4 0 m 2 4 3 m 2 Với m thỏa mãn điều kiện thì đồ thị của hàm số x f y cắt m 0
27. Biên soạn: Trịnh Thị Hoài Đề thi thử THPT Quốc gia 2022 đồ thị y g x x4 2m2 x2 3 nhiều nhất là 10 điểm phân biệt, tức là phương trình * có nhiều nhất 10 nghiệm phân biệt . 1 3.22x y z Câu 50. Xét các số thực x, y, z thay đổi sao cho 3x log2 y 1 z 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 8 8 P 3x 2y z thuộc khoảng nào dưới đây? A. 3;0 B. 10; 4 C. 4; 3 D. 0;4 Lời giải 2x y z 2x y z 1 3.2 3x 1 3.2 Ta có: 3x log2 y 1 z 1 2 y 1 z 1 8 8 8 8 8.23(x y) 23(x y) 3 1 3.22x y z 8.23(x y) 2.23(x z) 4 12.22x y z 2 1 (*) . Ta đặt: t x y . Khi đó: (*) 8.23t 2.23P 6t 4 12.2P t 2 1. Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có: 8 2 12 1 8.23t 2.23P 6t 4 12.2P t 2 22. 22 23t . 23P 6t 4 . 2P t 2 1 22. 22 218P 32 1 22 22.log2 ( ) 32 18P 32 1 22 2 P 3,762 22 18