Đề thi thông tin phát hiện HSG lớp 6 môn Toán

Nội dung text: Đề thi thông tin phát hiện HSG lớp 6 môn Toán

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HSG LỚP 6 MÔN : TOÁN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) 1) Tổng sau là bình phương số nào: S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 199 2) Cho số ab và số ababab a) Chứng tỏ ababab là bội của ab . b) Số 3 và 10101 có phải là ước của ababab không, vì sao? Bài 2: (4 điểm) a) Hãy viết thêm đằng sau số 664 ba chữ số để nhận được số có 6 chữ số chia hết cho 5, cho 9 và cho 11. b) Tìm số nguyên x Z biết rằng : (x2 1)(x2 4) 0 Bài 3: (4 điểm) Cho Q = 2 22 23 210 . Chứng tỏ rằng : a) Q  3 b) Q  31 Bài 4: (4 điểm) Vẽ tia Ax. Trên tia Ax xác định hai điểm B và C sao cho B nằm giữa A và C và AC = 8cm, AB = 3BC. a) Tính độ dài các đoạn AB, BC. b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn AB, AC, BC. Tính độ dài MN, NP. c) Chứng tỏ rằng B là trung điểm của NC. Hết
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN-THÔNG TIN PHÁT HIỆN Bài Đáp Án Điểm S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 199 Số số hạng của tổng : ((199 – 1 ) / 2) + 1 = 100 0,5 (1 199) *100 1.1 s 1002 1 1 2 a) ababab = ab0000 + ab00 + ab = ab *10000 + ab *100 + ab 0,5 ab *10000  ab , ab *100 ab , ab  ab Do đó ab *10000 + ab *100 + ab  ab hay ababab  ab 0,5 Vậy ababab là bội của ab 1.2 b) ababab có tổng các chữ số : a + b + a + b + a + b = 3a + 3b 3a3 và 3b3 nên ababab  3 hay 3 là ước của số ababab . 0,5 ababab = a*100000 + b*10000 + a*1000 + b*100 + a*10 +b = a*(100000 + 1000 + 10) + b*(10000 + 100 + 1) = a*101010 + b*10101 0,5 Rõ ràng a*101010 chia hết 10101, b*10101 chia hết 10101 Suy ra a*101010 + b*10101  10101 hay ababab  10101 0,5 Vậy 10101 là ước của ababab Viết thêm vào sau số 664 bà chữ số abc ta được số 664abc 664abc 664000 abc 663795 205 abc 0,5 0,5 495.1341 205 abc 2a Vì 664abc chia hết cho 5, cho 9, cho 11 Nếu 664abc495 205 abc 495 0,5 Vậy 205 abc = 495 hoặc 205 abc = 990 0,5 Do đó: abc = 495 – 205 = 290 hoặc abc = 990 – 205 = 785 b /(x2 1)(x2 4) 0 0,5 Vì x2 1  x2 4 0 nên x2 1 và x2 4 trái dấu nhau. 2b 0,5 Do đó x2 1 x2 4 nên x2 1 > 0 và x2 4 < 0 1 x2 4 0,5 Nên không tồn tại số nguyên x nào thoả mãn điều kiện này 0,5 a) Q=(2 2 2 ) (2 3 2 4 ) (2 5 2 6 ) (2 7 28 ) (2 9 210 ) 1 = 2 1 2 2 3 1 2 2 5 1 2 2 7 1 2 2 9 1 2 3a 0,5 3 5 7 9 = 3 2 2 2 2 2 3 0,5 Q (2 2 2 2 3 2 4 2 5 ) b) 1 (2 6 2 7 2 8 2 9 210 )
3. 2 3 4 6 2 3 4 3b = 2 1 2 2 2 2 2  1 2 2 2 2 0,5 = 2.31 + 26 31 = 31 2 26 31 0,5 Giả sử a > b > c > d 0,5 Ta có : Số lớn nhất abcd 0,5 4 Số nhỏ nhất dcab 0,5 abcd dcba 0,5 Xét tổng : 11330 0,5 Suy ra : d + a = 10 0,5 c + b = 12 1 Vậy : a + b + c + d = 22 Vẽ hình đúng chính xác 0,5 A M N B P C x 5a AC = 8cm a) Tính AB, BC Vì B nằm giữa A và C nên ta có: AB + BC = AC Mà AB = 3BC 3BC + BC = AC 4BC = AC 0,5 AC 8 BC = 2(cm) 4 4 0,5 Vậy: AB = 3BC = 3.2 = 6(cm) AB 6 b) Ta có M là trung điểm của AB AM = MB = 3(cm) 2 4 AC 8 N là trung điểm của AC AN = NC = 4(cm) 0,5 2 2 Vì AM và AN cùng nằm trên tia Ax mà AM < AN (3cm < 4cm) Do đó điểm M nằm giữa hai điểm A, N 5b AM + MN = AN 3 + MN = 4 MN = 4 – 3 = 1 (cm) 0,5 BC 2 Mặt khác do P là trung điểm của BC PC = PB = 1(cm) 2 2 Tương tự ta có P nằm giữa N và C (Vì CP < CN) 0,5 CP + PN = CN 1 + PN = 4 PN = 4 – 1 = 3(cm) c) Ta đã có AN, AB cùng nằm trên tia Ax. Mà AN < AB (4cm < 6cm) Nên điểm N nằm giữa hai điểm A, B. AN + NB = AB 4 + NB = 6 NB = 2(cm) 0,5 5c Mà BC = 2(cm) (Câu a) NB = BC (1) Vì BC, NC cùng nằm trên tia CN; mà BC < NC (2cm < 4cm) B nằm giữa hai điểm N và C (2) 0,5 Từ (1) và (2) B là trung điểm của NC Lưu ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa